BOLYAI-KNYVEK SOROZATA csaknem 40 ve indult, igen sikeres Bolyaiknyvek pldatr sorozat jjszletst li. A sorozat knyveiben a szerzk a kzpisko lai tanulknak, tovbb fiskolai s egyetemi hallgatknak adnak szerencssen vlasztott, bsges pldt, kidolgozott feladatokat. K vnatos, hogy a feladatokat mindenki igye kezzk elbb nllan megoldani, s csak utna hasonltsa ssze az eredmnyt a knyvben tallhat megoldsokkal. A sorozat hrom tmakrt lel fel: a matema tikt, a fizikt s a kmit. E knyvben a szerz a kombinatorikval, az esemnyek algebrjval, a valsznsggel, a feltteles valsznsggel, a valsznsgi vltozkkal s jellemzikkel, a fontosabb el oszlsokkal s a nagy szmok trvnyvel foglalkozik. Ajnljuk a knyvet elssorban egyetemi s fiskolai hallgatknak s azoknak a kzpis kols dikoknak, akik a reltudomnyok te rn kvnjk folytatni tanulmnyaikat.

BOLYAI-KNYVEK

SOLT GYRGY

VALSZNSGs z m t s

195 Ft (FA-val) MSZAKI KNYVKIAD

Kombinatorika: = . 2 . . ( - l ) - / i = /i! n\ k \{ n -k )\

pki, C. 2

SOLT GYRGY

VALSZNSG SZMTS1) I syk, ^ ^

n\ (n -k )\

n { n - \)

teljes esemnyrendszer: disztributiv trvnyek:

Bi Bj = O, ha i 9^j

( ij = 1, 2 ,..., A )

i=i

de Morgan-fle kpletek: A + B = AB esemnyek valsznsge: P (0 ) = 0 P (/) = J I^A-t B) = P C 4 ) + P ( ^ ) - P > '')

klasszikus valsznsgi mez: geometriai valsznsgi mez: feltteles valsznsg: teljes valsznsg ttele: Bayes-ttel: fggetlen esemnyek: eloszlsfggvny: F(x) ~ P(mis utni dobsbl ll dobssorozatokat dobunk. Hny olyan dobssorozat van, amelyben ppen egy 1-es s egy 2-es dobs fordul el (a dobssorozatban a dobsok sorrendjt is figye .......... lembe kell venni)? Az 5 egyms utni dobs 5 elemet jelent, ezekbl 2-t kell kivlasztanunk az 1-es s a 2-es dobs rszre gy, hogy a sorrend is szmt. Erre a lehe tsgek szma: Vl. i A msik 3 dobs sorn a tbbi 4 rtk fordulhat el. Itt a lehetosegek szma, mivel a szmok ismtldhetnek, s a sorrend is szmt: V t- A kt fle vla^tskor kapott lehetsgek szmt ssze kell szoroznunk:=

23. Kt jtkos bizonyos szm sakkjtszma lejtszsban egyezik meg. Az egyik jtkos utlag kri, hogy nveljk meg 1-gyel a jtszmk szmt, mert akkor a gyzelmek, dntetlenek s veresgek lehetsges vltozatai nak szma 9-cel megnne (az egyes eredmnyek sorrendjt ennl a megallapitsnl nem veszi figyelembe). Hny jtszmban llapodtak meg eredetileg? ^ Jelljk k-val az eredeti megllapods szerinti jtszmk szmt. Az egyes jtszmk eredmnye hromfle lehet, ez 3 elemet jelent, melyekbl k elem csoportok alakulnak. Itt a sorrend nem szmt, gy a klnbz csoportok szma C / Ha eggyel tbb mrkzs lenne, akkor a lehet sgek szma * volna. Felrjuk a ktfle jtszmaszmra a lehetsges vltozatok szmnak sszefggst: ir+3 k -\-2 k

C3 mskppen

- C 3 = 9, azaz

ir+1

=9,

'k + 3 ^ l 2 ;

^+^1 = 9; azaz l 2(ir+2)(ir-H )2

5 - 4*43

5.44 = 1280.

(i:+ 3)(ir+ 2)2

=9.

Teht 1280 olyan dobssorozat van, amely a feltteleknek megfelel. 22. Egy rmvel bizonyos szm dobsbl ll sorozatokat dobunk. Ha a dobssorozat dobsainak szmt 2-vel megnveljk, a klnbz sorozatok szma 384-gyel nvekszik. Mennyi dobsbl llt az eredeti dobssorozat? (A sorrend is szmt.) Jelljk A:-val az eredeti dobssorozat dobsainak szmt. Ekkor kt elembl k darabszm csoportokat kapunk, amelyekben a sorrend is szmt. Ezek szma V'K Ha a dobssorozat dobsainak szmt 2-vel nveljk, a lehetsgek szma Felrjuk a ktfle lehetsg szmanak sszefggst: yk+ 2,i_ y k ,i ^ 284, mskppen: 2c+2 = 384;

Megoldjuk az egyenletet: i-+5jt+6-(i-^+3ilr+2) = 18 2it+4 = 18 k= 1 . Teht a sakkozk eredetileg 7 jtszmban egyeztek meg. Ellenrzs: 7 jtszma esetn a vltozatok szma

c-=8 jtszma esetn viszont

3 . 2^ = 384;

2% ebbl k= 7. Vagyis a dobssorozat eredetileg 7 dobsbl llt. 40

fio^ 10.9 flO"| C^' = f3 -f8 -l^ = 45. l 8 J " l8 > A vltozatok szmnak nvekedse: 45 - 36 = 9.

41

24. Hnyfle vltozatban villanhat fel egyms utn a VITAMIN sz 7 betje a 2. bra szerinti vilgt reklmtbln, ha minden bet ktfle sznben villanhat fel, s a legfels bettl kiindulva mindig a kivilgosod bet alatti sorban lev, hozz legkzelebbi kt bet kzl az egyik villan fel?

n. ESEMlSfYEK ALGEBRJA

1. Ksrlet, esemny s ellentett esemnyA valsznsgszmts olyan jelensgekkel foglalkozik, ame lyek lnyegben azonos krlmnyek kztt tetszlegesen sokszor megismtelhetk, de kimenetelket a rgztett lnyeges tnyezkn kvl sok ms nmagban egyenknt kis hats tnyez is befolysolja. Utbbiak okozzk, hogy az ismt lsek sorn tbbfle eredmny jhet ltre. Az ilyen tpus jelensgeket, ill. megfigyelsket ltalnosabb rtelemben ksr letnek nevezzk, a ksrlet egyes lehetsges kimeneteleit pedig elemi esemnyeknek. Az esemny fogalma ltalnosabb: esemnynek neveznk mindent, amirl a ksrlet elvgzse utn eldnthet, hogy a ksrlet sorn bekvetkezett-e vagy sem. Kt esemnyt azonos nak tekintnk, ha a ksrlet minden lehetsges kimenetelekor vagy mindkett bekvetkezik, vagy egyik sem. Az esemnyek jellsre nyomtatott nagybetket hasznlunk: A, B, C ,,.., Ha az A esemny csak azokban az esetekben kvetkezhet be, amikor a B esemny is bekvetkezik, akkor azt mondjuk, hogy az A esemny maga utn vonja a B esemnyt, s ezt gy jelljk: A d B , K z A B esemny teht akkor azonos, ha A a B is s B a A is teljesl; ennek jele: A = B . Ha A c iB s B(Z.C teljesl, akkor ^ d C is teljesl. Sok esetben clszer az esemnyt azokkal az elemi esemnyekkel jellemezni, amelyek maguk utn vonjk az illet esemnyt. Egy ksrlettel kapcsolatos elemi esemnyek sszessge esemnyteret alkot. Az esemny teret T-vel jelljk. Bevezetjk a lehetetlen esemnyt, amely sohasem kvetkezik be, ennek jellse: O. rtelmezzk mg a biztos esemnyt, amely a ksrlet sorn mindig bekvetkezik, jellse: /. Azt az esemnyt, amelyik akkor s csakis akkor kvetkezik be, ha az A esemny nem kvetkezil^be, az A esemny ellentett esemnynek nevezzk, ennek jele: A, Az rtelmezsbl kvet43

2. bra Egy t kivlasztsa sorn 6 lpst tesznk lefel s erre rendre 22 lehetsgnk van. E ktfle lpsbl teht F j* lehetsges csoport hozhat ltre. Most nzzk meg, hogy egy kivlasztott tnl a sznek megvlasz tsa hnyflekppen lehetsges. Itt rendre 7 bet sznt vlaszthatjuk meg kt sznbl. Teht egy t klnfle sznezsi lehetsgeinek szma Vl'K Az utak s a sznek kivlasztsra kapott lehetsgek szmt ssze kell szoroznunlc: Teht 8192-fle vltozatban villanhatnak fel a reklm beti a felttelek nek megfelelen. 25. Valaki a lott 90 szma kzl 10-et kivlaszt s annyi szelvnyt vsrol, hogy biztos 5-s tallata legyen, ha e 10 szm kzl hzzk ki az 5 nyerszmot. Hny szelvnyre van szksge az illetnek? A kivlasztott 10 szm azoknak az elemeknek a szmt jelenti, melyek kzl minden mdon 5-t vlasztunk. Kpeznnk kell teht 10 elembl olyan 5-s csoportokat, amelyekben nincs ismtlds s a sorrend sem szmt. Az ilyen csoportok szma 10 elem 5-dosztly kombinciinak szmval egyenl: 10-9-8-7-6 10!

=(

5!5!

1-2-3-4-5

Teht 252 szelvnyt kell vsrolnia. 42

kezik, hogy az A esemny ellentett esemnye az eredeti A esemny, vagyis A = A , A lehetetlen esemny a biztos esemny ellentett esemnye: l= zO s megfordtva: 0 = 1 , Pldul a kockadobssal kapcsolatos esemnyeket vizsglva, hatfle kimenetel lehetsges aszerint, hogy hnyast dobunk. Jelljk az egyes dobst ^i-gyel, a kettest A^-wd stb. Az esemnytr teht hat elemi esemnyt tartalmaz: T = {A i, A 2 , Aq, A 4 , Aq, Aq}. Azt azjesemnyt pl., hogy nem dobtunk tst, gy jellhetjk, hogy A^, Ms esemnyek is vizsglhatk a kockadobssal kapcsolatban. Legyen pl. B az az esemny, hogy pratlan szmot dobtunk, s C az az esem ^y, hogy prosat; 3, B s C kztti kapcsolat gy fejezhet ki: S = C, vagyis B s C ellentett esemnyek e ksrletnl. Az A^ esemny, vagyis az egyes szm dobsa maga utn vonja a B esemnyt, vagyis a pratlan szm dobst, teht A^czB, Msik pldaknt tekintsnk egy dobozt, amelyben 50 fehr s 50 fekete goly van. Vgezzk azt a ksrletet, hogy kt golyt hzunk egyms utn visszatevs nlkl. A ksrlet kimenetele ngyfle lehet, ha a sorrendet is figyelembe vesszk: A: mindkt goly fehr; B: az els fehr, a msodik fekete; C: az els fekete, a msodik fehr; mindkett fekete. Az A esemny, mely A ellenttje, itt azt jelenti, hogy nem mind kt kihzott goly fehr. A bekvetkezhet B, C, D mdon. Jelljk '-vel azt az esemnyt, hogy az els kihzott goly fehr. Ha megvizsgljuk az ^ s * esemnyek kapcsolatt, azt talljuk, hogy A maga utn vonja E-t, gy A ciE , viszont E nem vonja maga utn A-t, hiszen E teljeslse esetn B is bekvetkezhet. Pnzfeldobskor tekinthetjk ksrletnek egyetlen dobs elvgzst. Ennek kimenetele ktfle lehet: fej vagy rs. Teht az esemnytr kt elemi esemnybl ll. Tekinthetnk azonban egy tzes dobssorozatot is egyetlen ksrletnek. Ekkor a fejek s rsok minden tizes hosszsg sorozata lehetsges kimenetel. Vagyis most az esemnytr 2^ elemi esemnybl ll. Legyen 44

A az az esemny, hogy mind a tz dobs fej, B pedig az,_hogy mind a tz dobs rs. Ha azt a krdst vizsgljuk, vajon A s B egyenlk-e, akkor a vlasz az, hogy nem, hiszen nem vonja maga utn ^-t. A ui. azt jelenti, hogy nem mind a tz dobs fej, ez viszont nem csak B mdon kvetkezhet be, hanem pl. gy is, hogy az els t dobs fej, a tbbi rs. Legyen tovbb C az az esemny, hogy az els kilenc dobs fej. Vizsgljuk C s A kapcsolatt. Azt talljuk, hogy A a C , vagyis A maga utn vonja C-t, de C nem vonja maga utn A-t, hiszen a tizedik dobs rs is lehet. Tegyk fel, hogy ntvnyek minsgellenrzst gy vgez zk, hogy 20-darabos tteleket vizsglunk. A ttel elfogadhat minsg, ha a kivlasztott 20 ntvnybl legfeljebb kett hibs. Jelljl^ ezt az esemnyt A -\al. Elszr nzzk meg, mit jelent itt A, A z A akkor kvetkezik be, ha a 20 ntvny kztt kettnl tbb hibsat tallunk. Tegyk fel, hogy 18 darabot vizsg41tunk meg egy ttelbl. Jelentse Bj, azt az ese mnyt, hogy az els 18-ban k hibsat tallunk. Ezzel a jellssel BqCzA, vagyis a ttel biztosan elfogadhat, /: > 2 mellett viszont B ^ dA , gy a ttel nem fogadhat el. Teht az utols kt ntvnyt csak a Bi vagy B 2 esemnyek bekvetkezse esetn kell megvizsglni.Gyakorl feladatok 1. Egy villamos utasforgalmt vizsgljuk. A villamos az egyik vglloms rl utas nlkl indul. A kvetkez esemnyeket vezetjk be: A: az els meglln felszll legalbb 5 utas, B: a msodik meglln felszll legalbb 12 utas, s nem szll le senki, a harmadik meglln az utasok szma hrom mal cskken, a negyedik megllhoz pedig 14 utas rkezik. Vizsgljuk meg, hogy B maga utn vonja-e A-i, azaz fennll-e B (zA \ I. Megolds: Azt lltjuk, hogy B nem vonja maga utn A-t. gy azt kell beltnunk, hogy ha teljeslt, attl mg fennllhat B. Tegyk fel, hogy A teljeslt, gy csak a : < 5 szm utas szllhat fel az els meglln. Viszont ha a mso dik meglln = 17-jc > 12 a felszll utasok szma, s senki se szll le, akkor B fennll. Belttuk, hogy B nem vonja maga utn A-t. II. Megolds: A B esemny defincijbl kvetkezik, hogy B teljeslhet, ha az els s msodik meglln sszesen 17 utas szll fel, mgpedig ebbl legalbb 12 a msodikon. Ez teljesthet akkor is, ha az A esemny nem kvetkezik be, mgpedig a kvetkez mdokon: az els meglln felszll 0, a mso 45

dikon 17; az elsn 1, a msodikon 16; az elsn 4, a msodikon 13. Teht B teljeslhet gy is, hogy A nem teljesl, vagyis B nem vonja maga utn A-i. 2. Egy aratbrigd ltszmnak heti alakulst vizsgljuk. A vizsglt idszakban naponta legfeljebb egy fvel gyarapodott a ltszm, de egy szer sem cskkent. A kvetkez esemnyeket tekintjk: A: az eredeti ltszm legalbb 15 f volt; C: 7 nap alatt a ltszm elrte a 22 ft. Hatrozzuk meg, mely sszefggsek igazak az albbiak kzl: a) AczC;

Il-bl 1000*1500 = 1,5 milli forint bevtel addhat, gy ezekbl sszesen 2,5 milli forinthoz juthat a vllalat. Az A teljeslshez mg szksges sszeg 2,5 milli forint, ami a III gyrtmnybl ppen 1000 darab kiszl ltsval szerezhet be, de ekkor B mr teljesl. Teht A maga utn vonja B-t, vagyis A ciB .

2. Mveletek esemnyekkelsszeads: Adott A s B esemnyek A ^-B sszegn azt az esemnyt rtjk, mely pontosan akkor kvetkezik be, ha az A s B esemnyek kzl legalbb az egyik bekvetkezik. Hasonlan rtelmezzk kettnl tbb esemny sszegt; gy +^ n bekvetkezik, ha legalbb az egyik sszeadand esemny teljesl. Az sszeads rtelmezsbl kvetkezik, hogy teljesl r a kommutativ s az asszociatv trvny, azaz A + B = B + A s A-{-(B + C) = {A + B )-h C , Szorzs: A z A s B esemny AB szorzatn azt az esemnyt rtjk, mely pontosan akkor kvetkezik be, ha mind A, mind B teljesl. Kettnl tbb tnyez esetn hasonl a szorzat rtelmezse; vagyis A iA 2 --A pontosan akkor kvetkezik be, ha az sszes tnyez esemny bekvetkezik. A szorzs rtelmezsbl addik, hogy teljesl r a kommu tativ s az asszociatv trvny, teht AB = BA s A{BC) = {AB)C. Ha 2iZ A s B esemnyek szorzata az O lehetetlen esemny, azaz AB = 0 , akkor azt mondjuk, hogy A s B kizrjk egymst. Tetszleges A esemnyre fennllnak a kvetkez sszefg gsek: A^A = A AA=^ A A -j-0 = A AO = O; A + 1 = /; AI = A.47

b) CczA;c) A=^C. a) A nem vonja maga utn C-t, hiszen pl. vl gy is teljeslhet, hogy az eredeti ltszm 15 volt; ha a ltszm ehhez kpest nem gyarapodott a ht folyamn, akkor C mr nem ll fenn. b) CczA fennll, hiszen a ltszmgyarapods legfeljebb 7, gy az eredeti ltszmnak C teljeslse esetn legalbb 2 2 - 7 = 15 fnek kellett lennie. c) Az egyenlsg akkor llna fenn, ha >4cC s CciA egytt teljeslne, de a) szerint A a C nem ll fenn, gy Ar^C. 3. Egy osztly ltszma 40, valamely tantrgybl az wgi tlaga 3,7. A kvetkez esemnyeket vegyk szemgyre: A: az osztlyban van 5-s tanul; B: pontosan 5 tanul bukott meg. Krds, hogy teljesl-e B c iA l Az osztly jegyeinek sszege 40*3,7 = 148. A B esemny alapjn ebbl 5 pont jut a bukott 5 tanulra, teht 143 pont jut a tbbi 35 tanulra. Most gy gondolkozhatunk tovbb, hogy felttelezzk az A esetet, vagyis azt, hogy nincs 5-s tanul. Ekkor a 35 tanul ltal elrhet legmagasabb pontszm akkor addik, ha minden dik ngyes je ^ e t kapott, mgpedig gy 4-35 = 140 pontot kapunk. Ez a szm nem ri el a 35 tanul tny leges sszpontszmt, teht a feltevs, hogy A fennll, megdlt. Ekkor viszont A esemnynek kell teljeslnie. Belttuk, hogy Bei A, vagyis B maga utn vonja A-t.

4. Egy gyr gpeket szllt klfldre. Hromfle gyrtmnybl kell exporttervt teljestenie. A gyrtmnyok darabra: I: 1000 Ft, II: 1500 Ft, III: 2500 Ft. A klfldi cg I-bl s Il-bl legfeljebb 10001000 darabot vesz t. A kvetkez esemnyeket vegyk figyelembe: A: az 5 milli forintos exportterv teljestse; B: a III. gyrtmnybl legalbb 1000 darab exportlsa. Hatrozzuk meg, fennll-e AczB, vagyis A maga utn vonja-e B-i\ Elszr kiszmtjuk az I s II gyrtmnyokbl elrhet exportsszeget. Az 1000 darabos fels hatr miatt I-bl 1000*1000 = 1 milli forint.46

Brmely A esemnyre s ennek A ellentettjre a kvetkezk llnak fenn: A-h A /; AA = O.

Tetszleges A, B, C esemnyekre teljesl a kvetkez kt disztributv trvny: A{B + C) = A B ^ A C s A ^ {B C ) = U + 5 )(^ + C). A z A s B esemny sszegnek ellenttjre s szorzatnak ellentettjre fennllnak a kvetkez, de Morgan-fle kpletek: A i-B = AB s A B = A + B,

Esemnyekre vonatkoz egyszerbb kifejezsek rtelmezse vagy talaktsa sok esetben elvgezhet a mveletek defincija alapjn, logikai meggondolsokkal. Bonyolultabb feladatok kapcsn azonban mr nem kerlhet el a mveleti szablyok s az alapvet sszefggsek formhs alkalmazsa. Ezrt cl szer az utbbit begyakorolni akr olyan egyszerbb feladato kon is, melyek logikai ton szintn megoldhatk. A Gyakorl feladatok megoldsaiban majd mindkt utat alkalmazzuk.Gyakorl feladatok 1. Az egsz szmok kzl vlasztunk egy szmot. Az A esemny jelentse azt, hogy a kivlasztott szm 5-tel oszthat, B pedig azt, hogy a szm zrus sal vgzdik. Vizsgljuk meg, mit jelent az a) A + B; b) AB; s c) A B esemny! a) A z A + B esemny azt jelenti, hogy a szm 5-tel oszthat, vagy zrussal vgzdik; de mivel B (zA (ha egy szm zrussal vgzdik, akkor oszthat ttel), gy A-\-B A, b) A z AB esemny akkor teljesl, ha a szm 5-tel oszthat s zrussal vgzdik. Lttuk, hogy Bei A; ennek kvetkeztben A B = B fennll. c) A z A B esemny akkor teljesl, ha a szm 5-tel oszthat, de nem vgzdik zrussal, vagyis ha 5-tel vgzdik. 2. Egy ptanyagraktrbl vaston is, teherautn is szllthatnak rut. Legyen az az esemny, hogy egy adott napon van vasti szllts, B pedig jelentse azt, hogy teherautn van szllts. Vizsgljuk meg, mit jelentenek ekkor a kvetkez esemnyek: a) b) c) d) A + B-, AB; B -A ; A; A'-,-B: AB; A + B; f) 0 J) k) l) ni) AB; AB; AB-\- B; AB + B ; +B;a

Hasonlan kettnl tbb sszeadand vagy kettnl tbb tnyez esetn^ 1 + ^ 2 + ... = A 1 A 2 ... A

es Kivons: A z A s B esemny A -^B klnbsgt gy rtelmez zk, hogy pontosan akkor kvetkezik be, ha A teljesl, de B nem; vagyis A - B ^ AB. Azt mondjuk, hogy a B^, B^,..., B esemnyek teljes esemny rendszert alkotnak, ha

1 B^-^B^~\- ... .2 . BiBj =0

= /;( / = 1 ^2, 7 = 1 , 2,

, ha

e) f) g)

vagyis ha sszegk a biztos esemnyt adja s kzlk brmely kt klnbz esemny kizrja egymst. Egy ksrlethez tartoz sszes elemi esemnyek (ha vges szmak) ilyen teljes esemny rendszert alkotnak. sszetett esemnynek nevezzk azokat az esemnyeket, melyek legalbb kt, tlk klnbz esemny sszegeknt llthatk el. Az elemi esemny nem llthat gy el minden ms esemny sszetett esemny. Minden sszetett esemny egyrtelmen bonthat fel elemi esemnyek sszegre.48

+Ab.

a) Legalbb az egyik szllteszkzn fuvaroznak. b) Vaston is, teherautn is szlltanak rut. c) Teherautn szlltanak rut, de vaston nem. d) Vaston nem fuvaroznak rut (teherautn lehet, hogy igen, de az is lehet, hogy nem). e) A vaston nem fuvaroznak s a teherautn fuvaroznak ese mnyek kzl legalbb az egyik teljesl. Teht ha teherautn fuvaroznak.4 Valsznsgszmts

49

akkor lehet, hogy fuvaroznak vaston, de az is lehet, hogy nem; ha viszont teherautn nem fuvaroznak, akkor biztosan nem fuvaroznak vaston sem. f ) Vaston szlltanak, de teherautn nem. g) Nem ll fenn, hogy legalbb az egyiken szlltanak, teht nincs szlUts. h) Nem teljesl, hogy mindkt eszkzn szlltanak, teht vagy csak az egyiken vagy egyiken sem. i) Egyik eszkzn sem szlltanak (teht ugyanaz, mint g), ami a de Morgan-fle kpletbl is kvetkezik). j ) Vagy csak vaston vagy csak teherautn- fuvaroznak. k) Vagy mindkt szllteszkzn fuvaroznak, vagy egyiken sem. l) Legalbb az egyiken nem fuvaroznak rut, teht vagy csak az egyi ken fuvaroznak vagy egyiken sem (ami ugyanaz, mint h)). m) Legalbb az egyiken vgeznek szlltst. 3. Eoy sakkjtszma eredmnyeit mint T esemnyteret tekintjk. Jell jk /1-val azt az esemnyt, hogy vilgos nyer s jB-vel azt, hogy stt gyz. r-nek milyen elemi esemnyt kell mg bevezetnnk, hogy teljes esemny rendszert nyerjnk? A teljes esemnyrendszer esemnyei sszegnek az I biztos esemnyt kell adnia. A + B azonban nem adja azt, hiszen ez valamelyik fl gyzelmt jelenti, de az eredmny dntetlen is lehet. Ezrt bevezetjk a C esemnyt, amely akkor teljesl, amikor a jtszma dntetlen. Most mr A + 3 + C ^ I tdiesl, fennll tovbb az is, hogy az egyes esemnyek pronknt kizr jk egymst; gy megalkottuk a teljes esemnyrendszert. 4. Kt szmot hzunk egyms utn az els ezer pozitv egsz szm kzl. Legyen A az az esemny, hogy az els pros, B pedig az, hogy a msodik szm pros. Jelljk C-vel azt az esemnyt, hogy a kt szm szorzata pros, D-vel pedig azt, hogy pratlan. rjuk fel C-t s D-i 2a. A s B ese mnyekkel! Kt szm szorzata akkor pros, ha legalbb egyikk pros, gy C = A + B. Kt szm szorzata akkor pratlan, ha mindkt szm pr^lan, vagyis D B. Ekkor az elbbinek ellentte teljesl, igy D C A-\-B B, ami a de Morgan-fle kpletbl is kvetkezik. 5. Kt helysg kztt hrom tvbeszlvonalon folyhat beszlgets. Jelentse A azt, hogy az els vonal hibs, B azt, hogy a msodik, C pedig azt, hogy a harmadik. Fejezzk ki C segtsgvel a kvetkez ese mnyeket : a) b) c) d) e) f) g) 50 csak az els vonal hibs; az els kett hibs, a harmadik nem; legalbb az egyik hibs; mindhrom vonal hibs; legalbb kt vonal hibs; pontosan egy vonal hibs; pontosan kt vonal hibs; 4*

h) i) j) k)

egyik vonal sem hibs; le^eljebb egy vonal hibs; legfeljebb kt vonal hibs; a msodik nem hibs, de az els s a harmadik kzl az egyik legalbb hibs. a) b) c) ASC-, ABC; A + B+C; g) A B C + ABC + ABC;

h) ABC; 0 j) k) A B C + A B + A C + b C; ABC ^ A + B + C ; B{A + C).

d) ABC; e) /) AB+AC+BC; ABC + A b c + Ab c ;

6. A szmegyenesen vlasztunk egy pontot. Jelentse A azt az esemnyt, hogy l c v < 4 ; B pedig azt, hogy 2 < a:< 9 (3. bra). Vizsgljuk meg, mely

3. bra intervallumban vlaszthatjuk meg az a helyet, hogy a kvetkez esemnyek : teljesljenek: a) A+B; e) AB; f ) +B; g) A + S ,

b) AB; c) A - B ; d) { A -B ) + (B -A );

Az intervallumokat a kvetkez egyenltlensgek hatrozzk meg: a) b) 2-=jc 0 (4. bra). Vizsgljuk meg s szemlltessk a kvetkez esemnyeket: a) \ h) 0 j) k) l) m) A + B; A +B+C; A + (B -C ); A+B+C; A -iB C + B C ); A (BC+ B C + BC )+ ABC . ) AB\ c) BC; d) AB; e) AC; f) g) ABC; ABC;

Az esemnyek a kvetkez egyenltlensgek teljeslst jelentik: a) x^+y^ m 4; b) c) x>~0 d) ) /) g) h) i) J) 52a ;2+>>2

< 4

s s

x^+y^ s 4 s S 4 s x^+y^ < 4 s jo O 4 s ;c>0 s :v>0; 5. bra gy vagy >^>0; k)

s >^>0;

< 4 vagy ;v>0; < 4 vagy x^O

^ 4 vagy x ^ -\-y ^ ^ 4 vagy

(x^O

s >^>0); vagy y ^ O ; 53

A + { B - C ) = -\-BCy

/)

A -( B C + Q = A{BC+ BC) = A(BC)

=

= A { B + C ){ B ^ -0 = A {B B ^C B + B C + C C ) = = A iB C + B C ) = A B C + A SC , gy < 4 s :^>0 vagy x^+y^ < 4 =a (i c

B nem lehet egyszerre igaz! Ha viszont a bal oldal nem kvetkezik be, akkor a jobb oldal egyik tagja sem teljeslhet, hiszen mindkettben tnye zknt szerepel A. Teht az sszefggs valban igaz! II. Megolds: A jobb oldallal a kvetkez formlis talaktsok vgezhetk el: A B + A B = A (B + B ) = A I = A, teht az egyenlsg valban fennll. Most tekintsk az AB s AB esemnyek szorzatt: (AB) {AB) = A{BA)B = A (A B )B = (AA)(BB) = AO = O. Teht a jobb oldalon valban egymst kizr esemnyek llnak. Az utbbi talaktsok sorn felhasznltuk a szorzs kommutatv s asszo ciatv tulajdonsgt. 10. Igazoljuk, hogy tetszleges kt esemny sszege kt egymst kizr esemny sszegre bonthat. Legyen a kt esemny A s B. Ekkor sszegk a kvetkezkppen alakthat t: A + B = I(A + B) = (A + A)(A-\-B) = A + AB. Itt felhasznltuk tbbek kztt a msodik disztributv trvnyt. Msrszt a szorzs asszociatv tulajdonsgt alkalmazva A(AB)-= (A A )B =o b

s >^>0; s >^^0. + b c )+ a b c =

s ;c^0

m) A (B C + B C + B C )+ A B C = A I(B + B )C + B C ] + ABC = = -{-b c ) + a b c =a c

= A iC + B )iC + C )^ A B C = = A {C + B )I+ A B C = A (B + C ) + ABC = AB+AC-\-ABC, gy vagy x^+y^ < 4 s vagy x^+y^ ^ 4 s s y ^O . Az esemnyeket sktartomnyokkal szemlltetjk (5. bra). A vonalkzott tartomnyokban vagy ezek folyamatosan kihzott hatrvonalain v laszthat a P (x,y) pont. 8. Lssuk be, hogy tetszleges A s B esemnyekre fennll A = A + AB, I. Megolds: Ha a bal oldali esemny bekvetkezett, akkor a jobb oldali is bekvet kezett, hiszen els tagja teljeslt (a msodik tagrl nem tudjuk, hogy bekvetkezett-e, de ez nem is rdekes). Ha a bal oldali esemny nem kvetkezett be, akkor a jobb oldali sem kvetkezett be, hiszen egyik tagja sem teljeslt. Teht a kt esemny valban azonos. II. Megolds: A jobb oldalbl indulunk ki s formlisan talaktjuk: A + AB = A I+ A B = A {I+ B ) ^ A I = A. 9. Mutassuk meg, hogy tetszleges A s B esemnyekre igaz A = AB+AS s hogy a jobb oldalon ll tagok egymst kizrjk. I. Megolds: Ha a bal oldal bekvetkezik, akkor a jobb oldal is teljesl, hiszen br mely B esemnyre vagy B vagy B igaz, teht ha A teljesl, akkor vagy AB vagy AB teljesl. Egyszerre AB s AB nem teljeslhet, hiszen B s 54 x^+ y^^4 s x ^ O

=o.

Teht az A-hB esemny valban felbonthat kt, egymst kizr esemny sszegre. 11. Igazoljuk, hogy tetszleges A s B esemnyek sszegt hrom, egymst pronknt kizr esemny sszegre bonthatjuk! Vgezzk ela z A-hB sszegen a kvetkez talaktsokat (az els lpst az elz feladat megoldsa sorn mr igazoltuk): A + B = A + A B = IA + A B = (B + )A + AB = A B + A B + A B . (Az talakts kzben a msodik disztributv trvnyt is alkalmaztuk.) Ezutn megmutatjuk, hogy az sszeadandk pronknt kizrjk egymst: (AB) (AB) = AABB = 0B = - O; (AB) (AB) = AAB = AO = O; (AB)(AB) = AA b B = 0 0 = 0 . (A szorzs kommutativitst s asszociatv tulajdonsgt hasznltuk fel.) Teht kt esemny sszege valban mindig felbonthat hrom, egymst pronknt kizr esemny sszegre. 55

12. Vizsgljuk meg, milyen kapcsolat ll femi 2lz A s B esemnyek kztt, ha teljesl az A B = A egyenlsg! Kt esemny egyenlsgbl kvetkezik, hogy brmelyik maga utn vonja a msikat. gy teljesl: AB C A l s A ^A B .

Ebbl kvetkezik, hogy visszahelyettestve:

A = A A 0 , tht A = 0 , gy A = L Ezeket

IB=:^0 ; B=0 ,Teht A = I s B = 0 megvlasztssal teljeslhet az egyenlsg. 16. Vizsgljuk meg, milyen A s B kapcsolata, ha A + B - AB teljesl! A kt esemny akkor s csak akkor egyenl, ha ABaA +B s A + BczAB.

A z AB rio . Az Aj^ esemny akkor teljesl, ha valamelyik tallat az sugar kr belsejbe esik. Mit jelentenek az albbi esemnyek:10 5

Teht a tallat vagy az sugar krn bell, de az rg sugar krn kvl, vagy pedig az sugar krn bell, de az r^o sugar krn kvl esik.4 4

_

^ (^2fc" '^2k +l) = k=l

k=l

2

(^2fc^2k +l) =

~ AiQ-j- A 2Aq-{- A^A^-h AgA^f -h AgAg. Teht a tallat vagy a legbels krbe, vagy Onnan szmtva minden msodik krgyr valamelyikbe esik. 28. Az Ap, Bs, Ct esemnyek rendre azt jelentik, hogy hrom kln bz knyvsorozat ktetei kzl az elsbl p, a msodikbl 5, a harma dikbl t szm knyvet vesznk. Mit jelentenek a kvetkez esemnyek: ) Ai- Bx-\rCx\ b) A,B,C^; c) Ai-rB^; d) A^B^l e) {A.B^ + A M C x .

a) O10

k =6 ~ (^7 ~ ^lo)

b)

5 ^ = 7 7

A ;

C)

k=l (^8 ^ 9 j )

B ,= A , - A , \4

^5 = ^10+ 2 (^2k ^2k +l)* k=l

a )B i= 2 Ak = Aq + At + As + Aq + Aio = A , mert AtCiAj, ha k =6 Vagyis Bi azt jelenti, hogy a tallat az sugar kr belsejbe esik. b) B^~ JJf Aj^=Aj^A2A^AtiAgA^f mert A^ciAj, ha i'^j. Teht B^ esetben a tallat az sugar kr belsejbe jut. c) B ^ ~ A tA^ = A^A s . a tallat az sugar krn bell, de az T sugar krn kvl van. g cf) B^ = {Arj Aio) (Aq Ag) = (A 7A 10) (Ag Aq) = (A^ Aio) (Ag Aq) = = (^7 ^ 10) (^8 -^9 ~ A jA q ) > A^ AgA^Q Ay As~\~ A qA x o

a) Az y 4 i+ ^ i+ C i esemny azt jelenti, hogy a hrom knyvsorozat nak legalbb az egyikbl vlasztunk egy knyvet, vagyis hogy a 3 soro zatbl legalbb egy knyvet vesznk. b) Az AiB^C^ esemny kifejezi, hogy mindhrom knyvsorozat ktetei kzl egyet-egyet vlasztunk. c) Az A^ + B^ esemny akkor teljesl, ha vagy az els sorozat ktetei kzl egyet vagy a msodik sorozat ktetei kzl hrmat vlasztunk, vagy pedig ha mindkt vlaszts megtrtnik. A harmadik sorozatbl val vlaszts nem hat ki erre az esemnyre! d) A z A 2B 2 esemny jelentse, hogy az els s a msodik knyvsorozat ktetei kzl kt-kt darabot vesznk ki. A harmadik sorozat nem hat ki az esemny teljeslsre! e) Az (y4iJ52+ / 3?i)Cl esemny mindkt tnyezjnek egyidejleg kell teljeslnie. Itt az els tnyez akkor ll fenn, ha vagy az els sorozatbl egy s a msodik sorozatbl kt vagy az els sorozatbl hrom s a m sodik sorozatbl egy ktetet vlasztunk. (Ez a kt lehetsg egymst ki zrja!) A msodik tnyez pedig a harmadik sorozatbl egy ktet ki vlasztst jelenti. 29. Hrom kszlket ellenrznk. Az A esemny azt jelenti, hogy legalbb egy kszlk hibs. A B esemny jelentse, hogy mindhrom kszlk kifogstalan. Vizsgljuk meg, mit jelentenek a kvetkez ese mnyek : a) A + B; b) AB. a) Ha legalbb az egyik kszlk hibs, akkor az A, ha egyik sem hibs, akkor a B esemny kvetkezik be, ezrt az sszegk biztosan teljesl, gy A + B = J. b) Az A B akkor ll fenn, ha mind A, mind B teljesl. Itt azonban A s B kizrjk egymst, gy A B = 0 . 61

Itt felhasznltuk, hogy AgCiAio s AgCzA^, ezrt AgAio^Ag s A^^A^Ag, 60

30. Egy kaznhzi berendezs kt kaznbl s egy gpbl ll. Az A esemny azt jelenti, hogy a gp j, a ( k = l ,2 ) esemny azt, hogy a /:-adik kazn j. A C esemny jelentse, hogy a berendezs mkd kpes, ami akkor teljesl, ha a gp s legalbb az egyik kazn j. Fejezzk ki a C s C esemnyeket a.z A s B esemnyekkel! A C esemnyt megkapjuk, ha az A esemnyt amely azt jelenti, hogy a gp j azzal az esemnnyel szorozzuk, hogy legalbb az egyik kazn j, ez B 1 + B 2, Vagyis: C = A {B^+ B^. Ezutn kpezzk a C esemnyt, vagyis azt, hogy a kaznlizi berendezs nem mkdkpes: /C i+ ^ 2) = - ^ + ( ^ 1 + ^ 2) = Vagyi s vagy rossz a gp, vagy egyik kazn sem j (azt is megengedve, hogy sem a gp, sem a kaz nok nem mkdnek!). 31. Egy hajnak egy kormnyszerkezete, ngy kaznja s kt turbi nja van. Az A esemny azt jelenti, hogy a kormnyszerkezet j, a Bj (7 = 1 , 2 , 3 , 4) esemny, hogy a y-edik kazn j, a Q (/:= !, 2) esemny pedig azt, hogy a 7c-adik turbina j. A D esemny jelentse, hogy mkd kpes a haj; ez akkor teljesl, ha j a kormnyszerkezet, tovbb leg albb egy kazn s legalbb egy turbina j. lltsuk el a s D esemnye ket az A^ Bj s Ck esemnyekkel! A haj mkdkpes, ha hrom tnyez egyidejleg fennll. Ezek a tnyezk: a kormnyszerkezet j, vagyis A; legalbb az egyik kazn j, teht Bi-hBz+Bs+ Bii legalbb egy turbina j, azaz Ci+Cg. Ily mdon D = A(B^ + B 2+ B^ + B,)(C ^+ C 2). A D esemnyt, vagyis azt, hogy a haj nem mkdkpes, a mr felrt D esemny ellentett esemnyeknt kapjuk meg, amelyet a de Morgankpletek alkalmazsval hozhatunk egyszerbb alakra:

33. Fejezzk ki az ismeretlen X esemnyt az ismert A s B esemnyekkel a kvetkez egyenlsgbl: (X + A ) + iX + A ) = B. Alkalmazzuk a bal oldal mindkt tagjra az els de Morgan-kpletet: ^ A + ^ A = B. Alkalmazzuk az els disztributv trvnyt: J f ( ^ + ^ ) = B, ebbl n= B, x^B , Mindkt oldal ellenttt vve: X=^B. 34. Egy kockt tszr egyms utn feldobunk. Jelljk -vei azt az esemnyt, hogy a 7-edik dobs 6-os. Fejezzk ki a J5j-kkel a kvetkez esemnyeket: a) az tdik dobskor kapunk elszr 6-ost ( ^ 1); b) legalbb egyszer 6-ost dobunk ( ^ 2); c) pontosan ngyszer dobunk 6-ost ( ^ 3); d) az els s a negyedik dobs 6-os, a tbbi kzl az egyik biz tosan nem 6-os (A^). a) Egyttesen fennllnak a kvetkez esemnyek: az els ngy dobs nem 6-os s az tdik 6-os. gy a keresett esemny: Ai = B i B^B^B ^B^. b) A Bj esemnyek sszegt kell vennnlc, ez kifejezi, hogy legalbb egyik teljesl:5

A-\-{Bi-jr B 2-\~B^-]r

+

= A+BiB2BqB4^-\- C1 C2 .

A 2 = 2 ^ B j = Bi + B 2+ Bq + B^ + B^, c) Az ^3 esemny t egymst kizr esemny sszege, amelyek nek mindegyike azt jelenti, hogy az t dobs valamelyike nem 6-os, a tbbi pedig 6-os: A^ = B iB 2 B^B,\B^-]r B xS 2B^B/^B^-\- BxB 2B^B^B^-\+ B2i?3 ^4 ^5 + B 2 B^ J?4^6 .

32. Egy kszlk kt rszbl ll. Az els rsz kt egysget, a msodik hrom egysget tartalmaz. Az A j (7 = 1,2) esemny azt jelenti, hogy az els rsz 7-edik egysge j, a Bj^ (^ = 1 ,2 , 3) esemny pedig azt, hogy a msodik rsz /r-adik egysge j. A kszlk mkdkpes, ha az els rsznek legalbb egy egysge, a msodik rsznek pedig legalbb kt egy sge j. rjuk fel a C esemnyt, amely azt jelenti, hogy a kszlk j, az A j s Bk esemnyekkel! A kszlk mkdshez kt tnyez egyidej teljeslse szksges. Az egyik, hogy az els rsznek legalbb egy egysge j legyen, ezt az A 1 + A 2 esemny jelenti. A msik az, hogy a msodik rsznek legalbb kt egysge j, ez az esemny BiBz+BiBq+B^B^ . A kszlk j, ha teljesl ezek szorzata: C = {Ai-\- A ^ {B1 B 2 + BiBs-\- B^B^. 62

d) Hrom esemny ll fenn egyttesen. Az egyik: az els dobs 6-os, vagyis B^, A msik: a negyedik dobs 6-os, ez B^. A harmadik: egy sszeg, amelynek tagjai azt jelentik, hogy a msodik, harmadik s tdik dobs nem mind_6-os, teht legalbb egyik dobs a hrom kzl nem 6-os, ez ^ 2+ ^ 3 + ^ 5* ^ hrom esemny szorzatt kell vennnk:

A^ B B^{B2 + ^ 3+^5)^63

35. Hozzuk egyszerbb alakra a kvetkez kifejezst: A B + C + A {B ^C ){C D ^-A ). A harmadik tag els tnyezjre a de Morgan-kpleteket alkalmaz zuk: ^ 5 + C + Z ( 5 + ( C /) + ^ ) = A B ^C + { + B + C ){C D + A) = = A B + C + { ^B C ){C D + A) = = AB-\-C+ACD-\-BCCD-^AA + ABC = A B + C + ACD + ABC. Ezutn a disztributv trvnyeket alkalmazzuk, mgpedig az els s a negyedik, ill. a msodik s a harmadik tagra. gy kapjuk: A{B+BC ) + CI+ACD = A{B+B){B-\-C) + C{I+AD) = = A I ( B + 0 + CI = A {B + C ) + C = A B + A C + C . A msodik s harmadik tagra a msodik disztributv trvnyt alkalmaz zuk. gy: A B + ( A + C ) iC + 0 = A B + (A + C )I= A B + A I+ C = = A (B + !)}= A I + C ^ A + C . Teht az eredeti kifejezst talaktsokkal v l+ C alakra egyszerst hetjk. 36. Igazoljuk, hogy az A, B s C esemnyek tetszleges megvlasztsa mellett fennll a kvetkez egyenlsg: AB-hBC-i-AC= AB-i-BC! Azt kell megmutatnunk, hogy a bal oldal harmadik tagja beolvaszthat az els kt tag sszegbe: AC = ACI = A C (B + B ) = AB-hABC, ahol A B C c BC s ABC a AB ; gy valban ABC+ BC ^ B C s A B C A B =AB. 37. Mutassuk meg, hogy hrom tetszleges esemny sszege mindig felrhat a kvetkez alakban: A + B + C = A + (B - A B ) + [C -C (A ^-B )], s hogy a jobb oldalon ll hrom esemny pronknt kizrja egymst! 64

Elszr az egyenlsgrl mutatjuk ki, hogy azonossg. A jobb oldalon ll esemnybl indulunk ki. Felhasznljuk a de Morgan-kpleteket is. A + (B - A B ) + [C -C (A + B)] = A + BAB+C C(A + B) = = A-VB{A-^B) + C[{C+{A-\-B)] A-]r BA + CAB, A ktfle disztributv trvny tbbszri alkalmazsval folytatjuk az talaktst:A + A{B+CB)=

A-\- BA-\- BB-\-CC-\-CA-\ B

A^-A{B+C){B+B)

=

A^A{B+C)I

=

= ^ + ^ ( ^ + 0 = {A + A ){A -{-B ^C ) = A + B + C . Az eredeti sszefggs bal oldaln ll esemnyre jutottunk, teht bebi zonytottuk az azonossgot. Ezutn a jobb oldali tagokrl mutatjuk meg, hogy pronknt kizrjk egymst, vagyis szorzatuk a lehetetlen esemny: A iB - A B ) = AiBAB) = A B {A + B ) = A B A + A B B = O;A[C-C(A+B)]= =

A [ CC( A+ B) ]

=

AC[C+{A-\-B)]

=

A C i C ^ A B ) = A C C + A C A B = O;

{ B -A B ) IC -C (A + B)] = BAB[CC(A + B)] = = B(A+B)[C(C+A-\-B))] = = (BA+BB)[C(C+AB)] = BA(C C+ CAB) = O. A z egyenlsg jobb oldaln szerepl hrom esemnyrl teht belttuk, hogy valban pronknt kizrjk egymst. 38. Igazoljuk, hogy tetszleges A, B s C esemnyekre az (I) A + B = B C egyenlsg akkor s csak akkor teljesl, ha (II) A ciBczC l

a) Bebizonytjuk, hogy ha a (II) kapcsolatrl feltesszk, hogy teljesl, akkor ebbl (I) kvetkezik. Az egyenlsg akkor ll fenn, ha brmelyik oldalnak bekvetkezse maga utn vonja a msik oldal teljeslst. Ha a jobb oldal, azaz BC fennll, akkor mind B, mind C teljesl s B (z A + B miatt a bal oldal is fennll. Tegyk fel most, hogy a bal oldal, vagyis A + B teljesl. Ekkor vagy A vagy B felttlenl teljesl. Ha A bekvetkezik, akkor (II) kvetkeztben B, tovbb C is teljesl, gy BC is fennll. Ha B teljesl, akkor (II) alapjn C is bekvetkezik, s ismt fennll BC. gy a jobb oldal mindkt esetben bekvetkezik. Teht (Il)-bl kvetkezik (I).5 Valsznsgszmts

65

>; Be kell mg bizonytanunk, hogy az (I) egyenlsg fennllsbl kvetkezik a (II) kapcsolat. Elszr tegyk fel, hogy az A esemny fenn ll. Ekkor A < z A + B kvetkeztben s A + B = B C teljeslse miatt A ciB C is fennll; ebbl viszont addik az A c B kapcsolat. Most tegyk fel, hogy B teljesl. Ekkor B (z A + B s A + B = BC kvetkeztben BczBC is fennll. Ebbl a. B+100(...). Ekkor N kbe gy addik: = + 30^2^+100 (.),

^ 2 P(A) = ~ = - = 0,2. n 10 b) Egy egsz szm negyedik hatvnya akkor vgzdik 1-gyel, ha ngy zete 1-gyel vagy 9-cel vgzdik. Ez viszont akkor ll fenn, ha az eredeti szm 1-es, 3-as, 7-es vagy 9-es szmjeggyel vgzdik. A kedvez vlaszt sok szma itt Jt= 4 . Ha ^-vel jelljk az esemnyt, akkor ^ 4 ^ ^ P (^ ) = - = - = 0,4. n 10 Azt kaptuk, hogy a) 0,2 a valsznsge annak, hogy egy egsz szm ngy zete s W 0,4 a valsznsge, hogy negyedik hatvnya 1-gyel vgzdjk. 9. Kt egsz szmot vlasztunk vletlenszeren az 1-tl 10 000-ig ter jed egsz szmok kzl. Hatrozzuk meg, mi a valsznsge annak, hogy szorzatuk utols szmjegye 1-es legyen! Kt egsz szm szorzatnak utols szmjegye a kt tnyez utolso szmjegyeitl fgg. Jelentse (, b) azt, hogy az els tnyez utols jegye a, a msodik pedig b. Mivel mind a, mind b a tz szmjegy kzl barme80

ahol az sszevont tagok a kt utols jegyet mr nem befolysoljk. utols jegye csak gy lehet 1, ha utols jegye is az. Ez csak a= 1 vlasz ts mellett ll fenn. Ha az a = 1 rtket vlasztjuk, akkor l + 3 0 ^ + 1 0 0 (-). Ebbl a felrsbl ltszik, hogy utols eltti szmjegye akkor s csak akkor lehet 1, ha 30Z utols kt szmjegye 10, vagyis 36 utols szmjegye 1. > Ez pedig csak gy kvetkezik be, ha 6 = 7 . Teht csak egy kedvez eset van {k= 1), mgpedig az (1, 7) szmpr. Jelljk a szban forg esemnyt .4-val. Ekkor T-T 5 Teht 0,01 a valsznsge annak, hogy egy tallomra vlasztott egsz szm kbe 11-re vgzdik. 11. Tz lapra felrjuk a tz szmjegyet. Hatrozzuk meg annak a val sznsgt, hogy kt lapot tallomra kivlasztva s egyms mell tve, a kapott szm oszthat 18-cal!6 Valsznsgszmts

81

Minden 100-nl kisebb pozitv egsz szmot megkaphatunk az adott mdon, azok kivtelvel, amelyeknek mindkt szmjegye megegyezik, teht sszesen n=90 klnbz szmot. A hzs sorn egyiknek sincs kitntetett szerepe, teht nyilvn brmelyik azonos valsznsggel lp fel. A kedvez esetek: 18, 36, 54, 72, 90; gy A:=5. A vizsglt esemnyt ^-val jelljk: k 5 1

Kedvez a vlaszts a vizsglt esemny szempontjbl, ha a hrom ki vlasztott szakasz hosszra a hromszg-egyenltlensgek teljeslnek. Ez azt jelenti, hogy kzlk brmelyik kettnek az sszege nagyobb, mint a harmadik. Meggyzdhetnk rla, hogy a hromszg-egyenltlens geknek csak a (3, 5, 7), (3, 5, 9) s (5, 7, 9) vlaszts felel meg. Vagyis /c=3. H a y4-val jelljk a szban forg esemnyt, akkor P(/ 0 ,9 kell, hogy legyen; gy a kvetkez egyenlt lensg addik: /

4+/

-0,9;

/> 0 ,9 ( 4 + /) ; /:- 3 ,6 + 0 ,9 /;0, 1 /= -3,6;

/> 3 6 . Teht legalbb 37 fehr golyt kellett a dobozba helyeznnk.

'=(?)Ezutn a szban forg esemny szempontjbl kedvez eseteket szmt juk. A 7 hibtlan laksbl 3-at kell vlasztanunk, a 3 hibsbl pedig 2 -t s ezek minden csoportostsa szba jn. gy a kedvez esetek szma: A = C |C ? = ( ) ( 3 ) . : Ha a vizsglt esemny jele A, akkor 7! p (^ = n 3! 7!5!5! 4!2!10! 512'

3. A MaxwellBoltzmaim-, a BseEinstein- s a FermiDirac-statisztika A statisztikus fizika klnbz problminak megoldsban a klasszikus valszntsgszmts krbe tartoz klnfle tpus modellek, n. statisztikk, bizonyultak hasznlhat nak. Ezeknek mindegyike golyknak dobozok kzti elosztsa knt fogalmazhat meg, s egymstl az eloszts feltteleiben, ill. az egyenl valsznsgi esemnyek megadsban kln bznek. Pldul gzmolekulkra vonatkoz szmtsokban a Max wellBoltzmann-statisztika, fotonokkal kapcsolatban a Bse Einstein-statisztika, mg elektronok, protonok, neutronok esetben a FermiDirac-statisztika hasznlata mutatkozik alkalmasnak. a) A MaxwellBoltzmann-statisztika modellje: m szm, egymstl megklnbztethet (pl. 1-tl m-ig megszmozott) golyt helyeznk el r szm dobozba oly mdon, hogy minden egyes goly helyt vletlenszeren, teht egyenl valsznsg gel vlasztjuk meg az r doboz kzl. Jellje esemnyt, hogy az els dobozba /i, a msodikba 4 / a z r-edikbe goly kerl. (Termszetesen feltesszk, hogy /j + 4 + ... 4- = w.)91

(")

3!4! 2! 10! 55

Teht a valsznsge annak, hogy pontosan 3 hibtlan s 2 hibs laksba kltznek az els napon. 25. Egy dobozban 4 piros goly volt. Legalbb hny fehr golyt kel lett a dobozba helyeznnk ahhoz, hogy ezutn tallomra hzva belle egy golyt, az 0,9-nl nagyobb valsznsggel fehr legyen? Legyen / a szksges fehr golyk szma. Ha / darab fehr golyt tettnk a dobozba, akkor abban az sszes golyk szma n = 4 + /. Ha egyet vlasztunk ezutn, akkor fehr goly kihzsra a lehetsgek szma; k=^f. 90

Az esemny valsziisgnek meghatrozshoz elszr az sszes eset szmt vizsgljuk meg. A golyk egy tetszleges elrendezst is megadhatjuk, hogy a dobozokat is megszmozzuk 1-tl r-ig, s minden goly sorszma mell odarjuk, hogy az illet goly hnyadik dobozba kerlt. gy a dobozok lehetsges sorszmbl egy m elem ismtlses varicit kapunk. Statisztiknk alapfeltevse ppen az, hogy az gy kapott elhelyezsek mind egyformn valsznek. Az sszes eset szma teht n= = r.

Az egyes kzk rendre egy-egy doboznak felelnek meg, s a kztk lev golyk adjk meg, hny goly kerl a dobozba. Mivel lehet res doboz is, vlaszfalak egyms mell is kerl hetnek. A golyk s a vlaszfalak sszesen m + r ~ l helyet foglalnak el. E helyekbl a vlaszfalak szmra r 1 vlaszt hat tetszlegesen. Teht az sszes elhelyezkedsi lehetsget gy kapjuk, hogy m + r elem (r l)-edosztly kombincii nak szmt vesszk:

Kedvezk azok a sorozatok, amelyekben az els doboz pontosan /i-szer, a msodik /g-szr, az r-edik /,-szer szerepel (hiszen ez jelenti azt, hogy pl. az els dobozban goly van). A kedvez sorozatok teht az li db 1-es, az 4 db 2-es, stb. az /, db r ismtldses permutcii, amelyeknek szma; k = P\ mi

Mivel a kedvez lehetsgek szma fc = l, teht egy bizonyos golyeloszls valsznsge:

...........

gy a vizsglt esemny valsznsgep /J >

1 r" '

..... ~ /jl/a! /,!

b) A BseEinstein-statiszika modellje: m szm, egyms tl meg nem klnbztethet golyt helyeznk el r szm dobozba. Az elhelyezst vletlenszeren, vagyis egyenl val sznsgekkel vlasztjuk ki az sszes megklnbztethet elhelyezs kzl. (Mivel a golyk nem klnbztethetk meg, teht kt elhelyezs csak akkor tekinthet klnbznek, ha vannak olyan dobozok, amelyek e kt elhelyezskor klnbz szm golyt tartalmaznak.) Jellje most is ugyanazt az esemnyt, mint az elbb. Ennek valsznsgt szmtjuk ki. Az sszes lehetsges golyeloszls szmt keressk. Gondolat ban az m golyt egy sorba rakjuk, ezutn a golysor kt szlre egy-egy hatrfalat, ezek kz pedig tetszlegesen tovbbi r 1 vlaszfalat hzunk. Az egyik hatrfaltl kiindulva, a vlaszfalak s a msik hatrfal r darab kzt hatroznak meg.92

c) A PermiDirac-statisztika modellje: m szm, egymstl meg nem klnbztethet golyt r (r ^ m ) szm dobozba helyeznk el, mgpedig gy, hogy egy dobozba legfeljebb egy goly kerlhet. A megklnbztethet elhelyezsek kzl vletlenszeren vagyis azonos valsznsgekkel vlaszt hatunk. Legyen A,^,^ most is az az esemny, mint az elzk ben, ahol most az l, szmok mindegyike csak 0 vagy 1 lehet. Kiszmtjuk ennek az esemnynek valsznsgt. Az sszes lehetsgek szmt gy kapjuk, hogy az r szm dobozbl tetszlegesen kivlasztunk m-et, amelyekbe golyk kerlnek, vagyis r elem wi-edosztly kombinciinak szmt vesszk:

Egy meghatrozott elhelyezkeds csak egyfle mdon kvet kezhet be, gy a kedvez esetek szma A = 1. Teht egy bizonyos : golyelhelyezs valsznsge:1

93

A kvetkez Gyakorl feladatok csak a statisztikk illusztr lsra szolglnak, ezrt ahol szksges, elre elquk, hogy melyikkel kell szraolni.Gyakorl feladatok 1. 1 0 sportol rszre 3 ltzhelyisg ll rendelkezsre. Mindegyik spor tol vletlenszeren vlaszt egy-egy ltzt. Mi a valsznsge annak, hogy az els ltzt 3, a msodikat 5, a harmadikat 2 sportol vlasztja? A kivlaszts mdszerbl kvetkezik, hogy a MaxwellBoltzmannstatisztika alapjn kell szmolnunk. A vizsglt esemnyt ^-val jelljk. A sportolk szma m =10. Az ltzhelyisgek szma r= 3 . Az ltzkbe rendre /i= 3 , h = 2 sportol kerl. gy az A esemny valsznsge: m\ 1 P (^ ) = h \ h \ k \ r ^10! 1

A cukrok szma m = 6, a csszk szma r = 10. Az ^ esemny valsznsge teht:

P (4-

'

10! 'eA\

'

10-9.8-7

210

Vagyis a meghatrozott eloszts valsznsge

210

3!5!2! 3^

4. Egy moziban 20 sor van. A pnztrnl 6 ember akar ugyanarra az eladsra jegyet vltani. H a a nzk mindegyik sort ugyanolyan gyakran szoktk vlasztani, akkor mi a valsznsge annak, hogy mind a 6 ember egyazon kivlasztott sorba kr jegyet? A feladatbl kvetkezik, hogy a MaxwellBoltzmann-statisztikt kell hasznlnunk, mgpedig a jegyvsrlk szma /w= 6, a sorok szma r = 20. Teht 6! 1 1P (^20 0

Teht a vizsglt esemny valsznsge kb. 0,043. 2. Egy tehervonat 3 kocsijra 8 egyforma ldt kell felrakni. A ldk sztosztsa tetszleges. Mi a valsznsge annak, hogy a kocsik kzl az elsbe 1, a msodikba 2, a harmadikba 5 lda kerl, ha a) mindegyik ldt vletlenszeren rakjk fel a 3 kocsi egyikre; b) gy rakjk fel a ldkat, hogy BseEinstein-statisztika felttelei teljeshiek? a) A feladatbl kvetkezik, hogy a MaxwellBoltzmann-statisztika alapjn kell szmolnunk. Mivel m = 8 s r= 3 , teht8!

* ****

0) = --------------------- =

6 ! 0 !0 ! ... 0 ! 20

20

.

1

6-7-8 1 2 38

56 2187

5. Egy ruhatri fogassoron 8 kabtot helyeztek el egyms utni szmozssal. Mi a valsznsge annak, hogy a kabtok kzl elbb a prat lan szmmal jellteket vltjk ki? Ha az els ngy vendg ltal leadott ruhatri jegyeket golyknak tekintjk, a rajtuk feltntetett sorszm fogast pedig a doboznak, ahov kerkiek, akkor nyilvn PermiDirac-statisztikrl van sz, ahol r = 8 s /w=4, s egyetlen golyelhelyezs valsznsgt keressk. Vagyis

1!2!5! 3

0,025.

P (4-

b) Ha a BseEinstein-statisztikt kell hasznlnunk, akkor az ^ 1 ,2,5 eloszts valsznsge mint brmely ms eloszts 1 1 1

0 C )

8!

'

8 -7.6-5

70

ilT

Teht a valsznsge annak, hogy a pratlan szmmal jellt kab

r r ) f i - )=10-9 45

10!

tokat vltjk ki elbb.6. Egy hromemeletes szllodnak emeletenknt 12 szobja van. Egy idpontban ppen 10 szobban vannak vendgek. Ha minden j vendg szmra vletlenszeren vlasztanak ki egyet az ppen res szobk kzl, akkor mi a valsznsge annak, hogy az els emeleten minden szoba res? A feladatbl kvetkezik, hogy a PermiDirac-statisztikt kell hasz nlnunk. Jelljk a vizsglt esemnyt ^-val. A szllodai szobk szma r=36. A foglalt szobk szma /w=10. Az sszes lehetsgek szma:

0

8! 2 !

0,0222.

3. 10 feketekvs csszbe sszesen 6 darab kockacukrot tp z i^ gy, hogy minden csszbe legfeljebb egy cukrot dobunk. Mi a valszn sge annak, hogy ngy szemly, aki keseren szereti a fekett, vletlenl ppen a ngy cukor nlkli kvt vlasztja? A feladatbl kvetkezik, hogy a PermiDirac- statisztikt kell hasz nlnunk. Jelljk az adott vlasztsnak megfelel egyetlen elosztst ^-val.

94

95

A z A esemny szempontjbl azok az elhelyezsek kedvezk, amikor a 10 foglalt szobt a 2. s 3. emeleten lev 24 szobbl vlasztjuk; ezeknek szma:

betegek elosztsa a rendelsek kztt a BseEinstein-statisztika szerint megy vgbe? BseEinstein statisztikrl van sz, ahol r = 1 0 s w = 20 . A kln bz elosztsok szma:

A z A esemny valsznsge gy A vizsglt A esemny szempontjbl kedvez minden olyan eset, ahol ktfle szakrendelsre nincs jelentkez. E kett a 10-fle szakrendelsbl = vlaszthat ki. Ekkor a tbbi szakrendels szma ^ f2 = 8, amelyeknek mindegyikre legalbb egy beteg jut, s ezen az egy betegen kvl mg t = m - s = 2 0 - S = 12 beteg oszlik el kzttk; ez pedig f / + - n _ fl2 + 8 - n

Teht kb. 0,0077 a valsznsge annak, hogy a szlloda els emeletn minden szoba res. 7. Egy szmedence vgn 8 rajtk van. A versenyen 6 sz indul, s sorsolssal dntik el, hogy ki melyik rajtkrl indul. Mi a valszn sge annak, hogy a hrmas krl nem indul versenyz? Mivel a 8 rajtk kzl 6-ot gy vlasztanak ki, hogy brmely vlaszts egyenlen valszn, nyilvn FermiDirec-statisztikrl van sz, mgpedig r = 8 s m = 6. A vizsglt esemnyt jelljk A-\s. Elszr az sszes lehet vlasztsok szmt hatrozzuk meg, ami U J* Ezutn a kedvez eseteket tekintjk. Ekkor a hrmas k res, vagyis a felhasznlhat rajtkvek szma r - 1 = 7 . gy a 6 versenyz elhelyez kedsi lehetsgeinek szma:

U-1

)-[

8-1 J ( 7 .

_ ( i9 \

flekppen lehetsges. gy a kedvez esetek szma:

Az A esemny valsznsge:

n

(?)

A vizsglt betegeloszls valsznsge teht kb. 0,23. 9. Egy ptszeti plyzatra 30 jeligs plyam rkezik. Ezeket berke zsk sorrendjben megszmozzk. A brl bizottsg 8 tag. Mindegyik zsritag egy-egy plyamre szavaz az rtkelskor. Mi a valsznsge annak, hogy ten a 14-es, ketten a 29-es s egy zsritag a 6-os sorszmra szavaznak, ha feltehetjk, hogy a szavazatok minden lehetsges eloszlsa a plyzk kztt egyformn valszn? A feladat feltteleibl kvetkezen a BseEinstein-statisztikval sz molunk. Az adott rtkelsnek megfelel egyetlen szavazatelosztst jelljk Aval. A plyamvek szma r= 3 0 ; a zsritagok szma m = 8. A meghatro zott A esemny valsznsge: P (^ ) =1 1 1 2 , 6 *1 0 -.

Az A esemny valsznsgt most mr felrhatjuk: 7! 6!2!

V{A)

6! 1!

8!

Teht a valsznsge annak, hogy a versenyzk resen hagyjk a 4 hrmas rajtkvet.8. Egy orvosi rendelintzetben 10 klnbz szakrendels van. A

( 8 + 3, - , )

(3 ,^

rendelsi id kezdettl szmtva fl ra alatt 20 beteg rkezik. Mi a valsznsge annak, hogy ppen ktfle szakrendelst nem vesznek ignybe ezek a betegek, ha az eddigi tapasztalatok azt mutatjk, hogy a7

Teht az adott szavazatmegoszls valsznsge kb. 2,6*10".Valsznsgsztnts

96

97

10. Egy lverseny valamely futamban 6 l indul, sszesen 22 fogadst ktnek a futam gyztesre. Mi a valsznsge annak, hogy az tdik helyen indul lra legfeljebb egy fogadst ktnek, ha a tapasztalat szerint a BseEinstein-statisztikval kell szmolnunk? Jelljk a vizsglt esemnyt ^-val. A fogadsok szma w =22, az mdul lovak szma r = 6. Az sszes lehetsges elosztsok szma:

negyedik csald kapja. Ezek mindegyiknek nyilvn egyenl a valszn sge, ezrt ~ ^(^5,0,0,0)+P(^0,5,0,0) + P(^0,0,5,0) + P(-^0,0,0,S) = = 41

5!

1

1 4*

1

5!0!0!0! 4

256'

Teht a valsznsge annak, hogy egyetlen csald kapja az sszes Most a szmunkra kedvez elosztsokat vizsgljuk. Az A esemny ltre jhet gy, hogy egyetlen fogadst sem ktnek az tdik lra. Ekkor j = r - 1 = 5 lra m=22 fogads trtnik. A fogadsok klnbz meg oszlsainak szma ez esetben: levelet. bj Most BseEinstein-statisztikval kell szmolnunk. Az sszes lehetsges levlmegoszlsok szma:

Az A esemny gy is bekvetkezhet, hogy ppen egy fogadst ktnek az tdik l gyzehnre. Ekkor s = r - 1 = 5 lra = m - 1 = 21 fogadst ktnek. Ebben az esetben a lehetsges klnbz megoszlsok szma:

Az A esemny szempontjbl kedvez eset, amikor valamely csald kapja az sszes levelet. gy a kedvez esetek szma: /c=4. A z A esemny valsznsge:

Az A esemny szempontjbl kedvez esetek teljes szma teht:8!

k ^ k r + k , = p 4 ) + (^4)Mivel mindegyik fogadseloszts egyenlen valszn, az A esemny valsznsge t P (^ ) _ . ' n

4.3-2 8-7-6

1

14'

Teht a valsznsge annak, hogy egyetlen csaldnak jut az sszes levl.

(?)+(?) -i (?)

0.34.

Teht kb. 0,34 a valsznsge annak, hogy legfeljebb egy fogadst ktnek az tdik l gyzelmre. 11. Egy dlben 4 csald nyaral. Egyik nap a posts 5 levelet hoz. Mi a valsznsge annak az A esemnynek, hogy az sszes levelet egy csaldnak rtk ha feltehetjk, hogy a) mindegyik rkez levl egyforma valsznsggel szl brmely csaldnak; b) a leveleknek a csaldok kzti megoszlsa a BseEinstein-statisztikt kveti? a) Bz esetben a feladatbl kvetkezen MaxwellBoltzmann-statisztikrl van sz. Ngy klnbz megoszlsa a leveleknek kedvez szmunkra: az sszes levelet az els csald, a msodik, a harmadik, 98

12. Egy felvon a fldszintrl 7 szemllyel indul felfel. Az plet 10 emeletes. Ha minden emeleten egyforma szm szoba van, s mindenkit lifttel szlltanak, akkor feltehet, hogy az utasok azonos valsznsg gel szllnak ki brmelyik emeleten. Mi a valsznsge ez esetben annak, hogy e 7 utas kzl egyik emeleten sem szll ki egynl tbb? Mivel tbben is kiszllhatnak egy emeleten, s mindegyik azonos valsznsggel szll ki brmely emeleten, a MaxwellBoltzmann-statisztika alapjn szmolunk. Jelljk a vizsglt esemnyt ^-val, az utasok szma m = 7, az emeletek szma r=10. Az A esemny bekvetkezik, ha 7 emeleten egy-egy utas szll ki, a tbbin pedig egy sem. Ez a 7 emelet a10 emeletbl |^^j-flekppen vlaszthat meg. Nyilvn minden ilyen

esemnynek egyforma a valsznsge, hiszen egy emelet s egy utas .... esemny valsznsgnek kpletben sincs kitntetve (az 99

csak a nevez tnyezinek sorrendje cserldik fel.) gy elegend csak egyikket kiszmtani. Vagyis pl.

P(^) = (^7 P (^1,1,1,1,1,1,1,0 ,0 = ^) ,0 )10! 7! 1 713! 1!1!...1!0!0!0! 10^ 4-5-6*7-8-9 10 3-T-9 5"

2. Egy / hosszsg szakasz egyik vgpontja P. Ezen a szakaszon kt pontot vlasztunk tallomra, vagyis gy, hogy a szakasz brmely rszbe ess valsznsge arnyos a rsz-szakasz hosszval. Legyenek ezek a s R pontok. Hatrozzuk meg annak a valsznsgt, hogy a Q pont kzelebb van a P-hez, mint az P-hez!

4. Geometriai valsznsgi mez Ha egy ksrlettel kapcsolatos esemnyek egy geometriai alak zat rszhalmazainak feleltethetk meg gy, hogy az egyes ese mnyek valsznsge az esemnyhez rendelt rszhalmaz geo metriai mrtkvel arnyos, akkor az esemnyek valsznsgei geometriai valsznsgi mezt alkotnak; a valsznsgeket geometriai valsznsgeknek nevezzk. Legyen A egy ilyen ksrlettel kapcsolatos esemny. A ksr lettel kapcsolatban szba jv teljes geometriai alakzat mrtke legyen Af, az A esemnynek megfelel rszalakzat mrtke pedig m\ ekkor teht az A esemny valsznsge

16. bra A vizsglt esemnyt jelljk A-wdX. A pldt tfogalmazzuk gy, hogy az / hosszsg szakasznak a (0, 1) intervallumot feleltetjk meg, a P vgpontnak pedig az origt. A , ill. R pontnak a (0, 1) intervallum jc, ill. y koordintj pontja felel meg gy, hogy a tvolsgok arnya nem vltozik. Minthogy x s y megvlasztsa vletlenszer a fenti rtelemben, e kt koordintval tulajdonkppen a sk egysgngyzetnek egyik (x,y) pontjt vlasztjuk ki vletlenszeren (16. bra), azaz gy, hogy az egysgngyzet brmely rsztartomnyba tartozs valsznsge arnyos e rsztartomny terletnek nagysgval. Az egysgngyzet terlete: T = l . Az A esemny teljesl, ha -y-x, vagyis 2x4) = y . Teht annak a valsznsge, hogy a gpkocsi rkezsekor az ottani ra 12 ra 9 percet mutat.6, A vzszintes sk egy egyenesn egymstl u tvolsgra r sugar hengerek alapkrnek kzppontjai helyezkednek el. A hengerek magas sga h. A sknak az adott egyenessel a szget kpez, de egybknt vlet lenl vlasztott valamely msik egyenesn R (R x - d \ vagyis j c > 1 - /. vagyis y ^ x + d ; vagyis y : = -l -d .

Mindkt esetben kt tovbbi alesetet kell megklnbztetnnk d rtke szerint. A z ^ d esetben (25. bra) az A esemny szempontjbl ked

vez vonalkzott terlet: t = O d -\)\ 111

Az A esemny valsznsge teht:

'y/ V / ^ r / y

d

Q d -iy, P{A) = =

ha

/y -

ha

1.

Az ^ esemny valsznsgt a / vltoz fggvnyben kt, egymshoz csatlakoz parabolaszakaszbl ll grbe (27. bra) szemllteti. 25. bra 15. Kt szemly megbeszli, hogy dleltt 10 s 11 ra kztt egy adott helyen tallkoznak. rkezsk a megbeszlt idn bell vletlenszer. Mi a valsznsge annak, hogy az elbb jvnek nem kell egy negyed rnl tbbet vrnia a msikra? "U 1 y-x+ t / y y =x-d

:-------- ------ 1

y

y y = x-^d

1 -d 26. bra0 1-d /d 1

1

/l.

1'

X

28. bra

Jelljk a szban forg esemnyt y4-val. rkezzk az egyik szemly X, a msik szemly y idvel (rban kifejezve) 10 ra utn. E kt idmenynyisgnek feleltessk meg a sk egysgngyzetnek (x,y) koordintj pontjt (28. bra). Az egysgngyzet terlete: r = l . Az A esemny telje sl, ha

^

27. bra

Ebbl kt sszefggs addik, melyeket az A szempontjbl kedvez pontok koordintinak egyidejleg ki kell elgtenik: 1 y ^ x 4 , 1 es y ^ x + - . 4

Az S / S 1 esexben (26. bra) az A esemny szempontjbl kedvez, vonalkzott terlet :

Az A esemny szempontjbl kedvez, bevonalkzott rsz terlete: t = 1- I X - 1 - ^ - 2 a ) ~ ^ ~ 6 T6 * 8Valsznsgszmts

112

Teht az A esemny valsznsge:

Az A esemny szempontjbl kedvez, bevonalkzott rsz terlett sz mtjuk ki. Ez rombusz, gy terlete az tlk szorzatnak fele: _____ 1^2 .- ! ^ ORPS 3 2 2

'W -T -S Teht a valsznsge annak, hogy a tallkozn az elbb rkez 16 nem vr negyed rnl tbbet a ksbb jvre. 16. Egy egysgnyi hosszsg szakaszon tallomra vlasztunk kt pontot. Mi a valsznsge annak, hogy ezek kzelebb vannak egymshoz, mint brmelyik a vgpontokhoz? t =

3

Teht az A esemny valsznsge:

Azt kaptuk, hogy y valsznsggel lesz a kt pont kzelebb egyms hoz, mint a vgpontokhoz. 17. Egy kikthz 24 rs idtartamon bell vletlen idpontban kt haj rkezik. Az elbb rkezn rgtn megkezdik a rakodst, mely az egyiken egy rt, a msikon kt rt vesz ignybe. Ha a msodik haj akkor rkezik, amikor a msikon mg rakodnak, gy vrakoznia kell a rakods befejeztig. Mi a valsznsge annak, hogy valamelyik hajnak vrakoznia kell a rakodsra? 29. bra

Jelljk a vizsglt esemnyt A-\al. A vlasztott pontoknak az egysgnyi hosszsg szakasz egyik vgpontjtl mrt tvolsga legyen a:, ill. y. Belthat, hogy a kt pont kivlasztst megfeleltethetjk a sk egy sgngyzete koordintj pontja kivlasztsnak (29. bra), mert a megfelel esemnyekhez ugyanazokat a valsznsgeket rendelik hozz. Az egysgngyzet terlete: r = l . Az egysgngyzetnek azokat a pontjait keressk, amelyekben az A esemny teljesl. Kt esetet klnbztetnk meg: ) x < y . Ekkor a kvetkez egyenltlensgeknek kell egyidejleg teljeslnik: y-x< x, vagyis y< 2x;X

30. bra A vizsglt esemnyt jelljk y4-val. A 24 rs idtartam kezdettl szmtva az egyrs rakodidej haj rkezsig eltelt id legyen x, a ktrs rakodidej haj rkezsig y (rban kifejezve). E kt idinter vallumnak feleltessk meg a felvzolt 24 egysgnyi oldalhosszsg ngy zet (x,y) koordintj pontjt (30. bra). A ngyzet terlete: r=242 = 576. Az A esemnynek megfelel pontok helyt keressk. Kt esetet klnbztetnk meg: a) 8 -^ x^y. 115

y - x ^ l - y , vagyis

1

b) y ^ x . Ez esetben a kvetkez egyenltlensgeknek kell egyidejleg fennlbiiok: vagyis x - y ^ l x, 114 vagyis y ^ 2 x l.

Ekkor az A esemny gy teljesl, ha y x - ^ , b) y- x 2. Az egyenltlensgeknek eleget tev pontok a bevonalkzott rszbe esnek. Az A esemny szempontjbl kedvez terlet: 222 232 = 69,5. + 2 2 . Az A esemny valsznsge: t 69,5 vagyis y < x-hl.

Jelljk ^-val azt az esemnyt, hogy a g ( g ^ 100) hosszsg hranyagot tartalmaz szakaszok rszben sem kerlnek egyms mell. (Ha ui. ^ ^ 1 0 0 , akkor e szakaszok egyes rszei biztosan egyms mell kerlnek.) Az A esemny teljesl, ha

Ez esetben akkor teljesl az A esemny, ha

Ez vagy gy jhet ltre, hogy x - y > g, vagyis y < x - g ,

vagy pedig gy, hogy x - y < -g, vagyis y > x-i-g.

Ezen egyenltlensgek valamelyiknek eleget tev pontok a bevonalk zott rszbe esnek. Az A esemny szempontjbl kedvez rsz terlete: / = (200 - 2^) 2. Az A esemny valsznsge: J _ ^ ( 200^ T (200-g )^ Minthogy a felttel szerint P(y4)=0,5, ^-re a kvetkez egyenletet kapjuk: (200 - 2^)2 1 (200-g)^ ~ 2 Mindkt oldalon ngyzetgykt vonunk. Csak a pozitv gyk adhat megoldst. 200 - 2^ 200 - ^ 1/2

Teht kb. 0,12 a valsznsge annak, hogy a kiktben valamelyik hajnak vrakoznia kell a rakodsra. 18. 200 m hossz magnetofonszalag mindkt svjnak egy-egy azonos hosszsg szakaszra hranyagot akarunk felvenni. Milyen hossz sza kaszt kell vlasztanunk ahhoz, hogy 0,5 valsznsggel ne kerljenek mg rszben sem egyms mell a svok hranyagot tartalmaz, vletlen szeren vlasztott szakaszai?

Rendezzk s megoldjuk az egyenletet. 2 0 0 y 2 - 2 y 2 g = 200-s; ( 2 ^ 2 - l ) g = 200(^2- l ) ; 31. bra Jelljk ^-vel a keresett hosszsgot. A g hosszsg szakasz kezd pontja legyen a szalag elejtl az egyik svon x mter, a msikon y mter. E kt tvolsgnak megfeleltethet a derkszg koordintarendszerben alkalmasan elhelyezett 200 - ^ oldal n ^ z et {x, y) koordintj pontja (31. bra). A szalagon trtn vletlen kivlasztsnak pedig megfelel egy pont vletlen vlasztsa a ngyzetben. A ngyzet terlete:(2 0 0 - g y .

y i-i g = 200----= ---- 45.2/2 - 1

Teht a szalag egyes svjain kb. 45 m hosszsg szakaszokat kell vlasztanunk. 19. Kt szmot vlasztunk tallomra a (0, 1) szmkzben. Mi a val4 sznsge annak, hogy sszegk 1 -nl, szorzatuk p e d ig ---- nl kisebb?

116

117

Jelljk a vizsglt esemnyt /4-val. A kt vlasztott x s y szmnak a sk egysgngyzetnek (x,y) koordintj pontjt feleltetjk meg (32. bra). Az A esemny fennll, ha az s az 4

A megfelel ordintkat visszahelyettestssel kapjuk: 1 >x= y ; > = 4

A bevonalkzott rszben a ^0, y bok egyttesen ~

j ^^

1j abszcisszk kz es dara

nagysg terletet adnak. 4 1 = hiperbola alatti darab terlete:X

A kzps szakaszon az 4

Ys

/* djc = [lnx]/| = X

25'

251,

In1 = ln4. 5 S) 25

Az A esemny szempontjbl kedvez rsz terlete: 32. bra egyenltlensgek egyidejleg teljeslnek. Az ezeknek az egyenltlens geknek eleget tev pontok a ngyzet bevonalkzott rszre esnek. Teht a bevonalkzott rsz terlett kell kiszmtanunk. Meghatrozzuk az 4 x-\-y = 1 egyenes s az xy = hiperbola Z J metszspontjait. Ehhez az egyenletrendszert megoldjuk. Az els egyenlet bl kifejezzk y-t, s a msodik, egyenletbe helyettestjk a kapott kifeje zst: y= l-x;

,--+ -1 .4 .Az A esemny valsznsge (mivel az egysgngyzet terlete egysgnyi): P (^ ) = Y = y + ^ l n 4 ^ 0 , 4 2 . Teht kb. 0,42 a valsznsge annak, hogy a vletlenszeren vlasztott szmok kielgtik a feltteleket. 20. Egysgnyi hosszsg szakaszt kt rszre bontunk egy tallomra vlasztott ponttal, majd a kt rsz kzl a hosszabbikon mg egy pontot vlasztunk s ezzel ezt is kettosztjuk. Mennyi a valsznsge annak, hogy a kapott hrom darabbl hromszg alkothat? Jelljk a vizsglt esemnyt ^-val. Legyen az els pont megvlasztsa utn keletkezett hosszabb rsz x hosszsg. Fennll ^1X

1

4

4

0;

^ 1.

1 i . - ' i

Az X hosszsg szakaszon felvesszk a msik pontot. Ennek a szakasz egyik vgpontjtl mrt tvolsgt clszer xy-m l jelkii. Fennll0^

^ 1,2 ^ 1. A kapott x s y rtkeknek megfeleltetjk a sk (x, y) koordintj pontjt. 119

' - 7 118

' - J -

Az ily mdon nyerhet pontok egy tglalapra esnek (33. bra), melynek terlete:1

Az A esemny valsznsge |mivel r = ~ j :

^= T 1^(A) = ^ u \ 1 _ y - i ~2x 1 " ^ y ~2x 33. bra 0 7 1 ;1 X Teht kb. 0,38 annak a valsznsge, hogy a rszekbl hromszg alkothat. 21. Egy vzszintes skon, egymstl kt egysgnyi tvolsgra prhuza mos egyenesek futnak. Egysgnyi hosszsg tt ejtnk vletlenszeren a skra, amit itt gy rtnk, hogy a t kzppontjnak a legkzelebbi egyenestl mrt tvolsgt s a tnek az egyenesekkel alkotott kisebb szgt vletlenszeren vlasztjuk. Mennyi a valsznsge annak, hogy a t valamelyik egyenest metszi? Jelljk a vizsglt esemnyt ^4-val, a t s a prhuzamos egyenesek kztti kisebb szget pedig ^-vel. Erre fennll = ---- ------= 2 1 n 2 - l 0,38.

Az A esemny teljesl, vagyis a rszekbl hromszg alkothat, ha az eredetileg hosszabb szakasz rszei sem nagyobbak y - n l, hiszen ekkor mindhrom szakasz rvidebb, mint kett sszege nagyobb slnek. Ekkor1 1

s mivel sszegk 1 , teht brmely a hromszg-egyenltlensgek telje

Legyen a t kzppontjnak a legkzelebbi egyenestl val tvolsga x. Ennek rtke:

A t vletlenszer ejtsvel a sk egy tglalapjnak (^, x) koordintj pontjt szemeljk ki (34. bra). A t^alap terlete:

Ebbl jc-szel vgigosztva addik:

Az A esemny bekvetkezik, vagyis a t metszi az egyik egyenest, ha X

Ezen egyenltlensgeknek eleget tev pontok a bevonalkzott rszbe esnek, amelynek terlete:

34. bra J 120 2 l 121

Az ezen egyenltlensgnek eleget tev pontok a tglalap bevonalkzott rszbe esnek. Az A esemny szempontjbl kedvez terlet: sin ^ d ^ = Az A esemny valsznsge:1

Ez esetben a tglalap h= v egyenesre es oldala m^szi s h=g^ parabola szrait (35. bra). A metszspontok abszcisszi: - /Ts Yv7Az A esemny szempontjbl kedvez bevonalkzott rsz terlete ekkor: y 7 t = luv->rlv{u-}/v)-\= J g^dg = 4 u v - 2 v ^ v ^

= Y*

4uv 2v}/v + Tt b)

y = 4uv----- v]/v

Teht a valsznsge annak, hogy a t az egyik egyenest metszeni n fogja. 22. Az x ^ + lg x + h = 0 msodfok egyenlet g is h egytthatit vlaszszuk vletlenszeren a (-w , w), l. ( - r , t;) szmkzbl, ahol u s v adott pozitv szmok. E kiktsek mellett mi a valsznsge annak, hogy az egyenlet gykei vals szmok lesznek? Jelljk ^-val a vizsglt esemnyt. Az egyenletben szerepl g s h rt keinek vletlen megvlasztst a sk egy 2w, ilL v oldal tglalapja (^, K) koordintj pontjnak vletlen kivlasztsval is nyerhetjk. E tglalap terlete: T=4uv, Keressk meg most e tglalapnak azokat a pontjait, amelyeknek kiv lasztsa esetn az A esemny teljesl. A msodfok egyenlet gykeit a megoldkpletbl kapjuk: -2 g ]f4 g- 4 h = - g h -h . Ekkor a tglalap g - u s g u egyenesekre es oldalai metszik a h=g^ . parabola szrait (36. bra). Az A esemnyt teljest pontokbl ll bevonal kzott rsz terlete:

u

35. bra

A gykk valsak, ha a ngyzetgyk alatti mennyisg a diszkriminns nem negatv, vagyis ha g ^-h ^O . Azaz fenn kell llnia a h^g^ sszefggsnek. Kt esetet klnbztetnk meg: a) 122 u^. 36. bra 123-u

u

Az A esemny valsznsge:u

t = 2uv +

J g ^ d g = 2uv +

= 2uv+- M *. ^

q >

Teht annak a valsznsge, hogy az A esemny teljesl, vagyis hogy a msodfok egyenlet vals gykket ad:1-

v 3u

(P Teht sin^ a valsznsge annak, hogy a gmbn felvett pontokba ha mutat sugarak hajlsszge ^-nl kisebb. 24. Egy mestersges gitest kering a Fld krl gy, hogy a 60-os szaki s a 60-os dli szlessgi kr kztt brhol leszllhat. Mennyi a val sznsge annak, hogy a 60-os s a 30-os szaki szlessgi kr kztt r le, h a a gmbfellet egy darabjra trtn leszlls valsznsge a felletdarab felsznvel arnyos?

23, Az r sugar gmbfelleten egy Q pontot rgztnk. Ezutn egy R msik pontot vlasztunk a gmbfelleten vletlenszeren. Mi a val sznsge annak, hogy a kt pontba mutat sugarak ltal bezrt szg kisebb egy adott (p {(p^n) szgnl? Jelljk a vizsglt esemnyt ^-val. A vlasztott Q pont az r sugar gmbfelleten helyezkedik el, ennek felszne: F = ^7tr\ Az A esemny szempontjbl kedvezen vlasztott pontok egy gmb svegen feksznek. Ennek magassga miknt a gmb O kzppontjn s a rgztett Q ponton tmen skmetszeten (37. bra) lthat m r - r c o s (p = r(l-c o s(p ) = 2r sin^-.2(p

A vizsglt esemnyt jelljk ^-val. Teljeslse esetn a leszlls az r sugar gmbnek tekintett Fld egy gmbvre trtnik. Ennek magas sga a tengelyen tmen skmetszeten (38. bra) lthat: m = 2rcos30 = 2 r = r / 3 . gy a leszllskor szba jv gmbv felszne: F = 2nrm = r^7f2'3 . Az A esemny szempontjbl kedvez leszllsi pontok ugyancsak egy gmbvn vannak, amelynek az brn lthat magassga: = r cos 3 0 - r cos 60 = r (iJ1

37. bra gy a gmbsveg felszne: f = 2nrm = 2nr-2r sin^ y =(p

/3 - 1

~2)

y .

(p

Ennek a kisebb gmbvnek a felszne: / = 2nrm^ = r^Ti(j/2t ~ l ).

124

125

Az A esemny valsznsge: r^ n iZ -\) p (^ ) = ^ = r^n-2Z 2]|^ 3 -T 3 " 0 , 21.

bl kiindul, egymsra pronknt merleges le d hosszsg, gy trfo gatuk egyenknt: d^ ~6' H a e hrom tetradert lehastjuk a kockrl, akkor a megmarad test pontjaiban az A esemny teljesl. A maradk test trfogata: V = d^ 3 = 6 2.

Teht kb. 0,21 a valsznsge annak, hogy a mestersges gitest az szaki flteke 30-os s 60-os szlessgi kre kztt r le. 25. Egy rszecskeszmll berendezs falban jc tvolsgra a bels falsktl elemi rszecskk keletkeznek. A keletkezett rszecskk vletlen irny egyenes mentn tlagosan r thosszt tesznek meg. Mennyi a val sznsge annak, hogy egy tlagos thossz rszecske a szmll belsejbe jut, ha Jelljk y-val a vizsglt esemnyt. Ha a rszecske vgig a falban haladna, akkor egy r sugar gmbfellet valamely pontjhoz rne. Ennek felszne: F = Anr\ A z x ^ r esetben a gmbfelletnek az A esemny szempontjbl kedvez rsze a bels falskon belli gmbsveg. A gmbsveg magassga: r - x , gy felszne: / = 2nr{r-x). Az A esemny valsznsge: / 2 n r{r-x ) r x1X

Az A esemny valsznsge: d^ 2 P (^ ) = _ = V d^V

T

Teht ^ a valsznsge annak, hogy a hrom szakaszbl hromszg alkothat. 27. 200 mm hosszsg fmrd egyik alkotja mentn tallomra h rom helyet vlasztunk. E helyeken a rudat elfrszeljk. Mennyi a val sznsge annak, hogy a kivlasztott pontok kztti rdszakaszokbl kapott darabok kzl legalbb az egyik lOmm-nl rvidebb? Jelljk ^-val a vizsglt esemnyt. A hrom kivlasztott helynek az alkot egyik vgpontjtl mrt tvolsgt jellje a:, y, z, E hrom tvolsg vletlen megvlasztsnak megfeleltethet egy 200 egysgnyi lhossz sg kocka valamely {x, y, z) pontjnak vletlenszer kiszemelse. E kocka trfogata: F = 200^ Az A esemny szempontjbl kedvez pontok koordintira fennll a kvetkez egyenltlensgeknek valamelyike: < 10; < 10; \ y - z \ < 10 .

26. Hrom egyenesszakaszt vlasztunk vletlenszeren a (0, d) inter vallumbl. Mennyi a valsznsge annak, hogy a hrom szakaszbl hromszg alkothat? A vizsglt esemnyt jelljk ^-val. A hrom kivlasztott spkasz hoszsza legyen rendre x, y, z. E szmhrmas vletlen kivlasztsnak meg feleltethet a trben egy d l kocka egy {x, y, z) koordintj pontjnak vletlen kiszemelse. A lehetsges pontokat tartalmaz kocka trfogata: V=d\ Az A esemny a kocka azon pontjainak kivlasztsakor nem kvetkezik be, amelyeknek koordinti kztt az albbi sszefggsek valamelyike teljesl: x + y < r; y-hz < x; x-hz < y. Ezek egy-egy tetrader pontjait adjk, mely tetraderek a d l kocka egy-egy skkal val metszsvel addnak. A tetraderek hrom, egy cscs 126

Azok a pontok, amelyeknek koordintira ezeknek az egyenltlensgek nek egyike sem ll fenn, a kocka hat klnll rsznek valamelyikbe esnek. E rszekbl egy 180 egysgnyi lhosszsg kockatest tehet ssze, amelynek trfogata: 180^. Az A esemny szempontjbl kedvez pontok az eredeti kocknak az elbb kapott hat, klnll rszen kvli rszben vannak, amelynek trfogata: y = 200"-180^ 127

Az A esemny valsznsge: 200-180*2008

IV. F E L T T E L E S V A L S Z N S G- 1n 8o y _

.2j ~

= 1 - 0,93 = 1-0,729 = 0,271. Teht 0,271 annak a valsznsge, hogy a rd darabjai kztt van lOmm-nl rvidebb. 28. Mennyi a valsznsge annak, hogy egysgnyi hosszsgnl rvi debb, tallomra vlasztott lhosszsg tglatest testtlja az egysgnl kisebb? A vizsglt esemnyt jelljk ^-val. A tglatest lei le g y eik x, y, z hosszak. E tvolsgok vletlenszer kivlasztsnak a (0, 1) intervallurnban megfeleltethet az egysgkocka egy (x, y, z) pontjnak vletlen v lasztsa. A kocknak az A esemny szempontjbl kedvez pontjaira fenn kell llnia az x^+y^ + z^ < 1 egyenltlensgnek. Azt kaptuk gy, hogy a kocknak az orig kzppont, egysgsugar gmbbe es pontjai felehiek meg. Ezek egy nyolcadgmbben helyezkednek el, amelynek trfogata: _L7t

1. A feltteles valsznsg fogalma Legyen ^ s 5 egy ksrlettel kapcsolatos kt esemny, ahol a B esemny valsznsge nem 0, vagyisP ( 5 ) ? O .

Az A esemnynek a B felttel melletti 'P{A\B) feltteles val sznsge szemlletesen az A esemny bekvetkezsnek a valsznsgt jelenti, feltve hogy a B esemny bekvetkezett. Definci szerint: V{A\B) =P (A B )

P (B )

Ebbl kt esemny szorzatnak valsznsge gy szmthat: P (/fi) = P (/l|5 )P (5 ). Legyenek A^, A 2 , ...,A tetszleges esemnyek, ezek szorzat nak valsznsge: P (A ^ A ,...A ) =

~6 Az A esemny valsznsge: V n p (^ ) = - = - . Teht a valsznsge annak, hogy a testtl kisebb az egysgnl.6

=P(A lA i A _ ,)P (A .,jA ,... A .,) ...P (A ,jA ,)P (A O . Pldul legyen egy dobozban 5 fehr s 5 piros goly, s szmtsuk ki annak valsznsgt, hogy a harmadik hzsra fehr golyt vesznk ki, ha elbb ktszer egyms utn visszatevs nlkl fehret hzunk. Legyen A az az esemny, hogy a harmadik hzs fehr, B pedig jelentse azt, hogy az els kt kihzott goly fehr. Az A esemny valsznsgt a B telje slse esetn vizsgljuk. Tekintsk a golyk megoszlst a harmadik hzs eltt. Ekkor 3 fehr s 5 piros goly van a dobozban. Az A esemny szempontjbl kedvez esetek szma: k = 3.9

Valsznsgszmts

128

129

Az sszes lehetsgek szma:w = 8.

Az A esemny B felttel melletti valsznsge:

bekvetkezse a 3 bolgr meghvottbol jhet szoba egy es s = 14, hiszen ennyien nem rkez tek meg meg a hrom orszg kldttsgbl. Ezek alapjn:

S iiS f

esemnyt tekintjk

^ sTeht a valsznsge annak, hogy harmadik hzsra iso 3

= 4 -14

A kapott valsznsgeket behelyettestjk:3 141

fehr golyt vesznk ki. Msik pldaknt tekintsk a kvetkezt. Egy kvetsgi fogadsra 5 lengyel, 8 romn s 3 bolgr diplomata hivatalos. Egyenknt rkeznek, vletlenszer idpontokban. Meghatroz zuk annak a valsznsgt, hogy kzlk elsnek egy lengyel, msodiknak egy romn, harmadiknak egy bolgr diplomata rkezik meg a kvetsgre. Jelentse A i azt az esemnyt, hogy az els rkez lengyel, A 2 azt, hogy a msodik romn, A^ pedig azt, hogy a harmadik bolgr. A hrom esemny egyttes be kvetkezsnek, vagyis szorzatuk, A 1 A 2A 3 valsznsgt kell meghatroznunk. Felhasznljuk az esemnyek szorzatnak valsznsgre vonatkoz sszefggst, mely szerint:P ( A , A 2 A s) = P ( A s l A , A 2 ) P ( A 2 l A 0 P ( A 0 ^

8 15

5 1 16 ~ 28

Teht annak a valsznsge, hogy az els hrom rkezre az elrt felttelek teljesljenek.Gyakorl feladatok

V { \B )= l- V { A \B ) .

Induljunk ki a bal oldalon ll kifejezsbl s alaktsuk t:P a i3 ) = P (^ 5 ) P (5 )

A jobb oldalon ll tnyezket szmtjuk ki. Az A^ esemny szempontjbl kedvez esetek szma kj^ = 5, mert 5 lengyel diplomata hivatalos, az sszes lehetsg elsnek rkezsre i = 16, hiszen 16 diplomatbl kerlhet ki ez a szemly. gy azt kapjuk, hogy:

P(5) = V{AB) + (AB).Ebbl trendezssel addik V(AB)- k :

Az ^ 2-nek A^ felttel melletti bekvetkezsre a kedvez lehetsgek szma = 8, mert a 8 romn diplomatbl rkez het valamelyik msodiknak, az sszes eset pedig = 15. A fel tteles valsznsg gy:

V{AB) = P ( B ) - P ( ^ 5 ). Ezt helyettestjk a szmllban: P < ip > _ P (5 ) , PUB) P (5 )

^6 kifejezst kaptuk meg gy ki mutattuk, hogy a felrt egyenlsg valban azonossg.1309*

131

2. Igazoljuk, hogy tetszleges A, B, C esemnyekre hacsak P(C)?O fennll a kvetkez egyenlsg: P (M + B ]|C ) = P (^ 1 C )+ P (5 1 C )-P (/(S 1 C ). A bal oldalon ll kifejezst alaktjuk t: P ( [ ^ + 5 ] |C ) = P (IA + B]C ) P (C )

Ezutn az ismeretlenekre e ^ olyan sszefggst keresnk, melyben ki tudjuk majd azt is hasznlni, hogy 'P{A\B) rtke ismert. Ebbl a cl bl az A esemnyt kt, egj^mst kizr esemny sszegre bontjuk a kvetkez mdon: P (^ ) = = {AB)+1?{AB) =

= P (/4|S )P(5) + P ( ^ |5 ) P ( 5 ) = ^ P ( 5 ) + y [1 -P (5 ) ] . A P(^)-ra elzleg kapott kifejezst behelyettestve: y P ( ) = ^ P ( B ) + l- lp (B ). Ebbl P W = |.

A szmllban ll mennyisget a disztribtv trvny s az esemnyek sszegnek valsznsgre az elz fejezetben megadott sszefggs alapjn trjuk: P ([^ + B ] 0 = P (A C + B C ) = V(AC) + F {B C )-F (A BC ). Ezt rjuk a szmll helybe, majd a szmll minden tagjt a feltteles valsznsg kplete szerint talaktjuk gy, hogy az egyes tagokban a C esemny legyen a felttel: P {A C ) + P ( B C ) -P ( A B C ) P (C ) P (^ |C )P (C ) + P (^ |C ) P (C )- P ( ^ g |C ) P ( C ) _ P(C ) = P(.41C) + P (fi|C )-P (^ S |C ). A jobb oldalon ll kifejezst kaptuk, teht igazoltuk, hogy az egyenl sg valban azonossg. 3. Mennyi az ^ s a B esemny valsznsge, ha P (^lB ) = , P (5 M ) = Y s 'P{A\B) = y ? A. feltteles valsznsg defincija alapjn A s B esemnyek szorzatnak valsznsgt ktflekppen fejezhet jk ki az egymsra vonatkoz feltteles valsznsgeikkel: V{AB) = P (^1B )P (5); V{AB) = P (B M )P (^). A jobb oldalak egyenlsgt felrva: P (^ |B )P (B ) = P (B |^ )P (^ ). Ebbl a feltteles valsznsgek szmrtkeit behelyettestve P(v4)-t kifejezhetjk P (5 ) segtsgvel: ^ P ( B ) = y P (^ ), P (^ ) = y

Ezt P(>4) els kifejezsbe visszahelyettestjk:

14 Tehl az

2 s a 5 esemny valsznsge.

4 9 4. Igazoljuk, hogy ha P(.4) = y s P ( 5 ) = , akkor 78

Elszr a bal oldalon ll egyenltlensget mutatjuk ki. A feltteles valsznsg rtelmezse szerint: ^{AB) P{B) A V(AB) valsznsget az A s B esemny sszegnek valsznsge segtsgvel fejezzk ki, majd als korltot adunk r: P(A-hB) = F { A ) + P ( B ) - P ( A B \ ebbl P(AB) = P U ) + P W - P ( ^ + 5 ) , amit a szmllba helyettestnk: P (^ )+ P (5 )-P (^ + 5 ) P(B )133

132

Ha a szmllban V iA + B ) helybe egyet tesznk, akkor a jobb oldal nem nvekedhet, gy

Az sszes lehetsgek szma az els hzsra % =32. Az A^ esemny valsznsge teht P (^ o = ^ = i-= --. 32 8

A szmrtkeket behelyettestve: 4 P ( ^ |S ) S 9 , 5 ^1010

Ai teljeslse esetn az A^ esemnynek a megvalsulsra a kedvez esetek szma ^ 2= 4, mert elsre nem hztunk kilencest. Az sszes esetek szma a msodik lap hzsakor /?2=31. Ezekbl azt kapjuk, hogy P (^ M 0 = ^ = 1 . S 31 Az AiAi esemny bekvetkezst felttelezve, vizsgljuk az A esemnyt. A kedvez esetek szma ekkor ^ ,= 3 , mert egy hetest mr elzleg kihz tunk. Az sszes lehetsg szma a harmadik hzsra n,= 30. gy a felt teles valsznsg: P(AilAiA2) = ~ 7; ~ TT5 s 30 10 A kapott szmrtkeket helyettestjk: P(AtA^A^) = 10 31 8

Ezutn a jobb oldalon ll egyenltlensget bizonytjuk. Itt is feliijuk a feltteles valsznsg defincijt, majd fels korltot adunk: V(B) ' Mivel az A esemny valsznsge nem lehet kisebb, mint AB valszn sge, teht P (^ ) P ( ^ |5 ) S P (5 ) A szmrtkeket behelyettestve: 4

620

T10

40

8

Teht a valsznsge annak, hogy a hrom lap kihzsra az elrt ^ 620 felttelek teljeskiek.6. Ha nagyon sok ktgyermekes csald kzl vletlenszeren vlasz tunk egyet, s megtudjuk, hogy legalbb az egyik gyermek leny, mennyi akkor annak valsznsge, hogy van fi is a csaldban? Egy ktgyermekes csaldban ngyfle egyenlen valszn eset fordul hat el a gyermekek nemt illeten, mivel mind az els, mind a msodik gyermek egyenl valsznsggel lehet fi vagy leny. Az idsebb gyer meket elsnek i*va s a lenyt 1, a fit f betvel jellve, ezek a kvetkezk: 11, If,

Teht mindkt egyenltlensget igazoltuk. 5. A 32-lapos magyar krtybl 3 lapot hzunk egyms utn, visszatevs nlkl. Mennyi a valsznsge annak, hogy az els kihzott lap hetes, a msodik kilences, a harmadik ismt hetes? Legyen az az esemny, hogy az els lap hetes. Az jelentse azt, hogy a msodik kihzott lap kilences. Azt az esemnyt, hogy a harmadik nak vlasztott lap hetes, jelljk .43-mal. Az A^A^A^ szorzatnak, vagyis a hrom esemny egyttes bekvetkezsnek valsznsgt kell kisz mtanunk. Erre felhasznlhat a kvetkez sszefggs:

fi, ff.

Legyen A az az esemny, hogy legalbb az egyik gyermek leny, B pedig jelentse azt, hogy van fi a csaldban. Az A teljeslse mellett kell a B esemny valsznsgt meghatroznunk. Ez a feltteles valsznsg talakthat a kvetkezkppen: P(BM) = P (^ ^ ) P (^ )135

A jobb oldalon ll tnyezket szmtjuk ki. Az Ax esemny szempontjbl kedvez esetek szma A:i=4 , mert ngy hetes van a krtyacsomagban. 134

Az AB esemny a ngy lehetsgbl kettben ll fenn, gy P M T O ----.2 1

8. egysgnyi hosszsg szakaszon tallomra kt pontot vlasz i g M enn^ a valsznsge annak, hogy mindkt pont a szakasznak egyik elre kijellt vgpontjhoz van kzelebb, ha a kt vlasztott pont

egymstl val tvolsga kisebb, mint y ? Az A esemny, vagyis hogy legalbb egy leny van a csaldban, hrom esetben teljesl a ngy lehetsg kzl, gy: 4 A szmrtkeket helyettestve: T 4 Teht annak a valsznsge, hogy van fi a ktgyermekes csaldban, ha tudjuk, hogy legalbb az egyik gyermek leny. 7. Ejternys ugrst hajtanak vgre ISOOm^-es terletre. Sikeres az ugrsa annak, aki a terepen kijellt 10 m oldal ngyzeten bell r fldet. Kln djat kap az, aki a ngyzet kzepn megrajzolt 2 m sugar krben r le. Mennyi a valsznsge annak, hogy egy sikeres ugrst vgrehajt ejternys kln djat is kap, ha a ngyzeten bell a lerkezs brmely helyre egyenl esl>^? Legyen A az az esemny, hogy kln djat kap az ugr. A B esemny jelentse azt, hogy az ugr sikeres ugrst vgez. Az A esemny B felttel melletti feltteles valsznsgt keressk. A B teljeslse esetn szba jv egsz terlet: r = 102 = 100 m^. A vizsglt esemny szempontjbl kedvez, a ngyzet kzepn lev kr terlete: t = 2^71 An m^. y A feltteles valsznsg: t 4n = ---- ft 0,13. T 100 Teht kb. 0,13 a valsznsge annak, hogy egy sikeres ugrst telje st versenyz kln jutalmat is kap. 136 teljesl. Ezeknek az egyenltlensgeknek eleget tesznek az egysgngyzet vizszmtesen vonalkzott rszbe es pontjainak koordinti. A vzszin tesen vonalkzott rsz terlete: = i - l V = , _ l = A. l3 j 9 9 39. bra 4 2 Legyen ^ M az esemny, hogy a pontok a szakasz kijellt vgponti hoz vannak kzelebb. Jelentse B azt, hogy a kt vlasztott pont egyms tl val tvolsga y - n l kisebb. Teht az A esemny B felttel melletti feltteles valsznsgt keressk.

T

^ sz ^a sz elre kijellt vgtl mint kezd ponttl mrt tvolsga legyen jc, ill. y. A kt pont tallomra val vlasztsnak megfelel hogy a sk egysgngyzetnek egyik (x, y) koordintj pontjt szemeljk ki vletlenszeren (39. bra). A B esemny teljesl, ha \y -x \ teht vagy1 1

T

vagy pedig1

137

Mivel az egysgngyzet terlete is egysgnyi, gy

2. A teljes valsznsg tteleHa a ^ 1 , > esemnyek teljes esemnyrendszert alkot nak s P (5)tO ( / = 1 , 2, akkor tetszleges A esemny valsznsgre rvnyes a kvetkez sszefggs.P ( ^ ) = P ( ^ |5 i ) P ( 5 i ) + P ( ^ , l 5 ^ P ( 5 ^ + . . . + + P ( ^ |5 ^ P ( 5 J = P ( ^ |5 ,) P ( 5 ^ . i=l

PTO- y - fAz A esemny teljesl, ha az egysgngyzet kiszemelt pontjnak koordimtira fennll1

s

Ez a teljes valsznsg ttele.Az ezen egyenltlensgeknek megfelel pontok az egysgngyzet fgg legesen vonalkzott negyedbe esnek. Az AB esemny bekvetkezse szempontjbl kedvez pontok az egysgngyzet ktszeresen bevonalk zott rszbe esnek, amelynek terlete: Gyakorl feladatok 1. Egy mhelyben hrom mszakban termelnek azonos fajta rut. Egy napon az sszes termelt rubl az els mszakban 40%, a msodikban s a harmadikban 3030% kszlt. Az els mszakban kszlt ruk 5%-a, a msodikban gyrtottak 7%-a, a harmadikban termeltek 1 0 %-a hibs. A hrom mszakban elkszlt teljes mennyisgbl a minsgi ellenr egy darabot tallomra kivlaszt s megvizsgl. Mennyi a valsznsge annak, hogy ez hibtlan ru? Legyen A az az esemny, hogy hibtlan rut vlaszt az ellenr. ( i= l,2 , 3) jelentse azt, hogy az /-edik mszakban kszlt a kivlasztott darab. A B esemnyek valsznsgei rendre: 40 i 30 30 '

_n y^UiV_J_36 _A _A _ 4_J 3 6 9 L ~ iT j " jTeht az AB esemny valsznsge h 2 P (^ ^ ) = 7 Az A esemny B felttel melletti feltteles valsznsge:2

i

~9 2 P(A\B) = P(5) T y * Teht a valsznsge annak, hogy mindkt kivlasztott pont, amely nek tvolsga y -nl kisebb, a szakasz elre megjellt felbe esik.

F (AB)

Az A esemny feltteles valsznsgt rjuk fel ( i= l, 2, 3) felttelek mellett, vagyis azt, hogy milyen valsznsggel vlasztunk hibtlant az i-edik mszakban gyrtott darabokbl. E valsznsgek rendre: 95 P ( W 93 - - ; 90 P W T O --.

A teljes valsznsg ttelt alkalmazzuk: p (^ )- P M !a )p (ft)- i l . * + iti 100 100 100 100 3800+2790+2700 10000 9290 10000 0,929. 100 100.

Teht 0,929, vagyis 92,9% a valsznsge annak, hogy hibtlan darabot vlaszt ki az ellenr. 138 139

2. Televzi-kpcsvek ksrleti ^ rt s t vgzik egy gyrban. Hrom ttel kszl el. Az els kt ttel a teljes mennyisg egy-egy n e je d t, a har madik ttel a felt adja. A vizsglat sorn kiderl, hogy az elrt mkdsi raszmot az els ttelnek csak a 1 0 %-a, a msodiknak 20 %-a, a harma diknak 25%-a ri el. Mennyi a valsznsge annak, hogy egy, a teljes mennyisgbl tallomra kiszemelt kpcs az elrt ideig mkdik? Az A esemny jelentse azt, hogy a kiszemelt kpcs az elrt ideig zemel. Legyen Bi ( i= l,2 , 3) az az esemny, hogy a kivlasztott darab az /-edik ttelbl val. A Bt esemnyek valsznsgei rendre; p ( A ) = -|- 4 = 4 p w = -J-. 2

Hasznljuk fel a teljes valsznsg ttelt: P(A) = P (^ lC i)P (C i)+ P (^ |C 2)P(C ,) = 60 15 100 100 80 85 900+6800 10000 100 100 7700 = rTT- = 0,77.10000

Azt kaptuk, hogy 0,77, azaz 77 %annak a valsznsge, hogy egy tallomra kivlasztott hallgat sikeresen szerepel a vizsgn. 4. Azonos fajta rukbl kt ttelnk van. Az els ttel 15, a msodik ttel 20 darabbl ll. Mindkt ttelben egy-egy hibs darab van. Az els ttelbl egy vletlenszeren vlasztott darabot ttesznk a msodikba. Ezutn a msodik ttelbl vlasztunk tallomra egyet s ezt megvizsgljuk. Mi a valsznsge annak, hogy ez a darab selejtes? Legyen A az az esemny, hogy a msodik ttelbl selejtest hzunk. B jelentse azt, hogy az els ttelbl jt, B pedig azt, hogy hibsat tettnk t a msodikba. Ezeknek az esemnyeknek a valsznsgei: p(B) = | , m. P (5 ) = ^ .

Felrjuk az A esemnynek a. Bt (i1^ 2, 3) felttelek melletti valsznsgt, vagyis azt, hogy az egyes ttelekbl vlasztott kpcsvek milyen val sznsggel zemelnek a megfelel ideig. Ezek rendre:

A teljes valsznsg ttelt alkalmazzuk: P (^ ) = 2 ^ ^ ( A \B d P ( B d10 1

H a B kvetkezett be, akkor a msodik ttelben 21 darab kztt csak egy +20 1

25

1

selejtes van s az A esemny feltteles valsznsge P{A\B) =2

Ha

100 4

100 4

100 2

viszont B kvetkezett be, akkor kt selejtes darab van a msodik ttelben s ez esetben A feltteles valsznsge P{A\B) = , Alkalmazzuk most a teljes valsznsg ttelt: P (^ ) = P U |5 ) P ( B ) + P ( ^ |5 ) P ( 5 ) = 1 Teht hzunk. 5. Egy cllvldben hrom rekeszben vannak puskk. Az els rekesz ben hrom puska van, ezekkel 0,5 a tallat valsznsge. A msodik rekeszben egy puska tallhat, ezzel 0,7 valsznsg a tallat. A harma dik rekesz kt puskjval 0,8 valsznsggel tallunk clba. Mennyi a tallat valsznsge, ha valaki tallomra vlaszt ki egy puskt? Legyen A a vizsglt esemny. Jellje Bi (/= 1 ,2 , 3) azt az esemnyt, hogy az /-edik rekeszbl vlasztunk puskt. A Bt esemnyek valszn sgei sorban: P (5 ,) = - ^ ;0

= 0,025 + 0,05 + 0,125 = 0,2. Teht 0,2, azaz 20% a valsznsge annak, hogy a tallomra vlasztott kpcs az elrt ideig mkdik. 3. Egy egyetemi vizsgn az A-szakos hallgatk 60%-a, a B-szakos hallgatk 80%-a szerepel sikeresen. Az A-szakos hallgatk az vfolyam 15%-t teszik ki. Mennyi a valsznsge annak, hogy egy tallomra kivlasztott hallgat sikeresen vizsgzik? Legyen a vizsglt esemny jele A. A Ci esemny jelentse azt, hogy a kiszemelt hallgat A-szakos, a C2 pedig azt, hogy B-szakos hallgatt vlasztottimk ki. A-szakos hallgat kivlasztsra P(Ci) = , B-szakos 85 hallgat kivlasztsra PCg) = az esly, jbjuk fel ezutn a sikeres vizsgzs valsznsgt az A-szakos s a B-szakos hallgatknl. Az 60 A esemny feltteles valsznsge Q felttel mellett P (^ |C i) = 100 80 C 2 felttel mellett P(AIQ) = *

14

2 1

16

~ 2 l l5 ''21 15 315 16 annak a valsznsge, hogy a msodik ttelbl selejtest

PW = i ;6

P (5 a )= ^ .6

140

141

Felrjuk az ^4 esemny bekvetkezsnek valsznsgt az i-edik (/= 1,2, 3) rekesz kivlasztst felttelezve. Ezek a feltteles valsznsgek sorban: P (^ l^ i) = 0,5, P(^|52) = 0,7, P(^|J?s) = 0 , 8 .

A teljes valsznsg ttelt alkalmazzuk: P (^ ) = 2 2 1

i= l1 1 1 2

= 1 1 1 2 1 99

Alkalmazzuk a teljes valsznsg ttelt:

P(A)

=

=

0 ,5 4 - +

0 ,7 4 - + 0 . 8 - T

=

Teht 0,495, azaz 49,5 % annak a valsznsge, hogy a szlltmnybl az zletben vletlenl vlasztva egy almt, elsosztly almt vlasztunk. 7. Egy dobozban 5 fehr s 2 piros goly van. Elbb kt golyt hzunk a dobozbl visszatevs nlkl, majd egy harmadikat. Mennyi a valszn sge annak, hogy a harmadiknak kivett goly piros? Jelljk a vizsglt esemnyt A-v 2l\. A harmadik hzs eltt a dobozban lev piros golyk szma lehet 0, ez legyen a B^ esemny, lehet 1 , ez legyen a B^ esemny; vgl lehet 2, ez pedig legyen a B^ esemny. Legyen tovbb Cl az az esemny, hogy az els hzsra pirosat vesznk ki, Cg az az ese mny, hogy a msodik hzsra piros golyt vlasztunk. Mivel -i=CiC 2, ennek valsznsge: P W = P (C iQ ) = P(Q |C O P(C O = 4 - 4 = 6 7 21 Mivel Bj-re fennll a ij = egyenlsg, ahol CiC^ s C1 C2 egymst kizr esemnyek, gy a B^ esemny valsznsge: P (5 ,) = P (C iC ,+ C iQ ) = P (C i Q + P ( C i Q ) = = P (C ,lC O P (C i)+ P (C ,|C i)P (Q = - - 1 A ^ J ^ _ 20_10 "6 42 ~ 21 A B^ esemnyre teljesl, hogy gy B^ valsznsge: = p ( C x Q = P(