INACAP MAIPÚ Nombre: ______________________ GEOMETRIA – EZ0207 Profesor: Aldo Ramírez M.

Trigonometría y Problemas de aplicación 1) En cada caso, calcule lo indicado a partir de los datos del dibujo :

a) l = ______

b) α = ______ c) d = ______

d) a = ______ e) h = ______

d = ______

f) α = ______

2) ∆ ABC es rectángulo en C. Determine :

a) sen α b) sen β c) cos α d) cos β e) tg α f) tg β

3) Si sen α = 13

5 , determine el valor de todas las otras razones trigonométricas.

4) Verifique si se cumplen las siguientes igualdades :

a) 1º30cosº30sen 22 =+

b) ( ) º60senº60cos1º45tg 222 =−

c) º60secº30sen

º45tg =

d) º30eccosº60tgº60gcotº30gcotº30tg =⋅+⋅

5) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y uno de sus catetos 4 cm.. Determine la

medida de cada uno de los ángulos agudos.

6) Un edificio proyecta una sombra de 20 m de largo. Si el ángulo que forma la línea que une la punta de la sombra con el punto más alto del edificio y la horizontal es de 65º, ¿ cuál es la altura del edificio ?

7) La pirámide de Keops medía originalmente 230 m de arista basal y 146 m de altura. ¿ Cuál era el ángulo de inclinación de sus caras respecto a su base ?

8) La parte superior de la escalera de 20 m está recostada contra el borde del techo de una casa. Si el ángulo de inclinación de la escalera desde la horizontal es de 51º, ¿ cuál es la altura aproximada de la casa y qué tan lejos está la parte inferior de la escalera de la base de la casa ?

9) Desde lo alto de una roca que está a una altura de 324 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión formado al mirar un bote es de 60º. Encuentre la distancia del bote a la base de la roca.

10) Calcule la razón trigonométrica indicada :

a) cos α si sen α = 53 .

b) cotg α si cos α = 54 .

c) sen α y cos α si tg α = 1. d) cos α y sen α si cosec α = 2.

e) cos α, sen α y tg α si sec α = 3 .

f) α

α−αcos

tgsen si sec α = 2

3

11) Una torre de 50 m se localiza al borde de un río. El ángulo de elevación entre la orilla opuesta y la cima de la torre es de 37º. Determine el ancho del río.

12) La escalera de un camión de bomberos puede extenderse hasta una longitud máxima de 30 m cuando se levanta a un ángulo máximo de 60º. La base de la escalera se colocó sobre el camión a 2 m sobre el suelo. ¿ Qué altura sobre el suelo podrá alcanzar la escalera ?

13) Calcule el ángulo formado por la diagonal del cubo AB con la diagonal de la cara basal AD .

14) El Pentágono en Washington, D.C., es el edificio de oficinas

más grande del mundo, en lo que se refiere a área de terreno. El perímetro de la construcción tiene la forma de un pentágono regular y cada lado tiene una longitud de 912 pies. Calcule el área que encierra el perímetro de ese edificio.

15) La figura muestra dos náufragos, uno parado en la isla A y el otro en la isla B. El helicóptero mira al náufrago de la isla A con un ángulo de depresión de 60o y al de la isla B con un ángulo de depresión de 30o. ¿ Qué distancia hay entre las dos islas si el helicóptero está a una altura de 1.200 m ?

16) Un hombre parado a 50 pies de una casa de 20 pies de altura, mira hacia la antena de televisión

localizada arriba, en el borde del techo, como lo muestra la figura. Si el ángulo, entre su línea de visibilidad al borde del techo y su línea de visibilidad a la cima de la antena es de 12º, ¿ cuál es la altura de la antena ?

A B

17) El la figura se ve el diseño de un tobogán acuático. Calcule la longitud total del tobogán.

18) Unos observadores en dos pueblos distintos, A y B, en cada lado de la montaña de 12.000 pies de altura, miden los ángulos de elevación entre el suelo y la cima de la montaña. Asumiendo que los pueblos están en el mismo plano vertical, encuentre la distancia horizontal que hay entre ellos.

19) El navegante de un barco visualiza dos faros separados 3 km entre sí a lo largo del tramo recto de la costa. Él determina que los ángulos formados entre las dos líneas visuales a los faros y la visual perpendicular a la costa miden 60o y 45o respectivamente. a) ¿ Qué tan lejos está el barco de la costa ? b) ¿ Qué tan lejos está el barco de cada uno de los faros ?

20) El asta de una bandera está localizada al borde de un precipicio de 50 pies de altura, a la orilla de un río de 40 pies de anchura. Un observador al lado opuesto del río mide un ángulo de 9º entre su línea de observación y la cima del precipicio. Encuentre la altura del asta de bandera.

21) Una chimenea tiene 30 m más de altura que la otra. Un observador, que está a 100 m de la

chimenea más baja, observa que sus cúspides están en una recta inclinada respecto al horizonte en un ángulo de 27o. Encuentre las alturas de las chimeneas.

22) Encuentre la altura h de la montaña utilizando la información de la figura.

23) Desde la cúspide de un monumento de 30 m de altura, los ángulos de depresión de dos objetos,

que están sobre un terreno en la dirección oeste del monumento, son de 45o y 30o

respectivamente. Calcule la distancia entre ambos objetos.

24) Dos observadores miden simultáneamente el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo resulta de 25° y el otro de 40°. Si los observadores están a 100 pies uno de otro y el helicóptero se encuentra sobre la línea que los une, ¿ qué tan alto vuela el helicóptero ?

25) Desde la azotea de un edificio que da al mar, un observador ve un bote navegando directamente hacia el edificio. Si el observado está a 100 pies sobre el nivel del mar, y si el ángulo de depresión del bote cambia de 30o a 60o durante el período de observación, calcule la distancia que recorre el bote.

30° 45°

h

30° 60°

1 km

30°

45° 15 m

15 m

100 m

A B

C

26) Un helicóptero se encuentra justo sobre el cruce de dos caminos perpendiculares y a una altura de 300 metros. El piloto observa el automóvil de los contrabandistas (C) bajo el ángulo de depresión de 35o y da aviso a la policía (P), la cual ve al helicóptero con un ángulo de elevación de 48o. Calcule la distancia en línea recta de la patrulla (P) al automóvil (C).

27) Se quiere calcular la diferencia entre las alturas de dos chimeneas que están a 30 m una de la

otra. Para ello un observador se ubica entre ellas a 10 m de la más baja. Los ángulo de elevación son de 30° con la menor y 60° con la mayor.

28) Una tortuga desea cruzar un camino sin que la atropellen. Ella observa con un ángulo de

elevación de 27º la parte superior de un poste del alumbrado público, que está al otro lado del camino y si retrocede 10 m lo observa con un ángulo de elevación de 15º. a) ¿ Cuál es el ancho del camino ? b) Si ella camina con una rapidez de 1 m/seg, ¿ cuánto se demora en cruzarlo?

RESPUESTAS :

1) a) 3,92 m b) 68,2° c) 106,5 m d) 3,33 m e) 509,5 m ; 1.122,3 m f) 27,3°

2)

a) sen α = ca b) sen β = c

b c) cos α = cb

d) cos β = ca e) tg α = b

a f) tg β = ab

3) cos α = 1312 , sec α = 12

13 , cosec α 513 , tg α = 12

5 , ctg α = 512 .

4) Se cumplen todas. 5) 23,5° y 66,5° 6) 52,1 m 7) 51,77° 8) altura : 15,54 m ; distancia : 12,58 m

9) 108 3 m 10)

a) cos α = 54 b) ctg α = 3

4 c) sen α = cos α = 22

d) sen α = 21 , cos α = 2

3 e) cos α = 33 , sen α = 3

6 ,

tg α = 2

f) 45−

11) 66,35 m

12) ( 15 3 + 2) m 13) 35,26° 14) 1.430.996,75 pies2

15) 800 3 m 16) 13,47 pies

17) (115 – 15 3 + 15 2 ) m

18) 1.200( 1+ 3 ) m 19)

a) 2

)13(3 − km b) 2

)26(3AC −= km; )13(3BC −= km

20) 20,21 pies 21) 50,9 m y 80,9 n

22) 23 km

23) 30( 3 − 1) m 24) aprox. 30 pies

25) 3

3200 pies

26) aprox. 506 m

27) 3

350 m

28) a) 11,1 m b) 11,1 seg