1993 – 2012 - Zipernowsky · 2012. 7. 25. · ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA ELŐSZÓ Köszöntöm a Kedves Olvasót, aki kezébe vette kiadványunkat, mellyel segíteni próbáljuk

ZIPERNOWSKYMATEMATIKA KUPA

VERSENYFELADATOK1993 – 2012

KÉSZÜLT AZIPERNOWSKY KÁROLY MŰSZAKI SZAKKÖZÉPISKOLA

FENNÁLLÁSÁNAK 100. ÉVFORDULÓJA

ALKALMÁBÓL

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

A FELADATSOROKAT ÖSSZEÁLLÍTOTTA:GOMBOCZ ERNŐ

SZERKESZTETTE:KISS SZILVIA

DLUSZTUS PÉTERSZABÓ PÉTER

Pécs2012

2


ELŐSZÓ

Köszöntöm a Kedves Olvasót, aki kezébe vette kiadványunkat, mellyel segíteni próbáljuk a ver-senyzők felkészülését a Zipernowsky Matematika Kupára.

A versenyt 1976-ban hívta életre Németh József tanár úr, azzal a céllal, hogy a megye matematika i-ránt érdeklődő kilencedikes és tizedikes (akkor még elsős és másodikos) diákjai versenyen mérhes-sék össze tudásukat, ezzel fokozva motiváltságukat a tantárgy iránt.

A feladatgyűjteményünk 1993-tól 2012-ig tartalmazza a feladatsorokat, mivel a Baranya Megyei Pedagógiai Intézet támogatásával, Gombocz Ernő tanár úr szerkesztésében 1992-ben megjelent könyvben megtalálhatók a feladatsorok 1976-tól 1992-ig.

A feladatsorokat Gombocz Ernő tanár úr állította össze, akinek kitartó, és a versenyek iránti alázatos munkáját ezúttal is szeretném megköszönni.

Szintén köszönetet szeretnék mondani Kiss Szilvia és Szabó Péter kollégáimnak, valamint a 11. C osztály tanulóinak, akik segítséget nyújtottak a kiadvány elkészüléséhez.

A kiadványt szeretném a 2010-ben fiatalon elhunyt kiváló kolléganőm Balás Marianna tanárnő em-lékének ajánlani, aki hosszú évekig volt szervezője a Zipernowsky Matematika Kupának.

A következő versenyekhez a tanulóknak jó felkészülést, míg tanár kollégáimnak jó felkészítést kí-vánok!

Pécsett, 2012. május 5.

Dlusztus Péter

munkaközösség-vezető

ZKMSZ

3


BALÁS MARIANNA KOLLÉGANŐNK EMLÉKÉRE

„Csupa-csupa fura hang sóhajt még, mégis szól a csend.

Csupa-csupa csoda kép pattan szét, mégis érints meg.

Ami lehetetlen, nem szállhat el, mint egy álomkép,

ami hihetetlen, nem múlhat el, mint az ébrenlét.”

(Presser Gábor – A Padlás)

4


TartalomjegyzékBalás Marianna kolléganőnk emlékére.................................................................................................49. évfolyam...........................................................................................................................................6

1993.............................................................................................................................................................61994.............................................................................................................................................................71995.............................................................................................................................................................81996.............................................................................................................................................................91997...........................................................................................................................................................101998...........................................................................................................................................................111999...........................................................................................................................................................122000...........................................................................................................................................................142001...........................................................................................................................................................152002...........................................................................................................................................................162003...........................................................................................................................................................172004...........................................................................................................................................................182005...........................................................................................................................................................192006...........................................................................................................................................................202007...........................................................................................................................................................212008...........................................................................................................................................................222009...........................................................................................................................................................232010...........................................................................................................................................................242011...........................................................................................................................................................252012...........................................................................................................................................................26

10. évfolyam.......................................................................................................................................281993...........................................................................................................................................................281994...........................................................................................................................................................291995...........................................................................................................................................................301996...........................................................................................................................................................311997...........................................................................................................................................................321998...........................................................................................................................................................331999...........................................................................................................................................................342000...........................................................................................................................................................352001...........................................................................................................................................................362002...........................................................................................................................................................372003...........................................................................................................................................................382004...........................................................................................................................................................392005...........................................................................................................................................................402006...........................................................................................................................................................412007...........................................................................................................................................................422008...........................................................................................................................................................432009...........................................................................................................................................................442010...........................................................................................................................................................452011...........................................................................................................................................................462012...........................................................................................................................................................47

5


9. ÉVFOLYAM1993.

GYAKORLATOK

1. Számítsuk ki az 5abc−{ 2a 2 b−[3abc−4ab2a 2b]} kifejezés értékét, ha a = 0,25;b = 0,5; c = 0,75! pont

2. Hozzuk legegyszerűbb alakra a következő kifejezést:abc2−ab−c 2a−bc2−a−b−c 2 ! pont

3. Alakítsuk szorzattá a p36p2 q12pq28q3 kifejezést! pont4. Végezzük el a kijelölt műveleteket a változók lehetséges értékeinél:

ba2ab− 2ab ab2ab : ba−2 ab ! pont5. Két szomszédos páratlan szám négyzetének különbsége 64. Melyik ez a két szám? pont

6. Milyen n pozitív egész számra lesz az 5n28n12

n törtkifejezés értéke is pozitív egész szám? pont

7. Oldjuk meg x-re a racionális számok halmazán a p2 x2 = p x2 egyenletet!(A p paraméter racionális szám.) pont

8. Oldjuk meg a racionális számok halmazán az ∣3−2∣x∣∣=∣2−x∣−3 egyenletet! pont

9. Oldjuk meg a valós számok halmazán a 31−4a2a1≥−9 egyenlőtlenséget! pont

10. Melyek azok az egész számok, amelyekre teljesül, hogy ∣ 1x−15∣ 49 ? pontFELADATOK

I. Mely egész x-re egész szám a következő kifejezés: A = 2x−3984x−1993 ? pont

II. Milyen egész értékeket vehet fel az „a”, ha tudjuk, hogy az alábbi egyenletrendszer megoldása-ként adódó számok pozitívak? x3y = 12

21x62y = a pontIII. Három iskola tanulói egy horgászversenyen 113 halat fogtak összesen. Az „A” iskola tagjai át-

lagosan 13, a „B” tanulói átlagosan 5, míg a „C” iskola tanuló átlagosan 4 halat fogtak. Hány főindult iskolánkét, ha összesen 16 tanuló vett részt a horgászversenyen? pont

IV. Egy háromszög belsejében lévő P pontból az oldalakra bocsájtott merőlegesek az oldalakat rend-re a1; a2; b1; b2; c1; c2 szakaszokra bontják. Bizonyítsd be, hogy a1

2b12c1

2 = a22b2

2c 22 ! pont

V. Egy n n∈N élhosszúságú kockát pirosra festettünk, majd szétvágtuk a lapjaival párhuza-mos síkokkal egységnyi élű kis kockákra. Ezután kiderült, hogy azon kis kockákból, amelyek-nek pontosan 1 lapja piros, hétszer annyi van, mint azokból, amelyeknek pontosan 2 piros lapjavan. Hány olyan kis kocka van, amelyeknek egyetlen lapja sem piros? pont

6


1994.GYAKORLATOK

1. Ábrázold az f : x10−2x∣x−5∣ függvényt! 2 pont

2. Számítsd ki az a = 726−7−26 kifejezés pontos számértékét! 2 pont3. Két egymást követő természetes szám négyzetének a különbsége 33. Melyik ez a két

szám? 2 pont4. Mekkora szöget zár be a háromszög két belső szögfelezője, ha a harmadik belső szö-

ge 85°? 2 pont

5. Igazold, hogy ha a > b > c > 0, akkor a2b2c2 abacbc ! 3 pont

6. Egy derékszögű háromszög két befogója 9 és 12 egység hosszú. Számítsd ki a három-szögbe írható kör sugarát! 3 pont

7. Mi az 1994. számjegye annak a számnak, amit úgy kapunk, hogy 1-től 1994-ig leírjukegymás mellé a pozitív egész számokat? 3 pont

8. Ha összeszoroznád 1-től 1994-ig a pozitív egész számokat, akkor hány nullára végződ-ne a szorzat? (Állításodat indokold) 3 pont

FELADATOK

I. Bizonyítsd be, ha a + b > 0, valamint a≠0 és b≠0 , akkorab2 b

a2≥ 1

a1

b ! 6 pont

II. Az egymástól 24 km-re lévő A és B városokból egyszerre indul egymással szembe két gépkocsi. Találkozásuk után 16 perc múlva az A városból indult gépkocsi a B városba,a másik gépkocsi pedig a találkozásuk után 4 perc múlva az A városba érkezik. Mekko-ra a két gépkocsi sebessége, ha a gépkocsik egyenletes sebességgel haladtak? 10 pont

III. Az ABC hegyesszögű háromszögben az A csúcsnál lévő szög kétszerese a B csúcsnállévő szögnek. A C csúcsból a BC oldalra állított a merőleges az AB oldalegyenest D-ben metszi. Bizonyítsd be, hogy BD = 2AC! 10 pont

IV. Egy farmon több ló van, mint kacsa. A tehenek száma harmada a lovak és a kacsák e-gyüttes számának. A kacskák és a lovak fejei és lábai számának összege 100. Hány ló,kacsa és tehén van a farmon? 14 pont

7


1995.GYAKORLATOK

1. Két szomszédos páratlan szám négyzetének különbsége 32. Melyik ez a két szám? 2 pont

2. Egyszerűsítsd a következő törtet: a3−a2−a1a4−2a21

! 2 pont

3. Oldd meg az alábbi egyenletrendszert, ha x; y és z az ismeretlenek!x y = 3ax z = 4ayz = 5a 2 pont

4. Oldd meg az egyenletet: ∣x−1∣∣x2∣= 5 ! 2 pont5. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD. A trapéz BD átlója és AD oldala e-

gyenlő hosszú. BCD szög 110°-os és a CBD szög 30°-os. Mekkora az ADB szög? 3 pont6. Egy derékszögű háromszög két befogója 9 és 12 egység hosszú. Számítsd ki a három-

szögbe írható kör sugarát! 3 pont

7. Milyen n pozitív egész szám esetén lesz az 5n28n12

nkifejezés értéke pozitív e-

gész szám? 3 pont8. Ha összeszoroznád 1-től 1994-ig a pozitív egész számokat, akkor hány nullára vég-

ződne a szorzat? (Állításodat indokold!) 3 pont

FELADATOK

I. Bizonyítsuk be, hogy ha a; b és c pozitív számok, akkorab

cbc

aac

b≥ 6 ! 6 pont

II. Ha egy háromjegyű szám jegyeit fordított sorrendben írjuk, és az eredetiből kivonjuk,a különbség 500 és 600 között lesz. A középső jegy 3-mal kisebb a másik kettő össze-génél. A százasok helyén álló jegy négyzete 4-gyel nagyobb a második jegy 9-szeresé-nél. Melyik ez a szám? 10 pont

III. Az ABC hegyesszögű háromszögben az A csúcsnál lévő szög kétszerese a B csúcsnállévő szögnek. A C csúcsból a BC oldalra állított merőleges az AB oldalegyenest D-benmetszi. Bizonyítsd be, hogy BD = 2AC! 10 pont

IV. Egy osztály tanulói körmérkőzéses asztalitenisz-bajnokságot rendeztek. Már elkészülta sorsolás, amikor újabb jelentkezők nevezését fogadták el. Így a mérkőzések száma13-mal több, az eredeti nevezések szerinti mérkőzésszámok majdnem kétszerese lesz.Hányan neveztek először, és hányan később? 14 pont

8


1996.GYAKORLATOK

1. Ábrázold az f : x1−x∣x−1∣

2 függvényt! 2 pont

2. Egy háromszög két oldala 6 és 16 egység hosszúak. A 16 egység hosszú oldalhoz tar-tozó súlyvonal 10 egység. Mekkora a háromszög területe? 2 pont

3. Oldd meg a valós számok halmazán az ∣1−2x∣ 11 egyenlőtlenséget! 2 pont4. Egy rombusz átlói 14 és 48 egység hosszúak. Mekkora a rombusz magassága? 2 pont

5. Két szám összege 1995,5; arányuk23

: 15 . Melyik ez a két szám? 2 pont

6. Hozd a legegyszerűbb alakra, és add meg a kifejezés értelmezési tartományát:x36x211x6

x24x3! 3 pont

7. Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az x2− y2 = 1996 egyenletet! 3 pont

8. Egy háromszög a; b és c oldalaira igaz, hogy a2 b2c4 = b4a2 c2 . Igazold, hogya háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú! 4 pont

FELADATOK

I. Három természetes szám szorzata 793800. Az első számot 5-tel, a másodikat 7-tel,a harmadikat 9-cel szorozva ugyanazt a számot kapjuk. Melyik ez a három szám? 7 pont

II. Egy egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága 20, a szárhoz tartozó ma-gasság 24. Mekkora a háromszögbe és a háromszög köré írható kör sugara? 9 pont

III. Egy lóversenyen három lóra lehet fogadni: ha az első ló nyeri a versenyt, akkor a rá-tett összeg kétszeresét, ha a második nyer, akkor az erre tett összeg négyszeresét, haa harmadik ló fut be elsőnek, akkor az erre tett összeg nyolcszorosát kapják a fogadók. Mekkora összeget kell tenni egy-egy lóra, hogy bármelyik is fut be elsőnek, 1000 Ftnyeresége legyen a fogadónak? 11 pont

IV. Bizonyítsd be, hogy bármely derékszögű háromszögben a beírt kör átfogón lévő érin-tési pontja két olyan részre osztja az átfogót, amelyek szorzata egyenlő a háromszög területével! 13 pont

9


1997.GYAKORLATOK

1. Számítsa ki a kifejezés pontos értékét: 2353⋅233232

3⋅233−232! 1 pont

2. Egy szabályos háromszög területe 998001⋅3 Mekkora a beírható kör sugaránakpontos értéke? 2 pont

3. Határozza meg az f : x x19972x−1997 függvény értelmezési tartományát! 2 pont4. Mely egész x-re egész a kifejezés:

2x−1995x1 ? 2 pont

5. Melyek azok a pozitív egész számok, melyeket 16-tal osztva 4 a maradék, 20-szalosztva pedig 5 a maradék? 3 pont

6. Oldd meg az egész számok halmazán az x yxy = 1996 egyenletet! 3 pont7. Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek az összege 30 egység. Ha a téglatest hosszát 2

egységgel csökkentjük, a szélességét ugyanennyivel növeljük, és a magasságát megkét-szerezzük, kockát kapunk. Mekkora a kocka éle? 3 pont

8. Három pozitív prímszám szorzata összegük ötszörösével egyenlő. Melyik ez a három prímszám? 4 pont

FELADATOK

I. Legyenek a; b és c pozitív számok. Igazoljuk, hogy ab1ac1bc1 ≥ 8abc ! 8 pont

II. Egy háromszög oldalaira igaz, hogy c2−a2

bb

2−c2

a= b−a . Igazoljuk, hogy a há-

romszög egyenlő szárú vagy derékszögű! 10 pont

III. Mely valós x; y számpárokra igaz az 5x2 y21 y2 = 2xy 2 y egyenlőség? 10 pont

IV. Egy kör két merőleges húrja a és b, illetve c és d hosszúságú darabokra osztja egymást. Mekkora a kör sugara, ha a2b2c2d 2 = 20 ? 10 pont

10


1998.GYAKORLATOK

1. Három egymás után következő pozitív páros szám összege 1998. Melyek ezek aszámok? 1 pont

2. Összeszoroztunk 1998 darab egész számot. A szorzat páros vagy páratlan? Válaszodat indokold! 2 pont

3. Határozd meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amelyben a számjegyek összege1998! 2 pont

4. Határozd meg az f : x1

∣x−1998∣ függvény értelmezési tartományát! 2 pont

5. Ha x1x= 2 akkor mennyi az értéke az x

1998 1x1998

összegnek? 2 pont

6. Egy 10 egység sugarú körhöz egy külső pontból 24 egység hosszú érintőszakaszokhúzhatók. Mekkora az érintési pontokat összekötő húr hossza? 3 pont

7. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 30 egység, a hozzá tartozó magasság 20 egység.Mekkora a beírható kör sugara? 4 pont

8. Igazold, hogy az a23a12−1 kifejezés osztható 24-gyel! 4 pont

FELADATOK

I. Egy üzemben egy termék előállításával 16 munkás foglalkozik: heti termelésük1680 db. A heti termelést 20%-kal növelni akarják, ennek érdekében újítások beve-zetésével egy termék előállítása idejét 24 percről 17,5 percre csökkentik. A munká-sok száma azonban 16 főről 14 főre csökken. Teljesíthető-e a megemelt terv válto-zatlan munkaidő alatt, feltételezve, hogy minden munkás azonos teljesítménnyeldolgozik? 7 pont

II. Határozd meg az x és y prímszámokat, ha x x2x3 y y2 y3 = 2393 ! 9 pont

III. András, Béla és Csaba társasjátékot játszanak. A játék előtt zsetonjaik számának a-ránya 7:6:5. A játék végén az arány 6:5:4 lesz. Hány zsetonjuk volt külön-külön ajáték előtt, illetve utána, ha egyikük 12 zsetont nyert? 11 pont

IV. Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyben a három magasság összege abeírt kör sugarának a kilencszerese? 13 pont

11


1999.GYAKORLATOK

1. Az ”a” paraméter mely értékénél nincs gyöke a következő egyenletrendszernek? 2 pontax−5y = 92x−3y = 15

2. Határozzuk meg ”a” értékét úgy, hogy a következő egyenletrendszernek egyetlenmegoldása legyen: 2 pont

2x− y = 5x3y = 4

xy = a

3. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget 4x73x−2 0 ! 3 pont

4. Az AB szakasz hossza 5,6 m. Határozzuk meg AB-t 23 :4

15 arányban osztópont és

AB felezőpontja távolságát! 2 pont5. Bizonyítsuk be, hogy a mellékelt háromszögben M a magasságpont. 3 pont

6. Két párhuzamost egy harmadik egyenes metsz. A belső szögek közül az egyik derék-

szög 1 35 -öd része. Mekkora szögben metszi ennek a szögnek a szögfelezője a másik

párhuzamos egyenest? 2 pont7. Egy lineáris függvény grafikonját látod az ábrán. (A két tengelyen az egységek nem e-

gyenlők!)

Írd le értelmezési tartományát, értékkészletét és hozzárendezési szabályát! 3 pont

8. Ábrázold a következő függvényt: x∣x−1∣−∣x2∣ ! 2 pont

12


FELADATOK

I. Miklós a fiával és Péter a fiával kimentek horgászni. Miklós ugyanannyi halat fogott,mint a fia, Péter háromszor annyit, mint a fia. Összesen 35 halat fogtak. Miklós el-mondta, hogy fiát Gergelynek hívják. Hogy hívják Péter fiát?(Állításod indokold!) 7 pont

II. Egy egyenlő oldalú háromszög belsejében vegyél fel egy tetszőleges pontot. Bizo-nyítsd be, hogy a pontból az oldalakra állított merőleges szakaszok összege nem függa pont megválasztásától! 9 pont

III. Az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezője a BC oldalt A’-ban metszi. Le-gyen ABC, ABA’, ACA’ háromszög köré írt körének középpontja rendre O; O1; O2.Bizonyítsd be, hogy OO1O2 háromszög egyenlő szárú! Mi a feltétele annak, hogy ez aháromszög egyenlő oldalú legyen? 11 pont

IV. Négy házaspár együtt 44 üveg sört fogyasztott egy nyári napon. A férjek közül csakBalog ivott ugyanannyit, mint felesége. Kovács kétszer annyit, mint Kovácsné, Nagy háromszor annyit, mint Nagyné és Kis négyszer annyit, mint Kisné. Anna 2 üveggel,Boriska 3 üveggel, Cili 4 üveggel és Dóra 5 üveggel fogyasztott a sörből. Kinek ki afelesége? 13 pont

13


2000.GYAKORLATOK

1. Határozd meg azt a legkisebb természetes számot, amelyben a számjegyek összege2000. 2 pont

2. Határozd meg az f x = 2000∣2000 x∣ függvény értelmezési tartományát a valósszámok halmazán! 2 pont

3. Egy kocka éleit négy egységgel növelve a felszíne 480 egységgel növekszik. Mek-kora az eredeti kocka éle? 2 pont

4. Oldd meg az egész számok halmazán a2000

x−1999 x−2000 0 egyenlőtlenséget! 2 pont

5. Mely n pozitív egész számra lesz a 2001n22000n1999

ntört értéke is pozitív

egész? 3 pont6. Egy 2000 egység élű kocka mindegyik csúcsát levágjuk egy-egy olyan síkkal, amely

az éleket a csúcstól 2 egység távolságra metszi. Hány lapja, csúcsa és éle lesz a mara-déktestnek? 3 pont

7. Melyik az a négyjegyű pozitív egész szám, amellyel a 64043-at osztva a maradék 43,a 86032-t osztva a maradék 32? 3 pont

8. Egy háromszög oldalaira igaz, hogy a3a2cb3bc2 = a2 bab2b2 cac2c3 .Igazold, hogy a háromszög derékszögű! 3 pont

FELADATOK

I. Mi lesz az utolsó számjegye a 3200072000 összegnek? 7 pont

II. Határozzuk meg az a:b:c arányt, ha5a4b−6c :4a−5b7c: 6a5b−4c = 1: 27 :18 ! 10 pont

III. Egy természetes szám hatodik hatványának számjegyei nagyság szerint rendezve a következők: 0; 2; 3; 4; 4; 7; 8; 8; 9. Melyik ez a szám? 11 pont

IV. Legyenek a; b és c valamely háromszög oldalai, T pedig ugyanennek a háromszögnek a területe. Bizonyítsd be, hogy a2b2c2 ≥ 43T ! 12 pont

14


2001.GYAKORLATOK

1. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 3 pontx3

4 −∣x−4∣

9 =12−

x536

2. Egy szabályos háromszög magassága 20013 . Mekkora a beírt és a köré írt körök sugarainak az aránya? 1 pont

3. Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! 2 pont3x 2x12x52x−1−50x−25 = 0

4. Három egymás után következő pozitív egész szám szorzata 21-szer akkora, mint azösszegük. Melyek ezek a számok? 2 pont

5. Határozd meg az f x =1

−x22001x függvény értelmezési tartományát a valósszámok halmazán! 2 pont

6. Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az xy(x + y) + 1 = 2002 egyenletet! 3 pont

7. Számítsd ki a kifejezés pontos értékét: 726−7−26 ! 3 pont8. Melyek azok az „a” egész paraméterek, amelyekre a 4x – y = 0 és az ax + y = 1 egyen-

letekből álló egyenletrendszer gyökeinek összege: x + y > 5? 4 pont

FELADATOK

I. Igazold, hogy a b2c2−a22 4b2c2 egyenlőtlenség igaz, ha a; b és c egy három-szög oldalai! 9 pont

II. Egy háromszög oldalainak hossza 13; 14 és 15 egység. Mekkora annak a körnek a su-gara, amelynek középpontja a 14 egység hosszú oldalon van, és a kör érinti a három-szög másik két oldalát? 9 pont

III. Az x és y nemnegatív számokra igaz, hogy 5x + 6y = 150. Állapítsd meg az x + y ésaz xy legkisebb és legnagyobb értékét! 11 pont

IV. Egy téglatest élei egész számok, egyik éle 6 egység. Mekkora a másik két éle, ha atéglatest felszínének és térfogatának a mérőszáma egyenlő? 12 pont

15


2002.GYAKORLATOK

1. Határozd meg az f x =∣2002x−2002∣

x−1 függvény értékkészletét! 2 pont

2. Oldd meg az x2−16x4

= x2−5x4

x−1egyenletet az egész számok halmazán! 2 pont

3. Egy háromszög két oldala 2001 és 2002 egység. Milyen határok között mozoghat aharmadik oldal? 3 pont

4. Egy húrtrapéz területe 3 területegység, magassága 1 egység, szárainak hossza 2egység. Számítsd ki az alapok hosszát! 3 pont

5. Mennyi az a2

bc b

2

ac c

2

abkifejezés értéke, ha abc = 0 és a⋅b⋅c ≠ 0 ? 3 pont

6. Egy rombusz egyik szöge fele a másiknak. Mekkora a területének pontos értéke, ha a magassága 20023 egység? 3 pont

7. Igazold, hogy az x2x−1

x2−x1kifejezés nem egyszerűsíthető 2-vel, ha x pozitív egész

szám! 3 pont8. Egy derékszögű háromszög befogói a és b, az átfogóhoz tartozó magassága m. Iga-

zold, hogy1a2 1

b2= 1

m2! 4 pont

FELADATOK

I. Egy négyszög oldalai rendre: a; b; c és d egység hosszúak. igazold, ha a négyszög át-lói merőlegesek egymásra, akkor a2c2 = b2d 2 ! 8 pont

II. Milyen értékeket vehet fel az a2b2

abkifejezés, ha a2−4ab3b2 = 0 ? 10 pont

III. Két kör sugara 50 és 20 egység. Közös külső érintőszakaszuk másfélszer akkora, minta közös belső érintőszakaszuk. Számítsd ki a körök középpontjának távolságát! 11 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán az abc = 2 és 2ab = c24 egyenletekbőlálló egyenletrendszert! 11 pont

16


2003.GYAKORLATOK

1. Oldd meg a valós számok halmazán az x26x9

x3= x3 egyenletet! 2pont

2. Határozd meg az f x = x2−100 függvény értelmezési tartományát a valós szá-mok halmazán! 2pont

3. Oldd meg a pozitív valós számok halmazán az x23−x−23 = 12⋅x2− x −8egyenletet! 2pont

4. Egy konvex sokszög belső szögeit egy kivételével összeadjuk és 2003º-ot kapunk.Hány fokos a kimaradt szög? 2pont

5. Alakítsd elsőfokú tényezők szorzatává a következő polinomot:A = x36x211x6 2pont

6. Egy háromszög két oldala 5 és 10 egység, a 10 egységnyi oldalhoz tartozó súlyvonalhossza 5 egység. Számítsd ki a háromszög területét! 3pont

7. Legyenek x és y pozitív számok, határozzuk meg az x21x

y21y

kifejezés érték-

készletét! 3pont

8. A p valós paraméter mely értékeire van a2

x−1= 4− p egyenletek negatív gyöke? 4pont

FELADATOK

I. Oldd meg a valós számok halmazán a 3x2−6x16 = x2−2x22 egyenletet! 8pont

II. Az ABCD téglalapban AB=2,4BC. A téglalapot az A csúcsból, mint középpontból úgy nagyítjuk, hogy az új téglalap területe az eredetinek 2,25-szorosa legyen. A nagyítás következtében a téglalap átlója 13 egységgel lesz nagyobb. Mekkorák az eredeti tégla-lap oldalai? 10pont

III. Az ax2bxc = 0 a≠0 egyenlet együtthatói egész számok. Igazolt, hogy az e-gyenlet diszkriminánsa nem lehet sem 2003, sem 2002, viszont a 2001 lehet, és adj ráegy megoldási lehetőséget is! 10pont

IV. Az n, k, p pozitív egész számok közül a p prímszám a legkisebb. E három szám ösz-

szege 105. tudjuk még, hogy a 2n ; 34k ; p−1 számok számtani közepe 49. Melyek

ezek a számok? 12pont

17


2004.GYAKORLATOK

1. Határozd meg az f x =2004x

x2−2004xfüggvény értelmezési tartományát! 2 pont

2. Mennyi az a + b + c + d összeg ha a⋅b⋅c⋅d2 = 2004 , és minden betű egy-egy prímszámot jelöl? 2 pont

3. Add meg 45-nek azt a legkisebb pozitív többszörösét, amely csak a 0 és 8 számjegye-ket tartalmazza! 2 pont

4. Egy háromszög oldalai egész számok: az egyik oldala 5 egység, a másik oldala 6 egy-ség. Mekkora lehet a harmadik oldala, ha tudjuk, hogy prímszám? 2 pont

5. Egy háromszög oldalai 92 ; 122 és 152 egység hosszúak. Számítsd ki a három-szögbe írható kör sugarának pontos értékét! 2 pont

6. Az a; b; c és d számok növekedő sorrendben következő szomszédos természetes szá-mok. Igazold, hogy ab2c3 osztható d2-tel! 3 pont

7. Egy diáknak egy tanévben matematikából összesen 10 osztályzata volt, melyek közülaz alábbi nyolc volt beírva az ellenőrzőjébe: 1; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 5. Milyen jegyeket nemírt be az ellenőrzőjébe, ha a tíz osztályzat átlaga 3,2-volt? 3 pont

8. Szerencsés Dániel az 5-ös LOTTÓ növekvő sorrendbe bemondott nyerőszámait hall-gatja a hírekben. Az első nyerőszámot nem hallotta, mert éppen akkor kapcsolta be arádiót, így a 17-es 47-es és a 81-es számokat hallja. Az ötödik számot áramkimaradásmiatt nem tudta meg, de így kiáltott fel: „5 TALÁLATOM VAN!”. Legkevesebb hány szelvénnyel játszott Dani ezen a héten? 4 pont

FELADATOK

I. Az alábbi számpiramis négyzeteibe (a legalsó sort kivéve) a négyzet alatt lévő kétnégyzetben szereplő számok összegét írjuk be. Határozd meg a legalsó sorban sze-replő számok összegét! 8 pont

II. Egy téglatest élei egész számok, egyik éle 6 egység. Mekkorák az ismeretlen élek, ha felszínének és térfogatának mérőszáma egyenlő? 9 pont

III. Az ABCD derékszögű trapéz párhuzamos oldalai AB = a és CD = b, a B csúcsból in-duló belső szögfelező a merőleges AD szárat felezi. Számítsd ki a trapéz területét! 11 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán az a2b3c= 2a−12b−13c−1egyenletet! 12 pont

18


2005.GYAKORLATOK

1. Andrásnak háromszor annyi pénze van, mint Csaba pénze felének a kétharmada. Me-lyiknek van több pénze? 2pont

2. Határozd meg az f x = x26x7 függvény értékkészletét! 2pont

3. Oldd meg az egész számok halmazán ∣x−2002∣−3 = 0 egyenletet! 2pont4. Hány olyan háromszög létezik, amelynek egyik oldala 1 egység, másik oldala 2005

egység, ha az oldalai egész számok? (Az egybevágó háromszögeket nem tekintjük kü-lönbözőnek.) 2pont

5. Egy tanulónak a 9. osztály első félévében 10 osztályzata volt matematikából, melyek-ből a következőkre emlékezett: 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5. Mi lehetett a hiányzó három osztály-zata, ha tudta, hogy a tíz osztályzat átlaga 3,2? 2pont

6. Melyik az a legkisebb háromjegyű pozitív egész szám, amelyet a 2005-höz hozzáadva11-gyel osztható számot kapunk? 3pont

7. Egy ötemeletes házat hányféleképpen tudunk kifesteni, ha minden szintet vagy kékre,vagy sárgára festünk, de két kék szint nem kerülhet egymás fölé? 3pont

8. Egy háromszög a,b,c oldalaira igaz, hogy abx c

3

ab= ac

b b

3

ac. Igazold, hogy a há-

romszög egyenlő szárú vagy derékszögű! 4pont

FELADATOK

I. Egy háromjegyű szám a tízes számrendszerben xxx alakú. Milyen alapú számrend-szerben lesznek ennek a számnak a számjegyei 4x, 2x, és x alakúak? 8pont

II. Egy könyv oldalait megszámoztuk 1-gyel kezdve és 2005-tel bezárólag. Hányszor for-dul elő a számozásban az 1-es számjegy? 9pont

III. Egy háromszög két oldala 29 cm és 27 cm, a harmadikhoz tartozó súlyvonal 26 cmhosszú. Számítsd ki a háromszög területét! 11pont

IV. Egy derékszögű háromszög oldalai egész számok. Egyik befogója ab kétjegyű szám,átfogója pedig a számjegyek felcserélésével kapott kétjegyű szám. Mekkora a három-szögbe írható kör sugara? 12pont

19


2006.GYAKORLATOK

1. Mi lesz az utolsó számjegye a 200620061 kifejezésnek? Röviden indokolj! 2pont

2. Milyen számjegy írható az x helyébe, hogy a 137 és a 34x háromjegyű számok össze-ge osztható legyen 9-cel? 2pont

3. Hagyj el egy számot az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számok közül úgy, hogy a megma-radt számok átlaga 5 legyen! Melyik számot kell elhagynod? 2pont

4. Egy 36 fős társaságból elment a lányok fele, így a társaság56 részére csökkent.

Hány fiú van a társaságban? 2pont5. Egy háromszög belső szöge 28°. A másik két belső szög különbsége 20° Mekkora a

háromszög legkisebb külső szöge? 2pont6. Egy családban minden fiúnak ugyanannyi fiútestvére van, mint leánytestvére és min-

den lánynak kétszer annyi fiútestvére van, mint leánytestvére. Hány gyerek van a csa-ládban? 3pont

7. Egy pénzérmét háromszor feldobunk, mekkora annak a valószínűsége, hogy két fejetés egy írást dobunk? 3pont

8. Hozd a legegyszerűbb alakba az a2−a−2

a2−5a6kifejezést! Szabj feltételt! 4pont

FELADATOK

I. Egy háromjegyű számból levonjuk a ”fordítottját”, azaz számjegyei fordított sorrend-ben való felírásával kapott számot, és eredményül 297-et kapunk. A háromjegyű szá-mok hányad részére teljesül a feltétel? 8pont

II. Egy konvex sokszög oldalainak a számát megdupláztuk, így átlóinak a száma 600%-kal növekedett. Hány oldalú az eredeti sokszög? Mennyi az új sokszög belső szögei-nek összege? 9pont

III. Egy 12000 Ft-os rádiót valahány %-kal leértékeltek, majd egy hét múlva ismét leérté-kelték néhány %-kal, a rádió ára a második leértékelés után 10602 Ft lett. Hány %-kal értékelték le az árút, ha a leértékelés százalékos mértéke mindkét esetben pozitív egész egyjegyű szám volt? 11pont

IV. Egy körvonal két merőleges húrja a és b, illetve c és d hosszúságú darabokra osztjaegymást. Mekkora a kör sugara, ha a2b2c2d 2 = 900 ? 12pont

20


2007.GYAKORLATOK

1. Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyben a számjegyek összege 2007? 2 pont2. Egy pozitív egész szám 25%-a kisebb 25-nél, a 20%-a pedig nagyobb 15-nél. Hány

ilyen szám létezik? 2 pont3. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 10 és 16 egység hosszúak, kerülete 36 egység. Szá-

mítsd ki a területét! 2 pont


x2−121 függvény értelmezési tartományát! 2 pont

5. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 egység, a köré írható kör területe676 egység. Számítsd ki a kerületét! 3 pont

6. Adj meg három olyan valós számot – pontos értékkel – amelyek 17 -nél nagyob-

bak, de16 -nál kisebbek! 3 pont

7. Egy tanulónak a tanévben matematikából összesen 10 osztályzata volt, kiszámolta,hogy az átlaga pontosan 3,2. A következő osztályzatokra emlékezett: 1, 3, 3, 4, 4, 4, 5.Mi lehetett a hiányzó három jegye? 3 pont

8. A 3,4,5,6 számjegyekből négyjegyű számokat írunk fel úgy, hogy egy számjegytöbbször is szerepelhet. Hány különböző néggyel osztható számot képezhetünk?Indokolj! 3 pont

FELADATOK

I. Melyek azok a – tízes számrendszerbeli – kétjegyű természetes számok, amelyekreigaz, hogy a szám 17-tel nagyobb, mint számjegyeinek szorzata? 10 pont

II. Egy téglatest élei: 100cm, 70cm és 60cm hosszúak. A leghosszabb éllel párhuzamo-san, egy négyzetes oszlop alakú furatot kiveszünk belőle. A maradék test térfogata

1742 része az eredeti test térfogatának. Mekkora a maradék test felszíne? 10 pont

III. Egy baráti társaság rendszeresen játszik az 5-ös lottón. Egy alkalommal 4-es talála-tuk volt. Az első játékos kapott 20000 Ft-ot, és a maradék tized részét. A másodikjátékos kapott 40000 Ft-ot, és a maradék tized részét, és így tovább… Az osztozko-dás után kitűnt, hogy a játékosok mindegyike egyenlő összeget kapott. Mekkora volta nyeremény, és hány tagú a társaság? 10 pont

IV. Igazold, ha a, b, c, x, y, és z nullától különböző valós számok, és igaz, hogya2b2c2 = axbycz valamint, x2 y2z2 = axbycz akkor azaxb

y c

z érték állandó! 10 pont

21


2008.GYAKORLATOK

1. Melyik az a legkisebb természetes szám, amely 7-tel osztva 6, 8-cal osztva 7, vala-mint 9-cel osztva 8 maradékot ad? 2 pont

2. Egy négyzet átlója 20082 egység. Számítsd ki a kerületét! 2 pont3. Mi az utolsó számjegye az A = 22008 hatványnak? 2 pont

4. Hányféle háromszínű zászlót készíthető 5 színből, ha minden szín csak egyszer for-dulhat elő minden zászlón? 2 pont

5. Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 89 cm, a befogók különbsége 23 cm.Mekkora a köré irható kör kerületének pontos értéke? 3 pont

6. Határozd meg az f x = x−2008x−2009

függvény értelmezési tartományának legkisebb

elemét az egész számok halmazán! 3 pont

7. Oldd meg az egész számok halmazán a2008

6x−x2 0 egyenlőtlenséget! 3 pont

8. Egy 30 fős osztályban témazárót írtak matematikából: 3 jeles, 10 közepes, 5 elégséges dolgozatot írtak. Az osztályátlag 2,9 és 2,95 közé esik. Hányan írtak négyes dolgozatot? 3 pont

FELADATOK

I. Ha két természetes szám szorzatához hozzáadjuk az összegüket 2008-at kapunk. Me-lyik lehet ez a két szám? 8 pont

II. Melyek azok az ötjegyű természetes számok, amelyek négyzetszámok és köbszámokis egyben? Indokolj! 9 pont

III. Egy háromszög alakú telek oldalainak aránya 25:52:63. A telek területe 2520 m2.

a) Számítsd ki a telek kerületét!b) A tulajdonos olyan kör alakú házat szeretne építeni rá, amelynek közép-pontja egyenlő távolságra van a telek oldalaitól. Mekkora ez a távolság? 10 pont

IV. Egy konvex sokszög belső szögeinek összege p⋅180 ° , ahol p olyan 2008-nál ki-sebb prímszám, mely számjegyeinek a szorzata 243, és a két utolsó számjegyekülönböző. Hány oldalú a sokszög? 13 pont

22


2009.GYAKORLATOK

1. Melyik az a legkisebb természetes szám, amely osztható 72-vel, és csak a 0 és az 1 számjegyeket tartalmazza? Válaszodat indokold! 2 pont

2. Egy háromszög külső szögeinek az aránya 2:3:4. Mekkora a háromszög legnagyobbbelső szöge? 2 pont

3. Oldd meg a valós számok halmazán az x⋅ x8= 0 egyenletet! 2 pont4. Az ABC háromszög beírt körének a középpontja K, az AKB szög 100°-os. Mekkora

a háromszög ACB szöge? 2 pont5. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás után a dobott számo-

kat. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az így kapott kétjegyű szám néggyel oszt-ható? 2 pont

6. Egy körbe írt egyenlőszárú háromszög szára 3⋅ 2 cm. Mekkora a kör kerülete?Pontos értékkel számolj! 3 pont

7. Fessük be a pozitív egész számokat sárgára vagy kékre úgy, hogy teljesüljön az aláb-bi két feltétel: sárga + kék = kék és sárga · kék = sárga! Milyen színű a sárga · sárga? 3 pont

8. Ha összeszoroznád 1-től 2009-ig a pozitív egész számokat, hány nullára végződne aszorzat? Indokolj! 3 pont

FELADATOK

I. Határozd meg az x4 y4

x2 y2pontos értékét, ha x y = 1 és x3 y3 = 2 ! 10 pont

II. Szerencsés Szabolcs rendszeresen játszik az ötös lottón, de mindig a következő mó-don választja ki a 90 számból a megjátszandó számokat: a legkisebb két szám meg-választása után a harmadik szám egyenlő az első két szám összegével, a negyedikszám az első három szám összegével, az ötödik pedig az első négy szám összegével.Ha a lehető legnagyobbra választja a legkisebb számot, akkor mely 5 számot játsszameg a lottón? 10 pont

III. Egy derékszögű háromszög befogói: a = 5 cm és b = 12 cm. az átfogóhoz tartozó ma-gasság két háromszögre bontja az eredeti háromszöget. Mekkora a két kisebb derék-szögű háromszögre írható kör sugara? (Pontos értékekkel számolj!) 10 pont

IV. Fejezd ki az x⋅y⋅z szorzatot az a, b, c segítségével, ha x yz = a ,x2 y2z2 = b2 , x3 y3 z3 = c3 ! 10 pont

23


2010.GYAKORLATOK

1. 450 lónak és néhány kacsának összesen 2010 lába van. Hány fejük van összesen? 2 pont

2. Mi az utolsó számjegye a 2010201020100 összegnek? Indokolj? 2 pont

3. Számítsd ki az A = ab2−a−b2

abkifejezés pontos értékét, ha a = 2010 és

b = 12010 ! 2 pont

4. Oldd meg a15

x2−2010= 1 egyenletet! 3 pont

5. Határozd meg az f x =20101− x

x függvény értelmezési tartományát! 2 pont

6. Ha a és a - 2010 átlaga x, és a és a + 2010 átlaga y, akkor mennyi az x és y átlaga? 3 pont7. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás mellé a dobott szá-

mokat. Mekkora az esélye (valószínűsége), hogy az így kapott kétjegyű számokprímszámok? 3 pont

8. Igazold, hogy a háromszög derékszögű vagy egyenlőszárú, ha oldalaira igaz, hogya2 b2c4 = b4a2 b2 ! 3 pont

FELADATOK

I. Négy szám összege 4500, ha az első számhoz 2-t adunk, a másodikból 2-t elveszünk,a harmadikat megfelezzük, a negyediket pedig megkétszerezzük, ugyanazt a számotkapjuk. Melyek ezek a számok? 8 pont

II. Bizonyítsd be, hogy x5

120− x

3

24 x

30egész szám, ha x is egész! 10 pont

III. Igazold, hogy bármely háromszögben mambmc ≥ 9r , ha ma; mb és mc a három-szög magasságai, r pedig a beírható kör sugara! 10 pont

IV. Oldd meg azabcab

= 2 ;abcbc

= 65 és

abcac

= 32 egyenletekből álló egyenlet-

rendszert! 12 pont

24


2011.GYAKORLATOK

1. Igaz-e minden pozitív számra az a3−b3

a−b= a2abb2 egyenlőség? 2 pont

2. Nyolc falu között javítják az úthálózatot. Legalább hány utat kell rendbe hozni ahhoza falvak között, hogy bármely faluból bármelyik faluba javított úton tudjanak eljutni? (Röviden indokolj!) 2 pont

3. Hozd a legegyszerűbb alakra az A = x−12−2x12x−13x2

x−1törtet, ha

x≠1 ! 2pont

4. Az f x = x2 függvény grafikonjának valamely P pontjából az x tengelyre állított merőleges szakasz hossza 36 egység. Milyen távol van e pont az y tengelytől? 2 pont

5. Egy háromszög egyik belső szöge 52º. A másik két belső szög közül az egyik 20º-kalnagyobb a másiknál. Hány fokos a háromszög legkisebb külső szöge? 3 pont

6. Melyik az a legkisebb természetes szám, amely 11-gyel osztva 10, 13-mal osztva 12 maradékot ad? (Röviden indokolj!) 3 pont

7. Ha egy szám felét összeszorozzuk az ötödével, a szám 2011-szeresét kapjuk. Melyikez a szám? 3 pont

8. Hány olyan x egész szám van, amelyre az x22

x3is egész? 3 pont

FELADATOK

I. Egy szimmetrikus trapéz középvonala 2011 egység, az átlói merőlegesek egymásra.Számítsd ki a trapéz területét! 8 pont

II. Két pozitív egész szám szorzatából kivontam a számokat, eredményül 2011-et kap-tam. Melyik ez a két szám, ha a számok sorrendje nem számít? 10 pont

III. A „ZIPI KUPA” matematikaversenyen egyik alkalommal András, Bea és Cili is har-madik díjat kapott, de a pontszámuk kicsit különböző volt. A zsűri úgy döntött, hogy

differenciálja a díjakat: ha András díját 13 -ával, Beáét

38 -ával, Ciliét

25 -ével

csökkentenék, akkor egyenlő összegű utalványokat kaptak volna. Mennyit kaptakkülön-külön, ha összesen 7150 Ft volt a jutalmuk? 10 pont

IV. Egy háromszög oldalai egész számok, és c = p, amely prímszám. A háromszög a és b oldalaihoz tartozó magasságok összege egyenlő a c oldalhoz tartozó magassággal.Mekkorák a háromszög oldalai? 12 pont

25


2012.GYAKORLATOK

1. Két szám közül az egyik 1912, és tudjuk, hogy a két szám számtani közepe 1962.Melyik a másik szám? 2 pont

2. Egy termék árát először 20%-kal felemelték, majd 20%-kal csökkentették, és végülismét megemelték 25%-kal. Számítsd ki, hogy a legutolsó ár hány százaléka az ere-detinek? 2 pont

3. Két természetes szám legnagyobb közös osztója 4, a legkisebb közös többszörösük961736. Mennyi a két szám szorzata? 2 pont

4. Egy kör sugara 75 egység. Hány egység hosszúságú érintő húzható a körhöz a közép-pontjától 125 egység távolságra levő pontból? (Indoklás és számolás menete!) 2 pont

5. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva a szám tízszeresétkapjuk? 3 pont

6. Egy dobozban húsz golyó van, melyek 45 százaléka kék, a többi sárga. Mekkora an-nak a valószínűsége, hogy ha egy golyót kihúzunk, akkor az sárga lesz? 3 pont

7. Mely pozitív egész számokra lesz a 2012x21912x100

xtört értéke is pozitív

egész? 3 pont

8. Legyen x1x 2

= 100 és x pozitív szám. Mennyi az x3 1x3 -nek az értéke? 3 pontFELADATOK

I. Melyik az a abcd négyjegyű szám, amelyre abcd = 95 éscdab−abcd = 5841 ? 9 pont

II. Egy 130cm sugarú körbe olyan trapézt rajzolunk, amelynek alapjai 100 cm és 240 cm hosszúak. Számítsd ki a trapéz területét? 9 pont

III. Egy háromszög oldalaira a következő összefüggések igazak:abbc = 128 ; bcac = 135 és abac = 119 .

Hány egység hosszúak a háromszög oldalai? 11 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán az abc = 2 és c24 = 2ab egyenletekbőlálló egyenletrendszert! 11 pont

26


27


10. ÉVFOLYAM1993.

GYAKORLATOK

1. Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a a⋅ 3a2⋅ 4a3 kifejezést! pont2. Alakítsuk szorzattá az x36x211x6 polinomot! pont

3. Oldjuk meg az egyenletet: x2−x16x2 x1

36 xx3−1

=− x61−x pont

4. Egyszerűsítsük az algebrai törtet: a2−9a14

2a2−2a−4pont

5. Oldjuk meg az x2−5x72 − x−2x−3 = 1 egyenletet a valós számok halma-zán! pont

6. Oldjuk meg az x2−4x3

x2−6x8≥ 0 egyenlőtlenséget! pont

7. Létezik-e olyan racionális p paraméter, hogy a p2−5p3x2 3p−1 x 2= 0másodfokú egyenlet egyik gyöke fele a másiknak? pont

8. Oldjuk meg a valós számok halmazán az x5x−2 3 x x3 = 0egyenletet! pont

9. Oldjuk meg a valós számok halmazán a x3−4 x−1 x8−6 x−1 = 1egyenletet! pont

10. Milyen p∈R értékeknél teljesül minden valós x-re a px212x−50 egyenlőt-lenség? pont

FELADATOK

I. Igazoljuk, hogy ha a, b pozitív valós szám, akkorab2 b

a2≥ 1

a1

b . 6 pont

II. Mi a mértani helye az adott „a” alapú „ma” magasságú háromszögek súlypontjainak? 9 pontIII. Egy bizottság 40-szer ülésezett. Mindegyik ülésen 10 fő volt jelen. A bizottság bár-

mely két tagja legfeljebb egy ülésen vett együtt részt. Bizonyítsuk be, hogy a bizott-ság legalább 60 tagból áll? 10 pont

IV. Tegyük fel, hogy a takarékpénztárak annyi kamatot adnak egy évre (nettóban), ameny-nyi az infláció mértéke. Az állam a kamat 20 %-át adó fejében elvonja. Hány %-kalcsökken az állam kamatadó bevétele reálértékben, ha az infláció mértéke 25%-ról16 %-ra csökken, a betétállomány reálértéke pedig változatlan? 12 pont

V. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, ha p valós szám: x23px p2− y23 py p2 = x− y

xy = p2 13 pont

28


1994.GYAKORLATOK

1. Van-e racionális gyöke a következő egyenletnek: x1x−1 − x−1x1 = 32 ? 2 pont2. A p paraméter mely értékeire teljesül az x2−154

xp3 = 0 egyenlet gyökeire, hogy

x12 = x2 ? 2 pont

3. Oldd meg a következő egyenletrendszert: 2 pont

x3− y3 = 7x− y = 1

4. Melyik nagyobb: 3500 vagy 7300? 2 pont5. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 5:6, az átfogó 122 cm hosszú. határozd

meg az átfogónak a rábocsátott magasságvonal által levágott szeleteinek hosszát! 2 pont

6. Mutassuk meg, hogy a 372 irracionális szám! 3 pont

7. Van-e pozitív egész megoldása a következő egyenletnek: x x216 = 40 x216 ? 3 pont

8. Az 1; 2; 3;….; 9 számok valamilyen sorrendjét az a1 ;a2 ; ...a9 ; jelöli. Lehet-e aza1−1⋅a2−2⋅...⋅a9−9 szorzat páratlan? 4 pont

FELADATOK

I. Egy paralelogramma oldalai 3 és 5 egység hosszúak, egyik szöge 60°.Mekkorák amagasságai és átlói? (Megjegyzés: Az adatokat szögfüggvények használata nélkülszámítsd ki!) 7 pont

II. Oldd meg a következő egyenletet:1

x−8 1

x−6 1

x6 1

x8= 0 . 8 pont

III. Határozd meg az f : x1

x2−9x14függvény legkisebb, illetve legnagyobb érté-

két a [3;5]intervallumban! 12 pontIV. Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszög AB átfogója fölé félkört rajzolunk

(ezen rajta van a C csúcs). A háromszög A csúcsából kiinduló súlyvonal metssze afélkört a D pontban. Bizonyítsd be, hogy AD=3BD! 13 pont

29


1995.GYAKORLATOK

1. Egyszerűsítsük a következő törtet: x2−25

x27x10. 2 pont

2. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög szögfelezője olyan pontban metszi a körülírtkört, amely egyenlő távol van a háromszög másik két csúcspontjától! 2 pont

3. Igaz-e az alábbi állítást: 9−45 = 2−5 ? Miért? 3 pont

4. Mely valós x-ekre értelmezhető a xx3 kifejezés? 3 pont5. Ábrázold az x x22x1 x2−2x−1 függvényt? 3 pont6. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 10 cm, szára 16 cm hosszú. Az alappal párhu-

zamosan olyan egyenest húzunk, amely felezi a háromszög területét. Mekkorák akeletkezett trapéz oldalai? 3 pont

7. Mennyi az x2−24x8=0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege? 1 pont

8. Oldd meg az5

3x−x2≥ 2 egyenlőtlenséget! 3 pont

FELADATOK

I. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi kifejezés írható egyetlen kifejezés négyzeteként:K =2ab2c−d 2 − 3a2b3c−2d2 − 4a3b4c−3d 2 5a4b5c−4d2 6 pont

II. Egy r sugarú kör AB és CD húrja merőlegesen metszi egymást a P pontban. Bizo-nyítsuk be, hogy PA2PB2PC 2PD2 = 4r 2 . 10 pont

III. Egy természetes számot az 1-gyel nagyobb számmal megszorozva a sorozat ABCDalakú, ahol A, B, C, D különböző számjegyek. A hárommal kisebb számból kiindul-va a szorzat CABD alakú, s 30-cal kisebb számból kiindulva BCAD alakú. Melyekezek a számok? 11 pont

IV. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:x2− xy y2 = 2

x3− y3 = 4 13 pont

30


1996.GYAKORLATOK

1. Oldd meg a valós számok halmazán az x2−4x3

x2−3x8 0 egyenlőtlenséget! 2 pont

2. Egy szabályos háromszög köré írható kör sugara 4 egységgel nagyobb a beírt körsugaránál. Mekkora a háromszög oldalának pontos értéke? 2 pont

3. Határozd meg az „m” értékét úgy, hogy az x2−3mxm2 = 0 egyenlet gyökeire az x1

2 x22 = 27888112 teljesüljön! 2 pont

4. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög szára b. Mekkora a beírt kör sugaránakpontos értéke? 2 pont

5. Oldd meg a valós számok halmazán: x−25 x1996 x25= 0 ! 3 pont6. Add meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol a kifejezés értelmezhető:

x2−14x−x2 ! 3 pont7. Igazold, ha egy derékszögű trapéz átlói merőlegesek egymásra, akkor a merőleges

szár mértani közepe a párhuzamos oldalaknak! 3 pont8. Határozd meg egy r sugarú kört érintő szabályos háromszög és a körbe írható szabá-

lyos hatszög területének az arányát! 3 pont

FELADATOK

I. Oldd meg a természetes számok halmazán a 6x2−xy− y2 = 1996 egyenletet! 7 pont

II. Legyenek a; b; x és y pozitív valós számok. Igazold, hogy ekkor az

a xyb2

a xy b2

≥ 2ab2 egyenlőtlenség igaz! 9 pont

III. Bizonyítsd be, ha a; b és c egy háromszög oldalai, akkor ab2 x2b2c2−a2xc2 = 0 egyenletnek nincsenek valós gyökei! 11 pont

IV. Egy trapéz párhuzamos oldalai a és c (a>c). Mekkora annak a szakasznak a hossza,amely párhuzamos az alapokkal, és felezi a trapéz területét? 13 pont

31


1997.GYAKORLATOK

1. Egy egyenlő oldalú háromszög köré írt körén jelöljünk ki egy pontot. Mekkoraszögben látszanak ebből a pontból a háromszög oldalai? 2 pont

2. Egy háromszög oldalainak hossza: a = 7 cm, b = 6 cm, c = 5,5 cm. Határozzuk meg,hogy az fc szögfelező mekkora részekre osztja a c oldalt! 2 pont

3. Egy 30°-os derékszögű háromszög hosszabbik befogója 6 cm. Mekkora a kerületpontos értéke? 3 pont

4. Oldjuk meg a valós számok halmazán: ∣x2−2x∣ x . 3 pont5. Oldjuk meg a valós számok halmazán: x−55−x = 1 . 2 pont

6. Oldjuk meg a valós számok halmazán: x2−25x−4

0 . 3 pont

7. Az olyan derékszögű háromszögek közül, amelyek befogóinak összege 12 cm, me-lyiknek legnagyobb a területe? 2 pont

8. Határozzuk meg m-et úgy, hogy a 2x2−11xm = 0 egyenlet gyökei között a kö-vetkező összefüggés álljon fenn: 2x1−x2 = 2 ! 3 pont

FELADATOK

I. Melyik nagyobb: 1019951

1019961vagy 10

199611019971

? 6 pont

II. Határozza meg a k valós paraméter értékét úgy, hogy ap x = 5−k x2−21−k x2−2k polinom bármely x számhoz tartozó helyet-

tesítési értéke negatív legyen! 9 pontIII. Egy háromszögben két szomszédos csúcs, az átlók metszéspontja és a köré írt kör

középpontja egy körre esik. Bizonyítsa be, hogy a négyszög trapéz! 11 pontIV. Melyek azok az x, y, z pozitív egész számok, amelyekre egyidejűleg teljesül a kö-

vetkező két egyenlőség: x yz = 12

xy yzzx = 41 14 pont

32


1998.GYAKORLATOK

1. Oldjuk meg: ∣x2−2x−8∣= 7 ! 3 pont2. Növeljük az „a” oldalú négyzet minden oldalát 10 %-kal. Hány %-kal nő a területe? 2 pont

3. Határozzuk meg k értékét úgy, hogy az x2−kx−2 függvény minimuma -6 legyen! 2 pont

4. A p paraméter mely valós értékeire van az 1− px2−4px41− p = 0 egyenlet-nek legfeljebb 1 valós gyöke? 3 pont

5. Szerkesszünk derékszögű háromszöget a következő adatokból: b – a, c. 3 pont6. Szerkesszünk adott háromszögbe olyan téglalapot, melynek oldalainak aránya 1:2. 2 pont

7. Mennyi a pontos értéke a következő kifejezésnek: 3−22 ? 2 pont8. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

x y = 11x3 y3 = 341 3 pont

FELADATOK

I. Két kör metszéspontjánál húzzunk egy-egy szelőt. A szelők a köröket még továbbiegy-egy pontban metszik. Milyen négyszöget határoznak meg Az utóbbi metszés-pontok? 8 pont

II. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert:x3 y3 = 1x4 y4 = 1 9 pont

III. Az ABC hegyesszögű háromszög körülírt körének A-val átellenes pontját jelöljükÁ-val. Tükrözzük az Á-t a BC oldal felezőpontjára! Igazoljuk, hogy a tükörkép aháromszög magasságpontja! 10 pont

IV. Oldjuk meg a valós számok halmazán x-re a következő egyenlőtlenséget, ahol p valós paramétert jelöl: p−x px p . 13 pont

33


1999.GYAKORLATOK

1. Mely valós számokra igaz, hogyx4−1x2−1

0 ? 2 pont

2. Számítsd ki a pontos értékét: 219993⋅2199721996

3⋅21997−21996! 2 pont

3. Hozd a legegyszerűbb alakra: 19991999−1998− 199819991998 ! 2 pont

4. Oldd meg a valós számok halmazán: 3x1− x−1 = 2 2 pont5. Egy szabályos háromszög köré írható körének sugara 1999 egységgel nagyobb a

beírt kör sugaránál. Mekkora a háromszög oldalának pontos értéke? 2 pont

6. Határozd meg a x3− x2−2x kifejezés értelmezési tartományát! 3 pont7. Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az x2 yxy21= 2000 3 pont

8. Mely valós számokra igaz, hogy∣x1999∣x

x2000 ≥ 1 ? 4 pont

FELADATOK

I. Egy konvex négyszög átlóinak hossza 2 és 1999 egység. A négyszög szemköztioldalfelező pontjait összekötő szakaszok hossza egyenlő. Bizonyítsd be, hogy anégyszög átlói merőlegesek egymásra! Számítsd ki a négyszög területét is! 8 pont

II. Mely egész x számokra igaz, hogy 2x2− x−36 kifejezés egy pozitív prímszámnégyzetével egyenlő? 10 pont

III. Az a; b és c valós számokra igaz, hogy a + b = c – 1és ab = c2−7c10 .Az a; b és c mely értékeinél lesz maximális az a2b2 összeg? 10 pont

IV. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB = a és CD = c (a > c). Az EF szakasz pár-huzamos az alapokkal, és a trapézt úgy vágja ketté, hogy az ABEF trapéz területeaz ABCD trapéz területének harmada. Milyen hosszú az EF szakasz? 12 pont

34


2000.GYAKORLATOK

1. Egy szabályos háromszög magassága 103 . Mennyi a területe? 2 pont2. Melyik nagyobb: 32000 vagy 41600 ? 2 pont

3. A következő egyenlet egyik gyöke 2. Mennyi „a” értéke: x2ax8 = 0 ? 2 pont

4. Egy derékszögű háromszög két befogójának aránya 5:12, átfogója 26 cm. Mennyiaz átfogóhoz tartozó magasság? 2 pont

5. Milyen x értékre veszi fel a következő függvény a legkisebb értékét és mennyi az

f x = 2x2−7x18 ? 2 pont

6. Mely valós számokra értelmezhető: 2x−76−x ? 3 pont7. Legyen „n” pozitív egész szám. Az „n” milyen értékére lesz egész szám a

2n1n−3 tört? 3 pont

8. Old meg a következő egyenletet: x2 x3 x2 x2 = 8 ! 4 pont

FELADATOK

I. Bizonyítsd be, hogy ha egy négyszöget átlói egyenlő területű háromszögekre oszta-nak, akkor a négyszög paralelogramma. 7 pont

II. Egy téglalap oldalai „a” és „b”. A csúcsokból kiindulva azonos irányban egyenlőszakaszokat mérünk fel mindegyik oldalra. A felmért szakaszok végpontját össze-kötjük. Mekkorának válasszuk a kérdéses szakaszt, hogy a keletkezett négyszögterülete minimális legyen? 9 pont

III. Old meg a következő egyenletrendszert. melyre xy≥0 !x2 y4−x2 y2 = 13

x2− y22xy = 1 11 pont

IV. Az x2 pxq = 0 egyenlet két gyöke x1 és x2 . Írd fel azt a másodfokú egyenletet,amelynek gyökei: y1 = x1

2x22 ; y2 = x1

3x23 . 13 pont

35


2001.GYAKORLATOK

1. Oldd meg az egész számok halmazán a 100x120y = 2001 egyenlőséget! 1 pont2. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek összesen 35 átlója van? 2 pont


x3−2002x22001x függvény értelmezési tartományát avalós számok halmazán! 2 pont

4. Oldd meg a 4x−20 x−5−13 9x−45= 4 egyenletet! 2 pont

5. Számítsd ki a kifejezés pontos értékét: 200528004 − 2005−28004 ! 3 pont

6. Oldd meg a valós számok halmazán az x2−x2000

x2− x2001 0 egyenlőtlenséget! 3 pont

7. Egy derékszögű háromszög átfogója 8 egység, az átfogóhoz tartozó magassága23 egység. Mekkorák a befogói? 3 pont

8. Legyenek x1 és x2 az x2− x p = 0 egyenlet gyökei. Határozd meg a „p” értékétúgy, hogy az x1

3x232 = 4p1 feltétel teljesüljön! 4 pont

FELADATOK

I. Egy derékszögű trapéz érintőnégyszög is. Alapjai a és c egység hosszúak. Számítsdki a beírt kör sugarát! 8 pont

II. Legyenek a és b olyan valós számok, amelyekre igaz, hogy a > b és ab = 1. Bizonyítsd

be, hogy a2b2

a−b≥ 22 ! 9 pont

III. Igazold, ha a < b < c valós számok, akkor azx−ax−b x−bx−cx−ax−c = 0 másodfokú egyenletnek két külön-

böző valós gyöke van! 11 pontIV. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai: AD=2000 és BC=1125, a BC oldal meghosszab-

bításán van egy olyan M pont, amelyre CM=400. Milyen arányban osztja a trapéz terü-letét az AM egyenes? 12 pont

36


2002.GYAKORLATOK

1. Határozd meg az f x = x−20022002−x függvény értelmezési tartományát! 2 pont2. Oldd meg a pozitív egész számok halmazán az x

2−2xx25x13

0 egyenlőtlenséget! 2 pont

3. Egy háromszög egyik oldala 10 egység. Az oldal végpontjaiból kiinduló súlyvo-nalak 9 és 12 egység hosszúak. Számítsd ki a háromszög területét! 3 pont

4. Számítsd ki a kifejezés pontos értékét: 428163−428−163 ! 3 pont5. Az a; b és c valós számokra igaz, hogy a2b2c2 = abacbc . Bizonyítsd be,

hogy a = b = c! 3 pont

6. Mennyi a 2a2−4a3

a2−2a6tört legkisebb értéke, ha „a” egész szám? 3 pont

7. Melyek azok az n pozitív egész számok, amelyekre igaz, hogy a 2n2−n−36 kife-jezés egy prímszám négyzetével egyenlő? 4 pont

8. Egy háromszög területe egyenlő a2b2

4-gyel, ahol a és b a háromszög két oldalá-

nak hossza. Határozd meg a szögeit! 4 pont

FELADATOK

I. Határozd meg azokat az (x;y) számpárokat, amelyekre igaz, hogy:2x2− xy10 = 0x2 y2 ≤ 100

x egész szám! 8 pontII. Egy téglalap oldalainak mérőszámai páros természetes számok. A kerület és a terü-

let mérőszámainak összege 2000. Mekkorák a téglalap oldalai? 8 pont

III. Oldd meg a valós számok halmazán az x2y3z = 2 x−12y−13z−1egyenletet! 12 pont

IV. Egy háromszög két szöge β = 50° és γ = 100°. A velük szemközti oldalak b és c, aháromszög harmadik oldala: a. Bizonyítsd be, hogy ab = c2−b2 ! 12 pont

37


2003.GYAKORLATOK

1. Mely valós x értékekre értelmezhető az f x = −x28x−16x−4

függvény? 2 pont

2. Oldd meg a való számok halmazán az ∣x1∣∣x−4∣= 2003 egyenletet! 2 pont

3. Számítsd ki az x 1x értékét, hax2 1

x2= 79 ! 2 pont

4. Oldd meg a valós számok halmazán az x2 ≤∣x∣ egyenlőtlenséget! 2 pont

5. Egy háromszög egyik oldala 10 egység, a másik két oldalhoz tartozó súlyvonal 9 és12 egység. Mekkora a háromszög területe? 2 pont

6. A k mely értéke esetén lehet a 2x2 xk kifejezést szorzattá alakítani úgy, hogyegyik tényezője x + 3 legyen? 3 pont

7. Az r sugarú körbe írt hegyesszögű háromszög területe r2

2, szögei ; és . Igazold,

hogy sin 2sin 2sin 2= 1 ! 3 pont8. Legyen a; b; x és y pozitív számok. Igazold, hogy ekkor

a xbb2

a yxb2

≥ 2 ab2 mindig teljesül! 4 pont

FELADATOK

I. Az ABCD téglalap AB oldala 20, BC oldala 15 egység. A C csúcsból a BD átlóraállított merőleges talppontja legyen E. Számítsd ki az EBC-be írható kör sugarát! 8 pont

II. Egy gépkocsi utasa a kilométerkövön egy kétjegyű számot olvas le. Útját ugyan-olyan átlagsebességgel folytatva egy órával később olyan kilométerkő mellett haladel, amelyen ugyanazokat a jegyeket fordított sorrendben olvassa le. Ezután egy órá-val később olyan kilométerkőhöz érkezik, amelyen ugyanazon két jegyet látja, amitaz elsőn, de közöttük egy nullával. Milyen számokat olvasott le? 10 pont

III. Egy könyv oldalait megszámoztuk 1-gyel kezdve és 2003-mal bezárólag. Hányszorfordul elő számozásban az 1-es számjegy? 10 pont

IV. Az „EGYIPTOMI TÖRT” kifejezés olyan törtet jelent, amelynek a számlálója 1, anevezője pozitív egész szám. Hogyan lehetne felírni két „egyiptomi tört” összege-

ként a727 -et? 12 pont

38


2004.GYAKORLATOK

1. Milyen számjegyet írhatunk x helyébe, hogy a 2004 és 354x számok összege oszt-ható legyen 9-cel? 2 pont

2. Egy rombusz egyik szöge 120°-os, rövidebb átlója 2004 egység. Számítsuk ki arombusz kerületét! 2 pont

3. Határozd meg az f x =2004x

2004x− x2 értelmezési tartományát! 2 pont

4. Legyen 1 < n


2005.GYAKORLATOK

1. Mely prímszámok tartoznak az f x =1

−x220x−36 függvény értelmezési tartományába? 2 pont

2. Ha egy négyjegyű számból levonjuk számjegyeinek az összegét, lehet-e a különb-ség 2005? 2 pont

3. Egy háromszög két oldala 5, 6 egység, illetve 28,4 egység. A harmadik oldala hányegység, ha az prímszám? 2 pont

4. Egy dobozba külön cédulára írva betettem az 1,2,3,4 és 5 számkártyákat, majd –visszatevés nélkül – kihúzunk egymás után 2 cédulát és leírjuk egymás mellé a cé-dulán szereplő számjegyeket. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kapott számprímszám? 2 pont

5. Hány pozitív egész számpár megoldása van az x2− y2 = 2005 egyenletnek? 3 pont

6. Egy 36 fős társaságból elment a lányok fele, így a baráti kör az56 részére csökkent.

Hány fiú van a társaságban? 3 pont7. Hány jegyű lesz az a szám, amelyet úgy kapunk, hogy 1-től 2005-ig leírjuk egymás

mellé az egész számokat? 3 pont8. Egy téglatest testátlója 41 egység, a felszíne 344 területegység. Mekkora az egy csúcs-

ból induló élek összege? 3 pont

FELADATOK

I. Egy háromszögbe írható kör sugara 4 egység, a kör érintési pontja a háromszög egyikoldalát 6 és 8 egység hosszú szakaszokra bontja. Számítsd ki a másik két oldal hosszát! 8 pont

II. Egy háromjegyű prímszám számjegyei különbözőek, és számjegyeinek összege egymásik prímszámmal egyenlő. A két prímszám negyedik hatványainak összege 6-ravégződik. Mivel egyenlő a két prímszám szorzata? 9 pont

III. Egy háromszög két szöge: β = 50° és γ = 100°, a velük szemközti oldalak b illetve c,a harmadik oldala a. Bizonyítsd be, hogy ab = c2−b2 ! 11 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán az x652 x6x−36− 1440x−36 = 0 egyenletet! 12 pont

40


2006.GYAKORLATOK

1. Egy négyzet területe 144 cm2. Mekkora a köré írható kör sugarának pontos értéke? 2 pont2. Egy osztályban 15 tanuló ír angol dolgozatot, közülük egy tanuló 75 pontot szerzett,

a többi dolgozat pontszámának átlaga 60 pont. Mennyi a dolgozatok pontjainakátlaga? 2 pont

3. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 48 cm, a háromszög köré írható kör terü-lete 676π cm2. Számítsd ki a háromszög kerületét! 2 pont

4. Apa és a fia életkorának összege 51 év. 21 év múlva az apa kétszer annyi idős lesz,mint a fia. Hány éves volt az apa, a fia születésekor? 2 pont

5. Hány olyan ötjegyű szám van, amelynek minden számjegye páros? (A számjegyek ismétlődhetnek!) 3 pont

6. Egy négyzet kerülete 576 cm. Hogyan aránylik egymáshoz a négyzet, és a négyzet-tel azonos kerületű szabályos háromszög területe? (Pontos értékkel számolj!) 3 pont

7. Az f x = ax2bxc függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza.Ha b = – 8, akkor c-t hogyan kell megválasztanunk ahhoz, hogy a függvénynek nelegyen zérus helye? 3 pont

8. Egy pénzérmét négyszer egymás után feldobunk. Mekkora annak a valószínűsége,hogy a dobások közül legalább egy írás? 3 pont

FELADATOK

I. Egy háromszög oldalainak az aránya 27:36:45, területe 12350 m2. Mekkora a há-romszög kerülete? A háromszög mely pontja van egyenlő távolságra a háromszögoldalaitól, és mekkora ez a távolság? 8 pont

II. Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel játszik egy mérkőzést. Ha a résztvevőkszámát felére csökkentenénk, 145-tel kevesebb lenne a mérkőzések száma. Meny-nyivel csökkenne a mérkőzések száma, ha a résztvevők száma a negyedére csök-kenne? 9 pont

III. Oldd meg az x1x= y1

y és az xy−2 x y4 = 0 egyenletekből álló

egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 11 pontIV. Egy négyzetes oszlop élei cm-ben mérve 2-nél nagyobb egész számok. A hasábot

kékre festettük, majd lapsíkjaival párhuzamos síkokkal 1 cm élű kis kockákra vág-tuk szét, ekkor kiderült, hogy azon kis kockák száma, melyeknek pontosan egy lap-juk kék 78. Számítsd ki, hogy hány olyan kiskocka van, amelynek pontosan kétlapja kék! 12 pont

41


2007.GYAKORLATOK

1. Oldd meg a valós számok halmazán az x2 x−1 = 0 egyenletet! 2 pont2. Egy szabályos háromszög oldala ”a” egység. Számítsd ki a köré írható kör sugará-

nak pontos értékét! 2 pont3. Egy kocka minden élét ugyanannyi egységgel megnöveltük, így a felszíne meg-

négyszereződött. Hányszorosára növekedett a kocka térfogata? 2 pont

4. Az f x = ax2bxc függvényben b2−4ac=0 és a < 0. Add meg a függvénylegbővebb értékkészletét! 2 pont

5. Igazold, hogy ha a, b, c pozitív szám, akkor az abc 1a1b1c ≥ 9 egyen-lőtlenség mindig igaz! 3 pont

6. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás után a dobott szá-mokat. Mekkora annak a valószínűsége (esélye), hogy az így kapott kétjegyű szám négyzetszám! 3 pont

7. Igazold, hogy az n323n osztható 24-gyel, ha n páratlan pozitív egész szám! 3 pont

8. A 0, 1, 2, 3 számjegyekkel hány különböző négyjegyű páros számot tudunk felírni?Indokolj! 3 pont

FELADATOK

I. Melyek azok az ötjegyű természetes számok, amelyek négyzetszámok és köbszá-mok is egyben? 10 pont

II. Oldd meg a valós számok halmazán az x210y41 = 0 , az y2−2z−23 = 0 ésa z2−6x17 = 0 egyenletekből álló egyenletrendszert! 10 pont

III. Az ABCD négyszög AB illetve CD oldalainak felezőpontjai E és F. Az AC illetveBD átlók felezőpontjai G és H. Igazold, ha AD = BC, akkor EF merőleges GH-ra! 10 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!3x26x75x210x14 = 4−2x− x2 10 pont

42


2008.GYAKORLATOK

1. Egy kocka testátlója 20083 egység. Számítsd ki a felszínét! 2 pont2. Egy háromszög kerülete 36 cm, egy hozzá hasonló háromszögé 54cm. Mekkora a

területük aránya? 2 pont


x3 x2−6xfüggvény értelmezési tartományát a valós

számok halmazán! 2 pont

4. Egy téglalap területe 120 cm2, két oldalának számtani közepe 11 cm. Mekkorák azoldalai? 2 pont

5. Hány olyan 4-re végződő ötjegyű szám van, amely osztható 4-gyel? Indokolj! 3 pont

6. Mennyi az A = x4 y4 2

x2− y 2kifejezés legkisebb értéke, ha a kifejezés értel-

mezett? 3 pont

7. Melyik az a legkisebb p valós szám, amelyre az x2−4px2p23p−1= 0 egyen-letnek egyetlen valós gyöke van? 3 pont

8. Az x és y nem negatív valós számokra igaz, hogy 5x6y = 150 . Mennyi ekkor azxy legnagyobb értéke? 3 pont

FELADATOK

I. Hány olyan egész (x; y) számpár van, amelyre igaz, hogyx3 y3−3x26y23x12y7 = 0 ? 9 pont

II. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 x−2 x2 = 3⋅4 x2−4 egyenletet! 9 pontIII. Az ABC háromszög AB; BC és AC oldalán vegyük fel a D; E és F pontokat úgy,

hogy DE legyen párhuzamos AC-vel, EF pedig AB-vel! Az ECF háromszög területet1, az EBD háromszögé t2. Fejezd ki az ADEF paralelogramma területét t1-gyel ést2-vel! Indokolj! 10 pont

IV. Melyek azok a x természetes számok; amelyekre az x5 x41 kifejezés értékeprímszám? 12 pont

43


2009.GYAKORLATOK

1. Felírható-e a 2009 két prímszám összegeként? Válaszodat indokold! 2 pont

2. Oldd meg az x2 y2 = 2x2y−2 egyenletet a valós számok halmazán! Indokoljröviden! 2 pont

3. Oldd meg a pozitív egész számok halmazán a2x−5x−3

2 egyenlőtlenséget! 2 pont

4. Hány számjegyből áll a 2516⋅238 szorzat eredménye? Indokolj! 2 pont

5. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és leírjuk egymás után a dobott szá-mokat. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az így kapott kétjegyű szám oszthatónyolccal? 2 pont

6. Két pozitív egész szám mértani közepe 12-vel nagyobb, a kisebb számnál, számtaniközepük 24-gyel kisebb, a nagyobb számnál. Melyik ez a két szám? 3 pont

7. Egy szimmetrikus trapéz átlói merőlegesek egymásra, a magassága 2009 cm. Szá-mítsd ki a területét! 3 pont

8. Határozd meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy az x23p−5x−7p6 = 0egyenletben a gyökök négyzetösszege a legkisebb legyen. 4 pont

FELADATOK

I. Oldd meg az ∣x2 y2x y ∣= 4 egyenletet az egész számok halmazán! 10 pontII. Egy konvex négyszög oldalai rendre x – 3; x + 3; x + 7; x + 3 egység hosszúak. Ha-

tározd meg az x paraméter értékét úgy, hogy a négyszög átlói merőlegesek legyenek egymásra! Mekkorák a négyszög oldalai? 10 pont

III. Oldd meg a 2x22x2−3x5 = 13x egyenletet a valós számok halmazán! 10 pontIV. Egy derékszögű érintőtrapéz egyik szárának végpontjai a beírt kör középpontjaitól

15 cm és 20 cm távolságra vannak. Számítsd ki a trapéz oldalainak hosszát! 10 pont

44


2010.GYAKORLATOK

1. Számítsd ki a 474−72 kifejezés pontos értékét! 2 pont

2. Melyek azok az x természetes számok, melyekre a is és a+5 is prímszám? (Röviden indokolj!) 2 pont

3. Igazold, ha egy háromszög oldalaira igaz, hogy 2 ab = aca−c , ak-kor a háromszög derékszögű! 2 pont

4. Egy kocka minden élét ugyanannyival megnöveltük, így felszíne 25-ször akkora lett.Hányszorosára növekedett a kocka térfogata? 2 pont

5. Határozd meg az f x = 2010− x x−2010 függvény értelmezési tartományátés értékkészletét! 3 pont

6. A „ZIPI-KUPA” középiskolai egyéni teniszbajnokság döntőjébe hatan jutottak be: An-di, Bea, Cili, Dóri, Edit és Flóra. A versenykiírás szerint bármely két lánynak pontosanegyszer kell játszania egymással. Eddig Andi már játszott Beával, Dórival és Flórával,Bea már játszott Edittel is. Cili csak Edittel játszott, Dóri pedig Andin kívül csak Fló-rával, Edit és Flóra egyaránt két mérkőzésen van túl. Hány mérkőzés van még hátra? 3 pont

7. Egy 15 fős csoport matematikadolgozatainak az átlaga 35 pont. Hány pontos lett a 16-dik tanulónak a dolgozata, akinek pontszámával az átlag 36 pontra módosult? 3 pont

8. Igazold, ha x egész szám, akkor a7x−1

4 és az5x3

12 nem lehet egyszerre egész

szám! 3 pont

FELADATOK

I. A középiskolás sakkbajnokságon minden résztvevő pontosan egyszer játszik minden-kivel. Ha a résztvevők száma a felére csökkenne, akkor 145-tel kevesebb lenne a mér-kőzések száma. Mennyivel csökkenne a meccsek száma, ha az eredeti indulók számátnem a felére, hanem a negyedére csökkentenénk? 8 pont

II. Oldd meg a következő egyenletet:x2 x x2x7 = 5 9 pont

III. Bizonyítsd be, ha a; b és c egy háromszög oldalai, akkor ab2 x2b2c2−a2xc2 = 0 egyenletnek nincsenek valós gyökei! 10 pont

IV. Egy ABCD derékszögű trapéz A és D csúcsánál vannak a derékszögek. A trapéz alap-jai 6m és 4m hosszúak. A nem merőleges BC szár F felezőpontjából induló merőleges(f) a trapéz A csúcsán halad át. Pontos értékkel számolj!

c) Milyen hosszú az AF szakasz?d) Számítsd ki a trapéz területét! 13 pont

45


2011.GYAKORLATOK

1. Számítsd ki a kifejezés pontos értékét: 12 2312−23 2 ! 2 pont

2. Mennyi az x3−2x2 = x−2 egyenlet valós gyökeinek a szorzata? 2 pont

3. Igazold, ha egy kétjegyű természetes számot megszorzok 2-vel, és ezt a két vagy há-romjegyű számot a kétjegyű szám után írom, akkor a kapott négy vagy ötjegyű számmindig osztható 6-tal! 2 pont

4. Oldd meg a x−2011 x20112011x = 0 egyenletet a valós számok hal-mazán! 2 pont

5. Egy 25 fős osztályban a matek dolgozatok átlaga 2,96 lett. A dolgozatok közül 4 e-légtelen, 3 elégséges és 2 jeles lett. Hány közepes és jó eredmény volt? 3 pont

6. Határozd meg az A = 2x2−4x3

x2−2x6kifejezés legkisebb értékét! 3 pont

7. Hány olyan pozitív egész szám van, melyek nem elemei az f x = x3−x2−2xfüggvény értelmezési tartományának? 3 pont

8. Ha egy szabályos sokszög oldalainak a számát megkétszerezzük, akkor minden belsőszöge 15º-kal nagyobb lesz. Hány oldalú a szabályos sokszög? 3 pont

FELADATOK

I. Egy háromszögben az a; b és c oldalakkal szemben rendre α; β és γ szögek vannak.Igazold, ha α = 30º és γ = 100º, akkor ab = c2−b2 ! 8 pont

II. Igazold, ha a < b < c valós számok, akkor azx−ax−b x−bx−cx−ax−c = 0 másodfokú egyenletnek két kü-

lönböző valós gyöke van! 10 pontIII. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 15º-os. Bizonyítsd be, hogy ekkor a három-

szög területe T = 2m 2 , ahol m az átfogóhoz tartozó magasság! 10 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán az x x−2y x2−2xy5= 1 és azx−4y =−3 egyenletekből álló egyenletrendszert! 12 pont

46


2012.GYAKORLATOK

1. Mely valós számokra igaz, hogy x2−200x10000 = 100− x . Röviden indokolj! 2 pont2. Két egész szám közül az egyik 100-zal nagyobb a másiknál, szorzatuk 3846944. Me-

lyek ezek a számok? 2 pont3. Hány olyan háromjegyű szám képezhető az 1; 2; 3; 4 és 5 számjegyekből, amelyekben

csupa különböző számjegyek szerepelnek? 2 pont4. Melyek azok a hatjegyű természetes számok, amelyek négyzetszámok és köbszámok

is? 2 pont

5. Mely egész számokra igaz az x2−6x8

x2−6x9≤ 0 egyenlőtlenség? 3 pont

6. Egy négyzet és egy rombusz egyik oldala közös, a hossza 100 egység. A négyzet és arombusz területének aránya 2:1. Mekkora a rombusz magassága? 3 pont

7. Legyen x > 0; y > 0 és x + y = 1. Igazold, hogy 11x1 1y ≥ 9 ! 3 pont8. Oldd meg az egész számpárok halmazán az x3 y3−3x26y23x12y6 = 0

egyenletet! 3 pont

FELADATOK

I. Oldd meg a racionális számok halmazán az x26x 2 = x3263 egyenletet! 9 pont

II. Hozd a legegyszerűbb alakra az A =1

a a−ba−c 1

bb−ab−c 1

c c−ac−bkifejezést! 9 pont

III. Egy derékszögű trapéz érintőnégyszög is, párhuzamos oldalai a és c. Számítsd ki abeírható kör sugarát! 11 pont

IV. Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert!9x2−12xy4y2−18x12y9 = 0

x2−3xy2y2−4x5y3 = 0 11 pont

47

ElőszóBalás Marianna kolléganőnk emlékére9. évfolyam1993.GYAKORLATOKFELADATOK

1994.GYAKORLATOKFELADATOK



















10. évfolyam1993.GYAKORLATOKFELADATOK




1997.GYAKORLATOK1. Egy egyenlő oldalú háromszög köré írt körén jelöljünk ki egy pontot. Mekkoraszögben látszanak ebből a pontból a háromszög oldalai?2 pont2. Egy háromszög oldalainak hossza: a = 7 cm, b = 6 cm, c = 5,5 cm. Határozzuk meg,hogy az fc szögfelező mekkora részekre osztja a c oldalt!2 pont3. Egy 30°-os derékszögű háromszög hosszabbik befogója 6 cm. Mekkora a kerületpontos értéke?3 pont4. Oldjuk meg a valós számok halmazán:. 3 pont5. Oldjuk meg a valós számok halmazán:.2 pont6. Oldjuk meg a valós számok halmazán:.3 pont7. Az olyan derékszögű háromszögek közül, amelyek befogóinak összege 12 cm, me-lyiknek legnagyobb a területe? 2 pont8. Határozzuk meg m-et úgy, hogy aegyenlet gyökei között a kö-vetkező összefüggés álljon fenn: !3 pontFELADATOKI. Melyik nagyobb:vagy?6 pontII. Határozza meg a k valós paraméter értékét úgy, hogy apolinom bármely x számhoz tartozó helyet-tesítési értéke negatív legyen!9 pontIII. Egy háromszögben két szomszédos csúcs, az átlók metszéspontja és a köré írt körközéppontja egy körre esik. Bizonyítsa be, hogy a négyszög trapéz! 11 pontIV. Melyek azok az x, y, z pozitív egész számok, amelyekre egyidejűleg teljesül a kö-vetkező két egyenlőség: 14 pont

1998.GYAKORLATOK1. Oldjuk meg:!3 pont2. Növeljük az „a” oldalú négyzet minden oldalát 10 %-kal. Hány %-kal nő a területe?2 pont3. Határozzuk meg k értékét úgy, hogy azfüggvény minimuma -6 legyen!2 pont4. A p paraméter mely valós értékeire van azegyenlet-nek legfeljebb 1 valós gyöke?3 pont5. Szerkesszünk derékszögű háromszöget a következő adatokból: b – a, c.3 pont6. Szerkesszünk adott háromszögbe olyan téglalapot, melynek oldalainak aránya 1:2.2 pont7. Mennyi a pontos értéke a következő kifejezésnek:?2 pont8. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: 3 pontFELADATOKI. Két kör metszéspontjánál húzzunk egy-egy szelőt. A szelők a köröket még továbbiegy-egy pontban metszik. Milyen négyszöget határoznak meg Az utóbbi metszés-pontok?8 pontII. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert:

9 pontIII. Az ABC hegyesszögű háromszög körülírt körének A-val átellenes pontját jelöljükÁ-val. Tükrözzük az Á-t a BC oldal felezőpontjára! Igazoljuk, hogy a tükörkép aháromszög magasságpontja!10 pontIV. Oldjuk meg a valós számok halmazán x-re a következő egyenlőtlenséget, ahol p valós paramétert jelöl:.13 pont

1999.GYAKORLATOKFELADATOKI. Egy konvex négyszög átlóinak hossza 2 és 1999 egység. A négyszög szemköztioldalfelező pontjait összekötő szakaszok hossza egyenlő. Bizonyítsd be, hogy anégyszög átlói merőlegesek egymásra! Számítsd ki a négyszög területét is!8 pontII. Mely egész x számokra igaz, hogykifejezés egy pozitív prímszámnégyzetével egyenlő?10 pontIII. Az a; b és c valós számokra igaz, hogy a + b = c – 1és.Az a; b és c mely értékeinél lesz maximális azösszeg?10 pontIV. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB = a és CD = c (a > c). Az EF szakasz pár-huzamos az alapokkal, és a trapézt úgy vágja ketté, hogy az ABEF trapéz területeaz ABCD trapéz területének harmada. Milyen hosszú az EF szakasz?12 pont


2001.GYAKORLATOK

1. Oldd meg az egész számok halmazán aegyenlőséget!1 pont2. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek összesen 35 átlója van?2 pont3. Határozd meg azfüggvény értelmezési tartományát avalós számok halmazán!2 pont4. Oldd meg aegyenletet!2 pont5. Számítsd ki a kifejezés pontos értékét:!3 pont6. Oldd meg a valós számok halmazán azegyenlőtlenséget!3 pont7. Egy derékszögű háromszög átfogója 8 egység, az átfogóhoz tartozó magasságaegység. Mekkorák a befogói?3 pont8. Legyenek x1 és x2 azegyenlet gyökei. Határozd meg a „p” értékétúgy, hogy az feltétel teljesüljön!4 pontFELADATOK

2002.GYAKORLATOK

1. Határozd meg azfüggvény értelmezési tartományát!2 pont2. Oldd meg a pozitív egész számok halmazán azegyenlőtlenséget!2 pont3. Egy háromszög egyik oldala 10 egység. Az oldal végpontjaiból kiinduló súlyvo-nalak 9 és 12 egység hosszúak. Számítsd ki a háromszög területét!3 pont4. Számítsd ki a kifejezés pontos értékét:!3 pont5. Az a; b és c valós számokra igaz, hogy. Bizonyítsd be,hogy a = b = c!3 pont6. Mennyi atört legkisebb értéke, ha „a” egész szám?3 pont7. Melyek azok az n pozitív egész számok, amelyekre igaz, hogy akife-jezés egy prímszám négyzetével egyenlő?4 pont8. Egy háromszög területe egyenlő-gyel, ahol a és b a háromszög két oldalá-nak hossza. Határozd meg a szögeit!4 pontFELADATOK




2006.GYAKORLATOK1. Egy négyzet területe 144 cm2. Mekkora a köré írható kör sugarának pontos értéke?2 pont2. Egy osztályban 15 tanuló ír angol dolgozatot, közülük egy tanuló 75 pontot szerzett,a többi dolgozat pontszámának átlaga 60 pont. Mennyi a dolgozatok pontjainakátlaga?2 pont3. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 48 cm, a háromszög köré írható kör terü-lete 676π cm2. Számítsd ki a háromszög kerületét!2 pont4.

Documents

1993 – 2012 - Zipernowsky · 2012. 7. 25. · ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA ELŐSZÓ Köszöntöm a Kedves Olvasót, aki kezébe vette kiadványunkat, mellyel segíteni próbáljuk