乌鲁木齐市高级中学 杨帆

1.3 算法案例

第一课时

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

问题提出t

57301p

2

1. 研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开 . 在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？在程序设计中基本的算法语句有哪几种？ 2.“ 求两个正整数的最大公约数”是数学中的一个基础性问题，它有各种解决办法，我们以此为案例，对该问题的算法作一些探究 .

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

知识探究（一） : 辗转相除法思考 1:18 与 30 的最大公约数是多少？你是怎样得到的？

先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数 .

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

思考 2: 对于 8251 与 6105 这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难 . 注意到 8251=6105×1+2146 ，那么 8251 与 6105 这两个数的公约数和 6105 与 2146的公约数有什么关系？

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

思考 3: 又 6105=2146×2+1813 ，同理， 6105 与 2146 的公约数和 2146 与1813 的公约数相等 . 重复上述操作，你能得到 8251 与 6105 这两个数的最大公约数吗？

2146=1813×1+333 ，

148=37×4+0.333=148×2+37 ，1813=333×5+148 ，

8251=6105×1+2146 ，6105=2146×2+1813 ，

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

思考 4: 上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法 .一般地，用辗转相除法求两个正整数 m ，n 的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？ 第一步，给定两个正整数 m， n(m>n).第二步，计算 m除以 n所得的余数 r. 第三步， m=n ， n=r.第四步，若 r=0 ，则 m， n的最大公约数等 于 m；否则，返回第二步 .

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

思考 5: 该算法的程序框图如何表示？开始

输入m， n

求 m 除以 n 的余数r

m=n

n=r

r=0？是

输出m

结束

否

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

思考 6: 该程序框图对应的程序如何表述？

INPUT m ， nDO

r=m MODnm=nn=r

LOOP UNTIL r=0PRINT mEND

开始

输入m， n

求 m 除以 n 的余数r

m=n

n=r

r=0？是

输出m

结束

否

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

思考 7: 如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数 m ， n 的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

开始

输 入 m ，n

求 m 除 以 n 的 余数 r

m=n

n>0 ？否

输出m

结束

是

n=r

INPUT m ，nWHILE n>0

r=m MODnm=nn=r

WENDPRINT mEND

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

知识探究（二） : 更相减损术 思考 1: 设两个正整数 m>n ，若 m-n=k ，则 m 与 n 的最大公约数和 n 与 k 的最大公约数相等 . 反复利用这个原理，可求得 98 与 63 的最大公约数为多少？

98-63=35 ，

14-7=7.21-7=14 ，28-7=21 ，35-28=7 ，63-35=28 ，

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

思考 2: 上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术 . 一般地，用更相减损术求两个正整数 m ， n 的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数 m， n(m>n). 第二步，计算 m-n 所得的差 k. 第三步，比较 n与 k的大小，其中大者用 m表 示，小者用 n表示 . 第四步，若 m=n ，则 m， n的最大公约数等于 m ；否则，返回第二步 .

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

思考 3: 该算法的程序框图如何表示？开始

输 入 m ，n

n>k？

m=n

是

输出m

结束

m≠n？

k=m-n是

否

n=k

m=k

否

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

思考 4: 该程序框图对应的程序如何表述？INPUT m ，nWHILE m<>n k=m-nIF n>k THEN

m=nn=k

ELSEm=kEND IFWENDPRINT mEND

开始

输 入 m ，n

n>k？

m=n

是

输 出m

结束

m≠n？

k=m-n是

否

n=k

m=k

否

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

“ 更相减损术”在中国古代数学专著《九章算术》中记述为： 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之 .

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

理论迁移

例 1 分别用辗转相除法和更相减损术求 168 与 93 的最大公约数 .

辗转相除法： 168=93×1+75 ， 93=75×1+18 ， 75=18×4+3 ， 18=3×6.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

更相减损术 :168-93=75 ， 93-75=18 ， 75-18=57 ， 57-18=39 ， 39-18=21 ， 21-18=3 ， 18-3=15 ， 15-3=12 ， 12-3=9 ， 9-3=6 ， 6-3=3.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

例 2 求 325 ， 130 ， 270 三个数的最大公约数 .

因为 325=130×2+65 ， 130=65×2 ，所以 325 与 130 的最大公约数是 65. 因为 270=65×4+10 ， 65=10×6+5 ，10=5×2 ，所以 65 与 270 最大公约数是 5.

故 325 ， 130 ， 270 三个数的最大公约数是 5.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

1. 辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数 .

小结作业

2. 更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数 .

乌鲁木齐市高级中学 杨帆

作业：P45 练习： 1.P48 习题 1.3A 组： 1.