1408-KET-SERISI-10-MATEMATIK-DEFTER-KITAP · 10 1. ÜNİTE / Sayma ve Olasılık MU BA Yayınları 2. DERS 2. DERS 5. 10 kişinin katıldığı bir yarışmada, ilk 2 derecenin dağı-

8

1.H A F TA

1. DERS 1. DERS

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

10.1.1.1ÖĞRENME ALANIToplama Yoluyla Sayma

• A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşiminden oluşan kümenin eleman sayısı,

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) dir.

• Herhangi iki ayrık ve iki sonlu kümenin birleşiminin ele-man sayısını bu şekilde bulmaya saymanın toplama yöntemi denir.

UYGULAMA ALANI

1. Bir okulda yapılan etkinlikte 2 öğrenci sunuculuk yapmış, 3 öğrenci şiir okumuş ve 12 öğrenciden oluşan koro da şarkılar söylemiştir.

Bunagöre,okulunetkinliğindekaçöğrenciningörev-lendirildiğinibulunuz.

Etkinlikte görevli, 2 + 3 + 12 = 17 öğrenci vardır.

(17)

2. Bir otelin lobisinde 6 tek kişilik koltuk, 8 sandalye ve 3 ta-ne de tabure vardır.

Buna göre, lobide kaç kişinin oturabileceği yer vardır?

Lobide oturulacak, 6 + 8 + 3 = 17 kişilik yer vardır.

(17)

3. Bir sınıfta 7 erkek, 13 kız öğrenci bulunduğuna göre, sınıf mevcudunu bulunuz.

Sınıf mevcudu, 7 + 13 =20 dir.

(20)

4. Bir kişi giyim mağazasında bulunan 7 gömlek ve 12 pantolon arasından 1 gömlek veya 1 pantolonu kaç değişik şekilde alabilir?

Bu kişi seçimini, 7 + 12 = 19 farklı şekilde yapabilir.

(19)

5. Bir fabrikada 1. vardiyada 2, 2. vardiyada 3 güvenlik gö-revlisi vardır.

Buna göre, fabrikada kaç güvenlik görevlisi çalışmak-tadır?

2 + 3 = 5 güvenlik görevlisi vardır.

(5)

Toplama kuralı ile ifade edilen seçme işleminde seçilen 1 eleman olmalıdır.

6. Bir kutuda 5 kırmızı, 3 yeşil kalem vardır.

Bu kutudan 1 kırmızı ya da 1 yeşil kalem kaç farklı şekilde seçilebilir?

5 + 3 = 8 şekilde seçilebilir.

(8)

7. Birbirinden farklı 6 kimya ve 5 biyoloji kitabı arasın-dan 1 fizik ya da 1 biyoloji kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir?

6 + 5 = 11 sekilde seçilebilir.

(11)

8. Ankara’dan İstanbul’a 5 farklı kara yolu şirketi, 4 farklı hava yolu şirketi vardır.

Selim Ankara’dan İstanbul’a kaç farklı şekilde gidebi-lir?

5 + 4 = 9 şekilde gidilebilir.

(9)

9. İĞDELİ Yayınlarının dizgi biriminde 3 dizgi operatörü, 2 baskı öncesi işlemcisi, 2 editör bulunmaktadır.

İĞDELİ yayınlarının dizgi biriminin personel sayısı kaç-tır?

3 + 2 + 2 = 7 personel vardır.

(7)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

9

1. DERS

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

2. DERS

1. Bir sınıfta 7 kız ve 8 erkek öğrenci vardır.

Bu sınıftan bir kız ya da bir erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) 7 B) 8 C) 12 D) 15 E) 56

2. 5 gömlek, 7 pantolon ve 4 kemer arasından bir gömlek ya da bir pantolon ya da bir kemer kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) 9 B) 12 C) 16 D) 35 E) 140

3.

Yukarıdaki gibi 6 raftan oluşan bir çalışma dolabına sahip olan Murat, aynı dersin testlerini raflara şekilde belirtildiği gibi yatay olarak yerleştirmiştir.

Buna göre, matematik ve edebiyat derslerine çalış-mak için kütüphaneye giden Murat, evden çıkarken yanına en az kaç raftan test almalıdır?

A) 20 B) 21 C) 26 D) 31 E) 32

4. Ahmet’in kitaplığında kapakları birbirinin aynısı olan 4 ma-tematik, 3 fizik, 2 kimya kitabı vardır.

Matematik çalışmak amacıyla acele olarak evden ayrı-lan Ahmet kitaplığından en az kaç kitap almalıdır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

1. D 2. C 3. E 4. D

10.1.1.1ÖĞRENME ALANI

Çarpma Yoluyla Sayma - 1

• İki işlemden birincisi m farklı yolla, ikincisi birinci işleme bağlı olarak n farklı yolla yapılabiliyorsa olayın tamamı sıralı bir şekilde m·n farklı yolla yapılır. Bu tür saymaya çarpma yoluyla sayma denir.

UYGULAMA ALANI

1. 5 farklı gömleği ve 4 farklı pantolonu olan bir kimse, 1 gömlek ve 1 pantolonu kaç farklı şekilde seçebilir?

1 gömlek ile bir pantolon seçimi:

5 · 4 = 20 farklı şekilde yapılır.

(20)

2. 12 kız ve 8 erkek öğrencinin bulunduğu sınıftan bir kız ile bir erkek öğrenci kaç değişik şekilde seçilebilir?

Bu seçim, 12 · 8 = 96 değişik şekilde yapılır.

(96)

Çarpma yolu ile saymada birinci elemanı 1. kümeden, ikinci elemanı 2. kümeden ... , n inci elemanı n. kümeden alınan elemanlarla oluşturulan bir sıralı n li seçilmektedir.

3. 4 farklı etek, 5 farklı bluz ve 6 farklı ayakkabısı olan bir kadın bir etek, bir bluz ve bir ayakkabı kaç farklı şekil-de giyebilir?

4 · 5 · 6 = 120

(120)

4. 5 farklı kazak, 4 farklı gömlek, 7 farklı kravat arasından bir kazak, bir gömlek, bir kravat seçimi kaç değişik şe-kilde yapılabilir?

5 · 4 · 7 = 140

(140)

BA

1. raf2. raf3. raf4. raf5. raf6. raf Matematik dersinin testleri

İngilizce dersinin testleriBiyoloji dersinin testleriEdebiyat dersinin testleriFizik dersinin testleriKimya dersinin testleri

E F G 15° 35° 45°DC

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

10

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

2. DERS2. DERS

5. 10 kişinin katıldığı bir yarışmada, ilk 2 derecenin dağı-lımının kaç değişik şekilde olabileceğini bulunuz.

10 · 9 = 90

(90)

6. A B C

Yukarıdaki şemada A, B ve C kentleri arasındaki farklı yollar gösterilmektedir.

A dan C ye gitmek isteyen Sadi’nin B ye uğramak ko-şuluyla kaç farklı şekilde gidebileceğini bulunuz.

4 · 3 = 12

(12)

7. 15 kişilik bir gruptan bir başkan, bir başkan yardımcı-sının kaç değişik şekilde seçilebileceğini bulunuz.

15 · 14 = 210

(210)

8. 5 farklı roman kitabı, 4 farklı masal kitabı ve 3 farklı hikaye kitabı olan bir kişi bu kitaplardan 1’er tane oku-mak isterse bu seçimi kaç farklı şekilde yapılabilir?

5 . 4 . 3 = 60

(60)

1. Hatice Öğretmen öğrencilerini 3 gruba ayırarak 2 şer ku-tu ile toplamda 34 pinpon topu veriyor. Aşağıda verilen tabloda sırasıyla her grubun kutulara koyduğu pinpon top-larının sayısı belirtilmiştir.

Grup: 1. grup 2. grup 3. grup

Kutu: 1. kutu 2. kutu 3. kutu 4. kutu 5. kutu 6. kutu

Top sayısı:

7 2 7 7 7 4

Buna göre, her kutudan 1 er adet top alan Hatice Öğretmen, bu eylemi kaç farklı şekilde gerçekleştire-bilir?

A) 23 . 74 B) 1 . 3 . 64 C) 74

D) 34 E) 28

2. , , , ,A 3 4 5 6 7= # -

kümesinin elemanları kullanılarak kaç tane üç basa-maklı doğal sayı yazılabilir?

A) 216 B) 180 C) 125 D) 90 E) 60

3. , , , ,A 2 3 4 5 6= # -

kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı kaç tane üç basamaklı doğal sayı yazılabilir?

A) 90 B) 60 C) 48 D) 42 E) 36

4. Seyahate çıkan Ahmet’in valizinde 3 gömlek ve 4 kravatı vardır.

Bir giydiği gömlek ve kravatı bir daha giymeyen Ahmet’in, 2 günlük seyahati boyunca bir gömlek ve bir kravatı kaç değişik şekilde giyebilir?

A) 24 B) 36 C) 48 D) 72 E) 80

1. A 2. C 3. B 4. D

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

11

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

3. DERS3. DERS



UYGULAMA ALANI

1. A B C

• A ve B kentleri arasında üç farklı,

• B ve C kentleri arasında iki farklı yol vardır.

A dan C ye her seferinde B ye uğramak koşulu ile kaç değişik şekilde gidilip dönülebiliceğini bulunuz.

3 · 2 · 2 · 3 = 36

(36)

2. D

A

C

B

Şekilde A dan B ye üç farklı yol, B den C ye üç farklı yol, C den D ye iki farklı yol ve D den A ya üç farklı yol vardır.

A da bulunan Tayfun’un C ye, var olan yolları kullana-rak kaç değişik şekilde gidip, dönebileceğini bulunuz.

ABC veya ADC rotasında gider 3 · 3 + 3 · 2 = 15CBA veya CDA rotasında döner 3 · 3 + 2 · 3 = 15Toplam 15 · 15 = 225 şekilde gidip döner.

(225)

3. A B C

A dan B ye 3, B den C ye 4 farklı yol vardır.

A dan C ye gidip dönmek isteyen Arzu’nun, kullandığı yolu bir daha kullanmamak üzere, kaç değişik şekilde gidip dönebileceğini bulunuz.

· · ·3 4 4 1 3 1 72- - =_ _i i

(72)

4. , , , , ,A 0 1 2 3 4 5= # -

kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabileceğini bulunuz.

5 · 6 · 3 = 90

(90)

5. , , , , , , ,A 0 1 2 3 4 5 6 7= # -

kümesinin elemanları ile üç basamaklı, rakamları fark-lı kaç çift sayı yazılabileceğini bulunuz.

2, 4 veya 6 ile bitenler : 6 · 6 · 3 = 108

0 ile bitenler = 7 · 6 · 1 = 42

Toplam = 108 + 42 = 150

(150)

6. , , , , , ,A 0 1 2 3 4 5 6= # -

kümesinin elemanlarını kullanarak, rakamları farklı 4 basamaklı 2000 den büyük kaç doğal sayı yazılabile-ceğini bulunuz.

2000 den büyük doğal sayıların binler basamağına

{2, 3, 4, 5, 6} rakamlarından biri gelmelidir.

5 · 6 · 5 · 4 = 600

(600)

7. , , , ,A 0 2 3 6 8= # -

kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı kaç tek doğal sayı yazılabileceğini bulunuz.

Bir basamaklı : 1

İki basamaklı : 3 · 1 = 3

Üç basamaklı : 3 · 3 · 1 = 9

Dört basamaklı : 3 · 3 · 2 · 1 = 18

Beş basamaklı : 3 · 3 · 2 · 1 · 1 = 18

Toplam 49 sayı yazılabilir.

(49)

8. , , , , ,A 2 3 4 5 6 7= # -

kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, dört basamaklı, 25 ile bölünebilen kaç doğal sayı ya-zılabileceğini bulunuz.

25 ile bitenler : 4 · 3 · 1 · 1 = 12

75 ile bitenler : 4 · 3 · 1 · 1 = 12

Toplam : 12 + 12 = 24 (24)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

12

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

4. DERS3. DERS

1. A dan B ye 5, B den C ye 3 farklı yol vardır. B ye uğ-rayarak A dan C ye giden bir kişi giderken kullandığı yolun tamamen aynısını dönüşte kullanmamak koşu-luyla kaç farklı şekilde gidip gelebilir?

A) 225 B) 224 C) 210 D) 180 E) 150

2.

A B C

A noktasında bulunan bir karınca sadece yukarıdaki çizgileri takip ederek C noktasına kaç değişik şekilde ulaşabilir?

A) 36 B) 24 C) 20 D) 15 E) 14

3. , , , ,A 0 2 3 7 8= # -

kümesinin elemanları kullanılarak, üç basamaklı, rakamları farklı, 4 ile bölünebilen kaç doğal sayı yazı-labilir?

A) 16 B) 15 C) 13 D) 12 E) 10

4. Bir kurum, şifre ile açılan tüm kapılarından girişin sağla-nabilmesi için 8 haneli bir şifre oluşturup tüm personele bildirmiştir. Bu şifrenin tamamı rakamlardan oluşmaktadır. Şifrenin 358 ile başladığı, bir kez kullanılan rakamın bir daha kullanılmadığı ve şifrenin tek sayı olduğu bilinmek-tedir.

Buna göre, bu şifreyi bilmeyen bir kişi en fazla kaç denemede doğru şifreyi bulur?

A) 720 B) 780 C) 900 D) 960 E) 1080

1. B 2. D 3. D 4. E



UYGULAMA ALANI

1. 4 öğrenci düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir?

4 , 3 , 2 , 1 → 4·3·2·1 = 24 farklı şekilde oturabilir.

(24)

2. 9 kişi 4 boş koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?

9 , 8 , 7 , 6 → 9·8·7·6 = 30241K 2K 3K 4K farklı şekilde oturabilir.

(3024)

3. 3 farklı paket, 4 farklı posta kutusuna kaç farklı şekil-de atılabilir?

Sınırlama yok, her paket her posta kutusuna atılabilir.

4 , 4 , 4 = 4 · 4 · 4 = 64 farklı şekilde atılabilir.

1. pk. 2. pk. 3. pk.

(64)

4. 3 farklı mektup, 4 farklı posta kutusuna, her mektup farklı posta kutusuna atılmak koşulu ile kaç farklı şe-kilde atılabilir?

Sınırlama var, aynı kutuya 2. mektup atılamaz. Her mek-tupta posta kutularının sayısı azaltılmalıdır.

4 , 3 , 2 = 4·3·2 = 24 farklı şekilde atılabilir.

1.mek. 2.mek. 3.mek. (24)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

13

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

4. DERS4. DERS

5. 7 kişilik bir grupta herkes birbirine kartvizitini vermiştir.

Buna göre, toplam kaç kartvizitin el değiştirdiğini bu-lunuz.

Herkes kendisi dışındaki 6 kişiye kartvizit vermiştir.

7 · 6 = 42

(42)

6. 10 kişilik bir grupta herkes birbiri ile tokalaşmıştır.

Buna göre, toplam kaç tokalaşmanın gerçekleştiğini bulunuz.

Herkes kendisi dışındaki 9 kişi ile tokalaşmıştır.

Ancak iki kişi arasındaki tokalaşma bir kez sayılmalıdır.

·10 9 2 45' =_ i

(45)

7. 8 soruluk bir testte her bir sorunun 5 seçeneği vardır.

Bu test için kaç değişik cevap anahtarı hazırlanabile-ceğini bulunuz.

e

· ·5 5 5 5 5tan

8

8

f =1 2 344444 44444

(58)

8. 5 soruluk bir testte her bir sorunun 5 çeldiricisi vardır.

Art arda iki sorunun doğru cevap şıkkı farklı olmak üzere, kaç değişik şekilde cevap anahtarı hazırlanabi-leceğini bulunuz.

5 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1280

(1280)

1.

Bir sokakta yan yana bulunan 4 ev, 3 farklı renkte bo-ya ile kaç değişik şekilde boyanabilir?

A) 12 B) 24 C) 27 D) 64 E) 81

2. Her biri 5 çeldiriciye sahip 6 test sorusu vardır.

Art arda gelen herhangi 3 sorunun cevaplarının farklı çeldiriciyi gösterdiği kaç değişik şekilde cevap anah-tarı hazılanabilir?

A) 360 B) 540 C) 1620 D) 3240 E) 8210

3. Boyama kitabında yan yana duran 5 resmin her biri tek renk olmak üzere 6 farklı kuru boya ile boyanacaktır.

Yan yana duran herhangi iki resmin renginin aynı olmaması koşulu ile kaç değişik şekilde boyama ya-pılabilir?

A) 3800 B) 3750 C) 3250 D) 3000 E) 2625

4. abc üç basamaklı bir doğal sayıdır.

• a tek ise b + c tek sayıdır.

• a çift ise b + c çift sayıdır.

Buna göre, verilen koşulları sağlayan kaç farklı abc sayısı yazılabilir?

A) 200 B) 320 C) 400 D) 450 E) 560

5. 25 kişilik bir grup ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.

• Gruptaki her bir kişi kendine bir rakam seçmiştir.

• Gruptaki kişiler tarafından seçilmeyen rakam bulun-mamaktadır.

• Grupta aynı rakamı seçen en çok x kişi, en az y kişi vardır.

Buna göre, x + y toplamı kaçtır?

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

1. E 2. C 3. B 4. D 5. B

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

14

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

5. DERS5. DERS


Faktöriyel Kavramı – 1

n doğal sayısı için 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çar-pımına n sayısının faktöriyeli denir ve n! biçiminde gösterilir.

0! = 1

1! = 1

2! = 2 · 1 = 2

3! = 3 · 2 · 1 = 6

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

............................

n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 · 2 · 1 dir.

UYGULAMA ALANI

1. !!

1012

işleminin sonucunu bulunuz.

!! .!

! dir1012 12 11 210

10 13$ $= =

(132)

2. !! !10

9 8+


!!

!.. . !

8 9 110 9 8

8 1010 9 8 9· ·

+= =

_ i

(9)

3. ! !! !

6 55 4

-+


!

!

4 30 5

4 5 1 625-

+=

_

_ i

i

625b l

4. ! !n n8 8- + -_ _i i

toplamının sonucunu bulunuz.

! ! ! !n n8 0 88 8 8 8 0 0 1 1 2

&- = =

- + - = + = + =_ _i i

(2)

5. 35! + 36!

toplamının en büyük asal çarpanını bulunuz.

! !·35 1 36 35 37+ =_ i ifadesinin en büyük asal çarpanı 37 dir.(37)

6. 1! + 2! + 3! + ... + 96!

toplamının 6 ile bölümünden kalanı bulunuz.

Verilen toplamda 6 ile tam bölünen sayıya kadar olan fak-töriyeller açılırsa1 + 2 + 6 + 4! + 5! + ... + 96!Verilen toplamın 6 ile bölümünden kalan 3 tür.

(3)

7. 136!

sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bu-lunuz.

a! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bul-mak için a! sayısındaki 5 sayısının çarpanlarını bulmak yeterlidir.136 5 27 5 5 5 1

27 + 5 + 1 = 33 basamağı sıfırdır.

(33)

8. 42! = 3n · A

A eşitliğinde A ve n doğal sayılardır.

Buna göre, n nin en büyük değerini bulunuz.

42 3 14 3 4 3 1

14 + 4 + 1 = 19En büyük n değeri 19

(19)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

15

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

6. DERS5. DERS

1. ! !! !

7 86 7

++

işleminin sonucu kaçtır?

A) 7 B) 152 C) 8

61 D) 863 E) 8

2. n bir doğal sayı olmak üzere,

n! = 1 . 2 . 3 ... . (n – 1) . n

ifadesine n faktöriyel denir.

x . 10! çarpımı bir tam sayının karesi olduğuna göre, x in alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 5 B) 7 C) 10 D) 14 E) 21

3. 27! = 2a · 3b · c

Yukarıdaki eşitlikte c tam sayısı en küçük iken a + b toplamı kaçtır?

A) 13 B) 23 C) 30 D) 35 E) 36

4. ! !A2 215 14

n n 1=+

++

ifadesini doğal sayı yapan n doğal sayılarının toplamı kaçtır?

A) 180 B) 120 C) 100 D) 84 E) 62

1. D 2. B 3. E 4. B


Faktöriyel Kavramı - 2

UYGULAMA ALANI

1. 7!·x = 9!

olduğunagöre,xdeğerinibulunuz.

7!·x = 9!

! ! .x x dir7 9 8 7 72&$ $ $= =

(72)

2. ( ) !( ) !nn

11

72-

+=

olduğuna göre, n’nin değerini bulunuz.

( ) !( ) !

( ) !( ) ( ) !

( ).

nn

nn n n

n nn dir

11

721

1 172

1 9 88

&$ $

$ $

-

+=

-

+ -=

+ =

= (8)

3. ( ) !( ) !

( ) !!

nn

nn

11

212

-

+-

-=

olduğuna göre, n’nin değerini bulunuz.

( ) ( ) !( ) ( ) ( ) !

( ) !( ) ( ) !

n nn n n n

nn n n

n1 2

1 1 22

1 212

6$

$ $ $ $ $

- -

+ - --

-

- -=

=

(6)

4. n pozitif tam sayı

! !

! !n

n n

n2 1

2 1 2

2 2130

+

- +

+ +=

_

_

_

_

i

i i

i

olduğuna göre, n değerini bulunuz.

!

!

· ·

n

n

n n

n

n

n nn

2 1

2 1

2 1 1 2

1 2 2130

2 1

2 2 3130 5&

+

+

- +

+ +=

+

+= =

_

_

_

_

_

_

_i

i

i

i

i

i

i

(5)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

16

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

6. DERS6. DERS

5. a ve b doğal sayı

!!

ba 120=

olduğuna göre, b nin alabileceği farklı değerlerin top-lamını bulunuz.

! !! !! !! !! !

·····

a b1205 120 05 120 16 120 3

120 120 119

=

=

=

=

=

b nin alabileceği değerler toplamı 0 + 1 + 3 + 119 = 123 tür.

(123)

6. a ve b doğal sayılardır.

! ! ! !a b a b:+ =

olduğuna göre, !a b+_ i kaçtır?

Eşitliğin iki yanı a! · b! ile bölünürse

! !

! !

b a a b1 1 1 2

2 2 4 24

&+ = = =

+ = =_ i

(24)

7. n = 9!

olduğuna göre, ! !40

10 11+ ifadesinin n türünden değe-rini bulunuz.

! ! ! !

n n n

4010 11

4010 9 11 10 9

4010 110 3&

$ $ $+=

+

+=

(3n)

8. n = 9 · 7!

olduğuna göre, 7! + 8! + 9! toplamının n türünden de-ğerini bulunuz.

7! + 8! + 9! = 7! + 8 · 7! + 9 · 8 · 7!

= 81·7!

7! + 8! + 9! = 9 · 9 · 7! = 9n

(9n)

1. ! ( ) !

( ) ! ( ) !n n

n n2

1 4$

$

+

+ + = 48n + 192

denklemini sağlayan n değeri kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2. Bir firmanın satışa sunduğu üç farklı A4 kâğıdı paketi için paket adedi ile toplam fiyatları aşağıdaki tabloda gösteril-miştir.

Kağıt türü Paket adedi Toplam fiyat (TL)

1. kalite 8! 100 . 7!

2. kalite 6! 100 . 5!

3. kalite 7! 100 . 6!

Ahmet Bey, idareciliğini yaptığı kuruma 1. kalite A4 kâğıdından 40 paket; 2. kalite A4 kâğıdından 30 paket; 3. kalite A4 kâğıdından 49 paket alıyor.

Buna göre, Ahmet Bey kâğıt firmasına toplamda kaç lira öder?

A) 500 B) 700 C) 1000 D) 1200 E) 1700

3. !x y24 2 1= +_ i

!y x 3= -

olduğuna göre, x · y değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 15 B) 12 C) 10 D) 9 E) 8

4. a doğal sayı olmak üzere; Aylin, a! sayısının değerini bulmak için ifadenin açılımını yapıyor. Ancak açılımda yanlışlıkla bir sayıyı iki kez yazarak çarpımın sonucunu 2160 buluyor.

Buna göre, Aylin’in yanlışlıkla fazladan çarptığı sayı kaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

1. C 2. E 3. C 4. D

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

17

HAFTANIN ÖDEVİ

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. Bir banka şubesinde 6 banko görevlisi, 3 şef, 2 müdür yardımcısı, 1 müdür ve 1 güvenlik görevlisi olduğuna göre, bu şubenin personel sayısını bulunuz.

6 + 3 + 2 + 1 + 1 = 13

(13)

2. Zeynep şehir dışına çıkmak amacıyla valizini hazırlar-ken elbise dolabında bulunan 4 gömlek, 5 pantolon ve 3 kazak arasından 1 gömlek, 1 pantolon ve 1 kazağı kaç farklı şekilde seçebilir?

4·5·3 = 60

(60)

3. , , , , , ,0 1 2 3 4 5 6# -

kümesinin elemanlarıyla, 4 basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabileceğini bulunuz.

0 ile bitenler : 6 · 5 · 4 · 1 = 120

2, 4 veya 6 ile bitenler : 5 · 5 · 4 · 3 = 300

Toplam 420

(420)

4. a ve b pozitif tam sayılardır.

a

b

= (a – 1)!

= (b + 1)!

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre,

10

6 7

7–

+


! !! !7 69 8 56+- =

(56)

5. Bir lokantada öğle yemeği için 3 çeşit çorba, 4 çeşit sebze yemeği, 2 çeşit et yemeği ve 4 çeşit de tatlı hazırlanmıştır.

Öğle yemeğini bu lokantada yemek isteyen bir kişi, her çeşitten birer tane seçmek üzere kaç farklı seçim yapabilir?

3 . 4 . 2 . 4 = 96 farklı seçim yapabilir(96)

6. , , , , ,0 1 2 3 4 5# -

kümesindeki rakamlarla, 4 basamaklı, rakamları farklı, 5 ile bölünebilen kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

0 ile biten 5 . 4 . 3 . 1 = 60

5 ile biten 4 . 4 . 3 . 1 = 48

olmak üzere 60 + 48 = 108 doğal sayı yazılabilir.

(108)

7. Tersten okunuşu kendisine eşit olan doğal sayılara pa-lindrom sayılar denir. Örneğin 121, 727, 32423, 6666 birer palindrom sayıdır.

Buna göre, beş basamaklı kaç tane palindrom sayı vardır?

Beş basamaklı palindrom sayılar için ilk üç basamağı oluşturmak yeterlidir. Bu nedenle beş basamaklı ters-ten okunuşu aynı olan sayıların sayısı

9 , 10 , 10 = 9·10·10 = 900 tanedir.

(900)

8. • a ve b doğal sayı

• a < b

• b! < 6 · a!

koşullarını sağlayan kaç tane (a, b) sıralı ikilisi oldu-ğunu bulunuz.

a b0 10 21 22 33 44 5

, , , , , , , , , , ,a b 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 4 5=^ ^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h# -

6 tane

(6)

9. x ve y doğal sayı

! !xx y

y30-

+=

olduğuna göre, x + y toplamının değerini bulunuz.

! ! ! !3 4 30 4 34 3 30&+ =

-+

=

sağlanır .dir4 3 7& + =

(7)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

18

1HAFTANIN TESTİ

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. 4 farklı kalem, 6 farklı silgi arasından 1 kalem veya 1 silgi kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) 24 B) 12 C) 10 D) 6 E) 4

4 + 6 = 10

2. 3 farklı siyah, 4 farklı mavi, 2 farklı kahverengi ve 1 gri takımı bulunan Ahmet Bey, giydiği bir takımı bir daha giymemek üzere, arka arkaya en fazla kaç gün giyebi-lir?

A) 40 B) 32 C) 24 D) 16 E) 10

3 + 4 + 2 + 1 = 10

3. RAFET kelimesindeki harflerle 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç sözcük yazılabilir?

A) 120 B) 60 C) 24 D) 12 E) 8

5! = 120

4. İki torbanın birinde siyah, diğerinde beyaz ve üzerlerinde 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarının yazılı olduğu 6’şar bilye vardır.

Bu torbaların her birinden birer bilye çekilerek ikililer elde ediliyor.

Buna göre, bu ikililerin sayısı kaçtır?

A) 6 B) 12 C) 24 D) 36 E) 42

6 x 6 = 36

5. {1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin elemanları ile 3 basamaklı sayılar yazılacaktır.

En az 2 rakamı aynı olan kaç farklı sayı yazılabilir?

A) 24 B) 32 C) 48 D) 72 E) 96

6 . 6 . 6 – 6 . 5 . 4 = 96

6. n1 = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1)

n2 = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 2)

n3 = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 3)

...

⁝ şeklinde tanımlanıyor

Buna göre, +84 73

62

ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

. . .. . . . . .

1 2 3 41 2 3 4 1 2 3 4 2+ =ÖRNEKTİR

• MUBA YAYIN

LARI

19

1HAFTANIN TESTİ

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

7. A = {2, 3, 5, 6, 8}

kümesinin elemanları ile yazılabilen üç basamaklı sa-yıların kaç tanesinin en az bir basamağı tek sayıdır?

A) 98 B) 100 C) 110 D) 120 E) 132

Tümü – Hepsi çift

5 . 5 . 5 – 3 . 3 . 3 = 98

8. n bir doğal sayı olmak üzere,

şeklinde tanımlanmıştır.

Buna göre, 5

76 – ifadesinin değeri kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 29 E) 5

2466 3- =

9.

A B C

Şekildeki gibi A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şeh-rinden C şehrine 5 farklı yol ve A şehrinden C şehrine (B şehrine uğramadan) 2 farklı yol vardır.

Buna göre, geriye dönmemek üzere A şehrinden C şehrine kaç değişik yoldan gidilebilir?

A) 10 B) 15 C) 17 D) 18 E) 25

3 . 5 + 2 = 17

10.

Şekildeki çarkı oluşturan eş daireler, birbirine metal kollar-la sabitlenmiştir.

Bu çark ile oyun oynayan Eylül, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakam-larını birer defa kullanarak ve metal kollar doğrultusunda aralarında asal olacak şekilde yerleştirecektir.

Buna göre, Eylül bu yerleşimi kaç farklı şekilde yapa-bilir?

A) 1 B) 6 C) 36 D) 72 E) 144

BA E F G 15° 35° 45°DC

12

3

6

4

7 5

Çözüm için bu şekli kullanınız.

11. a bir doğal sayı olmak üzere;

!

!!

a

aa a

3 9

9 32 4

–

––+ +

^

^ h

h

işleminin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

!! !

aa

a3 9 09 3 0

3

00 2 3 3 4 9

––

–$

=

==

+ + =

2

12. !

!x 1

72 7–

=^ h

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

(x – 1)! = 9 . 8 . 7!

x – 1 = 9 ⇒ x = 10

n

n

n

= 1 . 2 . 3 . ... . (n – 3)

= 1 . 2 . 3 . ... . (n – 2)

= 1 . 2 . 3 . ... . (n – 4)

...

BA E F G 15° 35° 45°DC

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

20

H A F TA1. DERS 1. DERS

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

2.10.1.1.2ÖĞRENME ALANI

Permütasyon - 1

• n ve r doğal sayı r n# olmak üzere, n tane elemanın r li dizilişlerinin (sıralanışlarının) sayısına n nin r li permütas-yonu denir. P(n, r) ile gösterilir.

n r$ olmak üzere,

e arpanç

,P n r n n n n r1 1 1· ·tanr

f= - - - +_ _ _ _i i i i1 2 3444444444444444444 444444444444444444

biçiminde de açılabilir.

• ,P n 0 1=_ i

• ,P n n1 =_ i

• , ·P n n n2 1= -_ _i i

• , !· · · ·P n n n n n n1 2 3 2 1f= - - =_ _ _i i i dir.

UYGULAMA ALANI

1. P(5, 3)

değerini bulunuz.

5 . 4 . 3 · = 60

(60)

2. P(6, 3) + P(5, 2)


( , ) ( , ) !!

!!P P6 3 5 2 3

635 120 20 140+ = + = + =

(140)

3. ,

,

P

P

5 2

4 1

_

_

i

i

ifadesinin sonucunu bulunuz.

·5 44 5=

(5)

4. ,

,

!P

P

5 3

4 22

_

_

i

i

8

8

B

B

ifadesinin sonucunu bulunuz.

! ! !· ·· ·

5 4 3

4 3 12 1260

14460

2 = =_

_ i

i

!

14460b l

5. !

!n

nn

3

15 10

-

-= -

_

_

i

i

olduğuna göre, ,P n 2_ i değerini bulunuz.

!,

!

n

n n nn n

P3

1 2 35 2 6

6 2 6 5 30

· ·

·

&-

- - -= - =

= =

_ _

_

_

_

_i i

i

i

i

i

(30)

6. ,P n 3 210=_ i


.· · ·n n n

n dir1 2 7 6 5

7- - =

=

_ _i i

(7)

7. P(n, n – 1) = 120


P(n, n – 1) = 120

( ) !! !

n nn n n

1120 120 5& &

- += = =

(5)

8. P(n – 2, 2) = 56


P(n – 2, 2) = 56

(n – 2) (n – 3) = 8·7 ¡ n = 10 (10)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

21

1. DERS

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

2. DERS

1. , ,P n P n3 2 90- =_ _i i

olduğuna göre, n kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2. n ve r birer doğal sayıdır.

P(n, r) = ( ) !

! .n r

n dir-

n, x ve y birer doğal sayı olmak üzere,

Girdi Uygulanan işlem Çıktı

n P(n + 1, 3) x

n P(5, n – 1) y

Yukarıda verilen bilgiler doğrultusunda kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. , ,·P n P n2 2 2 1 2+ = +_ _i i

olduğuna göre, ,P n3 1 2-_ i değeri kaçtır?

A) 5 B) 10 C) 20 D) 24 E) 60

4. , !,

P nP n

n2 22

4 1- = -__

_ii

i

olduğuna göre, n değeri kaçtır?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

1. C 2. E 3. C 4. B


Permütasyon - 2

UYGULAMA ALANI

1. 7 elemanlı bir kümenin 2 li permütasyonlarının sayısı-nı bulunuz.

( , )( ) !

!!

!P 7 27 2

75

7 6 5 42$ $=

-= =

(42)

2. A = {r, f, t, n, l}

kümesinin 2 li permütasyonlarının sayısını bulunuz.

P(5,2) = 5·4 = 20

(20)

3. 10 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı permütasyonları-nın sayısını bulunuz.

, · ·P 10 3 10 9 8 720= =_ i

(720)

4. , , , , , ,A 1 2 3 4 5 6 7= # -

kümesinin elemanları ile rakamları farklı, 3 basamaklı kaç tane doğal sayı yazılabileceğini bulunuz.

, · ·P 7 3 7 6 5 210= =_ i

(210)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

22

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

2. DERS2. DERS

5. A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin 2 li permütasyonlarının kaç tanesinde 5 bulunur?

A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 2 li permütasyonlarının sayısı, P(5,2) = 5·4 = 20 dir.5 in bulunmadığı 2 li permütasyonların sayısıB = {1, 2, 3, 4} P(4,2) = 4 ·3 = 12 dir.Buna göre, 5 in bulunduğu 2 li permütasyonların sayısı:P(5,2) – P(4,2) = 20 – 12 = 8 dir.

(8)

6. A = {a, b, c, d, e, f}

kümesinin 2 li permütasyonlarının kaç tanesinde a bulunur , c bulunmaz?

c nin olmadığı, a nın olduğu permütasyonların sayısından hem c nin hem de a nın olmadığı permütasyonların sayı-sını çıkaralım.P(5,2) – P(4,2) = 20 – 12 = 8

(8)

7. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

kümesinin 2 li permütasyonlarının kaç tanesinde 3 veya 5 bulunur?

A nın 2 li permütasyonlarının sayısı, P(7,2) = 7 ·6 = 42A nın 3 ve 5 bulunmayan 2 li permütasyonlarının sayısı, P(5,2) = 5 ·4 = 20A nın 3 veya 5 bulunan 2 li permütasyonlarının sayısı,P(7,2) –P(5,2) = 42 –20 = 22 dir.

(22)

8. A = {2, 4, 5, 6, 8}

kümesinin elemanlarıyla en az iki basamağındaki ra-kamı aynı olan üç basamaklı kaç sayı yazılabileceğini bulunuz.

A kümesinin elemanları ile yazılabilecek tüm üç basamak-lı sayılardan, rakamları farklı üç basamaklı sayılar çıka-rılırsa geriye en az iki basamağı aynı olan üç basamaklı sayılar kalır. Buna göre, 3 basamaklı tüm sayılar 5 ·5 ·5 = 125Rakamları farklı 3 basamaklı sayılar 5 ·4 ·3 = 60125 – 60 = 65

(65)

1. , , , , ,A a b c d e f= # -

kümesinin 2 li permütasyonlarının kaç tanesinde e bulunur?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 30

2. , , , , , ,A a b c d e f g= # -

kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a ve e elemanları birlikte bulunur?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

3. Anne, baba ve çocuklardan oluşan bir grup 23 Nisan Ulusal Egemenlik ve Çocuk Bayramı kapsamında düzen-lenen bir etkinliğe katılmıştır.

Etkinlik ve grupla ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.

• Grupta etkinliğe katılmayan kişi bulunmamaktadır.

• Grupta x tane çocuk, y tane baba ve z tane anne var-dır.

• Gruptaki her ebeveyn etkinliğe en az bir çocuğu ile katılmıştır.

• Etkinlik için oluşturulan permütasyonlar,

P(x, 2) = 110

P(y, 3) = 120

P(z, 4) = 24 tür.

Buna göre, etkinliğe birden fazla çocuğu ile katılan ebeveyn sayısı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. , , , , ,A a b c d e f= # -

kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a, b ve c bulunmaz?

A) 18 B) 16 C) 12 D) 8 E) 6

1. B 2. E 3. A 4. E

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

23

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

3. DERS3. DERS


Permütasyon - 3

n ve r doğal sayı r n# olmak üzere,

• n tane elemanın düz bir sırada sıralanışı n! dir.

• n elemandan belirli r tanesi yan yana gelmek üzere, düz bir sıraya !!n r r1 ·- +_ i sayıda sıralanabilirler.

• n elemandan belirli r tanesinin yan yana gelmemesi tüm sıralamalardan yan yana gelme sayısı çıkarılarak bulunur.

UYGULAMA ALANI

1. 5 öğrencinin, 5 kişilik düz bir sıraya kaç değişik şekil-de oturabileceğini bulunuz.

5! = 120

(120)

2. 3 kız ve 4 erkek 7 kişilik düz bir sıraya kaç farklı şekil-de oturabilir?

n kişi düz bir sıraya n! farklı şekilde oturabilir.

3 kız ile 4 erkek, düz bir sıraya

(3 + 4)! = 7! = 5040

(5040)

3. 3 kız ve 4 erkek 7 kişilik düz bir sıraya kızların yan ya-na olması şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir?

KKKEEEE Kızlar önce 1 kişi kabul edilerek sıralanır; daha sonra kızlar kendi aralarında sıralanırlar. Buna göre,

5!·3! = 120 ·6 = 720

(720)

4. 3 kız ve 4 erkek 7 kişilik düz bir sıraya hem kızlar yan yana hem de erkekler yan yana olmak şartı ile kaç farklı şekilde oturabilir?

KKKEEEE 2! ·3! ·4! = 288

(288)

5. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile yan yana fotoğ-raf çektirecektir.

Anne ile baba yan yana olmak şartıyla, kaç değişik şekilde poz verebilirler?

ABXXXX 5!·2! = 120·2 = 240

(240)

6. 6 farklı kitap yan yana dizilecektir. Belirli iki kitabın yan yana gelmemesi koşuluyla bu kitaplar kaç farklı biçimde sıralanabilir?

6 kitabın rafa dizilişi = 6!

Belli ikisinin yan yana olması = 5!·2!

Belli iki kitabın yan yana olmama hali: 6! – 5!·2! = 480 dir.

(480)

7. 4 erkek ve 3 kadın erkekler arkada yan yana, kadınlar önde yan yana sıralanarak kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebileceklerini bulunuz.

, !, !

! !·

EEEE PKKK P

Toplam

4 4 43 3 3

4 3 144

$

$

=

=

= =

_

_

i

i

(144)

8. 5 kadın 3 erkek yan yana sıralanacaktır.

Sıranın hem başına hem sonuna kadın gelecek ve herhangi iki erkek yan yana gelmeyecek şekilde, bu sıralamanın kaç değişik şekilde yapılabileceğini bulu-nuz.

K x K x K x K x K

Kadınlar , !P 5 5 5 120= =_ i şekilde sıralandıktan sonra aralarda kalan 4 boş yere 3 erkek ,P 4 3 24=_ i şekilde yerleştirilirse toplam sıralama sayısı 120 · 24 = 2880 dir.

(2880)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

24

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

4. DERS3. DERS

1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

rakamlarını sadece birer kez kullanarak

a + b = c + d = e + f

olacak şekilde kaç farklı altı basamaklı abcdef doğal sayısı yazılabilir?

A) 288 B) 144 C) 96 D) 72 E) 56

2. 3 kadın, 3 erkek herhangi 2 erkek ya da herhangi 2 kadın yan yana gelmeyecek şekilde düz bir sıraya kaç değişik şekilde oturabilir?

A) 36 B) 52 C) 72 D) 144 E) 720

3. 5 kız ve 4 erkek, iki kız arasına bir erkek olmak şartıyla kaç değişik biçimde düz bir sıraya oturabilir?

A) 2880 B) 1440 C) 1200 D) 720 E) 120

4. n ve r birer doğal sayı olmak üzere,

K(n, r) = ,( ),( ),....,( )n n n n r1 2 1- - - +# -

şeklinde veriliyor.

Örneğin; K(3, 2) = {3, 2}

K(5, 3) = {5, 4, 3}

K(6, 3) = {6, 5, 4, 3}

Buna göre 4 ≤ x ≤ 9 için, K(x, 2) kümelerinin 3 lü per-mütasyonlarının sayısı kaçtır?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 30 E) 120

1. B 2. C 3. A 4. E


Permütasyon - 4

Permütasyonla çözülebilen sorular, çarpma yoluyla sayma yöntemi ile de çözülebilir.

UYGULAMA ALANI

1. P(n,5) = 6·P(n,4)


( )( )( )( ) ( )( )( )n n n n n n n n nn

n

1 2 3 4 6 1 2 34 6

10–

$- - - - = - - -

=

= (10)

2. P(n + 3,5) = 720


(n + 3) (n + 2) (n + 1) (n) (n – 1) = 720

(n + 3) (n + 2) (n + 1) (n) (n – 1) = 6·5·4·3·2

n = 3 (3)

3. 11·P(3n + 1,3n – 1) = P(3n + 2,3n)

olduğuna göre, ( ) !!

nn

2- değerini bulunuz.

( ) !( ) !

( ) !( ) !

n nn

n nn

n113 1 3 1

3 13 2 3

3 23&$

+ - +

+=

+ -

+=

!!

13 6=

(6)

4. A = {a, b, c, d, e, f}

kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde e elemanı bulunur?

Üçlü permütasyonların sayısı: P(6,3)

“e” nin bulunmadığı üçlü permütasyonların sayısı: P(5,3)

“e” nin bulunduğu üçlü permütasyonların sayısı:

P(6,3) – P(5,3) = 120 – 60 = 60 tır.(60)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

25

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

4. DERS4. DERS

5. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamları kullanılarak, rakamları farklı, dört basamaklı, 5 ile tam bölünebilen kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

0 ile bitenlerin sayısı: 6 , 5 , 4 , 1

5 ile bitenlerin sayısı: 5 , 5 , 4 , 1

toplam 6·5·4·1 + 5·5·4·1 = 220 (220)

6. Her biri diğerlerinden farklı 4 kitap 6 öğrenciye dağıtıla-caktır.

Her öğrenciye en çok bir kitap verilmesi koşuluyla da-ğıtım işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

P(6,4) = 6·5·4·3 = 360 (360)

7. Hepsinin sayfa sayısı birbirinden farklı 4 matematik, 3 fizik ve 5 kimya kitabı her dersin kitapları yan yana olacak şekilde bir rafa dizilecektir. Her dersin en ince kitabı sol başa gelecekse kitaplar kaç farklı şekilde di-zilebilir?

Her çeşitten birer kitabın (en ince olanlarının) yerleri sa-bittir. Bunları hesap dışı bırakalım. Böylece 3 matematik, 2 fizik, 4 kimya kitabının her dersin kitapları yan yana ola-cak şekilde dizilişleri

(3! . 2! . 4!) . 3! = 1728 olur.(1728)

8. Aralarında Sami ile Yağız’ın bulunduğu 7 kişi yan yana sıralanacaktır.

Sami ile Yağız’ın yan yana bulunmadığı kaç değişik sıralama yapılabileceğini bulunuz.

SY xxxxx

! ! !·7 6 2 3600- =

(3600)

1. Çift rakamla başlayıp, tek rakamla biten, rakamları farklı, dört basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

A) 560 B) 720 C) 840 D) 960 E) 1120

2. Aralarında Murat ile Can’ın bulunduğu 5 kişilik bir grup düz bir sıraya oturacaklardır.

Murat ile Can arasında en çok bir kişi olacak şekilde beş kişi kaç farklı şekilde oturabilir?

A) 90 B) 84 C) 78 D) 72 E) 66

3. 4 evli çift yan yana düz bir sıraya oturacaklardır.

Evli çiftler daima yan yana olmak üzere, kaç farklı şe-kilde sıralanabilirler?

A) 384 B) 362 C) 346 D) 324 E) 288

4. m ve n birer doğal sayı ve m > n olmak üzere,

, , ,...,n n n mmn 1 1 1= - + +" ,

olarak tanımlanıyor.

Örneğin; , , ,0 1 2 321 = " ,

, , , ,42 1 2 3 4 5= " , tir.

Buna göre, 73

82+ kümesinin elemanlarını kulla-

narak, rakamları farklı 5 ile tam bölünebilen üç

basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

A) 5 B) 6 C) 30 D) 60 E) 120

1. E 2. B 3. A 4. C

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

26

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

5. DERS5. DERS


Tekrarlı Permütasyon - 1

n tane nesneden n1 tanesi birinci çeşitten, n2 tanesi ikinci çeşit-

ten ....... nk tanesi k’ıncı çeşitten olsun. n n n nk1 2 ff+ + + =

olmak üzere n tane nesnenin permütasyonlarının sayısı

! ! !!

n n nn

k1 2$ $ $f dır.

UYGULAMA ALANI

1. Özdeş2matematik,3fizikve4kimyakitabıdüzbirrafakaçfarklıbiçimdesıralanabilir?

Toplam kitap sayısı: 2 3 4 9+ + =

Diziliş sayısı ! ! !!

2 3 49 1260$ $

= =

(1260)

2. ARTANKARA

sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız kaç farklı sözcük oluşturulur?

ARTANKARA -> 4 tane A, 2 tane R, 1’er tane T, N, K

olduğundan diziliş sayısı:

! ! ! ! !!

! ! !!

4 2 1 1 19

4 2 19 7560

$ $ $ $ $ $= =

(7560)

3. 333445

sayısındaki rakamlar kullanılarak 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılır?

333445 ile yazılabilecek 6 basamaklı sayılır:

! !!

3 26 60$= tanedir.

(60)

4. KARAPARA

sözcüğündeki harflerle oluşturulacak 8 harfli dizilişle-rin kaç tanesinde R den sonra hemen A gelir?

KARAPARA-> RA RA KAAP şeklinde RA ları tek bir

harf gibi düşünelim. Buna göre diziliş sayısı:

! !! ' .d ri2 2

6 180$=

(180)

5. MATEMATİK

kelimesindeki harfler kullanılarak K harfi ile biten an-lamlı veya anlamsız 9 harfli kaç kelime yazılır?

MATEMATİ K

2 M, 2 A, 2 T var.

Diziliş sayısı: ! ! !!

2 2 28 5040$ $

=

(5040)

6. 112223334

sayısının rakamlarını kullanarak 2 ile başlayıp, 3 ile biten 9 basamaklı kaç farklı sayı yazılır?

112223334-> 2 1122334 3

Diziliş sayısı: ! ! !!

2 2 27 630$ $

= (630)

7. KURUSIKIM

kelimesindeki harflerin yer değiştirmesiyle oluşturu-lacak anlamlı veya anlamsız 9 harfli kelimelerin kaç tanesinden her iki sessiz harf arasında bir sesli harf vardır?

K U R U S I K I M

İki sessiz arasında bir sesli harf bulunduğundan KRSKM

ve UUII harfleri kendi aralarında yer değiştirmelidir.

Buna göre diziliş sayısı:

!!

! !!

25

2 24 360$$=

(360)

8. 231223

sayısının rakamlarının yer değiştirmesiyle 6 basa-maklıkaçteksayıyazılabileceğinibulunuz.

23122 3

3 ile bitenler: !!

35 20= tane

23223 1

1 ile bitenler: ! !!

2 35 10$

= tane

tek sayı ile bitenler: 20 10 30+ = (30)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

27

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

6. DERS5. DERS

1. 27527

sayısının rakamlarının yer değiştirilmesiyle 5 basa-maklı kaç farklı sayı yazılır?

A) 120 B) 90 C) 75 D) 60 E) 30

2. SERESERPE

sözcüğündeki harflerle oluşturulacak 8 harfli dizilişle-rin kaç tanesinde E den hemen sonra S gelir?

A) 630 B) 620 C) 600 D) 315 E) 310

3. 1631531

sayısının rakamlarını kullanarak 6 ile başlayıp, 5 ile biten 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılır?

A) 24 B) 20 C) 18 D) 12 E) 10

4. 4234324

sayısının rakamlarının yer değiştirmesi ile 7 basamak-lı kaç çift sayı yazılabilir?

A) 30 B) 60 C) 90 D) 120 E) 150

1. E 2. A 3. E 4. E


Tekrarlı Permütasyon - 2

UYGULAMA ALANI

1. 7776654

sayısının rakamlarının yer değiştirmesiyle oluşturula-cak 7 basamaklı sayıların kaç tanesi 7 ile başlamaz?

Yazılabilecek 7 basamaklı sayılar: ! !!

3 27$

dir. Ancak 7 ra-

kamı ile başlamayanların oranı 74 olduğundan; yazılabile-

cek 7 ile başlamayan 7 basamaklı sayıların sayısı:

! !!

74

3 27 240$$= tanedir.

(240)

2. 22333004

sayısının rakamlarının yer değiştirmesiyle 8 basa-maklı kaç sayı yazılır?

Yazılabilecek 8 basamaklı sayılar: ! ! !!

3 2 28 12608

6$ $

$ =

(1260)

3. 11122004

sayısının rakamlarının yer değiştirmesiyle 8 basa-maklı kaç çift sayı yazılır?

Yazılabilecek 8 basamaklı sayıların tamamından tek olan-

ları çıkaralım.

! ! !!

! ! !!

3 2 28

86

2 2 27

75 810

$ $$

$ $$- =

1 2 34444444 4444444 1 2 34444444 4444444 (810)

4. 2333077

sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek 7 basa-

maklı kaç çift sayı yazılır?

son basamağı sıfır olanlar:

233377 0 ! !!

3 26 60$$=

son basamağı iki olanlar:

333770 2 ! !!

3 26 60 6

5 50$$

$= =

60 50 110+ =

(110)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

28

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

6. DERS6. DERS

5. SAKARYA

kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek ilk harfi A olup son harfi A olmayan anlamlı ve anlamsız 7 harfli kaç tane kelime yazılabilir?

A S K A R Y A

!!

26

64 240$ =

• • • • • •

(240)

6. SIRALAMA

kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız 8 harfli kelimelerin kaç tanesi sessiz harf ile başlar?

Toplam 8 harfin 4’ü sessiz harftir. Buna göre oluşturulacak

8 harfli anlamlı veya anlamsız sözcüklerin 84 ’i sessiz harf ile

başlar.

!!

38

84 3360$ =

(3360)

7. 2133322

sayısının rakamlarını kullanarak 7 basamaklı 2 ile baş-layıp, 3 ile biten kaç farklı sayı yazılır?

2 13322 3

2 ile başlayıp 3 ile biteceğinden geriye kalan 5 rakamın

dizilişi: ! !!

2 25 30$=

(30)

8. BALABAN

kelimesinin harfleri kullanılarak yazılabilecek 7 harf-li anlamlı veya anlamsız kelimelerin kaç tanesi N ile başlayıp, L ile biter?

N BABAA L

! !!

3 25 10$=

(10)

1. Özdeş 3 matematik, 2 fizik ve 3 kimya kitabı düz bir rafa kaç farklı biçimde dizilebilir?

A) 480 B) 520 C) 560 D) 580 E) 600

2. 2353237

sayısının rakamları kullanılarak yazılabilecek 7 basa-maklı sayılardan kaç tanesi 5 ile başlar 7 ile bitmez?

A) 40 B) 50 C) 350 D) 370 E) 410

3. 32000023

sayısının rakamları kullanılarak kaç farklı 8 basamaklı sayı yazılır?

A) 160 B) 180 C) 195 D) 210 E) 225

4. 1, 2, 3, 4 ve 5 rakamları yandaki 9 özdeş karenin beşine her rakam birer kez kullanı-larak yazılacaktır.

Buna göre, çift rakamların aynı satırda olması ve bir satırın tamamen boş kalması koşuluyla kaç değişik şekilde rakamlar karelere yerleştirilebilir?

A) 864 B) 756 C) 648 D) 540 E) 432

1. C 2. B 3. D 4. A

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

29

HAFTANIN ÖDEVİ

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

1. , , , ,A 1 2 3 4 5= # -

kümesinin elemanları ile 200 den küçük, üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabileceğini bulunuz.

, ,, ·1 5 5 5 5 25$ =

(25)

2. 7 farklı kalemin üç öğrenciden 1. ye 2, 2. ye 2 ve 3. ye 3 adet olmak üzere, kaç farklı şekilde dağıtabile-ceğini bulunuz.

!! ! !· ·

72 2 3 210=

(210)

3. , , , , , ,A a b c d e f g= # -

kümesinin a ile e nin yan yana olduğu 4 lü permütas-yonlarının sayısını bulunuz.

, , , ,

, , ,, , ,

ae b c d f g

aeea

5 4 3 605 4 3 60

120

=

=

+

(120)

4. Bir kez 1, iki kez 2 ve üç kez 3 rakamı kulllanılarak 6 basamaklı kaç tek sayı yazılabileceğini bulunuz.

1 ile bitenler ! !!

·2 35 10$ =

3 ile bitenler ! !!

·2 25 30$ =

10 + 30 = 40

(40)

5. , , , , , ,A 1 2 3 4 5 6 7= # -

kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde “7” olduğunu bulunuz.

, ,P P7 3 6 3 210 120 90- = - =_ _i i

(90)

6. 223335007

sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 9 basa-maklı kaç farklı çift sayı yazılabileceğini bulunuz.

0 ile bitenler !!

!· ·87

3 28 2940$ =

2 ile bitenler ! !!

·86

3 28 2520·$ =

2940 + 2520 = 5460’dır.(5460)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

30

HAFTANIN TESTİ

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

2

1. . ,

,

,P n

P n

P n3 2

1 4

3

+

+^

^

^h

h

h

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) n 11+

B) n1 C) n 1

1–

D) n 21– E) n 3

1–

n n n n

n n n n nn1 1 2

3 1 1 22

1– –

– – ––$

$ $

+

+=

^

^

^

^

^

^

h

h

h

h

h

h

2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin elemanlarını kullanarak yazılabilen üç basa-maklı sayılar küçükten büyüğe sıralanıyor.

Buna göre, 465 sayısı kaçıncı sırada yer alır?

A) 180 B) 149 C) 143 D) 113 E) 77

1 ile başlayanlar 6 x 6 = 362 ile başlayanlar = 363 ile başlayanlar = 364 ile başlayanlar = 36

144 tane

Ya da; 4 ile başlayan en büyük sayı 466 dır. 465 sayısı bir önceki sayı olduğundan 35. sıradadır.108 + 35 = 143

3. İkisi küs olan 6 arkadaş 6 kişilik bir banka, küs olan-lar yan yana gelmemek koşulu ile kaç değişik biçimde otururlar?

A) 720 B) 600 C) 480 D) 240 E) 120

Tüm durum – yanyana gelsinler

6! – 2! . 5! = 480

4. Altı değişik oyuncak 4 çocuğa dağıtılacaktır.

Bu dağılım en çok kaç değişik biçimde yapılabilir?

A) 720 B) 610 C) 425 D) 380 E) 360

P(6, 4) = 360

5. İki torbanın her birinde, üzerlerinde 1’den 12’ye kadar nu-mara bulunan bilyeler vardır. Her birinden 1 bilye alınarak ikili gruplar elde ediliyor.

Kaç değişik ikili elde edilebilir?

A) 144 B) 135 C) 132 D) 121 E) 120

12 x 12 = 144

6. 4 farklı matematik, 3 farklı fizik ve 2 farklı kimya kitabı düz bir rafa, kimya kitapları yan yana olmamak şartıy-la kaç farklı şekilde dizilir?

A) 9! B) 8 . 9! C) 8 . 8!

D) 7 . 8! E) 8!

Tümü – Kimyalar yanyana

9! – 2! . 8! = 7 . 8!ÖRNEKTİR

• MUBA YAYIN

LARI

31

HAFTANIN TESTİ

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

27. Haydar ve Rafet’in de bulunduğu bir bilet kuyruğunda top-

lam 6 kişi vardır.

Rafet, Haydar’dan önde olacak şekilde kaç değişik sı-ralama yapılabilir?

A) 720 B) 360 C) 240 D) 120 E) 72

!!

26 360=

8.

1 12 11 10

2 13 16 9

3 14 15 8

4 5

Şekil - 1

Başlangıç

Şekil - 2

6 7

Yukarıda Şekil - 1 de verilen birim kareler 1 den 16 ya ka-dar numaralandırılmıştır. Şekil - 2 deki gibi üst yüzü mavi ile boyanmış bir birim küp, boyalı yüzü üstte olacak şekil-de 1 numaralı karenin tam üzerine konuluyor ve kırmızı oklar yönünde 16 numaralı kareye kadar yüzleri üzerine yuvarlanıyor.

Buna göre, bu yuvarlama işlemi sonucunda mavi yüzün temas ettiği tüm karelerin numaraları toplamı kaçtır?

A) 8 B) 11 C) 20 D) 23 E) 39

3 + 8 + 12 = 23

9. Bir fabrikada üretilen her ürüne paketlendikten sonra sı-rasıyla ürün numarası verilmektedir. Bu numara ile ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.

• Ürün numarası bir büyük harf ile başlar ve ardından üç basamaklı rakamları farklı bir tek sayı ile biter.

• İlk ürün numarası A harfiyle başlar ve devamında üç basamaklı tek sayılar küçükten büyüğe doğru yazılır.

Örneğin; ilk ürün numarası A103, ikinci ürün numara-sı A105 tir.

• A ile başlayan ürün numaraları bittiğinde, sıradaki ürün numarası ardından alfabetik sırayla başlamaya devam eder ve üç basamaklı rakamları farklı tek sayı-lar küçükten büyüğe doğru yazılarak devam edilir.

En son verilen ürün numarası C203 olduğuna göre, bu fabrikada toplam kaç ürüne numara verilmiştir?A) 314 B) 320 C) 326 D) 640 E) 646

10. 6205606 sayısının rakamlarının yerlerini değiştirerek 7 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?

A) 260 B) 240 C) 180 D) 120 E) 72

Sıfır ile biten; !!

36

65$

İki ile biten; ! !!

2 36

64

$$

Altı ile biten; ! !!

2 26

64

$$

100 + 40 + 120 = 260 tane

11. “KELEBEK”

kelimesindeki harflerin yer değiştirmesi ile yazılabilen 7 harfli permütasyonların kaçında E lerin üçü birden yan yana bulunmaz?

A) 420 B) 360 C) 160 D) 120 E) 60

Hepsi – yanyana gelenler

! !!

!! . !2 3

725 3 5 360–

$= =

12. “KARAKARTAL”

kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabile-cek on harfli, anlamlı ya da anlamsız kelimelerin kaç tanesinde her “A” harfinden hemen sonra bir “K” harfi vardır?

A) 7! B) 5. 6! C) 6!

D) 2 . 5! E) 3 . 4!

AK AK AA RR TL

! ! !! !2 2 2

8 7$ $

=

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

32

H A F TA1. DERS 1. DERS

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

3.10.1.1.3ÖĞRENME ALANI

Permütasyon Uygulamaları - 1

UYGULAMA ALANI

1.

A

B Yandaki şekilde birim ka-reli zemin üzerinde verilen A noktasından B noktası-na en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir?

A

BD

Y Y Y Y Y Y

D

D

D

D

A’dan B’ye en kısa yoldan gidebilmek için sağa doğru yatay ve yukarı doğru dikey olarak gitmek gerekir.

A’dan B’ye gidebilmek için 6 yatay ( Y ) ve 5 dikey ( D )

hareket etmek yeterlidir.

! !!

5 611 462$

= (462)

2. Yandaki şekilde 10 tane birim kare-

den oluşan dikdörtgenin 4 br2 ‘si

yeşil, 3 br2 ‘si kırmızı ve 3 br2 ‘si de mavi ile boyanacaktır.

Buna göre, kaç farklı desen oluşturulacağını bulunuz.

! ! !!

4 3 310 4200$ $

= (4200)

3.

A

B Yandaki şekilde birim kareli zemin üzerinde verilen A noktasından B noktasına en kısa yoldan kaç fark-lı şekilde gidilip, dönülebilir?

! !!

! !!

4 26

4 26 15 15 225

$$$

$= = (225)

4.

A

B

C Yandaki şekilde birim kareli zemin üzerinde verilen A noktasından C noktasına, B noktasına uğramak koşuluyla en kısa kaç farklı yoldan gidilebilir?

A B" ’ye 2 Yatay, 2 Dikey yol,

B C" ’ye 4 Yatay, 2 Dikey yol vardır.

! !!

! !!

2 24

4 26 6 15 90

$$$

$= = (90)

5. KE E

R R RE E

M

Yandaki şekle göre tepedeki K harfinden başlayıp komşu harfleri takip ederek “KEREM’’ kelimesi kaç farklı yol izlene-rek elde edilir?

K E RE R ER E M

Verilen sekil yandaki gibi düzenlenirse 2 br sola ve 2 br aşağıya gidilmesi gerekir.

! !!

2 24 6$=

(6)

6. Şekildeki balonlara, önce alttakine atış yapan, her atışta tam isabet ile balonu patlatan bir atıcı, kaç deği-şik şekilde atış yapılabilir?

A B

B C

C

B

A

A

! ! !!

3 3 28 560$ $

=

(560)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

33

1. DERS

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

2. DERS

1.

BA E F G 15° 35° 45°DC

Bir kırtasiye yanda göste-rildiği gibi boyadığı malze-meden daire dilimleri şek-linde etiketler yapacaktır. Oluşabilecek tüm daire di-limlerini çıkartıp aynı renk kategorilerine göre paket-leyecektir.

Buna göre, bu kırtasiye toplamda kaç paket etiket ya-par?

A) 5 B) 10 C) 17 D) 22 E) 25

2. Bir madeni para 5 kez atılıyor.

3 kez tura ve 2 kez yazı gelmesi kaç farklı şekilde ger-çekleşir?

A) 6 B) 10 C) 12 D) 14 E) 32

3. A

B

C

Şekildeki çizgiler bir şehrin dik kesişen yollarını göstermekte-dir.

A noktasından C noktasına en ksıa yoldan gitmek isteyen bir kimse B noktasına uğramadan kaç farklı şekilde gidebilir?

A) 130 B) 120 C) 110 D) 100 E) 90

4. F E

C

A

D

B Şekildeki çizgiler bir kentin dik kesişen yollarını göstermektedir.

A noktasından B noktasına en kısa yoldan gitmek isteyen birinin kaç farklı şekilde gide-bilir?

A) 42 B) 56 C) 60 D) 66 E) 72

1. D 2. B 3. A 4. D


Permütasyon Uygumalamaları - 2

UYGULAMA ALANI

1. Toplamları7olankaçfarklıdoğalsayıüçlüsüyazılabi-lir?

7 sayısını, 7 adet 1 sayısı olarak parçalayıp iki / kullana-

rak 3 parçaya bölebiliriz.

Örneğin

/ / , ,

/ / , ,

/ / , ,

11 1 1111 2 1 4

1111 111 0 4 3

1 11111 1 1 5 1

$

$

$

_

_

_

i

i

i

sıralı üçlüleri elde edilir. Buna göre, toplamları 7 olan do-

ğal sayı üçlüleri 7 adet 1 ile iki adet / ‘ın tekrarlı permü-

tasyonudur.

! !!

7 29 36$

=

(36)

2. Toplamları 9 olan kaç farklı doğal sayı dörtlüsü yazıla-bilir?

9 1111111111 2 3444444 444444

3 tane 9 tane

! !!

9 312 220$

= (220)

3. 7 özdeş oyuncak üç cocuğa kaç farklı şekilde dağıtıla-bilir?

7 oyuncak, 2 tane ile üç parçaya ayrılacağından:

! !!

7 29 36$=

(36)

4. 7 özdeş oyuncak, üç cocuğun her birine en az bir oyun-cak vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Önce üç çocuğun her birine birer oyuncak verilir. Kalan 4

oyuncak, 3’lü gruplara ayrılır. 4 oyuncak, 2 tane ile üç

parçaya ayrılacağından:

! !!

4 26 15$=

(15)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

34

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

2. DERS2. DERS

5. Özdeş 5 elma ve 7 portakal arasından, beslenme çan-tasında en az 1 meyve olacak şekilde kaç farklı şekilde seçim yapılabilir?

0 elma için , , , , ,0 1 2 3 7" f portakal


h h h


seçebiliriz.

Buna göre, toplam 8 486· = durum vardır. Ancak bu du-

rumlardan birisi ,0 0^ h olduğundan 48 1 47- = farklı şekil-

de beslenme çantasına meyve konulabilir. (47)

6. Rakamlarının sayı değerleri çarpımı 90 olan kaç tane beş basamaklı pozitif tam sayı vardır?

Çarpımları 90 olan, 5’li pozitif tam sayı grupları

9.5.2.1.1, 3.3.5.2.1, 3.5.6.1.1

şeklinde olup elde edilecek 5 basamaklı sayıların sayısı:

!!

!!

!!

25

25

25 180+ + =

(180)

7. 5 kişilik bir ailede, en küçük çocuk daima anne ile ba-banın arasında olmak şartıyla, düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilirler?

!· ·AxB xx 3 2 6 2 12& = =

(12)

8. 233500

sayısındaki rakamları kullanarak altı basamaklı 5 ile bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir?

5 ile biten ! !!

· ·2 25

53 18$ =

0 ile biten !! ·2

55 84 4$ =

66

+

(66)

1. Toplamları 8 olan kaç farklı doğal sayı ikilisi yazılabi-lir?

A) 18 B) 15 C) 12 D) 9 E) 8

2. 6 özdeş oyuncak üç çocuğa kaç farklı şekilde dağıtıla-bilir?

A) 30 B) 28 C) 26 D) 24 E) 22

3. 10 özdeş oyuncak, dört çocuğun her birine en az bir oyuncak vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtıla-bilir?

A) 96 B) 92 C) 84 D) 82 E) 76

4.

Şekilde özdeş 3 mor, 4 yeşil ve 2 turuncu olmak üzere toplam 9 balon verilmiştir.

Bu balonları düz bir çizgi boyunca duvara, sadece 2 mor balon yanyana olacak biçimde asmak isteyen kafeterya elemanı bu asma işlemini kaç farklı şekilde yapabilir?

A) 630 B) 660 C) 720 D) 750 E) 850

1. D 2. B 3. C 4. A

BA E F G 15° 35° 45°DC

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

35

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

3. DERS3. DERS


Kombinasyon - 1

r, n ∈ N ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r ele-

manlı alt kümelerinin her birine n nin r li kombinasyonları de-

nir. C(n, r) veya Cnr ya da

nrd n sembollerinden biri ile gösterilir.

( , ) !( , )

( ) ! !! .C n r

nr r

P n rn r r

n dir= = =-

d n

...

.

n nn

nr

nn r

nx

ny

n x y veya x y

n n n nn

nr

nr

nr

dir

01

0 1 22

111

n

&

:

:

:

:

:

= =

=-

= = + =

+ + + + =

++

=+

+

d

d

d

d

d

d

d

e

d

d

d

d

d

n

n

n

n

n

n

n

o

n

n

n

n

n

UYGULAMA ALANI

1. 5 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sa-yısını bulunuz.

!( , )P5

3 35 3

3 2 15 4 3 10$ $$ $

= = =e o

(10)

2. , , , ,A a b c d e= # -

kümesinin tüm alt kümelerinin sayısını bulunuz.

s A 5$=_ i Alt küme sayısı : 25 = 32(32)

3. , , , , ,A 1 2 3 4 5 6= # -

kümesinin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz.

.dir

6 6 6 6 6 6 62 3 4 5 6 2 0 1

64 7 57

6+ + + ++ = -

= - =

d d d d d d dn n n n n n n= G

(57)

4. , , , ,A 1 3 5 7 9= # -

kümesinin en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz.

5 550 1 2 16+ + =d d dn n n dır.

(16)

5. , , , ,A a b c d e= # -

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b nin eleman olarak bulunacağını bulunuz.

Toplam alt küme sayısı : 25 = 32

{a, c, d, e} kümesinin alt küme sayısı 24 = 16

b bulunan alt küme sayısı 32 – 16 = 16 dır.(16)

6. , , , , ,A 1 2 3 4 5 6= # -

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 in eleman olarak bulunmayacağını bulunuz.

, , , ,1 2 3 4 6# - kümesinin alt küme sayısı : 25 = 32 dir.(32)

7. , , , ,A a b c d e= # -

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve e bulu-nup ancak c nin bulunmadığını bulunuz.

a ve e yi bulundurmak, c yi bulundurmamak üzere ayırır-sak, {b, d} nin alt küme sayısı 22 = 4

(4)

8. , , , ,A 1 2 3 4 5= # -

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 veya 5 in eleman olarak bulunacağını bulunuz.

2 nin eleman olarak bulunduğu alt kümeler A

5 in eleman olarak bulunduğu alt kümeler B olsun.

s A B s A s B s A B, += + -_ _ _ _i i i i

s A B 2 2 2 244 4 3, = + - =_ i (24)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

36

1. Ü

NİT

E /

Say

ma

ve O

lası

lık

MU

BA

Yay

ınla

rı

4. DERS3. DERS

1. 5 elemanlı bir kümenin en az iki elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

A) 30 B) 28 C) 26 D) 24 E) 22

2. , , , , ,A a b c 4 5 6= # -

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en çok bir rakam bulunur?

A) 8 B) 16 C) 20 D) 24 E) 32

3. 8 farklı okuma kitabından en fazla 6 tanesini kaç farklı şekilde seçebiliriz?

A) 72 B) 120 C) 210 D) 247 E) 251

4.

25 cm lik bir cetvel şekilde gösterildiği gibi belirtilen yerler-den kesilerek 8 parçaya ayrılıyor.

Bu 8 parçadan üçü, üzerinde bulunan uzunluklar top-lamı 3 ün katı olacak şekilde kaç farklı seçilebilir?

A) 2 B) 3 C) 18 D) 19 E) 20

1. C 2. E 3. D 4. E


Kombinasyon - 2

UYGULAMA ALANI

1. A = {a, b, c, d, e, f}

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b eleman olarak bulunmaz?

A kümesinin elemanlarından b yi çıkarıp kalanların 3 ele-

manlı alt kümelerini bulalım:

53 3 2 1

5 4 3 10$ $$ $

= =e o (10)

2. , , , ,A 1 2 3 4 5= # -

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 eleman olarak bulunur?

, , ,1 2# -

kalan iki eleman 3, 4, 5 arasından seçilecektir.32

3=e o (3)

3. , , , , ,A a b c d e f= # -

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde c veya d nin eleman olarak bulunacağını bulunuz.

Üç elemanlı tüm alt kümelerin sayısı : 63

20=e o

Hem c, hem de d nin bulunmadığı üç elemanlı alt küme-

lerinin sayısı 43

4=e o

c veya d nin eleman olarak bulunduğu alt küme sayısı 20 4 16- = dır.

(16)

4. 70

77

81

87

+ + +d d e en n o o


70

77

81

87

+ + +d d e en n o o = 1 + 1 + 8 + 8

= 18 (18)

BA E F G 15° 35° 45°DC

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

37

1. ÜN

İTE / S

ayma ve O

lasılık

MU

BA

Yay

ınla

rı

4. DERS4. DERS

5. n n

n2 1

32 12 2

20–+

++

=e do n


2n – 2 + 3 = 2n + 1 olduğundan

( ) ( )

n nn

n

n n n n

2 13

2 12 2

22 1

320

2 13

10 3 2 12 1 2 2 1

10

––

&

&

$

$ $

$ $

+ + +=

+=

+=

=e

e

d eo

o

n o

(2n + 1)·2n·(2n – 1) = 60

(2n + 1)·2n·(2n – 1) = 5·4·3

2n = 4 ⇒ n = 2 (2)

6. n n3

43

11+

=+

e eo o


n + 3 = 4 + 11n + 3 = 15 n = 12

(12)

7. n

nn

n3

3 133

1– –=e eo o

olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin toplamını bulunuz.

nn

nn

33 13

31– – &=e eo o

3n – 13 = n – 1 veya 3n – 13 + n – 1 = 3n 2n = 12 veya 4n – 14 = 3n n = 6 veya n = 14 6 + 14 = 20 dir.

(20)

8. 103

104

115

126

+ + +e e e eo o o o


nr

nr

nr1

11

++

=+

+d d dn n n özelliğini kullanalım:

.

103

104

115

126

114

115

126

125

126

136

11

4

12

5

+ + + = + +

= + =

e

e

e

e

e

e

e d e e

e e

o

o

o

o

o

o

o n o o

o o

1 2 3444444 444444 1 2 3444444 444444

13

6d n

1. n

nn

1 3869·

-- =b b dl l n

eşitliğine göre, n kaçtır?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

2. n n n

n n n

nn

nn

01 1 1

2 3 2 3 2 3

11 2 1

2 30 1 2 2 3

256f

f

+-

+-

+-

++

++

+

-+

-

++ +

+=

d

d

d

d

d

d d

dn

n

n

n n

n

n

n

olduğuna göre, Ç(n, 3)’ün değeri kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. n elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eştitir.

Buna göre, bu kümenin en çok iki elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

A) 36 B) 38 C) 42 D) 44 E) 46

4. Yanda verilen kutulara 2, 3, 5, 7, 10 sayıları yerleştirilecektir.

Çapraz olarak yazılan sayıların top-lamlarının eşit olduğu bilindiğine göre, bu yerleşim kaç farklı şekilde

yapılabilir?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

1. B 2. C 3. E 4. D

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

Documents

1408-KET-SERISI-10-MATEMATIK-DEFTER-KITAP · 10 1. ÜNİTE / Sayma ve Olasılık MU BA Yayınları 2. DERS 2. DERS 5. 10 kişinin katıldığı bir yarışmada, ilk 2 derecenin dağı-