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1. Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
2. Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
3. Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas: Método de Variación de parámetros, Coeficientes Indeterminados
4. Método de Series de Potencias: Ecuación diferencial de Bessel, Hermite, Legendre, Laguerre.
5. Función Gamma y Función error.
26 27 28 29 30
3 4 5 6 7
10 11 12 13 14
17 18 19 20 21
24 25 26 27 28
Viernes 28 de octubre
De 9:00 a 12:00 horas, en el salón donde fue el PROPE
Ecuación diferencial lineal no homogénea
Resolver la ecuación homogénea asociada
Encontrar una solución particular
Ecuación diferencial lineal homogénea
Coeficientes constantes
Ecuación característica
Coeficientes variables
Reducción del orden por la forma
Ecuación del tipo Euler
Inspiración
Reducción del orden por conocer una solución
Solución mediante series de potencias
Encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea
Coeficientes constantes
Coeficientes indeterminados
Variación de parámetros
Coeficientes variables
Variación de parámetros
2
0 0 1 0 2 00
0 1 2
0
Una serie de potencias es una
serie infinita de la forma
donde , , , ... son constantes y
es un número fijo.
n
nn
a x x a a x x a x x
a a a
x
2
0 0 1 0 2 00
00
Una serie de potencias
es convergente en si el límite
lim
existe y es finito.
n
nn
Nn
nNn
a x x a a x x a x x
x
a x x
En cualquier otro caso se dice
que la serie de potencias es
divergente.
2
0 0 1 0 2 00
00
Una serie de potencias
es convergente en si el límite lim existe y es finito.
n
nn
Nn
nN
n
a x x a a x x a x x
x a x x
Una serie puede converger para ciertos
valores de y diverger para otros.x
2
0 0 1 0 2 00
00
Una serie de potencias
es convergente en si el límite lim existe y es finito.
En cualquier otro caso se dice que la serie de potencias es divergente.
n
nn
Nn
nN
n
a x x a a x x a x x
x a x x
2
0 0 1 0 2 00
0
0
Si la serie de potencias
es convergente para toda en el intervalo
y es divergente siempre que ,
donde 0 , entonces es llamado el radio
de convergencia d
n
nn
a x x a a x x a x x
x
x x r
x x r
r r
e la serie de potencias.
00
0 00 0
La serie de potencias
converge absolutamente en el punto ,
si la serie
converge.
n
nn
n n
n nn n
a x x
x
a x x a x x
Si la serie converge absolutamente, entonces
la serie también converge.
El inverso no es necesariamente cierto.
00
0 00 0
La serie de potencias converge
absolutamente en el punto , si la serie
converge.
n
nn
n n
n nn n
a x x
x
a x x a x x
Una de las pruebas más útiles para la
convergencia absoluta de una serie de
potencias es la prueba de el cociente.
1
1 0 10 0
0
0
Si 0, y si, para un valor fijo de ,
lim lim ,
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de tales
que 1 y diverge si
n
n
n nnn n
nn
a x
a x x ax x x x L
aa x x
x
x x L x x
0
0
1.
Si 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
L
x x L
0 0
00
Una función , definida en un intervalo
que contiene a , es analítica en el punto
si puede ser expresada como una serie
de potencias (su serie de Taylor)
que tiene un radio de c
n
nn
f x I
x x
f x
f x a x x
onvergencia mayor
que cero.
• Los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial son analíticas en todos lados
•Sumas diferencias y productos de los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial también son analíticas en todos lados
•Cocientes de dos de estas funciones son analíticas en todos los puntos en los cuales el denominador no se hace cero
2
2
d y dyP x Q x y x
dx dx
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
y , así como son funciones
analíticas en .
x
P x Q x x
x
2
2
d y dyP x Q x y x
dx dx
2
2
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes y , así como son funciones analíticas en .
d y dyP x Q x y x
dx dxx
P x Q x x x
00
00
00
0
Es decir,
y
son convergentes para con 0.
n
nn
n
nn
n
nn
P x P x x
Q x Q x x
x x x
x x r r
Si un punto no es un punto ordinario,
se le llama punto singular.
2
2
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes y , así como son funciones analíticas en .
d y dyP x Q x y x
dx dxx
P x Q x x x
0y P x y Q x y
0
0
El punto es un
de la ecuación diferencial si
o
no son a
punto sing
nalíticas
ula
n .
r
e
x
P x Q x
x
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
y , así como son funciones
analíticas en .
x
P x Q x x
x
2
2
d y dyP x Q x y x
dx dx
0
2
2
Si es un punto ordinario de la
ecuación diferencial lineal de segundo orden
,
entonces todas las soluciones pueden ser desarrolladas
en una única forma como una serie de potencias
x
d y dyP x Q x y x
dxdx
y x
0 00
,
donde el radio de convergencia .
n
nn
a x x x x R
R r
0
alrededor de
0
dyy
dx
x
0 alrededor de 0dy
y xdx
Es claro, que todos los puntos
del plano complejo son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
C
1 1
0 0 1
11
1 0 0 0
Sustituyendo en la ecuación
0 1 0
n n nn n n
n n n
n n n nn n n n
n n n n
dyy x a x na x na x
dx
na x a x n a x a x
alrededor de 0dy
ydx
1 1
0 0 1
11
1 0 0 0
1 10
Sustituyendo en la ecuación
0 1 0
1 0 1 0
n n nn n n
n n n
n n n nn n n n
n n n n
nn n n n
n
dyy x a x na x na x
dx
na x a x n a x a x
n a a x n a a
alrededor de 0dy
ydx
1 10 0
alrededor de 0
1 0 1 0n nn n n n n
n n
dyy
dx
y x a x n a a x n a a
1 1n
n
aa
n
1 10 0
alrededor de 0
1 0 1 0n nn n n n n
n n
dyy
dx
y x a x n a a x n a a
0
01 0
1 02
2 03
1
2 2 1
3 3 2 1
a
aa a
a aa
a aa
1 1n
n
aa
n
1 10 0
alrededor de 0
1 0 1 0n nn n n n n
n n
dyy
dx
y x a x n a a x n a a
0
01 0
1 02
2 03
1
2 2 1
3 3 2 1
a
aa a
a aa
a aa
3 04
01
4 4 3 2 1
1 1 !n
n
a aa
a aa
n n
1 1n
n
aa
n
10 0
1 1 0
alrededor de 0
1 0
11 0
1 !
n nn n n
n n
nn n n n
dyy
dx
y x a x n a a x
an a a a a a
n n
00 !
n
n
xy x a
n
10 0
1 1 0
alrededor de 0
1 0
11 0
1 !
n nn n n
n n
nn n n n
dyy
dx
y x a x n a a x
an a a a a a
n n
0 00 !
nx
n
xy x a a e
n
1
1 0 10 0
0
0
Si 0, y si, para un valor fijo de ,
lim lim ,
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de tales
que 1 y diverge si
n
n
n nnn n
nn
a x
a x x ax x x x L
aa x x
x
x x L x x
0
0
1.
Si 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
L
x x L
0 00
alrededor de 0 ; !
nx
n
dy xy y x a a e
dx n
0
1
1
!
! 1
1 ! 1
1lim lim 0
1
¡La serie converge para todo !
n
n
n
n
n nn
aa
n
a n
a n n
a
a n
x
R
2
2
0
0
alrededor de
0
d yy
dx
x
2
020 alrededor de 0
d yy x
dx
Es claro, que todos los puntos
del plano complejo son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
C
0
1 1
0 1
22 2
20 2
2
2 0
20 0
20
2 2
1 1
1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 02 1
nn
n
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
nn n
n
nn n n
y x a x
dyna x na x
dx
d yn n a x n n a x
dx
n n a x a x
n n a x a x
n n a a x
an n a a a
n n
2
2
0
0
alrededor de
0
d yy
dx
x
2
0 10 1 2 3
2 0 3 14 5
02
12 1
2 1
, , , ,2 1 3 2 1
, 4 3 4! 5 4 5!
...
12 !
12 1 !
nn
n
n
n
n
aa
n n
a aa a a a
a a a aa a
aa
n
aa
n
2
2
0
0
alrededor de
0
d yy
dx
x
2
1 0 00
2 1
2 1 10
0 1
1 cos2 !
1 sin2 1 !
cos sin
nn
n
nn
n
xy x a a x
n
xy x a a x
n
y x a x a x
2
020 alrededor de 0
d yy x
dx
2
2
0
2 0
alrededor de
0
d y dyx y
dx dx
x
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
Es claro, que todos los puntos
del plano complejo son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
C
0
1
0
22
20
2 1
2 1 0
1
1 2 0
nn
n
nn
n
nn
n
n n nn n n
n n n
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
n n a x x na x a x
2
022 0 alrededor de 0
d y dyx y x
dx dx
2
2 1 0
20 0
20
1 2 0
2 1 2 0
2 1 0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn n
n
n n a x na x a x
n n a x n a x
n n a a x
2 1
2 1 0
1 2 0n n nn n n
n n n
n n a x x na x a x
2
02
20
2 0 alrededor de 0
2 1 0nn n
n
d y dyx y x
dx dx
n n a a x
2 1n
n
aa
n
2 20
2 1 01
n nn n n
n
an n a a x a
n
0 12 3
2 0 3 14 5
4 0 5 16 7
0 12 2 1
; ;1 2
; ;3 3 1 4 4 2
; 5 5 3 1 6 6 4 2
1 ; 12 1 !! 2 !!
1,2,3,... ;
n n
n n
a aa a
a a a aa a
a a a aa a
a aa a
n n
n
1,2,3n
2
02
0 12 2 1
2 0 alrededor de 0
1 ; 1,2,3,... 1 ; 1,2,32 1 !! 2 !!
n n
n n
d y dyx y x
dx dxa a
a n a nn n
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
1
2 !!
n
n
n
n
n
n
y x xn
y x x xn
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
1
2 !!
n
n
n
n
n
n
y x xn
y x x xn
2 2 1
1 21 1
1 11 ;
2 1 !! 2 !!
n n
n n
n n
y x x y x x xn n
1
1
2 1 !!
1
2 1 !! 2 1 !! lim lim
(2 1)!!1
2 1 !!
1lim 0
1 2
el radio de convergencia es infinito.
n
n
n
nn n
n
an
n n
n
n
n
1
1
2 !!
1
2 2 !! 2 !!lim lim
(2 2)!!1
2 !!
1lim 0
2 1
el radio de convergencia es infinito.
n
n
n
nn n
n
an
n n
n
n
n
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
2 1 2 1 22
1 0 0
2 22
20 0 0
2
1 1 1
2 !! 2 !! 2 !!
pero
2 !! 2 !
así que
1 1 1
2 !! ! 2 ! 2
exp2
n n n
n n n
n n n
n
nn n nnn
nn n n
y x x x x x xn n n
n n
x xy x x x x x
n n n
xx
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
21
1
22 1
21
11
2 1 !!
1exp
2 !! 2
n
n
n
n
n
n
y x xn
xy x x x x
n
21
1
11
2 1 !!
n
n
n
y x xn
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2
2 exp2
xy x x
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
2
2 exp2
xy x x
2
12 0 dada la solución d y dy
b x c x y y xdxdx
0 0
1 21
1 expx
x
y x y x b d dy
2 22 2
0 0 0
22
0
22 22 2 2
12
22
1exp exp2
x xx x
x x
xx
x
e ey x xe d d xe d
exe d
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
22
2 22 2
22
1122
2
1 11 12 22 2
1122
1
1
e dd e dd
e d ee d e dd
e e d
22
0
2 22
22 2
2 2
12
21 2
1 112 22
2
11 12
2 2 2 21
0
1
xx
x
x xx x
ey x xe d
e ed e d
ey x xe e d xe e dx
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
221
2 2 21
1 0
22 1
21
11 1
2 1 !!
1exp
2 !! 2
n xxn
n
n
n
n
y x x xe e dn
xy x x x x
n
22
22
2 2
212
0 0
22
2
0
1 2 2 22 2
2
1 2 1 2 Dawson2
xx
xx
d d d d d
e d e d
xy x xe e d x
0 0
2 22
1 21
2
02
12 2 2
1 2
0
1 exp
2 0 alrededor de 0
1 ;
x
x
xx x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe e d y x xe
2
21 2 22 Dawson
2
x xy x c xe c c x
0 0
2
1 21
2
02
21 2
1 exp
2 0 alrededor de 0
1 2 Dawson ; 2
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
xy x x y x xe
2 2
0( ) exp exp
xF x x y dy
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2
xx
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2
xx
2
1
11
2 1 !!
n
n
n
xn
2
2
0
0
alrededor de
1
d y dyx xydx dx
x
2
02
10 alrededor de 1
d y dyy x
dx x dx
Es claro, que el punto 0
NO es un punto ordinario de la
ecuación. Sin embargo, todos
los demás puntos si son puntos
ordinarios, en particular, 1 es
un punto ordinario de esta ecuación.
x
x
0
1
0
22
20
2 1
0 0 0
1
1
1 1
1 1 1 1 0
n
nn
n
nn
n
nn
n n n
n n nn n n
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
x n n a x na x x a x
2
02 0 alrededor de 1d y dyx xy xdx dx
2 1
0 0 0
2 2 1
0 0 0
0 0
2 1 1
2 2 1
0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1 1
1
n n n
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n
nn
x n n a x na x x a x
n n a x x n n a x na x
a x x a x
n n a x n n a x na x
a x
1
0
1 0n
nn
a x
2 1
0 0 0
1 1 1 1 0n n n
n n nn n n
x n n a x na x x a x
2 10 1
1 10 0 1
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n a x n na x
n a x a x a x
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
2 1
2 2
1 1
1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n a x n n a x
na x a x a x
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
0 12
2 1 1 1
2
2 1 1
12 1
2
2 1 1 1 0
2 1 1 0
1
2 1 2
n n n n n
n n n n
n nn n
a aa
n n a n na n a a a
n n a n a a a
n a aa a
n n n
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
1 0 2 2 0 13 2 2
2 1 0 14 3
0 15
0 16
0 17
2 2
3 6 3 3 3 63
4 12 12 69
12 6013
180 813 271
210 2520
a a a a a aa a a
a a a aa a
a aa
a aa
a aa
0 1 1
2 2 1
1
2 2 1 2n n
n n
a a n a aa a a
n n n
2 3 4 5 6 5
1
2 3 4 5 6 5
2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1)1
2 6 12 12 180 210
( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1
2 6 6 60 8 2520
x x x x x xy x
x x x x x xy x x
2
02
0 1 12 2 1
0 alrededor de 1
1;
2 2 1 2n n
n n
d y dyx xy xdx dxa a n a a
a a an n n
1 0
2 0
y x J x
y x Y x
2 3 4 5 6 5
1
2 3 4
2
5 6 5
2
2
0
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1)1
2 6 12 12 180 210
( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1
2 6 6 60 8 2520
0 alrededor de 1d y d
x x x x x xy x
x x
yx x
x x x x
y xd d
y x x
x x
0.9 1.0 1.1 1.2
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
2
2 2 2
120
1 1
l ld y x dyy
dx x dx x
22
2
2
2 2 2
1 2 1 0
120
1 1
d y dyx x l l ydx dx
l ld y x dyy
dx x dx x
2 2 12
0 0
2 22
0 0
12 2 2 para 1
1
11 1 1 para 1
1
Por lo tanto, 0 es un punto ordinario
n n
n n
n n
n n
x x x x xx
l l l l x l l x xx
x
2
2 2 2
12 01 1
l ld y dyx ydxdx x x
Los únicos puntos singulares son 1.
Por lo tanto, podemos resolver
la ecuación con series alrededor
de 0, ya que 0 es un punto
ordinario.
x
x x
0
21 2
20
0
2
0
2
( ) .
Tenemos
Por tanto, existe una única solución que se puede escribir como
y sustituyendo en la ecuación diferencial
y 1
1 2
,
1
nn
n
n nn n
n n
nn n
n
y x a x
dy d yna x n n a x
dx dx
n n a x x nax x
1
0 0
1 0n nn
n n
l l a x
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
2
0 0 0 0
1 1 2 1 0n n n nn n n n
n n n n
n n a x n n a x na x l l a x
22
2
2 2 1
0 0 0
1 2 1 0
01 1 2 1n n nn n n
n n n
n n
d y dyx x l l ydx dx
x a x x na x l l a x
2
0 0 0
22
0 0
22
0
2
0
0
1 2 1 0
Ahora
1 ( 2) 1
Regresando a la variable original
1 ( 2) 1
y ahora
( 2
1
) 1
2
n n nn n n
n n n
n mn m
n m
n nn n
n
n n
nn
n
n
n n n a x na x l l a x
n n a x m m a x
n n a x n n a x
n a
n n x
n
a
x
n m
0 0 0 0
1 2 1 0n n nn n n
n n n
n n a x na x l l a x
22
2
2 2 1
0 0 0
1 2 1 0
01 1 2 1n n nn n n
n n n
n n
d y dyx x l l ydx dx
x a x x na x l l a x
20 0 0 0
22
2
( 2) 1 1 2 1 0
1 2 1 0
n n n nn n n n
n n n n
n n a x n n a x na x l l a
d y dyx x l l ydx dx
x
20
2
2
2 1 1 2 1 0
Por lo tanto,
2 1 1 2 1 0
ó bien
1 2 1 1 1
2 1 2 1
nn n n n
n
n n n n
n n n
n n a n n a na l l a x
n n a n n a na l l a
n n n l l n n l la a a
n n n n
0 1
2 0
3 1 1
4 2 0
Los primeros coeficientes, y , son arbitrarios.
Los siguientes
1
2!
2 1 1 2
3! 3!
2 2 1 1 6 1 1 1 2 3
2 2 2 1 4 3 2! 4!
...
a a
l la a
l l l la a a
l l l l l l l l l la a a
2
1 1
2 1n n
n n l la a
n n
2 0
2 1 1
En general, para 1,2,3,... tenemos
( 2 1)( 2 3)...( 1) ( 2)...( 2 2)1
2 !
y
( 2 )( 2 2)...( 2)( 1)( 3)...( 2 1)( 1)
2 1 !
k
k
kk
k
l k l k l l l l ka a
k
l k l k l l l l ka a
k
2
1 1
2 1n n
n n l la a
n n
2 4 6
2
1
3 5 7
1 2 1 3 4 2 1 3 5( ) 1 .
Tenemos ento
..2! 4! 6!
2 1 2 3 1 2 2 21 1
2 !
1 2 3 1 2 4 5 3 1 2 4 6( ) ...
3! 5! 7!
1
nces dos soluciones
y
k k
k
k
l l l l l l l l l l l lu x x x x
l k l k l l l l kx
k
l l l l l l l l l l l lv x x x x x
x
2 1
1
2 2 2 2 1 3 2 1
2 1 !k
k
l k l k l l l l kx
k
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
2
2
1
2
2
2
1
1
2 1 2 3 1 2 2 2( ) 1 1
2
1
!
2 2 2 2 1 3 2 1( )
2 1
1
1!
2 0
k k
k
k k
k
l k l k l l l l ku x x
k
l k l k l l l l kv
d y dyx x l l ydx d
x x xk
x
1. Si no es un entero positivo, tenemos dos
series infinitas que convergen para 1.
2. Si es un entero positivo, una de las dos series
infinitas termina para dar un simple polinómio.
l
x
l
Escribiendo la solución
se tiene que para par,1
y para impar.1
es una serie infinita que
converge para 1.
n n
nn
n
nn
n
n
y x AP x BQ x
u xP x n
u
v xP x n
v
Q x
x
2
2
1
2
2
2
1
1
2 1 2 3 1 2 2 2( ) 1 1
2
1
!
2 2 2 2 1 3 2 1( )
2 1
1
1!
2 0
k k
k
k k
k
l k l k l l l l ku x x
k
l k l k l l l l kv
d y dyx x l l ydx d
x x xk
x
[ ] 22
0
Los polinomios son los
polinomios de Legendre
y puede ser escritos como
2 2 !1
2 ! ! 2 !
n
nn r
r
n nr
P x
n r xP x
r n r n r
y P x y Q x y x
0
0
El punto es un
de la ecuación diferencial si tanto
como son analíticas en
punto ordinario
.
x
P x Q x x
y P x y Q x y x
0
Si cualquiera de las dos funciones,
y , no son analíticas,
entonces el punto es singular.
P x Q x
x
1 1 2 20
1 2
Si 0 es un punto ordinario de la ecuación
0
entonces la solución general en un intervalo
conteniendo al cero, tiene la forma
donde y son constantes arbitrarias
nn
n
x
y P x y Q x y
y x a x c y x c y x
c c
1
2
y y
son funciones linealmente independientes
y analíticas en 0
y x
y x
x
0
0
La solución general tiene la forma
¿Cómo determinamos los coeficientes ?
nn
n
n
y P x y Q x y
y x a x
a
0
Paso 1:
Sustituimos la propuesta solución
en la ecuación diferencial original
0
nn
n
y x a x
y P x y Q x y
0 0
1
00
? n nn n
nn
nn n
n n n
d a x d xdy x da x a
dx dx da x
x dxn
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
121
20 0
1
2
0 0
1
? nnn
nn n
n
nn n
n n
d na xd y x dna x
dx dx dx
d xna n n a x
dx
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
2 1
0 0 0
Paso 1:
1 0n n nn n n
n n n
n n a x P x na x Q x a x
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
Paso 2:
Agrupamos las potencias de e igualamos a
cero los coeficientes (Dado que las potencias
de son linealmente independientes)
x
x
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
0 1
Paso 3
Se resuelven las formulas de recurrencias que
se obtiene al igualar las potencias de a cero.
Se determinan 2,3,4,... en términos
de y
j
x
a j
a a
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
Paso 4
Los coeficientes 0,1,2,3,4,...
se sustituyen en la serie y se trata de
determinar una forma analítica.
ja j
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
