Álgebra Unidad 1. Números reales

Actividad 3. Uso de propiedades de campo

Indicaciones: Resuelve los ejercicios que se te presentan a continuación.

1. Escribe en cada una de las líneas de la derecha la propiedad o axioma que corresponda sobre los números reales que se están empleando.

Partimos de considerar tres números reales, a, b y c, con c ≠ 0 tenemos que si ac = bc entonces a = b.

ac = bc Partimos de esta suposición.

c–1 (ac) = c–1 (bc)

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad

por c–1, pues como c ≠ 0 existe su inverso multiplicativo.

(c–1 a) c = (c–1 b) c Propiedad asociativa

(a c–1) c = (b c–1) c Propiedad conmutativa

a (c–1 c) = b (c–1 c) Propiedad asociativa

a · 1 = b · 1 Propiedad del elemento inverso

a = b Propiedad del elemento neutro

*Después de resolver este ejercicio lo que obtienes es la ley de la cancelación de la multiplicación.

2. Escribe en cada una de las líneas de la derecha la propiedad o axioma que corresponda acerca de los números reales que se están empleando.

Partimos de considera dos números reales, a y b, para ver que si ab = 0 y a ≠ 0, entonces b = 0.

ab = 0 Partimos de esta suposición.

a–1 (ab) = a–1 · 0

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad

por a–1, pues como a ≠ 0 existe su inverso multiplicativo.

a–1 (ab) = 0 Propiedad del elemento singular

(a–1 · a) b = 0 Propiedad asociativa

1 · b = 0 Propiedad del inverso

b = 0 Propiedad del elemento neutro

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Álgebra Unidad 1. Números reales

2. Analiza la siguiente serie de argumentos para justificar que 2 = 1.

Partimos de la idea de tomar dos números reales, a y b, que cumplan dos características: a = b y

a ≠ 0.

1) a = b

2) ab = b2 Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por b.

3) ab – a2 = b2 – a2 Resta a ambos miembros de la igualdad a2.

4) a(b – a) = (b – a) (b + a)

Factorizamos expresiones de ambos miembros de la igualdad. Aunque ambas expresiones se factorizaron aplicando el axioma 5 de campo, la de la izquierda fue de manera inmediata mientras que la de la derecha requirió un trabajo más amplio.1

5)[a(b – a)] (b – a)–1 =

= [(b – a) (b + a)] (b – a)–1

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por el

inverso multiplicativo de (b – a) que se denota por

(b – a)–1.

6)a [(b – a) (b – a)–1] =

= [(b – a) (b + a)] (b – a)–1

Aplicamos el axioma 4 de la asociatividad en el miembro izquierdo de la igualdad.

7) a = [(b – a) (b + a)] (b – a)–1

Aquí simplificamos el miembro izquierdo aplicando el axioma 9 del inverso multiplicativo y el axioma 7 del elemento neutro para la multiplicación.

8) a = (b + a) [(b – a) (b – a)–1]

Aquí comenzamos a simplificar el miembro de la derecha. Aplicamos el axioma 2 de la conmutatividad de la multiplicación y el axioma 4 de la asociatividad de la multiplicación.

9) a = b + a

Aquí se termina de simplificar el miembro derecho de la igualdad. Aplicamos el axioma 9 del inverso multiplicativo y el axioma 7 del elemento neutro de la multiplicación.

10)a = a + a Sustituimos el valor de b por a. (Al inicio se dijo que

ambos valían lo mismo.)

11) a = 2aSumamos las dos a, aunque es una aplicación del

axioma 5 de distributividad: 1a + 1a = (1 + 1)a = 2a.

12) a·a–1 = 2a·a–1Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por el

inverso multiplicativo de a, es decir, por a–1.

13) 1 = 2 1 Aplicamos el axioma 9 del inverso multiplicativo

14) 1 = 2Aplicamos el axioma 7 del elemento neutro para la multiplicación.

1 Los temas factorización vienen en el curso en la siguiente unidad, así que por lo pronto te pedimos que creas estos pasos de factorizaciones.

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Seguramente observaste que algo está mal. Menciona ¿en cuál paso se cometió un error y cuál fue?

R= El 5to. Paso es incorrecto

No podemos multiplicar por el inverso multiplicativo de (b-a) porque b-a = 0 y el cero no tiene inverso multiplicativo, lo tienen todos los elementos salvo el cero. Ya que no hay ningún elemento tal que multiplicado por 0 de 1, por eso no hay inverso del cero.

Recuerda consultar la escala de evaluación para esta actividad, disponible en Criterios de evaluación de actividades U1

Cuando concluyas tu actividad, guárdala en un archivo .doc con el nombre LALG_U1_A3_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente.

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