15장 1 / 51

Chapter 15

질점의동역학 : 충격량과운동량(Kinetics of a Particle :

Impulse and Momentum )

15장 2 / 51

15.1 선충격량과선운동량의원리(Principle of Linear Impulse and Momentum)

주의모든시간에걸쳐서

∑ F = 0 면 mv2 – mv1 = 0. ∴ v1 = v2 뉴턴의운동제 1 법칙

질점의운동방정식

∑ ==dtdmm vaF (15-1)

t에대해적분하면

122

1

2

1

2

1

vvvFFv

vmmdmdtdt

t

t

t

t−=== ∫∫ ∑ ∑ ∫ (15-2)

선운동량(L = mv)의변화선충격량 I (벡터량)

선충격량과선운동량의원리 : 질점에작용한힘의선충격량은질점의선운동량의변화와같다.

15장 3 / 51

식 (15-2)를다시쓰게되면

∑ ∫ =+2

121

t

tmdtm vFv (15-3)

질점의초기의선운동량에다가선충격량을합하면

최종상태의선운동량을주게된다.

주의장차소개될각충격량(angular impulse), 각운동량(angular momentum)과구분하기위해선충격량, 선운동량이라고부르기도하지만편의를위해 ‘선’자를생략할수도있다. (경우에따라 ‘각’자도생략가능)

초기의운동량

1vm

충격량

∑ ∫2

1

t

tdtF

2vm

Fig. 15-3

최종운동량

t1

t2

스칼라방정식(Scalar Equations)

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫∑ ∫∑ ∫

∑ ∫ ∑ ∫

=+

=+

=+

++=

++=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

21

21

21

)()(

)()(

)()(

)()()(

)(

t

t zzz

t

t yyy

t

t xxx

t

t z

t

t y

t

t x

t

t

t

t zyx

vmdtFvm

vmdtFvm

vmdtFvm

dtFdtFdtF

dtFFFdt

kji

kjiF

(15-4)

15장 4 / 51

예제 15-1 (Example 15-2)

The 50-lb crate shown in Fig.15-5a is acted upon by a force having a variable magnitude P = (20t) lb, where t is in seconds. Determine the crate’s velocity 2 s after P has been applied. The initial velocityis v1 = 3 ft/s down the plane, and the coefficient of kinetic friction between the crate and the plane is

k = 0.3

문제의요지 : 시간의함수인힘 P = 20t 이 50 lb 의상자(초기속도 v1)에2초동안가해진직후의속도 v2를구하라.

Fig. 15-5

1. 충격량과운동량의원리를이용한해법

∑ ∫ =+2

121 )()(

t

t xxx vmdtFvm

ji

WjiiF

)30cos()30sin( WNWFP

NFP

c

c

−++−=

++−=∑

dtWNtdtFt

t cx∑ ∫ ∫ +−=2

1

2

0)30sin3.020(

y 방향의힘의평형(ay = 0 이므로)으로부터Nc = W cos30° 는일정한힘이다.

15장 5 / 51

x방향의충격량-운동량원리를이용하면

[ ]

ft/s2.442.32

50

)50)(30sin30cos3.0(20)ft/s3(ft/s32.2lb50

2

2

2

02

=∴

=

+−++ ∫

v

v

dtt

2. 운동방정식을이용한해법

ft/s2.44

)734.788.12(

734.788.122.32

50)50)(30sin30cos3.0(20

2

012

2

0

2

1

=

++=

=

=

+=

=+−+

=

∫∫∫

∑

dttvv

dtadvdtdva

ta

at

maF

v

v

xx

이므로

15장 6 / 51

주의두방법은같은결과를준다. 왜그럴까?충격량-운동량원리도운동방정식으로부터나온것임을유념하라.

주의이렇게같은결과를줄바에야충격량-운동량원리의의의는무엇이란

말인가? 충격의경우와같이큰힘이매우짧은시간에작용하는경우엔

그힘을시간의함수로표현하기가어려우므로힘의효과(충격량)를운

동의변화(운동량의변화)로대체하는것이편리하다.

15장 7 / 51

15.2 질점계의선충격량-선운동량의원리(Principle of Linear Impulse and Momentum for a System of Particles)

∑∑==

=n

i

ii

n

ii dt

dm11

vF (15-5)

외력의총합

21 )()( 2

1∑∑ ∑ ∫ =+ ii

t

t iii mdtm vFv (15-6)

초기의운동량의총합

외력의충격량의총합

최종상태의운동량의총합

내부충격량(내력에의한충격량) = 0

∑ ∫=

n

i

t

t i dt1

2

1

f

=mi

o

관성기준계

Fig. 15-7

∑mi = m : 질점계의총질량

∑miri = mrG : 질점계의질량중심 G의정의를 t에대해미분하면∑mivi = mvG

즉질점계의운동량의총합은질점계의질량에다가질량중심의속도를곱한것과같다. (달리말하자면 모든질량이질량중심에몰려있다고보고계산한운동량과같다.)

∑ ∫ =+2

121 )()(

t

t GiG mdtm vFv

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예제 15-2(Problem 15-16)A train consists of a 50-Mg engine and three cars, each having a mass of 30 Mg. If it takes 80 s for the

train to increase its speed uniformly to 40 km/h, starting from rest, determine the force T developed at thecoupling between the engine E and the first car A. The wheels of the engine provide a resultant frictional tractive force F which gives the train forward motion, whereas the car wheels roll freely. Also, determine

F action on the engine wheels.

Fig.15-16

문제의요지 : 한대의기관차가세대의화물차량을끌고있다. 정지상태에서일정한가속도로속도가증가하여(increase uniformly) 40km/h의속도에도달하는데80초가걸린다면기관차와선두화물차사이의인장력 T 을구하라. 또한기관차의바퀴에작용하는마찰견인력 F(frictional tractive force)를구하라.

세화물차 : T

∑ ∫ ∑∑ =+ 21)()( xiixixii vmdtFvm

15장 9 / 51

화물차의가속도가일정하므로작용하는인장력 T 도일정하다.또한 (vx)2 = 40 km/h = 11.11 m/s

0 + T (80) = 3 (30) (103 kg) (11.11 m/s)∴ T = 12.5 kN

열차전체 : 기관차, 세화물차사이에작용하는힘(예 T )은내력이므로유일한외력은기관차의바퀴에작용하는마찰견인력 F 이다. 또한가속도가일정하므로 F도일정하다.

0 + F (80) = [ 50 + 3 (30) ] (103) (11.11)

∴ F = 19.44 kN

주의

12.5/3 12.5/312.5/3 19.44 – 12.5

12.5/3 : 12.5/3 : 12.5/3 : 19.44 – 12.5 = 30 : 30 : 30 : 50 즉질량비의관계이다.

4대의차량의가속도가동일하므로작용하는힘의비는질량비와같다.

외력의크기 :

15장 10 / 51

15.3 질점계의선운동량보존(Conservation of Linear Momentum for a System of Particles)

∑∑ ∫∑===

=+n

iii

n

i

t

t i

n

iii mdtm

12

111 )()( 2

1

vFv (15-6)

초기의운동량의

총합

외부충격량의총합

최종상태의운동량의총합

외부충격량(external impulse) 의총합이 0이면

21)()( ∑∑ = iiii mm vv

선운동량보존의원리

2121 )()()()( GGGG mm vvvv

(15-8)

∑ ∑ == GiiGii mmmm vvrr ,질량중심의정의에따라

(15-9)=→=

F

Favg

tt t+Δt

선운동량보존≡질점계의질량중심의속도는불변

평균충격력(average impulsive force)

t

dtFF

tt

tavg ∆

=∫

∆+

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예제 15-3 (Example 15-4)The 15-Mg boxcar A is coasting at 1.5 m/s on the horizontal track when it encounters a 12-Mg

tank car B coasting at 0.75 m/s toward it as shown in Fig. 15-8a. If the cars meet and coupletogether, determine (a) the speed of both cars just after the coupling, and (b) the average forcebetween them if the coupling takes place in 0.8 s.

Fig. 15-8

문제의요지 : 화물차와유조차가각각 1.5 m/s와 0.75 m/s의속력으로연결하기위해서로다가오고있다. (a) 연결(충돌)한후에두차량의속도와 (b) 연결이완료되는데 0.8초걸렸다면평균충격력은 ?

(a) 두차량을하나의질점계로보면연결시의충격력은내력이되므로외부충격량은영이므로운동량이보존된다.

))()(()()()( 222,211 이므로vvvvmmvmvm BABABBAA ==+=+

15장 12 / 51

(1500 kg) (1.5 m/s) + (12000 kg) (– 0.75 m/s) = (27000 kg) v2

∴ v2 = 0.5 m/s

(b) 화물차만을떼어내면자유물체도로부터

21)( vmdtFvm AxAA =+ ∑ ∫

(15000 kg) (1.5 m/s) + (–Favg) (0.8 s) = (15000 kg) (0.5 m/s)

평균충격력 Favg = 18.8 kN

주의유조차의자유물체도로부터평균충격력을구할수도있을까? 한번해보자.

15장 13 / 51

예제 15-4 (Problem 15-51)A boy A having a weight of 80 lb and a girl B having a weight of 65 lb stand motionless at the ends of the

toboggan, which has a weight of 20 lb. If they exchange positions, A going to B and then B going to A’s original position, determine the final position of the toboggan just after the motion. Neglect friction.

소년(A), 소녀(B), 썰매(T)를하나의질점계로보면 A, B와 T 사이의마찰력은내력이되고주위환경 (눈)이 T 에작용하는마찰력은외력이지만무시되므로외부충격량은 0이다. 따라서 x방향의운동량은보존된다.

Fig. 15-51

문제의요지 : 무게가각각 80 lb와 65 lb인소년과소녀가무게20 lb인썰매위에정지하고있다가서로의위치를차례로(먼저 A→B, 후에 B→A) 바꾸기위해움직이기시작한다. 위치를바꾼직후의썰매의최종위치를구하라. 단썰매와얼음판사이의마찰은무시하라.

BBTAA

iiii

vmmvm

vmvm

)(0

)()( 21

++=

=

①먼저 A→B 일때 :

∑∑

BBT vmm )( +

TAA vm

A B

xBxA

처음엔정지

15장 14 / 51

∫∫ = AA dxdtvvA와 vB가시간에따라어떻게변화하는가는중요하지않다.

적분하면))(()(0 1212 BBBTAAA xxmmxxm −++−=

T와 B가오른쪽으로이동한거리를 xTB라두면 ( xB2 – xB1 = xTB)

A가오른쪽으로이동한거리는 xA2 – xA1 = 4 + xTB .

왜냐하면 xB1 – xA1 = 4 이고 xB2 = xA2 이므로두식을서로빼면

xB2 – xB1 + xA1 = xA2 – 4 , ∴ xA2 – xA1 = 4 + (xB2 – xB1) = 4 + xTB이다.

B가오른쪽으로이동한거리

←=−=++

−=

++−

=∴

+++=

ft939.1939.1206580

)80(44))(()4(0

TBA

ATB

TBBTTBA

mmmmx

xmmxm

②그후 B→A일때

여전히운동량은원래와같으므로

AATBB vmmvm )(0 ++=

15장 15 / 51

적분하면

))(()(0 1212 AAATBBB xxmmxxm −++−=

T 와 A가오른쪽으로이동한거리를 xTA라두면 (xA2 – xA1 = xTA)B가오른쪽으로이동한거리는 (xB2 – xB1) = xTA – 4 이다.

왜냐하면 xB1 = xA1이고 xA2 – xB2 = 4 이므로두식을서로합하면 xB1 + xA2 – xB2 = xA1 + 4

.4)(4)( 1212 이다−=−+−=−∴ TAAABB xxxxx

→=++

=++

=

++−=

ft576.1206580

)65(44))(()4(0

TBA

BTA

TAATTAB

mmmmx

xmmxm

썰매가두과정(A→B 그리고 B→A) 동안이동한거리는 xTB + xTA = – 1.939 + 1.576 = – 0.364 ft

= 0.364 ft ←

즉썰매는 0.364 ft 왼쪽으로이동한다.

주의1. 질량중심의위치는불변이다. 왜그럴까?2. 먼저 B→ A후에 A→ B의순서로위치를바꾸면결과는어떻게될까?

15장 16 / 51

15.4 충돌 (Impact)

Fig. 15-13

매우크다

F

t

(t1)충돌직전 직후(t2)

t2 – t1 = Δt≈0

•

tm :충격력이최대가되는시간

충돌은망치로못을박을때나골프클럽으로공을칠때볼수

있듯이두물체가매우짧은시간에걸쳐부딪힘으로써상대적

으로큰충격력을일으키는운동이다.

충돌선(line of impact) : 충격력의작용선, 즉충돌하는물체를표면이매끈한구(smooth sphere)라고보면질량중심을연결한선즉, 법선

충돌의종류

중심충돌(central impact) : 충돌하는물체의운동방향이충돌선과일치하는경우

경사충돌(oblique impact) : 충돌하는물체의운동방향이충돌선과경사각을이루는경우

주의중심충돌은경사충돌의특수한경우이다.

주의충돌하는물체는질점도강체도아니고변형체이다.

15장 17 / 51

표면이매끈한두물체의충돌

중심충돌(Central Impact)

Fig. 15-14

1. 충돌직전의조건 : (vA)1 > (vB)1(이조건이만족되지않으면어떻게될까?), (vA)1과 (vB)1은충돌직전의두물체의충돌선방향의속도성분

주의A가 B의왼쪽에위치해있음과속도가오른쪽을향할때양의성분을가짐을유의하라.

2. 물체는질점도강체도아닌변형체로서변형기(period of deformation)에 A와 B에작용한충격력(impulsive force)을각각 –P와 P라고두면이힘들에의한변형충격량(deformation impulse)은

. 11

된다가와 ∫∫−mm t

t

t

tdtdt PP

vvv mBmA

3. 최대변형(maximum deformation)의순간엔속도가같다.

≡= )()(

t1

tm

15장 18 / 51

4. 반발기(period of restitution) 혹은회복기(period of restoration)에 A와B에작용한충격력을 – R과 R이라고두면이힘들에의한반발충격량(restitution impulse)은

. 22이다와 ∫∫ −

t

t

t

t mm

dtdt RR

F

tt1 tm t2

RP

주의

변형충격량 반발충격량 즉 ∫∫ ≥2

1

t

t

t

t m

m dtRdtP

5. 충돌직후의조건 (vB)2 > (vA)2 (이조건이만족되지않으면어떻게될까?)

Fig. 15-14

주의대부분의충돌문제에서충돌직전의속도는주어지므로미지수

는충돌직후의속도인 (vA)2 와 (vB)2 2개이므로 2개의방정식이필요하다.

t2

15장 19 / 51

두물체에작용하는충격력은내력이므로질점계의총운동량은보존된다. 따라서

2211 )()()()( BBAABBAA vmvmvmvm +=+ (15-10)

주의대부분실제적인문제에서충격선이중력방향이라하더라도

식(15-10)은성립한다. 왜그럴까? 중력은분명히외력인데.

또하나의식은반발계수(COR: Coefficient of restitution)의정의

충격량변형기의

충격량반발기의

1

2

==∫∫

m

m

t

t

t

t

dtP

dtRe 으로부터구해진다.

변형기 : 1)(1

AAA

t

tvmvmdtPm

−=− ∫질량 mA

회복기 : vmvmdtR AAA

t

tm

−=− ∫ 2)(2

15장 20 / 51

1)(1

BBB

t

tvmvmdtPm

−=∫vmvmdtR BBB

t

tm

−=∫ 2)(2

변형기 :질량 mB

회복기 :

여기서 v = vA(tm)= vB (tm ) : 최대변형시의 A와 B의속도

Fig. 15-14

11

22

1

2

1

2

)()()()(

)()(

)()(

AB

AB

B

B

A

A

vvvv

vvvv

vvvve

−−

−=−

−=

−−

=

= –충돌직후(분리시)의상대속도

충돌직전(접근시)의상대속도

(15-11)

유의임을 DBCA

DC

BA

−−

==

완전탄성충돌(perfectly elastic impact) : e = 1

∫∫ =m

m

t

t

t

tdtPdtR

1

2

완전소성충돌(perfectly plastic impact) : e = 0

! :)()(,0 222

속도동일충돌직후BA

t

tvvdtR

m

==∫

15장 21 / 51

충돌시에너지손실 = E2 – E1 = ( T2 + V2 ) – ( T1 + V1 )충돌시위치변화는없으므로 V2 = V1

∴ 에너지손실(energy loss) = T2 – T1

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]112212

121212

12121212

21

21

22

22

)()()()()()(21

)()()()()()(21

)1015(

)()()()(21)()()()(

21

)(21)(

21)(

21)(

21

BABAAAA

BBAAAAA

BBBBBAAAAA

BBAABBAA

vvvvvvm

vvvvvvm

vvvvmvvvvm

vmvmvmvm

−+−−=

−−+−=

−

−++−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

으로부터식운동량보존

e = 1 일때, = 0

따라서완전탄성충돌≡에너지보존

15장 22 / 51

Fig. 15-15

–

경사충돌 (Oblique Impact)

미지수 : (vAx)2, (vAy)2, (vBx)2, (vBy)2 등 4개

여기서 x방향은충격선방향(A→B)이다.

(vAx)2와 (vBx)2 는중심충돌의 (vA)2 와 (vB)2와역할이같다.

따라서

1. x방향(충격선방향)으로의운동량보존에서

2211 )()()()( BxBAxABxBAxA vmvmvmvm +=+ (15-10)´

2. 반발계수11

22

)()()()(

AxBx

AxBx

vvvve

−−

−= (15-11)´

–충돌이일어나는동안각물체에 y방향으로작용한힘은없으므로 –

15장 23 / 51

3. mA의 y 방향운동량은보존 즉 mA (vAy)2 = mA (vAy)1

∴ (vAy)2 = (vAy)1

4. mB의경우도마찬가지로 (vBy)2 = (vBy)1

주의

x방향 : 각물체에대해선운동량이보존되지않지만전체로는보존된다.

2211

2121

)()()()()()(,)()(

BxBAxABxBAxA

BxBBxBAxAAxA

vmvmvmvmvmvmvmvm

+=+≠≠

y방향 : 각물체에대해서운동량이보존되므로전체로도보존된다.

2211

2121

)()()()()()(,)()(

ByBAyAByBAyA

AxAByBAyAAyA

vmvmvmvmvmvmvmvm

+=+

==

주의경사충돌이든중심충돌이든반발은충격선방향으로의반발을의미한다.

15장 24 / 51

예제 15-5

바닥으로부터 h만큼높은위치의물체가자유낙하하여바닥에충돌한후 h/2 만큼튀어올랐을때반발계수를구하라.

h

ymA

mB ≈∞ x

충돌직전의속도 :

물체 A로부터바닥 B로향하는충격선의방향을 x방향이라고잡으면운동이 x축(충격선)상에서만일어나므로중심충돌임을알수있다.

0)(,2)( 11 == BA vghv

충돌직후의속도 : 0)(,2

2)( 22 =−=−= BA vghhgv

반발계수 701.022

21

20)(0

)()()()(

11

22 ===−−−

−=−−

−=ghgh

vvvve

AB

AB

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주의e>1 과 e<0 의경우는각각폭발과관통을의미하므로(왜그럴까?) 보통의충돌에선 0≤e ≤1이다.

주의반발계수는물체의재료, 크기, 형상, 표면의거칠기뿐만아니라속도에도

영향을받는값으로서실험을통해서만구해진다. 즉, 실험없이해결할수

없기때문에충돌문제가엔지니어의손을더필요로한다.

주의충돌문제의예 : 교통사고(항공기의추락, 선박의좌초), 자동차의충돌시험, 각종스포츠(골프, 테니스, 당구), 안전장치(헬멧), 무기(포탄), 의학(충격에의한인체의손상)

15장 26 / 51

예제 15-6 (Example 15-11)

Two smooth disks A and B, having a mass of 1 kg and 2 kg, respectively,collide with the velocities shown in Fig. 15-18a. If the coefficient of restitution for the disks is e = 0.75, determine the x and y componentsof the final velocity of each disk just after collision.

문제의요지 : 경사충돌하는두물체의충돌직전속도와반발계수가주어졌을때충돌직후의속도를구하라.

jiVjiV

222

222

)()()()(

ByBxB

AyAxA

vvvv

+=

+=

우선두물체의중심을연결하는법선즉충격선을그리고

A에서 B로향하는방향을 x축으로잡고수직축을 y축으로잡는다.

m/s707.0sin451)(m/s707.045cos1)(

m/s1.53sin30)(m/s6.230cos3)(

11

11

−=−=−=−=

====

ByBx

AyAx

vv

vvFig. 15-18

15장 27 / 51

• x 방향으로의총운동량보존

18.1)(2)()()()()(

22

2211

=++=+

BxAx

BxBAxABxBAxA

vvvmvmvmvm

(*1)

Fig. 15-18

•반발계수

m/s 1.22)(m/s,26.1)(

48.2)()(

75.0)()()()(

22

22

11

22

=−=

=−

=−−

−=

BxAx

AxBx

AxBx

AxBx

vv

vvvvvve

(*2)식 (*1)과 (*2)로부터

• y 방향으로의운동량보존

m/s707.0)()(m/s5.1)()(

12

12

−==

==

ByBy

AyAy

vvvv

15장 28 / 51

15.5 각운동량 (Angular Momentum)

정의점 O에대한질점의각운동량 = 질점의선운동량의점 O에대한모멘트

따라서각운동량은힘의모멘트와개념이유사하므로 (선)운동량모멘트(moment of (linear) momentum)라고부르기도한다.

Fig. 15-19

F

ro

Mo = r × F(힘의)모멘트

스칼라공식(Scalar Formulation) :

x - y 평면내에서운동하는물체의점 O에대한각운동량의크기는

(Ho) = (d) (mv) 운동량의크기

모멘트의팔 = 운동량의작용선과점 O의수직거리

mv에의한모멘트는오른나사를 z축방향으로나아가게하므로 Ho의방향은 z축방향이다.

즉 Ho = (d) (mv) k = r × mv

15장 29 / 51

Fig. 15-20

벡터공식 (Vector Formulation)

vrH mo ×=

점 O로부터 mv의작용점까지의상대위치벡터즉여기선 m의위치벡터

zyx

zyxo

mvmvmvrrrkji

H =

15장 30 / 51

15.6 힘의모멘트와 각운동량의관계(Relation between Moment of a Force and Angular Momentum)

뉴턴의운동법칙에서

LLvvaF =====∑ dtdm

dtd

dtdmm )( (15-16)

Fig. 15-21

즉선운동량의변화율은물체에작용한힘과같다.그러면각운동량의변화율은힘과어떠한관계에있을까?

o

oo

o

mdtdm

dtd

dtd

m

MFr

vrvrHH

vrH

=×=

×+×==

×=

∑

)( (15-15)

즉각운동량의변화율은물체에작용한힘의모멘트와같음을말해주는식 (15-15)는식(15-16)과명확한상사(相似)관계를이루고있다.

주의두식사이의상사관계는질점동역학에서보다는강체동역학에서더유용하게쓰인다. 식(15-16)은강체의질량중심의운동방정식(강체의병진운동방정식)을, 식(15-15)는강체의회전운동방정식을각각주게된다.

15장 31 / 51

질점계 (System of Particles)

∑ ∑∑ ×+×=

×+×=+×=

×=

=iiii

n

ioi

iiiiiiioi

iiioi

i

mm

frFrH

frFrfFrH

vrH

1

)(

)()(

)(

합하면대해전체에질점계

대하여에

⋅⋅⋅+×+×+×+×=

×=×= ∑∑∑∑≠≠

=

313311212121

1

frfrfrfr

frfri

ijj

iji

n

ijj

ij

n

ii

Fig. 15-21

mi

, i = 1, 2, ···, n.

내력의총모멘트를계산하기위해

∑ ∑∑

∑

=×=

=×∴

=×−=×+×

oiiioi

ii

)()(

)( 1221212121

MFrH

0fr

0frrfrfr

두벡터가평행하므로

내력의총모멘트는 0이다.r1

r2

m1

m2

f12

f21 = – f12

O

점 O에대한질점계의총각운동량의변화율은질점계에작용한외력의총모멘트와같다.

15장 32 / 51

예제 15-7 (Example 15-12)The box shown in Fig. 15-22a has a mass m and is traveling down the smooth circular ramp

such that when it is at angle θ it has a speed v. Determine its angular momentum about point Oat this instant and rate of increase in its speed, i.e., at .

Fig. 15-22

x

y문제의요지 : 원운동하는질점의원의중심에대한

각운동량을구하고속력의변화율(접선가속도성분)을구하라.

벡터해석

kuuvrH mvrmvrm tno −=×−=×=

j

θn

kMuuj

ujuFrM

θθθ

sincossin

)(

mgr

Nmgr

o

nt

nno

−=+−=

+−×−=×=이므로

t

θ

θ

sin

sin

gdtdv

dtdvrmrmgoo

=∴

== 이므로HM

15장 33 / 51

운동방정식( F = ma )로부터구해보면

θ

θ

sin

sin

gdtdv

dtdvmmgmaF tt

=∴

==

주의충격량-운동량의원리도운동방정식으로부터유도된것이므로같은정보를주는다른표현일뿐이다.

15장 34 / 51

15.7 각충격량과각운동량의원리(Angular Impulse and Momentum Principles)

①질량이 m인하나의질점에대하여 (합력이나합모멘트를나타내는데∑표현은생략)

m 에작용한합력

Om

r

F

Mo = r × F

V

21

12

2

1

2

1

2

1

,

o

t

t oo

ooo

t

t o

oo

o

dt

ddt

dtd

o

o

m

HMH

HHHM

HHM

H

H

vr

=+

−==

=

∫

∫∫

×=로부터

각충격량 각운동량의변화

(15-18)

t1에서의각운동량 + Δt = t2 – t1동안의각충격량 = t2 에서의각운동량

15장 35 / 51

②질량이 인질점계에대해서 (n 은질점의갯수)∑=

=n

iimm

1

∑∑ ∑∫ =+

×=

21 )()( 2

1io

t

t ioio

iiiio

dt

m

HMH

vrH(15-20)

iiiio m=×= FrM 에작용한외력 Fi의점 O에대한모멘트

이제까지공부한충격량과운동량의원리를정리하면

21

21

2

1

2

1

o

t

t oo

t

t

dt

mdtm

HMH

vFv

=+

=+

∫

∫(15-21)

이식은 6개의스칼라방정식을나타내고있지만질점이 x - y평면내에서만운동하고있다면

O

y

m

v = vx i + vy j

15장 36 / 51

x

F = Fx i + Fy j

dF

r = x i + y j

dv

kkji

vrH )(00 xy

yx

o yvxvmmvmv

yxm −==×=

= 선운동량의크기×모멘트팔

mv dv = Ho

∫

∫

∫

=+

=+

=+

2

1

2

1

2

1

21

21

21

t

t ooo

t

t yyy

t

t xxx

HdtMH

mvdtFmv

mvdtFmv

여기서

(15-22)

kkji

FrM )(00 xy

yx

o yFxFFFyx −==×=

Mo= F dF = 힘의크기×모멘트팔

여기서 dv와 dF는각각점 O로부터 v 와 F의작용선까지의 (수직)거리(모멘트팔)를나타낸다.

주의평면운동하는질점의경우충격량과운동량의원리는 3 (2+1)개의스칼라방정식으로표현된다.

15장 37 / 51

각운동량보존 (Conservation of Angular Momentum)

0201

2

1

HH

0M

=

=∫t

tdt각충격량 이면

(15-23)즉각운동량이보존된다.

주의물체에전혀힘이작용하지않으면선운동량이든각운동량이든모두보존되겠지만

중심력(central force : 힘의작용선이모멘트중심점을통과하는경우)이작용하면선운동량은보존되지않지만중심력이만드는모멘트가 0이므로각운동량은보존된다. (Fig. 15-23).

Fig. 15-23

질점계의경우 각운동량보존은

∑∑ = 0201 HH (15-24)

15장 38 / 51

예제 15-8 (Problem 14-97)If the mass of the earth is Me, show that the gravitational potential energy of a body of mass m located

a distance r from the center of the earth is Vg = – GMe m/r. Recall that the gravitational force acting between the earth and the body is F = G(Me m/r2), Eq. 13-1. For the calculation, locate the datum an “infinite” distance from the earth. Also, prove that F is a conservative force.

Fr

mMG e =2

m

r ur

Me

r = ∞

D 기준위치V (r = ∞) = 0

문제의요지 : 물체의고도변화가상당히큰경우엔중력가속도를더이상일정하다고볼수없다. 이경우엔중력위치에너지가어떻게표현될까?

rmGM

rmGM

rdrmGMdrFdrV

ee

rer

D

g

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −∞

=

−=−=⋅= ∫∫∫∞∞

11

)( 2rrF

보존력이되기위해

re

re

g rmGM

rmGM

rV uu 2−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

−=∇−

따라서 F = –∇ Vg이므로 F는보존력이다.

주의

zrr

zyx

zr ∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

uuu

kji

θθ

15장 39 / 51

예제 15-9 (Problem 15-101)The two blocks A and B each have a mass of 400 g. The blocks are fixed to the horizontal rods, and

their velocity is 2 m/s in the direction shown. If a couple moment of M = 0.6 N·m is applied about CDof the frame, determine the speed of the blocks when t = 3 s. The mass of the frame is negligible, and it is free to rotate about CD. Neglect the size of the blocks.

문제의요지 : 초기에 2 m/s 의속력을가지고회전하는 block A, B(각질량 400 g)를가진 Frame에 0.6 N ·m 인모멘트를 3초동안가한후의 block의속력을구하라.

Fig. 15-101

m/s5.9])3.0)(4.0[(23)6.0(]2)3.0)(4.0[(2

26.02

)mN(6.0

2

2

2

3

01

212

1

=∴⋅=+⋅

=+

=+

⋅=

∫

∫

vv

mrvdtmrv

HdtMH o

t

t oo

o kM일정한모멘트

15장 40 / 51예제 15-10

Kepler의행성운동에관한세법칙중의하나인면적속도일정의법칙을각운동량보존을이용해서설명해보라.

v

m Earth

SunO

θr

rdθ

θθ

uθdθ

태양의인력은태양즉모멘트중심 O를향하므로인력의점 O에대한모멘트가없으므로각운동량은보존된다.j

ur

i

일정==

==

=×=

θ

θθ

θ

2

2

000

mrH

mrmrrm

rm

o

zr

o kkuuu

vrH

한편 r이스쳐지나가는미소면적 θθ drrdrdA 2

21

21

=⋅=

따라서단위시간당스쳐지나가는면적은

일정==

==

mH

dtdA

rdtdr

dtdA

o

2

21

21

22 θθ

주의물론운동방정식 으로부터 Fθ = 0 (인력의방향은θ

방향에수직)이므로 을구할수도있다.

)()2( 2θθθθ rdtd

rmrrmF =+=

일정=θ2r

15장 41 / 51

예제 15-11 (Problem 15-103)

An earth satellite of mass 700 kg is launched into a free-flight trajectory about the earth with an initial speed of vA = 10 km/s when the distance from the center of the earth is rA = 15 Mm. If the launch angleat this position is A = 70°, determine the speed vB of the satellite and its closest distance rB from the center of the earth. The earth has a mass Me = 5.976(1024) kg. Hint : Under these conditions, the satelliteis subjected only to the earth’s gravitational force, F = GMe m/r2, Eq.13-1. For part of the solution, useconservation of energy(see Prob. 14-97).

문제의요지 : 발사각도 70°와발사속도 10 km/s 으로발사된인공위성이지구주위의타원궤도를따라운동하다가

근지점(지구로부터가장가까운위치)에도달했을때의속력(vB)과지구중심으로부터근지점까지의거리 rB를

구하라.

Fig. 15-103

이문제역시중심력문제(central force problem)이므로각운동량은보존된다.

BBsAAAs

oo

rvmrvmHH

==

φsin21

15장 42 / 51

에너지보존으로부터

B

seBs

A

seAs

BBAA

rmGMvm

rmGMvm

VTVT

−=−

+=+

22

21

21

위의두식으로부터두미지수 vB와 rB를구하면

vB = 10.2 km/srB = 13.8 Mm

주의면적속도일정의법칙에부합함을확인해보라.

15장 43 / 51

15.9 가변질량체의동역학 (Propulsion with Variable Mass)

이제까지는물체의질량이일정한경우만다루었지만질량이감소하거나 (배기가스로연료와산소를배출하는로켓) 증가하는(밧줄을끌어올리는헬기) 경우의동역학에대해생각해보자.

)( vF mdtd

=원래뉴턴의운동방정식은 *즉물체에작용한힘은그물체의 (선)운동량의변화율과같다.

질량이일정한경우엔 의표현을사용할수있다.dtdm vF =

①질량이감소하는계( A System that Loses Mass)

Oi m

t

vF v + Δvv + ve

– Δm m + Δmt + Δt

15장 44 / 51

시간 t에서질량이 m 이고속도가 v인물체가힘 F를받다가시간 t + Δt에서본체(변화한질량과속도가각각 m + Δm, v + Δv)와배출부(질량과속도가각각 – Δm, v + ve)로분리되어운동하는경우를생각해보자.

v = v i ( v > 0 ), F = F i (F는양도음도될수있지만, 중력과공기저항등을고려하면통상음)

ve : 배출부(ejected part, 예, 배기가스)의본체(예, 로켓)에대한상대속도

ve = – ve i , ve > 0 ( v + ve ) – v

배출부의질량을 – Δm > 0으로둔이유 : 속도의경우와같이변화율은증가율과동일하게두어변화율이음이면질량이감소하는것으로이해하면된다.

Δt 동안의충격량 = 계의운동량변화

122

1

LLF −=∫∆+=

=

ttt

ttdt

15장 45 / 51

L2 = 분리된본체와배출부의운동량의총합

L1 = 본체의운동량

F가일정하다고볼수있을만큼Δt 를충분히작게잡으면(나중에어차피극한을취할것이므로)

,)(

))(())((

tm

tm

tm

tmm

mmmmt

ee

e

∆∆

−∆∆

=∆∆

−∆∆

∆+=∴

−+∆−+∆+∆+=∆

vvvvF

vvvvvF

··

Δm Δv 는미소량의제곱항이므로다른항에비해매우작다.

극한을취하면dtdm

dtdm

evvF =+ (15-29)

F : 순수한외력(net external force) : 로켓(본체와배출부)의밖에서작용한힘

이므로이고 0)0( <>−=dtdmvv eee iv

dtdm

ev : 배출부가본체에작용하는추력(thrust) :

추력의방향은 i의방향

즉 외력 + 추력 = 질량 × 가속도(중력, 공기저항등)

15장 46 / 51

② 질량이증가하는계 (A System That Gains Mass)

O

itm

vF v + Δvv + vi

Δm m + Δm

t + Δt

시간 t에서본체(질량과속도가각각 m과 v)와유입부(injected part : 질량과속도가각각Δm과v + vi )로분리되어있다가

시간 t + Δt에서하나의물체(질량과속도가각각 m + Δm과 v + Δv)로통합되어운동하는경우를생각해보자. 여기서 vi = (v + vi) – v = 유입부의본체에대한상대속도.

dtdm

dtdm

tm

tm

mmm

mmmmtdt

i

i

i

i

ttt

tt

vvF

vvF

vvv

vvvvvFF

=+

∆∆

=∆∆

+

∆−∆∆+∆=

+∆+−∆+∆+=∆=∫∆+=

=

취하면극한을

)))((())((2

1

(15-30)

충격량-운동량의원리를적용하면

즉

외력 + 유입부때문에추가되는힘= 질량× 가속도

15장 47 / 51

예제 15-12 (Example 15-18)The initial combined mass of a rocket and its fuel is m0. A total mass mf of fuel is consumed at a

constant rate of dme /dt = c and expelled at a constant speed of u relative to the rocked. Determine themaximum velocity of the rocket, i.e., at the instant the fuel runs out. Neglect the change in the rocket’s weight with altitude and the drag resistance of the air. The rocket is fired vertically from rest.

문제의요지 : 초기에정지해있던로켓(연료 mf포함)의총질량이 m0이고일정한

율 c >0 로연료가소모되면서로켓에대한일정한상대속력 u의속력으로배기가스가배출되고있다. 연료가다소모되었을때로켓의속력을구하라. 단, 로켓은수직상향운동하고있으며공기저항과, 고도변화에따른중력의변화는무시하라. 또한이속력이최대속력일까?

)0,0(,,

00

>=>−==−=

<−=−=

=+

일정

이다이므로

uvuevmg

cdtdmctmm

dtdm

dtdm

e

jvjvjF

vvF

dtdvctcugct mm )()( 00 −=+−−

j

(*1)

Fig. 15-33

15장 48 / 51

gtctm

mugtctmccuv

dvdtctm

cug

gctm

cudtdv

t

vt

−−

=−−−=

=−

+−

−−

=

∫∫

0

000

000

0

ln)ln()(

)(

(*1)´

(*2)

'tc

mt f ==연료가다소모되는데걸리는시간

ff

mcg

mmmuvtv −−

==0

0ln')'( (*3)

( t = 0에서 > 0 이기위해추력 = cu > m0 g = 초기무게)

무게는계속줄고추력은일정하므로 ( u > mg 따라서연료가다소모될때까지 > 0 )

dtdv

v

15장 49 / 51

식(*1)´에서 t가증가하여 t´이될때까지가속도는증가한다. 따라서식(*3)의속력은최대속력이된다.

주의t = t´ 이후의운동은어떻게될까? t < t´ 일때만식 (*1)이나 (*1)´이유효하며 t t´ 일때유효한식은

즉 v´의속력을가지고낙하하는물체의운동이된다.

gdtdv

dtdvmmgmm fof −=−=−− 이므로)()( 0 (t´에서가속도가불연속)

주의t < t´ 일때만성립한다는운동방정식(*1)으로부터구해진적분결과인식(*2)의속력 v(t)로부터식(*3)의 v(t´)를구하는것은모순이아닐까? 어떤함수의미분도함수가불연속이라도함수그자체는연속일수있음을염두에두고

생각해보라.

15장 50 / 51

예제 15-13 (Example 15-19)A chain of length l, Fig. 15-34a, has a mass m0. Determine the magnitude of

force F required to (a) raise the chain with a constant speed vc, starting from restwhen y = 0 ; and (b) lower the chain with a constant speed vc, starting from rest when y = l.

Fig. 15-34

문제의요지 : 길이가 l이고질량이 m0인체인을일정한속력 vc로올리고(a)내리는(b)데필요한힘을구하여라.

•

P = 0 (체인의구조적특성상압축력을전달할수없으므로)

AjF tt F=

glym ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0

(a) 질량증가

일정속도수직체인의

질량수직체인의본체인

로부터

===

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+

jv

vvF

cvlymm

dtdm

dtdm

i

0:y

15장 51 / 51

vi = 수직체인으로합쳐지기전의유입체인의수직체인에대한상대속도= 0 – v = – vc j

=+=∴

==−+−

==

)(

0))(()(

20

00

00

ct

ccct

c

vgyl

mF

dtdvmv

lmvg

lymF

vl

myl

mdtdm

체인의무게 + 유입부에의한힘

(b) 질량감소

dtdm

dtdm

evvF =+ (15-30)

수직체인의질량이감소하므로위식(15-30)을사용해야할것같지만, 질량감소에의해예상되는배출부의추력은수직상방향즉압축력이되는데체인은압축력을전달할수없으므로

사용해야할운동방정식은 이다dtdm vF =

무게체인의==∴

==−

lygmF

vdtdy

lmg

lymF

t

ct

0

00 0)(v = – vc j = 일정