HIPERBOLADisusun dalam Rangka Memenuhi Tugas

Mata Kuliah Geometri Analitik Bidang

Oleh:

RIA ANGRIANI : 11.05.0.117

MULYANI NOVITA : 11.05.0.109

DEVIANTI SARMILI : 11.05.0.154

UCI ABRIANI : 11.05.0.116

HENDRI DARMAWAN : 11.05.0.123

SITI RAISAH : 11.05.0.129

LENI FARINAWATI : 11.05.0.128

SUMIYATI : 11.05.0.142

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN BATAM

2012

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang

berjudul “Hiperbola”.

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas mata kuliah

Statistik . Dalam penulisan makalah ini penulis banysak dapat bimbingan, arahan dan

bantuan dari dosen kami Bapak Abdul Rahman, S.Si Semoga bimbingan, arahan dan

bantuan yang Bapak berikan menjadi amal ibadah dan mendapat imbalan dari-Nya.

Penulis menyadari makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu

penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca yang bersifat

membangun. Harapan penulis semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca.

Batam, November 2012

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Hiperbola dan ellips ini sangat erat hubungannya, khususnya pada bentuk

persamaannya. Parabola, hiperbola dan ellips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari

kerucut.

Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika

kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka

terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara

vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola. Jika mengirisnya memotong alasnya dan

memotongnya tidak secara vertikal, maka terbentuk suatu parabola.

1.2 Tujuan Penulisan MakalahAdapun tujuan dilakunkanya penulisan makalah ini adalah:

1. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian hiperbola.

2. Mahasiswa dapat memahami penghitungan menggunakan hiperbola

3. Bahan kajian mahasiswa mengenai ilmu geometri, khususnya mengenai hiperbola. 

BAB IIBAB II

PEMBAHASANPEMBAHASAN

22.1. Persamaan Hiperbola Bentuk Baku.1. Persamaan Hiperbola Bentuk Baku

Hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) pada bidang sedemikian hingga

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik

fokus (foci) adalah tetap.

Untuk menentukan persamaan hiperbola, misalkan kita pilih titik-titik fokus F

dan F’ terletak pada sumbu-x. Sedangkan sumbu-y diletakkan di tengah-tengah

segmen garis FF’.

Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan

selisih jarak konstan tertentu adalah 2a. (lihat gambar 5.1).

y

Q(x, y) P(x, y)

F’(-c, 0) F(c, 0) x

Gambar 2.1

Jika (x, y) merepresentasikan titik pada hiperbola, maka dari definisi diperoleh

– = 2a

– = 2a

= + 2a

(x + c)2 + y2 = (x – c)2 + y2 + 4a + 4a2

x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 – 2cx + c2 + y2 + 4a2 + 4a

-4a2 + 4cx = 4a

-a + =

= -a +

x2 – 2cx + c2 + y2 = a2 – 2cx +

x2 – y2 = c2 – a2

– = 1

Dalam segitiga PFF’ terlihat bahwa

< +

– <

2a < 2c

a < c

c2 – a2 > 0

Karena c2 – a2 adalah positif, maka bisa diganti dengan bilangan positif lain,

sebut b2 sehingga

– = 1

dimana b2 = c2 – a2. Ini merupakan bentuk baku persamaan hiperbola.

Kedua sumbu koordinat – sumbu-x dan sumbu-y adalah sumbu simetri pada

hiperbola dan (a, 0) adalah titik-titik potong dengan sumbu-x. Dalam hal ini tidak

memotong sumbu-y, sebab untuk x = 0 diperoleh

– = 1,

yang mana tidak ada bilangan real y yang memenuhi persamaan di atas.

Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu tranversal

(transverse axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan (conjugate axes). Titik potong

hiperbola dengan sumbu trasversal disebut titik ujung (dalam hal ini (a, 0)) dan

perpotongan kedua sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik

ujung adalah 2a dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu minor.

Dalam hal ini panjang sumbu mayor tidak harus lebih besar dari sumbu minor. Hal

ini berbeda pada persamaan ellips. Sketsa grafik persamaan hiperbola – = 1

dan posisi titik-titik (a, 0), (c, 0), dan (0, b) dapat dilihat pada gambar 6.2

berikut.

y

(0, b)

(-a, 0) (a, 0)

F’(-c, 0) F(c, 0) x

(0, -b)

Gambar 2.2

Garis ax by = 0 disebut persamaan garis asimtotik dari hiperbola – = 1.

Teorema 2.1:

Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (c, 0) dan titik-

titik ujung (a, 0) jika dan hanya jika memenuhi persamaan

– = 1

dimana b2 = c2 – a2.

Peranan sumbu-x dan sumbu-y dalam bentuk grafik akan dinyatakan dalam

teorema berikut.

Teorema 2.2:

Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (0, c) dan titik-

titik ujung (0, a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan

– = 1

dimana b2 = c2 – a2.

Dari teorema 2.1 dan 2.2 di atas, bahwa sumbu mayor sejajar dengan sumbu

yang variabelnya berharga positif.

Contoh 1:

Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan – = 1

Jawab:

Jika kita perhatikan terlihat bahwa a2 = 9, b2 = 16, dan c2 = a2 + b2 = 25.

Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (3, 0), dan titik fokus

(5, 0). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 3x 4y = 0.

Panjang sumbu mayor = 6 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 8.

Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar 2.3 dibawah ini.

y

(0, 4)

(-3, 0) (3, 0)

F’(-5, 0) F(5, 0) x

(0, -4)

Gambar 2.3

Contoh 2:

Selidiki dan buat sketsa grafik persamaan 16x2 – 9y2 + 144 = 0.

Jawab:

Kita ubah persamaan 16x2 – 9y2 + 144 = 0 ke dalam bentuk baku, yaitu

16x2 – 9y2 + 144 = 0

9y2 – 16x2 = 144

– = 1

Dari persamaan terakhir terlihat bahwa a2 = 16, b2 = 9, dan c2 = a2 + b2 = 25.

Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (0, 4), dan titik fokus

(0, 5). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 4x 3y = 0.

Panjang sumbu mayor = 8 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 6.

Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar 2.4 dibawah ini.

y

F(0, 5)

(0, 4)

(-3, 0) (3, 0)

x

(0, -4)

F’(0, -5)

Gambar 2.4

Contoh 3:

Tentukan persamaan hiperbola yang fokus (4, 0) dan titik-titik ujung (2, 0).

Jawab:

Karena fokus yang diberikan terletak pada sumbu-x maka bentuk baku dari

persamaan hiperbola yang dicari seperti pada teorema 2.1.

Dari titik fokus yang diberikan maka diperoleh c = 4, titik ujung diperoleh a = 2

dan b2 = c2 – a2 = 16 – 4 = 12.

Jadi persamaan yang dicari adalah

– = 1

3x2 – y2 = 12

Untuk memperoleh persamaan hiperbola yang lebih umum, misalkan

diadakan translasi pusat sumbu koordinat ke titik (h, k), maka diperoleh persamaan

hiperbola – = 1 menjadi

– = 1

Untuk c2 = a2 + b2, persamaan di atas adalah persamaan hiperbola dengan pusat di (h,

k), titik-titik fokus (h c, k) dan titik-titik ujung (h a, k) Hal ini dinyatakan dalam

teorema berikut.

Teorema 2.5:

Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h c, k)

dan titik-titik ujung (h a, k) jika dan hanya jika memenuhi persamaan

– = 1

dengan b2 = c2 – a2 (lihat gambar 6.5).

y

(h, k + b)

(h – a, k) (h + a, k)

F’(h – c, k) (h, k) F(h + c, k)

(h, k – b)

x

Gambar 2.5

Teorema 2.6:

Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h, k

c) dan titik-titik ujung (h, k a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan

– = 1

dengan b2 = c2 – a2 (lihat gambar 2.6).

y

F(h+c, k)

(h, k + b)

(h – a, k) (h – a, k)

(h, k)

(h, k – b) x

F’(h – c, k)

Gambar 2.6

Contoh 4:

Sebuah hiperbola mempunyai persamaan

9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0

Tentukan pusat, titik ujung, titik fokus dan gambar grafik hiperbola tersebut.

Jawab:

Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku seperti pada teorema

2.3 atau teorema 2.4.

9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0

9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68

9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4

9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36

4(y + 1) 2 – 9(x – 2)2 = 36

– = 1

Dari persamaan terakhir diperoleh informasi h = 2, k = –1, a2 = 9, dan b2 = 4.

Dengan demikian c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.

Menurut teorema 6.4 dapatlah disimpulkan bahwa hiperbola yang terjadi

berpusat di (2, –1), titik-titik ujungnya (2, –1 + 3) = (2, 2) dan (2, –1 – 3) = (2, –

4), titik fokusnya adalah (2, –1 + ) dan (2, –1 – ). Sketsa grafik dapat

dilihat di gambar 2.7

y

F(2,-1+ )

(2, 2)

x

(0,-1) (2,-1) (4,-1)

(2, -4)

F’(2,-1– ) Gambar 2.7

2.8 Persamaan Garis Singgung Hiperbola

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Perkembangan ilmu pengetahuan telah membuat hiperbola sebagai

bentuk dalam ilmu geometri yang telah diterapkan dalam kehidupan. Salah

satu penerapam dari hiperbola yaitu pada jam matahari.

Kapanpun harinya, matahari selalu berputar tanpa kemajuan pada bola

samawi, dan leretannya membentur titik pada satu jejak jam matahari keluar

satu kerucut cahaya.

Dalam ilmu fisika penerapan hiperbola dapat terlihat pada cahaya

lampu pada gambar di bawah ini, dimana cahaya yang dihasilkan memiliki

pola hiperbola.

3.2 Saran

Semoga ilmu yang telah dipelajari dapat bermanfaat. Belajarlah

dengan sungguh-sungguh jika kita ingin mendapatkan hasil yang terbaik.

Berusaha semaksimal mungkin, suatu saat engkau akan menikmati hasil

usaha jerih payahmu.