1.1 ODREĐIVANJE POLOŽAJA I TRAJEKTORIJE 1

1 KINEMATIKA 1.1 Određivanje položaja i trajektorije materijalne tačke

Osnovni zadatak fizike (ϕνσιξ - priroda) je izučavanje osnovnih svojstava prirode, a to su:

- materijalnost; - permanentni proces interakcije; - dualnost; - statističnost; - kauzalnost; - evolucija; - ravnoteža.

U daljem izlaganju proučavaćemo prvo navedeno svojstvo, odnosno njegov osnovni atribut-kretanje. Kretanje se može podeliti na: a) niže oblike kretanja-mehanička kretanja i kretanja u fizičkim poljima, koja spadaju u više oblike nižeg kretanja i b) više oblike kretanja-kretanja žive materije. Deo fizike koji se bavi izučavanjem najnižih oblika kretanja naziva se mehanika. Cilj izučavanja mehanike je: a) utvrđivanje uslova i uzroka koji dovode do promene stanja mehaničkog kretanja ili mirovanja i b) da na osnovu poznatih uzroka, osobina materijalnih objekata i početnih uslova utvrdi opštu teorijsku metodologiju kojom će se uspešno opisati kretanje. Pod terminom opisivanja kretanja podrazumevamo određivanje: - trajektorije materijalnog objekta; - položaja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja; - pravca i smera kretanja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja; - brzine i ubrzanja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja. Pod trajektorijom podrazumevamo geometrijsko mesto tačaka u prostoru kroz koje materijalni objekat sukcesivno prolazi u procesu kretanja. Za određivanje položaja materijalnog objekta potrebno je odrediti tri nezavisna parametra. Prilikom izbora parametara vodimo računa da se posmatrano kretanje što jednostavnije opiše. Opisivanje kretanja prema načinu izbora parametara kretanja može biti: a) prirodno, b) vektorsko i c) koordinantno. Celokupno izučavanje mehanike se svodi na dva idealizovana modela: 1. model materijalne tačke, kada su dimenzije tela daleko manje od dimenzija trajektorije i 2. model krutog tela, tela koja ne menjaju oblik pod dejstvom spoljašnjih sila. U daljem izlaganju koristićemo se modelom materijalne tačke.

1.1.1 Prirodni način opisivanja kretanja Tri parametra koja treba odrediti su: trajektorija, orijentacija trajektorije i referentna tačka na trajektoriji (tačka na sl.1.1) i položaj materijalne tačke u odnosu na referentnu tačku-lučnu koordinatu

OMOs = . Kako se položaj materijalne tačke menja u vremenu to je i njena

lučna koordinata funkcija vremena )(tss = , što predstavlja osnovnu kinematsku jednačinu

Sl.1.1 Određivanje položaja materijalne tačke pri prirodnom opisivanju kretanja

- O

M

+

kretanja pri prirodnom opisivanju kretanja. Lučnu koordinatu ne treba poistovećivati sa pređenim putem materijalne tačke u toku kretanja . Veza između pređenog puta i lučne koordinate data je u diferencijalnom obliku

S

1 KINEMATIKA 2

dsdS = . (1.1) Jednakost važi samo ukoliko su tokom kretanja ispunjeni sledeći uslovi: 1.

, 2. i 3. . Ss =

0)0( ==ts 0>ds 0)( >ts 1.1.2 Vektorski način opisivanja kretanja U prostoru izaberemo referentnu tačku i nazovemo je pol (tačka O na sl.1.2). Položaj materijalne tačke određen je vektorom s početkom u polu O i krajem u tački na trajektoriji gde se nalazi

.O

M

r

Sl.1.2 Određivanje položaja materijalne tačke pri vektorskom opisivanju kretanja materijalna tačka-tačka M. Vektor r se naziva vektor položaja materijalne tačke. Trajektorija materijalne tačke predstavlja hodograf vektora položaja. Hodograf nekog vektora je geometrijsko mesto tačaka kroz koje prolazi vrh toga vektora sa fiksnim početkom. Tri parametra koja treba odrediti pri vektorskom opisivanju kretanja su : 1. intezitet vektora položaja, 2. pravac vektora položaja i 3. smer vektora položaja. Kako se vektor položaja menja tokom vremena osnovna kinematska jednačina pri vektorskom opisivanju kretanja je . )(trr = 1.1.3 Koordinantni način opisivanja kretanja Postoje razni koordinantni sistemi za opisivanje kretanja: Dekartov, Ojlerov, sferni, cilindrični, itd. Dekartov koordinantni sistem se sastoji od tri uzajamno ortogonalne ose

zyx ,, . Vektor položaja materijalne tačke možemo izraziti preko jediničnih vektora zyx ,,

Sl.1.3 Određivanje položaja materijalne tačke pri opisivanjukretanja u Dekartovom koordinantnom sistemu

j

M(x,y,z)

z y

x

k

x

y

i z

1.1 ODREĐIVANJE POLOŽAJA I TRAJEKTORIJE MATERIJALNE TAČKE 3

osa: kji ,, , respektivno (vidi sl.1.3) kzjyixr ⋅+⋅+⋅= , (1.2)

gde su kzjyix ⋅⋅⋅ ,, komponente vektora r , a koeficijenti su njegove skalarne komponente i predstavljaju lokaciju materijalne tačke duž osa u odnosu na koordinantni početak. Da bi odredili položaj materijalne tačke u svakom trenutku moramo poznavati skalarne komponente

zyx i ,

)(),(),( tzztyytxx === , odnosno osnovne parametarske kinematske jednačine kretanja. Vreme mereno od početka kretanja t je nezavisan parametar. Trajektorija materijalne tačke određuje se iz parametarskih jednačina kretanja tako što vreme izrazimo preko koordinate t x , )(xt ϕ= , gde je funkcija ϕ inverzna funkcija funkciji

, i tako izraženo vreme zamenimo u ostale dve parametarske jednačine. Kao rezultat dobijamo jednačine dve površi

)(txx =))(( xyy ϕ= i ))(( xzz ϕ= u čijem se preseku dobija dobija

kriva linija-trajektorija. Intezitet vektora položaja određujemo iz relacije

0222 ≥++= zyxr , (1.3) a pravac preko uglova koje radijus vektor gradi sa pozitivnim smerovima yx, i ose z

zyx

xrxir

222),cos(

++== , (1.4a)

zyx

yryjr

222),cos(

++== , (1.4b)

zyx

zrzkr

222),cos(

++== . (1.4c)

Uzimajući u obzir (1.4a)-(1.4c) lako je pokazati da je 1),(cos),(cos),(cos 222 =++ krjrir . (1.5)

U slučaju dvodimenzionalnog kretanja (2-D), kretanja u fiksnoj ravni , potrebno je znati dve parametarske jednačine i

xOy)(txx = )(tyy = .

M(x,y) x

j

x

yi

y

Sl.1.3.1 Određivanje položaja materijalne tačke pri opisivanju kretanja u Dekartovom koordinantnom sistemu yx -0-

Izraze za vektor položaja i njegov intezite dobijamo iz (1.2) i (1.3) stavljajući da je 0=z

jyixr ⋅+⋅= , (1.2a)

022 ≥+= yxr . (1.3a) Odgovarajući uglovi koje radijus vektor gradi sa pozitivnim smerovima x i y ose su

4 1 KINEMATIKA

yx

xrxir

22),cos(

+== , (1.4ax)

yx

yryjr

22),cos(

+== . (1.4bx)

Jednačina trajektorije je ))(( xyy ψ= , gde je )(xt ψ= , odnosno ψ je inverzna funkcija funkciji . )(txx = 1.1.4 Prirodni ortogonalni triedar Spada u grupu pokretnih koordinantnih sistema i koristi se pri prirodnom opisivanju kretanja. Čine ga tri međusobno ortogonalne ravni: oskulatorna, tangentna i normalna ravan. Najpre ćemo objasniti postupak konstruisanja prirodnog ortogonalnog triedra, koji je prikazan na sl.1.4. U tački M , mestu na trajektoriji gde se nalazi materijalna tačka, povučemo tangentu na trajektoriju. Jedinični vektor tangente τ usmeren je u smeru porasta lučne koordinate. Oskulatorna ravan prolazi kroz tangentu i u tački M najbolje naleže na trajektoriju. Tangentna ravan prolazi kroz tangentu i normalna je na oskulatornu ravan. Normalna ravan u tački M je

+

Mτ n

bnormalna ravan

tangentna ravan

oskulatorna ravan

glavna normala

binormala

tangenta

O

Sl.1.4 Prirodni ortogonalni triedar normalna na tangentnu i na oskulatornu ravan. U preseku normalne i oskulatorne ravni je prava koje se naziva glavna normala krive. Jedinični vektor glavne normale usmeren je na konkavnu stranu trajektorije. U preseku tangentne i normalne ravni nalazi se prava binormala, čiji jedinični vektor

n

b skoji sa vektorima τ i n čini desnu orijentaciju: nb ×= τ . 1.1.5 Podela kretanja Prema obliku trajektorije kretanja se dela na: a) pravolinijska i b) krivolinijska. U svakoj tački trajektorije možemo definisati poluprečnik trajektorije ρ i centar krivine C koji leži na glavnoj normali. Krug poluprečnika ρ koga opisijumo iz C leži u oskulatornoj ravni (vidi sl.1.4). Iz tačke u tačku trajektorije ρ i C se u opštem slučaju menjaju.

τ

nρ

C

1.2 BRZINA 5

Definisaćemo novu fizičku vektorsku veličinu-vektor krivine trajektorije nk ⋅=ρ1 . Za

pravolinijska kretanja u svakoj tački putanje mora biti ispunjeno da ∞→ρ , što je

ekvivalentno uslovu 0== kk .

Prema mestu gde se vrši kretanje imamo: 1) ravansko kretanje (ravan je fiksna) i 2) površinsko kretanje. Kod površinskih kretanja, čija je jednačina trajektorije 0),,( =zyxψ , potrebno je poznavati dva parametra, npr. x i y , iz kojih se na osnovu jednačine trajektorije može odrediti treći parametar . ),( yxfz = Kruta tela se mogu kretati: a) translatorno-kretanje kod koga svaka prava koja pripada telu se translatorno pomera , tj. svaka tačka date prave prelazi isti put i b) rotaciono kretanje-kretanje kod kojeg se materijalne tačke krutog tela kreću po koncetričnim kružnicama, a njihovi radijus vektori prebrisavaju istu površinu u jedinici vremena.

1.2 BRZINA

Brzina je vektorska veličina kojom se definiše brzina, pravac i smer kretanja. Kao pojam prvi ju je uveo Galilej. 1.2.1 Brzina pri vektorskom opisivanju kretanja Pretpostavimo da se materijalna tačka kreće s leva na desno. U trenutku nalazi se položaju, označenim sa tačkom

tt =1

M na trajektoriji, koji je definisan vektorom položaja . U trenutku nalazi se u tački , a vektor položaja ima vrednost

. Promena vektora položaja-vektor pomeraja za vremenski interval)(1 trr = ttt Δ+=2 M 1

)(2 ttrr Δ+= ttt 12 −=Δ je

vsrrΔ

v

r 2r1

.

MM 1

Sl.1.5 Brzina i srednja brzina pri vektorskom opisivanju kretanja

)()(12 trttrrrr −Δ+=−=Δ . (1.6)

Definišimo vektor srednje brzine kao odnos vektora pomeraja i vremenskog intervala u kome je promena nastala

trΔΔ

=vsr . (1.7)

Kao što se sa sl.1.5 vidi vektor srednje brzine ne daje tačnu informaciju o pravcu i smeru kretanja. Vektor trenutne brzine, koji nam daje pravu informaciju, dobija se kada uzmemo beskonačno mali vremenski interval 0→Δt . Smanjujući vremenski interval vektori tΔ rΔ i vsr poprimaju sve više pravac tangente na trajektoriju i u graničnom slučaju vsr prelazi u vektor trenutne brzine (ili samo vektor brzine)

6 1 KINEMATIKA

dtrd

tr

tsr

t=

ΔΔ

==→Δ→Δ 00

limvlimv . (1.8)

Kao što vidimo vektor brzine predstavlja prvi izvod vektora položaja po vremenu. Vremenski izvod promenljivog vektora je uvek novi vektor, koji je po pravcu tangente na hodograf tog promenljivog vektora. Dakle, vektor brzine u svakoj tački trajektorije je po pravcu tangente na trajektoriju u datoj tački, iz razloga što je trajektorija hodograf vektora položaja. Pri definisanju vektora brzine

veoma je važno uočiti razliku između vektora i →

dr rd (vidi sl.1.6).

rdr

→

dr

Sl.1.6 Razlika između vektora i →

dr rd

Dimenzija vektora brzine je tl)v(= , a jedinica u SI je sm . 1.2.2 Brzina pri prirodnom opisivanju kretanja Pretpostavimo da je lučna koordinata materijalne tačke u položaju označenom sa tačkom M na sl.1.7 , a u položaju )(1 tss = M 1 )(2 ttss Δ+= . Kako je vrednost lučne koordinate funkcija vremena )(tss = to vreme možemo prikazati kao funkciju lučne koordinate

)(st ϕ= , gde je ϕ inverzna funkcija funkciji )(tss = . Takođe i vektor položaja možemo prikazati kao funkciju lučne koordinate ))(()( srtrr ϕ== .

s2

s1rΔ

v

r 2r1

.

MM 1

Sl.1.7 Vektor brzine pri prirodnom opisivanju kretanja Polazeći od definicije vektora brzine, (1.11), i činjenice da je vektor položaja funkcija lučne koordinate, vektor brzine možemo definisati na sledeći način

dtds

dsrd⋅=v . (1.12)

Skalarnu veličinu koju ćemo definisati kao dtds=v , (1.13)

nazvaćemo algebarska vrednost inteziteta vektora brzine. Nazvali smo je algebarskom vrednišću jer može imati vrednosti i manje i veće od nule (naravno može imati i vrednost nule). Ukoliko je vrednost priraštaja lučne koordinate veći od nule tada je i , a ukoliko je tada je .

0>ds 0v >0<ds 0v <

Da bi definisali vektor brzine potrebno je odrediti novi vektor odnosno diferencijalni količnik dsrd .

O

+

-

1.2 BRZINA 7

Pravac novog vektora Po definiciji

sr

dsrd

s ΔΔ

=→Δ

lim0

. (1.14)

Kako se smanjuje sΔ rΔ se po pravcu sve više poklapa sa pravcem τ . U graničnom slučaju kada pravci će im se poklopiti što znači da novi vektor možemo izraziti preko 0→Δs τ . Intezitet novog vektora U graničnom slučaju intezitet priraštaja radijus vektora je .sr Δ=Δ . Na osnovu toga

zaključujemo da je 1limlim00

=ΔΔ

=Δ

Δ=

ΔΔ

=→Δ→Δ s

ssr

sr

dsrd

ss.

Smer novog vektora Ako se krećemo u smeru tada je )(+ 0>Δs i algebarska vrednost inteziteta vektora rΔ veća je od nule. Ako se krećemo u smeru tada je )(− 0<Δs i algebarska vrednost inteziteta vektora rΔ manja je od nule. I u jednom i u drugom slučaju količnik algebarskih vrednosti

rΔ i je veći od nule što nas navodi na zaključak da je smer novog vektora u smeru sΔ τ . Na osnovu svega navedenog novi vektor se može predstaviti na sledeći način

τ=dsrd . (1.15)

Konačno, brzinu pri prirodnom opisivanju kretanja definišemo kao τ⋅= vv . (1.16)

1.2.2.1 Određivanje lučne koordinate i pređenog puta ako je poznata algebarska vrednost inteziteta vektora brzine

Iz definicije algebarske vrednosti inteziteta vektora brzine možemo izraziti elementarni priraštaj lučne koordinate

dtds v= . (1.17) Integracijom (1.17) dobijamo izraz za trenutnu vrednost lučne koordinate

∫+==

t

tdtsts

00 v)( , (1.18)

gde je vrednost lučne koordinate u trenutku )0(0 == tss 0=t . Pređeni put dobijamo iz veze u diferencijalnom obliku

dtdtdsdS vv === . (1.19) Integracijom (1.19), uzimajući u obzir da je (t)vv = dobijamo izraz za pređeni put u vremenskom intervalu [ ]ttt 21,∈

dttSt

ttt ∫=

2

121

)(v, . (1.20)

Sada možemo definisati i srednju vrednost inteziteta vektora brzine kao konstantnu vrednost intaziteta vektora brzine pri kojoj materijalna tačka pređe isti put za isto vreme kao i da se kretala sa promenljivom vrednošću inteziteta vektora brzine.

dttttSt

tsrtt ∫=−=

2

121

)(v)(v 12, , (1.21)

odnosno

dtttt

t

tsr ∫

−=

2

1

)(v1v

12

. (1.21a)

8 1 KINEMATIKA

1.2.3 Brzina u Dekartovom koordinantnom sistemu Polazeći od definicije vektora brzine (1.11) i izražavajući vektor položaja preko koordinata u Dekartovom koordinantnom sistemu (1.2) dobijamo izraz

)(v kzjyixdtd

⋅+⋅+⋅= . (1.22)

Kako su ortovi kji i , konstantni vektori vektor brzine možemo napisati u sledećem obliku

kdtdzj

dtdyi

dtdx

⋅+⋅+⋅=v , (1.22a)

ili preko njenih skalarnih komponenti (prikazanih na sl.1.9) kji zyx ⋅+⋅+⋅= vvvv , (1.23)

gde su dtdzdtdydtdx zyx === v,v,v . (1.24)

Sl.1.8 Vektor brzine u Dekartovom koordinantnom sistemu y

r

j

vx

vy

zk

x

i

v vz

Ukoliko su nam poznate parametarske jednačine kretanja )(),(),( tzztyytxx === vektor brzine određujemo na sledeći način:

1) Intezitet )/()/()/(v 222 dtdzdtdydtdx ++= ; (1.25)

2) Pravac

Uglove koje vektor brzine zaklapa sa pozitivnim smerovima zyx ,, -osa su

v

),vcos(,v

),vcos(,v

),vcos( dtdzkdtdyjdtdxi === ; (1.26)

3) Smer

Informacija o smeru je sadržana u (1.26) iz razloga što su u brojiocima datih količnika algebarske vrednosti projekcija vektora brzine.

1.2 BRZINA 9

Ako se kretanje odvija u fiksnoj ravni (kretanje u 2-D) (1.25) i (1.6) se pojednostavljavaju stavljajući da je

xOy0v =z :

)/()/(v 22 dtdydtdx += ; (1.25a)

.vv),vcos(,vv),vcos( yx ji == (1.26a)

1.2.4 Skalarna ugaona brzina Posmatramo rotaciono (kružno) kretanje materijalne tačke po kružnici poluprečnika R (vidi sl.1.9). Na kružnici proizvoljno izaberemo referentnu tačku . Položaj materijalne tačke određivaćemo u odnosu na pravac koji je određen polupravom koja polazi od centra kružnice i prolazi kroz referentnu tačku. Očigledno da je položaj materijalne tačke u proizvoljnom trenutku kretanja t , položaj obeležen sa na slici, određen ugaonom koordinatom

O

M 1 θ .

..op O

--

+

M 2

M 1

θ θΔ

C

R

R

Sl.1.9 Određivanje položaja materijalne tačke pri rotaciji

Tražimo fizičku veličinu koja karakteriše promenu ugaone koordinate u vremenu. U trenutku materijalna tačka se našla u položaju i za vreme tt Δ+ M 2 tΔ je prebrisala ugao θΔ . Srednja ugaona brzina definiše se kao

tsr ΔΔ

=θ

ω , (1.27)

dok trenutnu ugaonu brzinu tražimo kao graničnu vrednost srednje ugaone brzine

dtd

ttsr

t

θθωω =

ΔΔ

==→Δ→Δ 00

limlim . (1.28)

1.2.5 Vektorska ugaona brzina Vektorsku ugaonu brzinu dobijamo tako što prebrisani ugao definišemo kao vektorsku veličinu. U opštem slučajevima kretanja-kretanja koja se ne odigravaju u fiksnim ravnima to možemo uraditi samo pri beskonačno malim (elementarnim) promenama prebrisanog ugla.

Na koji način prebrisani ugao za vreme tΔ definišemo kao vektorsku veličinu ? →

Δθ

Vektor ima intezitet →

Δθ RsΔ=Δ→

θ , pravac je normalan na prebrisanu površinu, a smer mu

je u smeru penetracije desne zavojnice kada je zarotiramo u smeru kretanja materijalne tačke na kružnoj trajektoriji.

Vektor srednje ugaone brzine definišemo preko vektora prebrisanog ugla

1 KINEMATIKA 10

tsr ΔΔ

=

→

θω , (1.29)

a vektor trenutne ugaone brzine (ili samo ugaone brzine) nalazimo kao graničnu vrednost vektora srednje ugaone brzine

dtd

ttsr

t

→→

→Δ→Δ=

ΔΔ

==θθ

ωω00

limlim . (1.30)

..op

ω

Jedinica u SI za ugaonu brzinu je srad .

Sl.1.10 Vektori prebrisanog ugla i ugaone brzine pri rotacionom kretanju

sΔs

-

-

+

M 2

M 1

θ θΔ

C

O

R

→

Δθ

R