EQUILIBRAGE DE BILAN-MATIEREMETHODES ET EXEMPLES MINERALURGIQUES

J. RAGOT, M. AUBRUN, M. DARROUACH

Laboratoi re d'Automat'ique et de Recherche Appl iquéeE.N.S.G. I.N.P.L. et Univers'ité de Nancy I

Résumé : Après avoir défini le problème posé par l'équilibrage de bilans-matière (ou énergie) et justifié son importanceau niveau industriel, les auteurs illustrent, à partir d'exemples concrets, choisis dans le domaine de la miné-ralurgie, 1es principales techn'iques d'équilibrage de bjlan.

Mots-c'l ës : bilan-matière, données cohérentes, validation, êquif ibrage par relaxat'ion, équilibrage par décentralisation.

Une équation de bilan traduit des lois de conservationcie masse, d'énergie, de déb jt Par suite d'erreurs duesà f imprécision des capteurs, les mesures ne vérifient pas

en général cette équation de bilan ; équilibrer le bilanconsiste à "dëtecter au mieux" ces erreurs ou, ce quj estêqui va1 ent, à estimer I es grandeurs vrai es Qui , el I es, doi -vent être cohêrentes, c'est-à-dire vérifier les équations debi I an.

Cet arti cl e pose I e probl ème de 1 'équi 1 i brage desbilan-rTratière (EBM) pour des processus en régime statiqueet propose quatre métirodes de résolution 'i llustrées par desexemples concrets du domaine de I 'industrie minérale(broyeur-classificateur, cjrcuit de flottation) .

1. GENERALITES SUR LES ERREURS DE MESURE

L' i ncoherence des mesures, constatée par I e non respectdes équations de bilan, est due :

au modèl e uti I i sé qui ne représente qu' imparfai tement I e

processus parce que sa structure est approximative (e11e estI e résul tat d' hypothèses physi co-chim'iques ) ,

aux paramètres du modèle utilisé qui ont été identjfiésavec une certaine erreur,

aux mesures qui ne sont pas touiours représentatives desgrandeurs vraies du fait de I'existence de facteurs pertur-bateurs.

Notre etude se limite ici au cas de systèmes physiquesen régime stat'ique dont la structure est bien connue caretablie à partir des lois fondamentales de conservation dematière et d'ênergie. Les modèles de ces systèmes sont ex-primês par des formes structurales exactes :

g (X'O) = 0 (1)

où X est le vecteur des grandeurs caractêristiques dusys tème,

0 est le vecteur des paramètres (connus ou non)-

Le non respect de 1'êquation de bilan est donc unique-ment le fait des erreurs de nresure. Ces dernières peuventêtre al éatoi res, de val eur moyenne nul I e. systématiques,ou encore accidentel les.

Les erreurs accidentelles, êh raison de leur non répé-tjtivité, sont faciles à detecter et à estimer; aussi, sansatteinte à la genéralité de l'exposé, elles ne seront pas

prises en compte par la suite.

Prenri er exempl e :

0n d'i spose d'une unité de production quj traite Lln pro-duit brut pour en extraire un concentré en nratériaux utileset un rejet. Les trois voies notées I B, C, R, sont carac-térjsées par les tonnages a cumulés sur une période de 10

Control and Computers, Vol. I I, No' 2, 1983

jours et par les concentrations moyennes k en matériauxutiles.

Concent ré

Rej et

Figure 1 - Unité de production

Nous avons par exemple les mesures suivantes :

Brut Concentré Rejet

Débit (t) 200 500 24 500 187 2a0

concentratigt lll^- z3,s 90 4,5en materraux utr les

En supposant négf igeables, d'une part Ia variation destock et de ses caractéristiques à l'intérieur de l'unitêde production, d'autre part la variation de concentrationdes voies d'entrée et de sortie, on doit avoir pour lesgrandeurs "vraies" les relations de conservatjon de la ma-tière :

QB =Qc+QR

Qgkg=Qckc+Qnkn

Pour les mesures indiquées, nous obtenons le dêsêqui-I i bre sui vant :

QB = 2oo 500 tQC + QR = 24 500 + IB7 200 = zLI 700 tQeke = 27 869 tQCkC + Qnkn = 22 050 + B 424 = 30 474 t

De tels écarts s'expliquent par la présence d'erreurscommises sur les différentes mesures.

Toujours sur cet exemple, évaluons l'indice de récupé-ration en produit utile, soit à partir du concentré et deI 'al imentation, soi t à parti r des rejets et de I 'al imenta-tion :

Qckcr=qç y7e%

(3)Qsks Qnknr=ff ry6e%

Cette disparité des deux est'imations de l' jndice de ré-cupêration est due uniquement à I ''incohêrence des mesures dedébit et des concentrations. Comment dans ce cas peut-on en-visager d'optimiser le rendement de cette installation,c'est-à-d'i re par exemple maximiser I'indice de récupération,

50

La fimentationparti cul esg.

quand l'est'imation même de ce

Deuxi ème exempl e :

Ai ns i, I e coeffi ci ent de

r - 1i - gi

Le tableau 1 donne, à partir de cette formule et pour'des mesures de granulométrie rêal isées en laboratoire avecun hydrocyclone "Krebs" de 4 pouces, les estimations du

coefficient de partage (5ème colonne).

gure 2 schématise un hydrocyclone t11] donten minerai, I es sort'ies en particules f jnesgrossières sont repérées par les indices a,

rendement est mi se en cause 2. BILAN-MATIERI COHERENT

Après avoi r montré I 'i ncohérence des mesures, on pré-sente le princ'ipe de détection des erreurs de mesure ou de

I 'al i - I 'estimati on des grandeurs vrai es . Rappel ons que I es gran-et en=;:i deurs vraies Xx (vecteur de dimensjon m) et les paramètres

Ox (dimension p) du modèle du processus sont liés par l'é-quation structurale exacte (dimension r) :

g (xx, on) = o (B)

Le vecteur X des mesures et les erreurs t sont liêspar :

X=Xx+ e

0n fait I'hypothèse (honorablement confirmée dans lapratique) que les emeurs de mesure Ê sont des réal isationsde variables aléatoires) distribuées suivant une loi normalede variance-covariance V et de valeur moyenne A :

t *, JP, (a , v) (10)

La loi de distribution de X se déduit de (9) et (10) :

x-dÇ (x* +4, v) (11)

La fonction de vraisemblance d'un échantillon de n ob-servations XL (k = 1, ..., n) est la fonction densité deprobab'i lite '\ des erreurs de mesure t , dans 'l aque'l le l'er-reur Ê est remplacée par le résidu :

(e)

F'igure 2 Hydrocycl one

En régime d'équilibre, les débits et les distributionsgranulométriques doivent vérifier les équations de conser-vation de déb'it total et de débit par tranche granulométri-que :

Qa =Qf +Qo

Quui=Qfff +Qooi ; i=1,..o't

En définissant le coefficient de partage :

Qrl:= |

E (5)

l'équation de conservation des débits par tranche granulo-métrique s'écrit :

ai=fi.r+9i(1 r) (6)

(4) E = e (w) = x i

tY= G nr-nn/Z [oet u7-n/2 exp i à il*o ik -ollu-,

Cette expression se s'imp1 jf ie en déf inissant la matricedes moments des erreurs :

partage r peut s'éval uer par :

'i = 1, ..., t (7)

M=Fr(xr xk-a) (xr x-a)'

et en utilisant 1'opérateur trace de matrice (Tr) :

'ty = (2 n ) -nt [Oet u )-n/2 exp ] ,, v- 11,t

( 12 )

(13)

(14)

Au^ sens du maximum de vrai sembl ance, I e mei I I eur esti -

mateur X, e, A des valeurs vraies X*,Ox, A* est celui quimaximise la densité de probabilité des valeurs observées X,avec le respect des équations de contrainte :

9p 1in,él = o k = 1, "'' n

La fonction logarithme étant monotone crojssante, cêproblème est équivalent à :

[oet v]* Ir" v-l Mmin nm ,

Logxe 2

Tailledesparti cul es

Surversef.I

Sousverseo.-.1

Coefficient departage en %

100(Q1-o i) / (ri -si )

59564455564L677B46

( zoo5003502s0L77t?s

B85337

l>37i

7L0500350250L77t25B853

0 ,821 ,583 ,096,65

10,3611 ,8610,04

9 ,054 r?2

42,30

00

1,278,21

11,3410,45

2 ,003 ,655,50

15,0022,t9L4,44

7 ,403 ,991,13

Tableau I

Les mesures des distributions granulométriques sont,pour ce cas particulier, très incohérentes puisque les es-timations du coefficient de partage varient de 4l % à 78 %.

51

touiours avec g (i, d) = o

Dans la pratiguê, p'lusieurs cas se présentent en fonc-tion du degré de connaissance que l'on peut avoir de Ia ma-trice de vàriance-covariance V des erreurs de mesure € :

Premier cas : V est totalement connue.

Cela signifie une bonne connaissance sur le p'l an prati-que des erreurs de mesure de façon à pouvoir estimer leurvari ance-covari ance.

Comme V est connue, le problème général (14) se réduità:

| 7,76i oo,sz

I

I

XO

sous g (X, ê) = 0

Deuxi ème cas : v est i nconnue mai s djagonal e .

Chacun de ces sous-ensembles est, à son tour, consti-tué de noeuds élémentaires (une cellule dans le cas de la

(15) flottat'ion); chaque noeud est connecté à un certain nombre, de branches images des flux de matière transportée.

Pour codjfier les liaisons entre les diffêrents noeuds,on définit la matrice d'incidence aux arcs, M, d'éléments*fj tel s que :

tTt.= = + 1 lorsque le flux j arrive au noeud irJ

(16) tri..Alliktâ:r::'fi'1',

j sort du noeud i

j n'est pas connecté aunoeud i

de la figure 3, est associée la ma-

Physiquement, les erreurs de mesure sur les différen-tes variables sont considérées comme indépendantes, mais

leur variance n'est pas connue. Dans le prob'l ème général,

{ l:}.H: il:'::ll.ll'3:llT:, xi i, :'fx.:iilnsoSîi'Ëi::";.-ximisée; ce caicul fait, le problème (14) se réduit à :

min I Trz

min ] rri,b

_1V'Îul

Log M

sous g (i, ei = o

Trojsième cas : V est quelconque et inconnue.

Mathématiquement, c'est le cas le plus généra1, mais

aussi ie plus ardu. Les éréments v... de la matrice v sont

tous des paramètres inconnus par lJ rapport auxque-l s lai;;ti;; Ûaoit être maximisée ; ce calcul fait' le pro-

blème (14) se réduit à :

lil â Los[Det M]

XE

l'r 1 o -1

lo o o 1M=lo o -1 o

lo -1 o o

0100-1 0 -1 0

1 -1 0 0(20)

sous g (X, e) = o

Le cas I e pl us important est cel ui de I 'équ j I'i brage

de bilan-matjèrb en prbsence d'erreurs de mesure centrées,non corrélees et de variance connue. En définissant la ma-

tr.ice x dont les l ignes sont les mesures x , le prob'lème

(fSj est équivalent à rendre extrémal le Lâgrangien :

( 17 )

(18)

=0 (p) (1e)

X' = ltrace ll*- *ll u-, * ÀT s ti,ôl

où À représente le vecteur des.paramètres de Lagrange de

dimension r associé aux contraintes de bilan'

La solution s'obtient en exprimant la stationnarité

du Lagrangien S Par raPPort à X, O et ^:

)É=,,-1 (i-x) -4.À =o (m.n)a^ ax

)g- )gT r,

; æ

r/!

3.1.

ry = g (X, e) = 0

)À

J

Ce système' non linéaire, est à (m '-n +-p + r) équa

tions et autant d'inconnues. Il s'agit très généralementà;;; prcblème de grandes dimensions qgi, pouf les réseaux

de distribution dé matière ou d'énergie, peut être carac-têrisé par p'l us'ieurs centaines de variables et d'équations.La résoiutibn est rarement analytique et le plus souventà., méthodes décentralisées sont utilisées : leur mise en

oeuvre nécessite une connaissance fine de la structure du

probl ème.

3. ANALYSE DES EQUATIONS DE Bl!4I

Figure 3 Circuit de flottation

Si a est le vecteur des débits massiques aux diffêren-tes branches du réseau, le bilan massique de l'ensemble duréseau s'écri t :

M.a=0 (2r)

En généra'l , la matrice M ainsi définie est creuse ; uncodage plus astucieux des interactions consiste à utiliserles rangs et les valeurs des éléments non nuls de cette ma-tri ce.

Ainsi, dans le tableau suivant, T représente, sous uneforme p1 us compacte, I a matri ce M :

(22)

Le tableau monoindicé Mx exprime la codification finaleutilisôe :

Mx = (4, 1, 2, ._4,6, 3, 4, -5, -7r 3, -3, 5' -6r 3, -2,7,B).

La première valeur (4) de ce vecteur rappelle que lapremière équation de bilan met en ieu 4 branches dont lesnuméros et les orientations sont jndiquées par les valeurs1, 2, -4,6, les autres équations de bilan se décodentd'une façon simi I ai re.

La codification (I2) nécessite 3? éléments alors queI a cod.if ication (14) réduit cette dimens'ion à 17 ; une tel I eréduction (prat'iquement de moitié ici ) est particul ièrementapprécjable pour des réseaux de grandes dimensions.

3.2. Forme canonique de la matrice d'incidence aux arcs

T Lj il, I

']

Codification des équations de bilan

un circuit jndustriel est frequenment constitué de

sous-ensenrbl es p1 us ou moi ns i nterconnectés, chacun d'en-treeux ayant ,nb fonction partl.rjière : dans un circuitde fl ottati on par exempl e, on di sti ngue I e_ sous-ensembl e

des "celIulei IaveuSesi', telui des "celIules épuiSeuses"

52La linéarité des équations de bilan (M a = 0) rend ex-

plicite une partie Qb des variables de débit en fonction des

autres (ah). Ce partitionnernent S'obtient en isolant la partierégulière Mb de M. Une nouvelle numérotation des arcs (ou

voi es ) permet d'écri re :

Q4 Q5 Q6 Q7 Qr)t

Qe)t

Q, )t

;;rl": les voies 1, 3, B vérifient une

Q*. = (Qr Q3 Qr)t

Q*" = (a5)

a =(QrQ2Q3

Qm = (Qr Q3 Q5

Qm = (Qz Q4 Q6

Comme dans 0êquation de UilaÀT

M la

(23)

(24)

(25)

d'incidence

(26)

du réseauet le

Dans la pratiguê, on ne dispose pas de mesures des va-riables en tous points du circuit.

Toujours avec l'exemple des variables débit Q, on peutdistinguer :

Qm : la partie de a formêe par ses composantes mesurées

h: la partie de a formée par ses composantes non mesurées

0n ne peut traiter toutes les équations de bilan écri-tes en (I2) puisque seule une partie de a est mesurée.

De plus, parmi les composantes de Qr'il faut distin-guer celles Q,n. qui seront estimables par EBM et celles

h. qui ne Pourront I 'être.

rees,

tBM,

Enfin, pour le vecteur ft des composantes non mesu-

une parti e h. sera estimabl e par déducti on après

I 'autre $* ne pourra I 'être.

Ce partitionnement de a en 4 sous-ensembles :

a = (Qr., Q*5, h.' qne ) (27 )

symbo-est illustré par le circuit de la figure 4 où lesles tr affectent des voies mesurées :

d'où :

Après EBM, on dispose de l'estimation :

TQr" = (Qr Q3 Qg)'

Par déduction, en utilisant Q*. et Qrê, on peut esti-mer Q6, d'où :

h. = (a6)T

Enfin, q* = (QZ Q4 QZ)' représente le vecteur des com-

posantes non estimabl es.

Pour un réseau de faibles dimensjons, I'analyse desinformations peut s'effectuer "manuelIement" par examen despoints de mesure ; des procédures a'lgébriques systématiquesont été développées pour réaliser automatiquement le parti-tionnement indiqué en (27).

3.4. Analyse de I a structure du réseau phys'ique

Pour les réseaux de grandes dimensions, l'applicationdes méthodes d'EBM est souvent délicate et pose en particu-lier le problème de la convergence des algorithmes de réso-I uti on.

Une analyse de la structure du réseau apporte en géné-ral des simplifications de résolution. Cette analyse esteffectuée sur la partie utile du réseau (assoc'ié à I'ensem-ble Q*. des grandeurs mesurées et estimables par EBM).

Elle utilise, soit une décomposition "naturelle" liéeà la structure physique de I'ensemble, soit une décomposi-tion "mathématique".

La première approche s'applique quand directement ondistingue des sous-ensembles de variables reliées par deséquations de bilan, ces sous-ensembles ayant entre eux desliaisons "faibles"; elle utilise, soit la dêcomposition parla structure pour mettre en évidence des sous-ensemblessimples (figure 5), soit la décomposition par la nature desvariables en définissant des sous-systèmes qui regroupentdes variables de nature comparable.

La seconde approche nécessite une analyse systématiquede la structure, soit à partir des données, so'it à partirdu graphe du système. L'analyse par les données détermineles coefficients de couplage entre les différentes varia-bles ; à partir de la matrice des couplages,on effectue lapartition du système. L'analyse par les graphes utilise lesnotions de connexité des composantes du graphe ; la recher-che des matrices de permutation permet de mettre en éviden-cê, dans la matrice associée au graphe du circuit unestructure bloc-diagonal e, ou bloc-triangu'laire ; I' examende cette structure donne la décomposition hiérarchisée dugraphe.

4. METH0DES D' EQUILIBRAGE

4 .I . Métho_de ana I yti que

Pour certains systèmes de faibles dimensions et prê-sentant des interconnexions "simples", la résolution duproblème d'EBÎ''l peut être condu'i te de façon analytique ; enparticulier on peut expliciter I'estimateur des grandeursvraies en fonction des mesures. Deux exemples illustrentcette méthode de résolution :

M = (MU Mf,)

a = (Qu Qn)t

0n déduit de 'l 'équation de bilan :

Qb = *o-t Mh Qh

Le vecteur a peut se "reconstituer" :

a=[ll] = ["'1"] Qb

0n appe'l 1e forme canonique de I a matricematrice "êquivalente" :

M = (I to-t Mr,)

Cette transformati on rédu i t I a compl exi têvecteur débit a à sa partie utile Qh.

3.3. Réseau des informations

Figure 4 Circuit de flottation

Pour cette configuration, on

avec

d

mesures partiel les

53

5b Sous - réseaux disjoints

5c Réseau de type arborescent

I

5d Sous - réseaux f a iblement couplés

Le premier est relatif à un noeud êlémentaire auquelsont connectées des voies d'entrée et de sortie, caracté-risées chacune par un certain nombre de variables (concen-tration en différentes espèces minérales, distributiongranul ométr.ique, densi té, pour-cent sol ide) . Pratiquement,un système de ce type peut être un classificateur de parti-cules, une cellule de flottation, uh bac mélangeur.

Le deuxième traite d'un circuit complexe formé desous-systèmes fortement interconnectés, mais pour 1eque1un seul type de variables est considéré.

Premi er exempl e : Unité de production rêduite à un seulnoeud et décrite par des équations debilan-matière I inéaire et bil inéaire.

La figure 6 schématise ce système dans le cas d'un fluxde matière entrant et deux flux de matière sortantS.

Figure 6 Unitê de production élêmentaire

Les débits a et les fractions x sont liés par leséquations de conservation :

dedébitrota1 Qt QZ Q"=0 (ZB)

et de débi t parti el Qt*.i t QZ*;Z Qg*i g = 0, i - 1, t

5a Réseau de type cascade

En notant, comme cela a été Proposécité en introduction, r le coefficient dedébi ts :

Q2'-qon obtient : xi1 - txi' (1 r) *i3 = 0

Prati quement, I ' équ'i f i brage des bi I ans sur ce ci rcui tconsiste à rendre minimal par rapport à i.* et r le critè-rg :

F- -r I - rJ

dans 1'exemplepartage des

(2e)

j = 1, t (30)

q)=

SOU S

(x..' lJ

r

1rI 1'J

î..1l

= 1, t= 1, 3

(31)

îir (1 r)iil=0En écrivant la stationnarité du Lagrangien I par rap-

port à îij, r et À'on obtient un système d'équations dont

la solution s'exprime analytiquement en fonction des mesuresx...rJ

Les mesures du tableau 1, relatives à 1'hydrocycloneschémat'isé à la figure 3, ont été traitées selon I'algorith-me précêdent. Le tabl eau 2 fai t apparaî tre I es estimat'ionsîij (âij, f.ij et gii) et le coefficient de partage dont on

notera la valeur constante, quelle que soit la tranche gra-nulométrique choisie.

Pour une général i sati on de- c-gl probl ème, I e I ecteurpourra consultér la référence [tO] qui fait état d'un pro-blème d'EBlvl résolu par la méthode des moindres carrés éten-due ou régression orthogonale.

5e R éseau avec cycles

54

Tai I I e(m'icrons )

Al i men-tati on

âi

Surverse

f.1

Sousverse

9i

Coefficient departage x 100

) 700500 710350 500250 350L77 250L25 L7768 r25s3 8837 53

37

0 ,79L,472,486 ,08g ,69

11 ,048 ,908 ,334 ,86

41.70

0 ,020 ,070,370 ,341,688,71

11 ,4310,89

7 ,3661.33

2,AL3 ,695 ,83

15,222?,45L4,75

7 ,454,260 ,88

10 .46

î61,4

jTableau 2 Estimat'ions

Deuxi ème exempl e : Ci rcui t de fl ottati on.

La figure 6 concerne un circuit de flottation pour le-que'l ne sont considérées quq les variables débit qqi son!supposêes toutes mesurées. En notant a le vecteur dont cha-que composante Qi représente le débit de la voie i du c'ir-

cuit, les êquations de conservation de débit s'écriventglobalement:

Voi e Mesure ( t/h) Estimation (t/h)

I2

345

67

I9

1011t21314l516L71819

3 3713 119

5123 llsI 9581 669

1831 6884 B?94 057I 5273 9543 945

077418s3 991

2553 2781 090

3 4563 030

4273 236L 7431 593

0191 5635 0243 688I 3663 9553 7A4

?514 4134 145

2673 437

708

MA

L'équil ibrage des bilans

minô= + ll ô

sousMô=o

Tableau 3

Le probl ème d' tBM se formul e :

min o =+ ila oll ;0,= 0 (33)

massiques se forrnule :

oll uo-r (34)

,ll ,,

. a=

ôl =

dont

.+ll ô _1 (37)

0

0

chaque

(38)

(40 )

ant :

= 0 (41)

=0

Si le Lagrang'ien assocjé à ce prob'lème :

&=+ll ô all .,-1 + ÀTMôVQI

(ô * C)i = Qi - ci

SoitE le Lagrangien assoc'ié à ce prob'lème :

a =tll a o1l io,+ll ô ,ll ;.-,

p=a*C

on ".::'i=ïïr ;':ïïti,: :'il';':',il;'

sous les contraintes de bilan-matière tota.l ,ul

et de bilan-matière en fer Pur M

Le Lagrangien associé à ce problème est :

& =+ll ô oll 1.-,.11

; 'll T,-,+

ÀTMô+

sous les contraintes de bilan-matière total M

et de bilan-matière partiel (en fer) M . (ô *

où a * C est le vecteur des débits de fer pur,composante est définie par :

+ ÀTMô.+ll ' 'll T,-,

I2

(35 )

est rendu extrémal, on obtient :

ô = [r vQ MT (M vQ uT)-l

Pour le circuit de la figure 7,paraître pour chaque voie (i = 1, 19)estimat'ions Q.1 .

' Fi gure 7 Atel i er defl ottati on

4.2. Méthode approchée

Les méthodes ana-lytiques sont mises en êchec pour larésolution de problèmes complexes de grandes dimensionsC'est le cas du circuit de la figure I qui schématise un X,atelier d'enrichissement de minerais de fer par séparationmagnétique et broyage. LeS grandeurs mesurées sont les dé-bits totaux (fer + stéri1e) et les concentrations en fer(% en masse) aux points numêrotés 1 à 15-

35

* ÀT M ô + il M (ô * c)

La présence des termes bilinêaires M. (ô * ôl renddifficile dans le cas général la résolution des équationsde stationnaritê du Lagrangien. Un changement de variableet une formulation diffêrente de ce problème sont proposéspour éviter, d'une part les termes bil'inéaires et poqr sup-primer le couplage entre les équations de débit total etentre les équations de débit partiel.

Soit I^l le vecteur des débjts en fer pur défini par :

M]it (36)

le tableau 3 fait ap-les mesures Qi et les

tl

-1

a

û

t'

='ïïË - o;l îo

s,

*f.T r,1 . ;(42)

Les variables ô et û considérées qomme 'i ndépendantes

r.endent respectivement min'imums.8, et{, ; a'insi deux ni-

veaux de cal cul , total ement découp'l és, ef fectuent I es opê-

rations suivantes :

niveau 1 : recherche de 1'optjmum de.8, par rapport à ô

etÀ

n'iveau 2 : recherche de 'l 'optimum de{, par rapport à t^l

et r.Chacun de ces problèmes élémentaires se résoud de

façon-anarvtiquà-is' i.1., exemple z) et admet comme solu-tions :

4.3. 11éthodes utilisant la linéarisation des équations

Pour des équations de bilan linêajres, le problème de

I'EBl'l est simple puisque se réduisant à un problème classi-que d'optim'i sati on quadrati que sous contra j ntes I i néai res .

Pour des équations de bilan non linéaires, on peut tou-jours Se ramener à ce cas en linéarisant les équations au-tour d'un po'i nt ; des i térati ons successi ves sur I a "val eurdu po'i nt de linéarisation" permet, SouS réserve de conver-gence de ce processus itératif, de tendre asymptotiquementvers I a sol uti on opt'imal e.

Rappel ons I e probl ème fondamental d' EBI{ :

min ] '.lli * ll u-,

iôs (i, ôr = o

Soit Xk, ek une solution approchée de ce problème.ft\_ B SMI, - I

14

11

10

B Broyeu r

SM

15

S M SéParateu rmagnétique

I

B

a=

l^l

'l o

n]*['Ir

*tuQ luvomTl-1

*tu, lttvrmT;- 1

(43 ) (44)

(45 )

(46 )

l' le1lsou s

sous

^ ^0n cherche une solut'ion kk*l, Ok+l dans le

Xk, Ok tel que Ie développement I im'ité de g (X'

ordre autour de ce point soit correct :

g (io*, , ôo*, ) = 91 + Ak io*, + Br*1 I

voisinage de

e) au prem'ier

12

13

avecg;.=g (it,Ak =o:

o int

6o) Ak xk to ôo

R = 9i--' "k

)oor

Au problème (44) est substitué le problème :

mln

in*r' ôo*,

91 + Ak io*, + tn 6n*, = o

auquel on associe le Lagrangien :Fi gure B Atel i er de broyage et

. séparati on magnét'ique

Quelle el Rhein (Mauritanie)

Pour le circuit de la figure 8, le tableau 4 donne les

valeurs des débits totaux et ies teneurs en fer mesurées,

ainsi que celles obtenues par application de la méthode

d' équil ibrage approchée'

t t'll in*, *ll v-l

s= Ir, ll io., *ll

u, +

^t [nn + Ak io*, + tn ôn*r] u7)

En écrivant les conditions de stationnarité de cegien, oh obtient la solution :

À = (Ar v o..T) -t

[ , - Bk (BrT (Ar v ont)-t Br )-1

Lagran-

l. (S + Ak Xk + Bf ot)

ôn*, = (BrT (Ar v o*t)-t Bo)-1 t*t (F.k v oot)-t

. (g + Ak xt) (48)

; x vootÀ^k+1 ^u^k'rLe système d'équations (4S) génère une suite xk QYi'sous

réserve de convergêflcêrtend vers la solution optimale X. Pour

certains types de problèmes, lâ matrice (At V OOt) n'est pas

régulière ; cette difficulté apparente disparaît si l'on ex-piï;ità 1qBl en utitisant des ihverses génêralisées de matri-l. ou si'l'ôn réduit d'une unité la dimensjon du problème

initial.

4.4. Méthode utilisant le calcul hiêrarchisé

Pour des systèmes de grande d'imension (çn nombre de

branches, nombrê de noeudsl nombre de variables), l.: métho-

des prCcéCentes restent théoriquement_appl icables ; Ieurrnise en oeuvre pratique pose des problèmes de temps et de

vol ume de cal cui i ncornpaLi bl es avec I ' uti I i sat'ion de cal cu-I ateurs de ta i I I e rnodeste .

Estimati onMesures

Débi ttotal(r/h)

a

49,149,136 ,3515127 ,L4E,248,257 ,722,t48,254,550 ,640 ,8

35,9933,1

990990

40990990180384384980

s6705414384315

Tabl eau 4

56

Pour éviter cet inconvénient, des méthodes d'EBM ontétê développêes en utilisant les avantages du calcul hjérar-chise, de la décentralisation et de ra reraxation. Le prin-cipe utilisé consiste à partitionner le problème initiâl ensous-problèmes p'lus simples et à effectuer une hiérarchisa-tion des calculs ; cette decomposition s,obtient dans tousles cas après une.analyse fine du système physique d,unepart et des équations à résoudre d,autre part.

Pour i I I ustrer cette mêthode, nous donnons deux exem-ples :

Le premier montre comment une hiérarchisation des cal-culs de l'EBM peut aboutir à une rêsolution très simple.

Le deuxième utiIise un "découplage" géographique duprocessus en sous-processus faiblement interconnectés.

Les équations (51) et (53) admettent comme solutions :

À=(rlrlQFtT;-l *(a uQI0,r*ô.,)Tf.,) (55)

ô = [r vQ MT (MVQ MT)-t n ] [o vQ T

(r4 * ô,ltr ]Les équations (sz) et (54) admettent comme solutions :

rÀ = [tl't * ôl vc (M x ôlT1-t (M

ô =[r vc(r,r iftôlt[,rxôl v.

Finalement, en définissant le

z = t9lc

les équations (55) et (56) s,écrivent :

Z =F (Z)

Un certain nombre d'glgorithmes itératifs peuvent êtremis en oeuvre dans la recheiche du point fixe db r.àppriia-tion F.à_partir d'une solution initiale zn; ces atgô;^.itÀ-mes' s'ils convergent, constituent o âutant dé métho-des de coordination. Ôn peut citer en particulier la méthodede Jacobi, I'itération chaotique et les algorithmes à retard.

4 . 4 .2. Esu!librege_dÉsellrsl!re

En_reprenant le deuxième exemp'le du paragraphe 4.1.,figure 6: le problème d'tl*lB peut sb résouâre én considérânt9.t problèmeg plus simples qui coruespondent à des réseauxde p'l us faibles dimensions.

ce partitionnement peut se réaliser de façon systéma-tique, compte tenu des différentes connexions éntre'lesnoeuds du réseau; ici on propose un part'ionnement intuitifoù le :

ler sous-réseau est const'itué des noeuds 1, z, 3, 4, 5,6,

2ème sous-réseau est constitué des noeuds l, g, 9, 10,11.

ces deux sous-ensembles n'ont en commun qu'un faiblenombre de voies, celles numérotées l0 et 14.

Dans une première phase, les équilibrages des deuxsous-réseaux sont réalisés de façon_indépendante i on ob-tient alors les estimations a (t): C (1), a (t), C (Z) desdébits et concentrations, respectivemènt pduÈ iés sôui-niveaux 1 et 2.

Dans une deuxième phase, i1 faut forcer I'égalité,pour les voies communes 10 et 14, des débits et éoncentra-tions :

ô1, ro = ô2, ro , ôr,

Ql, 14 = Qr, 14 ; cl,

10 = c?, lo;L4 u2,

14

Mathématiquement, le problème global se formule:

Tin^ q)

=

Q, C

* a) c (s6)

(rq * ô,t] (M x ôt ] c

vecteur 7 :

4.4.t. Egsilibrege_rglerg

considêrons le circuit pour lequel on mesurebits a et les concentrations C* (i = 1, ... nombretituants), le problème d'EBM stécrit :

min e = +ll ô ail: _r + Ëilô, ril :vQr i" | "vc-l

sous les contraintes de bilan total : M. ô = 0

(Mxa) Ci =0

les dé-de cons-

(4e)

(50)8 =+llô oll To-'.+

et de bilan par constituant :

A ce probl ème est associë le Lagrangien :

F ll ; cilt 1,-,

(M ,r a) Ci

:

+ ÀTr,r ô+T*lqui est extrémal quand

+= v;lrô a)DQ

+ rqTÀ * f (r',i *i

e =u;1 rôr ci)ccr I

4=M.ôaÂl

-rO1,^, = (Fl * a) ciôl^i !

+ (M * ôlt Ft

ôr)t I^i = o (s1)

= 0 (52)

= 0 (53)

= 0 (54)

^ comme nous l'avons indiQué, le couplage des variablesA et ci rend difficile la résolution des équations (51) à

(54). Le problème initial peut se décomposer en deux sous-probl èmes :

sous-problème I : estimation de ô et À : équations (51) et(s3)

sous-problème 2 : estimation de ô* .t l.: équations (52) et(s4) 'l

La'relaxation du sous-problème 1 consiste â le décou-pler du sous-problème 2 en considérant connues les varia-bles communes ci et à le résoudre séparêment sur la basede cette hypothëse.

De même, Ja relaxation du sous-probrème z consiste àle ciécoupler du sous-prob1ème 1 en considérant comme con-nue la variable commune a et à le résoudre séparément surcette base.

L ll ô,,, - Q(, ) ll' + * llô,,, 'r,rll

z

arrr ll ' . + lt ô,r, ,rrrll 2 (sB). + ll

ôr'r

sous Ies contraintes :

Ml a(t) = o (Mr * Sttll

. lfrl = o

Mzô,r, = o (ù1zx ô121) - ô,r, = o(5e )

57

s2 ô,r, = sl ô,r,

sz c(z) = sl '(t)

où les matrices 51 et SZ sélectionnent les composantes des La méthode de résolution analytique est la plus sédui-

vecteurs deb.it communes aux deux sous-niveaux. Le Lagran- sante, mais t'aPPlique à des configurations s'imp'les' Souli-

g.ien associe à ce problème se décompose sous ra fôrme gnons aussi que'ia connajssance de la loi explicite entre

àodi ti ve sêparabr e . br ème se dêcompose sous ra Ïorme *:;ll:iËi'rîlrîiïïfi:r':: ::lt:rli;:i:;l:

veut étabr i r I es

A ={ + 8, (60) La méthode par découplage des équations de

uu..r, =âll ô,,, r,,,ll ' . +ll ô,,, ',,,11'

*0,'rir ô,,, 3rtîi;T:'?l::;|iliï,:;i?ï-:ii,îî;; $ffi.il::. r',t (Mr * ô,,, ô,,, vT sr ô,,, - rT sl ô,,, ïffi :3ifillî::til,;i:i:'â:'i.o:li,ii:l'ilïtili;

processus de calcul itératif.

Les méthodes proposées dans cette communication rêsol -vent I e probl ème d' EBM sel on 4 techn.iques qui présententchacune des avantages et des inconvénients.

bi I an s'étendsolution sous-peut être

mai s aussisel on un

* Tzt (Mz * ô,r,) ôtrl + vT sz ô,r, * .-tT sz ô,r,

En consêquence, I € probl ème 'i ni ti al :

min8 Par raPPort à Q, C, À ' f

est équivalent à

min 8, par rapport à a(r), !tt),Àt ,ltr.\,min 4.) par raPPort à a(r), '(Z),\2, f Z

m'in Xt par raPPort à Y et ,

La mi se en oeuvre de ce cal cul uti I i se un

hierarchisé dont chaque niveau s'explicite :

Niveau 2: il-assure 1'optimalité O.gt et *'Z par rapport

à Q, C, À et fPour le sous-niveau 2!, les équations à résoudre :

,g=0,?4- =0,?L =0..É=o (66)

rQr tôtrl DÀ, oÏt

font 'i nterven'ir des expressions bil inéaires en ôrrr-t'

ôr' et peuvent se résoudre selon l'algorithme relaxé pré-

cêciemment exPosé.

- Pour les équations du sous-niveau 22, les variables

ô,r, et ô,r, peuvent ètre obtenues de façon semblable.

CONCLTJS ION

L,equi'l ibrage de bilan-.matière, êr validant les mesu-

res faites sur un processus' contribue :

à l'obtention de données statistiquement cohérentes'

à l'estinration de clitères de fonctionnement'

à l'est'imat'ion de grandeurs inaccessibles à la me-

sure,

du L1O't X Oe I a pOSl tl On des pO j nIS de mesure 'au choix de la sensib'i l'ité des capteurs'

- (61) La méthode par linêarisation

QfZt systématique mais lorsqu'elle est, de grands systèmes' sa convergence

des équations de bilan estappliquêe à la résolutionest I ente.

(62)

(63 )Il semble, mais cette proposition n'engage gYe t"S:

auteurs, que lés méthodes d'équilibrage décentralisé soientles seuies réellement applicables aux grands réseaux indus-triels. La mise en oeuvre d'algorithmes d'EBM pose en plus

(64) lî'il:ol:'':.iî'ol'îÎÎ;:#lil:iilti;,'.:i ill'l;.oit;'ii'fl::-tion n'est accessible qu'en quelques points du circuit.L'extension des mêthodes d'EBM à ce cas a été faite ainsi

alsorithme :t,l^d:ïo:,0;,;Ê,^:'l:lt:];t:,l:'.3îru:i:,';l'ffi::.:,1:.pré-

Les méthodes d'équi 1 i brage décentral i sé nécessitent une

analyse du problème. Ce dernier est décomposé en sous-problè-mes iimpl es', chacun rel ati f à un équi 1 i brage de bi I an par-ti el .

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-+ll ô,,, ,r,lll 2 *À,trrz

Niveau I : il assure 1'opt'imalité 9tJ par rapport aux para-

mètres de .oàrAination e et I selon un a'lgorithme

itérat.ifparexempledetypegradient:

r+ =v+kf"= +k(szô,r, sl ô111)

,t* = 1+k#= +k(szi. stôtrl)(6s)

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59