Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 1 Ngày 21-02-2012

Bài tập PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

Phương trình truyền sóng

1. Vẽ dạng của dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không, còn độ lệch ban đầu được cho bởi:

( )

>

≤<−

≤<−

≤

=

3 0

32 3

21 1

1 0

0,

xkhi

xkhix

xkhix

xkhi

xu

tại các thời điểm 00 =t , 2

11 =t , 12 =t , 5,23 =t . Xét dao động tại các điểm

0=x , 2=x , 1=x , 1−=x ( khi nào bắt đầu dao động, khi nào thôi ), biết vận tốc truyền sóng 2=a . 2. Vẽ dạng của dây nửa vô hạn, gắn chặt ở đầu mút, dao động tự do, biết rằng vận tốc ban đầu bằng không, độ lệch ban đầu được cho bởi:

( )

+∞≤≤

≤≤−

≤≤

=

x

lxl

lx

xu

l2 0

2 x

sin

0 0

0,

nÕu

nÕul

nÕu

π

tại các thời điểm t bằng a

l

4 ,

a

l , a

l

4

5 , a

l

2

3 , a

l

4

7 , a

l

4

9 .

3. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút 0=x ,

lx = , biết độ lệch ban đầu được cho bởi:

( ) ( )2

40,

l

xlxxu

−= ( lx ≤≤0 ),

còn vận tốc ban đầu bằng không. Đáp số:

( )( )

( ) ( )l

atn

l

xn

ntxu

n

ππ

π

12cos

12sin

12

132,

033

++

+= ∑

∞

=

.

4. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút 0=x ,

lx = , biết độ lệch ban đầu bằng không, và vận tốc ban đầu được cho bởi:

( )( )

>

<

=∂

∂

2c-x 0

2c-x c-xcos

0, 0

π

π

nÕu

nÕuv

t

xu ,

Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 2 Ngày 21-02-2012

trong đó 0v là hằng số dương và 22

ππ−<< lc .

Đáp số:

( )l

atk

l

xk

l

kk

l

k

l

ck

a

vtxu

k

ππ

π

ππ

πsinsin

1

2cossin4

,1

2

22

2

0 ∑∞

=

−

= .

5. Xác định dao động dọc của một thanh đồng chất nếu một mút gắn chặt, còn một mút tự do, biết các điều kiện ban đầu:

( )xfut

==0

, ( )xFt

u

t

=∂

∂

=0

.

Đáp số:

( ) ( ) ( ) ( )l

xn

l

atnb

l

atnatxu

n

nn 2

12sin

2

12sin

2

12cos,

1

πππ +

++

+=∑

∞

=

với ( ) ( )dx

l

xnxf

la

l

n ∫+

=0 2

12sin

2 π , ( )

( ) ( )dx

l

xnxF

xnb

l

n ∫+

+=

0 2

12sin

12

4 π

π.

6. Cũng như bài 5. , nhưng cả hai mút đều tự do. Đáp số:

( ) ( ) ( )[ ]l

xn

l

atnb

l

atnadxxtFxf

ltxu

n

nn

lπππ

cossincos1

,10

∑∫∞

=

+++=

với ( ) dxl

xnxf

la

l

n ∫=0

cos2 π , ( ) dx

l

xnxF

anb

l

n ∫=0

cos2 π

π .

7. Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén nên độ dài của nó còn lại là 2l(1 - ε). Lúc t = 0, người ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch u của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi:

( ) ( )( )

( ) ( )l

atn

l

xn

n

ltxu

n

n

2

12cos

2

12sin

12

18,

02

1

2

ππ

π

ε ++

+

−= ∑

∞

=

+

,

nếu gốc toạ độ đặt ở tâm của thanh. Hướng dẫn: Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu là:

( )0

,=

∂

−∂

x

tlu , ( )0

,=

∂

∂

x

tlu , ( ) xxu ε−=0, , ( )0

0.=

∂

∂

t

xu .

8. Xét dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút 0=x , lx = trong một môi trường có sức cản tỷ lệ với vận tốc, biết các điều kiện ban đầu:

Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 3 Ngày 21-02-2012

( )xfut

==0

, ( )xFt

u

t

=∂

∂

=0

.

Đáp số:

( ) ( )l

xntqbtqatxu

n

nnnn

πsinsincos,

1∑

∞

=

+=

2

2

222

hl

anqn −=

π , ( ) dxl

xnxf

la

l

n ∫=0

sin2 π , ( ) dx

l

xnxF

lqa

q

hb

l

n

n

n

n ∫+=0

sin2 π .

Hướng dẫn: Phương trình dao động là:

2

22

2

2

2x

ua

t

uh

t

u

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂.

9. Xác định dao động của một dây gắn chặt ở mút 0=x , còn mút lx = chuyển động theo quy luật tA ωsin , biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không. Đáp số:

( ) ( )l

xn

l

atn

l

anl

aA

la

txa

A

txun

nππ

πω

ω

ω

ωω

sinsin12

sin

sinsin,

12

2

1

∑∞

=

−

−

−+= .

Hướng dẫn: Tìm u dưới dạng u = v +w, trong đó w thoả mãn phương trình dao động của dây với các điều kiện ( ) 0,0 =tw , ( ) tAtlw ωsin, = , còn v cũng thoả mãn phương trình đó với các điều kiện ( ) 0,0 =tv , ( ) 0, =tlv , ( ) ( )0,0, xwxv −= ,

( ) ( )t

xw

t

xv

∂

∂−=

∂

∂ 0,0, .

10. Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất có một mút cố định, còn mút kia chịu tác dụng của lực Q (lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không. Đáp số:

( )( ) ( ) ( )

( )∑

∞

= +

++−

−=0

22 122

12sin

2

12cos1

8,

n

n

n

l

xn

l

atn

E

Qlx

E

Qtxu

ππ

π .

14. Một màng hình vuông đồng chất lúc 0=t có độ lệch được xác định bởi

( ) ( )( )ybxbAxyyxu −−=0,, , trong đó bx ≤≤0 , by ≤≤0 , dao động với vận tốc ban đầu bằng không, mép gắn chặt. Hãy xác định dao động của màng.

Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 4 Ngày 21-02-2012

Đáp số: ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

b

atmn

mn

b

ym

b

xn

Abtyxu

n

πππ

π

22

0226

4

1212cos1212

12sin

12sin

64,, +++

++

++

= ∑∞

=

15. Một màng hình chữ nhật lx ≤≤0 , my ≤≤0 , gắn chặt ở mép, lúc 0=t bị một xung lượng tập trung tại tâm của màng, sao cho:

∫∫ =→

εσε

Adxdyv00

lim ,

trong đó A là hằng số, v0 là vận tốc ban đầu, εσ là lân cận của tâm của màng. Hãy xác định dao động của màng. Đáp số:

( ) ( )∑∞

=

Ψ

Ψ

=1,

sin,2

,24

,,nk

knkn

kn

kn

atyx

ml

mla

Atyxu πµ

µπ ,

với ( )m

yn

l

xkyxkn

ππsinsin, =Ψ ,

22

+

=

m

n

l

kknµ .

Phương trình truyền nhiệt 1. Tìm nghiệm của phương trình:

2

22

x

ua

t

u

∂

∂=

∂

∂ ( lx <<0 , 0>t )

thoả mãn các điều kiện : ( ) 0,0 =tu , ( ) 0, =tlu ( 0>t ),

( )

≤<

≤<

=

lxl

l

lxx

xu

2 x -

20

0,

nÕu

nÕu

.

Đáp số: ( ) ( )( )

( ) ( )∑

∞

=

+

+−

+

−=

02

222

22

12sin

12exp

12

14,

n

n

l

xn

l

tan

n

ltxu

ππ

π

2. Một thanh đồng chất có độ dài l , hai mút được giữ ở nhiệt độ không, nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi:

( )20 l

xlcxu

t

−=

=,

Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t > 0.

Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 5 Ngày 21-02-2012

Đáp số: ( )( )

( ) ( )∑

∞

=

+

+−

+=

02

222

33

12sin

12exp

12

18,

n l

xn

l

tan

n

ctxu

ππ

π

3. Một thanh đồng chất có độ dài l , mút x = 0 được giữ ở nhiệt độ không, còn tại mút x = l có sự trao đổi nhiệt với môi trường ngoài giữ ở nhiệt độ không. Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0 biết rằng nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi ( )xu

tϕ=

=0.

Đáp số: ( )( )

( ) dxl

xx

l

x

l

ta

pp

p

ltxu n

l

n

nn

n

n µϕ

µµ

µ

µsinsinexp

1

2,

012

22

2

22

∫∑∞

=

−

++

+=

trong đó 1µ , 2µ , ... là những nghiệm dương của phương trình p

tgµ

µ = ,

0>= hlp . 4. Một thanh đồng chất có một mút cách nhiệt, còn một mút giữ ở nhiệt độ không đổi u0 . Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh biết nhiệt độ ban đầu

( ) ( )xxu ϕ=0, .

Đáp số: ( ) ( ) ( )∑

∞

=

+

+−+=

02

222

0 2

12cos

4

12exp,

n

nl

xn

l

tanautxu

ππ ,

với ( ) ( ) ( )( )π

πϕ

12

41

2

12cos

2 0

0 +−−

+= ∫ n

udx

l

xnx

la

nl

n.

Hướng dẫn: Tìm u(x,t) có dạng u(x,t) = u0 + v(x,t). 5. Tìm phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất, biết nhiệt độ ban đầu bằng không, nhiệt độ tại mút x = l bằng không, còn nhiệt độ tại mút x = 0 được cho bởi u(0,t) = At. Đáp số:

( ) ∑∞

=

−+

+

−

−

−=

12

222

223

223

2

2

sinexp12

236

1,n l

xn

l

tan

na

Al

l

x

l

x

l

x

a

Al

l

xAttxu

ππ

π.

Hướng dẫn: Tìm u(x,t) dưới dạng u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) , trong đó u1(x,t) thoả mãn phương trình truyền nhiệt, thoả mãn điều kiện u1(0,t) = At , u1(l,t) = 0. 6. Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asinωt.

Đáp số: ( ) ∑∞

=

−−

−=

12

222

sinexp2

sin1,n

n

l

xn

l

tan

n

aAt

l

xAtxu

ππ

π

ωω ,

Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 6 Ngày 21-02-2012

trong đó ∫

=

l

n dl

ana

0

2

cosexp τωττπ

.

7. Tìm nghiệm của phương trình:

2

2

x

u

t

u

∂

∂=

∂

∂

thoả mãn các điều kiện:

( ) 0,0 =tu , ( ) tAetlu

−=, , ( )l

xAxu =0, .

Đáp số: ( ) ( )( )∑

∞

=

−

−−

−

−+=

12

22

222

2

sinexp12

,n

n

t

l

xnt

l

tn

lnn

Ale

l

Axtxu

ππ

ππ

8. Một tấm đồng chất hình chữ nhật px ≤≤0 , qy ≤≤0 có mép được giữ ở nhiệt độ không. Tìm phân bố nhiệt độ trong tấm ở thời điểm 0>t , nếu nhiệt độ lúc 0=t được cho bởi ( ) ( )yxyxu ,0,, ϕ= .

Đáp số: ( ) ∑∞

=

+−=

1,2

2

2

22 sinsinexp,,

mn

mnq

yn

p

xmt

q

n

p

mAtyxu

πππ ,

trong đó ( ) dxdyq

yn

p

xmyx

pqA

p q

mn

ππϕ sinsin,

4

0 0∫ ∫= .

9. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật { }mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau:

( ) ( )ymAyyu −=,0 , ( ) 0, =ylu , ( ) 00, =xu , ( ) 0, =mxu . 10. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật { }mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau:

( ) 0,0 =yu , ( ) 0, =ylu , ( )l

xBxu

πsin0, = , ( ) 0, =mxu .

11. Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong miền hình chữ nhật

{ }mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau:

( ) ( )ymAyyu −=,0 , ( ) 0, =ylu , ( )l

xBxu

πsin0, = , ( ) 0, =mxu .

12. Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật { }mylxD ≤≤≤≤= 0 ; 0 thoả mãn điều kiện biên sau:

Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 7 Ngày 21-02-2012

( ) Ayu =,0 , ( ) Ayylu =, , ( )

00,

=∂

∂

y

xu , ( )

0,

=∂

∂

y

mxu .

13.Tìm miền hypebolic, parabolic và eliptic của phương trình:

0'2

1"" =+− yyyxx u

yyuu .

Đưa phương trình về dạng chính tắc trong miền hypebolic.

14. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc:

( ) 0'"1" =+++ xyyxx uuyu .

15. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc:

0''

""2

2 =+++ yx

yyxx uy

uuyu .

12. Tính tích phân:

( ) ( ) ( )( )∫∫ ++S

dSznzynyxnx ,cos,cos,cos

trong đó S là mặt (elipxoit :

12

2

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x )

nr là pháp tuyến ngoài đối với S. 13.Tìm mô men quán tính của mặt chỏm cầu đồng chất có phương trình

2222Rzyx =++ bị cắt bởi mặt phẳng Hz = ( chỏm phía trên ) đối với trục 0z .

Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị.

14.Tìm toạ độ trọng tâm của phần mặt nón 22

222

zH

Ryx =+ bị cắt bởi mặt phẳng

Hz = . Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị.