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§1.2 基本概念. 一、常微分方程与偏微分方程. 定义 1: 联系自变量、未知函数及 未知函数导数 （或微分）的关系式称为微分方程. 例 1 ： 下列关系式都是微分方程. 1. 常微分方程. 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为 常微分方程. 如. 都是常微分方程. 2. 偏微分方程. 如果在一个 微分方程中 , 自变量的个数为两个或两个以上 , 称为 偏微分方程. 如. 都是偏微分方程. 注 : 本课程主要研究常微分方程 . 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 二、微分方程的阶. - PowerPoint PPT Presentation
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§1.2 基本概念
定义 1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程 .
; 2 )1( xdx
dy ; 0 (2) ydxxdy
; 0 )3(3
2
2
xdt
dxtx
dt
xd ; sin35 )4(2
2
4
4
txdt
xd
dt
xd
; )5( zy
z
x
z
. 0 )6(2
2
2
2
uzyxy
u
x
u
例 1：下列关系式都是微分方程
一、常微分方程与偏微分方程
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程 .
;2 )1( xdx
dy ; 0 (2) ydxxdy
;0 )3(3
2
2
xdt
dxtx
dt
xd
;sin35 )4(2
2
4
4
txdt
xd
dt
xd
都是常微分方程
1. 常微分方程
如
如果在一个微分方程中 , 自变量的个数为两个或两个以上 , 称为偏微分方程 .
; )5( zy
z
x
z
. 0 )6(2
2
2
2
uzyxy
u
x
u
注 : 本课程主要研究常微分方程 . 同时把常微分方程简称为微分方程或方程 .
2. 偏微分方程
如
都是偏微分方程 .
定义 2 ：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数 .
2 )1( xdx
dy
是一阶微分方程；
0 (2) ydxxdy
是二阶微分方程； 0 )3(3
2
2
xdt
dxtx
dt
xd
是四阶微分方程 . sin35 )4(2
2
4
4
txdt
xd
dt
xd
二、微分方程的阶
如 :
)1(0),,dx
dyy,F(x,
n
n
dx
yd
n 阶微分方程的一般形式为
.,,
,,,dx
dyy,x,0),,
dx
dyy,F(x,
是自变量是未知函数而且一定含有
的已知函数是这里
xydx
yd
dx
yd
dx
yd
n
n
n
n
n
n
2 )1( xdx
dy
是线性微分方程 .
0 (2) ydxxdy
sin35 )4(2
2
4
4
txdt
xd
dt
xd
三 线性和非线性
0),,dx
dyy,F(x,
n
n
dx
yd
如
.
,,,dx
dyy
阶线性方程则称其为
的一次有理式及的左端为
ndx
ydn
n
1. 如果方程
是非线性微分方程 .
如
32
2
' ' 2
(3) 0
y +e 2 cosy
d x dxtx x
dt dt
x y y x
和2.n 阶线性微分方程的一般形式
)2()()()(1
1
1 tfytadx
ydta
dx
ydnn
n
n
n
.)(),(),(1 的已知函数是这里 xxfxaxa n
不是线性方程的方程称为非线性方程
四 微分方程的解定义 4 :,),( 满足条件如果函数 Ixxy
;)()1( 阶的连续导数上有直到在 nIxy
,0))(),(),(,(:)2( ' xxxxFIx n 有对
.
0),,dx
dyy,F(x,(x)y
上的一个解在
为方程则称
Idx
ydn
n
例 2
.),(0y
cosxysinx,y" 上的一个解在
都是微分方程验证
y
证明 : 由于对 sinx,y
xsinycosx,y "' 有故对 ),,(
yy" xsin 0xsin.),(0ysinxy " 上的一个解在是微分方程故 y
.),(0yxcosy " 上的一个解在是微分方程同理 y
1 显式解与隐式解
是方程的一个则称的解
为方程所确定的隐函数如果关系式
0),(,
0),,dx
dyy,F(x,
Ix(x),y
0),(
yxdx
yd
yx
n
n
相应定义 4 所定义的解为方程的一个显式解 .
隐式解 .
注 : 显式解与隐式解统称为微分方程的解 .
例如y
x
dx
dy对一阶微分方程
有显式解 :
.11 22 xyxy 和
和隐式解 :
.122 yx
2 通解与特解
定义 5 如果微分方程的解中含有任意常数 , 且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同 , 则称这样的解为该方程的通解 .
例如 : 为任常数2121 ,ccosx,sinxy ccc
.0y" 的通解是微分方程 y
n 阶微分方程通解的一般形式为),,,( 1 nccxy
.,,1 为相互独立的任常数其中 ncc
注 1:
使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数
,),,,(
,),,,(
1
1
n
n
ccx
nccxy
0),,,(
),,,(
)1(
2
)1(
1
)1(
'
2
'
1
'21
21
)1('
n
nnn
n
n
n
n
ccc
ccc
ccc
ccc
.)(k
kk
dx
d 表示其中
例3
.62y2y
3cy'"'"
2321
的通解
是微分方程验证
yy
ecece xxx
xxx ecece 2321
' 2cy 证明 : 由于,4cy 2
321'' xxx ecece
xxx ecece 2321
''' 8cy
故 yy 2y2y '"'"
)2(c 2321
xxx ecece
)8(c 2321
xxx ecece )4(c2 2321
xxx ecece
)32(c 2321 xxx ecece
6
xe)c2cc2c( 1111 xecccc )22(- 2222
xecccc 23333 )228(8 6
.62y2y
3cy'"'"
2321
的通解
是微分方程故
yy
ecece xxx
又由于
3
''
3
''
1
''3
'
2
'
1
'321
ccc
ccc
ccc
6
4
22
2
2
xxx
xxx
xxx
eee
eee
eee
0
.62y2y
3cy'"'"
2321
的解微分方程
是故
yy
ecece xxx
注 2:
.
),,,(,
0),,,,(
),,,(
1
1
该微分方程的所有解包含了并不表示的通解
是微分方程的
n
n
n
n
ccxydx
yd
dx
dyyxF
ccxy
注 3: 类似可定义方程的隐式通解 ,
如果微分方程的隐式解中含有任意常数 , 且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同 , 则称这样的解为该 方程的隐式通解 .
以后不区分显式通解和隐式通解 , 统称为方程的通解 .
在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解 .
例如 .0ycosxysinx,y " 的特解都是方程 y
中分别取可在通解 cosxsinxy 21 cc
:,0,1c 21 得到 c
:,1,0c 21 得到 c
sinx,y
cosx.y
定义 6
3 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解 , 必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件 , 称为定解条件 .求满足定解条件的求解问题称为定解问题 .
常见的定解条件是初始条件 ,n 阶微分方程的初始条件是指如下的 n 个条件 :
)1(01
)1()1(
000 ,,,,xx
nn
n
ydx
ydy
dx
dyyy 时当
.1,,,, )1(0
)1(000 个常数是给定的这里 nyyyx n
当定解条件是初始条件时 , 相应的定解问题称为初值问题 .
注 1:n 阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(
010
)1()1(
00
00
)(,,
)(,)(
nn
n
ydx
xydy
dx
xdyyxy
通常记为问题的解的初值问题也称
满足条件阶微分方程求
,
)(,,
)(,)(
,0),,,,(:
)1(01
0)1(
)1(0
000
Cauchy
ydx
xydy
dx
xdyyxy
dx
yd
dx
dyyxFn
nn
n
n
n
注 2:
0),,,,( n
n
dx
yd
dx
dyyxF
)1(01
0)1(
)1(0
000
)(,,
)(,)(
nn
n
ydx
xydy
dx
xdyyxy
例 4
.1)0(,2)0(,
045yecy'
'"-4x21
的特解并求满足初始条件的通解
是方程验证
yy
yyce x
yy 45y '" "-4x
21 )ec( ce x
)e16c( -4x21 ce x
0
'-4x21 )ec(5 ce x )ec(4 -4x
21 ce x
)e4c(5 -4x21 ce x )ec(4 -4x
21 ce x
解 由于
且xx
xx
ee
ee4
4
4
2
'
1
'21
cc
cc
0
.045yecy '"-4x21 的通解是方程故 yyce x
有由初始条件 1)0(,2)0( ' yy
221 cc
14 21 cc
解以上方程组得 1,3 21 cc
的特解为
满足初始条件故方程
1)0(,2)0(
045y'
'"
yy
yy
-4xe3y xe
五 积分曲线和方向场
1 积分曲线
一阶微分方程 ),(dx
dyyxf
,(x)y 平面上的一条曲线所表示的解 xy
称为微分方程的积分曲线 .
.
,c)(x,y
族称这族曲线为积分曲线平面上的一族曲线对应而其通解 xy
2 方向场
),(dx
dy
,),(,),(
,),(,),(
yxfD
yxyxf
yxDDyxf
为方程有这种直线段的区域
称带点的线段中心在的值为斜率上一个以都画处内每一点在的定义域为设函数
在方向场中 , 方向相同的点的几何轨迹称为等斜线 .
所规定的方向场 .
.,),(,),(dx
dy为参数其中的等斜线为方程 kkyxfyxf
例 5 .dx
dy 的方向场研究方程 xy
例 6
.dx
dy
}2,2|),{(
的方向场和积分曲线
内画出方程在区域
y
yxyxD
积分曲线方向场
方程向量场的示意图 积分曲线
例 7 .dx
dy 2 的方向场和积分曲线研究方程 yx
习题： p15. 2(1、 3、 5) ； 3（ 1、 3、 5、 7 ）； 4
