Ejercicio resuelto de ecuaciones homogéneas

Msc. Juan Carlos Briceño

Asignatura: Matemática III

Ejercicio Resuelto de Ecuación Homogénea

y’ + P(x)y = Q(x)


Ejercicio Resuelto

Ecuaciones Homogénea

Son ecuaciones de la forma: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO.Aplicar el criterio de homogeneidad. Para ello basta con:•Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dy con N(x,y).•Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:

1. M(kx,ky)= knM(x,y)

2. N(kx,ky)= knN(x,y)

Nota nº 1: Para 1 y 2, los exponentes deben ser iguales y tanto M(x,y) como N(x,y), no quedan afectados del factor k.


Ejercicio Resuelto iii.) Hacer el siguiente cambio de variable: y =

vx (I)

iv.) Derivar (I), obteniéndose: dy =

vdx + xdv (II)

v.) Sustituir las expresiones (I) y (II) en la ecuación

diferencial dada.

vi) Aplicar propiedad distributiva y agrupar términos

semejantes.

vii.) Aplicar el método de Variables Separables.



Sugerencia

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

5

5

dy x y

dx x y

Revisemos como realizar este tipo de ejercicios, en tal sentido propongamos el siguiente:

Nota: Detalla paso por paso, pero recuerda que es importante que al final, trates de resolverlo tu solo, esto te permitirá recordar los pasos del Algoritmo Homogéneo.


Ejercicio Resuelto

Por tal motivo, es necesario despejar:

Esto es:

Resolviendo queda:

Sin embargo, observa que este signo es negativo, por lo que cambiaremos todo lo de adentrodel paréntesis para que quede como la forma en la parte superior


El primer paso que debes aplicar es tratar de escribir el ejercicio

anterior de la forma: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

5

5

dy x y

dx x y

5 5x y dy x y dx

5 5 0x y dy x y dx

5 5 0x y dy x y dx


Ejercicio Resuelto

En base a las operaciones anteriores, ya tenemos la forma: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 , esto es:

Ahora bien, comprobemos que M(x,y) y N(x,y) son homogéneos, para ello apliquemos los pasos 1 y 2, lo que implica introducir la constante k

Por lo tanto, la ecuación es homogénea


5 5 0x y dy x y dx Donde M(x,y) = 5x + y y N(x,y) = – x – 5y

M(kx,ky) = 5kx + ky y N(kx,ky) = – kx – 5ky = k . (5x + y) y = k.(– x – 5y) = k . M(x,y) y = k . N(x,y)


Ejercicio Resuelto

A continuación apliquemos el paso iii, que se expone en la lamina 3, esto es:

Sustituyendo en:

Nos queda


Hacer el siguiente cambio de variable: y = vx

Luego vamos al paso iV, que es lo anterior:

Resultando: dy = vdx + xdv

5 5 0x y dy x y dx

5 5 0x vx vdx xdv x vx dx

Observa bien el siguiente paso en el cual debemos aplicar la distributiva.


Ejercicio Resuelto

Distribuyendo

Aplicamos potencia en aquellos factores con igual base:


(5x + vx).(vdx + xdv) + (– x – 5vx )dx = 0

5xvdx + 5xxdv + vx.vdx + vx xdv – xdx – 5vxdx = 0Nos queda:

2 2 25 5 5 0xvdx x dv v xdx vx dv xdx vxdx

Agrupamos en dos paréntesis los términos semejantes, en este caso con respecto a dx y otro a dv, para luego seguir el paso vii de Aplicar el método de Variables Separables

2 2 25 0x dv vx dv v xdx xdx

Observa que tenemos dos términos semejantes con signos opuestos, por lo que simplificamos

Esto es: 2 2 25 0x dv v xdx vx dv xdx


Ejercicio Resuelto

Sacando Factor común


Despejando:

2 25 1 0v x dv v xdx

Agrupando la variableCon su respectiva derivada

2 25 1v x dv v xdx

22

5

1

v xdv dx

xv

Simplificamos

términos semejantes

IntegrandoEn ambos lados:

2

5 1

1

vdv dx

xv

IntegrandoLa parte derecha queda:

1lndx x c

x (I)


Ejercicio Resuelto

Resolvamos por separado las dos integrales anteriores:

Donde u: es la variable y a: la constante

Observa que se separo la integral en dos fracciones con el mismo denominador


2 22

5 5

1 11

v vdv dv dv

v vv

Integrando la parte izquierda queda:

2 2

5 15

1 1dv dv

v v

Observa que la expresión integral de la derecha corresponde al teorema:

2 2

1 1

2

u adv Ln

u a a u a

2

1 15.

2 1

vLn cv

Toma en cuenta que u: en este caso es v

a: en es te caso es 1, recuerda que uno se

puede escribir como: 21 1

2

5 15

2 1

vLn cv

(II)


Ejercicio Resuelto

2 1

vdv

v


En este caso, aplicamos cambio de variable en el denominador,

Digamos :2 1u v

Derivando: 2du vdv

2

1.

1 2

v dudv

v u

2

duvdv

1 1.

2du

u

3

1

2Ln u c

23

1 11

2 2Ln v c 2 1u v

Regresando el cambio de variable:

Aplicamos propiedad distributiva:

(III)


Ejercicio Resuelto


Uniendo las soluciones de (II) y (III) en la

Por lo tanto, en base a esta última operación la integral original planteada:

Cambiamos el signo de todos los términos

22 3

5 1 1 15 1

2 1 2 2

vLn c Ln v cv

2 22

5 5

1 11

v vdv dv dv

v vv

22 3

5 1 1 15 1

2 1 2 2

vLn c Ln v cv

2

5 1

1

vdv dx

xv


Ejercicio Resuelto


Es decir, uniendo todas las soluciones de (I), (II) y (III) en la integral original:

22 3

5 1 1 15 1 ln

2 1 2 2

vLn c Ln v c x cv

2

5 1

1

vdv dx

xv

Como puedes observar queda una expresión bastante extensa a la cual pudiéramos simplificar aplicando

propiedades de logaritmo, sin embargo lo importante es que se transformo la ecuación diferencial a una función.


Recuerda revisar detalladamente el ejercicio y sobre todo reforzar aquellos conocimientos relacionado con teoremas y propiedades de integrales y de matemática de bachillerato, pues de lo contrario será difícil que puedas desarrollar estos ejercicios.


FIN

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