19_linea Delle Pressioni

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Insegnamento: Meccanica delle strutture n Lezione: 19 Titolo: Linea delle pressioni

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 19 Linea delle pressioni.

Nucleo tematico Lez. Contenuto

6 19 Linea delle pressioni. Definizione, osservazioni, esempi. Nelle lezioni precedenti sono state definite le caratteristiche di sollecitazione per i sistemi di travi e sono state dimostrate le relazioni che queste quantit devono soddisfare nelle condizioni di equilibrio. Le caratteristiche di sollecitazione costituiscono uno strumento per la valutazione dello stato di sollecitazione in un sistema di travi soggetto ad azioni esterne assegnate. In questa lezione viene introdotta la linea delle pressioni, che uno strumento pi sintetico sempre per la valutazione dello stato di sollecitazione in un sistema di travi. Vengono inoltre precisate le relazioni tra la linea delle pressioni e le caratteristiche di sollecitazione. Impostazione e definizioni

Si consideri una trave piana ed una sua sezione S, identificata dallascissa curvilinea s (figura 19.1a). La sezione S divide la trave nei due tronchi T1 e T2. Siano N(s), T(s) ed M(s) le caratteristiche di sollecitazione nella sezione S (figura 19.1b).

Figura 19.1.

s F1

F2

F3 F4

S (a)

M(s) N(s)

T(s) S S

F1

F2 F3 F4

(b) M(s)

N(s)

T(s) T1 T2

S S F1

F2 F3 F4 S(s)

S(s)

M(s) M(s)

T1 T2

(c) S(s)

N(s) T(s)

V

V

S

S F1

F2 F4

T1 T2

S(s) S(s) r

h(s)

S(s)

F1 F2 (d) V

F3

S(s)

N(s) T(s)


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Le caratteristiche di sollecitazione pensate applicate ad esempio alla sezione S del tronco T2 rappresentano leffetto sul tronco T2 delle forze applicate al tronco T1 e sono un sistema di forze equivalente al sistema costituito da tutte le forze applicate alla parte di struttura precedente la sezione S, cio al tronco T1. Sia ( )sS la risultante di N(s) e T(s), figura 19.1c. Il sistema di forze costituito dalle caratteristiche di sollecitazione N(s), T(s), M(s) equivalente ad un sistema costituito dalla forza ( )sS pensata applicata al baricentro della sezione S e dal momento flettente M(s); questultimo sistema di forze a sua volta equivalente alla sola forza ( )sS applicata sulla retta r avente la direzione di ( )sS e distante h(s) dal baricentro della sezione S, essendo (figura 19.1d)

( ) ( )( )sSsM

sh = (19.1)

In figura 19.1d inoltre evidenziato il fatto che ( )sS pensata applicata al tronco T1 sulla retta r costituisce, insieme alle forze precedenti la sezione S ( 1F ed 1F nellesempio di figura) un sistema equilibrato; equivalentemente ( )sS applicata al tronco T2 sulla retta r costituisce un sistema di forze equivalente alle forze precedenti la sezione S ( 1F ed 1F nellesempio di figura). La simbologia di figura 19.1d indica che

( )sS pensata applicata al baricentro della sezione S mediante un braccio rigido connesso a detto baricentro: leffetto sulla sezione della forza ( )sS applicata in questo modo alla sezione lo stesso delle caratteristiche di sollecitazione applicate come in figura 19.1b.

La retta r pu quindi essere identificata equivalentemente: - sulla base delle caratteristiche di sollecitazione; - valutando la retta di azione della risultante delle forze che

precedono la sezione S, ovviamente considerando sia le forze attive che le reazioni vincolari applicate.

ed la linea delle pressioni relativamente alla sezione S. Lo stato di sollecitazione nella sezione S soggetta a N(s), T(s)

ed M(s) dunque lo stesso che si avrebbe immaginando la presenza di un braccio rigido di lunghezza h(s) avente un estremo solidale al baricentro della sezione S e soggetto allaltro estremo alla risultante

( )sS , come mostrato in figura 18.1d. Immaginando di percorrere lasse della struttura (ad esempio

nel senso delle ascisse curvilinee crescenti), loperazione appena descritta pu ripetersi per tutte le sezioni di un sistema di travi; restano cos determinate le rette di azione delle forze che precedono tutte le sezioni che vengono attraversate durane il percorso.


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Definizione Si definisce linea delle pressioni di un sistema di travi linsieme

delle rette di azione delle successive risultanti delle forze applicate al sistema. Osservazione 1

La conoscenza della linea delle pressioni fornisce importanti informazioni sullo stato di sollecitazione. Ad esempio considerando una sezione S e tralasciando per brevit di specificare la dipendenza delle quantit dallascissa s che identifica S, con riferimento alla figura 19.2 immediato riconoscere che:

Figura 19.2.

- se la linea delle pressioni relativa alla sezione S ortogonale alla

direzione dellasse della trave nel punto s la sezione soggetta solo a taglio ed a momento flettente, essendo questultimo proporzionale alla distanza h tra la linea delle pressioni ed il baricentro della sezione (figura 19.2a); in particolare, se la linea

S

r

S

h

S

T = S

M = Sd N = 0

(a)

S

T = S

N = 0 M = 0

S S

r

h = 0

(b)

S

h S r

S

N = S M = sd T = 0

(c)

S r d = 0

S S

T = 0 M = 0 N = S

(d)

S S = 0

r

h

S

M = Sd

T = 0 N = 0

(e)


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delle pressioni relativa alla sezione S ortogonale allasse della trave nel punto s e passa per il baricentro di S la sezione soggetta solo a taglio, essendo h = 0 (figura 19.2b);

- se la linea delle pressioni relativa alla sezione S parallela alla direzione dellasse della trave nel punto s la sezione soggetta solo a sforzo normale ed a momento flettente, essendo questultimo proporzionale alla distanza tra la linea delle pressioni ed il baricentro della sezione (figura 19.2c); in particolare, se la linea delle pressioni relativa alla sezione S tangente lasse della trave nel punto s la sezione soggetta solo a sforzo normale, essendo h = 0 (figura 19.2d);

- se la linea delle pressioni relativa alla sezione S a distanza infinita dal baricentro della sezione, dovendo per la (19.1) essere S = 0, la sezione soggetta solo a momento flettente (figura 19.2e).

Osservazione 2

Secondo la definizione la linea delle pressioni per un sistema di travi linsieme delle rette di azione delle successive risultanti delle forze applicate al sistema. La linea delle pressioni si costruisce quindi a partire da una sezione nella quale nota la risultante delle forze applicate (in genere una sezione di estremit di una trave) immaginando di percorrere lasse della struttura. Ogni volta che durante il percorso si raggiunge una sezione sF nella quale applicata una forza od una reazione vincolare la linea delle pressioni deve essere modificata determinando la retta di azione della risultante tra la risultante delle forze precedenti la sezione sF e la forza o la reazione vincolare applicata nella sezione sF. Quindi la linea delle pressioni non si modifica nei tratti in cui non sono applicate forze. Ad esempio, nel caso del tronco T2 di figura 19.1, immaginando di percorrere la struttura da S nel verso delle s crescenti si capisce che la linea delle pressioni r relativamente a tutte le sezioni tra la sezione S e la sezione V ove applicata la forza 3F , non essendo presenti forze esterne tra S e V; superata la sezione V la linea delle pressioni la retta di azione della risultante tra ( )sS ed 3F ; essendo poi ( )sS la risultante tra 1F ed 2F , si vede come la nuova linea delle pressioni sia la retta di azione della risultante tra 1F , 2F ed 3F , cio la retta di azione della risultante di tutte le forze che precedono la sezione in esame. La linea delle pressioni dei sistemi soggetti solo a forze concentrate quindi una spezzata o, pi in generale, un insieme di rette. Osservazione 3

Nel caso invece di travi soggette a carichi distribuiti, pensando il carico distribuito come una successione di infiniti carichi concentrati di entit infinitesima, si deduce che la linea delle pressioni deve


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modificarsi man mano che si procede lungo lasse della trave in quanto spostandosi da una sezione S ad una successiva V, ancorch vicina, la linea delle pressioni deve modificarsi per effetto della risultante dal carico distribuito tra S e V; in questo caso la linea delle pressioni quindi una curva o un fascio di rette parallele, dipendentemente dalla disposizione dei carichi e dei vincoli. Osservazione 4

Nellosservazione 2 si affermato che la linea delle pressioni non si modifica nei tratti nei quali non sono applicate forze esterne. Questo evidente anche pensando che tali tratti devono essere in equilibrio. Si consideri infatti un tratto AB lungo il quale non sono applicate forze esterne (figura 19.3); sia r la linea delle pressioni relativa alla sezione A; ci equivale ad affermare che la risultante delle forze applicate al tratto AB attraverso la sezione A una forza AS avente retta di azione r. Non essendo applicate forze lungo lasse, la risultante delle forze applicate alla sezione B deve da sola equilibrare

AS e quindi deve avere la stessa retta di azione di AS . Ovviamente la conoscenza della linea delle pressioni fornisce solo informazioni sulla retta di azione delle risultanti applicate e non sul loro verso, pertanto la linea delle pressioni r relativa al tratto AB coerente con entrambe le circostanze rappresentata in figura 19.3.

Figura 19.3.

Osservazione 5

Secondo quanto visto la linea delle pressioni si determina valutando in ogni sezione di una struttura, la retta di azione della risultante delle forze che precedono la sezione stessa. Naturalmente, se la struttura in equilibrio e cio se tutte le forze cui la struttura soggetta costituiscono un sistema con risultante nulla e momento risultante nullo rispetto a qualunque polo, la risultante delle forze che precedono una generica sezione e la risultante delle forze che seguono la stessa sezione costituiscono un sistema equilibrato e quindi queste due risultanti hanno la stessa retta di azione. In altre parole la linea delle pressioni non dipende dalla scelta arbitraria delle forze che precedono la generica sezione e cio non dipende del verso di percorrenza assunto arbitrariamente.

r

r

r

r

SA

SA

SA

SA

A

B

A

B


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Esempio 19.1 Si tracci la linea delle pressioni della struttura di figura 19.4.

Figura 19.4.

Figura 19.5.

A B

C D E

F3

F2

F1

F1 + F2

F2

F1

F1 + F2

A

D E

F1 + F2

F3

RF = F1 + F2 + F3

F1 + F2

F3

RF = F1 + F2 + F3

A B

C

D E

F3

F2

F1


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Immaginando di percorrere lasse della struttura da A verso E,

lunica forza che precede una qualunque sezione del tratto tra A e B la reazione AR del vincolo A; la sua retta di azione la linea delle pressioni relativamente al tratto AB.

Per tracciare la linea delle pressioni quindi necessario determinare detta reazione vincolare. Procedendo per via grafica, si sostituisce dapprima alle forze la loro risultante, 321F FFFR ++= (figura 19.5). Successivamente si determinano le reazioni vincolari (figura 19.6) ricordando che la reazione ER del carrello E la retta u, ortogonale alla direzione dello spostamento consentito e che la reazione AR dellappoggio A deve avere retta di azione r passante per A e per il punto K, intersezione tra u e la retta di azione di FR (questo affinch AR possa costituire insieme a ER ed FR un sistema equilibrato).

Figura 19.6.

A

E

K

RF

RF

RA

RE

RE

RA

u r


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Pu ora essere tracciata la linea delle pressioni; a questo scopo utile tracciare il poligono delle forze applicate disponendo in successione le forze applicate nellordine in cui si incontrano procedendo nel verso di percorrenza scelto, come mostrato in figura 19.7; si numerino da 1 a 5 i vertici del poligono.

Immaginando dunque di percorrere lasse della struttura da A verso E, trovandosi in una qualunque posizione tra A e B lunica forza che precede la reazione AR , pertanto la retta r la linea delle pressioni relativa al tratto AB (figura 19.7). Superata la sezione B le forze che precedono sono la reazione AR e la forza 1F ; la corrispondente linea delle pressioni la retta di azione della risultante tra AR ed 1F . Questa risultante pu rappresentarsi nel poligono di equilibrio congiungendone i vertici 1 e 3 (il vettore congiungente i vertici 1-3 rappresenta il modulo ed il verso della forza 1A FR + ). Inoltre

1A FR + deve avere retta di azione passante per il punto B, intersezione tra la retta di azione di r AR e la retta di azione di 1F . Superata la sezione B la linea delle pressioni quindi la retta s che passa per B ed parallela al segmento congiungente i vertici 1-3 del poligono di equilibrio (figura 19.7).

Figura 19.7.

Fino al raggiungimento della sezione C le forze che precedono sono sempre AR ed 1F e quindi la linea delle pressioni relativa al tratto BC la retta s.

A B

C D E

F3

F2

F1

RA

r

B

s t

C

D

u

RA F1

F2 F3

RA + F1 1

2

3

4

5

RA + F1 + F2

//s

RA F1

RA + F1

//s

RA F1

F2 RA + F1 + F2

//t

RE

RE


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Superata la sezione C le forze che precedono una generica sezione del tratto CD sono AR , 1F ed 2F e la corrispondente linea delle pressioni la retta di azione della risultante tra AR , 1F ed 2F . Questa risultante pu rappresentarsi nel poligono di equilibrio congiungendone i vertici 1 e 4 (il vettore congiungente i vertici 1-4 rappresenta il modulo ed il verso della forza 21A FFR ++ ). Inoltre

21A FFR ++ deve avere retta di azione passante per il punto C, intersezione tra la retta di azione s di 1A FR + e la retta di azione di 2F . Superata la sezione C la linea delle pressioni quindi la retta t che passa per C ed parallela al segmento congiungente i vertici 1-4 del poligono di equilibrio (figura 19.7). Fino al raggiungimento della sezione D le forze che precedono sono sempre AR , 1F ed 2F . e quindi la linea delle pressioni relativa al tratto CD la retta t.

Superata la sezione D le forze che precedono sono la reazione AR e le forze 1F , 2F ed 3F e la corrispondente linea delle pressioni

la retta di azione della risultante tra AR , 1F , 2F ed 3F . Questa risultante pu rappresentarsi nel poligono di equilibrio congiungendone i vertici 1 e 5 (il vettore congiungente i vertici 1-5 rappresenta il modulo ed il verso della forza 321A FFFR +++ ). Inoltre

321A FFFR +++ deve avere retta di azione passante per il punto D, intersezione tra la retta di azione t di 21A FFR ++ e la retta di azione di

3F . Superata la sezione D la linea delle pressioni quindi la retta u che passa per D ed parallela al segmento congiungente i vertici 1-5 del poligono di equilibrio (figura 19.7). Fino al raggiungimento della sezione E le forze che precedono sono sempre AR , 1F , 2F ed 3F e quindi la linea delle pressioni relativa al tratto DE la retta u.

Si osserva che la linea delle pressioni relativa al tratto DE avrebbe potuto pi rapidamente essere determinata immaginando di percorrere lasse della struttura da D verso A; in questo caso infatti lunica forza precedente ogni sezione del tratto DE la reazione ER , la cui retta dazione u la linea delle pressioni per il tratto DE.

Le rette che costituiscono la linea delle pressioni della struttura sono riassunte, tratto per tratto, in tabella 19.1.

Tratto Linea delle pressioni

AB r BC s CD t DE u

Tabella 19.1. La costruzione di figura 19.7 contiene tutte le informazioni sullo stato di sollecitazione della trave considerata. Ad esempio, volendo determinare le caratteristiche di sollecitazione relative ad una sezione tra A e B il cui baricentro H basta ricordare che questa sezione


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soggetta alla forza AR avente retta di azione r (linea delle pressioni tra A e B); pertanto (figura 19.8b):

- lo sforzo normale NH nella sezione la componente di AR nella direzione tangente allasse della trave nel punto H;

- il taglio TH nella sezione la componente di AR nella direzione ortogonale allasse della trave nel punto H;

- il momento flettente MH nella sezione il prodotto del modulo di AR per la distanza hH tra il baricentro H della sezione e la retta r.

Figura 19.8.

Volendo invece determinare le caratteristiche di sollecitazione

relative ad una sezione il cui baricentro L tra B e C basta ricordare che la sezione L soggetta alla forza 1A FR + avente retta di azione s (linea delle pressioni tra B e C) e procedere in modo analogo a quanto appena descritto (figura 19.8c).

A B

C D E

F3

F2

F1

RA

r

B

s t

C

D

u

RE L

B

C D E

F3

F2

F1 r

B

s t

C

D

u

RE

RA

NH

TH

TH NH

H

MH

hH H

(a) (b)

RA + F1

RA F1

RA + F1

//s

E

RE

RA + F1

TL NL

s

C D E

F3

F2

C

D

u

t

L

TL NL

ML

hL

(c)


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LEZIONE 19 Sessione di studio 1 Linea delle pressioni. Sono discussi nel seguito alcuni esempi di determinazione della linea delle pressioni relativi a strutture soggette a carichi concentrati. Esempio 19.2

Si tracci la linea delle pressioni della struttura di figura 19.9.

Figura 19.9.

Immaginando di percorrere lasse dellasta AD da A verso D,

non si incontrano forze fino alla sezione B, pertanto la linea delle pressioni relativa al tratto AB non definita (figura 19.10).

Figura 19.10.

A B C

G

E

F1

F2

F3 D

H

r

s

(a)

A B C

G

E

F1

F2

F3 D

H

r

s

(b)

B t

F1

F2

F1 + F2 //t

A B C

G

E

F1

F2

F3 D

H

r

s

(c)

B t

G

u

F1 + F2

F1 + F2 + F3 F3

//u F1

F2 F3 F1 + F2 + F3

//u

A

B C

G

E

F1

F2

F3 D

H


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Lunica forza che precede una qualunque sezione tra B e C 1F , la cui retta di azione r la linea delle pressioni relativa al tratto BC

(figura 19.10a).

Immaginando ora di percorrere il tratto GC da G verso C, lunica forza che precede ogni sezione di questo tratto 2F , la cui retta di azione s la linea delle pressioni relativa al tratto GC (figura 19.10a).

Tornando sul tratto AD, superata la sezione C le forze che precedono ogni sezione del tratto CD sono 1F ed 2F e la linea delle pressioni la retta di azione t della risultante tra 1F ed 2F . Questa retta passa per il punto B, intersezione tra la rette di azione di 1F ed

2F ed ha linclinazione di 21 FF + determinabile sul poligono delle forze. Tra C e E non sono applicate altre forze, quindi t la linea delle pressioni relativa al tratto CDE (figura 19.10b).

Superata la sezione E, le forze che precedono le sezioni del tratto EH sono 1F , 2F ed 3F e la linea delle pressioni la retta di azione u della risultante di queste tre forze; questa passa per il punto intersezione G tra la retta t (retta di azione di 21 FF + ) e la retta di azione di 3F e la sua inclinazione si determina ancora sul poligono delle forze (figura 19.10c).



AB -- BC r CD t DE t EH u GC s

Tabella 19.2.

La costruzione di figura 19.10 consente di valutare le sollecitazioni in ogni sezione della struttura. In particolare in figura 19.11 rappresentato lo schema per la determinazione delle caratteristiche di sollecitazione nella sezione vincolata dallincastro. Ovviamente queste caratteristiche rappresentano anche la reazione vincolare dellincastro.

Si osserva che per la struttura di questo esempio, contrariamente a quanto visto nellesempio precedente, per il tracciamento della linea delle pressioni non stato necessario determinare preliminarmente le reazioni vincolari in quanto, procedendo a partire dagli estremi A e G subito possibile identificare la retta di azione delle forze che precedono le sezioni considerate.


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Si osserva inoltre che la presenza dello spigolo C non produce cambiamenti della linea delle pressioni che la stessa retta relativamente ai tratti CD e DE, non essendo a questi applicate forze.

Si osserva infine che nella valutazione della linea delle pressioni per il tratto CDE necessario considerare sia la forza di 1F che la forza 2F e cio tutte le forze che precedono, indipendentemente dal fatto che queste siano applicate ad aste diverse. In altre parole si immagina di eliminare tutta la struttura che precede la sezione considerata e si considerano le forze applicate alla parte di struttura idealmente rimossa.

Figura 19.11.

Esempio 19.3

Si tracci la linea delle pressioni della struttura di figura 19.12a.

Figura 19.12.

immediato determinare le reazioni vincolari della struttura isostatica mediante le Equazioni Cardinali della Statica o il Principio dei Lavori

A D

B C

L/3 L/3 L/3

(a)

F1

F2

A D

B C

(b)

F1

F2 r

L/3 L/3 L/3

RA RD

F1

F2

RD

RA

A B C

G

E

F1

F2

F3 D

H

r

s B t

G

u

F1

F2 F3

F1 + F2 + F3

//u

u

MH

F1 + F2 + F3

TH

NH

TH

NH

H

dH


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Virtuali. Queste reazioni sono disposte come in figura 19.12b ed hanno modulo

3

FF2R 21A+

= 3

F2FR 21D+

= (e.3.1)

Immaginando di percorrere lasse della struttura da A verso D, lunica forza che precede ogni sezione del tratto AB la reazione AR , la cui retta di azione r quindi la linea delle pressioni relativa al tratto AB (figura 19.12b).

Superata la sezione B, le forze che precedono ogni sezione del tratto BC sono la reazione AR e la forza 1F ; la linea delle pressioni relativa al tratto BC quindi la retta di azione s della risultante 1A FR + . Questa risultante ha la stessa direzione di AR ed 1F (essendo queste forze parallele). Per determinare la posizione della retta s si pu assumere unascissa z coincidente con lasse della trave ed avente origine in A e chiamare zp lascissa incognita del punto intersezione tra lasse z e la retta di azione s della risultante 1A FR + (figura 19.13).

Figura 19.13.

Lincognita zp pu poi determinarsi imponendo che il sistema di forze costituito dalla sola risultante 1A FR + avente retta di azione s sia equivalente al sistema di forze costituito dalle due forze AR ed 1F e cio che questi due sistemi di forze abbiano lo stesso momento rispetto a qualunque polo O. Scegliendo poi come polo il punto dellasse z posto allascissa incognita zp, il momento della risultante

1A FR + rispetto ad O nullo, pertanto rispetto a tale polo deve essere nullo anche il momento del sistema costituito da AR ed 1F , cio deve risultare

A D

B C

F1

F2

RA RD

RA F1

RA + F1

z z = 0

zp

RA

z = 0 z

zp

RA + F1

RA + F1

zp

zp L/3 L/3

s

F1


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03LzFzR p1pA =

(e.3.2)

da cui, ricordando la (e.3.1) si ottiene:

LFFFz

21

1p

= (e.3.3)

Essendo nel presente caso 21 FF < lascissa zp negativa; conseguentemente la linea delle pressioni relativa al tratto BC si trova a sinistra dellappoggio A (figura 19.14).

Figura 19.14.

Superata la sezione C si pu procedere in modo analogo a quanto appena visto aggiungendo alla risultante appena determinata la forza 2F . Tuttavia, immaginando di percorrere lasse della struttura da D verso A, lunica forza che precede ogni sezione del tratto DC la reazione DR , la cui retta di azione t quindi la linea delle pressioni relativa al tratto DC (figura 19.14).



AB r BC s CD t

Tabella 19.3. Sfruttando la costruzione di figura 19.14 possono determinarsi le caratteristiche di sollecitazione in ogni sezione della trave; ad esempio per la sezione di mezzeria (figura 19.15) la linea delle pressioni la retta s che ortogonale allasse della trave, pertanto si ha

A

D

B C

F1

F2

L/3 L/3 L/3 zp

z

RA + F1

s r t

RA RD

zp z = 0


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0NM = (e.3.4)

come daltra parte per ogni sezione della trave, essendo la linea delle pressioni sempre ortogonale allasse della trave; il modulo del taglio poi pari alla risultante delle forze che precedono la sezione di mezzeria, cio

3

FFFRT 121AM

== (e.3.5)

mentre il momento flettente

( ) L6

FFz2L

3FFz

2LFRM 12p12p1AM

+=

=

= (e.3.6)

avendo tenuto conto della (e.3.1) e della (e.3.3). Questo valore ovviamente lo stesso che si troverebbe calcolando il momento rispetto alla baricentro della sezione di mezzeria delle forze

AR ed 1F , cio:

( )6LFF

6LF

2L

3FF2

3L

2LF

2LRM 211211AM +=

+=

= (e.3.7)

Figura 19.15.

Esempio 19.4


Figura 19.16.

u

A D

B C

L/3 L/3 L/3

(a)

F F

A D

B C

(b) r

L/3 L/3 L/3

RA RD

F

F

RD

RA

F F

s

RD

D

C

F2

MM

TM zp L/2

M z z = 0 RA + F1


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immediato verificare che le reazioni vincolari sono disposte

come in figura 19.16b ed hanno modulo

FRA = FRD = (e.4.1)

A parte lentit delle forze applicate, il problema del tutto analogo a quello dellesempio 19.3. La linea delle pressioni relativa al tratto AB la retta di azione r della reazione AR ; la linea delle pressioni relativa al tratto CD la retta di azione t della reazione DR (figura 19.16b).

Immaginando poi di percorrere lasse della trave da A verso D, le forze che precedono una qualunque sezione del tratto BC sono la reazione AR il cui modulo pari ad F e la forza F applicata alla sezione B. Il sistema di forze costituito da AR applicata al punto A ed F applicata al punto B una coppia il cui modulo del FL/3. Questo sistema anche equivalente ad una forza di modulo nullo avente retta di azione parallela alle due forze e disposta a distanza infinita (figura 19.17). Di questo ci si pu facilmente rendere conto considerando che la (e.3.3), nel presente caso di 21 FF = , fornisce

=

21 FF21

1p LFF

Fz (e.4.2)

Figura 19.17.



AB r BC s CD t

Tabella 19.4.

A D

B C

F F

L/3 L/3 L/3 zp

z RA + F10

s r t

RA RD


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Considerando la linea delle pressioni di figura 19.17 pu affermarsi che:

- in ogni sezione di della trave lo sforzo normale nullo (come per lesempio precedente), essendo la linea delle pressioni sempre ortogonale allasse della trave;

- in ogni sezione del tratto BC il taglio nullo, essendo nulla la risultante delle forze che precedono ogni sezione di tale tratto;

- ogni sezione del tratto BC soggetta allo stesso momento flettente (si ricordi anche lequazione indefinita di equilibrio secondo la quale la funzione taglio T(s) la derivata della funzione momento flettente M(s)).


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LEZIONE 19 Sessione di studio 2 Linea delle pressioni. Sono discussi nel seguito alcuni esempi di determinazione della linea delle pressioni relativi a strutture soggette a carichi distribuiti. Esempio 19.5


Figura 19.18.

Sostituendo al carico distribuito la sua risultante, si determinano innanzitutto le reazioni vincolari AR ed CR con il consueto procedimento (figura 19.18b). Si osserva inoltre in via preliminare che le rette di azione delle reazioni vincolari costituiscono la linea delle pressioni per la struttura pensata soggetta alla risultante R del carico distribuito invece che al carico distribuito stesso; in particolare, in questo caso la retta di azione r di AR la linea delle pressioni relativamente al tratto AD, mentre la retta di azione w di CR la linea delle pressioni relativamente al tratto DC.

Si approssimi dapprima il carico distribuito con una successione di carichi concentrati suddividendo il tratto AB caricato in n intervalli ed attribuendo a ciascun intervallo la risultante del carico ad esso competente, pari a

nLq

nRF 0== (e.5.1)

In figura 19.18c rappresentata questa suddivisione con 5n = . Si indichino con A1,, A5 i punti medi degli intervalli considerati, in corrispondenza dei quali sono applicate le forze F (figura 19.19). La

0

q

B

L0 = L/2 L/2

A C

R = qL0

RC

RA

0

R = qL0

B A C

D

RC

RA

qL0/5 qL0/5

qL0/5 qL0/5

qL0/5

L0/5 = = = L0/5

B A

C

(a)

(b) (c)

r w


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linea delle pressioni relativa a questa configurazione pu quindi essere tracciata con il consueto procedimento immaginando di percorrere lasse della trave da A verso C. Per tutte le sezioni del tratto da A fino alla sezione A1 lunica forza che precede la reazione

AR , quindi la retta di azione r di AR la linea delle pressioni relativa al tratto AA1. Tra la sezione A1 e la sezione A2 le forze che precedono sono la reazione AR e la forza F applicata alla sezione A1. La corrispondente linea delle pressioni quindi la retta di azione s della risultante tra queste forze; detta retta passa per il punto intersezione tra r e la retta di azione di F applicata in A1 ed ha linclinazione che si determina congiungendo i vertici 1 e 3 del poligono delle forze (figura 19.19a).

Figura 19.19.

Superata la sezione A2, le forze che precedono ogni sezione tra A2 ed A3 sono la reazione AR , la forza F applicata alla sezione A1 e la forza F applicata alla sezione A2. La corrispondente linea delle pressioni quindi la retta di azione t della risultante tra queste forze; detta retta passa per li punto intersezione tra s e la retta di azione di F applicata in A2 ed ha linclinazione che si determina congiungendo i vertici 1 e 4 del poligono delle forze (figura 19.19b).

0

RA

r

s

A A1 A2 A3 A4 A5

C

RC

RA

RC

R

F = R/5

1

2

3

2

RA

|RA+F| //s

F = R/5

1

3

0

RA

r

s

A A1 A2 A3 A4 A5

C

RC

t

(a)

(b) RA

RC

R

F = R/5

1

2

3 4 F = R/5 RA

1

2

4 2F = 2R/5

|RA+2F| //t

0

RA

r

s

A A1 A2 A3 A4 A5

C

RC

(c)

t

u v

w

RA

RC

F = R/5

1

2

3 4 F = R/5

3 4

5

F = R/5 F = R/5 F = R/5


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Proseguendo in questo modo verso la sezione C si determina la spezzata di figura 19.19c che costituisce la linea delle pressioni relativa alla suddivisione realizzata. Si osserva che, superata la sezione A5 linclinazione della retta di azione della risultante delle forze che precedono si ottiene congiungendo i vertici 1 e 5 del poligono delle forze ed linclinazione delle reazione CR , come avrebbe potuto immediatamente dedursi immaginando di percorrere l'asse della struttura da C verso A.

La posizione dei vertici della spezzata di figura 19.19 dipende dalla suddivisione operata relativamente al tratto caricato; una suddivisione pi fine avrebbe prodotto vertici pi vicini ed, al limite, una suddivisione in infiniti intervalli infinitesimi avrebbe prodotto una curva. Assunta unascissa z coincidente con lasse della trave e avente origine allestremo A e detta z la lunghezza degli intervalli in cui stato suddiviso il tratto caricato (figura 19.20b), per determinare landamento di tale curva basta tenere presente che la variazione di pendenza della linea delle pressioni relativamente ad un generico intervallo z misurata dalla variazione di inclinazione della retta di azione della risultante che si determina sul poligono delle forze.

Figura 19.20.

Detta quindi (z) la pendenza della linea delle pressioni relativa alla sezione z, cio linclinazione della retta di azione della risultante tra la reazione AR e la risultante del carico applicato fino allascissa z, considerando i triangoli 1-0-3 ed 1-0-4 nel poligono delle forze pu scriversi luguaglianza

0

q

B

L0 = L/2 L/2

A C

qz qz

qz qz

qz

z = = = z

B A

C

(a)

(b)

z

z = 0

RA

H

VA

H

RC VA

RC

RA

0

y (0) = 0

1

(z)

(z+z)

qz

qz

q(z+z)

2

3

4

0

H

RC

RA Htan (z)

Htan (z+z)

z

y

A C

z

y(z)

(z)

tan (z) = y(z)

(c)


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( )( ) ( )( )[ ]zztanztanHzqnRF +=== (e.5.2)

essendo (figura 19.20) H il modulo della componente orizzontale delle reazioni AR ed CR . Dalla (e.5.2) si ottiene:

( )( ) ( )( )

zztanzztan

Hq

+

= (e.5.3)

Assumendo poi che la linea delle pressioni sia descritta da una funzione y(z) dellascissa z (figura 19.20c), la pendenza ( )ztan pari alla derivata di detta funzione:

( ) ( ) ( )ztanzydzdz'y == (e.5.4)

sicch la (e.5.3) diventa

( ) ( )

zz'yzz'y

Hq

+

= (e.5.5)

Passando al limite per z tendente a 0 (e cio considerando tratti z infinitesimi) si riconosce che il secondo membro della (e.5.5) la derivata seconda della funzione y(z)

( ) ( ) ( )z''y

zz'yzz'ylim

0z=

+

(e.5.6)

e la (e.5.5) diventa

( )z''yHq

= (e.5.7)

che unequazione differenziale la cui incognita y(z) lequazione della linea delle pressioni relativa al tratto di trave caricato. Si osserva che, essendo nel presente caso q un carico costante rispetto a z, la curva linea delle pressioni y(z) una parabola. Per determinarne lequazione necessario risolvere la (e.5.7) con le condizioni al contorno

( )( )

=

=0tan0'y

00y (e.5.8)

la prima delle quali impone il passaggio per il punto A, mentre la seconda impone che la tangente alla parabola in A sia la retta di azione della reazione AR . Integrando la (e.5.7) si ha quindi

( ) 1CzHqz'y += (e.5.9)


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essenco C1 un costante che si determina imponendo il soddisfacimento della seconda delle (e.5.8)

( ) 01 tanC0Hq0'y =+= da cui 01 tanC = (e.5.10)

Integrando poi la (e.5.9) si ha

( ) ( ) 202 Cztanz

H2qzy ++= (e.5.11)

essendo C2 una costante che si determina imponendo il soddisfacimento della seconda delle (e.5.8)

( ) ( ) 0C0tan0H2q0y 20 =++= da cui 0C2 = (e.5.12)

La linea delle pressioni relativa al tratto AB in cui presente il carico distribuito quindi la parabola p descritta dallequazione:

( ) ( ) ztanzH2qzy 0

2 += (e.5.13)

In definitiva, la linea delle pressioni per la struttura in esame tracciata in figura 19.21.

Figura 19.21.

Le curve che costituiscono la linea delle pressioni della struttura sono riassunte, tratto per tratto, in tabella 19.5.


AB parabola p BC retta w

Tabella 19.5.

0

RA

A C

RC

w

q

B

qL0

L0 = L/2 L/2

r p

z

y


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Come al solito, la conoscenza della linea delle pressioni consente la determinazione delle caratteristiche di sollecitazione; come mostrato ad esempio per la generica sezone z tra 0 ed L/2 in figura 19.22.

Figura 19.22.

Si osserva che la forma della linea delle pressioni non dipende dalla forma della struttura, ma solo dalla disposizione dei carichi e dei vincoli; per esempio le strutture due di figura 19.23 hanno la stessa linea delle pressioni della struttura in esame, avendo i carichi ed i vincoli disposti nelle stesse posizioni.

Figura 19.23.

Le due strutture non sono tuttavia soggette alle stesse sollecitazioni, dipendendo queste anche dalla posizione relativa tra lasse della struttura e la linea delle pressioni, come immediato verificare tracciando la costruzione di figura 19.22 relativamente alle strutture di figura 19.23. In particolare, per la struttura di figura 19.23b il momento flettente ed il taglio sono sempre nulli, essendo la linea delle pressioni

RA

A C

RC

w

q

B

qL0

L0 = L/2 L/2

r p

z

y

RA

A C

RC

w

q

B

qL0

L0 = L/2 L/2

r p

z

y

(a) (b)

w p

RC

q

B z

z

y RC

RA qz

(z) (z)

y(z) h(z)

S(z)

z = 0 A

S(z)

C

T(z) N(z)

N(z)

T(z)

M(z) = S(z)d(z)


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coincidente con lasse della trave (il che comporta h(s) = 0 nella (19.1)). Questa osservazione rende evidente il fatto che, assegnata una distribuzione di carico, possibile stabilire la forma della struttura con il criterio di minimizzare qualche caratteristica di sollecitazione. Ad esempio la struttura di figura 19.23b conformata in modo da avere taglio e momento flettente nulli. Una tipica applicazione di questa strategia rappresentata dalle strutture ad arco, il cui asse si discosta poco dalla linea delle pressioni relativa ai carichi permanenti, sicch per effetto di carichi permanenti le sezioni sono soggette essenzialmente a sforzo normale. Ovviamente sollecitazioni di flessione e taglio anche elevate possono insorgere allorch allarco vengano applicati carichi accidentali di notevole entit rispetto ai carichi permanenti e questi carichi sono distribuiti in modo tale da modificare sensibilmente la forma della linea delle pressioni associata ai carichi permanenti.

Si osserva infine che abbastanza immediato dimostrare che la (e.5.7) valida anche nel caso di carico q(z) variabile; in questo caso si ha

( ) ( )z''yHzq

= (e.5.14)

ed ovviamente la forma della curva y(z) non pi una parabola, dipendendo dalla forma del carico q(z). Esempio 19.6


Figura 19.24.

Sostituendo al carico distribuito la sua risultante si determinano innanzitutto le reazioni vincolari AR ed CR , che ovviamente hanno entrambe direzione verticale. Si osserva che le rette di azione delle reazioni vincolari costituiscono la linea delle pressioni per la struttura pensata soggetta alla risultante R del carico distribuito invece che al carico distribuito stesso; in particolare, in questo caso la retta di

0 = /2

q

B

L0 = L/2 L/2

A C (a)

R = qL0

B

A C

D

RC

RA

(b)

R = qL0

RA

RC

r s

z z


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azione r di AR la linea delle pressioni relativamente al tratto AD, mentre la retta di azione s di CR la linea delle pressioni relativamente al tratto DC.

Si assuma anche in questo caso unascissa z coincidente con lasse della trave ed avente origine nel punto A. Volendo applicare le formule ottenute nellesempio precedente, ci si rende conto che in questo caso la linea delle pressioni sempre verticale, essendo nulla la componente orizzontale H delle reazioni vincolari. Daltra parte, immaginando di percorrere lasse della struttura da A verso C, le forze che precedono la generica sezione z del tratto AB sono la reazione verticale AR e la risultante del carico tra la sezione A e la sezione z, che verticale ed ha modulo qz. La linea delle pressioni relativa alla sezione z quindi verticale, essendo la retta di azione della risultante di queste due forze verticali. Si cerca quindi la posizione della linea delle pressioni relativa alla generica sezione z del tratto AB; sia zp(z) lascissa in corrispondenza della quale questa linea delle pressioni interseca lasse z (figura 19.25).

Figura 19.25.

Le forze che precedono la sezione z sono la reazione vincolare AR applicata al punto A e la risultante del carico tra A e lascissa z; questultima ha modulo qz e retta di azione verticale passante per lascissa z/2; la risultante di queste forze ha modulo RA - qz ed ha retta di azione che interseca lasse z in corrispondenza dellascissa incognita zp(z). Questa incognita pu determinarsi imponendo che il sistema di forze costituito dalla sola risultante di modulo RA - qz avente retta di azione verticale passante per zp(z) sia equivalente al sistema di forze costituito dalle due forze AR ed qz e cio che questi due sistemi di forze abbiano lo stesso momento rispetto a qualunque

0 = /2

q

B

L0 = L/2 L/2

A C (a)

RC

RA

z

z zp(z)

z

RA

qz RA - qz

z/2 zp - z/2

zp

h(z) = zp(z) - z


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polo O. Scegliendo come polo il punto dellasse z posto allascissa incognita zp(z), il momento della risultante RA - qz rispetto questo polo nullo, pertanto rispetto a tale polo deve essere nullo anche il momento del sistema costituito da AR ed qz, cio deve essere soddisfatta la relazione

( ) ( ) 02zzzqzzzR ppA =

(e.6.1)

da cui

( ) ( )qzR2qzzzA

2

p = (e.6.2)

Questultima consente di osservare che:

- la linea delle pressioni relativa alla sezione z si trova a sinistra del punto A finch il denominatore del secondo membro positivo, cio finch il modulo qz del carico applicato tra A e la generica sezione z pi piccolo del modulo della reazione RA, essendo in questo caso lascissa zp(z) negativa;

- la linea delle pressioni relativa allascissa z che rende nullo il denominatore della (e.6.2), cio

qRz A= (e.6.3)

si trova a distanza infinita dal punto A, essendo in questo caso ( ) zzp ; in particolare, questa linea delle pressioni si trova a

distanza infinita a sinistra di A se z si avvicina a z da sinistra ( )ARqz < , mentre si trova a distanza infinita a destra di A se z si avvicina a z da destra ( )ARqz > . Essendo poi immediato stabilire che nel presente caso si ha

qL83RA = (e.6.4)

le precedenti relazioni diventano:

( )z8L3

z4zz2

p = (e.6.5)

da cui

L83z = (e.6.6)

appena il caso di osservare che relativamente alla sezione B, identificata da z = L/2, la (e.6.5) fornisce la linea delle pressioni identificata da


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L2Lzp =

(e.6.7)

e cio la retta verticale passante per C, come avrebbe potuto immediatamente dedursi immaginando di percorrere lasse della struttura da C verso A.

Riassumendo pu quindi affermarsi che la linea delle pressioni della struttura in esame un fascio di rette verticali relativamente al tratto AB ed la retta s relativamente al tratto BC (figura 19.26); in particolare la linea delle pressioni relativa alla generica sezione z tra 0 ed L/2 la retta verticale che interseca lasse z allascissa zp(z) data dalla (e.6.5); la linea delle pressioni relativa ad ogni sezione s tra L/2 ed L invece la retta s.

Figura 19.26.

Si osserva infine che, come descritto nellosservazione 1, il

fatto che la linea delle pressioni relativa ad una sezione sia a distanza infinita dalla sezione implica che il taglio e lo sforzo normale nella sezione sono nulli. In effetti per la struttura in esame lo sforzo normale nullo in ogni sezione ed il taglio relativamente al tratto AB descritto da

( ) qzqL83qzRzT A == (e.6.8)

e quindi nella sezione 8L3zz == vale

( ) 0L83TzT =

= (e.6.9)

Inoltre, essendo per la struttura in esame ( ) [ ]L,0z0zN = , il modulo S(z) della risultante tra i taglio e lo sforzo normale nella generica sezione z pari al taglio nella stessa sezione

( ) ( )zTzS = (e.6.10)

z1 z2 z3 z4

z = 3L/8

z5

z = L/2 r

z p(z

2)

zp(z1)

z p(z

3)

z p(z

4)

z p(z

) -

z p(L

/2)

s

z p(z

5)

z p(z

) -

z

q

3/8 qL

1/8 qL


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Applicando la (19.1) si ottiene

( )( )( )zTzM

zh = (e.6.11)

essendo poi

( )2zqzqL

83zM

2

= (e.6.12)

si ottiene la distanza dalla sezione z della linea delle pressioni ad essa relativa

( )z8L3

zL3z4

qzqL83

2zqzqL

83

zh2

2

=

= (e.6.13)

Questo risultato ovviamente coerente con la (e.6.5), essendo (figura 19.25)

( ) ( )z8L3

zL3z4zz8L3

z4zzzzh22

p

=

== (e.6.14)


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LEZIONE 19 Sessione di studio 3 Linea delle pressioni. Si propongono alcuni esercizi la cui soluzione lasciata al lettore. Gli schemi sono gi stessi proposti nelle lezioni 11, 12 e 18, sicch si suggerisce di sfruttare i risultati gi trovati e di controllare la coerenza della linea delle pressioni con le sollecitazioni precedentemente determinate. Esercizio 19.1

Si traccino i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione della struttura di figura 19.27.

Figura 19.27.

Esercizio 19.2


Figura 19.28.

Esercizio 19.3


Figura 19.29.

L

L/2

L L

L/2 F

L/2

L L L

q

L/2

L/2 L L/2 L

q


Pagina 31/31



Esercizio 19.4


Figura 19.30.

Esercizio 19.5


Figura 19.31.

L

L L

q

L

L

L

L

F

INCA10_0844A_1901Nucleo tematicoContenutoLez.




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19_linea Delle Pressioni