Captulo 2"La elipse y la hiprbola

12. Definicin." Se llama , al lugar geomtrico de los puntos de un plano cuya deelipse suma

distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos seacostumbran a llamar focos.

y

x

),( yxP

),(1 ocF ),(2 ocF

Ecuacin:

Considerando los focos sobre el eje y la distancia constante la denotaremos por\#+ + ! T B Csea un punto cualquiera que pertenece a dicho lugargeomtrico y sean y las coordenadas de los focosJ - ! J - ! - ! " #a b a bentonces de la definicin se tiene

TJ TJ #+" #

B - C B - C #+# # # # de donde se obtiene la ecuacin

- B + + B + - + C "# # % # # # # # # a b Ntese que en el tringulo se tiene queJ TJ" #

TJ TJ J J + -" # " #

Ahora de resulta a b" + - B + C + - +# # # # # # # # sea y en tal caso y de aqu, + - + - + , , B + C , +# # # # # # # # #

B C+ , " ## #

# # a b Discusin de la ecuacin y grficoa b# Intersecciones con los ejes coordenados

Interseccin con el eje de donde y son las\ B + Z + ! Z + !" #coordenadas de los vrtices, y la longitud del eje mayor que es #+

Interseccin con el eje de donde y son las] C , F ! , F ! ," #a b a bcoordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,

Simetras

Al sustituir por la ecuacin no vara lo que indica que la curva tieneB B #a bsimetra con respecto al eje analogamente si se sustituye por es decir la] C Ccurva es simtrica con el eje lo mismo sucede cuando se sustituyen a la vez \ Bpor e por la ecuacin no vara, luego tiene simetra con el origen B C C #a bde coordenadas, de aqu que el origen recibe el nombre de centro de simetra.

Dominio

Despejando en trminos de se tiene lo que nos conduceC B C + B ,+ # #

a: + B +

Recorrido

Despejando en trminos de se tiene lo que nos conduceB C B , C +, # #

a: , C ,

Concavidad

Ntese tambin que si lo que nos + B + + B + B, ,+ + # #

indica que la curva es cncava hacia abajo aC !

y

x1V

a

a

c c

b

2V

1B

2B

1F 2F

Elementos de una elipse:

1. Sean y los focos de la elipse, la recta que pasa por los focos se sueleJ J" #llamar eje focal en donde y J - ! J - ! - !" #a b a b

2. El eje focal corta a la curva en dos puntos y llamados vrtices, cuyasZ Z" #coordenadas son y Z + ! Z + !" #a b a b

El segmento del eje focal comprendido entre los vrtices, se llama eje$ Z Z " #mayor cuya longitud es El valor de se llama semieje mayor.#+ +

El punto medio del segmento que une los focos, se llama centro de simetra% Gde la curva

La recta que pasa por y es perpendicular al eje focal se llama eje normal.& G

6. El segmento del eje normal comprendido entre los puntos, se llama ejeF F " #menor cuya longitud es El valor de se llama semieje menor.#, ,

Cualquier recta que pasa por el centro de simetra se llama dimetro de la( Gelipse.

8. El segmento que pasa por un foco y corta a la elipse en los puntos y seE E" #llama cuerda focal.

9. Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la elipse se llamaradio focal.

10. Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado

recto, y su longitud es igual a #,+#

Por convenio, tomaremos siempre si es el caso , los"" + , "B C+ ,# #

# #

vrtices de la elipse yacen sobre el eje y si fuese los vrtices se\ "B C, +# #

# #

encuentran sobre el eje ]

Se define por excentricidad de la elipse al cuociente entre la distancia desde"# un foco al centro de simetra y la longitud del semieje mayor, es decir

note que siempre / / "-+

Observe que si la elipse tiende a una circunferencia y si la elipse/ ! / "tiende a un trazo.

" 2 2 Otra forma de la ecuacin de una elipse

Sea el punto el centro de simetra de una elipse, por tanto las ecuaciones de2 5traslacin paralela de los ejes coordenados son: e y laB B 2 C C 5w wecuacin de la elipse con respecto a los nuevos ejes cuyo origen es el punto\ ]w w2 5, es:

de donde B C B 2 C 5+ , + , " "w w # ## #

# # # #

Obsrvese que los vrtices son: y Z 2 + 5 Z 2 + 5" #y los focos: y J 2 - 5 J 2 - 5" #

y

x

1V

a

a

c c

b

2V1F 2F

h

k

Analogamente para el caso de

C 5 B 2

+ , "# #

# #

cuyo grfico esy

x

h

k

O

12.3 Definicin. Se llama , al lugar geomtrico de los puntos de un plano cuyahiprbola

diferencia de distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Lospuntos fijos se acostumbran a llamar focos.

y

x

),( yxP

),(1 ocF ),(2 ocF

Ecuacin:

Considerando los focos sobre el eje y la distancia constante la denotaremos por\#+ + ! T B Csea un punto cualquiera que pertenece a dicho lugargeomtrico y sean y las coordenadas de los focosJ - ! J - ! - ! " #a b a bentonces de la definicin se tiene

| |TJ TJ #+" #

B - C B - C #+# # # # de donde se obtiene la ecuacin

- B + + B + - + C "# # % # # # # # # a b Ntese que en el tringulo se tiene queJ TJ" #

lTJ TJ l J J - +" # " #

Ahora, de resulta a b" - + B + C - + +# # # # # # # # sea y en tal caso y de aqu, - + - + - , , B + C , +# # # # # # # # #

B C+ , " ## #

# # a b Discusin de la ecuacin y grficoa b# Intersecciones con los ejes coordenados

Interseccin con el eje de donde y son las\ B + Z + ! Z + !" #coordenadas de los vrtices.

Interseccin con el eje no tiene.]

Simetras

Al sustituir por la ecuacin no vara lo que indica que la curva tieneB B #a bsimetra con respecto al eje analogamente si se sustituye por es decir la] C Ccurva es simtrica con el eje lo mismo sucede cuando se sustituyen a la vez \ Bpor e por la ecuacin no vara, luego tiene simetra con el origen B C C #a bde coordenadas, de aqu que el origen recibe el nombre de centro de simetra.

Dominio

Despejando en trminos de se tiene lo que nos conduceC B C B + ,+ # #

a: B + B +

Recorrido

Despejando en trminos de se tiene lo que nos conduceB C B , C +, # #

a: _ C _

Concavidad

Ntese tambin que si lo que B + B + B + B +, ,+ + # #

nos indica que la curva es cncava hacia abajo aC !

y

x

a a

b

b

cc

1F 2F1V 2V

xy ab=

xy ab=

Elementos de una hiprbola:

1. Sean y los focos de la hiprbola, la recta que pasa por los focos se sueleJ J" #llamar eje real o trasverso en donde y J - ! J - ! - !" #a b a b

2. El eje real corta a la curva en dos puntos y llamados vrtices, cuyasZ Z" #coordenadas son y Z + ! Z + !" #a b a b

El valor de se llama semieje real. El valor de se conoce por semieje$ + ,conjugado o imaginario.

El punto medio del segmento que une los focos, se llama centro de simetra% Gde la curva

La recta que pasa por y es perpendicular al eje real se llama eje imaginario.& G

6 Cualquier recta que pasa por el centro de simetra se llama dimetro de la Ghiprbola.

7. El segmento que pasa por un foco y corta a la hiprbola en los puntos y E E" #se llama cuerda focal.

8. Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la hiprbola se llamaradio focal.

9. Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado

recto, y su longitud es igual a #,+#

0 Si es el caso , los vrtices de la hiprbola yacen sobre el eje " " \B C+ ,# #

# #

y si fuese los vrtices se encuentran sobre el eje C B+ , " ] # #

# #

1 Se define por excentricidad de la hiprbola al cuociente entre la distancia" desde un foco al centro de simetra y la longitud del semieje mayor, es decir

note que siempre/ / "-+

2 Las rectas se llaman asntotas de la hiprbola , en" C B ", B C+ + ,# #

# #

tanto que son las asntotas de la hiprbola C B "+ C B, + ,# #

# #

12 2 Otra forma de la ecuacin de una hiprbola

Sea el punto el centro de simetra de una hiprbola, por tanto las2 5ecuaciones de traslacin paralela de los ejes coordenados son:

e B B 2 C C 5w w

y la ecuacin de la hiprbola con respecto a los nuevos ejes cuyo origen es el\ ]w wpunto , es:2 5

de donde B C B 2 C 5+ , + , " "w w # ## #

# # # #

Obsrvese que los vrtices son: y Z 2 + 5 Z 2 + 5" #y los focos: y J 2 - 5 J 2 - 5" #

y

x

a a

b

b

cc

1F 2F1V 2V

)( hxky ab =

)( hxky ab =h

k

Note que las ecuaciones de sus asntotas son en este caso

C 5 B 2,+

Analogamente para el caso de

C 5 B 2

+ , "# #

# #

cuyo grfico esy

x

a

a

bb

c

c

1F

2F

1V

2V

)( hxky ba =

)( hxky ba =

h

k

12.3 Tangencia. La ecuacin de la tangente a la elipse o hiprbola en el puntoB C+ , "

# #

# #

T B C ! ! ! de ella es

B C! !B C+ , "# #

En efecto, T B C ! ! ! pertenece a estas curvas entonces B C+ , "! !# #

# # a b"sea C C 7B B #! ! a bla ecuacin de la tangente en cuestin, entonces efectuando la interseccin de estatangente con las curvas resulta

, B + C 7B B + ,# # # # #! !

imponiendo la condicin de tangencia resulta por tanto de? ! 7 , B+ C#

#!

!

se tiene de aqu ocupando se obtiene a b a b# C C B B ", B+ C! !## !!

B C! !B C+ , "# #

por supuesto que el signo " " para la elipse y el " " para la hiprbola

Para los casos de

B 2 C 5

+ , "# #

# #

las ecuaciones de las tangentes en T B C ! ! ! son respectvamente

B 2B 2 C 5C 5

+ , "! !

# #

la demostracin se deja propuesta.

12.4 Ecuacin general Una ecuacin de la forma

EB GC HB IC J ! "# # a b

Representa el lugar geomtrico de una elipse real, si y solo si

con y EG ! E G J H I%E %G# #

note que si y el lugar, es el de una circunferenciaE G %EJ H I # #

con y entonces el lugar se resume a un puntoEG ! E G J H I%E %G# #

con y entonces se dice que no hay un lugarEG ! E G J H I%E %G# #

geomtrico real

Para el caso de una hiprbola,

y entonces el lugar geomtrico es el de una hiprbolaEG ! J H I%E %G# #

real

y entonces el lugar geomtrico es el de rectas queEG ! J #H I%E %G# #

se cortan.

La demostracin de estas afirmaciones, se deja al estudiante.

12 5 Ejercicios Resueltos

1. Determine: vrtices, focos y las ecuacines de las asntotas de la hiprbola

#B C )B #C $ !# #

Solucin.

Completando cuadrados se obtiene de aqu seB # C "

# % "# #

deducen: y con lo que+ # , # - ' y Z # # " Z # # " J # ' " J # ' "" # " # y las ecuacines de sus asntotas C " #B #

2. Hallar la ecuacin de la elipse que pasa por el punto tiene su centro en el (# $ origen, su eje menor coincide con el eje y la longitud de su eje mayor es el\doble de la de su eje menor.

Solucin.

La ecuacin pedida es de la forma donde entoncesB, + " + #,

C## #

#

como el punto pertenece a la elipse se debe tenerB, %, "

C## #

# (# $ con lo que

(%# #

## #

, %, % "' " , % "* CB

3. Los vrtices de una hiprbola son los puntos y y su excentricidada b a b " $ $ $es . Hallar la ecuacin de la hiprbola, las coordenadas de sus focos y las

$#

longitudes de sus ejes transverso, conjugado y de cada lado recto.

Solucin. Ntese que su centro de simetra es el punto entonces su ecuacin es de laa b" $forma

, donde B " C $

+ , " + %# #

# ##

como entonces / , & "- + , $ B " C $+ + # % & # #

## #

Ahora como y - $ J # $ J % $" #Longitud del eje trasverso longitud del eje conjugado y la#+ % #, # &longitud de cada lado recto

#,+

% Hallar la ecuacin de la hiprbola que tiene por focos y vrtices los vrtices y focos

de la elipse , y luego encuentre las ecuaciones de sus asntotas.B C#& * "# #

Solucin.

x

4 4

3

3

55

1V 2V

xy 43=

xy 43=

Para la elipse y + #& , * - "'# # #

Para la hiprbola 16 y + - * , "'# # #

Por tanto la ecucin pedida es B"' * "

C# #

Las ecuaciones de sus asntotas son C B$%

5. Demostrar que el tringulo formado por una tangente cualquiera a una hiprbola ysus asntotas tiene un rea constante

Demostracin.

Sin perder generalidad se puede tomar la hiprbola de ecuacin B+ , "

C## #

#

y

x

a

b

c

1F

2F1V

xy ab=

xy ab=

0P

A

B

O

Sea que pertenece a la hiprbola, entonces T ? @ " "?+ ,@

!#

# #

#a b a b La ecuacin de la tangente en est dada por T , ?B + @C + , #! # # # # a b

Las ecuaciones de las asntotas son: C B $,+ a bResolviendo el sistema formado por y obtenemos las coordenadas de a b a b# $ Ey es decirF

y E F + , +, + , +,?, @+ ?, @+ ?, @+ ?, @+# # # #

Ahora, el rea del tringulo est dado porSEF

E

6. Demuestre que la normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos, es bisectrizdel ngulo formado por los radios vectores de ese punto.

Solucin. No se pierde generalidad al tomar la elipse cuya ecuacin es

, B + C + , "# # # # # # a b Sea la normal a la elipse en un punto de la curva.( T ? @!a b

0P

1F 2F x

y

Sean el ngulo formado por y y el ngulo entre y , vamos! ( " (J T J T" ! # !a demostrar que ! "

Sabemos que la ecuacin de la tangente en est dada por T , ?B + @C + ,! # # # #

en que su pendiente es por tanto 7 7 , ? + @+ @ , ?># #

# #(

Por otra parte las pendientes de los radios vectores y sonJ T J T" ! # !respectivamente y entonces @ @? - ? -

>1

@ + @? - , ?

" @ + @? - , ?

, ?@ + ?@ + -@, ? , -? + @!

#

##

#

# # #

# # # # #

imponiendo la relacin y la condicin - + , , ? + @ + ,# # # # # # # # #

y simplificando resulta >1 "-@,! # a bAnalogamente se obtiene tambin que >1 #-@," # a bPor tanto por y se tiene a b a b" # ! "

7. Demostrar que las tangentes a la elipse y a la circunferencia, B + C + ,# # # # # #

en y respectivamente, se cortan en unB C + T ? @ U ? @ ? !# # # ! " ! #a bmismo punto sobre el eje \

Demostracin. Las tangentes respectivas en los puntos indicados son.

y , ?B + @ C + , ?B @ C +# # # # #" #

intersecando cada una con el eje se obtiene el punto en ambos casos.\ !+?#

8. Demostrar que las tangentes a la elipse en una direccin , B + C + , 7# # # # # #son:

C 7B 7 + , # # # Demostracin.

Sea el haz de rectas tangentes dadas por: intersecando con la elipseC 7B 8dada se tiene , + 7 B #78+ B + 8 , !# # # # # # # #

Ahora, imponiendo la condicin de tangencia resulta !

%7 8 + % , + 7 + 8 , !# # % # # # # # #

de donde resolviendo para se obtiene luego la tangente es8 8 7 + , # # # .C 7B 7 + , # # #9. Determine el lugar geomtrico de los puntos desde donde se puedan trazar

tangentes perpendiculares entre si a la elipse ., B + C + ,# # # # # #

Solucin.

Sean las tangentes a la elipse dada en cierta direccinC 7B 7 + , # # #7 7 ! C ,B +7 7con y sus perpendiculares sern de la forma

## #Eliminando el parmetro entre ambas familias, obtenemos los puntos de7interseccin, que es el lugar geomtrico en cuestin

De la primera se obtiene C 7B 7 + , # # # De la segunda se obtiene B 7C 7 , + # # # De donde elevando al cuadrado cada una y sumando miembro a miembro se tiene

" 7 C " 7 B + " 7 , " 7 # # # # # # # #

y de aqu resulta la circunferencia con centro en el origen y radio es+ ,# #decir que es la ecuacin del lugar geomtrico pedido.B C + , # # # #

10. Encontrar la ecuacin del lugar geomtrico de las proyecciones de los focos de laelipse sobre las tangentes a la misma en una direccin , B + C + , 7# # # # # #con dada.7 !

Solucin. Sabemos que la familia de tangentes a la elipse dada en cierta direccin estn7dadas por

C 7B 7 + , C #7BC 7 B + 7 , " a b# # # # # # # # # Las perpendiculares a estas tangentes porlos focos, estn dadas por

C B - 7C B - 7 C #7BC B - + ,"7# # # # # #

Eliminando el parmetro entre esta ltima ecuacin y se obtiene la ecuacin7 "a bdel lugar geomtrico pedido, que resulta ser B C + # # #

11. El punto medio de la cuerda de una elipse es Hallar la ecuacin de la cuerda,a b& # si la elipse tiene por ecuacin B %C 'B )C $ !# #

Solucin. Sea la ecuacin de la cuerda en cuestin, intersecando con laC # 7B &ecuacin de la elipse dada, obtenemos:

" %7 B )7 %!7 'B "!!7 %!7 $ !# # # #

sabemos que si y son las races de sta ltima ecuacin, se cumple queB B" #

por otra parte tambin 10B B B B )7 %!7 '" %7" # " ##

#

entonces, de aqu se obtiene por' %!7 )7 "!" %7 7 "## #

tanto la ecuacin de la cuerda resulta ser C # B &"#

12. Sea la tangente en a la elipse . Sean y las6 T ? @ , B + C + , X Xa b # # # # # # " #intersecciones de con las tangentes trazadas desde los vrtices de la elipse.6Demostrar que la circunferencia que tiene por dimetro el trazo pasa por losX X" #focos

Demostracin.y

x1T

2T),( vuP

1F 2F

Primero determinamos las coordenadas de y intersecando la ecuacin de X X " #la tangente en que est dada por con deT , ?B + @C + , B +# # # #

donde resultan: y X + " X + " , ? , ?@ + @ +"# # 2

Por otra parte la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos y X X" #diametralmente opuestos, esta dada por

B +B + C " C " !, ? , ?@ + @ +# #

Esta circunferencia cuando corta al eje se debe tener as resultaB C !

pero como satisface la ecuacin de laB + " ! T ? @, ?@ +# #

% #

# # a belipse, entonces as se tiene, ? + @ + , " ? @+ ,

# # # # # ## #

# #

luego la circunferencia pasaB + , ! B + , - B -# # # # # # #

por los focos.

13. Demuestre que el producto de las distancias desde los focos de una elipse, a unatangente cualquiera de ella, es constante.

Demostracin.

),( vuP

OA x

y

1F 2F

Sabemos que la ecuacin de la tangente en el punto de la elipse, estT? @dada por , por tanto las distancias y desde los focos, ?B + @C + , . .# # # # " #J - ! J - !" #a b a by son:

y . . l -?, + , l l-?, + , l? , @ + ? , @ +

"# # # # # #

# % # % # % # % 2 As,

pero y . . , ? + @ + , - + ,l- ? , + , l? , @ +" ## # % % %

# % # %# # # # # # # # #

Entonces,

. . , , ,l- ? + l l- ? + l l- ? + l? , + ? , " + ? , + ? +" #

# # ## # % # # % # # %

# # % # # %@ ?, +

# # % # ## ## #

, , ,l- ? + l + - ?? , + + - ? +# # #

# # % % # #

# # # % # # %

14. Determinar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto a laa b$ "elipse cuya ecuacin es: #B $C B C & !# #

Solucin. Las ecuacines de la tangentes mencionadas son de la forma intersecando con la elipse se obtiene:C " 7B $

# $7 B ")7 (7 "B #(7 #"7 " !# # # #

Imponiendo la condicin de tangencia !

")7 (7 " %# $7 #(7 #"7 " !# # # #

resolviendo para se obtiene: con lo que resultan7 7 " 7 *"*"" #

y B C # ! *B "*"C #") !

15. Los extremos de la base de un tringuloson los puntos y Hallar laE ! ! F $ ! a b a becuacin del lugar geomtrico del vrtice si se mueve de modo que el ngulo deGla base es siempre igual al doble del ngulo GFE GEF

Solucin.

),( yxC

2A B x

y

De la figura se tiene que: parmetro>1 >1 # !C CB $ B! ! !

Eliminando el parmetro se obtendr la ecuacin del lugar geomtrico del!vrtice GSabemos que

>1 # B " "#>1 C C" >1 $ B $

#CB

" CB

! !!# ##

##

Se trata de una hiprbola centrada en el punto a b" !

16. Probar que la normal en a la hiprbola equiltera esa b? @ B C +# # #@B ?C #?@

Prueba. La tangente en est dada por la ecuacin por tanto sua b? @ ?B @C +#pendiente es entonces la pendiente de la normal en dicho punto resulta7 ?@>

7 @?(

Por tanto la ecuacin de la normal en dicho punto es de aquC @ B ?@?se tiene @B ?C #?@

17. Demostrar que en una hiprbola equiltera la distancia de un punto de ella , alcentro de simetra es media proporcional geomtrica entre sus distancias focales.

Demostracin.y

x

a

a

c

1F 2F

xy = xy =

),( yxP

o

La ecuacin de la hiprbola es y se cumple que B C + - #+# # # # #

De la figura , ST B C# # #

TJ TJ B - C B - C " # # # # #"#

B C - #- B C # # # % # # # "# pues B C ST - #- B C !# # # % # # #

18. Demostrar que la parte de la normal de una hiprbola comprendida entre los ejes

coordenados queda dividida por la curva en la razn +,#

#

Demostracin.

yx

a

b1P ),( vuP

A

BO

Vamos a demostrar que

TE T ETF T S ,

+""

#

#

Determinemos las coordenadas de para lo cual obtenemos la ecuacin de laEnormal en el punto de tangencia que esT ? @ a b

intersecando con el eje resulta@+ B ?, C ?@+ , C# # # #

por otra parte note que entonces se tieneE ! @ T ! @+ ,, # ## " luego T E @ @ T S @ + , + @ +, , T S ,

T E" "

# # # #

# # #"

"

19. La tangente en un punto de la hiprbola corta al ejeT , B + C + ,# # # # # #transversal en y la recta corta en a la tangente en demostrar queX ST V EVX TEes paralela a

Solucin.y

x

a

b),( vuP

A

R

TO

Sabemos que la tangente en a la hiprbola est dada por,T ? @a b

intersecando con el eje se tiene ahora, ?B + @C + , B X ! +?# # # #

# intersecando con la recta cuya ecuacin es , resultaB + ST C B@?

V + + 7 7 VX llTE@ @? ? +

@?+

+ +?

entonces por tanto VX EX#20. Sea una cuerda cuyo punto medio es de la hiprbola , Hallara b% " B $C '# #

su ecuacin.

Solucin. Sea la ecuacin de la cuerda intersecando con la hiprbola seC " 7 B %a btiene: a b" $7 B #%7 '7B %)7 #%7 * !# # # #de aqu se sabe que de donde luegoB B B B %#%7 '7 "" $7 #" # " #

#

#

por tanto es la ecuacin en% 7 C " B %"#7 $7 % %" $7 $ $#

# a bcuestin.

21. Desde el foco de la hiprbola se traza una perpendicular a una, B + C + ,# # # # # #de sus asntotas. Demostrar que su pie tiene las distancias y al centro de+ ,simetra y al foco de la hiprbola respectivamente.

Demostracin.y

x

a

b

)0,(1 cF

1d 2d

O

La ecuacin de la asntota que se muestra en la figura es por tanto,B +C !

. ,l, - + !l ,-+ , -

# # # La recta por el foco y perpendicular a la asntota es de aquC B -+,

obtenemos con lo que+B ,C +- !

. +l+ ! , ! +-l +-+ , -

" # #22. Desde el foco de una hiprbola, como centro se describe una circunferencia con

radio igual al semieje conjugado. Demostrar que sta circunferencia es tangente alas asntotas en los puntos que cortan a la directriz.

Demostracin.

La ecuacin de la circunferencia mencionada es y lasa bB - C ,# # #ecuaciones de las asntotas son: efectuando la interseccin con laC B,+circunferencia se tiene y resolviendo a bB - B , B , ++ -# # ## # #C +,- solo dos interseccciones una por cada asntota y adems es tangente enlos puntos de interseccin con la directriz pues recordemos que su ecuacin es

B +-#

.

23. Bajo que ngulos se cortan la hiprbola equiltera y la circunferenciaB C +# # #B C *+ # # #

Solucin. Efectuando la interseccin de ambas curvas obtenemos 4 puntos, que son:

y T &+ #+ T &+ #+ T &+ #+ T &+ #+" # $ % basta considerar determinamos las tangentes a ambas curvas en este punto, esT "decir

> &+B #+C + 7 &"#" "#

> &+B #+C *+ 7 &"## ##

Luego el ngulo en cuestin estar dado por

>1 % & )$ '#7 7" 7 7) )# "

# "

24. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hiprbolaB C +# # # a sus asntotas es constante.

Solucin.Sea un punto cualquiera de la hiprbola, entonces:T B C! ! !a b

. . + lB C l lB C l l B C l "# # # #

" #! ! ! !

# #! ! # pues T! pertenece a la

hiprbola.

25. Determine la ecuacin de la hiprbola sabiendo que sus asntotas son las rectasB C " ! C B $ ! ]cuyo eje real es paralelo al eje y que pasa porel punto a b! %

Solucin. El centro de simetra de la hiprbola en cuestin, est en la interseccin de susasntotas, dado por la solucin de B C " ! C B $ !que resulta ser as la ecuacin pedida esa b " #

C # B "

+ , "# #

# #

pero como , y como la hiprbola pasa por el puntoC B $ " + ,+,a b! % " , $% # ! ", ,# ## # # As resulta la ecuacin dada por

C # B "$ $ "

# #

26. Hallar e identificar la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al eje es siempre igual a la mitad de su distancia al] punto Grafique la curva.a b$ #

Solucin.

2

3

),( yxP

O

Y

X

Y

X

2

1

debe cumplirT B Ca b lBl B $ C # "B " C #% "#

"#

# ## #

Se trata de una hiprbola de centro de simetra G " #a b

12 6 Ejercicios Propuestos

1. Hallar la ecuacin de la elipse que pasa por el punto y tiene una " $$#excentricidad de

#&

Respuesta. %B #!C "$*# #

2. Los puntos y son los focos de una elipse y la longitud dea b a b$ ! $ !cualquiera de sus lados rectos es Hallar la ecuacin dela elipse.*

Respuesta. #(B $'C "!&$# #

3. Si es un punto cualquiera de la elipse Demostrar queT? @ , B + C + , # # # # # #los radios vectores son: y < + /? < + /?" #

% Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos que dividen a las ordenadasde los puntos de la circunferencia en la razn B C "' " %# #

Respuesta. .B #&C "'# #

5. Una elipse est centrada en el origen y su eje mayor coincide con el eje HallarBsu ecuacin sabiendo que pasa por los puntos y ' " # #

Respuesta. .B #C )# #

6. La base de un tringulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos ya b! !a b' ! Hallar e identificar la ecuacin del lugar geomtrico del vrtice opuesto quese mueve de modo que el producto de las tangentes de los ngulos de las bases essiempre igual a %

Respuesta. .%B C #%B !# #

7. Los extremos de un dimetro de la elipse son y Si , B + C + , T T J# # # # # # " #es uno de los focos de la elipse. Demostrar que la suma de los radios vectores JT"y es igual a la longitud del eje mayor.JT#

8. Si es un nmero positivo. Demostrar que la ecuacin representa5 $B %C 5# #

a una familia de elipses, cuya excentricidad es ."#

9. El centro de una elipse es el punto el vrtice y el foco de un mismo ladoa b# % del centro son los puntos y respectivamente. Hallar laa b a b # % " %ecuacin de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada ladorecto.

Respuesta.

( B # "' C % ""# / !(& #, # ( (#a b a b # #10. Dada la elipse determine:B %C 'B "'C #" !# #

La ecuacin cannica, su centro de simetra, vrtices, focos, longitudes de sus ejesmayor y menor, longitud de su lado recto y excentricidad.

Respuesta.

a b a b a b a b B $ % C # % $ # & # " # $ $ # # # $ $ # % # " $#y

11. Desde cada punto de la circunferencia se traza unaB C %B %C ) !# #perpendicular al dimetro paralelo al eje Hallar la ecuacin del lugar gemtricoBde los puntos medios de estas perpendiculares.

Respuesta. B %C %B "'C % !# #

12. Demostrar que las tangentes a una elipse trazadas desde los extremos de undimetro cualquiera son paralelas entre si.

13. Desde el punto se trazan paralelas a la elipse a b# ( #B C #B $C # !# #Hallar las coordenadas de los puntos de contacto.

Respuesta.

a b " " "$ #** *14. Hallar las ecuaciones de las tangentes a a elipse y$B C %B #C $ !# #

que son perpendiculares a la recta B C & !

Respuesta. B C " ! $B $C "$ !

15. Hallar la ecuacin de la tangente trazada desde el punto a la elipsea b? @

Note que no pertenece a la elipse., B + C + , ? @# # # # # # a b Respuesta.

, ?B + @C + ,# # # #

16. Demostrar que las tangentes a una elipse en dos puntos diametralmente opuestos,son paralelas.

17. Para que valores del parmetro los puntos de la forma se encuentran> " > #>a ben el interior de la elipse.

Respuesta.

" > %&

18. Dadas: la elipse , la circunferencia y la recta, B + C + , B C ,# # # # # # # # #C : ! C R Usta ultima interseca al eje en el punto a la circunferencia en y a la elipse en Demostrar que se verifica T RT +RU ,

19. Si y son puntos de las circunferencias inscrita y exinscrita a una elipse, deU U wmodo que un punto de la elipse tiene la ordenada de y la abscisa de T U U wDemostrar que la recta pasa por el origen de coordenadas.UU w

20. El punto medio de una cuerda de la elipse es , B + C + , ? @# # # # # # a bEncontrar la ecuacin de la cuerda.

Respuesta.

C @ B ?, ?+ @#

#

21. Demostrar que el mdulo de la pendiente, de las tangentes trazadas desde el puntodonde un lado recto corta a la elipse es igual a su excentricidad.

22. El lado recto de una elipse corta a ella en se traza una cuerda por el focoVJ - ! ! , T"a b y por el punto que corta en a dicha elipse. Demostrar que

J T J VJ F J V" "

" #

siendo el otro foco.J#

23. Demostrar que en toda elipse, la suma de los cuadrados de dos semidimetrosconjugados es igual a la suma de los cuadrados de los dos semiejes.

24. Un segmento de longitud unidades se desliza de forma que sus extremos seEF 'apoyan sobre los ejes cartesianos rectangulares. Entre los puntos y se elige unE Fpunto tal que Determine el lugar geomtrico descrito por TE #TF T

Respuesta. "'B %C '%# #

25. Desde un punto cualquiera de una elipse se trazan las rectas que la unen a losvrtices y Estas rectas cortan al eje en los puntos y Probar queE E FF Q Rw wSQ SR ,#.

26. Hallar la ecuacin de la hiprbola que pasa por los puntos y tienea b a b$ # ( ' su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje B

Respuesta. %B &C "'# #

27. Los vrtices de una hiprbola son los puntos y si sus focos sona b a b# ! # !a b a b$ ! $ ! y hallar su ecuacin y su excentricidad. Respuesta.

&B %C #! " #

28. Los vrtices de una hiprbola son los puntos y y la longituda b a b # # # %de su lado recto es Hallar su ecuacin, las coordenadas de sus focos y su# excentricidad.

Respuesta.

$ C " * B # #( # " $ # " $ $#$a b a b # #29. Dada la hiprbola Determine: los focos, sus asntotas y el rea#&B $'C *!!# #

del tringulo determinado por las asntotas y la tangente en el vrtice Z ' !

Respuesta.

J '" ! J '" ! 'C &B $!" # 30 Dada la hiprbola determine: B %C 'B "'C #" !# #

Su ecuacin cannica, su centro de simetra, vrtices, focos, asntotas , longitud desu lado recto y excentricidad.

Respuesta.

% C # B $ "' $ # $ ! " # $ # & a b a b a b a b # # $ # & #C % B $ %

31. Si es un nmero positivo. Demostrar que la ecuacin representa5 $B $C 5# #a una familia de hiprbolas, cuya excentricidad es .#

32. Hallar los puntos de interseccin de la recta con las asntotas de#B *C "# !la hiprbola %B *C ""# #

Respuesta. a b a b$ # "& "

33. Demostrar que si las asntotas de una hiprbola son perpendiculares entre si, lahiprbola es equiltera.

34. Hallar la ecuacin de una hiprbola equiltera que pasa por el punto ya b " &tiene por asntotas a los ejes coordenados.

Respuesta. BC &

35. Demostrar que la distancia de cualquier punto de una hiprbola equiltera a sucentro es media proporcional geomtrica entre las longitudes de los radios vectoresdel punto.

36. La excentridad de la hiprbola es Si la excentricidad de su, B + C + , / # # # # # # "hiprbola conjugada es Demostrar que / / / , +# " #

37. Si es el ngulo agudo de inclinacin de una asntota de la hiprbola!, B + C + , =/- # # # # # #. Demostrar que su excentricidad es igual a

38. Demostrar que si una recta es paralela a una asntota de una hiprbola, corta a lacurva solamente en un punto.

39. La base de un tringulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos ya b! !a b% ! Hallar e identificar el lugar geomtrico del vrtice opuesto si uno de losngulos de la base es siempre igual al doble del otro.

Respuesta. $B C "'B "' ! $B C )B !# # # #

40. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hiprbola B #C %B )C ' !# #que son paralelas a la recta %B %C "" !

Respuesta. B C " ! B C " !

41. Hallar el ngulo formado por las tangentes trazadas desde el punto alaa b$ 'hiprbola B C %B #C & !# #

Respuesta. '.#$ #$

42. Demostrar que la elipse y la hiprbola son#B C "! %C B %# # # #ortogonales entre s, en sus puntos de interseccin.

43. Demostrar que la pendiente de la tangente a una hiprbola en cualquier extremo desus lados rectos, es numericamente igual a su excentricidad.

44. Demostrar que el punto de contacto de cualquier tangente a una hiprbola es elpunto medio del segmento de tangente comprendido entre las asntotas.

45. En cualquier punto excepto uno de sus vrtices de una hiprbola equiltera, seT traza una normal que corta al eje focal en el punto Si es el centro de simetraU Sde la hiprbola, demostrar que lST l lTUl

46. Demostrar que en una hiprbola equiltera dos dimetros ortogonales tienenlongitudes iguales.

47. Por un punto de una hiprbola se traza una recta paralela al eje transversal yT 6sta recta corta a las asntotas en los puntos y demuestre que se cumple queU VTU TV + 6 TU TV , # #y cuano es paralela al eje conjugado se verifica

48. Sean dos hiprbolas equilteras y concntricas de modo que los ejes de una de ellassean las asntotas de la otra. Demostrar que las hiprbolas se cortan ortogonalmente.

49. Estudiar para que valores de la ecuacin representa+ , - BC +B ,C - !a una hiprbola con asntotas paralelas a los ejes coordenados

50. Determinar el rea de un rectngulo formado por las perpendiculares bajadas desdelos focos de la hiprbola a una tangente cualquiera de ella., B + C + ,# # # # # #

51. Una tangente a una hiprbola se prolonga hasta sus puntos de interseccin con susasntotas. Encuentre la magnitud siendo y los puntos deST ST T T" # " #interseccin y el centro de la hiprbola. S

52. Si las asntotas de una hiprbola forman un ngulo de , demuestre que#=

>1 / "= #donde es su excentricidad./

53. Hallar la ecuacin de la hiprbola que tiene por focos y vrtices los vrtices y focosde la elipse respectvamente.%B *C %)B (#C "%% !# #

Encuentre las asntotas de la misma. Grafique ambas cnicas.

54. Determine la ecuacin de la elipse que tiene por vrtices los puntos de interseccinde las asntotas de la hiprbola con el eje *B %C $'B $#C '% ! ] # #

y que pasa por el punto $$ $#

55. Determine las coordenadas de los puntos, en los cuales la tangente a la elipse:B % C % C B# # sea paralela a la recta

Respuesta.

B C % "& &

! ! 56. Por el punto se trazan tangentes a la elipse T # ( #B C #B $C #a b # #

Hallar las coordenadas de los puntos de contacto.

Respuesta.

a b " " "$ #** *57. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse que$B C %B #C $ !# #

son perpendiculares a la recta B C & !

Respuesta. B C " $B $C "$ !

58. Dados los focos y y la longitud del eje mayor que es 8,J # $ J # ""a b a bobtener la ecuacin y los elementos de la elipse.

Respuesta. "#B %BC "&C )B '!C ""' !# #

59. Una circunferencia mvil es tangente a las circunferencias:G B C %B ! G B C "'B $' !" ## # # #; Identifique el lugar geomtrico que describe el centro de la circunferencia mvil.

Respuesta. $B %C $!B $$ !# #

60. Encuentre la ecuacin de la tangente a la hiprbola

B #C #B )C $ !# #

en el punto Determine tambin las ecuaciones de sus asntotas.a b" % Respuesta.

B #C ( ! #C % # B " a b