1.Eksperimentalna Imerenja I Deo-P.nikšić

8/16/2019 1.Eksperimentalna Imerenja I Deo-P.nikšić

1/57

VŠTSS Čačak –Specijalističke studije Eksperimentalna merenja

Dr Petar Nikšić,profesor List br.1 /Ima lista 56

EKSPERIMENTALNA MERENJA-PODLOGE Pripremio- Dr Petar Nikšić,dipl.inž.

SADRŽAJ

1. Uvod.........................................................................................................2

2. Eksperimentalna istraživanja....................................................................3

2.1 Modeliranje pojava, procesa i sistema...............................................3

2.2 Dizajniranje eksperimenta DoE.........................................................4

2.3 Planiranje eksperimenta.....................................................................5

2.4 Strukturni elementi eksperimenta......................................................7

2.5 Podela eksperimentalnih planova......................................................8

3. Jednofaktorni modeli................................................................................9

4. Višefaktorni modeli................................................................................18

5. Višefaktorni planovi drugog reda...........................................................24

6. Realizacija plana eksperimenta..............................................................277. Dizajniranje eksperimenata po Tagučiju................................................30

8. Prikazivanje rezultata eksperimenta.......................................................31

9. Obrada rezultata eksperimentalnih merenja...........................................31

10. Statistička kontrola procesa-primeri......................................................45


2/57



1.UvodEksperimentalna istraživanja su dugi niz godina i vekova osnova istraživačkih aktivnosti

naučnika, posebno u oblasti kvaliteta. Do devedesetih godina XX veka strategija eksperimenatase bazirala na intuiciji, iskustvu i znanju istraživača.

Eksperiment je naučno projektovan ogled (pokus, proba ...), koji obuhvata sistemoperacija, algoritama i eksperimentalnih tehnika, radi ispitivanja nekog objekta pod tačnoutvrĎenim režimima i uslovima. Eksperimentalni metod se temelji na empiriji (iskustvu) iindukciji kao posebnom naučnom metodu.

Eksperiment se koristi u završnom stadijumu istraživanja i tada pretstavlja ključnikriterijum provere istinitosti teorija i hipoteze. Eksperiment je istovremeno i metod naučnogsaznanja o pojavama u objektivnom svetu jer predstavlja izvor novih teorijskih saznanja.

Prednosti eksperimenta kao spoznaje su sledeći: 1. Objekti (pojave, procesi, sistemi i sl.) mogu se proučavati u „čistom" obliku odnosno

bez sporednih, manje važnih faktora. 2. Moguće je istraživanje objekata u ekstremnim uslovima, daleko izvan prirodnog stanja

prodirući tada u dubine mehanizama i zakonitosti.

3. Mogućnost realizovanja principa ponovljivosti, znači da se eksperiment može ponoviti idobiti iste rezultate.

Na osnovu prirode objekta ispitivanja eksperimenti se mogu podeliti na:

• Eksperimente na realnom objektu, • Eksperimente na modelu i • Eksperimente na računaru.

Prema stadijumu ispitivanja objekata eksperimenti se dele na:

1. Laboratorijske eksperimente

2. Eksperimente na opitnom (probnom) stolu i

3. Industrijske ekspermente.

MeĎu glavne ciljeve eksperimentalnog metoda spada otkrivanje prirodnih zakona,odnosno, uzročno posledičnih veza meĎu objektima, procesima i pojavama u prirodi. Osimovoga, značaj eksperimenta je sledeći:

1. Eksperimentalnim metodom se dokazuje postojanje odreĎenih veza (korelacija) meĎu pojavama.

2. Pomoću eksperimenta se proveravaju odreĎeni zakoni, teorije i hipoteze. 3. Pri istraživanju nedovoljno poznatih pojava eksperimentalni metod je najčešće jedino

mogući metod spoznaje.4. Naročito velika primena eksperimentalnog metode je u primenjenim naukama i

tehnici, jer se valjanost nekog fundamentalnog principa u inženjerskoj praktičnojdelatnosti može proveriti jedino eksperimentom. Naprimer, isptivanje prototipa nekog

proizvoda, nove tehnologije itd.

Nove, savremene, merno-računarske tehnike i tehnologije, sve izraženiji ekonomski itehnički zahtevi (smanjenje broja, trajanja i troškova eksperimenata, podizanje nivoa kvaliteta i

pouzdanosti merenja i sl.) i razvoj regresione i korelacione analize uslovili su razvoj nove

metematičke teorije eksperimenata-DoE metoda sa posebnim naglaskom na teoriji planiranja

eksperimenata.

Prva etapa istraživanja je prikupljanje, proučavanje i analiza svih raspoloživih irelevantnih informacija o objektu istraživanja. Rezultati prve etape su:

- potpuni spisak uticajnih faktora (po mogucnosti rangiran prema stepenu uticaja),

granice rasipanja i druga obeležja uticajnih faktora;-kriterijumi i parametri optimizacije u skladu sa postavljenim ciljem i sl.


3/57



Ukoliko je bro j uticajnih faktora značajan (veliki) neophodno je odvojiti manji brojznačajnih (bitnih) od većeg broja manje uticajnih (manje bitnih) faktora, primenomodgovarajućih metoda i tehnika sistema kvaliteta QMS (na primer ABC ili Pareto analize i sl.).

U teori ji eksperimentalnih istraživanja razvijeni su različiti metodi analize i rešavanjasloženih zadataka istraživanja, kao što su:

matematičko modeliranje pojava, procesa i sistema u prostoru i vremenu, proučavanje mehanizama pojava i procesa i optimalno upravljanje procesima i sistemima.

2. Eksper imentalna istrazivanja Ograničenja ili poremećaji (Z-nekontrolisani faktori) koji obuhvataju sistematske i/ili

slučajne poremećajne faktore imaju presudan uticaj na voĎenje eksperimentalnih meren ja.Modelom je obezbeĎeno indetifikovanje pojava i mehanizama odvijanja procesa, utvr Ďivanjematematičkog modela procesa (Ym), optimizacija parametara i upravljanje tokom procesa naosnovu funkcija cilja.

Za realizaciju ideje o “crnoj kutiji” najčešće se k oriste rezultati eksperimentalnih

istraživanja. Eksperimentalna istraživanja su dugi niz godina i vekova osnova istraživačkihaktivnosti naučnika, posebno u oblasti kvaliteta. Do devedesetih godina XX veka strategijaeksperimenata se bazirala na intuiciji, iskustvu i znanju istražibača. Nove, savremene, merno-računarske tehnike i tehnologije, sve izraženiji ekonomski i tehnički zahtevi (smanjenje broja,trajanja i troškova eksperimenata, podizanje nivoa kvaliteta i pouzdanosti merenja i sl.) i razvojregresione i korelacione analize uslovili su razvoj nove metematičke teorije eksperimenata-DoE

metoda sa posebnim naglaskom na teoriji planiranja eksperimenata.

Prva etapa istraživanja je prikupljanje, proučavanje i analiza svih raspoloživih irelevantnih informacija o objektu istraživanja. Rezultati prve etape su: potpuni spisak uticajnih

faktora (po mogucnosti rangiran prema stepenu uticaja), granice rasipanja i druga obeležjauticajnih faktora; kriterijumi i parametri optimizacije u skladu sa postavljenim ciljem i sl.

Ukoliko je broj uticajnih faktora značajan (veliki) neophodno je odvojiti manji broj značajnih(bitnih) od većeg broja manje uticajnih (manje bitnih) faktora, primenom odgovarajućih metoda itehnika sistema kvaliteta QMS (na primer ABC ili Pareto analize i sl.).

U teoriji eksperimentalnih istraživanja razvijeni su različiti metodi analize i rešavanjasloženih zadataka istraživanja, kao što su:

matematičko modeliranje pojava, procesa i sistema u prostoru i vremenu, proučavanje mehanizama pojava i procesa i optimalno upravljanje procesima i sistemima.

2.1. Modeliranje pojava, procesa i sistemaZa modeliranje i optimizaciju realnih procesa, sistema i objekata razvijaju se i primenjuju

različiti fizički i matematički modeli. Fizički modeli su objekti, sistemi i generisani procesi, formirani na principima teorije

sličnosti tako da sve pojave, indetifikovane na modelu, po svojoj fizičkoj prirodi odgovaraju pojavama na realnom objektu.

Matematički modeli , u vidu jednačina ili sistema jednačina, ss apstraktni, analitički iskazfizičkih, geometrijskih i drugih karakteristika realnog sistema. Njima se iskazuje i simulira

ponašanje realnih sistema, procesa ili objekta. Izbor matematičkog modela je rezultat poznavanja prirode objekta, preliminarnih

istraživanja, poznavanja teorije planiranja eksperimenta, sistematske identifikacije vrste i nivoavariranja uticajnih faktora (parametara) itd. Tačnost i kvalitet matematičkog modela ne zavisisamo od složenosti izabrane funkcije, već i od broja intervala variranja uticajnih faktora. Tačnost


4/57



se povećava izborom većeg broja uticajnih faktora i smanjenjem intervala njihovog variranja.MeĎutim, to dovodi do složenije eksperimentalne procedure, povećanja utroška resursa(materijala, energija...) i vremena realizacije eksperimenta. Istovremeno, opštost matematičkogmodela je ograničena na intervale variranja uticajnih faktora tako da model važi za izabranieksperimentalni prostor.

2.2 Dizajn iranje eksper imenata – DoE Eksperimentalna ispitivanja su osnova verifikacije teorijskih istraživanja i hipoteza,

analize složenih, neistraženih, pojava i procesa, modeliranja, simulacije i optimizacije pojava i procesa u odreĎenoj oblasti. Eksperimentalna istraživanja su, od početne ideje do implementacijerezultata ispitivanja, sklop kompleksnih aktivnosti koje zahtevaju i značajan utrošak raspoloživihresursa (materijali, oprema, energija, vreme i td). Otuda je neophodno kvalitetno dizajniranje

eksperimenata i poštovanje pravila i dostignuća DoE metoda (metoda dizajniranja eksperimenata – slika 5.2) koje obuhvataju:

Preddizajniranje eksperimenta,

Dizajniranje eksperimenta Realizacija eksperimenta i Obradu i analizu rezultata eksperimentalnih istraživanja.

U fazi preddizajn ir anja eksper imenata izvodi se sistematska teorijska analiza procesa,

ulaznih i izlaznih, zavisnih i nezavisnih veličina uticajnih na proces (slika 5.3), broja, vrste iintervala variranja uticajnih faktora, mogućih zavisnosti veličina (vrsta, oblik matematičkihzavisnosti), sadržaj istraživanja itd.

Dizajniranje eksperimenata podrazumeva utvr Ďivanje toka (operacije eksperimenta – opita), uslova izvoĎenja eksperimenta, principa realizacije eksperimenta, izbor metoda i

postupka ralizacije eksperimenata i obrade rezultata, izbor i projektovanje mernih lanaca itd.

Realizacij a eksper imenata se ostvaruje prema utvr Ďenom planu, programu i metodologiji pri konstantim i strogo kontrolisanim uslovima. To podrazumeva maksimalno neutralisanje

uticaja okoline (mikroklime), sistematskih i subjektivnih grešaka itd.


5/57



Obrada, anal iza i pri kazivanje rezul tata je završna faza svakog eksperimenta. Saglasnocilju eksperimenta biraju se i metode i postupci obrade rezultata, uz utvr Ďivanje metodoligje

prikupljanja, sreĎivanja, analize, pripreme i prikazivanja podataka (rezultata) u obliku pogodnomza obradu i analizu, posebno za automatsku obradu primenom savremenih računarskih sistema i

programskih paketa

U procesu dizajniranja eksperimenta najpre se razvija opšta strategija eksperimenta i nakraju plan eksperimenta (detaljan protokol za svaki eksperiment). Plan se zasniva na utvr Ďivanjusvih relevantnih veličina uticajnih na proces, a pre svega kontralabilnih i nekontralabilnih faktora(varijabli) procesa ( slika 5.3).

Protokol eksperimenata se formira u vidu formulara, sveske ili obrasca na ekranu

računara (obavezno se unosi vreme, faktori, izmerene vrednosti, uslovi eksperimenta, istraživač,napomene).

2.3 Planiranje eksperimenata Pojave, procesi, fenomeni ili stanja tehničkog sistema se proučavaju korišćenjem

analitičkih, eksperimentalnih ili analitičko-eksperimentalnih metoda i procedura.Eksperimentalne metode, istorijski posmatrano se zasnivaju na primeni dva različita konceptra,dve teorije planiranja I izvoĎenja eksperimenata, klasične i savremene teori je , tako da seeksperimentalni planovi mogu podeliti u tri grupe:

Klasični eksperimentalni planovi – planovi jednofaktorne analize Planovi višefaktorne analize ili višefaktorni planovi i Tagučijevi planovi eksperimenata,

U savremenim eksperimentalnim istraživanjima koriste skoro isključivo, višefaktorni I

tagučijevi planovi eksperimenata.

Klasična teorija bazira na skupim i dugotrajnim eksperimentima, bez mogućnostiutvr Ďivanja meĎusobnog uticaja (stepena interakcije) relevantnih faktora. To iz razloga što se utoku eksperimenata menja vrednost samo jednog uticajnog faktora, pri konstantnoj vrednosti

ostalih. Procedura se ponavlja za sve relevantne faktore. Ako se eksperimenti ne ponavljaju

ukupan broj eksperimenata je:

1)1( nk N Gde su k – broj faktora (promenljivih) i n – broj ponovljenih eksperimenataSavremene teorije eksperimenata obezbeĎuju rešavanje brojnih zadataka u oblasti

proučavanja i analize višefaktornih i difuzionih sistema, a pre svega:

Matematičko modeliranje pojava, procesa, fenomena i sistema u prostoru ivremenu


6/57



Proučavanje mehanizama pojave i procesa, uz identifikovanje strukture,meĎ usobnog delovanja i zakonitosti promena stanja primenom metoda fizičeanalogije i matematičke analize i

Optimizaciju parametara i optimalno upravljanje procesima u tehničkim sistemima

Dve osnovne karakteristike višefaktornih planova eksperimenata su minimalni skupeksperimentalnih tačak a unutar eksperimentalnog hiperprostora (višestruko niži troškovi i kraćevreme trajanja skupih eksperimentalnih ispitivanja) i maksimalni skup informacija o efektima

matematičkog modela procesa.

Broj etapa i opitnih operacija na svakoj od njih zavisi od rezultata predhodne faze i cilja

istraživanja. Na osnovu cilja utvrĎuje se model, plan i program eksperimenata i obrada, analiza i prikazivanje rezultata, kao i razrada i sporovoĎenje konkretnih mera ( slika 5.4). korektivne meresu usmerene ka korekciji plana i programa istraživanja sve do ostvarivanja utvrĎenog cilja, a dvaosnovna cilja su:

Utvrditi mehanizme i druge karakteristike odvijanja procesa i Identifikovati optimalne uslove odvijanja procesa.

Postupak realizacije planova eksperimentaProjektovanje eksperimenata obuhvata metodologije i procedure izbora: vrste

eksperimenata, broja eksperimenata, broj i način ponavljanja eksperimenata u pojedinimtačkama eksperimentalnog plana, režima i uslova izvoĎenja eksperimenata, redosleda (ivremena) izvoĎenja pojedinih eksperimenata i drugih neophdnih elemenata za izvršenjeeksperimenata. Rezultati projektovanja se najvećim delom iskazuju eksperimentalnim planom.

Planiranje, izvoĎenje i obrada rezultata eksperimentalnih ispitivanja se sastoji iz sledećihobaveznih faza:

• Izbor faktora eksperimenta • Izbor intervala variranja • Kodiranje faktora • Sastavljanje matrice planiranja (plan matrice) • Realizacija plana eksperimenta • Proračun koeficijenata regresije (parametara modela)• Ocena značajnosti (signifikantnosti) faktora • Provera adekvatnosti matematičkog modela i • Ocena tačnosti modela (proračun intervala pouzdanosti).

Na slici 2.2. je postavljena uopštena blok šema sa usvojenim metodama i koracima pri postavljanju, izvoĎenju i obradi eksperimentalnih podataka, kao i oceni parametara modela.


7/57



Slika 2.2: Blok šema eksperimentalnih ispitivanja i obrade podataka

2.4. Strukturni elementi eksperimenta

U strukturi eksperimenta mogu se uočiti četiri osnovna elementa:

1. Objekat ili predmet istraživanja, 2. Eksperimentalna tehnika,

3. Eksperimentalni plan,

4. Eksperimentator ili istraživački tim.

Objekat ili predmet ispitivanja se defmiše kao nosilac nekih nepoznatih stanja, ponašanja, kvaliteta i sl. koje treba primenom eksperimentalnih metoda istražiti.

Pod objektom istraživanja u mašinskoj tehnici se podrazumeva neki proces (tehnički, proizvodni, obradni, strujni, termodinamički itd.) neki tehnički sistem ( mašina, postrojenje, proizvod, transportno sretstvo, energetski sistem, itd.) kao i mnoštvo drugih objekata na kojimase vrše odreĎene eksperimentalne analize, testiranja, optimizacije, upravljanje, ispitivanjekvaliteta, efekta ili slično.

Sa stanovišta matematičke teorije eksperimenta objekti se mogu podeliti na proste isložene. Prosti ili dobro organizovani objekti su oni kod kojih se bez teškoća mogu

identifikovati izlazi. Obrnuto, kod sloţenih ili slabo organizovanih objekata, iako su pojave usko povezane teško se uočava njihova priroda.


8/57



Eksperimentalna tehnika (merna, senzorska, računarska tehnika i dr.) je drugi osnovnielemenat strukture i pomoću njega se dobijaju (generišu) tražene informaciije o ispitivanomobjektu.

Eksperimentalnim planom se defmiše procedura i uslovi eksperimentalnog ispitivanjadatog objekta.

Eksperimentator ili istraţivački tim na osnovu dobrog poznavanja teorije eksperimenta iosnova istraživanog objekta povezuje eksperimente i teoriju i projektuje optimalne eksperimentesaglasno ciljevima ispitivanja. Rezultate eksperimenta se posle toga obraĎuju i prikazuju.

2.5. Podela eksperimentalnih planova

Podela eksperimentalnih planova se uglavnom vrši prema kriterijumu njihovog istorijskognastajanja na jednofaktorne planove i višefaktorne planove eksperimenta.

Prvu grupu čine jednofaktorni planovi koji su se koristili u klasičnoj teoriji eksperimenta.

U drugu grupu ulaze oni eksperimenti, koji se uputrebljavaju u modernoj teoriji

eksperimenta. To su takozvani višefaktorni planovi eksperimenta.

Postoje još i drugi kriterijumi za podelu, tako da se eksperimenti mogu podeliti:1. prema broju faktora:

• jednofaktorne planove, • dvofaktorne planove i • višefaktorne planove;

2. prema redu plana (stepenu modela) na:

• planove prvog reda, • planove drugog reda i

• planove višeg reda;

3. prema cil ju koji se postiţe eksperimentalnim planom: • planove za selekciju i rangiranje (za analizu signifikantnosti) skupa ulaznih faktora, • planove za proučavanje zakonitosti datih pojava, • planove za ocenu karkteristika različitih pojava, procesa ili sistema i• planove za optimizaciju i optimalno upravljanje pojavama procesima, sistemima i sl;

4. prema vrsti statističkog metoda ispitivanja: • disperzioni i • regresioni planovi;

5. prema karakteru ponavljanja eksperimenta:

• bez ponavljanja, • sa ponavljanjem u jednoj tački člana, • sa ponavljanjem u više tačaka plana i • sa različitim ponavljanjem u pojedinim tačkama plana,...

6. prema potpunosti eksperimenta:

• parcijalni ili delimični plan (izvodi se samo u odreĎenim tačkama plana) i • potpuni plan eksper imenta.


9/57



3.0. JEDNOFAKTORNI MODELI3.1. Uvod

Kada na objekat istraţivanja, odnosno njegov izlaz (y), deluje samo jedan faktor, ilikada se ispituje karakter uticaja samo jednog faktora na izlazne veličina, koriste se

jednofaktorni planovi.Jednofaktorni plan se formira na sledeći način. Posmatrani faktor F1 uzima k različitih

diskretnih vrednosti (nivoa) u nekom intervalu promene. Pri tome je moguće ponavljanjeeksperimenta ni puta, što omogućuje da se odrede greške merenja. Pojedini eksperimenti seizvode slučajnim redosledom.

Po svom konceptu planiraje eksperimenta je takvo da se menja samo jedan faktor, dok se

ostali faktori zadržavaju na konstantnom nivou. Ova eksperimentalna procedura se uzastopno ponavlja nad svim izabranim faktorima. Iz tih razloga se ovakav način planniranja eksperimentanaziva planiranje ,,u obliku krsta".

Cilj eksperimentalnih istraživanja kod obrade rezanjem je naći zakonitosti fizičkih itehnoloških karakteritika procesa rezanja od uslova rezanja. Eksperimentom se dobijaju osnovnezakonitosti koje je pored grafičkog predstavljanja potrebno prikazati i analitički. Jednačine koje

predstavljaju eksperimentalne zavisnosti nazivaju se eksperimentalne ili empirijske jednačine. Empirijske jednačine mogu biti različitog tipa, a u okviru jednog tipa razliktiju se povrednostima konstanti. Zadatak je da se matematički predstavi rezultat eksperimenta, pri čemu je

potrebno:

a) naći tip jednačine b) odrediti vrednosti konstani u jednačini.

Ako je jednačina dobijena teorijski onda ostaje samo deo zadatka pod b) koji se odnosi naodreĎivanje vrednosti konstanti u jednačini.

3.2. OdreĎivanje tipa empirijske jednačine

Rezultate merenja x i y se slažu u tablicu oblika:

x x1 x2 … xn

y y1 y2 … yn

Parove vrednosti (xi, yi) se smatraju za koordinatne tačke i unose se u pravouglikoordinatni sistem. Iskustvo pokazuje da je kriva izmerenih vrednosti x i y po pravilu neprekidnalinija, iako usled greške merenja nisu izmerene tačke na ovoj liniji, već blizu nje. Sada je

potrebno nacrtati eksperimentalnu krivu, kao krivu koja najbolje prati vrednosti unesenih tačka. Eksperimentalna kriva se nakon toga uporeĎuje sa graficima poznatih jednačina 1 što je

prikazano na slici 3.1.


10/57



y = ax+b y = axb y =

aebx

u= x v=y u = In x v = In y u = x

v= lny

Slika 3.1: Grafici poznatih jednačina

K ada je odreĎen tip eksperimentalne krive, eksperimentalne tačke se nacrtajukoordinatnom sistemu u - v, nakon čega se proverava da li sve tačke leže na pravoj linij Ako jeovaj uslov zadovoljen odabrana jednačina je odgovarajuća.

3.3. OdreĎivanje vrednosti konstanti u jednačini Metoda najmanjih kvadratnih odstupanja omogućuje da se na osnovti odreĎenoj broja

izmerenih vrednosti odrede konstante u regresionoj jednačini.

Ako se jednačina može linearizovati, po ovoj metodi mora biti:

(3.1)

gde je:

yi - merena vrednost

ŷ i - računska vrednost, što znači da je kvadrat odstupanja merenih od računskih vrednosti, odnosno, greška

eksperimenta minimalna.

Primer parabolične zavisnosti oblika:

ŷ = C • xm(3.2)

U cilju nalaženja minimuma funkcije vrši se linearizacija prethodne jednačinelogoritmovanjem:

ln ŷ = lnC + mlnx(3.3)

Izračunavanjem za pojedine izmerene vrednosti dobijaju se greške eksperimenta :ε i = ln ŷ i — ln ŷ i = ln y i - (ln C + m ln xi )

....... ............. .................. .........ε 1 = ln y1 - lnC - m ln x1ε 2 = ln y2 - lnC - mln x2


11/57



.... .................. ................... .............

ε i = ln yi - lnC - m ln xi................ .................. ....

ε n-1 = ln yn-1 - lnC - m ln xn-1

ε n = ln yn - lnC - m ln xn (3.4)

Na osnovu jednačine (3.1) treba da se dobije minimum funkcije:

min

22

1

2

2

2

1

min1

2 )...( nn

n

i

i

(3.5)

Da bi se našao minimum ove funkcije potrebno je naći njen prvi izvod i izjednač ga sanulom:

002

002

0

0

11

11

1

2

1

2

m

C

m

C

i

i

n

im

i

i

n

i

i

i

n

im

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

Na osnovu jednačine (3.8) dobija se:

)1

)(lnln(ln.. .)1

)(lnln(ln

......)1)(lnln(ln)1)(lnln(ln

11

2211

C xmC y

C xmC y

C xmC y

C xmC y

nnii

+ )1

)(lnln(lnC

xmC y nn =0

Kada se izvrši sumiranje članova u jednačini (3.10) dobija se:

n

i

n

iii xmC n y

1 10lnlnln

(3.11)

Analogno prethodnom a na osnovu jednačine (3.9) koja glasi

n

i m

ii

1

,0

dobija se:

(3.12)

n

i

n

i

n

i

iiii xm xC y x1 1 1

2 0)(lnlnlnlnln

(3.13)

3.6

3.7

3.8

3.10


12/57



Ako za ovu jednačinu uvedemo odgovarajuće oznake kao što je prikazano,

n

i

ii yC nm x

1

lnlnln

(3.14)

n

i

iiii y xC xm x1

2 lnlnlnln)(ln

(3.15)

a2 b2 C 2

dobijamo jednačinu u sledećem obliku:

111 ln C C bma (3.16)

222 ln C C bma (3.17)

Rešavanjem ovog sistema jednačine dobija se:

1221

2112

22

11

22

11

baba

C bC b

baba

bC

bC

m

(3.18)

1221

1221

22

11

22

11

lnbaba

C aC a

ba

ba

C a

C a

C

(3.19)

Nakon smene predhodno uvedenih oznaka dobijaju se nepoznate iz jednačine (3.11) i(3.13), koje su sledećeg oblika:

22lnln

lnlnlnln

ii

iiii

xn x

y xn y xm

(3.20)

22

2

lnln

ln)(ln)ln(lnlnln

ii

iiiii

xn x

y x y x xC

(3.21)

a1 b C 1


13/57



Koeficijent korelacije za ovu jednačinu je:

2/1

22

22

lnln

lnln

ii

ii

y yn

x xnm R

2222 lnlnln)(ln

lnlnlnln

iiii

iiii

y yn x xn

y x y xn R

(3.22)

U zavisnosti od vrednosti izračunatih koeficijenata korelacije mogu da se pojave sledećislučajevi:

0 < |R|< 0,2 - praktično nema zavisnosti 0,2 < |R|< 0,5 - slaba zavisnost

0,5 < |R|< 0,75 - srednja zavisnost

0,75 < |R| < 0,95 -jakazavisnosti

0,95 < |R|< 1,0 - praktično funkcionalna zavisnost.

Kod opadajuće korelacije koeficijent korelacije se nalazi:0 > |R|>- 1.

Kod rastuće korelacije koeficijent korelaci je se nalazi:0 < |R| < 1.

Za izračunavanje potrebnih vrednosti, radi veće preglednosti i lakšeg rada, treba koristitisledeću tabelu:

Tabela 1: Tabela za obradu podataka kod parabolične zavisnosti

i xi ln xi (ln xi)2 lnyi ln xi ln yi (ln yi)

2ŷi

(1) (2) (3) (4)= ln(2) (5)=(4)2 (6)=ln(3) (7)=(4)-(6) (8)=(6)2 (9)

1

2

.

i.

n-1

n

n - - ln xi (ln xi)2

ln yi (ln xi ln

yi) (ln yi)

2

bi - - a1 = b2 a2 C1 C2 - -

Primer linearne regresije oblika:

ŷ = C + mx

Analogno jednačinama (3.20) i (3.21) dobija se:


14/57



22

ii

iiii

xn x

y xn y xm

(3.23)

22

2)(

ii

iiiii

xn x

y x y x xm

(3.24)

Koeficijent korelacije:

2/1

22

22

ii

ii

y y N

x x N m R

2222)( iiii

iiii

y yn x xn

y x y xn R

(3.25)

Za izračunavanje vrednosti konstanti, radi veće preglednosti i lakšeg rada, treba koristitisledeću tabelu:

Tabela 2: Tabela za obradu podataka kod linearne regresije

i xi yi (xi) (yi)

xi yi ŷi

(1) (2) (3) (4)=(2) (5)=(3) (6)=(2)-(3) (7)

1

2

.

i

.

n-1

n

n (xi) ( yi) (xi)2 ( yi)

2(xi, yi) (ŷi)

b1 a1=b2 C1 A2 - C2 -

Primer: OdreĎivalje postojanosti alata Obrada na strugu se može predstaviti ulaznim i izlaznim parametrima kao što je prikazano

na slici 3.2 [25], gde su ulazni parametri X/ - elementi režima obrade i ostali uslovi pri obradirezanjem, a izlazni yi - sile pri rezanju, temperature, širina pojasa habanja alata VB, odnosno postojanost alata T, hrapavost obraĎene površine R, i drugo.

X iS

y i

Slika 3.2: O pšti model

Iz opšteg modela obrade proizilazi radni model prema slici 3.3:

r T


15/57



S

Slika 3.3: Radni model

iz koga će se dobiti zavisnost postojanosti alatu od poluprečnika zaobljenja vrha alata iobliku:

T=f(r).

(3.26)

U radnom modela nzeto je da su svi uslovi pri rezanju konstantni (elementi reži rezanja,geometrija alata, isto radno mesto, bez primene sredstva za podmazivanj hlaĎenje, ...).

Prethodna zavisnost će se potražiti u sledećim oblicima:

- linearnom obliku:

Ť = C+mr

(3.27)

-paraboličnom obliku:

Ť = C r m (3.28)

Eksperimentalna ispiti vanja

U cilju odreĎivanja zavisnosti prema jednačinama (3.27) i (3.28), praćenaje prome širine pojasa habanja na leĎnoj površim VBsr , u funkciji vremena rezanja t. Obrada je vršena alatima sarazličitim poluprečnikom zaobljenja vrha alata r.

Uslovi pri eksper imentalnom ispitivanju

Eksperimentalna ispitivanja su vršena na konstrukcionom čeliku Č. 4732 (oznaka p DIN42CrMo4), hemijskog sastava: 0,42%C, 0,27%Si, 0,63%Mn, 1,1 l%Cr, 0,16%Mo 0,01%S,

0,012%P. Metalografskom analizom je utvrĎeno da je materijal isporučen u meko žarenomstanju.

Pri ispitivanju je korišćen standardni strugarski nož za završnu obradu sa pločicom odtvrdog metala P10 (JUS.KC1.053) (ISO 3), proizvodnje "Jugoalat", Novi Sad.

Poluprečnik zaobljenja vrha alata na jednom nožu bio je prema standardu 0,5 mm na ostaladva je iznosio 0,9 mm i 1,6 mm. Svi poluprečnici su izraĎeni sa velikom tačnošću « na profilnoj

brusilici sa optičkim sistemom u "Jugoalat"-u.Elementi režima obrade pri eksprimentalnom ispitivanju bih su: dtibina rezanja a = 0,7 mm

i pomak s = 0,714 mm/o (A = 0,49 mm2). Pri ispitivanju nije korišćeno sredstvo za podmazivanje i hlaĎenje.

Merenje širine pojasa habanja na leĎnoj površini alata vršeno je na velikom alatnommikroskopu "Zeiss", sa tačnošću 0,01 mm.

Rezul tati eksperimentalnih ispiti vanja

U toku ispitivanja praćena je srednja vrednost širine pojasa habanja na leĎno površini ufunkciji vremena rezanja [8].

Na osnovu rezultata merenja nacrtane su krive habanja za svih šest noževa (slika 3.4) Za

radijus r = 0,5 mm odreĎene su tri krive habanja, za r = 0,9 mm dve, a za r = 1,6 m samo jednakriva habanja. Iz dijagrama se može uočiti da je najveća postojanost alata dobijena pri najvećem poluprečniku zaobljenja vrha alata.

http://jus.kc1.053/http://jus.kc1.053/


16/57



Obrada eksperimentalnih rezul tata

Za izabrani kriterijum zatupljenja VBsr = 0,5 mm, sa dijagrama (slika 3.4), očitane suvrednosti postojanosti T, koje odgovaraju pojedinim poluprečnicima zaobljenja vrha alata (viditabelu 3 i sliku3.4).

Sli ka 3.4: Kr ive habanja

Tabela 3: Rezultati merenja - merene vrednosti postojanosti

r [mm] TIZ [min] T = TSR [min]

0,5

4,1

5,56,0

6,5

0,922,5

25,3

28,0

1,6 55,0 55,0

Tabela 4: Računske vrednosti za linearnu zavisnost

i r T (r)2 (T)2 r-T f

(1) (2) (3) (4)=(2)2 (5)=(3)2 (6)=(2)-(3) (7)

1 0,5 5,5 0,25 30,25 2,75 6,241

2 0,9 25,3 0,81 640,09 22,77 24,12

3 1,6 55,0 2,56 3025 88,0 55,41

n (r) (T) (r 2) (T)

2 (r T) -

3 3,0 85,8 3,62 3695,34 113,52 -


17/57



Tabela 5: Računske vrednosti za paraboličnu zavisnost

i r T ln r (ln r)2 lnT ln r In T (ln T)2 f

(1) (2) (3) (4)= ln(2) (5)=(4)2 (6)=ln(3) (7)=(4)-(6) (8)=(6)2 (9)

1 0,5 5,5 -0,69315 0,48046 1,70475 -1,18165 2,90617 6,22

2 0,9 25,3 -0,10536 0,01110 3,23080 -0,34040 10,43807 19,866

3 1,6 55,0 0,47000 0,22090 4,00733 1,88345 16,05869 61,85

n - - ln r (ln r)2 lnT (ln r ln T) (ln T)2 -

3 - - -0,32851 0,71246 8,94288 0,36140 29,40293 -

Metodom najmanjih kvadrata odreĎena je sledeće zavisnosti T = f (r): - linearna prema jednačini (3.27)Ť = m-r + CŤ = 44,71-r -16,11,

(3.29) uz koeficijenat korelacije R = 0,99915

- parabolična prema jednačini (3.28) Ť = C-r m

Ť = 24,48 r 1,98 ,(3.30)

uz koeficijenat korelacije R = 0,98391.

U tabeli 6 su prikazane izmerene vrednosti postojanosti alata i računske vredn prema jednačinama (3.29) i (3.30) uz procentualnu grešku merenja ε p [%], koja iznosi:

ε p= Ť-T/T100% (3.31)

Tabela 6: Računske vrednosti postojanosti za linearan i parabolični oblik jednačin

r [mm] Tsr [min]Ť [min] ε p[%] Ť [min] ε p [%]

Prema (3.29) i (3.31) Prema (3.30) i (3.31)

0,5 5,5 6,24 13,45 6,20 12,72

0,9 25,3 24,13 -4,62 19,87 -21,46

1,6 55,0 55,46 0,83 62,08 12.8

Oznake: T - izmerena postojanost, Ť - računska vrednost

Na osnovu dobijenih rezultata se zaključuje da linearni oblik jednačine bol aproksimiratraženu zavisnost postojanosti jer su greške za slučaj lineame zavisnosti manje.


18/57



Slika 3.5: Postojanost alata u funkciji poluprečnika vrha alata Na osnovu dobijenih rezultata mogu se doneti sledeći zaključci: - Uticaj poluprečnika zaobljenja vrha alata na njegovu postojanost pri završnoj obradi

može se uspešno predstaviti u lineamom obliku; - Pri završnoj obradi na strugu, kada to mogućnosti dozvoljavaju, preporučuje se što veći

poluprečnik zaobljenja vrha alata, uz napomenu da kod manje krutih sistema MPOA. (mašina M- pribor P-obradak O-alat A) zbog smanjene debljine strugotine može doći pojave oscilacije.

4.0. VIŠEFAKTORNI MODELI

4.1. UvodOsnovne karakteristike višefaktornih eksperimentalnih planova su minimalni skup

eksperimentalnih tačaka unutar eksperimentalnog hiperprostora (višestruko niži troškovi ; kraćevreme trajanja skupih eksperimentalnih ispitivanja) kao i maksimalni skup informacije o efektima

matematičkog modela procesa koji je formiran zahvaljujući istraživanjau prema kibernetskom pristupu (sistem „crne kutije", slika 4.1.).

Slika 4.1: Kibernetski prilaz modeliranju pojava, procesa ili sistema


19/57



Prva etapa eksperimentalnog istraživanja je prikupljanje, proučavanje i analiza svirraspoloživih i relevantnih informacija o objektu istraživanja. Rezultati prve etape su: spisakuticajnih faktora (po mogućnosti rangiran prema stepenu uticaja), granice rasipanja i drugaobeležja faktora, kriterijumi i parametri optimizacije u skladu sa postavljenim ciljem : slično.Ukoliko je broj uticajnih faktora veliki, neophodno je odvojiti manji broj značajnil: od većeg

broja manje uticajnih, primenom odgovarajućih metoda.

Najrasprostranjeniji eksperimenti su eksperimenti kod kojih se faktori variraju u dvs

nivoa (maksimalna i minimalna vrednost), pri čemu se srednja vrednost faktora ne tretire kaonivo variranja. To su eksperimenti tipa

N = 2k +n0 ,

(4.1) gde je:

k - broj faktora (promenljivih)

n0- broj ponovljenih eksperimenata.

Na slici 4.2 je prikazan raspored eksperimentalnih tačaka u kodiranim koordinataim za jednofaktorni, dvofaktorni i trofaktorni eksperimentalni plan prvog reda. Kod ovir planova plan

matrice zadovoljavaju uslove simetričnosti, normalnosti i ortogonalnosti 1.

Slika 4-2: Raspored eksperimentalnih tačaka planova tipa 2k

Ortogonalnost plana je jedna vrlo značajana karakteristika eksperimentalno Matematičkise definiše izrazom:

0 juiu x x ji i,j = 0, 1, 2, .... k(4.2)

Ova karakteristika plana znači da se informaciona matrica M i disperziona n C=M-1

pretvara u dijagonalnu. To znači da se koeficijenti regresije izračunavaju (oce nezavisno jedanod drugog. Time se veoma uprošćava proračun ovih koeficijenata.

Neki plan se naziva rotatabilan ako je disperzija vrednosti višestruke re£ funkcijarastojanja od centra plana. To znači da je disperzija konstanta (jednaka) u tačkama podjednakoudaljenim od centra eksperimentalnog plana.

Kriterijum kompozitivnosti odreĎenog eksperimentalnog plana omogućuje da seeksperimentalni plan rastavi na sukcesivni niz planova (ciklusa). Prvi ciklus počinje sa

jednostavnijim planom - planom prvog reda. Drugi i naredni ciklus su složeniji plan planovidrugog reda i narednih redova. Pri tome se pri obradi eksperimentalnih rezulta na kraju nekog

plana ili ciklusa koriste i rezultati planova prethodnog ciklusa.

Pri planiranju i izvoĎenju eksperimenta korišćena je metodologija višefaktornog plana

eksperimenta. Izabrani faktori su se menjali u tri nivoa vrednosti. Na taj na;in površina odziva jeu ispitivanom intervalu u svakoj ravni odreĎena sa po tri eksperimentalne tačake [1,2,12,37].


20/57



4.2. OdreĎivanje konstanti u matematičkom modelu sa dva uticajna faktora 4.2.1. Regresiona analiza

Ako se pretpostavi funkcionalna zavisnost izmeĎu nezavisno promenjivih Fi, zavisno promenjive R u obliku:

2

2

1

1

p p F CF R (4.3)

regresionu analizu možemo izvršiti na niže naveden način. Logaritmovanjem ove jednačine dobija se : lnR = lnC + p1 lnF 1 + p2 lnF 2

(4.4)

koja se može prikazati linearnim matematičkim modelom: y = p0 x0 + p1 x1 + p2 x2 ,

4.5)

gdeje:

y = lnR p0 = lnc

x0 = 1

(4.6)

xi = lnFi

i = l,2.

Ova zavisnost se može naći na osnovu logaritama merenih vrednosti y, uz grešku merenjau obliku:

y - = b0 x0 + b1 x1 +b2 x2 +bl2 x1 x2

(4.7) na osnovu koje će se odrediti računske vrednosti u obliku modela sa meĎusobnimuticajima:

ŷ - = b0 x0 + b1 x1 +b2 x2 +bl2 x1 x2(4.8)

gde je:

ŷ - logaritmovana vrednost računske veličine bi, bij - koeficijenti izračunati na osnovu pi, pij.

Koeficijenti bi, bij, se odreĎuju metodom najmanjeg kvadrata na osnovu formulematematičkom obliku:

B = (X -X)-1 X Y

(4.9)

gdeje:

B - matrica koeficienata bi, bij, koji se odreĎuju X - matrica plana eksperimenta

X' - transponovana matrica matrice X

(XX)-1 - inverzna matrica proizvoda matrica XX

Y - matrica logaritmovanih vrednosti merene veličine

4.2.2. Kodiranje i izbor faktora eksperimenta

Da bi se pojednostavila obrada podataka pomoću jednačine (4.9) vrši se kodiranje faktoraeksperimenta pomoću jednačine:


21/57



12

1

lnln

lnln21

ii

iu

i F F

F F x

; i=1,2; u = 13;

(4.10)

gde je:

Fi1 - kodirano x1 = +1 maksimalna vrednost faktora

Fi3 - kodirano xi = 0 x srednja vrednost faktoraFi2- x1 = -1 minimalna vrednost faktora

(4.11)

Broj eksperimenata uključujući i srednji nivo zbog provere tačnosti k = 2 faktornoeksperimenta uvećava se za n0 = 4 pa je:

N = 2k + n0 =22 + 4 = 8

4.2.3. OdreĎivanje koeficijenata regresije Matrica plana eksperimenta X u modelu sa meĎusobnim uticajima će biti:

x0 x1 x2 x12 1 -1 -1 1

1 1 -1 -1

1 -1 1 -1

1 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

Množenjem matrice X sa njenom transponovanom matricom X ' dobija se:

(X’)

Inverzna matrica proizvoda matrica X' i X jeste:

4/1000

04/100

004/10

0008/1

)( 1, X X (4.14)

Jednačina (4.9) se sada može napisati:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 -1 1 0 0 0 0

-1 -1 1 1 0 0 0 0

1 -1 -1 1 0 0 0 0

X =

*(X’X)-1 = =

(4.13)


22/57



1111

1111

1111

1111

4/1000

04/100

004/10

0008/1

12

2

1

0

b

b

b

b

0000

0000

0000

1111

8

2

1

...

y

y

y

(4.15)

Na osnovu ove jednačine se dobijaju koeficijenti bi.

8765432108

1 y y y y y y y yb

43211

4

1 y y y yb

432124

1 y y y yb

(4.16)

4321124

1 y y y yb

)( 112222 abb A p

211212 A Ab p

Ako jednačinu (4.21) antilogaritmujemo dobićemo računsku vrednost u stvarnimkoordinatama:

R = CF 1 p1- F 2

p2 exp(pl2 lnF 1 lnF 2 )(4.23)

gde je:

C = exp(p0 )

R = exp( ŷ )Ako model bez meĎusobnog uticaja zadovoljava, onda je i b12 = 0 u sistemu (4.22) a naosnovu toga sledi uprošćenje modela (4.23) i dobijanje modela bez meĎusobnih uticaja.

4.2.5. Disperziona analiza

U tabeli 11 je prikazan način izračunavanja disperzionih odnosa, potrebnih za ocenusignifikantnosti parametara modela i adekvatnosti modela:

Tabela 11. Izračunavanje disperzionih odnosa

Izvor varijacije Stepen

slobode

Suma kvadrata Disperzija Disperzioni

odnos(1) (2) (3) (4) (5)

b0 f 0= l 002

00 /C bSb 002

0 / f S s b 22

00 / E r s s F

b1 f 1= l 112

11 /C bSb 112

1 / f S s b 22

11 / E r s s F

b2 f 2= l 222

22 /C bSb 222

2 / f S s b 22

22 / E r s s F

b12 f 12= l 332

1212 / C bSb 12122

12 / f S s b 22

1212 / E r s s F

Rezidualna

suma

f R =N-k-l sR =

iu(yu - ŷ u )

2 R R R f S s /2

Ukupna suma f u = N SE =

iuyu

2


23/57



Greškaeksperimenta

f E=n0-l sR =

iu(you - ŷ o )

2 E E E

f S s /2

Adekvatnost

modelafa = f R

_ f E Sa= SR -SE aaa

f S s /2 22 / E aa s s F

Oznake u tabeli su:Cii - koeficienti na dijagonali u matrici (X'X)

-1

y0 - aritmetička sredina logaritmovanih vrednosti nultog nivoa y ou - izmerene logaritmovane vrednosti nultog nivoa.

Parametar je signifikantan ako je Fri > Ft. Prema Fišeru Ft(f1,f2) = 10,13 za = 0,05 stepeneslobode:

f 1 =fi=1

f 2 =f E =n0-1 = 4-1 = 3.

Model je adekvatan ako je Fa < Ft. Prema Fišeru Ft(f1,f2) = 9,55 za = 0,05 i stepenslobode:

f 1 = f a =N-k-1-(no-1) = 8-2-1-4+1 = 2

f 2=f E =n0-1=3

Ocena tačnosti matematičkog modela vrši se preko intervala poverenja:

2, yt f (4.24)

Koeficijent t 0,05;5 = 2,571 je odreĎen prema Studentu za nivo značajnosti = 0,05 istepena i stepena slobode: f=f R=N-k-1=8-2-1=5

Standardna devijacija za tačke na rogljevima modela jeste:

R

R

R R

S f

S s y

40

7

8

7

4

13

8

1 22

a za model bez meĎusobnih uticaja:

R

R

R R

S

f

S s y

40

5

8

5

4

12

8

1 22

Za centralne tačke u oba modela iznosi:

R R

R

R S f

S s y

40

1

8

1

8

1 22

Primer: Hrapavost obraĎene površine u funkciji od radijusa vrha alata i pomaka Uslovipri izvoĎenju eksperimenta: Obrada je izvršena na univerzalnom stugu tipa POTISJE-MORANDO i oznake PA-22,

čijaje snaga 10 KW. Alat je bio standardan strugarski nož ISO 3 sa zalemljenom pločicom od tvrdog metala

kvaliteta P10. Radijusi vrha alata su bili 0,5 mm, 0,9 mm i 1,6 mm. Srednja aritmetičkahrapavost Ra i maksimalna hrapavost Rt je merena na Perth-o-metru. Habanje alata je mereno navelikom alatnom mikroskopu (ZEISS).


24/57



Tabela 12. Rezultati merenja pri izvoĎenju eksperimenta [9]

Brojopita

Faktor Kod faktora

Rezultati merenja (m)

Materi jal Č 0545

Ra R t

F1 F2x0 x1 x2

računskavrednost

interval

poverenja r ačunskavrednost

interval

poverenja

r(mm) s(mm/o) od do od do

1 0,5 0,11 1 -1 -1 2,00 1,72 2,33 10,70 9,31 11,77

2 1,6 0,11 1 1 -1 2,42 2,08 2,82 12,03 10,69 13,53

3 0,5 0,71 1 -1 1 9,49 8,17 11,0 46,95 41,75 52,79

4 1,6 0,71 1 1 1 6,12 5,26 7,11 28,36 25,22 31,89

5 0,9 0,29 1 0 0 4,18 3,95 4,42 20,60 19,71 21,54

6 0,9 0,29 1 0 0 4,18 3,95 4,42 20,60 19,71 21,547 0,9 0,29 1 0 0 4,18 3,95 4,42 20,60 19,71 21,54

8 0,9 0,29 1 0 0 4,18 3,95 4,42 20,60 19,71 21,54

Model sa meĎusobnim uticajima prikazan je u tabeli 13 i ima sledeći oblik: )lnlnexp( 12

21 sr p sr C R

p p

i

Tabela 13. Ocena signifikantnosti i adekvatnosti modela sa meĎusobnim uticajem

Koeficijent

Materijal Č 0545 Hrapavost (um)

RaSignifikantno

stRt

Signifikantnos

t

C 9,007 13310,9 42,398 62497,9

p1 -0,474 1285,9 -0,531 28,70

p2 0,621 12,89 0,589 1201,3

p12 -0,286 83,07 -0,291 89,35

Fa 6,669


25/57



5.1. Centralni kompozicioni planovi drugog redaCentralni kompozicioni plan drugog reda je jedan od osnovnih pojmova u teoriji

regresionih modela drugog reda.

Kompozicija ovog plana je sledeća. Ako se u prvom ciklusu pokaže da su regresionimodeli prvog reda

ŷ

k

i

ii xb xb1

00 (5.1)

neadekvatni ili nepotpuni model sa meĎusobnim uticajima,

ŷ

k

ji

jiij

k

i

ii x xb xb xb1

00 (5.2)

čije su teorije izložene ranije, takoĎe pokaže neadekvatnim, modeliranje se nastavljaizborom jednog ili više modela drugog reda,

ŷ

k

ji

k

ji

jiijiii

k

i

ii x xb xb xb xb 2

1

00 (5.3)

sve do modela koji se pokaže adekvatnim.

U strukturi ovih medela nalaze se članovi meĎusobnih uticaja prvog reda xix j i članovidrugog reda xi

2 bez trostrukih meĎusobnih uticaja faktora.

U cilju izbegavanja odstupanja usled sistematskih poremećaja, kompletan skupeksperimentalnih opita se izvodi slučajnim redosledom. Često je moguće izvesti ograničenegrupe opita unutar više homogenih stanja. Moguće je veću tačnost postići deljenjem planova u

blokove i uvoĎenjem opita unutar bloka slučajnim redosledom. Mogućnost komponovanja ovih planova može da se vidi ne slici 5.1. U prvoij ciklusu se

najčešće polazi od jednostavnih modelskih oblika i ortogonalnih planova nižeg reda. Zatim senastavlja ukoliko se pokaže ovakav model neadekvatnim sa drugim ciklusom i uzima se modelsa meĎusobnim uticajima. Pošto izmeĎu višefaktornih planova prvogj višeg reda postojimeĎusobna povezanost, planovi višeg reda se komponuju tako da se ceo skup postojećiheksperimentalnih tačaka koristi u planu višeg reda. Ostaje onda samo de se izvedu dopunskieksperimenti u skladu sa planovima drugog reda. Na taj način se ostvaruje kontinuitet

istraživanja kroz uzastopne cikluse. TakoĎe se na ovaj način postižu niži troškovi i kraće vremeistraživanja.


26/57



Slika 5.1: Mogućnost komponovanja planova drugog reda

Da bi plan drugog reda bio centralni kompozcioni i rotacioni, vrednosti a u planu, treba da

se biraju prema tabeli 16. U donjem delu tabele su date vrednosti ako se eksperimenti izvode po

blokovima i vrednosti za a, kako bi se ispunio uslov ortogonalnosti blokova.

Tabela 16. Broj eksperimentalnih tačaka i izbor vrednosti a za centralni kompozicioni plan

C e n t r a l n i k o m p o z i c i o

n i

r o t a t a b i l n i p l a n

k 2 3 4 5

nk = 2k 4 8 16 32

n=2k 4 6 8 10

n0 5 6 7 10

= nk 1/4 1,414 1,682 2,0 2,378

N ukupno 13 20 31 52

O r t o g o

n a l n i

b l o k

o v i

n0 4 6 6 8

1,414 1,633 2,0 2,366

N ukupno 12 20 30 50


27/57



Broj blokova 2 3 3 5

Ako se eksperimenti ponavljaju samo u centralnoj tački, ukupan broj eksperimentalnihtačaka u simetričnom planu drugog reda biće:

N = 2k +2k + n0 = nk + na + n0 ,

(5.4)

pri čemu je : nk - broj tačaka temena hiperkuba,na - broj tačaka u centralnim osama,n0 - broj tačaka u centru. Iako potpuni ortogonalni planovi eksper imenta sadrže vrlo mali bfoj eksperimentalnih

tačaka u odosu na jednofaktorne planove, ipak broj eksperimenatalnih tačaka naglo raste kada se povećava broj faktora eksperimenta. Zbog toga modeliranje planova sa velikim brojem faktora postaje vrlo skupo i dugotrajno. Zbog toga se uzimaju parcijalni planovi eksperimenta za modele

prvog reda pri čemu matrica plana eksperimenta zadržava svoja optimalna svojstva

(ortogonalnost, invarjantnost, itd) i ne gubi bitno svoj informativni sadržaj.

6. Realizacija plana eksperimenta Planiranje, izvoĎenje, prikupljanje, evidentiranje i obrada rezultata eksperimentalnih

ispitivanja se sastoji od 8 obaveznih faza:

1. kodiranje faktora, 2. sastavljanbje matrice planiranja (plan-matrice), 3. randomizacija eksperimenata

4. realizcaija plana eksperimenata,

5.

proračun koeficijenta regresije (parametara modela), 6. ocena signifikantnosti koeficijenta regresije,

7.

provera adekvatnosti modela i

8. ocena vrednosti koeficijenta regresije (proračun pouzzdanosti parametaramatematičkog modela – regresije)

Pri sastavljanju plana eksperimenata polazi se od matematičkog modela procesa.Matematički model prestavlja relaciju koja povezuje zavisno promenljive veličine (funkcije cilja,odzive sistema, površine reagovanja) i nezavisno promenljive veličine (uticajne faktore). Naosnovui eksperimentalnih podataka formiraju se jednačine višestruke regresije, najčešće, oblika

polinoma:

m j X X X Y Y k j ,......,2,1);,.......,,( 21

gde je m – broj funkcija cilja istraživanog sistema. Izbor matematičkog modela opisivanjaeksperimenta je na jsloženiji zadatak. U najvećem broju slučajeva ispitivanja procesa, kada jemehanizam procesa neizvestan, obično se rezultati procesa pokazuju polinomom, što omogućuje

primenu metoda najmanjih kvadrata za kvantitativnu ocenu konstantni i koeficijenata polinoma.

Za rešavanje sistema jednačine koriste se matrična algebra I sistem kodiranja promenljivih. Stepena funkcija, naprimer, oblika:

321 bbb z y xU Z X C U Z X C Y

se logaritmovanjem prevodi u linearnu funkciju oblika:


28/57



.log,log,log,log,log

,

3210

3322110

U x Z x X xC bY y

xb xb xbb y

Za tri nezavisno promenljive X, Z i U koriste se potpuni (tabela 5.3) sa 23 + 4 = 12 ili

delimični (polureplični) plan eksperimenata (tabela 5.4) sa 23-1 + 2 = 6 eksperimenata.Eklsperimenti se izvode sa dve granične vrednosti promenljivih (gornja i donja – maksimalna i

minimalna), dok se četiri odnosno dva ponavljanja ponavljanja eksperimenata izvode savrednopstima promenljivih unutar graničnih.

Kodir anje promenlj ivih (kodna oznaka) se formira korišćenjem jednačina transformacijeoblika:

,1loglog

loglog2

minmax

max1

X X

X X x

,1loglog

loglog2

minmax

max2

Z Z

Z Z x

,1loglog

loglog2

minmax

max

3

U U

U U x

dok je xo = +1 - kodna oznaka za fiktivnu promenljivu koja se koristi pri proračunu slobodnogčlana bo. Za planiranje eksperimenata važnu ulogu igra redosled izvoĎenja opita – randomizacijaeksperimenata . U cilju minimizacije sistemskih grešaka i subjektivnih uticaja na rezultatemerenja, koje prate bilo koje eksperimentalno ispitivanje (na primer, izmena napona u mreži,nehomogenost materijala predmeta obrade i alata i sl.), po pravilu, svi opiti (merenja) se izvode

slučajnim redosledom. To znači da je randomizacija postupak utvrĎivanja sluičajnog redosledaizvoĎenja opita (serije opita). Zasniva se na primeni tabela slučajnih brojeva (videti tabelu

P1.8_prilog 1) ili principu slobodnog izvlačenja (žreba), lutrije itd.


29/57



Na osnovu rezultata realizacije plana - izvedenih merenja Yi (kodiranih vrednosti

rezultata merenja - yi) proračunavaju se koeficijenti regresije - parametri matematičkog modelaza, na primer, delimični ili replični plan eksperimenata:

).(1

),(1

),(1

),(1

4321

0

3

4321

0

2

4321

0

1

43210

y y y yn N

b

y y y yn N

b

y y y yn N

b

y y y y N

b

Za utvrĎene vrednosti parametara bi antilogaritmovanjem se dobijaju vrednosti parametara stepene funkcije. Na taj način se, na osnovu rezultata ograničenog broja opita, dobijatražena funkcionalna zavisnost.


30/57



Prema rezultatima ispitivanja može se izvesti i statička analiza značajnosti svakog parametra matematičkog modela. Dopunskim opitima, kada su vrednosti x1 , x2 , x3 ... jednake nuli( eksperimenti 5 i 6), obezbeĎuje se i ocena signifikantnosti koeficijenata regresije ( proračun

pouzdanosti parametara matematičkog modela - regresije ).

7. DIZAJNIRANJE EKSPERIMENATA PO TAGUČIJU Jedna od modernih tehnika dizajniranja eksperimenata razvijena je od strane Tagučija,

50-ih godina XX veka. Istraživanje uticaja upravljačkih veličina proizvoda ili procesa seostvaruje u tri faze ( slika 5.7 ):

- dizajniranje sistema (System Design)

- dizajniranje parametara (Parameter Design)

- dizajniranje tolerancija (Tolerance Design)

odnosno tri koraka, pre početka proizvodnje kao preventivna Off-L ine Quali ty Control. Merilo kvaliteta po Tagučiju je odnos signal - šum (Signal - to - Noise Ratio, S/N) ,

izveden iz prosečnog kvaliteta. Najviši cilj (minimiziranje gubitaka kvaliteta, nastalih

odstupanjem od ciljne vrednosti) se postiže korišćenjem ovladanog i optimalnog proizvodnog procesa (Robust Design) , neosetljivog na poremećajne uticaje životne sredine.U fazi dizajni ranja sistema razvijaju se osnovne konstrukcije i utvrĎuju karakteristike

kvaliteta koje najprikladnije i najpotpunije ispunjavaju zahteve kupaca. Primenom dosadašnjihiskustava i saznanja o željama kupaca (metodama Quality Engineeringa, posebno Quality

Function Deployment - QFD) identifikuju se karakteristike kvaliteta i želje kupaca, uz prethodnoutvrĎiivanje parametara proizvoda i procesa.

Dizajni ranj e parametara je jezgro Tagučijeve metode. Primenom Tagučijevog metoda planiranja eksperimenata obezbeĎuje se poboljšanje kvaliteta, uz istovremeno sniženje troškova.Proizvodi i procesi se, na bazi funkcije gubitaka i odnosa signal - šum (S/N), projektuju robusnim(neosetljivim) na poremećaje. Uticaji poremećaja se pooštravaju sve dok se smetnje ne dovedu

pod kontrolu ili eliminišu. Zato se, pri eksperimentu, variraju ključne upravljačke veličine. Izanalize eksperimenata (primarnih efekata, varijanti, odnosa S/N, funkcije gubitaka) nalaze se

optimalne vrednosti upravljačkih veličina. Podešavanje optimalnih vrednosti dovodi domaksimalne vrednosti odnosa signal - šum, smanjenja gubitaka i unapreĎenje kvaliteta.


31/57



Eksperimentima verifikacije potvrĎuju se i istražuje da li odabrane vrednosti upravljačkihveličina obezbeĎuju prognozirano unapreĎenje kvaliteta.

U trećoj fazi, dizajni ranje toleranci ja , sledi ponovno utvrĎivanje tolerancija za parametre proizvoda i procesa kod kojih se, uprkos optimizaciji, javljaju još uvek suviše velika rasipanja.Korišćenjem funkcija gubitaka i kvaliteta procesa kao kriterijuma izvode se korektivne merekoje podrazumevaju primenu kvalitetnijih mašina i alata, materijala i sl., sa ciljem daljeredukcije rasipanja.

Tagučijevi planovi obezbeĎuju optimizaciju višefaktornih planova, uz značajnosmanjenje broja eksperimenata. Tako na primer, ocena uticaja 7 različitih faktora na dva nivoavariranja, zahteva 128 eksperimenata (tabela 5.8). Prema Tagučiju dovoljno je iskoristiti samoosam.

Tabela 5.8. Broj eksperimenata višefaktornih i Tagučijevih planova Višefaktorni i Tagučijev

plan eksperimenata

Dizajn eksperimenta

- broj eksperimenata

broj faktora broj nivoa višefaktorni Taguči 3 2 8 4

7 2 128 815 2 32.768 16

4 3 81 9

8. PRIKAZIVANJE REZULTATA EKSPERIMENTA Rezultati eksperimentalnih ispitivanja se mogu prikazati na tri načina:

• Tabelarno

• Grafički i • Analitički u vidu matematičkih zavisnosti.

Tabelarni prikaz rezultata ispitivanja znači popunjavanje posebno oblikovanih tabela.Posebno se mora navesti poreklo rezultata sa svim relevantnim parametrima (uslovi

eksperimenta, merna oprema, interval variranja itd.).

Grafički prikaz rezultata ima veliki broj prednosti jer na najmanjem prostoru i sanajmanje reči daje najviše informacija. Na grafičkim prikazima se lako uočavaju tipovi funkcija,ekstremne vrednosti, prevojne i singularne tačke, grube i/ili sistematske greške merenja i drugeinformacije. Grafički prikaz se naziva i dijagramom rasipanja ili korelacionim dijagramom.

Analitički prikaz podrazumeva definisanje empirijskih matematičkih zavisnosti, zavisnihi nezavisnih veličina uticajnih na proces. Primenom klasičnih matematičkih metoda i/ili metodamatematičke statistike mogu se odrediti zavisnosti za slučajeve kad je oblik zavisnosti poznat ili

je nepoznat. U oba slučaja se primenjuje metodologija na osnovu metoda plana eksperimenta.

9. OBRADA REZULTATA MERENJA9.1 - Studentova raspodela rezultata merenja Proračun se izvodi korišćenjem odgovarajuće tabele, a metod je pogodan za uzorke sa manjim

brojem merenja - kontrole (n


32/57



9.2 Metod distribucije frekvencija Kod većeg broja podataka koristi se metod distribucije frekvencija, kada se rezultati

prikazuju u rastućem ili opadajučem nizu.

k

i

ii X f n

X

1

1

2

1

1

k

i

ii X X f n

ili

22

1

1 X X f

n

i

k

i

i

gde su:

k

i

i f n1

- ukupan broj merenja

i f - frekvencija pojave pojedinih rezltata merenja X i

k - broj slučajnih promenljivih različite vrednosti

Red. X i frekvencija X f 2 X


33/57



br. raboš i f

1

2

....

k-1

k

suma:

9.3 Metod pomoćne veličine sa pogodno odabranom početnom vrednošću ''C''

k

i

ii f U n

hC X

1

;

2

1 1

2 11

k

i

k

i

iiii f U n

f U n

h

k

iii

f U n

U

1

1

h - korak očitavanja - veličina odreĎena izrazom ,10/1 'h gde je r - broj decimalnih mesta rezultata merenja

U i - novoformirana promenljiva:

k

i

ii

i f nh

C X U

1

;

Red.

br.

X i frekvencija

h

C X U ii

ii

f U ii f U

2

raboš i f

12

....

k-1

k

suma:

C = ..........-vrednost sa najvećom frekvencijom, h = ........

9.4 – Metod intervalne distribucije frekvencije( METOD GRUPISANJA)Kada postoji veliki broj podataka prikazivanje podataka u rastućem ili opadajučem

redosledu može da bude suviše nepregledno i nepogodno za kvalitetnije analize. Za bolju preglednost podataka izvodi se grupisanje podataka u grupe ili klase (ćelije). Pri tome se koristinekoliko smernica:

- treba koristiti 5 - 20 klasa (videti tabelu)

- za širinu klase - grupe biraju se okrugli, konstantni brojevi- gran ice klase su sa jednim decimalnim mest om više od originalnih

podataka i završavaju se sa pet. Na ovaj način se eliminiše problem razvrstavanjavrednosti koje se nalaze na granici grupa - klasa.

Tabela: Preporučeni broj klasa

Broj podataka n Broj klasa k

n < 50 5 - 7

50 - 100 6 - 10


34/57



100 - 250 7 - 12

n > 250 10 - 20

Na osnovu raspona rezultata merenja:

minmax X X R

bira se (prema prikazanoj tabeli) ili proračunava broj grupa korišćenjem nekog od sledećihizraza:

nk nk nk nk log5;log32,31;2; 3 gde je n - broj elemenata skupa.

Za dati raspon R odreĎuje se širina grupe - klasek

Rd .

Izračunata širina se zaokružuje na isti broj decimalnih mesta koji imaju i merni podaci, ali uvekna veći broj i usvaja prva veća zaokružena vrednost.

Kada je definisana širina klase utvrĎuje se donja granica za prvu klasu: )1(

min1 105 r d X D

gde je r - broj decimalnih mestaa rezultata merenja, dok je gornja granica prve klase

d D D d g 11 . Granice ostalih klas se formiraju dodavanjem širine klase d:

;)1(11 d i D D d d i - redni broj naredne klase

Na osnovu tako sreĎenih podataka izvodi se proračun parametara raspodele korišćenjemmetoda distribucije frekvencija ili pomoćne veličine sa pogodno odabranom početnom

vrednošću C.

a) Metod distri bucije fr ekvencija

k

i

ii X f n

X

1

1 2

1

1

k

i

ii X X f n

22

1

1 X X f

n i

k

i

i

Red.

br. grupe

X ai do X bi X i frekvencija ii X f 2ii X f raboš

i f

12

.....

k-1

k

suma: -

b) Metod pomoćne veličine C

k

i

ii f bn

d C X

1

2

1 1

2 11

k

i

k

iiiii

f bn

f bn

d


35/57



Xi - aritmetička sredina intervala (grupe)

k

i

iaibi

i f n X X

X

1

,2

Red.

br.

X ai do X bi X i frekvencija

d

C X b ii

ii f b ii f b

2

raboš i f 1

2

.....

k-1

k

suma: - -

C = ......- vrednost sa najvećom frekvencijom, d = .........


36/57




37/57




38/57




39/57




40/57




41/57




42/57




43/57




44/57




45/57



10. STATISTIČKA KONTROLA PROCESA-PRIMERI

PRIMER 10.1:

Iz serije delova izvučeno je 60 delova radi kontrole prečnika 06,0 015,035 mm. Nakon

merenja rezultati su prikazani tabelarno prema redosledu merenja [T1].

T1. Rezultati merenja prema redosledu merenja

N X N X N X N X N X

1 35.02 13 34.93 25 34.98 37 34.95 49 34.97

2 34.96 14 34.94 26 34.96 38 34.96 50 34.94

3 34.99 15 34.90 27 35.02 39 35.00 51 35.01

4 35.04 16 34.93 28 34.84 40 34.90 52 34.88

5 34.87 17 34.99 29 34.99 41 35.03 53 34.95

6 35.10 18 34.81 30 34.91 42 35.13 54 34.98

7 34.97 19 35.02 31 34.94 43 34.98 55 35.01

8 34.94 20 34.99 32 35.07 44 35.04 56 34.91

9 35.05 21 34.92 33 34.85 45 34.93 57 35.04

10 34.97 22 35.06 34 35.03 46 35.00 58 34.98

11 35.01 23 34.97 35 34.95 47 34.90 59 34.94

12 34.88 24 34.92 36 34.97 48 35.00 60 34.98

Prikazati histogram i pologon raspodele rezultata merenja, izračunati osnovne parametreraspodele, propisanu i prirodnu toleranciju, kao i procenat neusaglašenih delova.

REŠENJE: a) Histogram i poligon raspodele

U cilju preglednijeg oblikovanja i prikazivanja histograma i poligona raspodele, posebno

kod većeg broja rezultata, rezultati se grupišu u grupe - klase. Raspon:mm X X R 32,081,3413,35minmax

se deli u grupne intervale - klase. Ako se usvoji k= 11 klasa širina klase je: mmk Rd 03,00290,011/32,0/

tako da je donja granica prve klase

mm X D d 805,34005,081,34105 )12(

min1

dok je gornja

.835,3403,0805,3411 mmd D D d g


46/57



b) Proračun parametara raspodele Za proračun parametara raspodele grupisanih rezultata merenja izraĎuje se dopunska

tabela koja sadrži osnovne elemente proračuna. Polazna veličina je rezultat sa najvećomfrekvencijom pojavljivanja (C=34,97mm).

Osnovni parametri raspodele su:

*srednja aritmetička vrednost:

mmm f bn

d C X

k

i

ii 97,34968,34)3(60

03,097,34

1

* standardna devij acij a:

mmmm

f bn

f bn

d

k

i

k

i

iiii

059,00591,006

3

60

23203,0

11

2

2

1 1

2


47/57



Red. br. Sredina

intervala

Xi

f i d C X b ii /)( ii f b ii f b 2

1 34.82 1 -5 -5 25

2 34.85 2 -4 -8 32

3 34.88 3 -3 -9 274 34.91 7 -2 -14 28

5 34.94 11 -1 -11 11

6 34.97 13 0 0 0

7 35.00 10 1 10 10

8 35.03 8 2 16 32

9 35.06 3 3 9 27

10 35.09 1 4 4 16

11 35.12 1 5 5 25

Zbir 60 -3 232

C = 34,97 mm - najveća frekvencija, d = 0,03 mm c) Propisana i pr ir odna tolerancija

Propisana tolerancija se izračunava na osnovu konstruktivne dokumentacije definisanihodstupanja:

mm X X T d g 21,0)015,0(06,0 Prir odna tolerancija karakteriše mogućnosti procesa obrade (mašine) i predstavlja meru

rasipanja dimenzija:

mmT 354,0059,066 d) Procenat usaglašenih i neusaglašenih delova

- Tačno obrađeni (usaglašeni) delovi:

%61,90906144,0024419,0930563,0)()( 12 uu Pt gde su:

48,1059,0/)97,3406,35(

97,1059,0/)97,3485,34(

2

1

u

u

dok su iz tabele P1.2_Prilog 1 za Normalnu raspodelu odreĎene vrednosti Laplasovih integrala:

024419,0975581,01)97,1()(

930563,0)48,1()(

1

2

u

u

- Procenat neusaglašenih delova:

%39,961,90100100100)1( t t n P P P

ko je data mera spoljašnja tada procenat delova za doradu iznosi:%95,6069437,0930563,01)(1 2 u Pd dok je procenat škarta delova: %44,2024419,0)( 1 u Pš


48/57



ZADACI ZA VEŢBANJE Prikazati histogram i pologon raspodele rezultata merenja i izračunati osnovne parametre

raspodele.

Zadatak 1:

Merenje električnog otpora za 100 kalemova, : 3,35 (+0,2/-0,1)

3.37 3.34 3.38 3.32 3.33 3.28 3.34 3.31 3.33 3.343.29 3.36 3.30 3.31 3.33 3.34 3.34 3.36 3.39 3.34

3.35 3.36 3.30 3.32 3.33 3.35 3.35 3.34 3.32 3.38

3.32 3.37 3.34 3.38 3.36 3.37 3.36 3.31 3.33 3.30

3.35 3.33 3.38 3.37 3.44 3.31 3.36 3.32 3.29 3.35

3.38 3.39 3.34 3.32 3.30 3.39 3.36 3.40 3.32 3.33

3.29 3.41 3.27 3.36 3.41 3.37 3.36 3.37 3.33 3.36

3.31 3.33 3.35 3.34 3.35 3.34 3.31 3.36 3.37 3.35

3.40 3.35 3.37 3.35 3.35 3.36 3.38 3.35 3.31 3.34

3.35 3.36 3.39 3.31 3.31 3.30 3.35 3.33 3.35 3.31

Zadatak 2: Merenje potencije leka streptomicin (80 merenja): 5,2 (+2/-3)

4.1 5.0 2.0 2.6 4.5 8.1 5.7 2.5

3.5 6.3 5.5 1.6 6.1 5.9 9.3 4.2

4.9 5.6 3.8 4.4 7.1 4.6 7.4 3.5

4.9 5.1 4.6 6.3 8.3 6.3 8.8 1.0

5.3 5.4 4.4 2.9 7.5 5.7 5.3 3.0

4.2 5.2 7.0 3.7 6.7 5.8 6.9 2.8

6.0 8.2 6.1 7.3 8.2 6.2 4.3 2.2

5.2 5.5 3.5 7.1 7.9 5.6 5.4 3.9

6.8 8.2 4.2 4.2 5.5 6.2 3.5 3.46.8 4.7 4.6 4.1 4.7 5.0 3.4 7.1

Zadatak 3: Sadržaj masnoće u mleku: 3 (+0,4/-0,2)R.br. Sadržaj masnoće u mleku 1-12 2.9 3.3 2.5 2.6 2.3 2.5 2.9 2.6 2.8 2.3 3.4 2.7

13-24 2.8 2.5 2.7 2.8 2.8 2.5 2.7 2.8 3.0 3.0 2.8 3.7

25-36 2.7 2.9 2.7 2.3 2.4 2.7 2.8 2.9 2.7 2.8 2.5 2.8

37-48 3.2 2.9 2.4 2.2 2.9 2.9 2.4 3.0 2.5 2.8 2.5 2.6

49-60 2.9 2.3 2.6 2.7 3.0 2.6 3.1 2.8 2.9 2.7 2.6 3.0

61-72 2.3 2.8 2.5 2.4 3.1 2.3 3.1 2.9 2.9 3.0 3.3 3.7

73-84 2.0 2.4 3.4 3.6 3.3 3.1 3.1 2.8 3.1 2.7 3.1 2.9

85-96 3.0 3.1 3.2 3.1 2.9 2.7 2.2 2.6 3.2 2.6 2.5 2.4

97-108 2.5 3.7 3.2 2.7 2.7 2.8 3.2 3.0 3.3 3.1 3.0 2.7

109-

120

2.6 3.2 3.1 2.8 2.8 3.3 2.6 3.2 2.8 3.0 2.7 2.8


49/57



PRIMER 10.2: - statistička preuzimna kontrola ProizvoĎač je naručiocu oĎednom isporučio sto odvojenih serija proizvoda. U svakoj

seriji nalazilo se po 10.000 delova. Prijemna kontrola se odvija jednostrukim planom prijema: n

= 300 i c = 5 [63]. Definisati:

a) operativnu krivu prijema

b) prihvatljivi i odbijajući nivo kvaliteta ako su rizici %10%,5 c) verovatnoću prijema serije delova pretpostavljenog nivoa kvaliteta p=2,5%d) prosečni izlazni nivo kvaliteta isporučenih serija proizvoda (svih 100 serija)ulaznog nivoa kvaliteta p=2,5%

e) broj defektivnih delova za svih 100 serija ulaznog nivoa kvaliteta p=2,5%

REŠENJE: a) Operativna kri va pri jema

Jednačina verovatnoće prihvatanja serije delova ili operativna kriva jednostrukog plana prijema (n = 300, c = 5) je:

p

i

k

ek

pcn p L

300

5

1 !

300),;(

dok su izračunate vrednosti, na osnovu podataka datih u tabeli P1.7_Prilog 1, za pojedine nivoekvaliteta p date tabelarno i dijagramski na slici P.2.3.

Vredmosti verovatnoće prihvatanja serije proizvoda i prosečnog izlaznog nivoa kvaliteta

b) Prihvatljivi i odbijajući nivo kvaliteta za α = 5% i β = 10% Iz jednačine verovatnoće prijema - operativne k rive odreĎuju se tražene vrednosti prihvatljivog i odbijajućeg nivoa kvaliteta. Naime iz izraza:


50/57



10,0)5,300;(

95,005,011)5,300;(

2

1

p L

p L

preko krive, ili iz tabele interpolacijom, slede:

* prihvatlji vi ni vo kvaliteta

p 1 = 0,0086

*odbijajući nivo kvaliteta p 2 = 0,032

c) Verovatnoća prijema serije delova nivoa kvaliteta p = 2,5% Za nivo kvaliteta p = 2,5%, na bazi dijagrama operativne krive ili iz tabele, verovatnoća

prijema je:

%2424,0)5,300;025,0( L

što znači da će od 100 serija biti prihvaćeno 24% odnosno 24 ser ije, dok se na ostalih 76% ( 76 ) primenjuje 100%- tna kontrola, uz zamenu defektivnih proizvoda ispravnim.

Koristeći podatke date u tabeli definiše se i kriva prosečnog izlaznog kvaliteta (slika P.2.4.). Za ulazni nivo kvaliteta p = 2,5% prosečni izlazni nivo kvaliteta je:

%580058,024,0025,010003001

),;(1

cn p L p N

n P pik

što znači da u isporuci od 100 serija ima, nakon kontrole i zamene defektivnih proizvodaispravnim (u uzrocima serija kod kojih je izvedena 100%- tna kontrola), ukupno 0,58% defektnih

delova.

e) Broj defektn ih delova svih 100 ser ij a nivoa kvali teta p = 2,5% Pošto u 76 serija nema defektnih delova, nakon 100%- tne kontrole i zamene defektnih

proizvoda ispravnim, u 24 serije prihvaćene uzorkovanjem ima ukupno: 5820)3001000(0025,024)( n N p K Nd

defektnih proizvoda.


51/57



PRIMER 10.3: X - R kontr olna karta za protekli - prethodni proces U toku obrade izvesnih obradaka, na kojima se kontroliše prečnik 65H9, (65,000; 65,074)

izabrano je po planu kontrole 25 uzoraka od po pet delova. Na svakom uzorku su izmerena

odstupanja od nominalne mere u μm i prikazana u tabeli

Rezultati merenja odstupanja R.

br.

uz.

Redni broj dela X R R. br.

uz.

Redni broj dela X R

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 19 25 45 21 15 25 30 14 2 8 15 36 4 13 34

2 43 40 21 26 20 30 23 15 34 20 36 37 42 34 22

3 12 10 11 45 7 17 38 16 18 10 22 30 20 20 20

4 29 13 20 33 15 22 20 17 28 11 24 41 23 25 30

5 5 15 28 32 20 20 27 18 19 7 16 14 24 16 17

6 28 27 36 40 34 33 13 19 33 13 33 34 42 31 29

7 11 10 17 32 10 16 22 20 18 32 24 22 24 24 148 34 8 28 17 38 25 30 21 35 20 7 25 43 26 36

9 24 10 27 28 26 23 18 22 6 13 27 12 2 12 25

10 40 5 30 42 13 26 37 23 20 22 14 20 34 22 20

11 7 32 13 4 14 14 28 24 15 8 17 24 11 15 16

12 6 11 13 39 21 18 33 25 8 27 25 22 42 25 34

13 24 30 18 28 15 23 15

Na osnovu ovih podataka konstruisati X - R kontrolnu kartu za prethodni ili protekli proces i izvesti odgovarajuće zaključke. REŠENJE: a) Proračun parametara raspodele

Na osnovu podatak a iz tabele može se prikazati nova tabela sa sreĎenim podacima u ciljuolakšanja proračuna relevantnih veličina. R.br.

uzor. X R R.br.

uzor. X R R.br.

uzor. X R

1 25 30 10 26 37 19 31 29

2 30 23 11 14 28 20 24 14

3 17 38 12 18 33 21 26 36

4 22 20 13 23 15 22 12 25

5 20 27 14 13 34 23 22 20

6 33 13 15 34 22 24 15 167 16 22 16 20 20 25 25 34

8 25 30 17 25 30 155 1749 23 18 18 16 17 m X 585

241 221 189 236 m R 631 Osnovni parametri raspodele su:

* srednja aritmetička vrednosti:

mm X

k

X i 0234,65

1000

585

25

165

165

* srednja vrednost raspona:


52/57



mm Rk

R i 0252,01000

631

25

11

b) X - R - kontrolna karta

Za crtanje X - R - kontrolna karte potrebno je utvrditi centralne vrednosti i kontrolnegranice.

Za X - kontrolnu kar tu centralna tendencija je:

mm X CL X

0234,65 dok su kontrolne granice i to:

*gornja

mm R A X GKG X

038,650252,0577,00234,652 *donja

mm R A X DKD X

009,650252,0577,00234,652 gde je A2 = 0,577 izabran iz tabele P1.5_Prilog 1 za uzrok od n = 5 elemenata i proteklu

proizvodnju.Za R - kontrolnu kartu centr alna tendencija je:

mm RCL R 0252,0 dok su kontrolne granice i to:

*gornja

mm R DGKG R 0533,00252,0115,24 *donja

00252,003 R D DKG R Faktori D3 = 0 i D4 = 2,115 su izabrani iz tabele P1.5 _Prilog 1 za uzorak od n = 5 elemenata i

proteklu pro

Documents

1.Eksperimentalna Imerenja I Deo-P.nikšić