17장 1/28

Chapter17강체의평면동역학(힘과가속도)

Planar Kinetics of a Rigid Body :Force and Acceleration

17장 2/2817.1 관성모멘트(Moment of Inertia)

질점동역학에서, 관성은운동의변화에저항하는성질이고질량은관성의척도라고배웠다. 강체동역학에선병진관성의척도인질량뿐만아니라회전관성의척도인관성모멘트( )라는개념이필요하다.I

----운동방정식----

질점동역학혹은강체의병진동역학

aF m=가속도질량힘 ×=

평면운동하는 강체의회전동역학

각가속도관성모멘트

모멘트힘의

×=

αM I=

관성모멘트는물체의미소질량의특정축(z)에대한 2차모멘트의적분이다.

즉, ∫=m

dmrI 2

17장 3/28

dm

r

z

Fig17-1x

y

여기서모멘트팔 r은 z축에서미소질량dm까지의수직거리이다.

1.관성모멘트를언급할때는반드시축을언급해야한다.즉다른축에대한관성모멘트의값은달라진다.

2.관성모멘트는양(Positive)이다.

주의!

부피차지하는미소질량이밀도 : ,: dVρVddm ρ=

, r2 = x2 + y2, ρ = ρ (x, y, z), dV = dxdydz∫=V

VdrI ρ2

Fig17-2

17장 4/28

밀도가균일하면

로서 3중적분으로표시된다.∫= VdrI 2ρ

물체가대칭성을가지면 3중적분을단순화할수있다.

①셸(shell) 요소

rzdrVd π2=

∫∫ ==∴ zdrrVdrI 32 2πρρ

(셀요소의경우모멘트팔이 r이므로)

②원판(disk)요소

y-z 평면에서 r2 = y2임을

유의하라.

주의!dzrdV 2π=

17장 5/28

원판의경우축 z로부터떨어진거리가전요소에걸쳐서동일하지않으므로직접관성모멘트를계산할수가없다.

24

032

21

2

22 ,

rdmdzr

ddzdzddIdII r

==

=== ∫∫∫

ρπηηπρηπηηρ

원판요소의관성모멘트

원판의질량

dzr 2πρ

즉

η ηd

dz

r

∫= dzrI 4

2πρ

결국

17장 6/28

z′

xd ′x′

x dxz2l

2l

G

예제17-1

Thin rod(가느다란봉)

[ ]123

1 22/

2/32/

2/222 mlx

lmdxx

lmdx

lmxdmxI

ll

l

lZ ===== −−∫∫∫

20

22

31 mlxdx

lmdmxI l

Z =′′=′= ∫∫′

17장 7/28평행축정리(Parallel-Axis Theorem)

물체의질량중심(G )를지나는축( )에대한관성모멘트( )와이축으로부터d만큼떨어진평행축( )에대한관성모멘트( I )사이의관계는다음과같다.

GIz′z

∫∫∫∫∫∫

+′+′+′+′=

′++′+==

mmymxm

m yxm

dmddmyddmxddmyx

dmydxddmrI222

222

22)(

])()[(

GIdmr =′∫ 2 0 2md0

G x′y′

y′

x′

x

y

dx

dyd

r′dm

주의!질량중심의정의에서

즉, 물체의미소질량의질량중심에대한 1차모멘트의적분은 0이다.

0 )(

=′∴′

+=′+

==≡ ∫∫∫∫ dmxm

dmxd

m

dmxd

m

xdmxd x

xx

17장 8/28

km

축회전반경(Radius of Gyration)

mIkmkI == , 2

주의 :회전반경의물리적의미

특정축에대한물체(질량 m)의관성모멘트와같은관성모멘트를갖게되는, 그물체와같은질량을가진질점이그축으로부터떨어져있는거리.

17장 9/28

예제17-2

축z ′ 축z

lG

12l

mIk G

z ==2

121 mlII Gz ==

22

22

31

2121 mllmmlmdII Gz =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=′

zz

z klmIk 2

3=== ′

′

17장 10/28예제17-3

y

dy원판요소를사용하면

= 원기둥의관성모멘트 포물면(Paraboloid)을회전하여얻은물체의관성모멘트

( ) ( )22

21 2

11021 xdmdmdI −=

( ) ( ) dyxdmdydm 22

21 , 10 πρπρ ==

( ) ]2910[

21 8

02

28

04

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= dyydyI πρ

6 in 4 in

8 iny= x229 x

y

17장 11/2817.2 평면동역학에서의운동방정식(Planar Kinetic Equations of Motion)

강체의평면운동을보장하기위하여강체에작용한힘은운동평면에대해대칭적

이어야한다. 즉힘의모멘트의총합은운동평면에수직한축방향의성분만가져야한다.

우선물체내의한점 P를원점으로하는병진기준계 xyz를구성한다.

저자는기준계 xyz를관성기준계라했지만, 강체내의임의의점인점 P의속도가일정하지않으므로특정순간에만기준계 xyz의원점과점 P가일치한다는뜻이되어너무부자연스럽고, 개념의설명에서이기준계가방향만지시할뿐관성기준계일

필요는없으므로우리는이기준계를병진기준계

라고하자.

주의!

(Fig17-8)

17장 12/28•병진운동방정식( Equation of Translational Motion)

강체는특수한질점계이므로질점계동역학의여러원리가강체동역학에서도그대

로적용된다. 즉

강체에작용한모든외력의총합 = 강체의질량 강체의질량중심의가속도

∑ = GmaF ) )( , )( ( yGyxGx amFamF ∑∑ ==

×

•회전운동방정식( Equation of Rotational Motion)

총합내력의작용하는에

총합외력의작용하는에

: :

ii

ii

mm

fF

iiiim fFa +=

Fig17-8(b), (c)

mi

G(-maP)

aP

r y

x

( ) iiiiiP m arfFrM ×=+×=)(에작용한힘의점 P에대한모멘트im

rrαaa 2ω−×+= Pi 이므로

( )])([

)(2 rrrαrar

arM

×−××+×=

×=

ωPi

iiiP

m

m 0

( ) ( ))]}([)(

][){()()(jikjijijikM

yxyxaayxmM yPxPiiPiP

+××++

+×+==

α

( ) ( ) ][-)( 2raxaymM yPxPiiP α++=

17장 13/28

17장 14/28

즉 ( )( ) ( )( ) ( )α∫∫∫∑ ++−=myPmxPmP dmraxdmaydmM 2

이식은강체내의일부분인질량 mi에대한방정식이므로강체전체에대한방정

식을얻기위하여강체의전영역에걸쳐합(적분)하면점 P의운동 aP와강체의각

가속도 α가 mi에무관하므로적분기호밖으로묶어낼수있다.

외력의모멘트합+내력의모멘트합뉴턴의운동제 3법칙으로부터 0

m

ydmy

m

xdmx ∫∫ == , 질량중심의정의로부터

점 P는강체내의임의의점이므로질량중심 G를택한다면( G에서 G까지의거리가 0) 이므로

αPyPxPP IamxamyM ++−=∑ )()(

zPmyx }){( aji ×+=

)()()(

P

P

mm

arar

−×−=×

점 P에작용한다고본관성력(–maP)의점 G에대한모멘트

0== yx

αGG IM =∑외력의질량중심에대한모멘트의총합 =

물체의질량중심에대한관성모멘트 물체의각가속도×

17장 15/28

( )

∑∑∑

∑∑∑∑∑

+×=

×+×=

×+×=×+=×==

GG

iii

iiiiiii

n

iP

m

i

Mar

FFr

FFrFrFrM

1

ρ

ρρ

병진기준계

관성기준계주

: )(:

PxyzOXYZ

( 는 mi와 무관하므로 밖으로

나올수있다.)r ∑

Y

O X

y

P x

irr G

im

iρ

외력 Fi

n : 질점의갯수

IGα k

질량중심에작용한다고본외력의총합(합력)의점 P에대한모멘트

17장 16/28

( ) ( )( ) ( ) k

kjiar ][

00 yGxG

yGxG

G amxamyamamyxm +−==×

이므로 , kkMkM αGGGPP IMM === ∑∑∑∑

( ) ( ) ( ) αα GzGGyGxGP ImIamxamyM +×=++−=∑ ar

∑ F ( ) ∑∑ = GzG MM= =

외력의점 P에대한모멘트의총합 =질량중심에작용한다고본외력의총합의 P점에대한모멘트 +

외력의질량중심에대한모멘트의총합

주의:식의의미( ) αPzP Im +×= ar (17-6)

17장 17/28

결국강체의평면운동에관한세개의스칼라방정식을얻게된다.

강체운동학에서강체내의한점의운동과강체의회전을알면강체내의모든점의

운동을알수있다는점을확인하였다.이제위의세운동방정식은강체에작용한힘과힘의효과인모멘트로부터강체내

의한점인질량중심의운동( )과강체의회전( )을구하게함으로써강체의평면운동의원인(힘)과결과(운동의변화)사이의관계를제공한다.

yGxG aa )( )( 와 α

주의

( )( )

( ) ( ) αα GyGxGPGG

yGy

xGx

IamxamyMIM

amFamF

++−==

=

=

∑∑∑∑

또는

∑ GM

=

17장 18/2817.3 운동방정식:병진의경우

(Equations of Motion: Translation)

곡선병진

( )( )

∑∑∑∑∑

+==

=

=

GGAG

yGy

xGx

MdmaMM

amFamF

0 또는

직선병진

( )zGmar×

= Σ F

r

Fig17-9(b)

r

Fig17-9(c)

( )( )

( ) ( ) ∑∑∑∑∑

+−==

=

=

GnGtGBG

tGt

nGn

MahmaemMMamFamF

0 또는( )zGmar×=

예제17-4 ( Problem 17-43 )The bicycle and rider have a mass of 80 kg with center of mass located at G. If the coefficient of kinetic friction at the rear tire is µB = 0.8, determine the normal reactions at the tires A and B, and the deceleration of the rider, when the rear wheel locks for braking. What is the normal reaction at the rear wheel when the bicycle is traveling at constant velocity and the brakes are not applied? Neglect the mass of the wheels.

17장 19/28

①감속운동의경우

( )( ) 0=

=

=

∑∑∑

G

yGy

xGx

M

amFamF

( )( ) 02.18.04.055.0

081.980808.0

=×+×+−×=−×++

=

BBA

BA

GB

NNNNN

aN

17장 20/28

( )( )

.

4.081.98095.0 2.1

0

있다수사용할

를

대신에

××+−×=−×=

=

∑∑

A

GB

G

NmaM

M

N226 ,N559 ,m/s26.2 2 === BAG NNa∵주의

aG가더큰값을가지면어떻게될까?

②등속운동의경우

: 0

: 0: 0

=

==

∑∑∑

G

y

x

M

FF

( ) 04.055.0081.980

00

=×+−×=×−+

=

BA

BA

NNNN

N454 ,N330 ==∴ BA NN

17장 21/28

17.4 운동방정식:고정축에대한회전(Equations of Motion: Rotation about a Fixed Axis)

물체의고정축에대한회전운동에선물체의모든점이고정축을중심으로원

운동을 하게 된다. 원운동을 나타내는 데는 접선-법선 좌표계가 편리하므로운동방정식을다음과같이정리할수있다.

Fig17-14

점 O는고정점, 즉 vO = aO = 0.

17장 22/28

( )( ) αα

ααα

OGG

GGGtGGO

IImr

ImrIamrM

=+=

+=+=∑2

2

∑ GM식 (17-9)에서

이식은식(17-6)에서 고정점 O의가속도가영이라는데서유도될수있다.사실이식은점 O의가속도가영이면성립하므로점 O가고정점일필요는없다.

회전운동을위하여 와 중 어느것을사용해도

좋으나전자를사용하면점 G , 후자를사용하면점 O 에작용하는힘이모멘트방정식에나타나지않는다.

주의!αGG IM =∑ αOO IM =∑

17장 23/28예제17-5(problem 17-71)

The variable-reluctance motor is often used for appliances, pumps, and blowers. By applying a current through the stator S, an electromagnetic field is created that “pulls in” the nearest rotor poles. The result of this is to create a torque of about the bearing at A. If the rotor is made from iron and has a 3-kg cylindrical core of 50-mm diameter and eight extended slender rods, each having a mass of 1kg and 100-mm length,determine its angular velocity in 5 seconds starting from rest.

mN4 ⋅

αAA IM =

( )( ) ( )( ) ( )2

222

mkg 0526.0

]05.0025.011.01121[8025.03

21

⋅=

+⋅+⋅+=AI

2rad/s04.76 0536.04 ==∴ αα 에서

( ) rad/s380504.760 0

=+=+= tαωω각속도

각가속도 가 일정하므로α

Starting from rest

17장 24/28

17.5 운동방정식:일반적인평면운동(Equations of Motion: General Plane Motion)

일반적인평면운동에해당하는운동방정식은식(17-11)과같다.

( )( )

αα GZGPGG

yGy

xGx

ImMIM

amFamF

+×==

=

=

∑∑∑∑

)( ar혹은

즉

…..(17-17)

마찰구름문제(Frictional rolling problems)는특히주의를요하는문제이므로자세한해석과정을소개하기로한다.

17장 25/28

Fig17-21

자유물체도로부터운동방정식 (17-17)을이용하면다음을얻는다.

0

αGG

G

IFrMmgN

maFP

==

=−=−

∑

이세식은 4개의미지수( )을포함하므로하나의식이더필요하다.

α,,, GaNF

1.구름(rolling)의경우

GG arxr =→= αθ 구름의구속방정식

2.미끄럼(sliding)의경우

NFar kG µα =≠ ,

17장 26/28

3.구름인지미끄럼인지모를경우

구름을가정

를네번째방정식으로사용하여마찰력 F를구한후구름마찰의조건 을만족하면구름이확실

Gar =αNFF SS µ≡≤

이면구름이아니라미끄럼이확실하므로

을 네번째방정식으로사용하여해석

NFF SS µ≡>

NF kµ=

1.미끄럼의경우마찰력의방향은물체의지면에대한상대운동에의해결정

이경우엔마찰력의크기가확정되는반면방향을틀리게가정하면

운동방정식을만족하지않으므로주의가요구된다.2.구름의경우마찰력이미지수(실수)이므로방향은계산결과에의해결정

주의:마찰력의방향

17장 27/28예제17-6(example17-101)

The truck carries the spool which has a weight of 200lb and a radius of gyration of kG = 2 ft. Determine the angular acceleration of the spool if it is not tied down on the truck and the truck begins to accelerate at 5 ft/s2. The coefficients of static and kinetic friction between the spool and the truck bed are and respectively.

15.0=sµ 15.0=kµ

운동방정식

200 lbα

Ga

NF

ft3

자유물체도

( )

( )

( ) ( ) ( )3 22.32

2003

2 2.32

200ft/s2.32 1 200,0200

22

2

αα ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

===−

∑ GG

GG

mkFM

amaF

gNN

IG

17장 28/28구름인지미끄럼인지모르므로

구름을가정

접촉점 A에서미끄럼이발생하지않으므로

( ) ( )( )GAGAGA

AA

//

2ttangential ft/s5

rraa

aa

××+×+=

=≡

ωωα

접촉접의수평

가속도성분= i =차의가속도

( ) ( ) ( )αα

3 ]3[5t

+=−×+==

G

xGA

aa jka

...(4)접선성분

(1)~(4)를풀어 F를구하면

( ) lb3020015.0lb556.9 ===<= NFF SS µ

22 rad/s15.1 ,ft/s538.1 == αGa

구름이확실하므로 와 을미리구하면Ga α