1

ELEKTROMANYETK ALANLARA GR

Ders Notlar

Blm 1: Vektrler, Koordinat Sistemleri, Zamanla Deien Alanlar ve Elektrostatik

Yararlanlan Kaynaklar:

1) Elektromagnetik Alan Teorisi, H. Ergun Bayrak, Birsen Yaynevi, 2000.2) Theory and Problems of Electromagnetics, J. A. Edminister, McGraw-Hill, 1993.3) Elektrik Alanlarna Giri I, Ahmet Akhunlar, T Yaynlar, 1971.

2

1. VEKTRLER

1.1 Vektrel Cebir

Tanm: Vektr

1) Balang noktas2) Dorultu ve yn3) Genlik

elerine sahip byklktr.

Gsterim: Vektr

A

vektrnn negatifi:

Toplama:

karma:

Vektrel Cebirin kurallar:

1. ABBA

2. CBACBA

)()(

AX

A

A

X

X

A

X

X B

A

B

BA

X

A

X

B

X B

XA

BA

3

3. )()()( AmnAmnAnm

4. AnAmAnm

)(

5. BmAmBAm

)(

(Yukarda m ve nbirer skalerdir.)

Birim vektr, || vektrn genliini gstermek zere,|| A

A

dr. nk

1|||||||

|||

A

A

A

A

eitlii geerlidir.

Kartezyen koordinatlar: Biz sa dikdrtgensel koordinat sistemlerini kullanacaz. Yani,Ox den Oy ye 90 derece dndrlen bir sa yivli vida pozitif z ynnde ilerleyecektir.

Bir vektrn Kartezyen bileenleri: kAjAiAA

321 .

Kartezyen bileenleri cinsinden bir A

vektrnn genlii:

23

22

21|| AAAAA

.

Konum vektr: kzjyixr

. Konum vektrnn genlii: 222|| zyxr .

Tanm: Noktasal (Skaler) arpma

cos|||| BABA

: A

ve B

arasndaki a.

Noktasal (Skaler) arpmann kurallar:

1) ABBA

2) CABACBA

)(

3) mBABmABAmBAm )()()()(

(Burada m bir skalerdir.)

O

k

i j

x

y

z

4

4) 0,1 kikjjikkjjii

5) Eer kAjAiAA

321 ve kBjBiBB

321 ise,

332211 BABABABA

23

22

21 AAAAA

23

22

21 BBBBB

6) Eer 0BA

ve BA

, sfr vektr deilse, A

ve B

diktir.

Tanm: Vektrel arpma

uBABA sin|||| : A

ve B

arasndaki a, u

: A

dan B

ye pozitif burgu

ynnde A

ve B

vektrlerine dik birim vektr.

Vektrel arpmann kurallar:

1) ABBA

2) CABACBA

)(

3) mBABmABAmBAm )()()()(

(Burada m bir skalerdir.)

4) jikikjkjikkjjii

,,,0

5) Eer kAjAiAA

321 ve kBjBiBB

321 ise,

)()()( 321332123211 kBjBiBkAkBjBiBjAkBjBiBiA

iBAjBAiBAkBAjBAkBA

231332123121

6) Eer 0BA

ve BA

, sfr vektr deilse, A

ve B

paraleldir.

Vektrel arpma iin yukarda 5) deki ynteme alternatif yntem:

kBABAjBABAiBABA

BBB

AAA

kji

BA

)()()( 122131132332

321

321

1.2 Vektrel Analiz

kAjAiAA

321 ise A

nn trevi yle tanmldr:

kdu

dAj

du

dAi

du

dA

du

Ad

321 .

)()( 321321 kBjBiBkAjAiABA

5

,u nun bir skaler fonksiyonu olmak zere,

)()}({)( 321321 kAjAiAdud

kAjAiAdu

d

du

Ad

, veya

du

AdA

du

d

du

Ad

)( .

Benzer ekilde,

du

BdAB

du

Ad

du

BAd

)( ,

du

BdAB

du

Ad

du

BAd

)( .

rnek:

kxyzjyeixyA z

)(sin3 ,

kxyziyxB

1.5)(sinln ise

kxzjyeixy

A z

)(sin3 2 ,

kxziyxy

B

1.5)(cosln ,

)(sin1.5)(sinln 2 zyzxxyxBy

A

,

)(sin1.5)(cosln 2 zyzxyxxyy

BA

,

)(sin2.10)(cosln)(sinln 2 zyzxyxxyyxxy

BAB

y

A

.

Gerekten de )(sin1.5)(sinln 22 zzyxyxxyBA

ve

y

BAB

y

AzyxyxxyyxxBA

y

)(sin2.10)(cos(ln)(sinln)( 2 bulunur.

Gradyant, diverjans, rotasyonel:

(nabla) operatr:

6

kz

jy

ix

Gradyant: kz

jy

ix

Diverjans:z

A

y

A

x

AA

321

Rotasyonel: ky

A

x

Aj

x

A

z

Ai

z

A

y

A

AAAzyx

kji

A

)()()( 123123

321

rnek: )sin(23 xyeyx z ;

kxyeyxjxyeyxxyyexixyeyxxyeyx zzzzz

)sin()]cos()sin(2[)]cos()sin(3[ 232433322

rnek: kzxjxeixyxA y

lnsinsin23 ;

z

xxexyxxyxA y sincossin3 2322

kxyxxejz

zxxeyxzyx

kji

A y

y

)sin2cos(ln

lnsin

3

23

operatr ile ilgili formller:

1) vuvu )(

2) BABA

)(

3) BABA

)(

4) 22

2

2

2

22

z

u

y

u

x

uuu

(Laplasyen)

5) 0)(

6) 0)( A

7) AAA

2)( Not: kAjAiAA

321 ise,

kz

A

y

A

x

Aj

z

A

y

A

x

Ai

z

A

y

A

x

AA

)()()( 2

32

23

2

23

2

22

2

22

2

22

2

21

2

21

2

21

22

rnek: vuvu )( olduunu Kartezyen koordinatlarda gsterin.

7

zm: kvuz

jvuy

ivux

vu

)()()()(

kz

v

z

uj

y

v

y

ui

x

v

x

uvu

)()()()(

kz

vk

z

uj

y

vj

y

ui

x

vi

x

u

vukz

vj

y

vi

x

vk

z

uj

y

ui

x

u

)()(

.

8

2. KOORDNAT SSTEMLER

2.1. Kartezyen (Dikdrtgensel) koordinat sistemi

Deikenlerin aralklar:

z

y

x

Uzunluk eleman: kdzjdyidxld

Yzey elemanlar:

dydxdS xy kn

dzdxdS xz jn

dzdydS yz in

Hacm eleman: dzdydxdV

2.2. Silindirik koordinat sistemi

X

X

X

X

X X

X

dx

dz

dy

x

y

xy

z

z

),,( zrP X

r

z

re

e

ze

9

Birim vektrler zr eee ,, birbirine diktir.

Deikenlerin aralklar:

z

r

200

Silindirik ve Kartezyen koordinat sistemleri deikenlerinin birbirine dnm:

cosrx 22 yxr

sinry )/arctan( xy

zz zz

Uzunluk, yzey, hacm elemanlar:

Uzunluk eleman: zr edzedredrld

Yzey elemanlar:

ddrrdS r zen

dzdrdSrz en

dzrddS z ren

Hacm eleman: dzddrrdV

dr

dr

dz

d

r

x

y

z

10

2.3. Kresel Koordinat Sistemi

Birim vektrler eeer ,, birbirine diktir.

Deikenlerin aralklar:

20

00

r

Kresel ve Kartezyen koordinat sistemleri deikenlerinin birbirine dnm:

sincosrx 222 zyxr

sinsinry )arctan(22

z

yx

cosrz )/arctan( xy

Uzunluk, yzey, hacm elemanlar:

d

X),,( rP

r

re

e

e

x

z

y

dr

dr sin

dr rP

x

y

d

z

11

Uzunluk eleman: edredredrld r sin

Yzey elemanlar:

ddrdS sin2 ren

drdrdSr sin en

drdrdS r en

Hacm eleman: dddrrdV sin2

2.4. Metrik arpanlar:

Metrik arpanlar321 ,, eee

321 ,, uuu1h 2h 3hKartezyen ko. sistemi 1 1 1 kji

,, zyx ,,

Silindirik ko. sistemi 1 r 1 zr eee ,, zr ,,

Kresel ko. sistemi 1 r sinr eeer ,, ,,r

eitli koordinat sistemlerinde gradyant, diverjans, rotasyonel:

333

222

111

111e

uhe

uhe

uh

,

)]()()([1 3213

2312

1321321

Ahhu

Ahhu

Ahhuhhh

A

,

332211

321

332211

321

1

AhAhAhuuu

eheheh

hhhA

.

12

3. DVERJANS VE STOKES TEOREMLER

3.1 Diverjans teoremi

SV

dSnAdVA)(

rnek: )(3

102

3

m

Couli

xD

olarak verilmise her bir kenar m2 olan merkezi orijinde ve

kenarlar Kartezyen koordinat eksenlerine paralel bir kpn hacm iin diverjans teoremininher iki tarafn hesaplayn.

zm: SV

dSnDdVD )( dzdydxdVxD ,10 2

Sol taraf: )(3

80320|

31010)(

1

1

1

1

1

1

1

1

11

31

1

1

1

1

1

2 Couldzdydzdyx

dzdydxxdVDV

.

Sa taraf:

)(3

4043

103

101

1

1

11 CouldzdyiiI

03

101

1

1

1

32

dydxkixI

)(3

4043

10)()1(3

101

1

1

1

33 CouldzdyiiI

0)(3

101

1

1

1

34

dydxkixI

03

101

1

1

1

35

dzdxjixI

0)(3

101

1

1

1

36

dzdxjixI

)(3

806CoulIdSnD

mm

S

.

3.2 Stokes Teoremi

S C

ldAdSnA )(

13

4. ETL RNEKLER-1

1) Kartezyen koordinatlarda )1,4,2( P noktasndan, )0,2,0( Q noktasna ynelmi A

vektrn ve bu dorultudaki birim vektr bulun.

kjikjiA

22)10()]4(2[)20( ,

kjikji

A

Aa

31

32

32

322

||

2) Silindirik koordinatlarda )0,2/3,5( P ve )10,2/,5( Q noktalar arasndaki uzaklbulun.

1. yol:

:P

0)2/3cos(5

cos

rx

5)2/3sin(5

sin

ry

0 zz

:Q

0cos

rx

5sin

ry

10 zz

210)010()55()00(|| 222 QPd

2. yol:

3) kjiBkjiA

44,24 ise iki vektrn dik olduunu gsterin.

zm: ki vektrn skaler arpmnn sfr olmas diklik iin gerek ve yeter kouldur.

210 10

55

2/3P

Q

x

y

z

14

0)4)(1()4)(2(14 BA

4) jiA

42 ve kjB

46 ise A

ve B

arasndaki ay

a) skaler arpm kullanarak

b) vektrel arpm kullanarak bulun.

zm:

a) cos|||| BABA

,

cos)1636)(164(24)4(06402 ,

o9.415220

24cos .

b) |sin|5220|12816||sin||||||| kjiBABA

,

o9.411040464

522014464256|sin| .

5) kiBjiA

2, ve kjC

2 ise )(),(,)( CBACBACBA

ve

CBA

)( byklklerini bulun.

zm:

kjikjiBA

22)10()20()02(

kjCBA

42)(

kjiCBA

322)(

kjiCB

24

514)( CBA

514)( CBA

6) Silindirik koordinatlarda z ekseni zerindeki z koordinat hz olan P noktasndan)0,,( rQ noktasna ynelmi birim vektr nedir?

15

zm:

1. yol:

:Q :P

cosrx 0x

sinry 0y

0z hz

khjrirPQ

)sin()cos(

khr

hj

hr

ri

hr

r

PQ

PQa

222222

sincos

||

2. yol:

zehPO

, rerOQ

zr eherPQOQPO

22|| hr

eher

PQ

PQa zr

Gerekten de eer burada jier sincos yazlrsa 1. yol ile bulunan sonu elde edilir.

h

r

),0,0( zP

)0,,( rQx

y

z

O

16

7) 5z dzlemi zerindeki rastgele bir noktadan orijine ynelmi birim vektr yazn.

zm:

kjyixPOA

5

25

5|| 22

yx

kjyix

A

Aa

8) i- ar , ile tanml kresel bantn alan nedir? ii- Ayn soru ,0iin?

zm:

i- )cos(cos2|)cos(2sin 222

0

2

aaddrdSS .

ii- 22 4)]1(1[2 aaS .

9) Kresel koordinatlarda diferansiyel hacm ifadesini kullanarak yarap aolan kreninhacmini bulun.

zm: 30 0

2

0

2

34sin adddrrdVV

a

rV

.

-5x

X

y

z

)5,,( yxP

O

x

y

z

17

5. ZAMANLA DEEN ELEKTROMANYETK ALANLAR

5.1. Elektromanyetiin aksiyom denklemleri (Maxwell denklemleri)

t

BE

D

Jt

DH

0 B

E

: Elektrik alan iddeti vektr )/( mV .

H

: Manyetik alan iddeti vektr )/( mA .

D

: Deplasman vektr ( 2/ mCoul ).

B

: Manyetik endksiyon vektr ( 2/ mWeb ).

J

: Akm younluu ( 2/ mA ).

: Yk younluu ( 3/ mCoul ).

5.2 Maxwell denklemlerinin integral formu

SCS t

dSnt

BldEdSnE

S SCS

dSnJdSnt

DldHdSnH

V V

QdVdVD )(

veya S

QdSnD

V S

dSnBdVB 0)(

Sreklilik denklemi (Maxwell denklemlerinin bir sonucu):

0)(0

)(0

)(

tJJD

t

Jt

D

Jt

DH

18

5.2 Sinzoidal srekli halde Maxwell denklemleri

),(~ jrE

ile }),(~Re{),( tjejrEtrE

olarak tanml fazr byklk gsterilirse, veMaxwell denklemlerindeki dier byklkler iin benzer tanmlar yaplrsa, sinzoidal sreklihalde Maxwell denklemleri yle yazlabilir:

BjE ~~ ~~ D

JDjH ~~~ 0~ B

5.3 Ortamlarn tanmlanmas

EJHBED

,,

a) Homojen ortam: Eer matrisi konum vektr r den bamsz ise ortam elektrikselolarak homojendir denir.Eer matrisi konum vektr r den bamsz ise ortam manyetik olarak homojendir

denir.Eer matrisi konum vektr r den bamsz ise ortam iletkenlik olarak homojendirdenir.

b) Dorusal ortam: Eer matrisi E

den bamsz ise ortam elektriksel olarakdorusaldr denir.Eer matrisi H

den bamsz ise ortam manyetik olarak dorusaldr denir.

Eer matrisi E

den bamsz ise ortam iletkenlik olarak dorusaldr denir.c) zotrop ortam: Elektriksel olarak izotrop ortam:

100010001

)(0 rr ,

z

y

x

r

z

y

x

r

E

E

E

r

E

E

E

rED )(100010001

)( 00 .

Manyetik olarak izotrop ortam:

100010001

)(0 rr ,

z

y

x

r

z

y

x

r

H

H

H

r

H

H

H

rHB )(100010001

)( 00 .

letkenlik olarak izotrop ortam:

100010001

)(0 r ,

z

y

x

z

y

x

E

E

E

r

E

E

E

rEJ )(100010001

)( 00 .

d) Basit ortam:Bir ortam elektriksel olarak homojen, dorusal ve izotrop ise elektriksel olarak basitortam olarak isimlendirilir.

19

Bir ortam manyetik olarak homojen, dorusal ve izotrop ise manyetik olarak basitortam olarak isimlendirilir.Bir ortam iletkenlik olarak homojen, dorusal ve izotrop ise iletkenlik olarak basitortam olarak isimlendirilir.Bir ortam elektriksel, manyetik, iletkenlik olarak basitse, basit ortam olarakisimlendirilir.

5.4 Poynting vektr

)/(),(),(),( 2mWatttrHtrEtrP

ile tanmlanan Poynting vektr elektromanyetikenerjinin yaylma ynn belirler.

Ortalama Poynting vektr

T

ort dttrHtrETP

0

),(),(1

olarak tanmlanr. Burada T sinzoidal dalgann periyodudur.

}),(~Re{),( tjejrEtrE

, }),(~Re{),( tjejrHtrH

ise

dtejrHejrHejrEejrET

dttrHtrET

P tjtjT

tjtjT

ort ]),(~),(~[]),(~),(~[

211),(),(1

00

yazlr. Bu eitlikte simgesi kompleks elenii gstermektedir. Buradan, }~~Re{21 HEP

bulunur. Bundan byle fazr byklkleri gstermek iin kullandmz ~ simgesiyazlmayacaktr.

rnek: Kaypsz ve kaynaksz elektriksel ve manyetik olarak basit bir ortamdaelektromanyetik dalgann manyetik alan sinzoidal srekli halde yle verilmektedir:

zjx ea

xa

ajH

)sin( ,

0yH ,

zjz ea

xH

)cos( .

te yandan sinzoidal srekli halde elektromanyetik dalgann Poynting vektrelektromanyetik enerjinin yaylma ynn verir ve u ifadeye sahiptir:

}Re{21 HEP

.

Yukarda verilen manyetik alan iin elektrik alann bulun ve Poynting vektrn hesaplayn.

zm:

20

jea

x

aje

a

xa

aj

ea

xe

a

xa

ajzyx

kji

H zjzj

zjzj

])sin()()sin([

)cos(0)sin(

zjea

xa

aj

)sin(])([ 22

,

zj

rr

ea

x

aj

aj

j

HE

)sin(])([1 2200

.

21

6. ELEKTROSTATK

6.1 Elektrostatiin aksiyom denklemleri

Varsaymlar:

1) Ykler haraketsiz2) Zamanla deime yok3) Manyetik alan yok

000

000

0

B

DD

Jt

DH

Et

BE

Elektrostatiin aksiyom denklemleri:

0 E

D

6.2 Elektrostatiin tanmlar:

Tanm 1- Elektrik alan

Birim yke etkiyen kuvvettir. )/( mVoltq

FE

Tanm 2- Deplasman vektr

)/( 2mCoulED

Tanm 3- Elektrostatikte potansiyel

0 E

ve 0)( olduu iin E

yazlabilir.

Uzunluk eleman: kdzjdyidxld

Toplam diferansiyel: dzz

dyy

dxx

d

. O halde:

lddldd

)(

22

)(VoltldEA

A

. Sonsuzdaki bir birim pozitif yk A noktasna tamak iin elektrik

alanna kar yaplan ie A noktasnn potansiyeli denir.

Tanm 4- Elektrostatikte gerilim

)()(

)(

VoltldEldEldE

ldEldEldEldE

B

AB

A

BABA

BAAB

Tanm 5- Deplasman aks

S

CoulombdSnD )(

Tanm 6- E potansiyel yzey

Elektrostatik alan iinde eit potansiyeldeki noktalarn oluturduu yzey.

Bu yzey zerinde 0 ldldE

Tanm 7- Elektrostatik alanda iletken

Elektrostatik alanda e potansiyel yzey oluturan madde. Elektrostatik alanda iletkeniindeki elektrik alan 0E

. nk E

ve sabit .

Tanm 8- Dielektrik

(a) (+) ve (-) yklerin arlk merkezi: Bu yklerin arlklarnn ayn d etkiyi yaratmakzere younlatn kabul edeceimiz etki merkezidir. Eer bir moleklde (+) ve (-)yklerin arlk merkezleri akrsa molekle polar olmayan ya da kutupsal olmayanmolekl denir. Eer akmyorsa polar molekl denir.

(b) Dipol: Aralarndaki uzaklk alann hesapland noktaya gre ok kk olan, eitfakat zt iaretli iki noktasal ykn oluturduu sisteme dipol ad verilir.

ld 2

qX

Xq

dd

l

P

x

z

y

23

Polar molekl - alan yokken:

Polar olmayan molekl alan yokken:

Polar molekl - alan varken:

Ynlenme polarizasyonu

Polar olmayan molekl - alan varken:

Kayma polarizasyonu

Kayma ve ynlenme polarizasyonunun grld malzemelere dielektrik denir. Bir dielektrikmalzemede her iki trden polarizasyon mevcuttur. Polar molekllerde alan iinde daimi dipolmomenti hizaya gelir: Ynlenme polarizasyonu (HCl, H2O) . Polar olmayan maddelerde alaniinde indklenen dipol momenti daha byktr (hava, metil alkol, helyum, amonyak buhar).

6.3 Elektrostatikte snr koullar teoremi

a) ki dielektrik arasndaki snr koullar teoremi

i-Elektrostatiin 1. aksiyom denklemi: 0 E

. Stokes teoremi ile

0)( CS

ldEdSnE bulunur.

24

mll

mll

mEE

mEE

tt

tt

2

1

22

11

lh olduundan h boyunca integrale katk olmad varsaylabilir.

tttt

C

EEmlmEmlmEldE 2121 0)()()()(

.

ii- Dielektriklerde serbest yk bulunmadndan elektrostatiin ikinci aksiyom denklemi0 D

olarak yazlabilir. Diverjans teoremi ile

V S

dSnDdVD 0

bulunur.

Shnn 221 , alnrsa, 22112211 0 nDnDSnDSnDdSnD nn

S

nn

,

ve nihayet nn DD 21 bulunur.

b) Bir iletken ve bir dielektrik arasndaki snr koullar teoremi

i-Elektrostatiin 1. aksiyom denklemi: 0 E

. Stokes teoremi ile

S

C

h

l

tE1

tE2

)( vektrbirimm

1. dielektrik

2. dielektrik

S

S

nD1

1n

nD2 2

n

h 1. dielektrik

2. dielektrik

25

0)( CS

ldEdSnE bulunur.

mll

mll

mEE

mEE

tt

tt

2

1

22

11

lh olduundan h boyunca integrale katk olmad varsaylabilir.

tttt

C

EEmlmEmlmEldE 2121 0)()()()(

.

te yandan iletken iinde 0E

021 tt EE elde edilir. Bunun bir sonucuelektrostatikte elektrik alannn iletkene dik olmasdr.

ii- Elektrostatiin ikinci aksiyom denklemi D

dur. Diverjans teoremi ile

V S V

QdVdSnDdVD

bulunur. Yani kapal bir yzeyden geen deplasman

aks o yzeyin iindeki yklerin toplamna eittir (Gauss teoremi). O halde bir iletkeniniinde her V hamc iin 0Q dr. Yk ancak iletkenin yzeyinde olabilir.

V S

S SdSnDdV

.

SnSDnSD Snn )()( 2211

,

S

C

h

l

tE1

tE2

)( vektrbirimm

1. ortam (dielektrik)

2. ortam (iletken)

26

21 nn

olduu iin ve iletkenin iinde elektrik alan sfr olduu iin ( 02 D

), Sn nD 11

ve nihayet, 11

1 nES

n

bulunur.

nD1

1n

6.4 Gauss teoremi

D

V V

QdVdVD

S V

QdVdSnD

Gauss teoremi: Kapal bir yzeyden geen deplasman aks o yzeyin iindeki yklerincebirsel toplamna eittir.

rnek:

)(321 Coulombqqq

6.4.1.Gauss teoreminin uygulamalar

1. Noktasal ykn alan ve potansiyeli

S

SnD2

2n

h 1. ortam ( dielektrik)

2. ortam (iletken)

S

X1q

X 2qX3q

S

X

rQ

re

x

y

z

27

),,( rD

:

i- D

, ve den bamszdr.

ii- D

yalnz re bileenine sahiptir.

O halde rr erDD )( ,

2

0 0

222 sin)(sin)(sin)( ddrDrddrrDddreerD rS

rrr

S

r

QrDr r 22)(2 ,

)/(44

)( 22 mVerQ

Er

QrD rr

.

Noktasal ykn potansiyeli:

)(4

|44

)sin(4 22

Vr

Q

r

Qdr

r

Qedredredre

r

QldE

A

AA

r

A

r

A

A

2) Sonsuz uzun izgisel ykn alan ve potansiyeli

:)/( mCl izgisel yk younluu

),,( zrD

:

i- D

, ve z den bamszdr.

ii- D

yalnz re bileenine sahiptir.

O halde rr erDD )( .

dzdreerDddrreerDddrreerDdSnD rrS

rzr

S

rzr

S

r

S IIIIII

)()()()()(

l

)/( mCl

2'E

1'E

(I) (II)(III)

z

28

)/(22

)(2)( mVer

Er

rEllrrD rll

rlr

.

izgisel ykn potansiyeli:

)(ln22

)(2

0

0

Voltr

r

r

dredzedredre

rldE

A

lr

r

lz

A

rrl

A

A

A

.

2) Sonsuz ince, sonsuz geni dzlemsel yk yzeyinin alan ve potansiyeli

:)/( 2mCl dzlemin yzeysel yk younluu

),,( zrD

:

i- D

, r ve den bamszdr.

ii- D

yalnz ze bileenine sahiptir.

O halde:

0)(0)(

zezD

zezDD

zz

zz

.

IBIIAII

III

S

Szzrz

S

zrz

S

z

zz

S

zzz

S

z

S

aaDddrrDdSeezDdSeezD

ddrreezDddrreezDdSnD

2222)()(

)()()(

22

Sz

Sz ED

(I)

(II)

(IIIA)

(IIIB)x

z

y

1'E

2'E

)/( 2mCS

29

Dzlemsel ykn potansiyeli:

A

zzS

A

A edzeldE )(2

Sfr potansiyelli nokta olarak sonsuzu deil, 0z alrsak:

)()(2 0

Vzz AS

A

.

6.4.2. Gauss teoremi ile ilgili rnek problemler

1) a- mzmymx 10,10,10 ile tanmlanm bir V hacmi iinde younluu

)/(30 32 mCyx olarak verilmi bir yk dalm varsa V iindeki toplam ykbulun. b- Bu V hacmini saran kapal bir S yzeyinden geen toplam deplasman aksnedir?

zm: a) )(5301

0

1

0

1

0

2 CdzdydxyxdVQV z y x

.

b- S

CQdSnD )(5

.

2) )(70),(150),(30 321 nCQnCQnCQ yklerini iinde bulundurankapalyzeyden geen net deplasman aks nedir?

zm: )(1107015030 nC .

3) Yarap )(4 m , yk younluu )/(2

sin 22 mCoulr

olan dairesel diski ieren bir

kapal yzeyden geen net deplasman aks nedir?

zm: )(22

sin 2Coulddrr

rdSdVdSnD

S V S S

S

.

4) mz 5.0 dzleminde 2/40 mCS younluklu yk tayan bir dzlem merkeziorijinle akk kenarlar OzOyOx ,, eksenlerine paralel ve her ayrt m2 olan bir kpkesmektedir. Ayrca Oy ekseni boyunca yk younluu mCl /6 olan izgisel biryk kp delip gemektedir. Kpn yzeyinden geen deplasman aksn bulun.

zm: CSQmS SS 16040442 ,

ClQml ll 12)6(22 ,CQCQQQ lS 148,148 .

30

5) Bir noktasal Q yk Kartezyen koordinatlarda balang noktasndadr. CnQ 30 isem)4,3,1( noktasndaki deplasman vektr D

yi bulun.

zm:

rer

QD

24

26)4(31 2222 r , )/(26

)43(264

1030 29 mCoulkjiD

,

)/(82.91|| 2mpCD

.

6) mCl /20 izgisel yk younluu hem Ox ve hem Oy eksenleri boyuncauzanmaktadr. mP )3,3,3( noktasnda D

nedir?

zm:

izgisel yk iin: rl er

D

2 , ve geometriden mr 23 .

)/()(12

102023

)33(232

1020 266 mCoulkjkjDx

,

)/()(12

102023

)33(232

1020 266 mCoulkikiDy

,

)/()2(3105 26 mCoulkjiDDD yx

.

7) )/(10 2mCixD

ise mx 3 de , Ox eksenine dik, 21m alanl yzeyden geendeplasman aksn bulun.

XQ

x

y

z

m)4,3,1( X

x

y

z

P

l

l

31

zm:

S S S

x CoulombdzdydzdyiixdSnD 3013030|)10( 3 .

x

y

X m3

21m

z

32

7. KONDANSATRLER

7.1 Tek dielektrikli kondansatrler

a) Paralel levhal kondansatr

Bir iletken ve bir dielektrik arasndaki snr koullarndan: zS eE

,

)/(3610,

9

00 mFr

.

ddzedxedyedzeldEU sd

sxyzz

s

0

)(

)(Fd

SdS

U

QC

s

s

b) Silindirik kondansatr

Sonsuz uzun izgisel ykn alanndan , rerE

2 .

)ln(22

)(2 a

b

r

dredre

rldEU

b

a

rr

.

)/ln(2

)ln(2

ab

l

a

bl

U

QC

Birim uzunluk bana kapasitans: )/()/ln(

2mF

abC

.

- - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + +

d

S

U

a

b

U

r

33

c) Kresel kondansatr

Noktasal ykn alanndan, rerQ

E

24 ,

)(4

)11(44

)(4 22

abba

Q

ba

Q

r

drQedre

r

QldEU

b

a

rr

,

)(4

)(4

Fab

ba

abba

QQ

U

QC

7.2 ift dielektrikli kondansatrler

a.1) Paralel levhal seri dielektrikli kondansatr

Bir iletken ve bir dielektrik arasndaki snr koulundan, zz eEeE

22

11 ,

dir.

22

11

1212

1121

)()()( ddddddedzeedzeldEU zzzz

212

2

1

12

21

1

1111

CCS

d

S

ddd

S

U

QC

Q

a

b

Q

U

r

- - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + +

1d

2d

z S

1

2

1E

2E

U

34

a.2) Paralel levhal paralel dielektrikli kondansatr

ki dielektrik arasndaki snr koullar teoreminden alanlarn teetsel bileenlerinin her ikiortamda eit olmasndan unlar yazabiliriz:

z

z

eE

eE

2

22

1

11

1

212

2

2

1

1

ddzedzeldEUd

zz1

1

01

1

1

1 )(

)(/

212

22

1

11

11

212111

11

2211 FCCd

S

d

Sd

SSd

SS

U

QC

b) ift dielektrikli silindirik kondansatr

izgisel ykn alanndan; rr erEe

rE

22

11 2

,2

)ln(2

)ln(2

)(2

)(2 2121 b

c

a

bedre

redre

rldEU

c

b

rr

b

a

rr

1dU

2

11 , S 22 , Sz

1

a

b

U

r

c

2

35

)/()ln()ln(

2|

)ln(2

)ln(2 12

211

21

mF

b

c

a

b

b

c

a

bl

U

QC ml

c) ift dielektrikli kresel kondansatr

Noktasal ykn alanndan , rerQ

E

24 ,

)11(4

)11(4

)(4

)(4 21

22

21 cb

Q

ba

Qedre

r

Qedre

r

QldEU

c

b

rr

b

a

rr

,

)()()(

4

)(4

)(4

12

21

21

Fbcaabc

bca

bcbc

Qab

ba

QQ

U

QC

7.3 rnekler

1)

5,1,1,200 212 rrmSVoltU ise her iki dielektriin ularndaki gerilimi bulun.

1Q

a

b

Q

U

r

c

2

U

S

11 r52 r

mm3mm1

36

zm:

22

222

11

111

ddEU

ddEU

VoltddUUU 2002

21

121

0

393

9

3

9

3

2

2

1

1 )5/13(10200

)5/13(361010200

)36/(10510

)36/(10103

200200

dd

Voltd

Ur

5.187)5/13(

32001031)5/13(

10200 31

3

1

11

VoltUUU 5.1212

2)

)/(3610,10,2

9

032 mFmdmS

ise bileke kapasitans nedir?

zm: )(7210)73(

1021

105.3

105.1 5

0330

302211

21 Fd

S

d

SCCC

3) Levhalar arasnda serbest uzay bulunan bir paralel levhal kondansatr bir sabit gerilimkaynana balanmtr. 2r olan bir dielektrik, levhalar arasna yerletirildii zaman,

QC , ve s nin nasl deitiini bulun.

zm:

d

SC

12 2CC

CUQ 21 UU olduundan, 12 2QQ

S

Q 12 2 .

5.32 r5.11 r

21 m 21 m d

1

ELEKTROMANYETK ALANLARA GR

Ders Notlar

Blm 2: Manyetik Alan

Yararlanlan Kaynaklar:

1) Elektromagnetik Alan Teorisi, H. Ergun Bayrak, Birsen Yaynevi, 2000.2) Theory and Problems of Electromagnetics, J. A. Edminister, McGraw-Hill, 1993.3) Elektrik Alanlarna Giri II, Ahmet Akhunlar, T Yaynlar, 1971.

2

1. STASYONER MANYETK ALANLAR

Doada manyetik alanlarn varl demir filizinin tanecikleri ekme zellii ile ortayakar. Manyetik zellikler gsteren demir filizi doal mknats olarak adlandrlr. Bumknatsn kuzey ve gney kutuplar N ve S harfleri ile gsterilir.

Bir I doru akm tayan bir akm eleman da stasyoner manyetik alan retir. Sa elkuralna gre sa elin ba parma akm ynne iaret ederken ve akm eleman avuiinde iken drt parmak manyetik alan ynne iaret eder.

Stasyoner zamanla deimeyen demektir. Elektrostatik alan statik ykler tarafndanretilirken, stasyoner manyetik alan hareket eden ykl paracklar tarafndan retilir. Buykl paracklar bir elektrik akmna neden olur ve elektrik akm bir stasyoner manyetikalana yol aar.

1.1 Tanmlar

Tanm 1-Manyetik endksiyon

Dzgn manyetik alan iinde alanla as yapan v hznda bir q yk konduunudnelim.

O zaman )( BvqF

. Sol el kuralna gre: Alan sol el avu iine girecek (alan yn;alana sokulan mknats ibresinin kuzey kutbunun bakt yn, dolays ile yukardakiekilde N den 'S ye), drt parmak v hzn gsterecek. Ba parmak kuvvet ynngsterir.

)/(|sin|

|||||sin||)(||| 2mWbqv

FBqvBBvqF

ifadesi manyetik endksiyonu

verir. (Yn ise yukarda tanmlanan alan yn ile ayn)

Tanm 2 Manyetik alan iddeti

)/( mABH

N SF

v

Xq

3

Tanm 3 Yzeysel elektrik akm younluu

)/(|| 2mAAIJ

Tanm 4 Manyetik ak

)(WbdSnBS

Tanm 5 Manyetomotor kuvvet

)(AldH

Tanm 6 Manyetik Diren (Relktans)

1)(

HenryRm

Tanm 7 Vektr potansiyel )(A

ABB

0

Tanm 8 Manyetik skaler potansiyel ( )

inde elektrik akm younluu bulunmayan ( 0J

) bir blgede

HH

0

1.2 Manyetik ortamlarn tanm ve zellikleri

HB

ortamlarn manyetik olarak dorusallk, homojenlik ve izotropluk zelliklerini

belirleyen bantdr.

Bir ok maddede )(0 MHB

bants mevcuttur. Burada

H

: toplam manyetik alan iddeti ve

M

: manyetik kutuplanmadr. M

nin boyutu )/( mA dir. zotrop ortamlarda deneysel

olarak HM m

bants bulunmutur. Burada m manyetik alnganlktr. Eer

yukardaki B

ifadesinde yerine konursa HB m

)1(0 bulunur. Manyetik geirgenlik

katsays )1(0 m dir. Bal geirgenlik mr 1 dir.

HHB r

0 .

Manyetik ortamlar snfa ayrlr.

4

1. Diyamanyetik ortamlar: )1(0 rm . rnein bizmut ve bakr iin

99983.0r ve 999991.0r2. Paramanyetik ortamlar: )1(0 rm . rnein aluminyum iin 00002.1r .

3. Ferromanyetik ortamlar: r nin 1 den ok byk deerler ald ortamlardr. rmanyetik alann deerine bal olarak deiir (dorusal olmayan ortam). rnek demir,nikel, kobalt ve bunlarn alamlar.

1.3 Stasyoner manyetik alanlarn aksiyomlar

0, BJH

1.4 Stasyoner manyetik alanlarda snr koullar teoremi

a) Manyetik olarak basit iki ortamn ara yzndeki koullar

i- Stasyoner manyetik alanlarn birinci aksiyom denklemi: (Yzeysel akm younluu yalnzmkemmel iletkenlerle mmkn olduu iin) 0 H

. Stokes teoremi ile

0)( CS

ldHdSnH bulunur.

mll

mll

mHH

mHH

tt

tt

2

1

22

11

lh olduundan h boyunca integrale katk olmad varsaylabilir.

ttttC

HHmlmHmlmHldH 2121 0)()()()(

.

S

Ch

l

tH1

tH 2

)( vektrbirimm

1. manyetik ortam

2. manyetik ortam

5

ii- Stasyoner manyetik alanlarn ikinci aksiyom denklemi: 0 B

olarak yazlr.Diverjans teoremi ile

V S

dSnBdVB 0

bulunur.

Shnn 221 , alnrsa, 12112211 0 nBnBSnBSnBdSnB nn

Snn

ve nihayet nn BB 21 bulunur.

b) kinci ortam mkemmel geirgen bir ortamsa ( 2 ).

02 H

. Bu durumda HB

olduu iin 02 B

olmas gerekmez.

nntt BBHH 2121 ,0

.

1.5 Ampere Teoremi

SS

dSnJdSnHJH )( . Stokes teoremi ile

C

IldH

1.5.1 Ampere teoreminin uygulamalar ve rnek problemler

1. ok ince ve sonsuz uzun akm elemannn rettii manyetik alan

r

S

SnB2

2n

h 1. manyetik ortam2. manyetik ortam

H

I

nB1

1n

6

C

IldH

. Ayrca dairesel simetriden tr ve alann yalnz e bileenine sahip

olduu varsaym ile erHH )( olup IdrrH

2

0

)( , e

rIH

2 bulunur.

2. Yarap aolan ve iinden I akm akan bir iletkenin iinde ve dndaki manyetik alan

a) letkenin iinde 222 )(arIr

aII ksmi

1

2)(2C a

rIHrdrH

)(2 2a

rIH

)/( mA

b) letkenin dnda II , IHrdrHC

2

2 , )/(2mA

rIH

3. I akmn tayan sonsuz uzun ii bo akm elemannn blgesindeki manyetik alan

a) ar ; 0I , 0,0 HH

a

r

r

1C2C

a

r

r

1C2C

r

b

3C

7

b) ;bra )(

),( 2222

abI

SIJabS

toplamtoplam

)()(

)( 222222 ar

abISJIarS ksmiksmiksmi

)/()(2

)()()(

2 2222

2222

2

mAabr

arIHarab

IrHdrHC

c) rb ; II , IHrdrHC

3

2 , )/(2mA

rIH

4. Dalmnn kesiti verilen ok ince ve sonsuz uzun drt akm elemannn Onoktasnda oluturaca manyetik alan

)(4

),(22),(

22),(

2 4321i

aIHi

aIHj

aIHj

aIH

)325(

2)

2122(

24321ji

aIiijj

aIHHHHH

5. Problem: Sonsuz uzun akm elemannn manyetik alan iindeki birdikdrtgensel ereve ekildeki gibidir. ereveden geen manyetik aky bulun.

X

X

a

a

a2

a .

.

I2

I I2

I

O x

y

1 2

3

4

a

b

h

I

y

xX B

8

zm:

)2

(,x

IkBkndSnBS

)()(ln2

)2

(0

WeberabhIdydx

xIh

y

b

ax

6. Problem: 4/ dzleminin mr 05.001.0 ve mz 20 ile tanmlananblmnden geen aky bulun. A5.2 akm tayan bir akm eleman Oz ekseniboyuncadr. )/(104 70 mH

zm:

e

rIHB

2 , dzdrdS , dzdree

rIdSnB

SS

20 ,

Wbrdzdrdzdr

r z rz r

61.12)5(ln105105

25.2104 7

2

0

05.0

01.0

72

0

05.0

01.0

7

7. Problem: Kresel koordinatlarda bir vektr alan eA sin10 olarak

verilmise )0,2

,2( P noktasnda A

y bulun. Not:

4/ m01.0m05.0

m2

z

A5.2

x

y

9

eAArrr

erAr

Ar

eAAr

A

r

rr

])([1

)](sin

1[1])sin([sin1

.

zm: er

rre

rA r

)]sin10([1)]sin10([sin1

eeA P

5)2

sin(1021|

8. Problem: Yarap cmr 10 olan bir dairesel iletken u i alana sahiptir:

)/()]cos()sin(1[10 24

mAeararar

arH

.

Burada02 r

a . letkendeki toplam akm bulun.

zm:

dararar

ar

redzedredrHldHI zr )]cos()sin(

1[10)( 22

0

4

)(8)10(810810)2

(210121022

42

042042

4 Arra

.

9. Problem: Serbest uzayda )/(cos1039.26

mAer

H r olarak verilen bir alan

mevcuttur. mz 10,44

ile tanmlanan yzeyden geen manyetik aky

bulun.zm:

)/(cos3 20 mWberHB r

,

)(24.4)cos3(1

0

4/

4/

Wber

edzdrdSnB rz

r

10. Silindirik koordinatlarda )/(2 2mWber

B

verilmektedir. mr 5.25.0 ve

4/ 4/x

y

z

m1

10

mz 20 ile tanmlanan dzlemsel yzeyden geen manyetik aky bulun.

)(44.6)(22

0

5.2

5.0

Weberedzdrer

dSnB

11. Yarap aolan uzun dorusal bir iletken ierisinde )( ar e

arIH

22

ile

verilen bir manyetik alan iddetine sahiptir. Dnda ise ( ar ) e

rIH

2 dir.

Her iki blgede J

yi bulun. Not:

zrzr

rz eAAr

rre

rA

zAe

zAA

rA

])([1)()1(

dir.

zm:

a) ar iin: zzr eaIe

arI

rre

arI

zHJ

22

2

2 )2(1)

2(

Bylece J

kesit alan olan 2a zerine dzgn olarak dalm Oz ynnde birakma kar der.

b) ra iin: 0)2

(1)2

(

zr erIr

rre

rI

zHJ

.

11

1.6 Bir iletkene etkiyen manyetik kuvvetler

Ayn bir noktasal yk iin olduu gibi, iinden akm geen bir iletken zerine de bir kuvvetetkir. Gerekte bu kuvvet akm oluturan serbest elektronlar zerine etkiyen manyetikkuvvetlerin bir sonucudur. rnein elektrik motorlarnn rotor diye adlandrlan dnenksmlarn veya l aletlerinin sarglarn dndren kuvvetler bu manyetik kuvvettir.

ekilde B

dzgndr ve iletken endksiyon izgilerine diktir. letkenden geen akm ynsaa doru olduu iin serbest elektronlar sola doru hareket eder. Eer elektronlarn hz vyk e ise ( )106.1 19 Ce her bir elektrona etkiyen kuvvet

oveBveBf 90(sin )

olacaktr. te yandan eer birim hacm iindeki serbest elektron says n ile gsterilirse,telden geen I akm iin unu yazabiliriz:

SventSnel

tqI

. nk vt

l

.

Bu iki bantdan bir elektrona etkiyen kuvvet olarak

SnIBf

yazlabilir. Uzunluu l olan bir teldeki serbest elektronlarn says nSlN olduundan bizimtel paramza etkiyen kuvvet

IBlSn

IBnSlSnIBNfnF

olarak bulunur. Elektronlara etkiyen kuvveti bulmak iin eq diyerek Bvef

yazabiliriz. Elektronlarn hz v sola doru olduundan bu ifadeye gre kuvvetin yn ekildzlemine dolaysyla iletkene diktir ve ne dorudur. Bu yn sol el kural ile saptanabilir:alan sol el avu iine, drt parmak akm ( q hareket) ynn gsterirken ba parmak kuvvetigsterir.

I

S

l

B

12

Yukardaki son denklem yalnz iletken alana dikse geerlidir. Eer iletken ynmanyetik alan yn ile asn yaparsa bu denklem u biimi alr:

sinIlBF .

Eer akm yn yani ve ile ayn yne sahip uzunluk vektr l

ile gsterilirse,

BlIF

olur.

Elde edilen bu banty yukardaki deney dzenei ile gereklemek mmkndr.

Eer manyetik alan dzgn deil veya iletken paras bir dorusal izgi deilseyukardaki bantlar kullanamayz. Ayn ey alan dzgn deil ve iletken paras birdorusal izgi deilse de dorudur.

Byle bir durumda akm ynndeki uzunluk eleman (diferansiyel uzunluk vektr)sd ve manyetik endksiyonun B

olduu bir noktada bu uzunluk elemanna etkiyen kuvvet

)( BsdIFd

olur. sin|| BdsIdFFd

olup, burada B

, ve sd arasndaki adr. Fd

nin yn hem sd

ve hem de B

ye diktir. Bu nedenle bu iki vektrn tanmlad dzleme diktir. letkenintamamna etkiyen kuvvet ancak entegrasyon ile bulunabilir.

cva

cvaB

l

I

I

sd I

B

Fd

F

13

1.7 Akm tayan ereveye etkiyen kuvvetler

Aadaki ekilde dzgn manyetik alan iindeki dikdrtgensel tel sarg gsterilmektedir.Sarg dzlemi normali ve manyetik alan yn arasndaki a dr.

1 no.lu kenarda (b uzunluklu) akm ne doru: Alan avu iineAkm kat dzlemine dik (ne doru)Kuvvet kat dzleminde, yukar doru

2 no.lu kenarda (b uzunluklu) akm arkaya doru: Alan avu iineAkm kat dzlemine dik (arkaya doru)Kuvvet kat dzleminde, aa doru

Yukarda belirtildii gibi sol el kural ile 1 ve 2 no.lu kenarlara etkiyen kuvvetlerin eitgenlikli ve zt ynl olduu grlebilir. Fakat uygulama dorultular farkldr. IbBFF 21olduu iin bu kuvvetler dan bamszdr. ( )'sin,2/' IbBIlB . Dier ikikenara etkiyen kuvvetler eit genlikli ayn dorultulu fakat zt ynldr. Bu nedenlebilekeleri sfrdr.

Ayn uygulama dorultularna sahip olmayan 1F ve 2F kuvvetlerinin Onoktasna gremomentleri:

sinsinsin

sinsin2

sin2

1

121

ISBIbaBaFM

aFaFaFM

1.8 rnek Problemlera) )(5.0 TeslaB olan dzgn manyetik alan iinde bulunan ve iinden )(20 AI geentelin her metresine etkiyen kuvvet 000 30,60,90 iin hesaplanacaktr.zm:

)(1090sin2015.0sin 090

NIlBF o ,)(66.860sin2015.0sin 0

60NIlBF o ,

.

X

2/a

2/a

u sin2au

1F

I

B

1

2

2F

n

u

O

14

)(530sin2015.0sin 030

NIlBF o .

b) Kinetik enerjisi MeVK 5.2 olan bir proton )(8.0 TeslaB olan dzgn manyetik alaniinde endksiyon izgilerine dik olarak hareket ettiine gre paraca etkiyen kuvvetibulun.Not: Protonun ktlesi .)(106.1),(106.11),(107.1 191927 CoulqJouleeVkgm pp

zm:

)/(1017.22,21)(104 7213 sm

mKvvmJouleKp

p

)(1082.2)(1076.28.01017.2106.1 1112719 kgNBvqF p

( )102.01 kgN c) Yukardaki ekildeki ereveye etkiyen moment, dzgn manyetik alann erevedengeirdii manyetik ak bulunacaktr. ,)(10),(5),(2.0 msarWAITeslaB

)(10 cmba . Manyetik alan ereve dzlemi ile 060 asn yapmaktadr.zm:ekildeki iaretlemelere bakarak:( 00 3090 )

)(05.030sin5)101002.0(10

sinsin)sin2

(2

04

1

NmM

ISBaIbBaFM

)(10732.130cos101002.0cos 304 WeberSB

d) )(4,0 mxz ye yerletirilmi )(5.2 m uzunluklu bir iletken j

ynnde 12.0 Ampere

deerinde bir akm tamaktadr. Eer iletkene etkiyen kuvvet2

ki

ynnde )(102.1 2 N

iddetinde ise, blgedeki dzgn alan B

yi bulun.zm:

)(30)()5.2(12)2

(1020.1 2 iBkBkBjBiBjkiBlIF zxzyx

)(2

104 4 TBB zx

ve B

nin yB bileeni herhangi bir deeri alabilir.

e) ekildeki iletkeni bir tam tur hareket ettirmek iin yaplmas gereken ii bulun. Silindirikkoordinatlarda )(105.2 3 TeB r

ve )(0.45 AI dir. )(03.0 mr dir.

m10.0

r

x

y

z

I

15

)()105.2()1.0(45 3 NewtoneeBlIF rz ,

203.01025.111025.11)(1025.11

32

0

32

0

3

dredreldFW

)(12.2 mJouleW

1.9 Biot-Savart Teoremi

Biot- Savart teoremi 'rrR

olmak zere, 3'

4 RRldIH

dir.

1.Biot-Savart Teoremi Uygulamalara) Sonsuz ince, sonsuz uzun, akm tayan filamann manyetik alan

zrz ezearrRedzld '',''

e

zadzaI

zaeadzI

zaezeaedzI

RRldIH zrz

2/3222/3222/3223 ])'(['

4])'(['

4])'([)'('

4'

4

)/(2

)44

(|'

'4

|''

4 22222mAe

aIe

aI

aIe

azz

aIe

azazaIH

r

'r

R

)',','(' zyxPX

X ),,( zyxP

x

y

z

Hr

O

O'r

a

'ld

z

I

I

16

b) Sonsuz ince, sonlu uzunluklu, akm tayan filamann manyetik alan

sin4

'4 23 R

zdIdHR

RzdIHd

zr ezeaOKOPrrR ''

edzaezeaedzRzd zrz ')'(''

22223

'sin')sin('|'

||'|Rdz

Rdz

Rdz

Ra

RRedza

RRzd

2'sin

4 RdzIH

, sin)sin( RRa

cot' az

dadz 2sin1'

)(

)(22

2

1

sin4

1sin

sin4

B

A

da

IdR

aIH

(nk sinRa )

)cos(cos4 21

a

IH

cossin900 ve dd dr.

e

aIHd

aIdH

)sin(sin

4cos

4 12

P

12a

r

A BOI

K

R

1

'r 2

z

17

c) Sonsuz ince, yar sonsuz, akm tayan filamann manyetik alan

Yukardaki problemde tanaz olduu iin 2 , pozitif z ynnde olduundan (+)

alnmal ve 1 , negatif z ynnde olduundan (-) alnmaldr. Buna gre:

e

aIH

)sin(sin

4 12 ,

2/1 ( z tarafnda), 02 ,

e

aIe

aIH

4)]

2sin(0[

4 .

2/1 ( z tarafnda),

6/2 ( z tarafnda),

e

aIe

aIH

83)]

2sin(5.0[

4 .

2/1 ( z tarafnda),

6/1 ( z tarafnda),

e

aIe

aIH

8)]

2sin()

6[sin(

4

I

a P

z

O

I

O

090

030

z

P

2

1

z

O

I

P

18

d) Problem: ekildeki dikdrtgen sarmda I akm akmaktadr. Merkezde manyetikendksiyon vektr nedir? 0

zm:

22

20

2222

012

0

2)(

4)sin(sin

4 baa

abI

baa

baa

bI

bIBB CDAB

22

20

2222

012

0

2)(

4)sin(sin

4 bab

abI

bab

bab

aI

aIBB ADBC

220

22

220

22

0

22

022 baabI

baba

abI

bab

aI

baa

bIBBB BCABM

e) Problem: ekildeki P noktasndaki manyetik endksiyon vektrn bulun.

cma 50 , AI 15

0

A

BC

D

I a2

b2

1 2

21

b

O Iz

X X.I I2 Ia

a a

1B

3B

13BB

1 2 3

P

M

19

zm:

)(25.410250215104

2||||

2

7

1031 Teslar

IBB

)(125.02

301042

||7

02 TeslaaIB

)(622225.4245cos||| 0113 TeslaBB

)(6612|||||| 132 TeslaBBB

f) Tek bir spirin manyetik alan

A- ,2211 uauaR

olup 1' uld

(yarap n ve teet) ve 2' uld

( 2u spir

dzlemine diktir). O halde Rld

' .B- rHd

,Oz ye dik olan spir dzlemine paraleldir. Biot-Savart teoremine gre ayn

zamanda 'ld

ne diktir. O halde spir dzleminde bulunan ve 'ld

ne dik olan 1u e

paraleldir. 2u hem rHd

hem de 1u

e diktir. Dolays ile kendilerini birletiren Oz

ekseni ve bu nedenle zHd

ile birlikte 1u , rHd

hep ayn dzlemin iindedir.

Ra

sin,

|sin|'4

|'|4

|| 23 RdlI

RRldIHd

, olup 0' Rld

den tr, 2/ .

2

'4

||RdlIHd

, 222,' zaRdadl ,

)(4|| 22 za

daIHd

2/322

2

22 )(4)(4sin||

zadaI

Ra

zadaIHddH z

1u

2u

zHd

rHd

H

.'ld R

a

20

2/322

22

02/322

2

2/322

2

)(2)(42

)(4 zaaI

zaaI

zadaIH z

rdH in hibir katks yoktur.

g- Problem :

AIN 4,100 ise , a) || OH

=? ( 0z )

b) ?|| PH

( mz 2 )

zm:

a) )/(4002)(2

|| 2/322

mANaIN

aaIHO

b) )/(706.5)25.04(225.01004|| 2/3 mAH P

h- Solenoid sargnn alan

2/322

2

])([2 zdaaz

lINdH z

dadzazdzd

a )sin

1(tan

,tan 2

X

.O POH

PH

m2

ma 5.0

IN ,

XXXX X X

.....

l

1 2a

Pd

z

z

21

32/3

2

22

2

sin11

2]tan

[2 alIzN

aa

al

IzNdH z

2

1

)cos(cossin2 21

lINd

lNIdH z

h- Problem:

AIsarimNcmlcma 5.1,500,35,4 iin a) ortadaki ve b) ulardaki manyetikalan iddeti bulunacaktr.

zm:

a) 9749.0)2/(

2/cos),cos(cos2 22121

la

llINH z

9749.0coscos,180 1210

2

)/(2089)9749.0(235.02

5.1500 mAH M

b) ),cos(cos2 21

lINH z

01 90 , 222cos la

l

(Not: 10

2 180 )

)/(10652 22

mAla

llINHO

.

XXXX X X

.....

l

a

O MA1

2