Dimenzioniranje pravokutnih i T presjeka

na Moment savijanja i Uzdužnu silu

i model DKP

Pravokutni presjek

Neutralna os

sdN

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A x2

zd-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 fcd

Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja

s1c

s1csd

BA

FF 0H

zFzF=M

0MM 0M

Neutralna os

h

d-x

1d 1

s1

b

A

M

d

sd

x2

F

s1

z

Fs1

c

c2

A

B

0.85 fcd

cdvc

x

c

A

cc

yds1s1

fbxF

dxbdAF

fAF

ddxdx

1s2c

2c

1s2c2c

– za pravokutne presjeke = 0.85

Radni dijagram betona – koeficijent punoće RDB-a

‰2‰0612122f

324

4f

f

d44f

f

d 44f

f

d

c2c2c

22c2c

cd2c

32c

22ccd

cd2c

0

22c2c

cd

cd2c

02c2c

cd

vcd2c

0c

v

ccc

‰5.3‰2 3

2 3

‰2‰0612

2cc2

c2v

2c2c2c

v

T

cdc f

cccd

c 44f

‰2 ‰5.3

cdf

c

2c

ak

T

cdc f

cccd

c 44f

‰2 ‰5.3

cdf

c

2c

ak

‰5.3‰2

232243

k

‰2‰064

8k

2c2c2c

2c2ca

2c2c

2ca

Radni dijagram betona – koeficijent položaja tlačne sile (težište dijagrama)

2c

2c

2c2c

22c

22c2c2c

2c2c

22c2c

22c2c

2c2c

22c2c

2c

22c

2c

2c

32c

32c

22c

2c

42c

32c

0

22c2c

cd2c

02c

22c2c

cd

02c2c

cd2c

02c2c2c

cd

a

0c2c

0c2c

a

648

64341624

64316424

64316

1

6412

316121

324

434

1

d44f

d44f

1

d 44f

d 44f

1k

d

d1k

2c

2c

2c

2c

2c

2c

Jednostruko armirani pravokutni presjek - Osnovne jednadžbe

cdvcdvc

yds1s1

fbd85.0fbx85.0F

fAF

cd2sd

vsd

cdvcsd

aaa

csd

fdb

M=85.0

dfbd85.0zF=M

ddk1dkdxkdz

zF=M 0M

Neutralna os

h

d-x

1d 1

s1

b

A

M

d

sd

x2

F

s1

z

Fs1

c

c2

ak x

0.85 fcd

yd

sds1

yds1sd

s1sd

fdM

A

dfA=M

zF=M 0M

cd

yd

cd

yds1v

yds1cdv

s1c

f

f

f

f

bd

A85.0

fA=fbd85.0

F=F 0N

Dvostruko armirani pravokutni presjek – Logika nastanka

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A x2

zd-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 fcd

ab

c

d

ef

g h

12

3

4

5

Vlak Tlak

A

C

B2d2d

d

(10 % ) 3 %

2 % 3.5 %

As1

As2

20 %

Dvostruko armirani pravokutni presjek – Osnovne jednadžbe

Neutralna os

d-x

b1d 1

s1A

h

2d

d

sdM

s2A x2

zd-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 fcd

yd2

limRd,sd2s

yd2

limRd,sd

ydlim

limRd,1s

cd2

limsd,lim,Rd

fdd

M-MA

fdd

M-M

fd

MA

fdbM

Jednostruko/Dvostruko armirani pravokutni presjek – Opterećen momentom savijanja i uzdužnom silom – Postupak Wuczkowskog

yd2

limRd,sds2s

yd

sd

yd2

limRd,sds

ydlim

limRd,1s

cd2

limsd,lim,Rd

sdsdsds

fdd

M-MA

fN

fdd

M-M

fd

MA

fdbM

2d

hNMM

Neutralna os

sdN

d-x

b1d 1

s1A

2

d

d

sdM

s2A x2

zd-d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

cd0.85 f

b

s1A

s2A

d 1hd

sdN

sdM

tlNsdvl

d-h/

2

Konvencija: Tlak + Vlak -

poc,1ssdydcd1 ,M,f,f,d,h,b

Pravokutni presjek – Dijagram toka rješenja problema

Učitavanje podataka o presjeku, materijalu, napadnim silama, te tražene deformacije armature

Postavljanje početne ravnine deformacije

poc,1s1sgor,cdon,c ;‰5.3;‰0

Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja

cd2sd

sdfdb

M

vv

izrsda

1s2c

2c 85.0;85.0;k1;

Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije

Postavljanje tekuće ravnine deformacije

Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti

sdizrsd sd

izrsd sd

izrsd

2gor,cdon,c

tek,c

tek,cgor,c tek,cdon,c

Izračunavanje potrebne armature, ispis

yd2

limRd,sds2s

yd

sd

yd2

limRd,sds

ydlim

limRd,1s fdd

M-MA;

fN

fdd

M-M

fd

MA

T presjek

Neutralna os

sdN d -x

b1d 1

s1A

h

2

d

d

sdM

s2A x2

zd -d

s1 Fs1

s2

2

c2s2F

cF

0.85 fcdbeff

c

fh

*

Ako neutralna os siječe ploču (x ≤ hf), tada se ovakav presjek rješava kao pravokutni dimenzija beff*h. Ako neutralna os siječe rebro (x > hf), tada je ovakav presjek pravi T presjek i potrebno ga je kao takvog proračunati.

b

x

beff

fh

ib

iAv

A*v

a

cd0.85 f

bA

*c

c2

effeff

f

v

vi

v

efffveffvi

ivefffveffv

ivcdefffvcdeffvcd

cicbca

bbb

1d

h11b

dbbhdbd

b

bdbbhdbd

bdf85.0bbhdf85.0bdf85.0

FFF

Određivanje reducirane širine T presjeka (bi)

2cf

c

cv

2cv

xhx

f

f

effipoc,1ssdydcdf1eff bb;,M,f,f,h,d,h,b,b

T presjek – Dijagram toka rješenja problemaUčitavanje podataka o presjeku, materijalu,

napadnim silama, te tražene deformacije armature Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta

savijanja

Postavljanje početne ravnine deformacije

poc,1s1sgor,cdon,c ;‰5.3;‰0

Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije

Postavljanje tekuće ravnine deformacije

Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti

sdizrsd sd

izrsd sd

izrsd

2gor,cdon,c

tek,c

tek,cgor,c tek,cdon,c

Izračunavanje potrebne armature, ispis

yd2

limRd,sds2s

yd

sd

yd2

limRd,sds

ydlim

limRd,1s fdd

M-MA;

fN

fdd

M-M

fd

MA

Kontrola položaja neutralne osi

fhx

Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja cd

2i

sdsd

fdb

M

fhx Proračun reducirane širine T presjeka

effeff

f

v

vi b

b

b1

d

h11b

vv

izrsda

1s2c

2c 85.0;85.0;k1;

DKP – DIMENZIONIRANJE KOMPOZITNIH PRESJEKA

U nastavku je prikazan model dimenzioniranja općih kompozitnih poprečnih presjeka opterećenih ekscentričnom uzdužnom silom. Presjeci mogu biti proizvoljnog oblika, sastavljeni od različitih materijala i formirani u više faza. Proračun uključuje analizu naponsko-deformacijskog stanja presjeka, utvrđivanje graničnog kapaciteta nošenja i određivanje potrebne površine šipkaste armature za utjecaj kratkotrajnog opterećenja. Ukratko je opisana mogućnost primjene modela na dimenzioniranje betonskih presjeka ojačanih labavom i prednapetom šipkastom armaturom, te krutim čelikom.

II faza

I faza I faza

II faza

a) Klasično armirani presjeci b) Prednapeti betonski presjeci c) Spregnuti čelično- betonskipresjeci

OSNOVNE PRETPOSTAVKE • Presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni.• Nema klizanja na spoju različitih materijala nakon njihova sprezanja.• Poznata je veza napon-deformacija za svaki materijal.

RAVNINA DEFORMACIJE PRESJEKAGrafički prikaz moguće ravnine deformacije, u odnosu na prethodno ravnotežno stanje, dan je na slici. Dopunska deformacija neke točke presjeka definirana je jednadžbom ravnine.

rTρ

yz0T ,,

zy,,1T r

VEZA NAPREZANJE DEFORMACIJA Polazi se od poznate veze između jednoosnog naprezanja i deformacije za pojedini materijal. Za realne materijale ova je veza u osnovi krivolinijska, a definirana je jednoosnim testom ili odgovarajućom regulativom. Sa stanovišta numeričke analize, zgodno je ovu vezu definirati kao linearnu po pojedinim segmentima. Ovako uvedena kontrolirana pogreška je zanemariva u odnosu na druge pretpostavke. Veza između bilo koje dvije točke i,j dijagrama definirana je

pomoću )E( ii

rTpii EE-

rTE

U gornjim izrazima E označava tekući modul elastičnosti materijala (nagib pravca na promatranom sektoru), dok je grafička interpretacija naprezanja ’ vidljiva sa slike. Treba naglasiti da je za poznato početno stanje i pretpostavku tekuće deformacije između točaka i,j ,

naprezanje ’ konstantno i određeno.

JEDNADŽBA RAVNOTEŽE Vektor unutrašnjih otpornih sila presjeka Su je funkcija rezultantne ravnine deformacije i veze pojedinog materijala. Ukoliko su oni poznati, Su se može jednostavno izračunati integracijom naprezanja na području kompozitnog presjeka.Nu označava unutrašnju uzdužnu sliku, Mzu i Myu odgovarajuće momente sile obzirom na

koordinatne osi, W područje pojedinog materijala, a sumacija preko svih materijala m.

m

yuzuuu d M,M,N rS

uu ISS

m

u d rS

m

T dE r rI

u0vv SS u0vuu ,S

vvpv SSS

)1(0uv SS

ODREĐIVANJE STANJA

NAPREZANJE-DEFORMACIJA

Za poznate vanjske sile i definirani poprečni presjek, često treba odrediti ravnotežnu deformacijsku ravninu i naponsko stanje. Rješenje ovog problema se direktno svodi na rješenje jednadžbe (1). Koristeći iterativni postupak rješenja, problem se može zapisati u

obliku k1kk SI

ku

kv

k SSS

1kk1k

NEKI PRORAČUNSKI ASPEKTI

a) Šipkasta armatura Nakon određivanja veličine ukupne deformacije a u promatranoj šipci, utvrđuje se između kojih čvornih deformacija i, i+1 na predmetnom dijagramu - ona leži. Potom se odredi pripadajući modul elastičnosti E, te doprinos tekućih mehaničkih karakteristika šipkastih materijala.

T

aaa A E rrI

a) Materijal veće površine Područje materijala koji ima značajnu površinu u odnosu prema površini čitavog poprečnog presjeka zadaje se konveksnim poligonalnim elementima bez šupljina (konačni elementi – KE). Na području jednog KE može biti samo jedan tip materijala, izuzimajući šipkastu armaturu. Svaki KE određen je listom čvornih točaka i njihovim koordinatama, te indeksom svojstva materijala. Dakle, konture svakog materijala najprije se aproksimiraju poligonom, a potom se omeđeno područje podijeli na KE.

Z

neut

raln

a os 1 2

i

i+ 1n

e i

u k u p n a rav n in a d e fo rm ac ije

1n

,

i+1

i,

m o du l e l as t ičn o s ti

E

K .E .

Nakon određivanja rezultantne ravnine deformacija na promatranom KE i položaja pripadajuće neutralne osi u prethodnoj iteraciji, postavlja se set pravaca koji su s njom paralelni i na kojima leže točke KE, s deformacijama jednakim čvornim deformacijama i radnog dijagrama. Potom se traži presjek ovih pravaca sa stranicama svakog KE, te tako na svakom od njih definiraju područja ei (podelementi) s konstantnim modulom elastičnosti E. Matrica Ie za svako ovo područje je oblika

eyezyey

ezyezez

eyeze

e

IIQ

IIQ

QQA

I

1j1j1jjj1jj1jjjezy

1jj2

1jjjey

1jj2

1jjjez

1jjjey

1jjjez

je

j1j1jjj

yzzyzyyzzwE24

1I

zzzzwE12

1I

yyyywE12

1I

zzwE6

1Q

yywE6

1Q

wE2

1A

n1n 1,2,...n;j ;yzyzw

m

T d E rrI

Vektor unutrašnjih sila:

pee2e1eu ISSS

eyl

i

ezl

i

el

i

ey

ez

e

ie1

Q

Q

A

Q

Q

A

d e

rS

eyi

ezi

ei

ey

ez

e

ie2

Q

Q

A

Q

Q

A

d E e

rS

Mehaničke karakteristike i dio vektora unutrašnjih sila jednoga KE dobivaju se sumiranjem odgovarajućih karakteristika svih područja ei na tom elementu, a pojedinih materijala preko svih KE koji opisuju taj materijal. Analogno, sumiranjem preko svih materijala dobivaju se ukupne karakteristike kompozitnog presjeka.

ODREĐIVANJE GRANIČNE NOSIVOSTI PRESJEKA

m axj - 1gm a x

nm a xjm a x

1

S Sg v=nj -1 S v

jS v

S v

1

vn

vg SS

0ugvg SS

ku

kv

jk SSS

Ako se želi dobiti granična nosivost presjeka Sug za zadani smjer vektora vanjskih sila Sv, deformacijska ravnina mora biti u graničnom položaju. Ona je definirana dosezanjem granične (maksimalne/minimalne) deformacije g u nekom materijalu presjeka. Vektor odgovarajućih vanjskih sila Svg, koji uzrokuje ovo stanje, biti će u tom slučaju:

PRORAČUN POVRŠINE ŠIPKASTE ARMATURE

Kompozitni presjeci često su ojačani kvalitetnijim materijalom (armaturom) čija je površina u odnosu na ukupnu površinu mala, te se može uzeti da je ta površina zgusnuta u točku. Najčešće treba odrediti površinu i raspored armature, te vektor vanjskog opterećenja, ako su poznate dimenzije presjeka, kvaliteta i raspored materijala. Postupak je analogan postupku određivanja granične nosivosti presjeka, s tim da se u svakom inkrementalnom koraku korigira potrebna površina armature.

A a

j- 1A a

jA a

nA a

S ugj S ug = S vg

n nS ug

j-1S u g

1

SLIJED ITERATIVNOG POSTUPKA

1) Na temelju poznatog položaja deformacijske ravnine pk iz prethodne iteracije k, izračuna se matrica Ik i vektor unutrašnjih sila presjeka .

2) Izvrši se korekcija vektora neuravnoteženih sila , ako je on funkcija položaja ravnine deformacije, tako da je .

3) Izračuna se vektor neuravnoteženih sila .4) Odredi se vektor prirasta parametara ravnine deformacije iz 5) Odredi se tekući vektor parametara dopunske ravnine deformacije .6) Kontrolira se konvergencija postupka. Ako je zadovoljen kriterij

konvergencije ispišu se rezultati i uzima se novi slučaj opterećenja. Ako kriterij konvergencije nije zadovoljen, postupak se vraća na korak rješenja (1).

kuS

kvS

0vk

ukv SS

uvk SSS

1kρ k1kk SρI

1kk1k ρρρ

pk1k / ρρ

GENERALNI PRIKAZ

JEDNOSTAVNI PRIMJER

Potrebno je odrediti stanje naprezanja-deformacije za sustav i presjek prikazan na slici, pod vlačnom silom F=360 kN.

2s

2c

2s

2c

m0008.0164Am08.0A

mMN000200EmMN00034E

Pošto je presjek opterećen vlačnom silom kompletnu silu preuzima armatura.Za početak pretpostavimo da je u=0.

Osnovne pretpostavke

kN0.3600.00.360FFF

0.0AEAF

mkN0.000000200E

0.0;0.0u

mkN00.4500000008.0

0.360

A

F

kN0.360F

uv0

s1sssu

21

s0

2

s

vv

v

1. iteracija

kN5.375.3220.360FFF

kN5.3220008.0403125AF

mMN125.403125.30.400

25001‰00025.00.400E‰25.00.400

‰25.200225.00.1

00225.0um00225.0uuu

m00225.0K

Fu

kN0.360F

mkN1600000.1

0008.00.000000200AEK

mkN0.000000200E

1v1

s11

2

21

11101

1

01

0

s11

21

2. iteracija

kN0.00.3600.360FFF

kN0.3600008.0450000AF

mMN0.4500.500.400

25001004.00.400E‰0.4400000

‰0.6006.00.1

006.0u

m006.000375.000225.00.0uuuu

m00375.010000

5.37

K

Fu

kN5.37F

mkN100000.1

0008.00.12500000AEK

mkN000.500.12E

2v2

s22

2

22

22

2102

2

12

1

s22

22

PRIMJER 1U primjeru 1 analiziran je jedan klasično armirani presjek nekog mosta.Presjek nastaje u dvije faze. U prvoj fazi montažni T nosač (beton C 30/37, armatura 1228 + 3010 - RA 400/500) opterećen je uporabnim momentom savijanja od stalnog opterećenja Mg1=0.88 MNm. U drugoj fazi, nakon očvršćavanja betona kolničke ploče (beton C 25/30, armatura 2019 - RA 400/500), spregnuti nosač je opterećen momentom savijanja od dopunskog stalnog opterećenja Mg2=0.90 MNm i momentom savijanja od prometnog opterećenja Mp=0.872 MNm.

Z

80

100

4 7

I faz a

II fa za

20

Y

4 0

1 2 2 8

1 34

4 7

C 2 5 /3 0

C 3 0 /3 7

20

7010

2070

1020

6040

( R A 4 00 /5 00 )

30 10 ( R A 4 00 /5 00 )

20 19 ( R A 4 00 /5 00 )

5.4

5.8

Z

Y

0 .2 1

-1 .7 0-1 .56

-1 .56

-1 .56

-1 .14

-0 .7 7

0 .2 1

0 .18

0.4 0

0.3 4

N .O .

Z

Y

- 3 27 .8

-2 9 5 .6

-2 2 9 .4

-1 6 2 .9

-9 6 .5

7 1 .1

4 3 .4

5 .9 5.9

39 .1

1 2 .4

N .O .

a) deformacije ‰ b) naprezanja u betonu i armaturi MPa

N.O .

Z

Y

1 .7

1 . 4

-1 .4

1 . 7

-1 . 4

-1 .1

-9 .9

-9 .2

1 .4

N .O.

Y

Z

-4 0 0-4 0 0

-4 0 0

-4 0 0

-4 00

-4 0 0

-2 4 2 .3

-1 0 4 .8

2 9 3 .8

2 0 .1 2 0 .129 3 . 8

-2 4 2 .3

a) deformacije ‰ b) naprezanja u betonu i armaturi MPa

Naponsko-deformacijsko stanje spregnutog presjeka za uporabno opterećenje

Naponsko-deformacijsko stanje spregnutog presjeka za graničnu nosivost

PRIMJER 2Na crtežima je prikazan jedan prednapeti uzdužni nosač mosta Kličevica. Presjek je formiran u dvije faze. U prvoj fazi nosač je opterećen momentom od stalnog tereta u iznosu 11.81 (MNm), i silom prednaprezanja 2.03 (MN) za svaki kabel (pripadna deformacija je pp=0.00533 ‰). U drugoj fazi, nakon otvrdnjavanja ploče, presjek je dodatno opterećen momentom od dodatnog stalng opterećenja u iznosu 1.73 (MNm) te momentom od pokretnog opterećenja u iznosu 4.85 (MNm). Odnos za beton i prednapete kablove prikazan je u nastavku. Dimenzioniranje je izvršeno prema EC2.

cdf

0035.0002.0f

002.002501f1000

ccdc

ccccdc

0 .0 0 2 0 .0 0 3 5

c [M P a ]

c

cdf

0035.0002.0f

002.002501f1000

ccdc

ccccdc

0.01

5

0.01

0

0.00

5

5 00

10 0 013 5 0

15 0 0

16 6 7

p p p= 0. 0 0 5 5 3

p [ M P a]

114.5

253

5

Z170

3025

136 .

32

99. 5

2

64

202420

15.6

21. 2

24114.5

Mzn=11.81 MNm

Y

137 .

36

174 .

16

170Ø10 RA 400/500

21. 2

15. 6

2S 1860 BBRV ConaAk=1900 mm

Ø28 RA 400/500

Ø12 RA 400/500

3025

64

202420

114.5

253

Mzn=18.39 MNm

255

C 45/50

C 45/50

Plate concrete:

Canteliver concrete:

10

24 114.5

2010

5

Z

YGEOMETRIJA NOSAČA

Ravnina deformacije (‰)

0.380.39

-5.23

Naprezanje u labavoj armaturi (MPa)

Z

0.380.39

0.380.38

Y

82.12

0.08

0.15

0.11

-5.23

-5.20

-5.23

Z

82.12

53.66

57.96

62.27

66.57

70.88

75.19

45.05

49.35

Y

28.9732.13

36.43

26.23

20.1121.8023.48

40.74

STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U I FAZI

STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U I FAZI

Naprezanja u betonu (MPa)

10.3310.66

-1043.03

-1043.03

-1043.03

-1037.51

4.36

2.31

3.24

2.31

3.24

4.36

10.3310.66

10.1610.16

Z

Naprezanja u prednapetim kablovima (MPa)

Y

STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U II FAZI

Naprezanja u labavoj armaturi (MPa)Ravnina deformacije (‰)

n.a. II phase

n.a. I phase

0.430.430.46

0.50

0.16

0.22

Y

-0.47-0.47

-0.58-0.58

-0.33-0.33

Z

n.a. II phase

n.a. I phase

Z

0.46

0.50

0.16

0.22

Y

113.1044.22

34.82

44.77

29.83

89.19

74.46

59.51

-44.49

-59.22

-70.10

-79.54

-88.99

-94.80

-100.62

-106.43

-29.54

113.10

108.60

STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U II FAZI

Naprezanja u prednapetim kablovima (MPa)

n.a. II phase

n.a. I phase

11.56

13.08

12.074.45

6.21

11.56

Z

n.a. II phase

n.a. I phase

13.086.21

4.45 12.07

Z

-1002.23

-1002.23

-1002.23

-983.73

Naprezanja u betonu (MPa)

Y Y

GRANIČNO STANJE NOSAČA U II FAZI

GRANIČNO STANJE NOSAČA U II FAZI