2.1 2.1 导数的概念导数的概念

（ 1 ）了解导数、微分的几何意义；隐函数的求导方法；二阶导数；

（ 3 ）掌握导数的运算法则；复合函数的求导法则；导数的基本公式 ; 洛必达法则；

（ 2 ）理解导数、微分、极值、最值的概念；

（ 4 ）会求未定式的极限 ; 会求函数的极值与最大（小）值；会判断函数的单调性；

微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，而求导数是微分学中的基本运算 . 在本章中，我们主要讨论导数与微分的概念、它们的计算方法及其应用 .

曲线的切线的斜率、运动物体在某时刻的速度，其实质是对应函数中函数相对于自变量的变化率，即导数．以下介绍导数的定义 .

定义：设 y=f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0) 内有定

义 . 如果当 x0 时，

x

xfxxfxf

x

)()(lim)( 00

00

x

xfxxf

xy

)()( 00

的极限存在 , 则称这个极限值为 f (x) 在

x0 处的导数，记作 f ' (x0), 即

.d

)(ddd

,000 xxxxxx x

xfxy

y 或也可记为

一、导数的定义

x

xfxxfx

)()(lim 00

0存在，则称

f (x) 在 x0 可导 ( 或称 f (x) 在 x0 的导数

存在 ). 否则，称 f (x) 在 x0 不可导 ( 或称

f (x) 在 x0 的导数不存在 ). 特别

，不可导若 )( )()(

lim 00

0

xxfxxf

x

. )( 0 为无穷大的导数在也称 xxf

注 1. 若

;)()(

lim)( 00

00 h

xfhxfxf

h

若记 x=x0+x, 当 x0 时 , x x0,

;)()(

lim)(0

00

0 xx

xfxfxf

xx

特别，取 x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有

.)(

lim)0(0 x

xff

x

注 2. 导数定义还有其他等价形式 ,

注 3. 由于x

xfxxfxf

x

)()(lim)( 00

00

,)()(

lim)( 00

00 x

xfxxfxf

x

记 称为

f (x) 在 x0 的右导数 .

,)()(

lim)( 00

00 x

xfxxfxf

x

记 称为 f (x) 在 x0 的左导数 .

定理： f (x) 在 x0 可导 f (x) 在 x0 的左 ,

右导数存在且相等 .

注 4. 若 y = f (x) 在 (a, b) 内每点可导，则称 f (x)

在 (a, b) 内可导 . 称为 y = f (x) 的导函数 .

　　此时， x(a, b) 都有唯一确定的值 f '(x) 与

之对应，所以导数是 x 的函数 .

.d

)(d ,

d

d ,' ),(

x

xf

x

yyxf 记作

按定义， ). ,()()(

lim)(0

baxx

xfxxfxf

x

，

f ' (x) 就是 x 所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式 .

而 f '(x0) 就是 f '(x) 在 x= x0 处的函数值，即

0)(

)()(lim)( 00

00 xx

xxf

x

xfxxfxf

另外，求 是不变的，时，xx

xfxxfx

)()(lim

0

.x看作常量，变的是

用定义求导数一般可分三步进行 .

设 y = f (x) 在点 x 处可导

(1) 求 y=f (x+x) f (x)

(2) 求比值x

xfxxfxy

)()(

(3) 求极限 ).()()(

limlim00

xfx

xfxxfxy

xx

二、求导举例

例 1. 求 y = C ( 常数 ) 的导数 .

解： (1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0

(2) 0

x

y

(3) .0lim0

x

yx

故 (C )' = 0, 即常数的导数为 0.

例 2. 设 y = f (x) = x2 ，求 f '(x).

解： (1) y = f (x+x) f (x)

222 )(2 xxxxx

= (x+x)2 x2

2)(2 xxx (2) xx

x

y

2

(3) .2lim)(0

xx

yxf

x

　　 函数 y=f (x) 在 x0 处的导数 f '(x0) 就是曲线 y = f

(x) 在点 M(x0, f (x0) 处切线的斜率，即 k = f '(x0).

))(()( 000 xxxfxfy

法线方程为).0)(( ),(

)(

1)( 00

00

xfxx

xfxfy

一般 , 若 f '(x0) 存在 , 则 y=f (x) 在点 M(x0, f (x

0) 处切线方程为

三、导数的几何意义

如图

特别， (i) 当 f '(x0)=0 时，即 k = 0.

从而切线平行于

x 轴 . 因此，法线垂直于 x 轴 .

切线方程： y = f (x0).

法线方程： x = x0.

y=f (x)

0 x

y

M

f (x0)

x0

(2) 当 f '(x0)=( 不存在 ). 即 k = tg =. 故 2

从而切线垂直于 x 轴，而法线平行于 x 轴 .

切线方程： x = x0.

法线方程： y = f (x0).

如图 , 单位圆在 (1, 0) 处切线方程 : x = 1.

法线方程 : y = 0.

0x

y

1–1

例 3. 求曲线 y= 在 处的切线方程 .

解：把 代入 ，得到 y0 =4. 又因为 f ‘(x0)= 2

x0=4, 故直接用公式 y f (x0) = f ’(x0)(x x0) 即

可得到： .

:)4,2( 处切线方程为点 ).2(44 xy

2x

20 x

2x

2xy

.44 xy即

作业与思考作业与思考

复习思考题 复习思考题 P49 4 P49 4

作业题 作业题 P49:3, P49:3, 5 (1)(2)(4) 5 (1)(2)(4)

(6)(7)(10) (6)(7)(10)..