LV 143.020, 143.021 – ET, TM

PHYSIK

LV 138.029 – MB, VT, WI-MB

PHYSIK FÜR INGENIEURE

11. SPEKTREN

WS 2010/11

Vortragende: N. GURKER, J. CUSTERS

Skriptum:

H. EBEL, N. GURKER, M. MANTLER, J. WERNISCH

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Spektren

11. SPEKTREN Die Abb.01sp zeigt den grundsätzlichen Aufbau eines optischen Gitterspektroskops. Das von der Lichtquelle Q kommende divergente Lichtbündel wird mit Hilfe der Linse L1 auf den Ein-trittsspalt Q1 des Spektroskops gebündelt. Der Eintrittsspalt erscheint so als eine schmale rechteckförmige Lichtquelle mit einer zur ursprünglichen Lichtquelle vergleichbaren spektra-len Zusammensetzung. Mit Q1 im Brennpunkt der folgenden Linse L2 wird das divergente Lichtbündel in ein Parallelstrahlbündel umgeformt, das senkrecht auf das Strichgitter G auf-trifft. Mit der Gleichung Gl.27o für die Beugung am Strichgitter kann bei bekannter Ordnung z der Beugung (z.B.: 1.Ordnung) dem Beugungswinkel αz (z.B.: α1) eine definierte Wellen-länge λ zugeordnet werden. Nach der Beugung wird das nunmehr monochromatisierte Paral-lelstrahlenbündel über die Linse L3 in F als Strich abgebildet. Dieser Strich repräsentiert das Bild des Eintrittsspalts Q1. Zur Betrachtung des Bildes dient schließlich die Okularlinse O.

Q

L1

Q1

L2

G

L3

O

αz αz αz αz

F

Abb.01sp Wir unterscheiden kontinuierliche Spektren von der Temperaturstrahlung und Linienspektren von Atomen und Molekülen. 11.1. Kontinuierliche Spektren (Temperaturstrahlung) Temperaturstrahlung ist ein Teil des Spektrums der elektromagnetischen Wellen. (Gliederung des Spektrums der elektromagnetischen Wellen – siehe Beispiel o06). Wird bei der Wärmeleitung die Energie innerhalb des Gases, der Flüssigkeit oder des Fest-körperverbandes durch Impulsübertragung weitergegeben, so ist bei der Temperaturstrahlung

147

ein Teil der inneren Energie in elektromagnetische Wellenenergie umgesetzt worden. Der Wellenlängenbereich der Temperaturstrahlung erstreckt sich vom nahen ultravioletten Licht bis zu den Mikrowellen. Temperaturstrahlung und sichtbares Licht sind hinsichtlich ihrer Eigenschaften sehr ähnlich, was die Erläuterung der Grundbegriffe sehr vereinfacht. Da die Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle im leeren Raum erfolgen kann, ist für die Wärmeübertragung durch Temperaturstrahlung, im Vergleich zur Wärmeleitung und der Wärmekonvektion, kein Medium erforderlich. Die als Strahlungsenergie vom ausstrahlenden (emittierenden) Körper losgelösten Photonen bewegen sich geradlinig und mit Lichtge-schwindigkeit durch den Raum, bis sie auf Materie auftreffen. Aus diesem Grunde können die einander zugewandten Rippenflanken von Kühlkörpern nur eine verhältnismäßig geringe Wärmemenge durch Strahlung in den übrigen Raum abgeben. Um Temperaturstrahlung von ihrer geradlinigen Ausbreitung abzulenken, muß man spiegelnde Flächen oder geeignete strahlungsbrechende Gläser heranziehen. Trifft Strahlung auf einen Körper auf, dann wird sie zum Teil reflektiert, zum Teil durchge-lassen und zum Teil absorbiert. 11.1.1. Reflexion Bei der Reflexion unterscheidet man zerstreute (diffuse) und spiegelnde Reflexion; für die spiegelnde Reflexion sind Einfalls- und Austrittswinkel eines Strahles gleich, während eine diffus reflektierende Fläche den einfallenden Strahl in ein auseinanderlaufendes Strahlenbün-del verwandelt und als "matt" bezeichnet wird. Eine andere Bezeichnungsweise lautet ge-streute und reflektierte Strahlung. In diesem Zusammenhang sei auch der Glanz einer Ober-fläche genannt. In Übereinstimmung mit Abb.02sp kann mit der Intensität I0 der einfallenden Strahlung der reflektierte Anteil durch ρ.I0 beschrieben werden. ρ ist das Reflexionsverhältnis.

Abb.02sp Zur Wechselwirkung elektromagnetischer Strahlung mit Materie

148

Spektren

11.1.2. Durchlässigkeit (Transmission) Manche Körper sind für manche Strahlen vollständig durchlässig, so daß die Strahlung den Körper unverändert durchläuft und wieder verläßt. Die Durchlässigkeit ist vom Material, aus dem der Körper besteht, der Wegstrecke, die die Strahlung im Körper zurücklegt und der Wellenlänge der Strahlung abhängig. Die meisten festen und flüssigen Körper sind bereits in sehr dünnen Schichten für Temperaturstrahlung und Licht undurchlässig. Bei elektrischen Leitern, also Metallen, liegt der Grenzwert bei 1µm. Auch die meisten elektrischen Nichtleiter schlucken bei Schichtdicken oberhalb etwa 1mm alle auftreffende Licht- und Temperatur-strahlung. Normales Fensterglas ist für ultraviolettes Licht undurchlässig, für sichtbares Licht und die Temperaturstrahlung der Sonne jedoch durchlässig. Die von Körpern niedriger Tem-peratur ausgehende, vorwiegend langwellige Temperaturstrahlung kann das Glas jedoch nicht durchdringen. Trockene Luft ist für Temperatur- und Lichtstrahlung vollkommen durchlässig. Zum besseren Verständnis der Abb.03sp und der Tab.01sp sei der Begriff der äußeren Durchlässigkeit eingeführt. Diese ist als das Verhältnis des durch einen Versuchskörper hin-durchtretenden, zu dem auf die Probe auftreffenden Strahlenfluß definiert. Diese Größe ist der Messung einfach zugänglich, wobei mit zunehmendem Verlust durch Reflexion an den beiden Endflächen des durchstrahlten Versuchskörpers und mit zunehmender Absorption im Ver-suchskörper dessen äußere Durchlässigkeit abnimmt. In der Abb.03sp sind für einige Glassor-ten die Verläufe der äußeren Durchlässigkeit in Abhängigkeit von der Wellenlänge der elek-tromagnetischen Strahlung dargestellt. Die Kurven gelten für eine Probendicke von 2mm.

Abb.03sp Wellenlängenabhängigkeit der äußeren Durchlässigkeit einiger Glassorten Die in Tab.01sp gezeigten Durchlaßbereiche einiger Materialien beziehen sich auf eine äußere Durchlässigkeit von mehr als 0,1 (10%) des Maximalwertes.

149

Tab.01sp Spektrale Durchlaßbereiche einiger Materialien Gemäß Abb.02sp ist der durchgelassene Anteil gleich τ ·I0 ; τ ist das Transmissions-verhältnis.

150

Spektren

11.1.3. Absorption Der weder zurückgeworfene noch durchgelassene Teil der auf einen Körper auftreffenden Strahlung wird von seiner Oberfläche oder auch in tieferen Schichten absorbiert ("ge-schluckt"). Temperaturstrahlung, also elektromagnetische Energie, wird auf diese Weise wie-der in Wärmeenergie zurückverwandelt und führt so zu einer Erwärmung des Körpers. Das bekannteste Beispiel hierfür ist die Sonneneinstrahlung, die an kalten Wintertagen die Erd-oberfläche erwärmen kann, obwohl die Lufttemperatur dabei sehr niedrig ist, weil die Luft ja für die Temperaturstrahlung durchlässig ist. Auf der Oberfläche des menschlichen Körpers ist die Sonnenstrahlung im wörtlichen Sinne als "fühlbare Wärme" feststellbar. Lufttemperaturen sollen deswegen grundsätzlich "im Schatten", d.h. strahlungsgeschützt, gemessen werden (das Thermometer mißt seine eigene Temperatur, die an die jeweilige meßtechnische Aufgabe an-zupassen ist). Die durch Strahlung übertragene Energie nimmt mit zunehmender Temperatur des Strahlers sehr stark zu, und es verschiebt sich die spektrale Verteilung der Strahlung aus dem Infraroten gegen den Bereich des sichtbaren Lichtes hin. Das bedeutet aber nicht, daß die Energieüber-tragung durch Temperaturstrahlung bei tieferen Temperaturen bedeutungslos wäre. Die Tem-peraturstrahlung kann bereits im Raumtemperaturbereich sehr intensiv sein. Bei der Behand-lung der Wärmeübertragung in der Nachrichtentechnik wird mitunter die Behauptung aufgestellt, der Anteil des durch Strahlung übertragenen Wärmestromes sei wegen der gerin-gen Temperaturen vernachlässigbar klein. Eine solche Vereinfachung entbehrt jedoch der kor-rekten Grundlage. Bei Öfen und unberippten Zentralheizungskörpern beträgt der durch Strah-lung abgegebene Wärmestromanteil mehr als 50%. Zwischen den beiden Scheiben eines Doppelfensters, oder durch die Luftschicht einer Hohlwand, wie sie im Hausbau mitunter als "Wärmesparbauweise" anzutreffen ist, werden sogar 85% der Wärme durch Strahlung über-tragen, wenn die Schicht etwa 10cm dick ist. Der Anteil der Wärmeleitung und der Konvekti-on beträgt in diesem Fall nur 15%. Die geringe Wärmeleitfähigkeit der Luft kann hier erst bei zusätzlicher Anwendung von Strahlungsschutzfolien in der gewünschten Weise wirksam wer-den. Gemäß Abb.02sp beträgt der im Körper absorbierte Anteil der auftreffenden Strahlungsinten-sität α ·I0 . α ist das Absorptionsverhältnis. 1. Da für die Temperaturstrahlung die durch das Transmissionsverhältnis charakterisierte

Durchdringungsfähigkeit zumeist vernachlässigbar gering ist, genügt es, die Streuung, die Reflexion und die Absorption ausführlicher zu behandeln.

2. Außerdem ist es bei der vorliegenden Behandlung der Temperaturstrahlung nicht erforder-lich, zwischen der zerstreuten und der spiegelnd reflektierten elektromagnetischen Welle zu unterscheiden, da in Verbindung mit dem hier interessierenden Wärmeaustausch aus-schließlich der nicht vom Körper absorbierte Strahlungsanteil von Bedeutung ist, wo-bei die Art der Reflexion unerheblich ist. Aus diesem Grunde werden der zerstreut und der spiegelnd reflektierte Anteil im reflektierten Anteil zusammengefaßt.

3. Das bedeutet, daß im Verlaufe der weiteren Befassung mit dem strahlungsbedingten Wär-meaustausch ein Körper, auf den Temperaturstrahlung auftrifft, nach seinem Reflexions- und seinem Absorptionsvermögen beurteilt wird.

Wenn ein Körper die Gesamtheit der auftreffenden Temperaturstrahlung absorbiert, so wird er als "schwarzer" Körper bezeichnet, im Falle der vollständigen Reflexion wird von einem "weißen" Körper gesprochen und "graue" Körper zeigen ein von der Wellenlänge unabhängi-

151

ges Reflexionsvermögen, wobei der Grad der Reflexion geringer als der des weißen Körpers ist. In der Natur gibt es keine absolut weißen, schwarzen oder durchlässigen Körper. Die erwähn-ten Eigenschaften können aber zu Versuchszwecken näherungsweise verwirklicht werden. Als sehr gute Verwirklichung des schwarzen Körpers kann beispielsweise die möglichst klein zu haltende Öffnung eines innen berußten Hohlraumes gelten, dessen Wände auf gleicher Temperatur gehalten werden. Blanke polierte Metalloberflächen dagegen stellen für die Tem-peraturstrahlung eine Annäherung des spiegelnden weißen Körpers dar, so daß sie als Strah-lungsschutz zu Wärmeisolationszwecken verwendet werden, z.B. Aluminiumfolien und ver-spiegelte Innenflächen von Thermosflaschen. Lichtdurchlässige Körper werden als durchsichtig oder als transparent bezeichnet und die Durchlässigkeit für Temperatur-strahlung als diatherman. Die Analogie zwischen Licht und Temperaturstrahlung sollte aber nicht Anlaß zu Irrtümern werden. Die dem Auge farbig oder weiß erscheinenden Flächen sind meist für die Temperaturstrahlung schwarz oder grau, d.h. sie absorbieren den weitaus größ-ten Teil der auftreffenden Temperaturstrahlung. Aus der noch zu behandelnden Identität zwi-schen dem Absorptions- und dem Emissionsverhältnis folgt, daß derartige Flächen auch die Wärmestrahlung sehr gut emittieren. Das bedeutet aber, daß beispielsweise weiß lackierte Heizkörper auch ein sehr gutes Emissionsverhältnis für die Wärmeabgabe durch Temperatur-strahlung aufweisen. Die sichtbaren Unterschiede der Farbtöne und damit der Wellen-längen des reflektierten sichtbaren Lichtes sind für die vergleichsweise langwellige Temperaturstrahlung bedeutungslos. Die weiße Kleidung von Tropenbewohnern oder der weiße Anstrich von Kühlhäusern und Kühlwagen haben lediglich gegenüber der Sonnenein-strahlung eine wärmeisolierende Wirkung. Der von einem beliebigen Körper von der Gesamtheit der auftreffenden Temperaturstrahlung absorbierte Anteil wird durch das Absorptionsverhältnis α gekennzeichnet, der reflektierte durch das Reflexionsverhältnis ρ und der durch den Körper hindurchtretende Strahlungsan-teil durch das Transmissionsverhältnis τ (vgl.Abb.02sp). Setzt man den Energieerhaltungssatz auf die in der Abb.02sp gezeigten Strahlungsanteile an, so erhält man 0000 IIII ⋅+⋅+⋅= ταρ Gl.01sp Wird in Übereinstimmung mit den bisherigen Ausführungen der den Körper durchsetzende Strahlungsanteil τ.I0 null gesetzt und durch I0 gekürzt, so erhält man den nachstehenden Zu-sammenhang zwischen dem Absorptions- und dem Reflexionsverhältnis. α ρ+ = 1 Gl.02sp Alle Körper emittieren Temperaturstrahlung, wobei die bei einer beliebigen Temperatur ab-gegebene Strahlungsleistung beim schwarzen Körper ihren Höchstwert aufweist. Die in der Praxis zu behandelnden Körper strahlen im Vergleich zum schwarzen Körper nur einen mehr oder weniger großen Bruchteil ε der Strahlungsleistung des schwarzen Körpers ab. Dieser wird als das Emissionsverhältnis ε des Körpers bezeichnet. Achtung: 0 < ε < 1

152

Spektren

11.1.4. KIRCHHOFFsches Strahlungsgesetz Das KIRCHHOFFsche Strahlungsgesetz basiert auf der Entdeckung der Spektralanalyse durch BUNSEN und KIRCHHOFF. Es besagt, daß zwischen dem Emissionsverhältnis ε und dem Absorptionsverhältnis α ein Zusammenhang besteht, und zwar derart, daß Körper mit hohem Absorptionsverhältnis auch ein gleich hohes Emissionsverhältnis aufweisen. ε α= Gl.03sp 11.1.5. PLANCKsches Strahlungsgesetz Die spektrale Dichte der Strahldichte L(λ) der Temperaturstrahlung wird durch das PLANCKsche Strahlungsgesetz beschrieben.

( )1

1205

20

−

⋅=

kThc

e

hcL

λλ

λ Gl.04sp

Das Produkt L(λ).dλ gibt die Energie der Strahlung des unpolarisierten Bündels elektroma-gnetischer Strahlung an, die der auf der absoluten Temperatur T befindliche schwarze Strahler im Wellenlängenbereich von λ bis λ+dλ pro m2 seiner Oberfläche und je Sekunde in Rich-tung der Flächennormale in die Einheit des Raumwinkels abstrahlt. h = 6,6260755·10-34 J.s PLANCKsche Konstante c0 = 2,99792458·108 m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit k = 1,380658·10-23 J/K BOLTZMANN-Konstante

Abb.04sp Der durch das PLANCKsche Strahlungsgesetz beschriebene Verlauf der spektralen Dichte der Strahldichte L(λ) für einen schwarzen Strahler, dessen Temperatur 2000K beträgt.

153

Temperatur °C

&qs W/m2

Temperatur °C

&qs W/m2

-100 50 700 50819 -50 140 800 75159 0 314 900 107343 50 617 1000 148900 100 1097 1200 266927 200 2838 1400 444188 300 6112 1600 697805 400 11631 1800 1047080 500 20244 2000 1513494 600 32933

Tab.02sp In Tab.02sp sind die von einem schwarzen Strahler je Flächeneinheit

abgestrahlten Leistungen in Abhängigkeit von der Temperatur angegeben. Die Temperatur der Sonnenoberfläche beträgt etwa 6000K. Die Wellenlänge λm entsprechend dem Maximum der spektralen Verteilungsfunktion des Sonnenlichtes liegt bei 0,48 μm, also bei der Farbe "grün" in der Nähe des Maximums der spektralen Augenempfindlichkeit. Zum Vergleich liegt das entsprechende Maximum eines Heizkörpers mit einer Oberflächentempe-ratur von 100°C im langwelligen Infrarot bei 7,8μm, also im nichtsichtbaren Bereich. 11.1.6. LAMBERTsches Gesetz Das LAMBERTsche Gesetz (auch LAMBERTsches Cosinus-Gesetz, 1760) besagt, dass die Strahlstärke eines flächenhaften Strahlers mit dem Cosinus des Winkels zur Flächennormalen variiert. ( ) ββ cos⋅⋅= StrALI Gl.05sp Dabei bezeichnet L die Strahldichte und AStr die Fläche des Strahlers. Ein derartiger Strahler erscheint aus jeder beliebigen Richtung immer gleich hell. In Richtung der Flächennormalen hat er die maximale Strahlstärke. Das LAMBERTsche Gesetz gilt für sogenannte LAMBERT- Strahler. Das sind vollkommen raue, diffus reflektierende Flächen (schwarze Strahler). Beispiele für LAMBERT- Strahler sind etwa die Sonnenoberfläche oder eine Fläche mit aufgerautem Magnesiumoxid. 11.1.7. STEFAN-BOLTZMANNsches Strahlungsgesetz Gesucht ist der aus dem Wellenlängenintervall von λ bis λ+dλ und je Flächeneinheit des schwarzen Strahlers in den Halbraum oberhalb seiner Oberfläche emittierte spektrale Strah-lungsfluß M(λ)·dλ. In der Abbildung wird der für die Rechnung benötigte Raumwinkel dΩ definiert: dΩ = 2π ·sinψ ·dψ

154

Spektren

Abb.05sp Bei der Integration der spektralen Strahlungsdichte L(λ) über den Halbraum oberhalb der Flä-che, muß berücksichtigt werden, daß für den schwarzen Strahler das LAMBERTsche Gesetz gilt.

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) λλπψλλπ

ψψπλλ

ψψπψλλ

ψλλ

λλλλ

π

π

π

π

dLdL

ddL

ddL

ddL

ddLdM

⋅⋅=−⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅=

=Ω⋅⋅=

=Ω⋅⋅=

=+

∫

∫

∫

∫

)()cos(221

)2sin(212

sin2cos

cos

.

2110

0

0

0

Halbraum

2

2

2

2

44 344 21

Gl.06sp

Integriert man die Gleichung ( ) ( ) λλπλλ dLdM ⋅⋅=⋅ über die Wellenlänge λ (0≤λ≤∞), so er-hält man den Wärmestrahlungsfluß M (spezifische Ausstrahlung), also die gesamte, je Flächeneinheit der Oberfläche des schwarzen Strahlers in den Halbraum oberhalb der Ober-fläche abgestrahlte Leistung. Da diese Wärme aus dem Volumen des schwarzen Körpers an seine Oberfläche transportiert werden muß, ist M die auf die abgestrahlte Wärme entfal-lende Wärmestromdichte . &qs

Gl.07sp 4TqM s ⋅== σ&

Der durch diese Gleichung ausgedrückte Zusammenhang zwischen der je Flächen- und Zeit-einheit von der Oberfläche des schwarzen Strahlers in den Raum abgestrahlten Wärmemenge und seiner Temperatur, ist der Inhalt des STEFAN-BOLTZMANNschen Strahlungsgesetzes. Die STEFAN-BOLTZMANN Konstante σ errechnet sich wie folgt: Ausgehend von

( ) ( ) λλπλλ dLdM ⋅⋅=⋅ erhält man die spezifische Ausstrahlung M durch Integration über den gesamten Wellenlängenbereich.

155

( ) ( ) ∫∫∫∞∞∞

⋅

−

=⋅=⋅=0

52

000 1

1120

λλ

πλλπλλλ

d

e

hcdLdMMkT

hc Gl.08sp

Um dieses Integral lösen zu können führt man folgende Substitution durch:

dx

kTxhcd

xkThc

dkT

hcdxkT

hcx

200

200

−==

−==

λλ

λλλ

Setzt man diese Substitutionen in das Integral ein und beachtet, dass auch die Integrations-grenzen mitsubstituiert werden müssen, so erhält man:

dxe

xch

TkdxekTx

hcch

TkxhcM xx ∫∫∞∞ −

π−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−π=

0 3

20

3

440

20

50

5

5552

0 1

2 1

12 Gl.09sp

In Integraltafeln ( z.B. GRÖBNER und HOFREITER) wird für die Lösung des sich daraus ergebenden Integraltyps

∫∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

−0

22

12 241x

nn

x

n

nB

dxex

απ

α

angegeben, wobei für den speziellen Fall α=1, n=2 und BB4 = -1/30 (BERNOULLI-Zahl)gilt. Damit ergibt sich für den Wärmestrahlungsfluß M

442

03

45

152 TT

chkM σπ

σ

==43421

Gl.10sp

Diese Gleichung beschreibt das STEFAN-BOLTZMANNsche Strahlungsgesetz, die Konstan-te σ ist als STEFAN-BOLTZMANN-Konstante bekannt.

428

KmW1067051,5 −⋅=σ

11.1.8. WIENsche Verschiebungsgesetze Durch Differentiation der Gleichung für das PLANCKsche Strahlungsgesetz

( )1

1205

20

−

⋅=

kThc

e

hcLλ

λλ

nach der Wellenlänge ist es möglich, jene Wellenlänge λm zu erhalten, bei der die Vertei-lungsfunktionen L(λ) bzw. M(λ) ihren Maximalwert annehmen.

156

Spektren

Abb.06sp Definition der Wellenlänge λm Der Zusammenhang zwischen λm und der Temperatur T des schwarzen Strahlers ist der Inhalt des 1.WIENschen Verschiebungsgesetzes. Um die Rechnung etwas zu vereinfachen führen wir zwei Konstante ein:

kThc

ChcC 02

201 2 ==

Damit ergibt sich für die spektrale Strahlungsdichte L(λ)

Gl.11sp 1

51 1)(

12

−− ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

−λλλ CeCL

Um das Maximum dieser Verteilungsfunktion zu finden, leitet man nach λ ab und ermittelt die Nullstellen.

( ) 01115)( 22

25

1

16

11

21

21

2 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=

−−−

−− −−− λλλ λλλ

λλ CCC eeCCeC

ddL

Gl.12sp Diese Gleichung ist für λ → ∞ und λ = 0 erfüllt. Beide Ergebnisse bezeichnen allerdings Mi-nima der Verteilungsfunktion. Spaltet man diese Lösungen ab, so erhält man:

Gl.13sp 1

12 15

12

12

−− ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

−− λλλ CC eeC

Mit der Substitution kT

hcCxλ

λ 012 == − erhält man die transzendente Gleichung,

1

5−

= x

x

exe Gl.14sp

die mit einem geeigneten Verfahren (zB.: NEWTONsches Näherungsverfahren, graphische Lösung) gelöst werden kann. Als Lösung ergibt sich x=4,965 und damit für λm:

][10898,2965,4

30 m

TkThc

m

−⋅==λ Gl.15sp

Manchmal wird dieses 1. WIENsche Verschiebungsgesetz auch anders angeschrieben: m T constλ ⋅ = Gl.16sp

157

Setzt man λm in den Ausdruck für M(λ) ein, so erhält man für den Maximalwert der Vertei-lungsfunktion M(λ) an der Stelle λ= λm

( )55 52 5

0 5 5 4,9650

4,965 1( ) 2 const1m

k TM hc T

h c eλ π= ⋅ =

−⋅ Gl.17sp

Dieser Zusammenhang zwischen dem Maximalwert des spektralen Strahlungsflusses und der Temperatur ist der Inhalt des 2. WIENschen Verschiebungsgesetzes. Die Konstante errechnet sich mit

m/s10998,2

J/K10381,1

Js10626,6

80

23

34

⋅=

⋅=

⋅=−

−

c

k

h

zu

535-

KmW101,288const ⋅=

Abb.07sp

Temperaturabhängigkeit des PLANCKschen Strahlungsgesetzes und die Verschiebung der Lage des Maximums λm und die zugehörige Änderung des Maximalwertes.

11.1.9. Emissionsverhältnis ε Technische Körper haben im allgemeinen eine von L(λ) abweichende Verteilung und darüber hinaus ist die abgestrahlte Leistung geringer. Es genügt jedoch für die Wärmeübertragung durch Strahlung zumeist, die Flächen als grau und mit einem mittleren Emissionsverhältnis ε unabhängig von der Wellenlänge anzunehmen. Die Wärmestromdichte zufolge Tempera-q&turstrahlung beträgt Gl.18sp 4Tqq s ⋅⋅=⋅= σεε &&

428 KW/m1067051,5 Konstante-BOLTZMANN-STEFAN ⋅⋅= −σ Das Emissionsverhältnis ist im Zusammenhang mit dem Wärmetransport durch Strahlung ei-ne der bedeutsamsten Größen. Es ist das zwar die ältere Bezeichnung für diese Größe, wird aber trotzdem noch in vielen Literaturwerken anstelle der neuen Bezeichnung Emissionsgrad

158

Spektren

verwendet. Es wird auch der Begriff Emissionsvermögen und in der englischsprachigen Lite-ratur emissivity gefunden. Bei einem nichtschwarzen Temperaturstrahler ist der (gerichete spektrale) Emissionsgrad ε stets kleiner als 1, und er ist für eine bestimmte Ausstrahlungsrichtung bei jeder Temperatur und bei jeder Wellenlänge gleich dem spektralen Absorptionsgrad α für eine in der gleichen Richtung einfallende Strahlung. Um diese Aussage, die sich grundsätzlich mit dem in Gl.03sp formulierten KIRCHHOFF-schen Strahlungsgesetz deckt, besser verständlich zu machen, sei erwähnt, daß sowohl ε als auch α von der Wellenlänge λ, dem Winkel β zwischen der Strahlrichtung und dem Lot auf die Oberfläche und der Temperatur T abhängen, also in der Form ε (λ,β,T) und α (λ,β,T) an-zugeben wären und damit das KIRCHHOFFsche Gesetz ε (λ,β,T)=α (λ,β,T) lautet. In Tab.03sp werden Zahlenwerte für den Emissionsgrad ε angegeben. Die Bezeichnung εn be-sagt, daß es sich um den Emissionsgrad normal zur Oberfläche des strahlenden Körpers han-delt, während ε den integralen Emissionsgrad für den gesamten Halbraum beschreibt. Oberfläche ϑ

°C εn −

ε −

Gold poliert 130 0,018 400 0,022

Silber blank 100 0,02

500 0,035

Molybdän 100 0,12

Kobalt blank 500 0,13

1000 0,23

Kupfer poliert 20 0,03

leicht angelaufen 20 0,037

schwarz oxidiert 20 0,78

oxidiert 130 0,76 0,725

geschabt 20 0,07

Aluminium walzblank 170 0,039 0,049

500 0,050

nicht oxidiert 25 0,022

100 0,028

500 0,060

oxidiert 200 0,11

600 0,19

Aluminiumbronzeanstrich 100 0,2−0,4

Messing oxidiert 200 0,61

600 0,59

nicht oxidiert 100 0,035

Walzoberfläche 20 0,06

159

Oberfläche ϑ °C

εn −

ε −

Bronze 4-7% Al poliert 316 0,036 4-7% Al oxidiert 316 0,094

Siluminguß poliert 150 0,186 Inconel gewalzt 816 0,69 sandgestrahlt 816 0,79 Nickel blank 100 0,041 0,046 poliert 100 0,045 0,053 Manganin walzblank 118 0,048 0,057 Chrom poliert 150 0,058 0,071 Eisen blank geätzt 150 0,128 0,159 abgeschmirgelt 20 0,24 rot angerostet 20 0,61 Walzhaut 20 0,77 130 0,6 Gußhaut 100 0,8 hitzebeständig oxidiert 80 0,613 Eisen hitzebeständig oxidiert 200 0,639 stark verrostet 20 0,85 Gußeisen Flüssig 1535 0,29 Stahl wärmebehand. Oberfl. 200 0,521 Oxidiert 200 0,79 Zink grau oxidiert 20 0,23−0,28 Blei grau oxidiert 20 0,28 nicht oxidiert 100 0,05 Oxidiert 200 0,63 Magnesiumoxid 1027 0,16 Wismut Blank 80 0,34 0,366 Titan 149 0,082 649 0,19 Zinn nicht oxidiert 25 0,043 100 0,05 Zinnoxid 10 0,32 Eisen verzinkt glänzend 25 0,06 Wolfram 25 0,024 500 0,071 1000 0,15 1500 0,23 2000 0,28 Uranoxid 1123 0,79 Korund Schmirgel rauh 80 0,855 0,84 Ton gebrannt 70 0,91 0,86

160

Spektren

Oberfläche ϑ °C

εn −

ε −

Heizkörperlack 100 0,925 Mennigeanstrich 100 0,93

Emaille, Lacke 20 0,80−0,95

Schwarzer Lack matt 80 0,97

glänzend 20 0,87

Bakelitlack 80 0,935

Ziegelstein, Mörtel, Putz 20 0,93

Asbestplatte 20 0,96

Porzellan 20 0,92−0,94

Glas 90 0,94 0,876

838 0,47

Wasser, Eis glatt 0 0,966

Eis rauher Reifbelag 0 0,985

Ruß 50−1000 0,94−0,91

Wasserglasrußanstrich 20 0,96

Papier 95 0,92 0,89

Holz Buche 70 0,935 0,91

Dachpappe 20 0,93

Gummi hart 20 0,95

weich, grau 20 0,86

Tab.03sp Zahlenwerte für den Emissionsgrad ε

161

11.2. Linienspektren 11.2.1. Äußerer lichtelektrischer Effekt Der äußere lichtelektrische Effekt wird durch folgenden Standardversuch gezeigt. Eine elek-trisch isoliert aufgestellten Zinkplatte wird an ein einseitig geerdetes elektrostatisches Voltmeter angeschlossen. Wird die Platte gegenüber dem Erdpotential elektrisch aufgeladen, so zeigt das Voltmeter die Potentialdifferenz der Platte gegenüber dem Erdpotential an. Bestrahlt man die aufgeladene Zinkplatte mit dem Licht einer Quecksilberdampflampe, so klingt die Aufladung rasch ab. EINSTEIN gab 1905 die Erklärung für den äußeren lichtelektrischen Effekt unter Verwen-dung der PLANCKschen Energiequanten hf und bestätigte damit auch das Konzept der Ener-giequantisierung. Diese Erklärung besagt, daß die Atomelektronen an das Atom gebunden sind und zu ihrer Loslösung, das heißt zur Ionisation des Atoms, eine ihrer Bindungsenergie EB entsprechende Energie benötigt wird. Wird diese Energie von einem Energiequant hf beigestellt und ist hf größer als EB , so tritt nach dem Energieerhaltungssatz der Energie-überschuß als kinetische Energie Ekin des "Photoelektrons" in Erscheinung. hf E EB kin= + Gl.19sp Die kinetische Energie der Elektronen kann in einem Elektronenspektrometer gemessen wer-den und gibt so Aufschluß über die Bindungsenergie der Elektronen und den Atombau. 11.2.2. Atombau und Linienspektren Die Hauptquantenzahl n 1910 begann RUTHERFORD seine Untersuchungen über den Aufbau der Atome. Als Ergeb-nis dieser Forschungen besteht das Atom aus einem positiv geladenen Kern und einer Elek-tronenhülle. In RUTHERFORDs Modell wird angenommen, daß die Elektronen den Atom-kern auf Kreisbahnen umlaufen. Die anziehende COULOMB-Kraft zwischen dem Elektron mit der Ladung -e und dem Kern mit +Ze (Z ist die Ordnungszahl des chemischen Elements) wird durch die Zentrifugalkraft des Umlaufes kompensiert.

rvm

rZe e

2

2

2

041

=⋅πε

Gl.20sp

Die Kreisbewegung ist bei konstantem Betrag der Geschwindigkeit v eine beschleunigte Be-wegung (me ist die Masse des Elektrons), da sie erst durch die Wirkung der Zentripetalbe-schleunigung zustande kommt. Eine beschleunigte elektrische Ladung, im vorliegenden Falle das Elektron, wirkt in der Theorie der klassischen Elektrodynamik wie ein HERTZscher Di-pol und emittiert eine elektromagnetische Welle, die ihrerseits zu einem Energieverlust des Systems Kern-Elektron Anlaß gibt. Dieser Energieverlust hätte eine Geschwindigkeitsabnah-me und damit eine unzureichende Kompensation der COULOMB-Kraft zur Folge. Das Elek-tron müßte aufgrund dieser Überlegung in den Kern einlaufen. Da dies aber nicht der Fall ist, postulierte BOHR die Existenz strahlungsfreier Umlaufbahnen, wobei der Bahndrehimpuls L des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches von h/2π ist. Da die Größe h/2π sehr häufig verwendet wird, wurde dafür die Kurzform = h/2π (h-quer) einge-führt. Der Drehimpuls einer auf einer kreisförmigen Bahn mit dem Radius r mit konstanter

h

162

Spektren

Geschwindigkeit v=ω.r (ω ist die Winkelgeschwindigkeit) umlaufenden punktförmigen Mas-se m (dem Elektron) ist durch mr2ω gegeben. Da nach dem BOHRschen Postulat nur Bahndrehimpulse n (n ist eine natürliche Zahl, also n = 1,2,3,... etc.) erlaubt sind, werden die möglichen Radien mit rn und die möglichen Werte der Winkelgeschwindigkeit mit ωn bezeichnet. Mit der Umformung

h

2

2nn n

n

v rr

ω= ⋅

lautet das von RUTHERFORD und BOHR angegebene Gleichungspaar

hnrm

rmrZe

nne

nnen

=

=⋅

ω

ωπε

2

22

2

041

Gl.21sp

Daraus errechnen sich rn und ωn zu

( )20

342

32

22

02

411111

14

πεω

πε

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

hh

h

eZmnrm

n

mZenr

ene

n

en

n ist die Hauptquantenzahl des Elektrons. Die nachstehende Tabelle zeigt einige charakteristische Größen des Wasserstoffatoms.

n rn (m) vn (ms-1) 1 5,29 10-11 2,19 106 2 2,12 10-10 1,09 106 3 4,76 10-10 7,29 105 4 8,47 10-10 5,47 105 5 1,32 10-9 4,38 105 6 1,91 10-9 3,65 105 7 2,59 10-9 3,13 105 8 3,39 10-9 2,73 105 9 4,29 10-9 2,43 105 10 5,29 10-9 2,19 105

Tab.04sp Bahnradien und Umlaufgeschwindigkeiten der Elektronen von Wasserstoff (Z=1)

in Abhängigkeit von der Hauptquantenzahl n Bindungsenergie Als Modellvorstellung möge sich ein mit Z positiven elektrischen Elementarladungen gelade-ner Atomkern ohne ein Elektron in der Hülle, d.h. Z-fach ionisiert, an einer Stelle des Raumes befinden und in großem Abstand davon ein Elektron. Bei einer Annäherung des Elektrons bis

163

zu einem Abstand rn vom Atomkern wird aus dem elektrostatischen Feld eine COULOMB-Energie erhalten.

E ZerCoulomb nn

, = ⋅1

4 0

2

πε Gl.22sp

Berechnet man aus rn und ωn die kinetische Energie Ekin,n eines Elektrons auf der n-ten BOHRschen Bahn

( )2

2

,nne

nkinrmE ⋅⋅

=ω Gl.23sp

so erhält man als Energie

nCoulombnkin EE ,, 21

⋅= Gl.24sp

Die Hälfte der aus dem COULOMB-Feld erhaltenen Energie steht als kinetische Energie zur Verfügung, während die andere Hälfte abgestrahlt wird. Soll das Elektron vom Atomkern wieder entfernt werden, so muß mindestens die abgestrahlte Energie als Ionisierungsarbeit aufgebracht werden. Das Elektron erscheint als mit dieser Energie gebunden. Die abgestrahlte Energie ist gleich der Ionisierungsarbeit oder der Bin-dungsenergie EB,n . Nach den obigen Ausführungen gilt E EB n kin n, ,= Gl.25sp In der Tabelle Tab.04sp wurde auch die Geschwindigkeit für den Elektronenumlauf auf der kernnächsten Bahn n=1 angegeben. Daraus läßt sich Ekin,1, die zur kernnächsten Umlaufbahn gehörende kinetische Elektronenenergie ermitteln. Es ist die, verglichen mit Ekin,2 etc, größt-mögliche kinetische Energie. Wäre das Elektron bei seiner Annäherung an den Kern auf die Bahn 3 gelangt, so hätte es diese nach kurzer Zeit verlassen, um schließlich die Bahn 1 zu er-reichen. Das bedeutet, daß sich das aus dem Atomkern und dem Elektron bestehende System derart stabilisiert, daß die abgestrahlte Energie den größtmöglichen Wert annimmt, daß also das Elektron mit der maximal möglichen Bindungsenergie an das Atom gebunden wird. Die Differenz aus den Bindungsenergien EB,3 – EB,1 wird dabei als Photon mit der Energie h·f3,1 emittiert. 1,3,1,3 BB EEfh −=⋅ Gl.26sp

22

42

200

3

1,3,

0

1,3

01,3

31

11

18

−⋅

⋅⋅=

−==

eZmch

EEhc

fc

eBB

ελ Gl.27sp

Für ein Wasserstoffatom (Z=1) errechnen sich die Wellenlängen λi,2 der Übergänge von i = 3, 4, 5,... in die Bahn n = 2 zu

3 2

0 0,2 4

2 2

8 11 12

ie

h cm e

i

ελ = ⋅⋅ −

Gl.28sp

Die zugehörigen Wellenlängen zeigt Tabelle Tab.05sp.

164

Spektren

i λi,2 (nm) gemessene Werte 3 656,1 656,3 4 486,0 486,1 5 433,9 6 410,1 410,2 7 396,9 397,0 8 388,8 388,9

Tab.05sp Spektrallinien des Wasserstoffs im sichtbaren Bereich Es sind dies die Spektrallinien der BALMER-Serie des Wasserstoffs. Quantenzahlen l l, , m ms

Nähert man dem Atomkern die noch verbleibenden Z-1 Elektronen, so erhebt sich die Frage nach der Auffüllung der Umlaufbahnen mit Elektronen. Es zeigt sich nämlich, daß maximal 2 Elektronen in der Bahn 1, 8 in der Bahn 2, 18 in der Bahn 3 und 32 in der Bahn 4 Platz fin-den. Diese Systematik der Auffüllung der Umlaufbahnen kann mit der Hauptquantenzahl n nicht erklärt werden. Erst die Quantenmechanik hat das Verständnis des Aufbaus der Atom-hülle ermöglicht und definiert folgende zusätzliche Quantenzahlen: • .......... Nebenquantenzahl oder Bahndrehimpulsquantenzahl. ist eine ganze Zahl, für

die 0≤ ≤n-1 gilt. Elektronen mit =0 heißen s-Elektronen, mit =1 p-Elektronen, mit =2 d-Elektronen und mit =3 f-Elektronen.

l ll l l

l l• ........ Magnetische Quantenzahl. ist eine positive oder negative ganze Zahl, für die

| |≤ gilt. ml ml

ml l

• ms ........ Magnetische Spinquantenzahl oder Spinorientierungsquantenzahl, für die

ms = ±12

gilt.

Darüber hinaus wird in der Spektroskopie noch die Quantenzahl j= +ms verwendet. Erst mit den genannten Quantenzahlen und dem PAULI-Verbot kann das oben gezeigte Schema der Auffüllung verifiziert werden. Das PAULI-Verbot besagt, daß auf den stationären Umlauf-bahnen eines Atoms nur Elektronen vorkommen können, die sich zumindest in einer der vier Quantenzahlen voneinander unterscheiden.

l

165

Beispiele sp01 Die in der Abb.07sp gezeigte graphische Darstellung der Funktion L(λ) für die Temperaturen T=1000, 1500 und 2000K hinsichtlich der Farbe glühender Körper ist zu diskutieren. Dabei ist die spektrale Empfindlichkeit des menschlichen Auges - wie in Abb.B_01sp dargestellt - in die Diskussion einzubeziehen.

700 600 500 400

Wellenlänge (nm)

spek

tral

e Em

pfin

dlic

hkei

t

100

80

60

40

20

0

Zäpfchen Stäbchen

Abb.B_01sp sp02 Welche Werte haben das Reflexionsverhältnis, das Absorptionsverhältnis, das Emissionsver-hältnis und das äußere Transmissionsvermögen des schwarzen Körpers? Wie erfolgt die Um-setzung von Wärmeenergie in elektromagnetische Strahlung, die Umsetzung von absorbierter Strahlungsenergie in Wärmeenergie und die Umsetzung von absorbierter in emittierte Tempe-raturstrahlung? sp03

Der Abstand der Erde von der Sonne beträgt etwa 150·106 km. Der Maximalwert der von der Sonne im Bereiche der Erdoberfläche je m2 eingestrahlten Leistung ist 1,4kW. Wie groß ist die von der Sonne abgegebene Gesamtstrahlungsleistung? Woher rührt diese Energie? Wie groß ist nach dem Äquivalenzprinzip von Masse und Energie die von der abgestrahlten Lei-stung herrührende Massenverlustrate der Sonne? Wie groß ist die Masse der Sonne, wenn der durch die Abstrahlung bedingte Massenverlust nach einer Zeitspanne von 10·109 Jahren 0,07% der derzeitigen Sonnenmasse ausmacht? Wie groß ist der Sonnendurchmesser, wenn die mittlere Dichte gleich 1400kg/m3 ist? In der Sonnenmitte beträgt die Temperatur etwa 50·106 K. Wie groß ist der Temperaturgradient, wenn von der Sonnenmitte zur Oberfläche ei-ne lineare Temperaturabnahme angenommen wird?

166

Spektren

Lösungen zu den Beispielen sp01 Um zu bestimmen, in welcher Farbe ein glühender Körper erscheint, muß man zunächst eine analytische Form der spektralen Empfindlichkeit des menschlichen Auges für das Farbsehen (Zapfensehen) finden. Die in Abb.B_01sp gezeigte Kurve hat die Form einer Gaußverteilung. Daher ist es nahelie-gend, sie auch durch eine solche anzunähern. Man findet schließlich:

( )20)( λλσλ −= ef

wobei die beiden Konstanten σ und λ0 folgende Werte annehmen:

m105,6 nm 560

m1068,27-

0

-214

⋅==

⋅=

λ

σ

4.10-7 5.10 6.10 7.10 8.10-7 -7 -7 -7

Wellenlänge (m)

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1

Abb.B_02sp Abb.B_02sp zeigt diese Form der spektralen Empfindlichkeit. Damit ergibt sich für die an das menschliche Auge angepaßte spektrale Strahlungsdichte F(λ)

( )

1

2)()()(0

20

5

20

−==

−

kThc

e

ehcfLFλλ

λλλλλσ

Jene Wellenlänge, bei der diese Funktion ihr Maximum annimmt, ist auch jene Wellenlänge (bzw. Farbe) in der der glühende Körper erscheint. Um dieses Maximum zu erhalten, leitet man die Funktion F(λ) nach λ ab und setzt den Ausdruck Null.

( )

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−⋅⋅

−⋅=

−

020

5

20 25

11

2)('

0

0

0

20

λλσλλ

λλλ

λλ

λλσ

kTekTe

kThc

e

ehcF hc

hc

kThc

Durch geeignete Verfahren (z.B.: NEWTONsches Näherungsverfahren) läßt sich die Nullstel-le dieser Funktion berechnen. In Abb.B_03sp sind diese beiden Funktionen F(λ) und

)(' λF für die drei Temperaturen 1000K, 1500K und 2000K dargestellt. Für die Maxima und damit die Farben entsprechender Körper ergeben sich folgende Werte:

167

4.10-7 5.10 6.10 7.10 8.10-7 -7 -7 -7

Wellenlänge (m)

4.10-7 5.10 6.10 7.10 8.10-7 -7 -7 -7

Wellenlänge (m)4.10-7 5.10 6.10 7.10 8.10-7 -7 -7 -7

Wellenlänge (m)

4.10-7 5.10 6.10 7.10 8.10-7 -7 -7 -7

Wellenlänge (m)

4.104

3.104

2.104

1.104

0

12.107

10.107

8.107

6.107

4.107

2.107

0

7.109

6.109

5.109

4.109

3.109

2.109

1.109

0

6.1011

4.1011

2.1011

0

-2.1011

-4.1011

-6.1011

15.1014

10.1014

5.1014

0

-5.1014

-10.1014

-15.1014

10.1016

5.1016

0

-5.1016

-10.1016

4.10-7 5.10 6.10 7.10 8.10-7 -7 -7 -7

Wellenlänge (m)

4.10-7 5.10 6.10 7.10 8.10-7 -7 -7 -7

Wellenlänge (m)

1000K

1500K

2000K

Abb.B_03sp • Für T = 1000K, das ist etwa die Temperatur des Schmelzpunktes von Aluminium, liegt

das Maximum bei einer Wellenlänge von etwa 616nm. Dies entspricht einem satten Oran-ge.

• Für T = 1500K, das ist etwa die Temperatur des Schmelzpunktes von Kupfer, liegt das Maximum bei einer Wellenlänge von etwa 595nm. Dies entspricht einem Gelb-Orange.

• Für T = 2000K, das ist etwa die Temperatur des Schmelzpunktes von Stahl, liegt das Ma-ximum bei einer Wellenlänge von etwa 583nm. Dies entspricht einem satten Gelb.

168

Spektren

Allerdings ist bei diesen Angaben zu berücksichtigen, daß die Intensitäten stark variieren. Nimmt man den Maximalwert von F(λ) bei 2000K als Bezugspunkt (etwa 6,9·109W/m3·sr), so beträgt die relative Intensität bei 1500K nur mehr 0,017 (etwa 1,2·108W/m3·sr) und bei 1000K sogar nur mehr 6,3·10-5 (etwa 4,4·104W/m3·sr). sp02 Definitionsgemäß ist ein schwarzer Körper ein Körper, der die Gesamtheit der auftreffenden Temperaturstrahlung absorbiert. Daher ist also sein Absorptionsverhältnis 1=α Nach dem Energieerhaltungssatz gilt 1=++ ταρ Da für die Temperaturstrahlung die durch das Transmissionsverhältnis charakterisierte Durchdringungsfähigkeit zumeist vernachlässigbar gering ist, kann für die meisten Fälle das Transmissionsverhältnis Null gesetzt werden.

0=τ Damit ergibt sich für das Reflexionsverhältnis des schwarzen Körpers: 0=ρ Nach dem KIRCHHOFFschen Strahlungsgesetz haben Körper mit einem hohen Absorptions-verhältnis auch ein gleich hohes Emissionsverhältnis. Daher gilt hier für den schwarzen Kör-per 1== αε Wärmeenergie liegt in Form von Schwingungsenergie der Atome bzw. Moleküle im Festkör-per, der Flüssigkeit oder dem Gas vor. Atome und Moleküle bestehen aber aus Ladungen, die daher bewegt (beschleunigt) werden und elektromagnetische Strahlung aussenden. Da elek-tromagnetische Wellen sich als periodisch verändernde elektrische bzw. magnetische Felder darstellen, sind sie ihrerseits auch in der Lage die Ladungen in einem Körper zu beschleuni-gen und daher Strahlungsenergie in Wärmeenergie umzuwandeln. Trifft Temperaturstrahlung auf einen Körper, so wird ihre Energie dort – wie oben beschrie-ben – in Wärmeenergie umgewandelt, die ihrerseits wieder als Strahlunsenergie emittiert wird. Da sich der Körper in einem thermodynamischen Gleichgewicht befindet, wird ebenso-viel Strahlungsenergie emittiert, wie absorbiert wurde (KIRCHHOFFsches Strahlungsgesetz). sp03 Um die von der Sonne abgegebene Gesamtstrahlungsleistung zu berechnen, muß man die O-berfläche der Kugelhülle um die Sonne im Bereich der Erdoberfläche bestimmen.

m10150

m10827,249

2232

⋅=

⋅==

SE

SE

d

dO π

dSE ist der Abstand zwischen dem Sonnen- und dem Erdmittelpunkt.

Mit einer Strahlungsleistungsdichte von 2kW/m4,1=P ergibt sich dann eine Gesamtstrah-lungsleistung von W10958,3 26⋅== OPPges

Nach dem EINSTEINschen Äquivalenzprinzip von Masse und Energie folgt für die durch die abgestrahlte Leistung hervorgerufene Massenverlustrate

20mcE =

169

kg/s104,4 92

0⋅==

c

Pm ges&

Nach t=10 Milliarden Jahre beträgt der durch Abstrahlung bedingte Massenverlust mv der Sonne kg10389,1 27⋅== tmmv &

Dieser Massenverlust macht 0,07% der derzeitigen Sonnenmasse aus. Damit errechnet sich die Sonnenmasse zu

kg1098,107,0

100 30⋅== vs mm

Nimmt man die Sonne als Kugel mit einer mittleren Dichte von ρ = 1400kg/m3 an, so erhält man für den Sonnendurchmesser

m1039,16 93 ⋅==ρπ

ss

md

An der Sonnenoberfläche beträgt die Temperatur T etwa 6000K. In der Sonnenmitte beträgt die Temperatur T0 etwa 15·106K. Mit der Annahme einer linearen Temperaturabnahme von der Sonnenmitte zur Oberfläche

( )2

0 10S

SdrxxTT =<<−= α

erhält man für den Temperaturgradienten:

K/m ,r

TTT

dxdTTgrad

S0200

0 =−

=⋅=−= α

170