§19.2 .2 菱形的判定

菱形

复习与回顾：1. 菱形的定义：

2. 菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

  

菱形性质

边 角 对角线邻角互补

对边平行四边相等 对角相等

对角线互相平分、互相垂直且平分每一组对角

想一想• 如果一个四边形是平行四边形，则只

要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .

根据定义得： A

B C

D

.

,

是菱形中在

ABCD

ADABABCD

还有什么方法吗 ?

探究活动探究活动有两条边相等

有三条边相等的 四边形是菱形吗？

有四条边相等

5

55 5

5 5

5 5

5

思考：它有几个已知条件？分别是什么？

猜想： 有四条边相等的四边形是菱形。

数学语言

∴ 四边形 ABCD 是平行四边形

已知：在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA

求证：四边形 ABCD 是菱形 B

A

D

C

证明 :

∴ 四边形 ABCD 是菱形

( 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 )

∵ AB=BC=CD=DA

∴ 四边形 ABCD 是菱形

∵AD=BC AB=CD

又∵ AB=AD

画一画先画两条等长的线段 AB、 AD ，然后分别以 B、D为圆心， AB为半径画弧，得到两弧的交点 C，连接 BC 、 CD ，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？

你根据什么方法能判定是菱形吗？

有四条边相等的四边形是菱形。A

B

C

DO

∵在四边形 ABCD 中 ,

AB=BC=CD=DA

∴四边形 ABCD 是菱形 .

思考 用一长一短两根细木条 , 在它们的中点处固定一个小钉 , 做成一个可以转动的十字 , 四周围上一根橡皮筋 , 做成一个四边形 . 转动木条 , 这个四边形什么时候变成菱形 ?

猜想猜想

对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .

对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .A

B

C

D

已知：在 中， AC ⊥ BDABCD

ABCD求证： 是菱形证明：

∴ ABCD 是菱形

又∵ AC BD;⊥

∵ 四边形 ABCD 是平行四边形∴OA=OC

∴BA=BC

数学语言∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ; AC B⊥D; ∴ □ ABCD 是菱形

O

( 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 )

( 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ).

归纳菱形常用的判定方法：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形 .

对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .

有四条边相等的四边形是菱形 .

如图， ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 相交于点O ， AB= 5 ， AC=8 ， DB=6

求证 : 四边形 ABCD 是菱形 .

A

B

C

D

O

∴ 四边形 ABCD 是菱形 .

∴OA=OC=4 OB=OD=3

证明 :

∵ AB=5222 OBOAAB ∴

∴AC BD⊥090 ∴ ∠AOB=

（ 1 ）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形( 平行四边形的对角线互相平分 )

( 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ).

判断下列说法是否正确？为什么？(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；

(2) 对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

(3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等 的四边形是菱形；

(4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形．

√

╳

╳

╳

□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，（ 1 ）若 AB=AD ，则□ ABCD 是 形；

（ 2 ）若 AC=BD ，则□ ABCD 是 形；

（ 3 ）若∠ ABC 是直角，则□ ABCD 是 形；

（ 4 ）若∠ BAO=∠DAO ，则□ ABCD 是 形。

A B

CD

O

菱

矩

矩

菱

请你动脑筋

把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分 ABCD的形状吗？

A

C

D

B

思考 :

D

CB

A

E

F

例题解析：已知： ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、 BC 分别交于 E 、 F求证：四边形 AFCE 是菱形。

分析 : （ 1 ）利用定义判定

B

D

CF

EA

O（ 2 ） 由已知可知

OA=OC,EF⊥AC.（ 3 ）利用四边相等，你会吗？

二．已知：如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， PD AC∥ ， PC BD∥ ，PD 、 PC 相交于点 P 。 (1) 猜想：四边形 PCOD 是什么特殊的四边形？

(2) 试证明你的猜想。

（ 3)  PO 与 CD 有怎样的关系？四边形 PCOD 是菱形。

PO 与 CD 互相垂直且平分

C

A B

O

D

P

如图 4 － 48 ， CD 为 Rt ABC△ 斜边 AB 上的高，∠ BAC 的平分线交 CD 于 E ，交 BC 于F ， FG AB⊥ 于 G ．求证：四边形 EGFC 为菱形．

一组邻边相等

对角线互相垂直

四条边相等

五种

判定

方法

四边形

平行四边形

菱形

小结：

作 业作 业

66 、、 1010 、、习题习题 19.219.2

1919 四边形四边形

11 、、 22 、、 33P100P100 练习练习题题

55 、、复习题复习题 1919

矩形与菱形 矩形 菱形

定义 有一角是直角的平行四边形叫做矩形 .

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .

平行四边形的性质

性质

边

角对角线

四个角都是直角

相等 互相垂直且平分每一组对角

判定

有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形

三个角都是直角的四边形

有一组邻边相等的平行四边形

对角线互相垂直的平行四边形四条边都相等的四边形

四条边都相等

如图，已知在□ ABCD 中， AD=2AB ，E、 F在直线 AB上，且 AE=AB=BF ，

证明 :CE⊥DF.

A B F

N

D

M

E

C

例：如图， Rt ABC△ 中，∠ ACB=900 ，∠BAC=600 ， DE 垂直平分 BC ，垂足为 D ，交 AB 于 E ，又点 F 在 DE 的延长线上，且AF=CE ，求证：四边形 ACEF 是菱形。

A

B

C

DE F

例：如下图在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ，AD BC⊥ 于 D ， CE 平分∠ ACB ，交 AD于 G ，交 AB 于 C ， EF BC⊥ 于 F ，四边形 AEFG 是菱形吗 ?

如图， AD BC∥ ， BD 垂直平分 AC ，四边形 ABCD 一定是菱形吗？若是，请说明理由。

C

D

B

AO

思考题 :

┐) 12 (

提示 : AOD COB△ ≌△ （角边角）

AD=BC

如图，已知 AD平分∠∠ BACBAC ，， DE//ACDE//AC ，，DF//AB,AE=5.DF//AB,AE=5.（（ 11 ）判断四边形）判断四边形 AEDFAEDF 的形状？的形状？（（ 22 ）它的周长为多少？）它的周长为多少？

A

B C

F

D

E

练习：如图在菱形 ABCD 中 ,CE AB,CF A⊥ ⊥D.

则 CE 与 CF 相等吗？说明理由。

BE 与 DF 呢？ A

B C

DE

F

G

E

F

D

C

BA

已知，如图， ∠ ABC 中， ∠ ACB= 900,BF平分∠ ABC ， CD 垂直于 AB 于 D ，和 BF交于点 G ， GE CA.∥求证： CE 和 FG 互相垂直平分。