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LV 143.020, 143.021 – ET, TM

PHYSIK

LV 138.029 – MB, VT, WI-MB

PHYSIK FÜR INGENIEURE

12. RELATIVITÄTSTHEORIE

WS 2010/11

Vortragende:N. GURKER, J. CUSTERS

Skriptum:H. EBEL, N. GURKER, M. MANTLER, J. WERNISCH

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Relativitätstheorie

12. RELATIVITÄTSTHEORIE

Die Relativitätstheorie beschreibt physikalische Vorgänge und deren Gesetzmäßigkeiten,wenn diese von Beobachtern in verschiedenen Koordinatensystemen erfaßt werden. Befinden

sich die Beobachter in zwei Koordinatensystemen, die relativ zueinander eine gleichför-mige Bewegung ausführen, werden die Gesetzmäßigkeiten durch die spezielle Relativitäts-

theorie beschrieben. Bewegen sich die beiden Koordinatensysteme ungleichförmig zueinan-der, so ist die allgemeine Relativitätstheorie in Anwendung zu bringen. Das vorliegende

Skriptum befaßt sich ausschließlich mit der speziellen Relativitätstheorie.

12.1. GALILEI-Transformation

Eine punktförmige Masse bewege sich relativ zu einem Koordinatensystem ohne Einwirkung

einer äußeren Kraft. Wenn die Bewegung gleichförmig verläuft, dann ist das Koordinaten-system ein Inertialsystem. Die Bewegung wird durch die Gleichung( ) t vvvt r r z y x ⋅+++=

rrrrr

0 Gl.01r

beschrieben. Soll in einem zweiten Koordinatensystem, das sich relativ zu dem ersten mit ei-ner gleichförmigen Geschwindigkeit

r

u bewegt, die Bewegung des Massenpunktes beschrie-ben werden, so erhält man mit den Annahmen, daß

1. die Koordinatenachsen der beiden Systeme parallel zueinander liegen,2. die Bewegung des zweiten Systems parallel zur x-Achse des ersten Systems in positiver x-

Richtung erfolgt,3. zur Zeit t =0 die beiden Koordinatensysteme deckungsgleich sein mögen und daß4. das zweitgenannte Koordinatensystem zur Unterscheidung vom erstgenannten als das "ge-

strichene System" bezeichnet wird

die Bahngleichung( ) t vvuv)t (r r z y x ⋅++−+′=′

rrrrrr

0 . Gl.02rr

r (t 0) undr

r '(t 0) geben in den beiden Koordinatensystemen den Ort des Massenpunktes zurZeit t =0 an und sind mit den getroffenen Annahmen gleich groß. Die im gestrichenen Systembeobachtete Geschwindigkeit ist erwartungsgemäß gleich ( )

r r r r r r

v u v u v v x y− = − + + z .

Die Geschwindigkeiten setzen sich additiv zusammen.

Da auch im gestrichenen System eine gleichförmige Bewegung beobachtet wird, ist diesesebenfalls ein Inertialsystem.

Bezeichnet man die Gesamtheit jener Größen, die zur Beschreibung eines physikalischen Ge-schehens benötigt werden, als Systemgrößen, so können für das hier vorgestellte Beispiel imersten Koordinatensystem - dem ungestrichenen System - die Koordinatenachsen x, y und z,die Länge l, die Masse m und die Zeit t als repräsentativ für das System Σ angesehen werdenund ähnlich für das gestrichene System Σ' die Größen x', y', z', l', m' und t '.

Die klassische Transformation der Systemgrößen von einem Inertialsystem in ein anderes er-folgt durch die GALILEI-Transformation. Diese lautet für die genannten Systemgrößen:

171

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Σ Σ’

mm

t t

ll z z

y y

t u x x

′=

′=

′= ′=

′=

′⋅+′=

mm

t t

ll z z

y y

t u x x

=

=

==

=

⋅−=

'

'

''

'

'

Gl.03r

Der linksseitige Satz von Gleichungen ermöglicht die Transformation vom gestrichenen indas ungestrichene System und der rechtsseitige in umgekehrter Richtung.Zur Unterscheidung von dem noch zu behandelnden relativistischen Additionstheorem derGeschwindigkeiten, wird die durch die nachstehenden Gleichungen

Σ Σ’r r r

v v u= ′ + r r r

v v u'= − Gl.04r

charakterisierte additive Zusammensetzung der Geschwindigkeiten als das GALILEIsche Ad-ditionstheorem der Geschwindigkeiten definiert.

12.2. LORENTZ-Transformation

Bei der Auswertung von Experimenten hat es sich gezeigt, daß die GALILEI-Transformation

bei Geschwindigkeiten im Bereiche der Lichtgeschwindigkeit zu fehlerhaften Ergebnissenführt. Dabei ist festzustellen, daß wider Erwarten keine größere Geschwindigkeit als dieLichtgeschwindigkeit beobachtet wird, also das Additionstheorem der Geschwindigkeitenversagt. Um den experimentellen Befunden durch eine modifizierte Transformation Genügeleisten zu können, wurde von LORENTZ (1905), POINCARÉ und EINSTEIN (1906) der fol-gende Weg eingeschlagen. Die bisher als absolut angenommenen physikalischen GrößenLänge, Masse und Zeit hängen von der jeweiligen Relativgeschwindigkeit ab und nur nochdie Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im leeren Raum, die

Vakuumlichtgeschwindigkeit, verbleibt als absolute Größe. Es gelten also im allgemeinenFalle die Ungleichungen l≠l' , m≠m' und t ≠t' . Um diese Überlegung in der Transformations-gleichung berücksichtigen zu können, kann man z.B. in der GALILEI-Transformation einen

Faktor k einführen.

12.3. Transformation der Ortskoordinaten

Σ Σ’

( ) x k x ut = ′ + ′ ( )′ = − x k x ut Gl.05r

Durch Differentiation nach der Zeit t bzw. t ' erhält man Ausdrücke für die Geschwindigkeiten

172

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( )

( )

dx

dt k

d x ut

dt

v k v udt

dt x x

=′ + ′

= ′ +′

( )

( )

dx

dt k

d x ut

dt

v k v udt

dt x x

′′

=−

′′ = −

′

Gl.06r

Diese beiden Gleichungen müssen auch für v x und v x’ gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeitc0 Gültigkeit besitzen und darüber hinaus den im Experiment von MICHELSON undMORLEY beobachteten Befund widerspiegeln, daß unabhängig von der Relativbewegungimmer c0 und nicht c0 ± u gemessen wird.

( )c k c udt

dt 0 0= +

′ ( )c k c u

dt

dt 0 0= −

′Gl.07r

Um die vorläufig noch unbekannten Ableitungen dt '/ dt und dt / dt ' eliminieren zu können, wirddas Produkt der beiden Gleichungen gebildet,

( )( )c k c u c02 2

0 0= + − u Gl.08r

aus dem sich der gesuchte Proportionalitätsfaktor k zuk

u

c

=

−⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

1

10

2Gl.09r

errechnet. Für die Ortskoordinaten lauten die Gleichungen der LORENTZ-Transformation

Σ Σ’

( ) x k x ut

y y

z z

= ′ + ′

=

=

'

'

( )′ = −

=

=

x k x ut

y y

z z

'

'

Gl.10r

12.4. Zeittransformation

Um zur Zeittransformation zu gelangen, kann man z.B. annehmen, daß zur Zeit t =0 an derStelle x= x'=0 ein Lichtstrahl in die Richtung der positiven x-Achse ausgesendet wird. Es müs-sen dann in Σ bzw. in Σ' die Weggleichungen x=c0t bzw. x'=c0t ' gelten. Setzt man in denTransformationsgleichungen für x bzw x', x=c0t , x'=c0t ' und t = x / c0 und t '= x'/ c0, so erhält mandie gesuchten Transformationsgleichungen für die Zeit in den Systemen Σ und Σ'.

Σ Σ’

t k t u

c x= ′ + ′

⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

02

′ = −⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟t k t

u

c x

02

Gl.11r

173

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12.5. Das relativistische Additionstheorem der Geschwindigkeiten

Mit dem für die LORENTZ-Transformation geltenden relativistischen Additionstheorem derGeschwindigkeiten sollten die im Zusammenhang mit den anfänglich angestellten Gedanken-experimenten erörterten Ungereimtheiten eine Erklärung finden. Dazu möge eine der Orts-

gleichungen nach der Zeit abgeleitet werden.( ) ( )dx

dt k

d x ut

dt k

d x ut

dt

dt

dt =

′ + ′=

′ + ′

′⋅

′Gl.12r

Diese Gleichung lautet, wenn anstelle von /

'/ ' ' x

x

dx dt v

dx dt v

=

=

und( )

20

1 '

Zeittransformation 1 ' x

dt'/dt dt dt

u

dt'/dt k + vc

=

⎛ ⎞

= ⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

gesetzt werden,

vv u

u v

c

x x

x

=+

+

'. '

10

2

. Gl.13r

Völlig analog erhält man die Gleichung für v x' Die folgenden Gleichungen beschreiben dasrelativistische Additionstheorem der Geschwindigkeiten.

Σ Σ’

vv u

u v

c

x

x

x

=+

+

'

. '10

2

vv u

u v

c

x

x

x

'.

=−

−10

2

Gl.14r

12.6. Massentransformation

Geht man von der Vorstellung aus, daß eine Masse unter der Einwirkung einer Kraft eine Be-schleunigung erfährt, die, eine konstant gehaltene Kraft F vorausgesetzt, eine gleichförmigbeschleunigte Bewegung zu Folge hat, so kann in der NEWTONschen Mechanik bei bekann-ter Masse m die Zeit t angegeben werden, nach welcher die Masse die Vakuumlichtgeschwin-digkeit erreicht hat, bzw. überschreitet.

Da aber c0 die höchstmögliche Geschwindigkeit ist, sollte eine plausible Erklärung für denoben aufgezeigten Widerspruch gefunden werden. Diese ergibt sich aus der Massentransfor-mation.

Σ' bewege sich mitr

u parallel zur x-Achse von Σ. In Σ' bewegen sich zwei gleiche Massen mitden Geschwindigkeiten -

r

u und +r

u parallel zur x'-Achse aufeinander zu. In Σ werden für diebeiden Massen die Geschwindigkeiten 0 und v=2·u /(1+(u / c0)

2) beobachtet. Wird die ruhendeMasse mit m0 bezeichnet und die bewegte mit m, so betragen die Impulse aus der Sicht des

Beobachters in Σ m0·0 und m·v. Nach einem inelastischen Zusammenstoß befinden sich diebeiden Massen relativ zu Σ' in Ruhe und bewegen sich gegenüber Σ mit der Geschwindigkeit

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r

u . Aus der Sicht eines Beobachters in Σ beträgt der Impuls der beiden Massen nunmehr(m0+m)u.

Für die Errechnung der Größe der bewegten Masse m, wenn diese durch die Masse m0 im Zu-stand der Ruhe zum Beobachter ausgedrückt werden soll, stehen die Gleichung aus dem

Additionstheorem der Geschwindigkeitenv

u

u

c

=

+

2

12

02

Gl.15r

und die Gleichung aus dem Satz von der Erhaltung des Impulses

( )mv m m u= +0 Gl.16r

zur Verfügung. Wird u aus dem Impulserhaltungssatz explizit errechnet und in die Gleichungfür das Additionstheorem eingesetzt, so folgt mit der schon bekannten Bedeutung des Faktorsk die Beziehung

m km=0

Gl.17r

m0 war jene Masse, die dem Beobachter in Σ vor dem Zusammenstoß im Zustand der Ruheerschien und m die Masse, deren Geschwindigkeit den Wert v hatte. Da es sich definitionsge-mäß um identische Massen handelt, bedeutet dies, daß einem Beobachter ein und dieselbeMasse, je nachdem ob sie sich relativ zu diesem entweder im Zustand der Ruhe oder der Be-wegung befindet, unterschiedlich groß erscheint. Es ist nicht sinnvoll, die Transformations-gleichungen für Σ und für Σ' in der Form m=k .m' und m'=m / k anzuschreiben, sondern das Sy-stem Σ' fest mit der Masse zu verbinden. Es erscheint dann dem Beobachter in Σ' die Masseals ruhende Masse m0 und dem Beobachter in Σ dieselbe Masse als eine sich relativ zu ihmmit der Geschwindigkeit u bewegende Masse m. Unter Berücksichtigung dieser Überlegunglauten die Transformationsgleichungen für die Masse

Σ Σ’

0mk m ⋅= 0'm m= Gl.18r

Stellt man mit dieser Erkenntnis nochmals die Überlegung in Hinblick auf eine Masse an, diemit einer konstant gehaltenen Kraft in Bezug auf das System Σ beschleunigt werden soll, sosetzt die Masse diesem mit zunehmender Geschwindigkeit einen immer stärker in Erschei-nung tretenden Trägheitswiderstand entgegen. Das heißt, daß die tatsächlich erzielbare Be-schleunigung bei konstant gehaltener Kraft abnimmt. Um eine Masse auf c0 zu beschleunigen,wäre eine unendlich große Kraft erforderlich.

Es sei in Erinnerung gerufen, daß sich die Masse im System Σ bewegt und in Σ' im Zustandder Ruhe befindet. Der Beobachter in Σ' mißt die Ruhemasse m0 , während der Beobachter inΣ die bewegte Masse m mit Hilfe seiner Messungen feststellt.

Da gelegentlich der Begriff der Masse mit jenem der von der Masse ausgeübten Gewichts-kraft gleichgesetzt wird, mögen die folgenden Ausführungen zur kinetischen Energie zu ei-nem besseren Verständnis der Massentransformation beitragen.

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12.7. Energiebetrachtungen

Werden die bisherigen Überlegungen in Hinblick auf eine Energiebilanz ausgedehnt, so istzunächst die Definition der Kraft in Erinnerung zu rufen. Die Kraft

r

F , der Impulsr

p bzw.

die zeitliche Änderung des Impulses dp

r

/ dt stehen in folgendem Zusammenhangr

r

F dp dt = / .

Die Kraft möge in Richtung der positiven x-Achse des Systems Σ wirken, die Bewegung derbetrachteten Masse in derselben Richtung, sodaß sich die folgenden Betrachtungen aus-schließlich mit der x-Komponente der vektoriellen Größen befassen und damit in skalarerForm weiter geführt werden können.Die Bewegungsgröße - der Impuls p - ist durch p = m·v gegeben, und da die Masse m von derGeschwindigkeit v abhängt, lautet der Ausdruck für die Kraft

F dp

dt

dm

dt

v mdv

dt

dm

dv

dv

dt

v mdv

dt

dm

dv

v mdv

dt

= = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ Gl.20r

Die Kraft wirkt über den Weg dx auf die zu beschleunigende Masse ein, verrichtet dabei eineArbeit dW =F·dx, die sich in Form einer Zunahme dE k der kinetischen Energie E k manifestiert.Das Wegstück dx errechnet sich aus dx=v·dt und somit folgt für dE k

dE dm

dvv m

dv

dt v dt

dm

dvv m v dvk = ⋅ +⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ +⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⋅ ⋅ Gl.21r

Um die gesamte kinetische Energie E k einer sich mit der Geschwindigkeit u bewegendenMasse m zu erhalten, ist das Integral über dE k von der Geschwindigkeit v=0 bis zu v=u zubestimmen.

( ) 20 0

0

u

k

v

dm E v m v dv m m

dv=

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠∫ c Gl.22r

Das Ergebnis der Integration wurde hier zwar ohne Zwischenrechnung angeschrieben, istaber, wenn die Ableitung der Masse m nach der Geschwindigkeit gebildet wurde, elementarzu errechnen.

Um die in der Gleichung enthaltene Bedeutung besser veranschaulichen

zu können, sei dieselbe graphisch dargestellt.

( ) 200 cmm E k ⋅−=

E k m0·c02

m·c02

Daraus ist zu ersehen, daß sich die kinetische Energie als Differenz zweier Ausdrücke derForm mc

2 ausdrücken läßt. Bezeichnet man mc02 als Gesamtenergie und m0c0

2 als jene Ener-gie, die der Masse m0 im Ruhezustand eigen ist, also als Ruheenergie, dann ist die kinetischeEnergie als die Differenz aus der Gesamtenergie Eges und der Ruheenergie E0 definiert.

E E E k ges= − 0 Gl.23r

Die Masse wird im System Σ, ausgehend vom Zustand der Ruhe und damit von der Ruhe-masse m0 und der Ruheenergie E 0 unter Aufwendung der kinetischen Energie E k auf eine Ge-

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schwindigkeit u gebracht. Diese Energie war erforderlich, um den Trägheitswiderstand derMasse gegenüber einer Beschleunigung überwinden zu können. Die bewegte Masse m besitzteine Gesamtenergie E , die sich von der ursprünglichen Ruheenergie E 0 durch die kinetische

Energie unterscheidet. Im System Σ war die Energie E k aufzubringen und kann nach dem E-nergieerhaltungssatz auch wieder zurückgewonnen werden.

Mit der Masse ist das System Σ' fest verbunden, sodaß für den mit Σ' mitbewegten Beobachterdie Masse als in Ruhe befindlich erscheint. Gegenüber Σ' weist die Masse keinen Bewegungs-zustand auf, es war daher auch keine Energie aufzuwenden und die kinetische Energie ist null.Daher kann auch in Σ' von der in Σ vorhandenen kinetischen Energie kein Gebrauch im Sinneeiner Rückgewinnung gemacht werden.

Die relativistische Massenänderung beschreibt in Verbindung mit der relativistischen kineti-schen Energiea) die für das Erreichen der Geschwindigkeit u aufzuwendende Energie und

b) die in einem Koordinatensystem für eine von null verschiedene Masse nur asymptotischerreichbare Grenzgeschwindigkeit u=c0 .

Im weiteren sei die Aussage erörtert, daß einer ruhenden Masse m0 eine Energie E0

Gl.24r E m c0 0 02=

äquivalent ist. Zur besseren Veranschaulichung mögen die Betrachtungen zur Materiewellebeitragen.

12.8. Materiewelle

Im Rahmen der Behandlung der Spektren wurde einer elektromagnetischen Welle der Fre-quenz f über die PLANCKsche Beziehung E =hf den Elementarteilchen der Welle - den Pho-tonen oder Quanten - eine Energie zugeordnet. Die Masse der Elementarteilchen errechnetsich aus der Anwendung des Äquivalenzprinzips zu

mhf

c=

02 Gl.25r

Licht muß, je nach der sich bietenden Aufgabenstellung, sowohl als Welle als auch als Teil-chen modellhaft behandelt werden (Dualismus des Lichts).

Eine Umkehrung der gezeigten Überlegung gestattet es, einem "Teilchen" - z.B. einem Elek-tron - eine Frequenz f und eine Wellenlänge λ zuzuordnen. Das heißt, Materie wird als Wellebehandelt (Dualismus der Materie). Die Wellenbetrachtung bewährt sich z.B.in der Quan-tenmechanik und bei der Erklärung des mit einem Elektronenmikroskop im Vergleich zu ei-nem Lichtmikroskop erzielbaren höheren Auflösungsvermögens.

Es möge in Σ' einer ruhenden Masse m0 mit

f m c

h' = 0 0

2

Gl.26r

eine Frequenz und damit eine Schwingung ' y A f t ' ' sin '2= π zugeordnet werden. Werden t '

durch den aus der Zeittransformation folgenden Ausdruck t '=k (t-ux / c0

2

) und f ' durch f gemäß

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f =mc02 / h, also f '= f / k ersetzt, so ist die Schwingung in Σ' durch einen Wellenvorgang in Σ ge-

mäß

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅=

20

2c

xut f sin A y π Gl.27r

zu beschreiben. Ein Vergleich mit der bekannten Gleichung einer Welle

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

Phasec

xt f sin A y π 2 Gl.28r

lehrt, daß die Phasengeschwindigkeit cPhase der Materiewelle gleich

cc

uPhase = 0

2

Gl.29r

ist und, da u<c0 gilt, größer als c0 sein muß.

Aus der Phasengeschwindigkeit und der Frequenz errechnet sich die Wellenlänge λ der Mate-

riewelle zu λ =cPhase / f . Setzt man für cPhase und für f die oben behandelten Ausdrücke ein, soerhält man mit dem Impuls p=m.u des Teilchens den für die Materiewelle besser bekanntenAusdruck

p

h

um

h

hcm

uc

f

cPhase =⋅

=⋅

== /

/ 2

0

20

λ Gl.30r

Versucht man die Beschreibung eines Lichtquants in umgekehrter Richtung vom Teilchen zurWelle vorzunehmen, so ist für den Impuls die Masse m=hf / c0

2 mit der Geschwindigkeit c0 zumultiplizieren und es errechnet sich aus der Beziehung für die Materiewellenlänge λ zu

λ = =h

p

c

f

0 Gl.31r

Das ist der bekannte Ausdruck für die Wellenlänge einer elektromagnetischen Welle.

12.9. DOPPLER-Effekt bei elektromagnetischen Wellen

Im bewegten System Σ' befinde sich in x'=0 ein Sender, der eine elektromagnetische Welleder Frequenz f ' und der Wellenlänge λ '=c0 / f ' in Richtung der negativen x'-Achse emittiert. Imruhenden System Σ befinde sich am Ort x=0 ein Empfänger. Der Sender entfernt sich von die-sem "Beobachter".

Zum Zeitpunkt t '=t =0 möge der Anfang einer Welle emittiert worden sein. Da für diesen Zeit-punkt x'= x=0 für den Sender und den Empfänger gilt, ist die Laufzeit für den Wellenanfanggleich null. Nach der Zeit T ' in Σ' oder k.T ' in Σ - also der Dauer einer vollständigen Schwin-gung des Senders - befindet sich der Sender an der Stelle x=u.k.T ' und das Ende der Wellebenötigt, um zum Empfänger zu gelangen, die Zeit k.u.T '/ c0 . Zwischen dem Anfang und demEnde der am Ort des Empfängers beobachteten Schwingung - das ist die Schwingungsdauer T - verstreicht eine Zeit

T kT ukT

ckT

u

c= + = +

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟'

''

0 01 Gl.32r

T =1/ f bzw. T '=1/ f '. Somit beträgt die am Ort des Empfängers gemessene Frequenz f , wenndiese durch die Frequenz f ' des Senders ausgedrückt wird

178

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f f

k u

c

f

u

c

u

c

kf u

c=

+⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

= ⋅−

−⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

= −⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

'' '

1

1

1

1

0

0

0

2 0Gl.33r

Der gezeigte Ausdruck für die Frequenzänderung einer elektromagnetischen Welle zufolgedes DOPPLER-Effektes ähnelt dem für eine Schallwelle, und zwar für den Fall einer ruhen-den Quelle und eines von dieser sich wegbewegenden Beobachters. Wäre bei der vorange-gangenen Herleitung für den DOPPLER-Effekt anstelle der dort verwendeten Richtung derAusbreitung die entgegengesetzte Richtung gewählt und der Empfänger an einem ausreichendvom Ursprung entfernten Ort x>0 aufgestellt worden, so hätte sich der Ausdruck nur im Zäh-ler hinsichtlich des Vorzeichens derart geändert, daß an Stelle von 1-u / c0 nunmehr 1+u / c0 stünde. Auch dieser Ausdruck ähnelt dem für den DOPPLER-Effekt bei Schallwellen, undzwar für eine ruhende Quelle und einen sich dieser nähernden Beobachter.

Trotzdem sind zwei wesentliche Unterschiede anzumerken:1. Der Faktor k , der den Unterschied zwischen definierten Zeitspannen in den Systemen Σ und Σ' bestimmt (Zeitdilatation).

2. Während beim Schall die Ausbreitung an ein Medium gebunden ist, breiten sich elektro-magnetische Wellen im leeren Raum ohne die Existenz eines Äthers annehmen zu müssenaus. Aus diesem Grunde ist nicht mehr zwischen den Fällen einer ruhenden oder bewegtenQuelle und einem bewegten oder ruhenden Beobachter zu unterscheiden. Es kommt beiden elektromagnetischen Wellen nur auf die Relativbewegung an.

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Beispiele

r01 Ein Lichtstrahl (z.B. ein Laserstrahl) durchläuft in einem mit Wasser gefüllten Glasrohr eine

Strecke a. Welche Lichtgeschwindigkeit wird in dem Rohr gemessen, wenn die Brechzahl desWassers n beträgt? Wie kann die Lichtgeschwindigkeit gemessen werden? Nunmehr mögesich die Wassersäule einmal in der Richtung der Ausbreitung des Lichtes mit der Geschwin-digkeit u bewegen und einmal in der entgegengesetzten. Welche Lichtgeschwindigkeit wird indiesen beiden Fällen gemessen? Wie kann die mit dem Begriffe des MitführungskoeffizientenF =1-1/ n2 verknüpfte Geschwindigkeitsänderung von F.u mit der Vorstellung eines Licht-äthers in Verbindung gebracht werden?

r02 Im folgenden Gedankenexperiment möge im Hörsaal ein Schlitten mit der Masse m auf einerhorizontal angeordneten geraden Führungsschiene reibungsfrei bewegt werden. Dem Schlit-

ten möge, ausgehend vom Zustand der Ruhe durch einen Stoß eine Geschwindigkeit u erteiltworden sein. Um welche Art von Bewegung handelt es sich? Läßt sich ein mit dem Hörsaalfest verbundenens Koordinatensystem Σ als Inertialsystem definieren und ebenso ein mit demSchlitten fest verbundenes Koordinatensystem Σ'? In der Verlängerung der Führungsschienesei eine Lichtquelle (z.B. ein Laser) so angeordnet, daß der Lichtstrahl auf den Schlitten auf-trifft. Welche Werte der Lichtgeschwindigkeit werden in Σ und in Σ' gemessen werden, wennsich der Schlitten in Ruhe befindet, sich gleichförmig auf die Lichtquelle hin-, bzw. von die-ser wegbewegt? Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit in Luft mit jener im Vakuum identisch?Wie genau ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum bekannt? Mit welcher Genauigkeit müßtedas Experiment ausgeführt werden, um den zu erwartenden Meßeffekt nachweisen zu kön-nen?

r03 Das folgende Experiment sei ähnlich dem vorangegangenen aufgebaut, nur sei diesmal derLaser auf dem Schlitten montiert. Welche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes wird in Σ und in Σ' gemessen? Sodann möge das Licht am Ende des Schlittens mit Hilfe eines Spiegelsin die entgegengesetzte Richtung reflektiert und die Geschwindigkeitsmessung am reflektier-ten Strahl vorgenommen werden. Welche Werte der Lichtgeschwindigkeit werden nunmehrin Σ und in Σ' gemessen? Vergleichende Betrachtung zu dem von MICHELSON undMORLEY ausgeführten Experiment.

r04 Welche Bedeutung kommt dem Mitführungskoeffizienten F im leeren Raume - Lichtäther? -mit dem durch v'=v-u formulierten Additionstheorem der Geschwindigkeiten zu?

r05

Um eine bessere Vorstellung hinsichtlich des Unterschiedes zwischen der GALILEI- und derLORENTZ-Transformation zu erhalten, möge der Faktor k für eine Reihe von Geschwindig-keiten berechnet und damit eine Möglichkeit für eine Abwägung des Einsatzes einer der bei-den Transformationen im Falle einer praktischen Anwendung geschaffen werden.

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r06 Eine Länge l sei in Σ einmal durch den Abstand zweier Punkte auf der x-Achse und sodannauf der y-Achse gegeben. Wie messen die Beobachter in Σ und in Σ' die jeweiligen Werte derLängen l= x2- x1 und l= y2- y1 bzw. l'= x2'- x1' und l'= y2'- y1'.Wie ist das Ergebnis zu formulieren,wenn die Länge l als Referenzwert verwendet wird? .................................Längenkontraktion

r07 In Σ' sei in x' eine Uhr angeordnet, die es gestattet, eine Zeitspanne Δt ' als eine Zeitdifferenzzwischen den Zeitpunkten t 2' und t 1' anzugeben. Es möge dies beispielsweise die definierteLebensdauer eines Elementarteilchens sein. Welches Elementarteilchen wird üblicherweisefür die Erklärung der relativistischen Zeitdilatation herangezogen und warum? Dem Beobach-ter in Σ erscheint diese Zeitspanne länger. Mit welchem Faktor ist Δt ' zu multiplizieren?

r08 Bei der Diskussion des Experiments zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in einer mitWasser gefüllten Glasröhre (r01) war eine scheinbare Bestätigung für die Existenz einesLichtäthers über den Mitführungskoeffizienten gegeben worden. Läßt sich der Mitführungs-koeffizient F =1-1/ n2 auch ohne die Annahme eines Lichtäthers unter Anwendung des relativi-stischen Additionstheorems der Geschwindigkeiten erklären?

r09 Im Rahmen der Gedankenexperimente zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit im Hörsaalwurde das Ergebnis erzielt, daß unabhängig vom Bewegungszustand des Schlittens immer c0 gemessen wird. Es seien nunmehr die einzelnen Versuche unter Verwendung des relativisti-schen Additionstheorems der Geschwindigkeiten analysiert.

r10 In der klassischen Mechanik lautet der Ausdruck für die kinetische Energie E k =mv2 /2. Da mitder Masse die Ruhemasse m0 gemeint ist und mit der Geschwindigkeit die in der Ableitungfür die relativistische kinetische Energie verwendete Endgeschwindigkeit u, soll gezeigt wer-den, daß für Geschwindigkeiten u die wesentlich kleiner als c0 sind, aus der Reihenentwick-lung für den Ausdruck E k =(m-m0)c0

2 der Zusammenhang E k =m0u2 /2 entsteht.

r11

Es ist die einer Masse von 1μg äquivalente Energie, ausgedrückt in kWh, gesucht.

r12

Es möge die bei einer Kernspaltung und die bei einer Kernfusion freiwerdende Energiemengeanhand konkreter Werte erörtert werden.

r13 Wie groß ist die Ruhemasse m0 eines Photons (Lichtquant), und die Masse m des mit c0 be-wegten Photons? Das Photon möge sich gegen das Gravitationsfeld der Erde bewegen. Mitanderen Worten, die Photonen bewegen sich von der Erde weg. Nach den bisherigen Überle-gungen müßte es ähnlich einem nach oben geworfenen Stein eine verzögerte Bewegung aus-führen. Was wird tatsächlich beobachtet, wenn die Ausbreitung elektromagnetischer Wellenc0 im leeren Raum unabhängig von der Richtung ist? Das von REBKA und POUND zur Be-stätigung ausgeführte Experiment stellt extreme Anforderungen an die Meßgenauigkeit undsollte deshalb ausführlich erörtert werden.

181

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r14 In den bisherigen Ausführungen galt als gesichert, daß c0 die größtmögliche Geschwindigkeitin einem System sei. Verstößt cPhase>c0 bei der Materiewelle gegen diese Aussage?

r15

Ein Elektron habe eine Potentialdifferenz von 10kV durchlaufen. Wie groß sind seine kineti-sche Energie E k , seine Geschwindigkeit u, seine Masse m, der Impuls p und die Materiewel-

lenlänge λ? Kann λ durch ein Experiment überprüft werden?

Lösungen zu den Beispielen

r01

cc

n

= 0

z.B. durch eine Laufzeitmessung (siehe auch Beispiel r08).

uF n

cc

r

r

r

⋅±= 0

In der klassischen Vorstellung wird der Lichtäther teilweise - also mit einem gewissenSchlupf - von der bewegten Flüssigkeit mitgerissen.

r02 Eine gleichförmige Bewegung.Ja, wobei die Bewegungsrichtung mit der x-Richtung, die z-Richtung parallel zum Lot unddie y-Richtung so gewählt wird, daß xyz ein Rechtssystem bilden. Die Tatsache, daß die

Schwerebeschleunigung wirkt, ist ohne Belang, da nur Bewegungen in der xy-Ebene behan-delt werden und für diese durch eine reibungsfreie Lagerung des Schlittens die Gültigkeit derNEWTONschen Axiomatik angenommen werden kann. Es wird c0 / n Luft gemessen. Auch beiBewegung wird c0 / n Luft gemessen.Nein. Es wurde bereits im Zusammenhang mit der Überlagerung von Schwingungen ein Re-chenbeispiel (s06) behandelt und dort gezeigt, daß z.B. für das Licht eines He-Ne-Lasers undbestimmte Bedingungen n Luft =1,00032 beträgt.c0=2,99792458·108 m.s-1. Die letzte Nachkommastelle (8) entspricht 8m.s-1. Wird angenom-men, daß die Geschwindigkeit des Schlittens im Bereiche von weniger als 10m.s-1 liegt, somuß die relative Meßgenauigkeit bei der Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit im Zusam-

menhang mit dem dargestellten Experiment zur speziellen Relativitätstheorie im Bereiche von10-8 liegen, wobei von der klassischen Vorstellung her eine additive Zusammensetzung derGeschwindigkeit des Schlittens und der Vakuumlichtgeschwindigkeit (gebrochen durch n Luft )erwartet wird.

r03 Es wird wieder c0 / n Luft gemessen.Ebenfalls c0 / n Luft .

r04

Da die Brechzahl des leeren Raumes gleich 1 ist, wird der Mitführungskoeffizient( )F n= − =1 1 02 . Mit dem klassischen Denkmodell eines Lichtäthers muß angenommen

182

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werden, daß dieser bei einer Bewegung im leeren Raum nicht mitgeführt - mitgerissen - wird.Da das MICHELSON-MORLEY-Experiment aber gerade dieses von der klassischen Vorstel-lung her erwartete Ergebnis nicht zu verifizieren gestattete, mußte das Konzept des Licht-äthers aufgegeben werden. Wenn nunmehr die klassische Vorstellung noch die einfache addi-tive Zusammensetzung der Geschwindigkeiten fordert und diese im Experiment ebenfalls

nicht bestätigt werden kann, dann muß ein Additionstheorem der Geschwindigkeiten entwik-kelt werden, das den Versuchsausgang des MICHELSON-MORLEY-Experiments quantitativzu beschreiben gestattet - das relativistische Additionstheorem der Geschwindigkeiten.

r05 Um den Unterschied gegenüber 1 besser hervorzuheben, wird in der folgenden Tabelle k -1 inAbhängigkeit von der Geschwindigkeit u (m·s-1) angegeben.

u= 106k -1= 5,602837·10-6

107 5,568266·10-4

108 6,075203·10-2

Zum Vergleich beträgt eine der sogenannten hohen Geschwindigkeiten, nämlich die Umlauf-

geschwindigkeit der Erde um die Sonne, etwa 3·104 m·s-1.Der Unterschied zwischen der GALILEI- und der LORENTZ- Transformation wird erst beiGeschwindigkeiten nahe der Vakuumlichtgeschwindigkeit bedeutsam.

r06 ( ) ( )'.''.' 1212 t u xk t u xk x xl +⋅−+⋅=−=

Gleichzeitigkeit in Σ' für die Messung von l' vorausgesetzt, ergibt( ) ''' 12 lk x xk l ⋅=−⋅=

in der x-Richtung undl y y y y l= − = − =2 1 2 1' ' '

in der y-Richtung.

r07 't k t Δ⋅=Δ

μ-Mesonen sind Elementarteilchen, die z.B. in der äußeren Erdatmosphäre durch die Wech-selwirkung hochenergetischer Strahlung mit dem Hüllgas der Erde entstehen. Deren Lebens-dauer beträgt, gemessen mit einer Uhr in einem mit dem Teilchen mitbewegten System,2,15·10-6 s. Dieser Wert der Lebensdauer kann dadurch so genau angegeben werden, da μ-Mesonen auch durch Reaktionen in Laboratorien erzeugt werden können und in diesem Falleeine Geschwindigkeit aufweisen, die noch keine relativistische Korrektur erfordern. Die Ge-schwindigkeit der μ-Mesonen als Bestandteil der harten Komponente der kosmischen Strah-lung ist hingegen nahezu gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit. Mit den beiden genanntenZahlenwerten würde die Reichweite der μ-Mesonen, klassisch gerechnet,

m betragen. Tatsächlich legen sie aber Distanzen von einigen 106451031015,2 86 =⋅⋅⋅ − 4 mvom Orte ihrer Entstehung bis zum Beobachter auf der Erdoberfläche zurück. Der Wert von k beträgt im Falle dieser Teilchen etwa 50, weshalb der Beobachter die Lebensdauer der μ-Mesonen zu k .Δt '=50·2,15·10-6=Δt =1,08·10-4 s ermittelt.

r08 Die Geschwindigkeit der Wassersäule in der Glasröhre möge u sein. Im ruhenden Wasser be-trägt die Lichtgeschwindigkeit c0 / n. Dieser Wert wird auch von einem mit der Wassersäulemitbewegten Beobachter gefunden. Das heißt, daß die Lichtgeschwindigkeit c' im gestriche-

183

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nen System gleich c0 / n ist. Nach dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten wird von ei-nem relativ zum Glasrohr in Ruhe befindlichen Beobachter eine Geschwindigkeit

0

0

20

0

0

1

1

1 cn

u

un

c

cn

c

u

un

c

c

⋅+

+=

⋅⋅+

+=

erhalten. Mit einer Wassergeschwindigkeit von etwa 1m.s-1 unterscheidet sich der Nenneraus-druck nur wenig von 1 und es kann der obige Ausdruck sehr gut durch

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

0

0 1cn

uu

n

cc

ersetzt werden. Führt man das Produkt aus

0

2

20

cn

u

n

uu

n

cc

⋅−−+=

und berücksichtigt die Tatsache, daß der letzte Summand im Vergleich zu den anderen we-sentlich kleiner ist und deshalb vernachlässigt werden kann

cc

nu

n= + −

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟0

21

1. ,

so beschreibt der Klammerausdruck den Mitführungskoeffizienten F , der, wie die oben ange-stellten Ausführungen gezeigt haben, ohne die Annahme eines Lichtäthers, der vom Wasserteilweise mitgerissen wird, unter Verwendung der LORENTZ-Transformation erklärt werdenkann.

r09 Bewegter Beobachter und ruhende Lichtquelle

( ) ( )c c u u c c'= − − =0 01 0

Bewegte Lichtquelle und ruhender Beobachter

( ) ( )c c u u c c'= + + =0 01 0

Im Falle einer Richtungsumkehr tritt eine Vorzeichenumkehr ein, das Ergebnis c0 bleibt abererhalten.

r10

( ) ( ) 200

200 1 ck mcmm E k ⋅−⋅=⋅−=

Im Falle v bzw u«c0 wird20

2

21

c

vk

⋅+= und damit (k -1)·c0

2 gleich v2 /2. Mit der hier gezeig-

ten Betrachtung wird der bekannte Ausdruck mv2 /2 als ein Sonderfall der relativistischen ki-

netischen Energie für den Fall von Geschwindigkeiten erhalten, die wesentlich kleiner als dieVakuumlichtgeschwindigkeit sind.

r11 Mit dem Äquivalenzprinzip wird

E = m·c02 = 1·10-9· (3·108)2=9·107 J=9·107 /3,6·106=25 kWh erhalten.

r12

Die Masse eines gebundenen Atomkerns ist kleiner als die Summe der Massen seiner Bau-steine (Protonen, Neutronen). Dieser Massenunterschied Δm ist äquivalent zur Bindungsener-

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gie E B=Δm·c02. Um die folgenden Überlegungen besser verstehen zu können, wird der Mas-

senunterschied Δm durch die Anzahl der im Kern enthaltenen Kernbausteine - Nukleonen -dividiert und damit die mittlere Bindungsenergie je Nukleon eingeführt. Als Maß für die An-zahl der Nukleonen im Kern wird das Atomgewicht A verwendet. Das folgende Bild zeigt

E B / A in Abhängigkeit vom Atomgewicht.

Abb.B_01r

Daraus ist zu ersehen, daß bei der Verschmelzung zweier leichter Kerne ein schwererer Kernentsteht, dessen Bindungsenergie je Nukleon höher ist als die der Ausgangskerne - Prinzip der

Kernverschmelzung oder Kernfusion. Im Falle schwerer Kerne hingegen gilt, daß bei derAuftrennung eines Kerns in zwei leichtere, die Bindungsenergie je Nukleon zunimmt - Prin-zip der Kernspaltung. Berechnet man den Gesamtzuwachs an Bindungsenergie indem die mitder jeweiligen Anzahl von Kernbausteinen multiplizierte Bindungsenergie je Nukleon vor derKernreaktion von jener nach derselben abgezogen wird, so ist dies die bei der jeweiligenKernreaktion freiwerdende Energie. Ohne nun die Rechnung im Detail auszuführen seien hierdie bei einigen Kernfusionen freiwerdenden Energien gezeigt

2H + 1H → 3He + γ + 5,49 MeV,3He + 3He→ 4He + 2.1H + 12,85 MeV,12

C +

1

H →

13

N + γ + 1,95 MeVFür die Kernspaltung möge das folgende Beispiel dienen. Das in der Natur vorkommende U-ranisotop 235U wird durch Anlagerung eines Neutrons in das instabile 236U übergeführt, dasz.B. bei einer symmetrischen Spaltung in zwei 118Pd zu einem Zuwachs von 0,78 MeV anBindungsenergie je Nukleon führt. Das heißt, daß bei der symmetrischen Spaltung des Uran-isotops 236 eine Energie von insgesamt 236·0,78 = 184 MeV frei wird.

r13 Wenn elektromagnetische Strahlung der Frequenz f in lotrechter Richtung eine Höhendiffe-renz H bewältigt, dann müssen die Quanten dieser Strahlung mit der Masse m=hf / c0

2 gegen

das Gravitationsfeld der Erde eine Arbeit mgH verrichten.

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Die Energie stammt von der Quantenenergie, so daß die Quantenenergie von ursprünglich hf auf hf '= hf -mgH abnimmt. Eine geringere Frequenz f '< f bedeutet eine Rotverschiebung undda diese im Gravitationsfeld erfolgt heißt der Effekt "Rotverschiebung des Lichtes im Gra-

vitationsfeld".Wird für mgH eingesetzt, die Differenzfrequenz berechnet und diese durch f dividiert, so er-

hält man die relative Frequenzänderung Δ f / f = ( f - f ')/ f

20c

H g

f

f ⋅=

Δ

Im Falle einer Höhe H =30 m, einer Schwerebeschleunigung g=9,8 m·s-2 und einer Vakuum-lichtgeschwindigkeit c0=3·108 m·s-1 errechnet sich die relative Frequenzänderung zu 3,3·10-15.Dies ist der Grundgedanke des REBKA-POUND-Experiments.

r14 Nein, da die Begrenzung nur für die Bewegung von Energie bzw. Masse gilt und die Phasen-geschwindigkeit davon nicht betroffen ist.

r15 Die kinetische Energie des Elektrons nach dem Durchlaufen einer Potentialdifferenz von10kV beträgt 10keV=1,60·10-15 J. Aus der Beziehung E k = (m-m0)c0

2 errechnet sich mitm=m0k die gesuchte Geschwindigkeit zu

172

200

0 sm1088,5

.1

11 −⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

−⋅=

cm

E

cu

k

.

Der relativistische Faktor beträgt damit k =1,02, sodaß für die Masse des bewegten Elektronsm=9,29·10-31 kg, ein Impuls p=m·u=5,46·10-23 kg·m·s-1 und eine Materiewellenlängeλ =h / p=1,21·10-11 m, also 12,1 pm folgt.

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