いくつかの１次元ポテンシャル中の量子状態いくつかの１次元ポテンシャル中の量子状態―時間変化する外場による量子状態の制御に向けて―

龍谷大学 理工学部

数理情報学科

Ｔ０６０００６ 粟津博文Ｔ０６０００６ 粟津博文

指導教員 飯田晋司

目次次

§1 はじめに 1§2 量子力学の説明 2§2 量子力学の説明 2§3 時間的に変化しないポテンシャルに対する波動 43-1. 無限に近い井戸型ポテンシャル 43 2 深さが有限の井戸型ポテンシャル 103-2. 深さが有限の井戸型ポテンシャル 10§4 波動関数の直交関数系での展開(フーリエ級数展開)について 17§5 時間変化するポテンシャルの例 18 5 1 直交関数系が時間に依存しない場合 185-1. 直交関数系が時間に依存しない場合 185-1-1. デルタ関数の処理1 5-1-2. デルタ関数の処理２

5 2 直交関数系が各瞬間のエネルギ 固有状態である場合5-2. 直交関数系が各瞬間のエネルギー固有状態である場合

§6 断熱近似 22§７ まとめ 24

シュレーデェンガー方程式の導出電子線の回折 ―＞ 電子は波の性質を持つ

電子の波動関数はどんな方程式に従うのか？

外力を受けずに運動する電子について成り立つ関係式

電子の波動関数はどんな方程式に従うのか？

2

2=

pEm

:電子の質量m :運動量p2m

( )

ω =

角振動数とエネルギーの関係 光電効果

E :E エネルギー固有値 2=

hω = E

34: (6.626 10 )−× iプランク定数h J S

:E エネルギ 固有値 2π

( )波数と運動量の関係　コンプトン効果

p2k πλ

=波数：

:λ 波長=

pkλ

( )( ) ( ( ) i ( ))i kx tA A k i kωφ電子の波動関数を次の形に仮定

( )ωφ ω ωφ−∂= − = −i kx ti Ae i

( )( , ) (cos( ) sin( ))i kx tx t Ae A kx t i kx tωφ ω ω−= = − + −

φ ω ωφ∂

i Ae it

∂×iω = 光電効果

E

i Etφ ωφ φ∂= =

∂( )i kx tikAe ikx

ωφ φ−∂= =

∂x∂

×i k pφ φ φ∂

= =λ

= = コンプトン散乱p k

k pi x

φ φ φ∂2

2=

pEm P ∂

=

2 ,2hk π

λ π= =

2m2 2 2

21 ( ) φφ φ φ φ∂ ∂ ∂pi E

i x∂2λ π

2( )2 2 2

φ φ φ φ= = = = −∂ ∂ ∂

i Et m m i x m x

この方程式は、一次元の自由粒子にお2 2φ φ∂ ∂i この方程式は、 次元の自由粒子にお

けるシュレーディンガー方程式と呼ばれている。

22φ φ

− =∂ ∂

im x t

( , )V x t次に、ポテンシャル が働く空間を運動する電子の

シ レ デ ンガ 方程式を考えてみる

2 2 2

( ) ( )∂とおくと

p

シュレーディンガー方程式を考えてみる

2( , ) ( , )2 2

∂= + = − +

∂とおくと、

pE V x t V x tm m x

2 2φ φ∂ ∂2 2

2 ( , ) ( , )2

φ φφ∂ ∂− + =

∂ ∂V x t x t i

m x t( ) :xφ 電子の波動関数

:エネルギーE

( )V t特に が時間に依存しない場合( , )V x t特に、 が時間に依存しない場合

( ) ( )i Et

φ−

とすると( , ) ( )x t x eφ ψ= とすると、

2 2ψd2 ( ) ( ) ( )

2ψ ψ ψ− + =

d V x x E xm dx

という方程式に書き直すことができる。この方程式は時間に依存しないシュレーディンガー方程式と呼ばれている。

( ) ( )φ−

∑ ni E t

t C時間に依存する

( , ) ( )φ ψ=∑ n nn

x t C x e シュレーディンガー方程式の一般解

無限に近い井戸型ポテンシャルについて

( )x a∞ < −⎧⎪

0( ) ( ) ( )( )

V x V x a x aa x

δ⎪= − ≤ ≤⎨⎪∞ <⎩ ( )a x∞ <⎩

( ) 0,0V x E a x x a> − ≤ < < ≤電子は の領域には入り込めず、 の領域( ) ,では、電子に力が作用しないで、電子はこの領域で運動を行う。

( ) ( ) ( )φ δ φ φ− + =

2 2

022d

V x x E xm dx2m dx

この式を変形して、 ( ) ( ) ( )2 2

0 22dV x x E x

m d xδ φ φ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠2 m d x⎝ ⎠

[ ],A B積分区間 で積分する

( ) ( )2 2

0 2

( )( )2

B B B

A A A

d xV x x dx E x dx dxm dx

φδ φ φ= +∫ ∫ ∫

00

AB→ −⎧

⎨ → +⎩に近づける ( ) ( ) 0

B

AE x x dxφ →∫ 積分区間の巾が０になる。

A∫また、次のδ関数の性質から、

( ) ( ) (0)b

ax x dxδ φ φ=∫ [ ]0 ,a b∈

a∫( ) ( ) 0

b

ax x dxδ φ =∫ [ ]0 ,a b∉

a∫

0 0( ) ( ) (0)B

V x x dx Vδ φ φ=∫0 0( ) ( ) (0)A

V x x dx Vδ φ φ∫2 2 2 2 2( ) ( ) ( )(0) ( ) ( )

B Bd x d d x d xV d dφ φ φφ φ∫ ∫0 2 20 0

( ) ( ) ( )(0) ( ) ( )2 2 2A A

x x

V dx x dxm dx m dx m dx dx

φ φ φφ φ=+ =−

= = = −∫ ∫

22

0 02V k

m= を代入して、

2 2

00 0

( ) ( )( ) ( )2 2 x x

d x d xk xm m dx dx

φ φφ=+ =−

= −

( ) ( )(0) d x d xk φ φφ00 0

( ) ( )(0)x x

kdx dxφ φφ

=+ =−

= −

という関係が得られる。

0a x− < < のとき2 2

2kEm

=ただし、 である 0 x a< < のとき

22

2 ( ) ( )L Ld x k xdx

ψ ψ= −2

22 ( ) ( )R R

d x k xdx

ψ ψ= −

( ) cos sinL x A kx B kxψ = +

( ) 0

( ) cos sinR x A kx B kxψ = +

( ) 0( ) 0L aψ − =

( ) sin( ( ))x C k x aψ = +

( ) 0R aψ =

( ) sin( ( ))x C k x aψ =( ) sin( ( ))L Lx C k x aψ = + ( ) sin( ( ))R Rx C k x aψ = −

( )0 0) (0x ψ ψ= =での条件より ( )0 0) (0L Rx ψ ψ= =での条件より、

(0) sinC kaψ = (0) sinC kaψ =(0) sinL LC kaψ = (0) sinR RC kaψ = −

( ) i 0C C k+ L R( )sin 0L RC C ka+ =

sin 0ka ≠ のときL RC C= −

0

( ) cos( ( )) cos cosLL L Rx

d x C k k x a C k ka C k kadx

ψ=

= + = = −

( ) cos( ( )) cosRR R

d x C k k x a C k kaψ= − =

( )(0) R Ld x dk ψ ψψ = から

0cos( ( )) cosR Rx

C k k x a C k kadx =

00 0

(0)Rx x

kdx dx

ψ= −

= − から、

0 sin 2 cosk ka k ka− =0 sin 2 cosk ka k ka

0cos k akaka = −sin 2

kaka

= −

よって、この式から、ｋの値が決まる。

0cos ak k ak 0

sin 2= −k

kaa

のとき0sin =ka 0)0()0(L == Rψψ

(0) (0)L Rd ddx dxψ ψ

= より、 cos cosL RC k ka C k ka=

ka nπ= より、 RL CC =

sin( ) 0,cos( ) ( 1)nka ka= = −

}{( ) sin ( ) sin( )cos( ) cos( )sin( )ψ = + = +L L Lx C k x a C kx ka kx ka

}{( ) sin ( ) sin( )cos( ) cos( )sin( )ψ = − = −R R Rx C k x a C kx ka kx ka

( 1) sin= − nLC kx

( 1) sin= − nRC kx

nkaπ

= を代入して、まとめると、

( ) sin ( 1, 2,3, )nx A x nπψ = =

a

( ) sin ( 1, 2,3, )x A x na

ψ:A 積分定数

まとめ

これまでの研究において、量子力学の基礎の公式の導き方から勉強を始めて、一次元のシュレ ディンガ 方程式の解や無限に深い井戸型レーディンガー方程式の解や無限に深い井戸型ポテンシャルの波動関数がどのように変化するのか また 時間的に変化する場合のシュレーのか、また、時間的に変化する場合のシュレディンガー方程式を考え、この方程式をデルタ関数を用いて解法することを考えました。しかし、その導出した方程式を近似してさらにポテンシャルがどのように変化していくかについて、途中で終わ てしま た そのため 今後 時途中で終わってしまった。そのため、今後、時間があればそのような方程式をグラフを用いて、よりわかりやすくしていきたいと思う。よりわかりやすくしていきたいと思う。

ご静聴ありがとうございましたご静聴ありがとうございました。