1M. Kresken Bedingte Wahrscheinlichkeiten und diagnostische Tests II

M. Kresken 1

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und

diagnostische Tests II

M. Kresken 2

Bewertung eines diagnostischen Tests

• Für die Bewertung eines diagnostischen Tests kann die Richtigkeit (Accuracy) intuitiv als Anteil der korrekten Ergebnisse an der Gesamtzahl der Testergebnisse berechnet werden.

TestRealität

gesamt[K+] [K–]

[T+] a b a + b

[T–] c d c + d

Gesamt a + c b + d n = a + b + c + d

• In den Fällen a + d wurde Übereinstimmung zwischen dem positiven Testergebnis und dem Vorliegen der Krankheit sowie dem negativen Testergebnis und dem Vorliegen der Gesundheit beobachtet.

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• Dies entspricht einer beobachteten Übereinstimmungsrate von:

PO = a + d

n

• Der Anteil der Fälle, die per Zufall übereinstimmen (erwartete Übereinstimmungsrate), beträgt:

PE = (a + b)

n2

(a + c) + (c + d) (b + d)

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• Für die Bewertung der Übereinstimmung bzw. als Maß für die Übereinstimmung gibt man häufig das Verhältnis ‚Abweichung der beobachteten (PO) von der erwarteten (PE)

Übereinstimmungsrate bezogen auf die Rate der erwarteten Nicht-Übereinstimmungen‘ an:

k = PO – PE

1 – PE

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• Beispiel HIV-Test:

PO = 980 + 989.010

1.000.000

PE = (10.970)

1.000.0002

(1.000) + (989.030) (999.000)

= 0,98999989.990

1.000.000=

=10.970.000

1.000.000.000.000

+ 988.040.970.000

1.000.000.000.000

988.051.940.000= = 0,98805

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k = 0,98999 – 0,98805

1 – 0,98805

= 0,00194

0,01195= 0,16234


M. Kresken 7

Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von 1.000.000

heterosexuellen Bundesbürgern

Test

HIV-positiv

gesamtja

[HIV+]

nein

[HIV–]

positiv

[T+]1.000 0 1.000

negativ

[T–]0 999.000 999.000

Gesamt 1.000 999.000 1.000.000

Völlige Übereinstimmung von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten

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• Beispiel HIV-Test, bei völliger Übereinstimmung:

PO = 1.000 + 999.000

1.000.000

PE = (1.000)

1.000.0002

(1.000) + (999.000) (999.000)

= 11.000.000

1.000.000=

=1.000.000

1.000.000.000.000

+ 998.001.000.000

1.000.000.000.000

998.001.000.000= = 0,998

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k = 1 – 0,998

1 – 0,998

= 0,002

0,002= 1

• Beispiel HIV-Test, bei völliger Übereinstimmung:

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Häufigkeiten der Diagnose HIV in Abhängigkeit vom Vorliegen der Erkrankung auf der Basis einer Stichprobe von 1.000.000

heterosexuellen Bundesbürgern

Test

HIV-positiv

gesamtja

[HIV+]

nein

[HIV–]

positiv

[T+]0 999.000 999.000

negativ

[T–]1.000 0 1.000

Gesamt 1.000 999.000 1.000.000

Völlige Nicht-Übereinstimmung von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten

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• Beispiel HIV-Test, bei völliger Nicht-Übereinstimmung:

PO = 0 + 0

1.000.000

PE = (999.000)

1.000.0002

(1.000) + (1.000) (999.000)

= 00

1.000.000=

=999.000.000

1.000.000.000.000

+ 999.000.000

1.000.000.000.000

1.998.000.000= = 0,001998

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k = 0 – 0,001998

1 – 0,001998

= - 0,001998

0,998002= -0,002

• Beispiel HIV-Test, bei völliger Nicht-Übereinstimmung:

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• Der sogenannte k-Koeffizient gibt die Charakteristika des Tests (Sensitivität, Spezifität, etc. ) aber nicht wieder.

• Der Sensitivität und Spezifität kommen aber bei der Bewertung eines diagnostischen Tests große Bedeutung zu.

• Dem Wunsch einen möglichst hoch sensitiven und spezifischen Test zu haben, steht die praktische Beobachtung entgegen, dass Sensitivität und Spezifität of in gegenläufiger Beziehung zueinander stehen.

• In der Praxis wird man nicht vom Ausgang lediglich eines Tests auf die Realität schließen.

• In der Regel wird man mehrere Testverfahren, die sich ggf. hinsichtlich Sensitivitäten und Spezifitäten unterscheiden, gleichzeitig oder in zeitlicher Reihenfolge anwenden.

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• Ein sensitiver Test liefert wenige falsch negative Resultate, was für die Diagnostik gefährlicher, aber behandelbarer Krankheiten wichtig ist.

• Ein spezifischer Test dient häufig zur Bestätigung einer Diagnose, denn ein hoch spezifischer Test liefert nur wenig falsch-positive Resultate.

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Likelihood Ratios

• Die Qualität eines diagnostischen Tests kann auch an Hand positiver (LR+) und negativer (LR–) Likelihood Ratios (Quotienten) beurteilt.

LR+ = Sensitivität

1 – Spezifität

• LR+ beschreibt das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis unter den Erkrankten zur Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis unter den Gesunden.

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Likelihood Ratios


LR+ = 0,98

1 – 0,99= 98

• Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis unter den Erkrankten ist 98-mal so hoch wie unter den Gesunden.

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Likelihood Ratios

LR– = 1 – Sensitivität

Spezifität

• LR– beschreibt das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit für ein negatives Testergebnis unter den Gesunden zur Wahrscheinlichkeit für ein negatives Testergebnis unter den Erkrankten.

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Likelihood Ratios


LR– = 1 – 0,98

0,99= 0,0202; ~ 1 : 50

• Die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Testergebnis unter den Gesunden ist ungefähr 50-mal so hoch wie unter den Erkrankten.

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Punktschätzer, Konfidenzintervalle

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• Die wesentliche Aufgabe des statistischen Schließens in den Wissenschaften liegt darin, mit den Ergebnissen einer Stichprobe von Beobachtungseinheiten (z.B. Zellkulturen, Bakterienstämme, Versuchstiere, Probanden, Patienten etc.) auf die unbekannte „Wahrheit“ zu schließen.

• Das bedeutet nicht, dass die konkreten Messungen in der Stichprobe nicht „wahr“ wären.

• Der Begriff „Wahrheit“ ist in diesem Zusammenhang so zu verstehen, dass die Ergebnisse in der Stichprobe im Allgemeinen nicht exakt die Verteilung der Werte in der Population beschreiben, aus der die „Stichprobe“ gezogen wurde.

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• Beispiel: 30 männliche Querschnittgelähmte aus Deutschland zwischen 20 und 60 Jahren mit neurogenen Blasenstörungen erhalten eine bestimmte Therapie.

• Die für die 30 Patienten nach 3 Wochen beobachtete mittlere Zunahme der Blasenkapazität wird dann nur eine Schätzung der unbekannten mittleren Zunahme aller für diese Behandlung in Deutschland jetzt oder in den nächsten Jahren in Frage kommenden Patienten mit gleicher Altersstruktur und Diagnose sein.

• Abgesehen von dem Problem, ob die 30 Patienten in diesem Zeitraum überhaupt eine repräsentative Stichprobe aus der Gesamtpopulation darstellen, wird die beobachtete mittlere Zunahme auf Grund der biologischen Variabilität und der Messfehler mehr oder weniger von dem unbekannten Wert in der Population abweichen.

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• Gibt man als Ergebnis die beobachtete mittlere Zunahme der maximalen Blasenkapazität an, so ist dieser Mittelwert eine Punktschätzung (im statistischen Sinn).

• Der unbekannte Parameter wird durch die Angabe eines einzelnen Wertes geschätzt.

• Mit Hilfe eines Punktschätzers wird aber eine wichtige Information, nämlich der Stichprobenumfang, vorenthalten.

• Eine Schätzung des Therapieeffektes aus einer Stichprobe vom Umfang 150 wird sicher vertrauenswürdiger sein als die Schätzung aus einer Stichprobe vom Umfang 30.

• Daher sollten Schätzungen nicht ohne Angaben über ihre Zuverlässigkeit (z.B. Stichprobenumfang, Streuung) angeführt werden.

• Die Statistik beschäftigt sich auch mit der Frage, wie ein Schätzwert gebildet werden sollte.

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• Wenn man im Freien (ohne Armbanduhr) die Uhrzeit schätzen muss, so kann man dies nach dem Sonnenstand tun.

• Diese Schätzung wird „unscharf“ sein und bei mehreren Personen stark unterschiedlich ausfallen. Der Schätzer ist nicht effizient.

• An einem klaren Tag wird die Schätzung einer Personengruppe vielleicht systematisch von der wahren Uhrzeit abweichen, weil die Tageszeit evtl. zu früh eingeschätzt wird. Die Schätzung ist verzerrt.

• Wenn man auf die Frage nach der Uhrzeit immer mit „13 Uhr“ antwortet, ist diese Schätzung nur einmal am Tag genau richtig, ansonsten immer falsch. Der Schätzer ist also fast immer verzerrt.

• Gute statistische Schätzer versuchen möglichst genau (effizient) und möglichst richtig (unverzerrt) zu sein.

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• Der Schätzer selbst ist eine Zufallsvariable, da er aus zufällig variierenden Messungen gebildet wird, die selbst Zufallsvariablen sind.

• Sinnvollerweise verwendet man daher solche Schätzer, deren Erwartungswert gleich dem „wahren“ Wert ist.

• Die Präzision der Schätzung lässt sich dann an Hand der Streuung bzw. des Standardfehlers charakterisieren.

• Können auf Grund einer Stichprobe Intervalle angegeben werden, in denen der unbekannte Wert vermutet wird?

• Welches Intervall man auch angibt: der unbekannte Parameterwert liegt entweder innerhalb oder außerhalb des Intervalls.

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• Wenn man zugrunde legt, dass ausgewählte Patienten eine Zufallsstichprobe aus einer unbekannten (festen) Population darstellen und die unbekannten Charakteristiken dieser Population durch die Stichprobe geschätzt werden sollen, verbietet sich die Interpretation „Der unbekannte Parameter liegt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall.“

• Da das Intervall, aus Beobachtungen einer einzigen Stichprobe gebildet, als „fix“ erscheinen mag, gewinnt man aufgrund der obigen Überlegungen schnell den Eindruck, dass der unbekannte Parameter variiert.

• Dies korrespondiert jedoch nicht mit der statistischen Modellannahme, die den „wahren“ unbekannten Parameter als fix erachtet.

• Wie muss daher ein solches Intervall unter den gewählten statistischen Randbedingungen lauten?

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• Man sagt, eine Intervallschätzung überdeckt einen unbekannten Parameter mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit (Konfidenzwahrscheinlichkeit) von 95%, wenn bei oftmaliger Wiederholung eines bestimmten Experimentes im Long-run das aus der jeweiligen Stichprobe bestimmte Konfidenzintervall in 95% aller Experimente den unbekannten Wert des Parameters überdeckt.

• D. h., nur in 5% der Fälle liegt das aus den Daten bestimmte Konfidenzintervall entweder zur Gänze links oder rechts vom unbekannten Parameterwert (üblicherweise in jeweils der Hälfte der Fälle rechts oder links).

• Die Konfidenzwahrscheinlichkeit lässt sich In diesem Sinne als Sicherheit der Schätzung verstehen.

• Die Länge des Konfidenzintervalls (d.h. der Abstand zwischen oberer und unterer Grenze) entspricht der Präzision der Schätzung.

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Definition des Konfidenzintervalls

• Es soll also ein Intervall angegeben werden, welches mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit 1- den zu schätzenden wahren Parameter der Verteilung in der Grundgesamtheit überdeckt.

• Üblicherweise wird 1- = 0,95 oder 0,99, also = 0,05 bzw. 0,01 gesetzt.

• Dabei gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, dass der gewählte Bereich den Parameter nicht überdeckt.

• Solche Intervalle heißen (zweiseitige) (1-)-Konfidenzintervalle. Das heißt, bei Wahl von = 0,05 wird im Long-run in 5 von 100 Fällen das Konfidenzintervall den wahren Erwartungswert nicht überdecken.

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Definition des Konfidenzintervalls

• Dabei werden Intervallgrenzen Au und Ao (u für untere und o für obere) für einen Parameter so berechnet, dass gilt:

P(Au Ao) 1 - .

• Im Allgemeinen werden die Grenzen so gewählt, dass die untere gleich der oberen Überschreitungswahrscheinlichkeit ist.

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Konstruktion von Konfidenzintervallen(1 - )-Konfidenzintervall für den Erwartungswert

normalverteilter Daten mit bekannter Varianz

• Liegen n Messwerte eines (, 2)-normalverteilten Merkmals vor, so ist das arithmetische Mittel x der „beste“ Schätzer für den Erwartungswert in der Grundgesamtheit.

_

• Ist die Varianz 2 bekannt, was in Anwendungen selten der Fall ist, so ist SE = / der Standardfehler des Mittelwertes x. n

_

• Man erhält dann das zweiseitige Konfidenzintervall

n[

_x – z (1 –

2 ) ,

n] ;

_x + z (1 –

2 )

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Intervallgrenzen und Länge eines (1 - )-Konfidenzintervalls

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n[

_x + z (

2 ) ;

n] .

_x + z (1 –

2 )

• Wegen der Symmetrie z 1 – = -z lässt sich das Konfidenzintervall auch berechnen durch

2( ) ( )

2

• Hierbei ist z () das -Quantil der Standardnormalverteilung.

_

• Unter der Annahme der Normalverteilung leuchtet ein, dass das Konvidenzintervall üblicherweise symmetrisch um den Stichprobenmittelwert x gewählt wird.

• Was die Frage über die Länge des Intervalls bei vorgegebener „Überdeckungswahrscheinlichkeit“ (1-) betrifft, so ist einzusehen, dass das Intervall kleiner wird, je größer der Stichprobenumfang n bzw. je kleiner die Standardabweichung ist.

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Beispiele für den Erwartungswert einer Normalverteilung mit bekannter Varianz

• In einem Labor ist durch Langzeiterfahrung bekannt, dass die Bestimmung eines Enzyms mit einer Standardabweichung von 1,5 I.E. variiert.

• Berechnung des 95%-Konfidenzintervalls für den Erartungswert der Enzymbestimmung aus 4 Bestimmungen (in I.E.): 23,9; 20,0; 22,3; 21,4

_x = 1

4(23,9 + 20,0 + 22,3 + 21,4) =

14

87,6 = 21,9

Beispiel 1:

n[

_x – z (1 –

2 ) ,

n] ;

_x + z (1 –

2 )

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• Für = 0,05 ergibt sich das benötigte Quantil der Standardnormalverteilung als

z ( 2 )1 – = z(0,975)

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Tabelle der Normalverteilung

Entsprechend ergibt sich für das 0,975-Quantil ( = 0,975):

Verwenden der Symmetriez(0,975)= -z(1 – 0,975)= -z(0,025)= -(-1,96)= 1,96

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• Für = 0,05 ergibt sich das benötigte Quantil der Standardnormalverteilung als

z ( 2 )1 – = z(0,975) = 1,96

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• Damit ist für n = 4 die untere Grenze eines 95%-Konfidenzintervalls bei bekannter Varianz 2 = 1,52:

= 21,9 – 1,96 • 1,5

4

= 21,9 – 1,96 • 0,75

= 20,43

n

_x – z (

2)1 –

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• Entsprechend berechnet sich die obere Grenze:

= 21,9 + 1,96 • 1,5

4

= 21,9 + 1,96 • 0,75

= 23,37

n

_x + z (

2)1 –

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• Berechnung der Grenzen für ein 99%-Konfidenzintervall:

= 0,01

2

1 – = 0,995

z ( 2)1 – = z(0,995)

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Tabelle der Normalverteilung

Entsprechend ergibt sich für das 0,995-Quantil ( = 0,995):

Verwenden der Symmetriez(0,995)= -z(1 – 0,995)= -z(0,005)= -(-2,575)= 2,575 = ~ 2,58

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• Berechnung der Grenzen für ein 99%-Konfidenzintervall:

= 0,01

2

1 – = 0,995

z ( 2)1 – = z(0,995) = 2,58

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• Die untere Grenze eines 99%-Konfidenzintervalls liegt bei:

= 21,9 – 2,58 • 1,5

4

= 21,9 – 2,58 • 0,75

= 19,97

n

_x – z (

2)1 –

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• Die obere Grenze eines 99%-Konfidenzintervalls liegt bei:

= 21,9 + 2,58 • 1,5

4

= 21,9 + 2,58 • 0,75

= 23,84

n

_x + z (

2)1 –

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• Die Länge des 99%-Konfidenzintervalls beträgt 3,87 [I.E.] und ist erwartungsgemäß größer als die Länge 2,94 [I.E.] des 95 %-Konfidenzintervalls

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• Bei einer Voruntersuchung eines biologischen Parameters hat sich eine Standardabweichung von 10 I.E. ergeben.

• Wie groß muss die zukünftige Stichprobe sein, damit das 95%-Konfidenzintervall bzw. das 99%- Konfidenzintervall für den unbekannten Mittelwert nicht größer als4 I.E. sein wird.

Beispiel 2:

Die Länge des (1-)-Konfidenzintervalls beträgt:

n2 z (1 –

2 ) 4

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Mit = 0,05 und z ( 2 )1 – = z(0,975) = 1,96 ist dies erfüllt, wenn:

1,96 • 10n

2= 9,8

oder n 96,04, also erstmals für n = 97

1,96 • 10n 2 •

4

2 z (1 –

2 ) n

4

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Mit = 0,01 und z ( 2 )1 – = z(0,995) = 2,58 ist dies erfüllt wenn:

2,58 • 10n

2= 12,9

oder n 166,41, also erstmals für n = 167

• Für ein 99%-Konfidenzintervall müssen mindestens 167 Beobachtungen vorliegen.

• Für eine höhere Überdeckungswahrscheinlichkeit (Genauigkeit) ist ein höherer „Preis“ im Stichprobenumfang zu bezahlen.

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