· 2 . ОГЛАВЛЕНИЕ. ВВЕДЕНИЕ 3 . Гл. I. ЗАДАЧА КУЭТТА С ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ 10 § 1. Постановка

Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора

Н.Е. Жуковского

На правах рукописи

Бутковский Александр Викторович

КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ЗАДАЧАХ КУЭТТА И РЭЛЕЯ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук Галкин В.С.

Москва – 2015 год

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

Гл. I. ЗАДАЧА КУЭТТА С ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ 10

§ 1. Постановка задачи 10

§ 2. Положение и величина локального максимума потока энергии в

свободномолекулярном режиме 11

§ 3. Численный метод 13

§ 4. Верификация численного метода 14

§ 5. Немонотонность потока нормального импульса при изменении

числа Кнудсена 16

§ 6. Изменение знака потока энергии при изменении числа Кнудсена 19

§ 7. Систематизация режимов течения Куэтта 21

Гл. II. ЗАДАЧА РЭЛЕЯ ДЛЯ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА 30


§ 2. Метод численного решения 32


§ 4. Изменение со временем знака потока энергии, передаваемой пластине 34

§ 5. Монотонная и немонотонная зависимость напряжения трения от

времени в различных режимах течения 40

§ 6. Неподвижная внезапно нагретая пластина: потоки энергии и импульса 49

Гл. III. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА КУЭТТА С ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ ДЛЯ

РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА 54


§ 2. Метод численного решения 56


§ 4. Структура нестационарной задачи Куэтта 59

§ 5. Многократное изменение знака потока энергии 63

§ 6. Классификация режимов нестационарного течения Куэтта 65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 79

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 80

3

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Диссертационная работа является фундаментальным

исследованием, направленным на решение актуальной проблемы динамики

разреженных газов – обнаружение и изучение физических эффектов, имеющих

место при числах Кнудсена порядка единицы. Число Кнудсена, характеризующее

степень разреженности газа, равно отношению характерной длины пробега

молекул в газе к характерному размеру задачи. Наиболее интересны физические

эффекты, возникающие из-за изменения степени разреженности газа. Помимо

исследования таких эффектов представляет также интерес изучение эффектов,

возникающих при изменении параметров задачи при неизменном числе Кнудсена.

Исследование особенностей неравновесных течений разреженного газа имеет не

только академический интерес. Изучение механизмов процессов

тепломассопереноса в разреженном газе необходимо для совершенствования

вакуумной и авиационно-космической техники, создания новых нанотехнологий.

Решение задач экологии атмосферы также тесно связано с изучением

неравновесных процессов в газе с числом Кнудсена порядка единицы.

В настоящее время известен целый ряд физических эффектов, имеющих

место при числах Кнудсена больше или порядка единицы.

Еще во второй половине девятнадцатого века Максвелл теоретически, а

Рейнольдс экспериментально исследовали явление термоэффузии [1]. Оно имеет

место, когда два сосуда, заполненные газом с одинаковым, но очень низким

давлением и разными температурами 21 TT < , разделены пористой перегородкой.

Несмотря на первоначальное равенство давлений, давление газа в сосуде с более

низкой температурой 1p уменьшается, а в сосуде с более высокой

температурой 2p возрастают. Система становится равновесной, когда поток

массы становится равным нулю, т. е. когда

4

1

2

1

2

TT

pp

= .

Эффект Магнуса также проявляется по-разному в условиях потенциального

течения сплошной среды [2] и в свободномолекулярном режиме [3]: если в

условиях континуума в потоке поместить вращающийся цилиндр и понижать

давление (увеличивать число Кнудсена), то при достаточно больших числах

Кнудсена подъёмная сила изменит знак. Это связано с тем, что в

свободномолекулярном потоке отражённые молекулы приобретают

составляющую скорости, перпендикулярную радиусу цилиндра.

Наличие температурного градиента на поверхности тела, помещенного в

разреженный газ, может вызвать течение газа. Это явление называется тепловым

скольжением или крипом. Крипом вызваны такие явления, как термофорез и

фотофорез, когда частица, помещенная в газ с отличным от нуля градиентом

температуры, приходит в движение, если ее коэффициент теплопроводности

отличается от коэффициента теплопроводности разреженного газа.

При термофорезе и фотофорезе [4] сила, действующая на частицу в газе,

также может менять свой знак при изменении числа Кнудсена.

Увеличение числа Кнудсена может приводить к возникновению

максимумов или минимумов у различных физических величин.

Исследуя течение в трубах при низких давлениях, Кнудсен в начале

двадцатого века экспериментально обнаружил, что зависимость нормированного

расхода от давления (т. е. фактически от числа Кнудсена) имеет минимум [5], в то

время как при рассмотрении задачи в рамках теории сплошной среды расход,

согласно решению Пуазейля, пропорционален давлению. Это явление стало

называться парадоксом Кнудсена.

Другим примером немонотонности является немонотонность по числу

Кнудсена напряжения трения, нормального давления и теплового потока при

гиперзвуковом обтекании пластины [6]. Данный эффект, теоретически

предсказанный М. Н. Коганом и в дальнейшем подтвержденный

5

экспериментально В.Н. Гусевым [7] связан с наличием в гиперзвуковом течении

двух групп молекул с сильно различающимися средними скоростями [6].

Отметим, что кроме немонотонности макропараметров, возникающей при

изменении числа Кнудсена, в динамике разреженных газов естественно

существуют случаи немонотонной зависимости макропараметров от других

параметров задачи. Примером такой немонотонности является немонотонная

зависимость теплового потока между двумя пластинами от отношения температур

пластин при фиксированной температуре одной из пластин [8].

Объект исследования. Переходный режим течений Куэтта и Рэлея является

основным объектом исследования. Кроме того исследуется

свободномолекулярный режим течения Куэтта.

Задача Куэтта о течении газа между движущимися друг относительно друга

двумя параллельными пластинами с различными температурами и задача Рэлея о

течении, возникающем при внезапном движении пластины в полупространстве

вдоль самой себя при одновременном скачкообразном изменении температуры,

являются классическими тестовыми задачами, на которых апробируются

различные методы решения уравнения Больцмана [9-33]. В тоже время в

[21,33,34] исследовалось влияние степени разреженности газа на течение Куэтта и

были обнаружены эффекты немонотонности трения и теплового потока по числу

Кнудсена. Однако всестороннего исследования ни течения Куэтта, ни течения

Рэлея в известной литературе не проводилось.

Методы исследования. В данной диссертации основным методом исследования

является метод прямого статистического моделирования.

Цель диссертации. Целью работы является построение общей картины

влияния параметров на интегральные характеристики течений Куэтта и Рэлея в

разреженном газе: на поток энергии, передаваемой пластине, напряжение трения и

поток нормального импульса.

Задачи диссертации. Для достижения цели диссертационной работы были

поставлены следующие задачи:

6

- исследовать влияние скорости движущейся пластины на поток энергии,

передаваемой неподвижной пластине в свободномолекулярном режиме течения

Куэтта.

- исследовать влияние числа Кнудсена, относительной скорости пластин и

отношения их температур на поток энергии, передаваемой пластине, в переходном

режиме течения Куэтта.

- исследовать влияние числа Кнудсена, относительной скорости пластин и

отношения их температур на поток нормального импульса, передаваемого

пластине в переходном режиме течения Куэтта.

- исследовать влияние скорости и температуры пластины на напряжение трения и

потоки энергии и нормального импульса, передаваемые пластине в различные

моменты времени в переходном режиме течения Рэлея.

- исследовать влияние числа Кнудсена, скоростей пластин и отношения их

температур на напряжение трения и на потоки энергии и нормального импульса,

передаваемые пластине в различные моменты времени в переходном режиме

течения устанавливающегося течения Куэтта.

Научная новизна. В результате проведенных исследований были впервые

обнаружены следующие эффекты:

1. Эффект перемены знака потока энергии, передаваемой пластине,

при изменении числа Кнудсена в задаче Куэтта.

2. Эффект немонотонности потока нормального импульса,

передаваемого пластине, при изменении числа Кнудсена в задаче

Куэтта.

3. Эффект перемены знака потока энергии, передаваемой пластине,

через некоторое время после начала движения пластины, в задаче

Рэлея.

4. Эффект немонотонности по времени потока энергии, передаваемой

пластине, в задаче Рэлея.

5. Эффект немонотонности по времени напряжения трения, в задаче

Рэлея.

7

6. Эффект немонотонности по времени потока нормального импульса,

передаваемого пластине, в задаче Рэлея.

7. Эффект неоднократной перемены знака потока энергии,

передаваемой пластине, в задаче об устанавливающемся течении

Куэтта.

Кроме того в диссертации найдены аналитические зависимости величины

локального максимума потока энергии от скорости при фиксированной

температуре одной из пластин для свободномолекулярного течения Куэтта.

Достоверность результатов исследования гарантируется высокой точностью

метода прямого статистического моделирования, выполнением фундаментальных

физических законов сохранения энергии и импульса и согласием с результатами,

полученными другими авторами и другими методами.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Для любой отличной от нуля относительной скорости пластин в задаче

Куэтта для каждой из пластин существует диапазон отношения

температур пластин, в котором соответствующее изменение числа

Кнудсена приводит к изменению знака потока энергии, передаваемой

пластине.

2. Зависимость потока нормального импульса от числа Кнудсена в задаче

Куэтта имеет максимум.

3. В соответствующем диапазоне температур и скоростей пластины в задаче

Рэлея пластина первоначально нагревается, а затем через некоторое время

после начала движения начинает остывать.


Рэлея поток энергии, передаваемой пластине, немонотонен по времени.


Рэлея напряжение трения на пластине немонотонно по времени.


Рэлея поток нормального импульса, передаваемого пластине

немонотонен по времени.

8


об устанавливающемся течении Куэтта поток энергии, передаваемой

пластине, неоднократно меняет знак.

Практическая ценность результатов. Полученные результаты:

- расширяют существующие представления о процессах тепломассопереноса в

газах.

- стимулируют дальнейшие теоретические и экспериментальные исследования

явлений переноса в разреженных газах.

Область применения результатов. Полученные результаты могут быть

использованы:

- в теоретических и экспериментальныx исследованияx явлений переноса в

разреженных газах.

- в учебном процессе в вузах при подготовке студентов и аспирантов по

специальности «Динамика разреженных газов».

Апробация и внедрение результатов. Полученные в диссертации

результаты используются в учебном процессе в Московском физико-техническом

институте и в Санкт-Петербургском государственном университете.

Результаты диссертационной работы были представлены на международной

конференции по механике «Шестые Поляховские чтения», Санкт-Петербург,

Россия, 2012 , и на международной конференции по динамике разреженного газа

(RGD-28), Сарагоса, Испания, 2012.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в четырех статьях

в ведущих рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК [35-38], а также в

трудах конференций [39,40].

Личный вклад автора. Личный вклад автора заключался в участии в

постановке задач, проведении численных расчетов рассмотренных задач,

обсуждении полученных результатов, а также подготовке статей и докладов на

конференциях. Результаты совместных работ представлены в диссертации с

согласия соавтора.

9

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав,

заключения и списка использованных источников. Общий объем составляет 85

страниц, включая 41 рисунок. Список использованных источников содержит 52

наименования.

10

ГЛАВА I. ЗАДАЧА КУЭТТА С ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ

§ 1. Постановка задачи

Рассмотрим бесконечный слой газа между двумя параллельными

плоскостями 0y = и y L= . Пусть температура неподвижной диффузно

отражающей плоскости y=0 равна 1T , а температура движущейся параллельно ей

со скоростью 2u равна 2T . Скорость пластины направлена вдоль оси x. Оси x и y

образуют декартову систему координат. Для исследования возникающего в задаче

Куэтта стационарного течения необходимо решить уравнение Больцмана

),( ffJydfdvy = (1.1)

с граничными условиями для функции распределения молекул на нижней и

верхней пластинах:

0,0,2

exp)2(1

2222/3

11 =>

++−= − yv

RTvvv

RTnf yzyx

r p (1.2)

( ) ( )Ly,v,

RTvuvv

expRTnf yzyx/

r =<

+−+−= − 0

22

2

222

223

22 p (1.3)

Здесь ),( ffJ - интеграл столкновений молекул [6]; xv , yv , zv – декартовы

компоненты скорости молекул; nr1 и nr2 - параметры функции распределения,

соответствующие отраженным молекулам, находятся из условия баланса

падающих и отраженных молекул; R – газовая постоянная; k – постоянная

Больцмана; m – масса молекулы. Для решения задачи (1.1 – 1.3) необходимо задать

среднюю плотность газа между пластинами nср и закон взаимодействия молекул

при столкновении друг с другом. В дальнейших расчетах будет использоваться

модель псевдомаксвелловских молекул, а также модель молекул – «твердые

сферы».

11

§ 2. Положение и величина локального максимума потока энергии в

свободномолекулярном режиме

Рассмотрим вначале свободномолекулярный режим. При Kn→ ∞ решение

задачи Куэтта (1.1 – 1.3) приведено в аналитическом виде в [6]. Для

свободномолекулярного течения функция распределения молекул f не зависит от

нормальной координаты и при 0>yv имеет вид (1.2) с

срr nTT

Tn

21

21

2+

= (1.4)

При 0<yv функция распределения f имеет вид (1.3) с параметром

срr nTT

Tn

21

12

2+

= , (1.5)

получаемым из условий непротекания. Подставляя nr1 и nr2 в формулы,

приведенные в [6], находим для безразмерной разности потоков энергии

падающих на нижнюю поверхность молекул и отраженных ею

14/12 2

+−−

−=τ

κττp

MQ

где ср

y

cnkTE

Q2

= ,

2 2 2

0, где

( )( ) ,

2x y z

y y x y zy

m v v vE v f d d dv dv dv

=

+ += − =∫ V V V

22RTс = ,

22 RT/uM κ= , 21 / TT=τ .

Положительное направление потока энергии выбрано от верхней пластины к

нижней.

12

В [8,41] показано, что при фиксированной температуре одной из пластин

зависимость потока энергии между пластинами от отношения температур τ в

свободномолекулярном режиме при М=0 имеет максимум при 4/1=τ . Отметим,

что с уменьшением числа Кнудсена, как показано в [42] с помощью модельного

уравнения, положение этого максимума при М=0 сдвигается в сторону меньших

значений τ.

Обобщим результаты [9,41] на случай произвольных чисел Маха. Рассмотрим

более подробно картину течения при 0→τ . Как показывает анализ формул (1.4) и

(1.5) при 0→τ плотность частиц, летящих от нижней стенки, стремится к срn , а

летящих от верхней стенки стремится к нулю. Поток частиц и вместе с ним поток

энергии и поток импульса также стремятся к нулю. С другой стороны, при

4/1 2Mκτ += потоки энергии, приносимые на пластину и уносимые с нее,

сравниваются, и суммарный поток энергии )(tQ обращается в ноль. Таким

образом, функция )(tQ должна иметь максимум в интервале 4/10 2Mκτ +<< .

Результаты расчетов нормированного потока энергии )(Q τ для

свободномолекулярного течения представлены на рис.1.1a при κ=5/3 для

различных M.

Для нахождения maxτ и maxQ воспользуемся условием 0/ =τddQ ,

которое приводит к кубическому относительно τ уравнению

0412)(8 23 =−−+ Mκττ .

Действительное решение этого уравнения имеет вид 23/1

2

23/1

2

2

max 14112

14112

141

−

++++

+++=

−

MM

MM

κκ

κκτ

На рис.1.1b приведены зависимости maxτ и Q( maxτ ) от M при κ=5/3.

Разумеется, говоря об оптимальном значении отношения температур, следует

помнить, что в силу того, что )cnkT/(EQ срy 2= речь идет о максимальном значении

13

потока энергии на одну из пластин при фиксированном значении температуры

другой пластины.

/

Рисунок 1. (a) Зависимости нормированного потока энергии на нижнюю пластину от

отношения температур пластин для свободномолекулярного течения;

(b) Зависимости положения и величины локального максимума потока энергии от M.

§ 3. Численный метод

Для решения задачи в переходном режиме использовался метод прямого

статистического моделирования [43]. В расчетах применялась процедура

установления с некоторым достаточно малым шагом по времени t∆ . При этом

пространство между плоскостями y=0 и y=L разбивалось на ячейки размером,

меньшим длины свободного пробега молекул. Внутри ячеек плотность, скорость и

температура газа считались постоянными. В ячейки помещались моделирующие

течение молекулы. Эволюция системы частиц на временном интервале t∆ ,

меньшем среднего времени между столкновениями молекул, расщеплялась на

два этапа: 1) свободный перелет молекул за время t∆ ; 2) столкновение молекул,

принадлежащих данной ячейке [43]. Макропараметры в ячейках вычислялись

путем усреднения по времени вдоль траекторий молекул соответствующих

14

микроскопических величин [44]. Расчеты проводились для модели молекул с

сечением взаимодействия g/0σσ = , где 0σ – постоянная, g – относительная

скорость сталкивающихся молекул (максвелловские молекулы) и для модели

«твердые сферы». Решение задачи зависит от числа Кнудсена L/Kn λ= , где λ -

характерная длина свободного пробега молекул. Для модели максвелловских

молекул )n/(с ср 02 σλ = , а для модели молекул – твердые сферы 12 −= )n( сфсрσλ ,

где constсф =σ

§ 4. Верификация численного метода

Для проверки результатов, полученных в данной главе, найдем для

максвелловских молекул решение уравнения Hавье–Cтокса с граничными

условиями, имеющими вид скачка температур и скоростей при y = 0 и y = L, в

случае полной тепловой аккомодации [6]. Интегрирование уравнения Hавье–

Cтокса для плоского течения Куэтта в общем виде сводится к решению

кубического уравнения, в которое входят константы, определяемые с помощью

тех или иных граничных условий [45].

На рис. 1.2 распределения температур T и скоростей U между пластинами,

полученные в данной работе методом прямого статистического моделирования

сравниваются с результатами решения описанной выше краевой задачи для

уравнения Навье–Стокса. Здесь 2rel T/T T = , 22/ RTUUrel = . В расчетах

учитывалось, что вязкость для максвелловских молекул μ = 2kT /σ0.

15

Рисунок 1.2. Распределение температуры и среднемассовой скорости между

пластинами в течении Куэтта при Kn = 0.0141; M=0.548; T1/T2= 0.25.

Кроме того был рассчитан поток энергии молекул, падающих на нижнюю

пластину с условиями прилипания, а также с граничными условиями [6],

имеющими вид скачка температур и скоростей при y=0 и y=L при полной

тепловой аккомодации.

+=

2

2

22 2Pr kTu

TTC

dxd

TTKnQ p , при y=0 (1.6) ,

где T – температура газа, u – скорость газа, Сp=5/2; Pr=2/3.

На рис. 1.3. зависимости Q(Kn), полученные методом прямого

статистического моделирования, сравниваются с результатами расчетов по

формуле (1.6). При малых числах Кнудсена указанные решения весьма близки.

16

2

1

3

0

0,1

0,2

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2Kn

Q

Рисунок 1.3. Сравнение расчетов потока энергии, передаваемой нижней

пластине, для максвелловских молекул, полученных различными методами для

τ=0.25, M=1: 1 − прямое статистическое моделирование; 2,3 − уравнения

Навье-Стокса с условиями прилипания (2) и скольжения (3)

§ 5. Немонотонность потока нормального импульса, передаваемого нижней

пластине, при изменении числа Кнудсена

Известно, что зависимости напряжения трения [21] и потока энергии [33] от

Kn немонотонны при больших числах Маха. В данной диссертации показано,

что поток нормального импульса также немонотонен по Kn.

На рис. 1.4 – 1.6 для максвелловских молекул приведены зависимости потока энергии, напряжения трения и потока нормального импульса от числа Кнудсена для различных скоростей верхней пластины при τ=0.25. Здесь и далее

, ср

xy

nkTp

F22

=

где .d)(fvmvp,d)(fvmvp yyyyyxxy VVVV 0y0y == ∫∫ −=−=

ср

yy

nkTp

P22

=

17

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

Q/M

2

Kn

M=2M=5M=10M=20

Рисунок 1.4. Зависимости потока энергии, передаваемой нижней пластине, от

числа Кнудсена для максвелловских молекул при τ=0.25.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

F/M

Kn

M=2M=5M=10M=20

Рисунок 1.5. Зависимости напряжения трения от числа Кнудсена для

максвелловских молекул при τ=0.25 и различных числах Маха.

Как видно из рис. 1.4 – 1.6 при гиперзвуковых числах Маха все три

зависимости имеют локальные максимумы, однако при M=2 это не так. При

увеличении Kn зависимости потока энергии и напряжения трения в этом случае

монотонно возрастают, в то время как зависимость потока нормального импульса

от Kn по-прежнему имеет максимум.

18

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

P/M

2

Kn

M=2 M=5M=10 M=20

Рисунок 1.6. Зависимости абсолютной величины потока нормального импульса от

числа Кнудсена для максвелловских молекул при τ=0.25 и различных числах

Маха.

Такое поведение P(Kn) имеет следующее объяснение. Увеличение потока

нормального импульса по мере уменьшения числа Кнудсена при продвижении к

переходному режиму от свободномолекулярного, как отмечалось в [40], тесно

связано с преобразованием направленной кинетической энергии молекулярного

потока в хаотическую тепловую энергию. С другой стороны при Kn <<1, как

отмечалось в [46], увеличение напряжения трения с увеличением Kn также

сопровождается преобразованием направленной кинетической энергии в

тепловую энергию молекул. Следовательно, зависимость P(Kn) в отличие от

Q(Kn) и F(Kn) должна иметь выраженный максимум любых числах Маха [40, 46].

Однако его относительная величина при стремлении отношения температур

пластин к единице, а числа Маха к нулю, естественно стремится к нулю.

19

§ 6. Изменение знака потока энергии, передаваемой нижней пластине, при

изменении числа Кнудсена

Известно, в переходном режиме течения Куэтта напряжение трения

[21] и поток энергии [33] немонотонны по числу Кнудсена при больших числах

Маха. В данной диссертации показано, что течение Куэтта обладает еще одним

интересным свойством.

На рис 1.7 представлены зависимости Q(Kn) при M=1 и различных

значениях τ. Как видно из графиков в рассматриваемых случаях модуль

потока энергии вначале с увеличением Kn возрастает. Этого следовало

ожидать, в соответствии с элементарной кинетической теорией для режимов

течения близких к сплошносредному [7].

Q

1

2

3

4

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000Kn

Рисунок 1.7. Зависимости потока энергии, передаваемой нижней пластине, от числа

Кнудсена для максвелловских молекул для M=1: 1-4 − τ = 1.3, 1.38, 1.46, 1.54

Затем, достигнув максимума в переходной области, модуль потока

энергии начинает уменьшаться. Дальнейшее увеличение числа Кнудсена

приводит к тому, что поток энергии меняет знак, приближаясь к своему

свободномолекулярному значению при Kn>>1.

20

Как показано в [47], в навье-стоксовском пределе тепловой поток меняет

знак при

2Pr1

2MC p

NSκτ +=

C другой стороны, как отмечалось выше, в свободномолекулярном пределе

смена знака происходит при

41

2Mmfr

κτ += .

Следовательно этот эффект имеет место в диапазоне отношений температур

mfrNS τττ << . Таким образом, изменение знака потока энергии, передаваемой

нижней пластине в течении Куэтта, может происходить не только вследствие

нагрева пластин или изменения их относительной скорости, но и за счет

изменения степени разреженности газа. Причем зависимость модуля потока тепла

от числа Kn, немонотонна. На рис. 1.8 рассматриваемый эффект изменения

направления потока энергии между пластинами в результате увеличения числа

Кнудсена сравнивается с эффектом изменения направления течения газа при

термоэффузии.

Рисунок 1.8. Смена направления потоков: вещества − в задаче о термоэффузии и

энергии − в задаче Куэтта.

21

§ 7. Систематизация режимов течения Куэтта

Результаты исследований течения Куэтта в переходном режиме

представлены в [17-28,30-34]. Среди полученных результатов можно выделить

ряд эффектов: немонотонность по Kn напряжения трения [21] и потока энергии,

передаваемой пластине, при больших числах Маха[33]. Однако всестороннего

исследования течения Куэтта в известной литературе не проводилось. В данной

диссертации продолжено исследование влияния параметров задачи на характер

течения и проведена систематизация различных режимов течения Куэтта в

разреженном газе с целью построения общей картины влияния чисел Маха,

Кнудсена и отношения температур пластин на поток энергии, передаваемой

пластине и напряжение трения.

В [35] показано, что при M=0 немонотонность зависимости Q(Kn) возрастает с

уменьшением τ, достигая при τ=0.001 нескольких сот процентов. Немонотонность

Q(Kn) при τ << 1 связана с наличием в газе двух групп молекул с существенно

различающимися средними скоростями молекул. Однако, поскольку в обеих

группах молекул средний продольный импульс имеет один и тот же порядок

зависимость F(Kn) при М<<1 не должна иметь выраженного экстремума. На

рис 1.9 приведены зависимости Q(Kn) и F(Kn) при τ=0.01 и различных значениях

М. Как видно из графиков при малых числах Маха напряжение трения, в отличие

от потока энергии, возрастает почти монотонно. Здесь и в дальнейшем под

монотонностью будем понимать монотонность с графической точностью (2%).

Как видно из рис. 1.9b при M=1 зависимость F(Kn) имеет выраженный максимум,

лежащий выше свободномолекулярного предела. По мере возрастания числа

Маха этот максимум увеличивается.

Как видно из рис. 1.9c и рис. 1.9d при M>>1 обе зависимости, как и

следовало, ожидать, приобретают ярко выраженные максимумы. Зависимости

Q(Kn) и F(Kn) при τ=0.5 и различных числах Маха приведены на рис. 1.10. Как и

следовало ожидать, исходя из результатов[21,33,34], при числах Маха меньших

22

или порядка единицы обе зависимости монотонны, а при M>>1 обе имеют

максимумы.

4

43

3 2

2 1

1

a) b)

77

6

65

5

с) d)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.01 0.1 1 10 100 1000

Q

Kn0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.01 0.1 1 10 100 1000

F/M

Kn

0

0.05

0.1

0.15

0.01 0.1 1 10 100 1000

Q/M2

Kn0

0.05

0.1

0.15

0.01 0.1 1 10 100 1000

F/M

Kn

Рисунок 1.9. Зависимости потока энергии, передаваемой неподвижной пластине

(a, c) и напряжения трения (b, d) от числа Кнудсена. 1-7 – τ=0.01 ; 1- 7: М=0.05;

0.5; 0.7; 1; 2; 5; 10 .

23

33

2

2

1 1

a) b)

6

6

5

5

4

4

c) d)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.01 0.1 1 10 100 1000

Q

Kn

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

Q/M2

Kn

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.01 0.1 1 10 100 1000

F

Kn

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

F/M

Kn

Рисунок 1.10. Зависимости потока энергии, передаваемой неподвижной пластине

(a, c) и напряжения трения (b, d) от числа Кнудсена.1-6 – τ=0.5; 1 - 6: М= 0,5; 1; 2;

5; 10; 20;

Как показано в § 6 при τ > 1 число Маха влияет на характер зависимости

Q(Kn) иначе, чем при 1≤τ . Это связано с тем, что при τ > 1 поток энергии,

передаваемой неподвижной пластине при некотором числе Маха становится

равным нулю.

В навье-стоксовском пределе [47]

.pC;Pr;Pr

)(pCNSMгде;NSMMприQ;NSMMприQ

2

5

3

21200 ==

−=>><<

κ

τ

24

С другой стороны, в свободномолекулярном пределе

.)(Mгде;MMприQ;MMприQ mfrmfrmfr κ

τ 1200

−=>><<

Значение Mboundary числа Маха, при котором поток энергии на неподвижную

пластину меняет знак, зависит от числа Кнудсена и отношения температур

пластин и находится в диапазоне Mfr m < Mboundary <. MNS.. Таким образом,

плоскость (M, τ ) делится на три части. В двух из них знак потока энергии

постоянен, а в третьей зависит от числа Kn. Эти области показаны на рис 1.8а.

Q Q

Q Q Q

Направление Q зависит от Kn

Q Q Q

a) b)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.01 0.1 1 10 100

M

Kn

NSM

mfrM

boundaryM

2Pr1

2MC p

κ+

41

2Mκ+

Рисунок 1.11. Области с различными направлениями потока энергии:

a) (M, τ) плоскость; b) (Kn,M) плоскость при τ=2.

Кривая Mboundary (Kn), разделяющая области знакопостоянства потоков

энергии на неподвижную пластину при τ =2 приведена на рис. 1.11b .

Как видно из графика при Mfr m < Mboundary <. MNS увеличение числа Кнудсена

может приводить к изменению знака потока энергии на неподвижную пластину.

На рис. 1.12. представлены зависимости Q(Kn) и F(Kn) при τ =2 и различных

значениях М. Как видно из графиков вначале увеличение числа Маха не

приводит к изменению характера зависимости Q(Kn) . Однако при увеличении M

25

до значений, при которых Q(0.5) приблизительно равно

свободномолекулярному значению потока энергии, зависимость Q(Kn)

становится немонотонной. Модуль потока энергии вначале с увеличением Kn

возрастает, как и следовало ожидать, в соответствии с элементарной

кинетической теорией для режимов течения близких к сплошносредному [7].

Затем, достигнув максимума в переходной области, он начинает уменьшаться,

приближаясь к свободномолекулярному пределу. При frmMM > этот предел

положителен и увеличение числа Кнудсена приводит к тому, что при

NSfrm MMM << поток энергии, передаваемой пластине, меняет знак.

55

44

3

3

2

21

1

a) b)

9 9

88

7 7

66

c) d)

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.01 0.1 1 10 100 1000

Q

Kn

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.01 0.1 1 10 100 1000

F

Kn

0

0.1

0.2

0.3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

Q/M2

Kn

0

0.1

0.2

0.3

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

F/M

Kn

Рисунок 1.12. Зависимости потока энергии, передаваемой неподвижной

пластине (a, c) и напряжения трения (b, d) от числа Кнудсена. 1-7 – τ=2; 1- 7:

М=0,2; 0,5; 1; 1,5; 1,75; 2,5; 5; 10; 20;

26

При NSMM > зависимость Q(Kn) вначале вновь становится монотонной, а

затем, когда M достигает значений много больших единицы у этой зависимости

возникает максимум. В то же время зависимость F(Kn) становится

немонотонной лишь при M>>1.

На рис 1.13 и рис 1.14 представлены зависимости Q(Kn) и F(Kn) при τ=100 и

различных значениях М. Как видно из графиков Q(Kn) существенно немонотонна

при всех рассмотренных значениях М, за исключением узкой области вблизи

NSM , в которой она близка к монотонной.

5

48

7

3 6

2

1

a) b)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

Q/M2

Kn-140

-100

-60

-20

20

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

Q

Kn

Рис. 1.13. Зависимости потока энергии, передаваемой неподвижной пластине от

числа Кнудсена. 1-8 – τ=100; 1- 8: M=2; 5; 10; 15; 17,5; 21,5 25; 30;

8

7

65

43 2

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

F/M

Kn

Рисунок 1.14. Зависимости напряжения трения от числа Кнудсена. 1-8 – τ=100; 1-

8: M=2; 5; 10; 15; 17,5; 21,5 25; 30;

27

Напряжение трения F(Kn) существенно немонотонно всюду за исключением

области M << 1.

Исходя из анализа результатов расчетов, приведенных в данной диссертации

и работах [21,33,34] на плоскости (M,τ) можно выделить 6 областей с различным

видом зависимостей Q(Kn), и F(Kn):

1. Области параметров(M,τ), при которых модуль потока энергии, предаваемой

пластине Q(Kn), и напряжение трения F(Kn) монотонно (как минимум с

графической точностью 2%) возрастают при увеличении числа Кнудсена:

1a. 101.0 ≤<< τ и M меньше или порядка единицы. В этой области Q(Kn)>0

(рис. 1.10 кривые 1 – 4) .

1b. 1001 <<< τ и ) (MM Q τ< , где τ<<QM ; [Q(Kn)<0] (рис. 1.12: кривые 1 – 3).

1c. 1001 <<< τ и 10<<< M)(M NS τ ; [Q(Kn)>0] (рис 1.12: кривые 6, 7) .

2. Области, в которых Q(Kn) и F(Kn) немонотонны. Это области:

2a. τ <<1 , M больше или порядка единицы ; [Q(Kn)>0] (рис. 1.9: кривые 2 – 7).

2b. τ <1 , M >> 1 ; Q(Kn)>0 (рис. 1.10: кривые 5, 6) .

2c. τ >1 и M >> 1 , NSMM > ; [ Q(Kn)>0 ] (рис. 1.12: кривые 8, 9) .

2d. τ >>1 и frmF MM )(M <≤τ ,. где )(M F τ - возрастающая функция, [ Q(Kn)<0 ]

(рис. 1.13 и 1.14: кривые 3 – 5) .

3. Области, в которых Q(Kn) существенно немонотонна, а F(Kn) монотонна

или близка к монотонной. Это области:

3a. τ <<1 , M < <1 ; [ Q(Kn)>0 ] (рис. 1.9: кривая 1) .

3b. 1001 <<< τ , frmnonmon MMM << ; [ Q(Kn)<0 ] (рис. 1.12: кривая 4) .

3c. 1>>τ и M< MF(τ) ; [ Q(Kn)<0 ] (рис. 1.13 и 1.14: кривые 1, 2) .

4. Область, в которой Q(Kn) немонотонна и знакопеременна, а F(Kn) монотонна:

1001 <<< τ и NSfrm MMM << (рис. 1.12: кривая 5) .

5. Область, в которой Q(Kn) немонотонна и знакопеременна, а F(Kn)

немонотонна: 1>>τ и NSfrm MMM << (рис. 1.13 и 1.14: кривая 5) .

28

6. Область, в которой Q(Kn) близка к монотонной, а F(Kn) существенно

немонотонна: 1>>τ , NSMM ≈ ; [ Q(Kn)>0 ] (рис. 1.13 и 1.14: кривая 6) .

Эти области условно изображены на рис. 1.15.

τ

2с

1

2b

3а 2а

1 M

1а

1с1b43b

3c5

2d

6

41

2Mκ+

2Pr1

2MCp

κ+

Рисунок 1.15. Режимы течения Куэтта на плоскости (M, τ).

Таким образом, в первой главе диссертации:

1. Исследовано влияние относительной скорости верхней пластины на

величину и положение максимума потока энергии, передаваемой

нижней пластине, в свободномолекулярном режиме при

фиксированной температуре верхней пластины.

2. Показано, что зависимость потока нормального импульса,

передаваемого нижней пластине, от числа Кнудсена немонотонна.

3. Обнаружено, что в определенном интервале значений отношений

температур пластин в задаче Куэтта поток энергии на нижнюю

пластину при увеличении числа Кнудсена меняет знак, достигая перед

этим локального экстремума.

29

4. На основе анализа поведения зависимостей потока энергии,

передаваемой нижней пластине, и напряжения трения от числа

Кнудсена проведена систематизация решений задачи Куэтта с

теплопередачей.

Поскольку плоское течение Куэтта является предельным для

цилиндрических и сферических течений Куэтта, а также для течения Куэтта-

Пуазейля, то вследствие непрерывной зависимости параметров течений от

соответствующих обратных радиусов (для течений Куэтта) и от перепада давления

(для течения Куэтта-Пуазейля) все эффекты плоского течения Куэтта должны

иметь место и в этих течениях.

Отметим также, что поскольку эффект перемены знака потока энергии

вызван различием в механизмах передачи энергии от движущихся поверхностей в

свободномолекулярном и в сплошносредном режимах, то при соответствующих

значениях параметров он может иметь место в любых стационарных течениях

газа, ограниченных движущимися друг относительно друга поверхностями с

различной температурой.

30

ГЛАВА II. ЗАДАЧА РЭЛЕЯ ДЛЯ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

§ 1. Постановка задачи

Задача Рэлея о течении, возникающем в полупространстве после внезапного

начала движения бесконечной пластины, является одной из классических задач

гидродинамики. В случае вязкой несжимаемой жидкости ее решение сводится к

решению одного из основных уравнений математической физики: уравнения

теплопроводности [48,49]. Задача Рэлея для сжимаемой жидкости исследовалась в

[50-52] на основе уравнений Навье-Стокса. Однако уравнения Навье-Стокса

непригодны для описания движения газа сразу после начала движения пластины в

течение периода времени порядка среднего времени между столкновениями пары

молекул. В этом случае необходимо решать уравнение Больцмана. В такой

постановке задача Рэлея рассматривалась в [9-16]. Однако целью этих работ был,

прежде всего, поиск наилучшего метода решения уравнения Больцмана, а не

всестороннее исследование задачи Рэлея. Задача Рэлея стала играть роль тестовой

задачи, на которой апробировались различные методы решения уравнения

Больцмана. В результате такого подхода задача Рэлея на временах сравнимых со

средним временем столкновения между молекулами оказалась недостаточно

исследованной.

Задача Рэлея не единственная классическая задача, использовавшаяся для

тестирования различных методов решения уравнения Больцмана. К числу таких

задач относится также задача Куэтта. Однако задача Куэтта все же иногда

привлекала к себе внимание и в качестве удобного инструмента для исследования

кинетических эффектов переходного режима [21, 33, 34], возникающих при

параметрическом изменении числа Кнудсена. Следует отметить, что, хотя задача

Куэтта и задача Рэлея для разреженного газа начали исследоваться практически

одновременно [9,17], автору диссертации неизвестны публикации, посвященные

эффектам переходного режима в задаче Рэлея. Обнаружению и исследованию

таких эффектов посвящена данная глава диссертации.

31

В ней изучается, как меняются со временем поток энергии, передаваемой

пластине, напряжение трения и поток нормального импульса. В отличие от задачи

Куэтта, задача Рэлея является нестационарной. Причем при увеличении времени,

прошедшего с начала движения, возникающее течение из свободномолекулярного

через переходный режим трансформируется в навье-стоксовское. Таким образом, в

задаче Рэлея для демонстрации различных режимов течения нет необходимости

менять параметры задачи: кинетические эффекты в задаче Рэлея реализуются по

мере увеличения времени, прошедшего от начала движения пластины.

Рассмотрим полубесконечное пространство y>0 , заполненное покоящимся газом

с плотностью ∞ρ и температурой ∞T . Пусть диффузно отражающая плоскость y=0 в

момент времени 0=τ приобретает температуру sT и начинает двигаться в своей

плоскости со скоростью sU , направленной вдоль оси x. Оси x и y образуют

декартову систему координат, связанную с движущейся пластиной.

Для исследования возникающего в задаче Релея нестационарного течения

необходимо решить уравнение Больцмана для функции распределения молекул.

),( ffJyfvf

y =∂∂

+∂∂

τ (2.1)

с начальными условиями

0,0,2)(

exp)2(222

2/3 =>

+++−=

∞

−∞∞ τp y

RTvvUv

RTnf zysx (2.2)

и граничными условиями

0,0,2

exp)2(222

2/3 =>

++−= − yv

RTvvv

RTnf ys

zyxsr p (2.3)

∞→

+++−→

∞

−∞∞

y

RTvvUv

RTnf zysx .2)(

exp)2(222

2/3p (2.4)

32

Предполагается, что отражение молекул от пластины происходит диффузно с

температурой поверхности sT .

Здесь ),( ffJ – интеграл столкновений молекул [6]; xv , yv , zv – декартовы

компоненты скорости молекул, ∞n - числовая плотность невозмущенного газа:

/n mρ∞ ∞= , где m - масса молекулы. Параметр функции распределения

отраженных молекул – nr находится из условия баланса падающих и отраженных

молекул.

Решение задачи зависит от безразмерных переменных

∞∞∞∞ ⋅=== λτ /ct;c/UU;T/TT swsw , где ∞∞ = RTc 2 , R – газовая постоянная,

∞λ – длина свободного пробега молекул в невозмущенном газе.

Для модели молекул «твердые сферы», используемой в данной работе, 12 −

∞∞ = )n( Tσλ , где Tσ - сечение столкновения молекул.

§ 2. Метод решения численного решения

Для решения задачи пространство над плоскостью y = 0 разбивалось на ячейки

размером y∆ . В различных вариантах размер ячейки менялся от приблизительно

/ (3 ), ( 1)w wU Uλ∞ > до приблизительно / 3λ∞ . Внутри ячеек параметры потока

считались постоянными. В начальный момент времени ячейки помещались

моделирующие течение молекулы, распределенные по скоростям согласно (2.2).

Число молекул в ячейке обычно равнялось 200. Эволюция системы частиц на

временном интервале τ∆ , расщеплялась на два этапа:

1) Свободный перелет молекул за время τ∆ ; Если молекулы достигают

пластины, то их скорости меняются в соответствии с (2.3). Внешняя граница

моделируется зеркальным отражением на достаточно большом расстоянии от

пластины.

33

2) Моделирование столкновений молекул, принадлежащих данной ячейке. Число

столкновений молекул в ячейке за время τ∆ должно быть равна

соответствующему числу столкновений в газе. На данном этапе, мы используем

алгоритм, предложенный G.A. Bird (подробное описание можно найти в [29]).

Величина τ∆ изменялась в различных вариантах от примерно

/ (3 ), ( 1)w wс U Uλ∞ ∞ > до примерно /(3 )сλ∞ ∞ .

Макропараметры газа в ячейках вычислялись по известным скоростям молекул.

Импульс и энергия, передаваемые пластине за время τ∆ , вычислялись с помощью

известных значений скоростей падающих и отраженных молекул.

Статистическая неопределенность полученных результатов уменьшалась путем

многократных повторений эволюции рассматриваемой динамической системы.

Число повторений обычно составляло примерно 10000. Точность результатов

определялась величиной статистических флуктуаций и, как правило, не превышала

1-2%.


Для проверки правильности результатов расчетов задачи Рэлея, полученных

в данной работе методом прямого статистического моделирования, сравним

распределения температуры, плотности и компонентов скоростей газа, с

соответствующими решениями краевой задачи для уравнений Навье-Стокса с

условиями скольжения на пластине [24] в различные моменты времени.

На рис. 2.1 приведены распределения по оси y плотности ρ и температуры T,

нормированных на ∞ρ и ∞T , а также показаны горизонтальная u и вертикальная v

составляющие массовой скорости, нормированной на ∞c , в системе координат,

связанной с невозмущенным газом. Расстояние от пластины нормировано на ∞λ .

Как видно из графиков и при 20=t и при 60=t результаты, полученные

различными методами в основном достаточно близки. Как и следовало ожидать

некоторое отличие имеет место для температуры непосредственно вблизи

34

пластины на расстоянии до ∞λ10 , причем при 20=t большее, чем при 60=t . По-

видимому, это связано с тем, что текущее число Кнудсена равное t/1 в первом

случае еще достаточно велико 0501 .t/ = .

Рисунок 2.1. Сравнение распределений плотности (a), температуры (b),

горизонтальной (c) и вертикальной (d) составляющих скорости газа,

полученных методом ПСМ с решением краевой задачи для уравнений

Навье-Стокса с условиями скольжения [24] при 56441 .U,T ww == .

§ 4 Изменение со временем знака потока энергии, передаваемой пластине

Задача Рэлея (1-4) решена в [29] методом прямого статистического

моделирования. При этом целью [29] была демонстрация эффективности метода и

сравнение результатов c [13]. Основное внимание в [29] было уделено

распределению макроскопических величин: плотности, скорости, температуры.

35

Целью данной работы является исследование изменения со временем потока

энергии yE , передаваемой пластине, напряжения трения на пластине xyp и потока

нормального импульса, передаваемого пластине yyp , при различных температурах

и скоростях пластины.

2 2 2

0, где

( )( ) ,

2x y z

y y x y zy


=

+ += − =∫ V V V

.d)(fvmvp,d)(fvmvp yyyyyxxy VVVV 0y0y == ∫∫ −=−=

Пусть ε - нормированная на 2∞mc средняя энергия молекул, падающих на

стенку, в системе координат, связанной с пластиной.

2 2 20

0

20

0

( )

.2

y

y

x y z yv

yv

v v v f d

с f dε

=<

∞ =<

+ +

=∫

∫

V

V

На рис. 2.2a для различных значений wU приведены зависимости )(tε . Там же

пунктиром обозначена средняя энергия отраженной молекулы we . Для получения

этих и последующих результатов использовалась программа расчета задачи Рэлея

методом прямого статистического моделирования из монографии [29].

Обозначим )(tpx и )t(py абсолютные величины средних значений

горизонтальной и вертикальной компонент импульса молекул перед ударом о

пластину в системе координат, связанной с пластиной.

0 00 0

0 00 0

, .y y

y y

x yy yv v

x y

y yv v

v f d v f d

p pс f d с f d

= =< <

∞ ∞= =< <

= =∫ ∫

∫ ∫

V V

V V

36

Зависимости ( )yp t и ( )xp t приведены на рис. 2.2b и рис. 2.2с. Отметим, что

импульс нормирован на ∞mc .

Обозначим ( )N t абсолютную величину нормированного на ∞∞cn потока

молекул на пластину в системе координат, связанной с пластиной.

00

.y

y yv

v f d

Nn с

=<

∞ ∞

=∫ V

Зависимость ( )N t приведена на рис. 2.2d.

При 1<<t течение Рэлея является свободномолекулярным. Используя

значения соответствующих свободномолекулярных величин нетрудно получить

что

21)0(

2wU

+=ε , (0)x wp U= , (0)2yp p

= , 1(0)

2N

p=

На рис. 2.3 приведены результаты расчетов изменения во времени потока

энергии, передаваемой пластине, абсолютной величины потока нормального

импульса, передаваемого пластине и абсолютной величины напряжения трения,

обезразмеренных на соответствующие свободномолекулярные значения,

E = ,))1(2(4123 −

∞∞ −+ wwy TUcE ρp

1)0( =E при ),1(22ww TU −>

1)0( −=E при ),1(22ww TU −<

xyP =122 ,xy wp с Up ρ

−

∞ ∞

yyP = ( )[ ] 12 14−

∞∞ + wyy Tcp ρ

(0) (0) 1xy yyP P= =

37

Рисунок 2.2. Средняя энергия (a), абсолютное значение среднего нормального

импульса (b) абсолютное значение среднего горизонтального импульса (c) и

абсолютное значение потока (d) падающих молекул при 4=wT , 0y = .

Как следовало ожидать и как видно из рис. 2.2a, при достаточно больших скоростях

пластины средняя энергия молекулы, попадающей на стенку, вследствие

торможения потока газа первоначально убывает.

38

(a) energy flux

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0,01 0,1 1 10 100

t

EU=0

Uw=1.5

Uw=2.2

Uw=2.6

Uw=3.5

Рисунок 2.3. Поток энергии, передаваемый пластине (a); абсолютное значение

потока нормального импульса, передаваемого пластине (b); абсолютное значение

напряжения трения (c); 4=wT .

Если wTt >)(ε при любых t , то и 0)( >tE , поскольку )(tE пропорционален

[ ( ) ] ( )wt T N tε − . Если при этом )(tN убывает или возрастает недостаточно быстро

для того, чтобы скомпенсировать уменьшение wTt −)(ε , то зависимость

)(tE является монотонно убывающей. Как видно из рис. 2.2a, рис. 2.2d и рис. 2.3a

при 4=wT и 53.Uw = реализуется именно эта ситуация. Отметим, что в навье-

39

стоксовском пределе (при ∞→t ) )t(E стремится к нулю пропорционально 2/1−t

[48]. При 6.2=wU , как видно из рис. 2.2a и рис. 2.3a , wT>)0(ε , но, начиная с

некоторого момента 0t , средняя энергия падающих молекул становится меньше wT

и в результате зависимость )(tE меняет знак. Нагрев пластины сменяется ее

охлаждением. В дальнейшем поток энергии передаваемой пластине достигает

своего отрицательного минимума, а затем, оставаясь отрицательным начинает

возрастать из-за нагревания газа, стремясь к нулю при ∞→t .

Как видно из рис. 2.3a рассматриваемый эффект реализуется, если 2wU

превышает )1(2 −wT и это превышение невелико (в данном случае в пределах

десятков процентов).

Рассматриваемый эффект не реализуется при

21)0(

2w

wUT +=> ε .

Найденный в данной диссертации в задаче Релея нестационарный эффект

перехода от нагревания пластины к ее охлаждению имеет стационарный аналог:

эффект перемены знака потока энергии в задаче Куэтта при изменении числа

Кнудсена [35]. Однако в задаче Куэтта кинетический эффект, возникает при

изменении параметров, в то время как в задаче Рэлея никаких параметров менять

не надо – эффект развивается во времени. Поскольку характерный размер

течения пропорционален τ , роль изменяющегося числа Кнудсена в задаче Рэлея

играет t/1 .

Если wT<)0(ε то 0)( <tE при любых t . При 2.2=wU , как видно из

рис. 2.2a и рис. 2.2d, первоначально )(tε из-за торможения молекул

уменьшается, а )(tN возрастает. В результате )())(( tNTt w−ε возрастает, и

охлаждение пластины усиливается. Затем вследствие нагревания газа пластиной

)(tE , как видно из рис. 2.3a, достигает минимума и в дальнейшем возрастает,

также стремясь к нулю при ∞→t .

40

Рассмотрим теперь случай когда wT<)0(ε и при этом скорость пластины

настолько мала, что после столкновений с «горячими» отраженными молекулами

средняя энергия падающей молекулы со временем возрастает, а поток падающих

молекул (равный потоку отраженных) возрастает достаточно медленно (или

убывает), то )(tE , оставаясь меньше нуля, монотонно возрастает. Как видно из

рис. 2.2a и рис. 2.3a это происходит при 5.1=wU и при 0=wU (неподвижная

нагретая пластина).

§ 5. Монотонность и немонотонность потока нормального импульса и

напряжения трения в различных режимах течения

Теперь мы рассмотрим характер зависимостей )(tPyy и )(tPxy . Если sU

порядка wc или больше, где 2w sc RT= , тогда в результате столкновений

падающих и отраженных молекул значительная часть падающих молекул

приобретает направленную в сторону пластины нормальную составляющую

скорости порядка sU . Это, как видно из рис. 2.2b, приводит к значительному

возрастанию )(tpy . Из того, что при этом поток молекул, падающих на пластину,

возрастет незначительно, а затем убывает (рис. 2.2d), можно сделать вывод, что

плотность газа из падающих на стенку молекул сильно уменьшается. Это вывод

подтверждается значительным уменьшением общей плотности газа вблизи

пластины, вызванным его расширением в ходе начавшейся термализации.

Поскольку )(tPyy пропорционален [ ( ) / 2] ( )y wp t T N tp+ , одновременный

рост )(tpy и )(tN приводит первоначально к значительному возрастанию

абсолютной величины потока нормального импульса, передаваемого пластине

)(tPyy .

41

Абсолютная величина напряжения трения )(tPxy пропорциональна ( ) ( )xp t N t .

В результате торможения газа, как видно из рис. 2.2с, ( )xp t уменьшается. С другой

стороны )(tN иногда возрастает. Однако этого возрастания во всех случаях,

рассмотренных на рис. 2.2 и рис. 2.3, оказывается недостаточно для возрастания

)(tPxy и абсолютная величина напряжения трения монотонно убывает. Падение

плотности газа приводит к тому, что через некоторое время сначала )(tN , а потом

и )(tPyy , достигнув своих максимальных значений, начинают монотонно убывать.

Отметим, что, как видно из рис. 2.3c, зависимости напряжения трения от

времени, нормированные на свои свободномолекулярные значения, для скоростей,

принадлежащих диапазону 2.35.1 ≤≤ wU , с графической точностью совпадают.

Расчеты показывают, что это утверждение справедливо и при меньших

значениях wU . Ситуация аналогична той, что имеет место для зависимости

нормированного напряжения трения от числа Кнудсена в задаче Куэтта при

изменении числа Маха пластины, как параметра [19].

На рис. 2.4 для 6.2;4 == ww UT приведены распределения по оси y

плотности и температуры, а также горизонтальной и вертикальной составляющих

скорости газа в системе координат, связанной с невозмущенным газом. Кривые

аналогичны, приведенным в [29] для 2;6.1 == ww UT . Как видно из графиков в

течении возникает контактный разрыв, перед которым бежит ударная волна.

Во всех рассмотренных на рис. 2.3c случаях напряжение трения )(tPxy

монотонно убывает. Как отмечалось выше, это связано с тем, что возрастание )(tN

оказывается недостаточным для роста )(tPxy . Увеличение )(tN возможно при

возникновении мощного потока молекул в сторону пластины. Такой поток

возникает при wс c∞>> , т.е. при 1wT >> (и любых значениях wU ) в результате

формирования возвратного потока молекул.

42

Рисунок 2.4. Распределение плотности (a), температуры (b), горизонтальной (c)

и вертикальной (d) составляющих скорости газа при 4 , 2.6w wT U= = .

На рис. 2.5 приведены зависимости )(tε , )(tpy , )(tpx , и )(tN при 30=wT и

различных значениях wU . Соответствующие зависимости )(tPyy , )(tPхy

и )(tE приведены на рис. 2.6 .

43



абсолютное значение потока (d) падающих молекул; 30wT = , 0y = .

Как видно из графиков (см. рис. 2.5d, 2.6b and 2.6c) первоначальный рост

)(tN оказывается в рассмотренных случаях достаточно сильным не только для

возрастания )(tPyy , но и для роста )(tPxy .

44

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.01 0.1 1 10 100

E

t

(a) energy flux Uw=7

Uw=8

Uw=12



напряжения трения (c); 30wT = .

Сильный поток молекул в сторону стенки возникает также при 1>>wU (и

любых значениях wT ) в результате поворота значительной части молекул в

сторону стенки. Зависимости )(tN , )(tPyy и )(tPxy для 25.0=wT при различных

wU приведены на рис. 2.7. Как видно из графиков при 25=wU зависимость

)(tPxy имеет максимум.

45



напряжения трения (c); 25.0=wT .

Во всех рассмотренных выше случаях зависимость )(tPyy имеет максимум.

Однако это не всегда так. Если 1wT < и wU достаточно мало, )(tPyy может

монотонно возрастать. Зависимости )(tpy , )(tpx , )(tε , )(tN и )(tPyy , )(tPxy , )(tE

приведены на рис. 2.8 и 2.9 при 25.0=wT и 3≤wU .

46



абсолютное значение потока (d) падающих молекул при 25.0=wT , 0y = .

47

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.01 0.1 1 10 100

E

t

(a) energy flux Uw=0

Uw=1

Uw=2

Uw=3



напряжения трения (c); 25.0=wT .

Как видно из рис. 2. 1b, 2.1d, 2.2b и рис. 2.8b, 2.8d, 2.9b зависимости )(tpy ,

)(tPyy и )(tN выглядят по-разному при 25.0=wT и при 4=wT , если wU достаточно

мала. Рассмотрим поведение этих функций при 25.0=wT .

48

При 0=wU как и при 1=wU из-за охлаждения газа, которое при этих скоростях

не компенсируется термализацией, )(tpy монотонно убывает. С увеличением

скорости эффект от упомянутого выше разворота потока при столкновениях молекул

обтекающих пластину с отраженными молекулами возрастает. В результате, как

видно рис. 2.8b, при 2wU ≥ функция )(tpy начинает расти, а затем из-за охлаждения

газа убывает, после достижения максимума. Отметим, что, несмотря на уменьшение

нормальных составляющих скоростей падающих молекул, их поток )(tN из-за

увеличения плотности газа при охлаждении монотонно возрастает во всех трех

случаях (см. рис. 2.8d). Увеличение )(tN является достаточно сильным, чтобы

)(tPyy монотонно возрастал и при 0=wU и при 1=wU . При 2=wU , как видно из

рис. 2.9b, рост )(tN и уменьшение )(tpy компенсируют друг друга, начиная с

10≈t , и значение )(tPyy при 10>t (в рассмотренном на рис. 2.9b диапазоне)

остается почти неизменным. Дальнейшее увеличение скорости пластины приводит к

тому, что начиная с некоторого момента времени рост )(tN перестает

компенсировать убывание )(tpy . В результате ,как видно на рис. 2.9b при 3=wU ,

у зависимости )(tPyy возникает максимум.

Как видно из рис. 2.9a и 2.9c зависимости )(tQ и )(tPxy при 25.0=wT и 3≤wU

монотонно убывают. Заметим, что зависимости )(tPxy при 25.0=wT и 3≤wU почти

также близки друг к другу на рис. 2.9c как рис. 2.2c при 4wT = .

Отметим, что при 1>>wU ряд зависимостей и, прежде всего, )(tPyy изменялись

на свою величину уже при wUt /1≅ . Это связано с тем, что при 1>>wU в газе

можно выделить два сорта молекул с существенно различающимися средними

скоростями. Молекулы, идущие от пластины, будем считать молекулами сорта 1

49

(«медленными» молекулами), а набегающие (в системе координат связанной с

пластиной) молекулы,– молекулами сорта 2 («быстрыми» молекулами). Среднее

время между столкновениями молекул различных сортов wUt /112 ≈ . При этом

средние времена между столкновениями молекул одного сорта 111 ≈t и 122 ≈t .

Поскольку 1112 tt << и 2212 tt << , то 12t как наименьшее и определяет скорость

изменений рассматриваемых физических величин. Аналогичная ситуация имеет

место в случае 1wT >> и wU порядка единицы. В этом случае роль «быстрых»

молекул играют молекулы, отраженные пластиной, а роль «медленных» - падающие

на пластину молекулы.

§ 6. Неподвижная внезапно нагретая пластина: потоки энергии и импульса

Рассмотрим, теперь, случай, сильно нагретой пластины: 1wT >> , 0=wU .

На рис. 2.10 и 2.11 приведены зависимости )(tpy , )(tε , )(tN , )(tPyy и )(tQ при

различных значениях температур поверхности. Как видно из графиков, вследствие

термализации при нагреве окружающего газа )(tpy монотонно возрастает при всех

трех температурах. Поток падающих на стенку молекул )(tN при 10=wT монотонно

убывает, стремясь к своему навье - стоксовскому значению, а при 20=wT и при

40=wT имеет локальный максимум. Это означает, что при 20=wT и при 40=wT

первоначальное возрастание модуля средней нормальной составляющей скорости

падающих молекул оказывается более сильным, чем вызванное тепловым

расширением уменьшение плотности газа падающих молекул.

50

Рисунок 2.10. Абсолютное значение среднего нормального импульса (a),

средняя энергия (b), и абсолютное значение потока (d) падающих молекул при (c)

при 0=wU .

Как видно из рис. 2.10с и 2.11а, )(tPyy вначале возрастает даже при 10=wT . Это

означает, что при 10=wT первоначальное убывание )(tN оказывается более

медленным, чем первоначальное возрастание )(tpy .

51

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00.01 0.1 1 10 100

E

t

(b) energy flux

Tw=10

Tw=20

Tw=40

Рисунок 2.11. Абсолютное значение потока нормального импульса,

передаваемого пластине(a) и поток энергии, передаваемый пластине (b); 0=wU .

Как и следовало ожидать wTt −)(ε с увеличением температуры убывает.

Поскольку )(tN при 10=wT также убывает, то и )(tE убывает. При 20=wT поток

падающих молекул )(tN первоначально возрастает. Однако этого возрастания

недостаточно: зависимость )(tE остается монотонно убывающей. Однако при

40=wT первоначальное возрастание )(tN оказывается настолько сильным, что

у )(tE образуется максимум, т.е. вначале скорость нагрева окружающего газа

возрастает, а затем уменьшается, стремясь к нулю при ∞→t . Сравнивая рис. 2.3a

и рис. 2.11b, можно сделать вывод, что увеличение скорости движущейся пластины

при )1(22 −< ww TU приводит из-за роста )(tN к тем же качественным результатом,

что и увеличение относительной температуры неподвижной пластины.

Во всех проведенных при 1>wT расчетах зависимость )(tPyy имела

максимум, в отличие от )(tPxy и )(tE , которые при некоторых значениях wU

были монотонны. По-видимому, если температура поверхности больше

52

температуры невозмущенного газа, поток нормального импульса, передаваемый

пластине, )(tPyy имеет максимум при любых скоростях.

Таким образом, во второй главе диссертации исследованы различные

режимы задачи Рэлея для разреженного газа и обнаружено, что при

соответствующих значениях параметров пластины и газа:

1. В определенный момент после начала движения пластины ее нагрев

окружающим газом сменяется на охлаждение. При этом

соответствующая зависимость потока энергии, передаваемой пластине,

имеет отрицательный локальный минимум.

2. Поток нормального импульса, передаваемого пластине при всех

использовавшихся в расчетах значениях скорости и температуры

пластины либо монотонно возрастает, если температура пластины

меньше температуры невозмущенного газа, либо имеет максимум, если

температура пластины больше температуры невозмущенного газа.

3. Зависимость от времени потока энергии, передаваемой пластине и

зависимость от времени напряжения трения имеют локальные

экстремумы при соответствующих значениях скорости и температуры

пластины.

Рассматриваемые эффекты немонотонности напряжения трения, потока

нормального импульса и потока энергии имеют стационарные аналоги:

соответствующие эффекты при гиперзвуковом обтекании пластины [6,7], в

гиперзвуковом течении Куэтта [21, 33, 35,36] и в задаче о теплопроводности

между пластинами [34,35], возникающие при изменении числа Кнудсена.

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что

рассматриваемые неравновесные кинетические эффекты имеют место и для более

широкого круга нестационарных течений, возникающих при очень резком

изменении скорости и (или) температуры обтекаемых тел. А именно, в тех

случаях, когда скорость тела меняется на свою величину за время меньше или

порядка ∞∞ RT2/λ . Другим ограничением является требование , где 1<<∞ D/λ

53

- характерный линейный размер тела. В этом случае 1−t в процессе перехода

возникающего свободномолекулярного течения в навье-стоксовское будет играть

роль числа Кнудсена.

D

54

ГЛАВА III. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА КУЭТТА С ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ

ДЛЯ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

§ 1. Постановка задачи.

Обобщением задачи Рэлея и стационарной задачи Куэтта является

нестационарная задача об установлении течения Куэтта. В этой задаче

происходит трансформация нестационарного течения, возникающего в задаче

Рэлея, в стационарное течение Куэтта. В такой задаче должны проявляться

кинетические эффекты обоих течений. Исследованию их взаимного влияния в

нестационарном течении Куэтта посвящена данная работа.

Рассмотрим бесконечный слой газа между двумя параллельными плоскостями

0y = и y L= , заполненный покоящимся газом с плотностью ∞ρ и температурой

∞T . Пусть температура диффузно отражающей плоскости y=0 и ее скорость

изменяются со временем τ по ступенчатому закону

,u)()(u~,T)()(Т~ ssss 1111 τθττθτ == где )(τθ - функция Хевисайда.

Скорость пластины направлена вдоль оси x. Оси x и y образуют декартову систему

координат.

Температура и скорость диффузно отражающей плоскости y L= изменяются

аналогично

.u)()(u~,T)()(Т~ ssss 2222 τθττθτ ==

В дальнейшем без ограничения общности будем считать, что

2 1s su uα= , где α−∞ < < +∞

Для исследования возникающего в нестационарной задаче Куэтта течения

необходимо решить уравнение Больцмана для функции распределения молекул

),( ffJyfvf

y =∂∂

+∂∂

τ (3.1)

55

с начальными условиями

0,0,2

exp)2(222

2/3 =<<

++−=

∞

−∞∞ τp Ly

RTvvv

RTnf zyx (3.2)

и граничными условиями

0,0,2)(

exp)2(1

22212/3

11 =>

++−−= − yv

RTvvuv

RTnf ys

zysxsr p (3.3)

LyvRT

vvuvRTnf y

s

zysxsr =<

++−−= − ,0,

2)(

exp)2(2

22222/3

22 p . (3.4)

Здесь ),( ffJ – интеграл столкновений молекул [6]; xv , yv , zv – декартовы

компоненты скорости молекул; параметры функции распределения отраженных

молекул nr1 и nr2 находится из условия баланса падающих и отраженных молекул;

В расчетах используется модель молекул «твердые сферы». В этом случае длина

свободного пробега 12 −∞∞ = )n( Tσλ , где Tσ - сечение столкновения молекул,

∞n - числовая плотность невозмущенного газа.

В дальнейшем при решении задачи будут использоваться безразмерные

величины

,c/uU,c/uU,T/TT,T/TT,T/TT swswswswsw ∞∞∞∞∞ ===== 2211222211

L/Kn,/ct,/yY ∞∞∞∞ =⋅== λλτλ , где ∞∞ = RTc 2 , R – газовая постоянная.

§ 2. Метод численного решения

Для решения задачи Релея в [29] моделируемое физическое пространство

разделяется на полосы-ячейки шириной y∆ . Изменение параметров потока внутри

полосы считается малым. В начальный момент времени 0=τ , моделирующие

молекулы располагаются в физическом пространстве в соответствии с

56

максвелловской функцией распределения. Моделируемый процесс происходит

следующим образом:

1) За время τ∆ все моделирующие молекулы перемещаются в соответствии с их

скоростями. Если молекулы достигают пластины, их скорости меняются в

соответствии с граничными условиями на соответствующей пластине (3.3,3.4).

2) В ячейках моделируются столкновения между молекулами. Число столкновений

за время τ∆ должно быть равно числу столкновений в газе. Соответствующий

алгоритм детально описан в [29]. Макропараметры газа вычисляются по известным

скоростям молекул в ячейках. Импульс и энергия на пластине вычисляются по

скоростям падающих и отраженных молекул.

Шаг за шагом увеличивая время, можно проследить эволюцию рассматриваемой

динамической системы. Для уменьшения статистической погрешности данную

процедуру необходимо многократно повторять.

Расчет нестационарной задачи Куэтта (3.1 – 3.4) методом прямого статистического

моделирования в данной работе был произведен на основе приведенной [29]

программы расчета задачи Рэлея. Изменения в программе коснулись только

граничных условий. Зеркальное отражение молекул на внешней границе было

заменено в соответствии с (3.4) на диффузное отражение пластиной, движущейся

по закону )(u~s τ2 . В данной работе при различных значениях скоростей,

температур пластин и чисел Кнудсена исследовались зависимости от времени

потока энергии, передаваемой нижней пластине yE , а также потоков

горизонтального xyp и нормального yyp импульса, передаваемого нижней пластине.

2 2 2

0, где

( )( ) ,

2x y z

y y x y zy


=

+ += − =∫ V V V

0 0, .( ) ( )xy x y yy y yy y

p mv v f d p mv v f d= =

= − = −∫ ∫V V V V

Размеры ячейки обычно составляли / 5λ∞ . Число молекул в ячейке

равнялось 200, а шаг по времени τ∆ варьировался от 0.02 / cλ∞ ∞⋅ до 0.2 / cλ∞ ∞⋅ .

57

Число повторений процедуры расчета обычно равнялось 5000-10000. Точность

расчетов, определяемая статистической погрешностью, в основном не превышала

нескольких процентов.


Проверка результатов расчетов устанавливающегося течения Рэлея

проводилась путем сравнения результатов расчетов распределений плотности,

температуры и компонент газа между пластинами, полученных методом ПСМ

при Kn=0.01 и результатов решения краевой задачи для уравнений Навье-Стокса

с граничными условиями скольжения [24]. Сравнение проводилось при t =260 , а

также при t=2000. Как видно из рис. 3.1, распределения параметров газа,

найденные обоими методами, весьма близки. На рис. 3.2 сравниваются

зависимости параметров газа от времени в фиксированных точках потока. Во всех

рассмотренных случаях кривые достаточно близки. Некоторые различия в

плотности и температуре при 0050.Y = возможно объясняются тем, что эта точка

находится внутри сильно неравновесного кнудсеновского слоя.

58

Рисунок 3.1. Сравнение распределений плотности, температуры,

горизонтальной и вертикальной составляющих скорости газа, полученных

методом ПСМ с решением краевой задачи для уравнений Навье-Стокса с

условиями скольжения [24] при 056441 2121 ==== U,.U,TT .

59

Рисунок 3.2. Сравнение распределений по времени плотности, температуры,

горизонтальной и вертикальной составляющих скорости газа, полученных

методом ПСМ с решением краевой задачи для уравнений Навье-Стокса с

условиями скольжения [24] при 056441 2121 ==== wwww U,.U,TT .

§ 5. Структура нестационарной задачи Куэтта

Численные расчеты проводились для 1α = − , то есть для случая 12 ww UU −= .

На рис. 3.3-3.5 приведены результаты расчетов изменения во времени потока

энергии передаваемой нижней пластине, абсолютной величины напряжения трения

60

и абсолютной величины потока нормального импульса, передаваемого нижней

пластине, обезразмеренных на соответствующие свободномолекулярные значения,

E = ,))1(2(4123 −

∞∞ −+ wwy TUcE ρp

1)0( =E при ),1(22ww TU −>

1)0( −=E при ),1(22ww TU −<

xyP =122 ,xy wp с Up ρ

−

∞ ∞ yyP = ( )[ ] 12 14−

∞∞ + wyy Tcp ρ ,

(0) (0) 1xy yyP P= = .

Положительное направление E выбрано в сторону пластины. Для потока

энергии, передаваемой нижней пластине, в стационарном течении Куэтта в

дальнейшем будет использоваться обозначение stE :

∞→=

tE(t)Est lim

Как видно из рис. 3.3 - 3.5 и, как и следовало ожидать, до тех пор, пока

возмущения от верхней пластины не доходят до нижней пластины, вид

зависимостей )(tE и )(tPхy , )(tPyy при у=0 полностью определяется путем решения

задачи Рэлея для заданных 1wU и 1wT [38]. Затем в результате взаимодействия двух

течений Релея, устанавливается стационарное течение Куэтта. Поскольку время

установления течения зависит от времени прохождения возмущения от одной

пластины до другой, то чем больше число Кнудсена, тем раньше наступает

переходный период и тем он короче.

Если число Кнудсена достаточно мало, то успевают проявиться присущие

задаче Рэлея (при соответствующих значениях 1wU и 1wT ) эффекты

немонотонности напряжения трения и нормального импульса, а также эффекты

перемены знака и немонотонности потока энергии, передаваемой пластине [38].

61

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a) energy flux

Kn=0.02

Kn=0.04

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a1) energy flux

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1

Рисунок 3.3. Поток энергии, передаваемый пластине, абсолютное значение

напряжения трения на пластине и абсолютное значение потока нормального

импульса, передаваемого пластине при 421 == ww TT и 41 =wU .

62

-3

0

3

6

9

12

15

18

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a) energy flux

Kn=0.02

Kn=0.04

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a1) energy flux

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1



импульса, передаваемого пластине при 421 == ww TT и 521 .U w = .

63

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a) energy flux Kn=0.02

Kn=0.04

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1

-2

0

2

4

6

8

10

12

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a1) energy flux

Kn=0.02

Kn=0.04

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1


напряжения на нижней пластине и абсолютное значение потока нормального

импульса, передаваемого пластине при 421 == ww TT и 21 =wU .

§ 6. Многократное изменение знака потока энергии

Как и в задаче Рэлея в нестационарной задаче Куэтта наиболее интересной для

исследования с точки зрения возможного проявления различных эффектов является

зависимость энергии, передаваемой пластине, от времени.

Нестационарное течение Куэтта при достаточно малых значениях t является

свободномолекулярным течением Релея. В этом случае направление потока

64

энергии, передаваемой нижней пластине, в момент 0t = зависит от соотношения

между 1wT и 1wU . Если

21

21

1w

wUT +> , (3.5)

то пластина начинает охлаждаться. Если

21

22

2w

wUT +< , (3.6)

то она начинает нагреваться.

В случаях, рассмотренных на рис. 3.3 и рис. 3. 4, пластина вначале

нагревается, а в случае, рассмотренном на рис. 3.5 она в начальный период времени

охлаждается. В случае, рассмотренном на рис. 3.4, при 1Kn = поток энергии,

передаваемый нижней пластине )(tE положителен при всех значениях t , хотя и

имеет минимум, вызванный началом перехода от течения Рэлея к стационарному

течению Куэтта. Уменьшение числа Кнудсена приводит к тому, что начало

перехода к стационарному течению Куэтта наступает уже после того, как

направление потока энергии в течении Рэлея поменяет знак. Дальнейший вид

зависимости )(tE зависит от направления потока энергии в соответствующей

стационарной задаче Куэтта. В случае, приведенном на рис. 3.4 0>stE . Это

приводит к тому, что направление потока энергии вновь меняет знак. Более того, в

процессе отражения волн, приходящих от верхней пластины, зависимость )(tE

может еще несколько раз поменять знак, пока окончательно не станет

положительной. Затем, как видно из рис. 3.4, она устремляется к стационарному

значению, испытывая небольшие колебания, вызванные чередованием быстро

затухающих формирующихся ударных волн и волн разрежения, приходящих от

верхней пластины.

Перемена знака потока энергии, предаваемой нижней пластине, происходит

и в случае 0)0( <E , 0>stE , приведенном на рис. 3.5. При этом в отличие от

предыдущего случая )(tE меняет знак при любых значениях числа Кнудсена.

65

Неоднократная перемена знака )(tE возможна и здесь, но лишь из-за биений

затухающих волн с малыми значениями амплитуд E , а не из-за перемены знака в

«рэлеевском» периоде течения.

§ 7. Классификация режимов нестационарного течения Куэтта

Как видно из рис. 3.3 – 3.5 характер зависимости )(tE существенным

образом зависит от знака E в момент 0t = и от знака E в соответствующем

стационарном течении Куэтта. Направление потока энергии, передаваемой нижней

пластине в этом течении зависит от соотношения между ( )211 ww UU − и 21 ww TT − , а

в некоторых случаях и от числа Кнудсена [35].

0>stE при )TT(1)-Pr(

CU ww2

pw 212

1 −>α

, (3.7)

)()( KnEsign st ϕ= при )TT(1)-Pr(

CU)TT(

)( ww2p

www 212

121212

−<<−− αα

, (3.8)

0<stE при )TT()(

U www 2122

1 12

−−

<α , (3.9)

где 5 / 2,Pr 2 / 3pC = =

Основываясь на характере поведения зависимостей потока энергии, передаваемой

нижней пластине, можно систематизировать режимы рассматриваемого

устанавливающегося течения Куэтта:

0,0)0(.1 >> stEE

)()(,0)0(.2 KnEsignE st ϕ=>

0,0)0(.3 <> stEE

0,0)0(.4 >< stEE

)()(,0)0(.5 KnEsignE st ϕ=<

0,,0)0(.6 << stEE

66

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a) energy flux

Kn=0.02

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=0.04

Kn=1

-10

-5

0

5

10

15

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a1) energy flux Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1


напряжения трения на нижней пластине и абсолютное значение потока нормального

импульса, передаваемого пластине при 25051 21 .T,.T ww == , 02511 .U w = .

Кроме того из режима «1» можно выделить режим «1a»:

0)0( >E , )(tE до некоторого числа Кнудсена, знакопеременна в рэлеевском

периоде течения, 0>stE .

Из режима «2» можно выделить режим «2а»:

0)0( >E , )(tE , знакопеременна в рэлеевском периоде течения, начиная с

некоторого числа Кнудсена, 0>stE только до определенного значения Kn .

67

По этой классификации результаты расчетов, приведенные на рис. 3.3, 3.4 и 3.11

соответствуют режиму «1», а приведенные на рис. 3.5 – режиму «4». Результаты

расчётов рассматриваемого нестационарного течения Куэтта для режима «2», «3»,

«5», «6» представлены на рис. 3.6 – 3.10.

Используя (5 – 9) можно изобразить эти режимы на плоскости ( 12

1 ww T,U ),

рассматривая 2wT и α в качестве параметров. При этом вид такой «карты» режимов

будет существенно зависеть от того 12 <wT или 12 >wT , а также от того какому из

интервалов

(0;1), (1; ), ( ; )2Pr 2Pr

p pC C+ ∞ (1.10)

принадлежит 1α − . Таким образом, в зависимости от значений 2wT и α «карта»

будет иметь один из шести возможных видов, представленных на рис. 3.12.

Отметим, что неоднократная перемена знака )(tE происходит в области «1»

вблизи границы между «1» и «2» при значениях числа Кнудсена достаточно малых,

чтобы )(tE успевало поменять знак в «рэлеевском» периоде течения.

Неоднократная перемена знака )(tE происходит в области «1» также вблизи

границы между «1» и «5», если число Кнудсена с одной стороны достаточно мало,

чтобы )(tE успевало поменять знак в «рэлеевском» периоде течения, а с другой

стороны достаточно велико, чтобы выполнялось условие 0>stE .

Кроме того неоднократная перемена знака )(tE может происходить и в более

широком диапазоне параметров нестационарного течения Куэтта из-за отражений

затухающих волн возмущений от верхней пластины. Как видно из рис. 3.5a, такая

многократная перемена знака )(tE происходит при 1<<Kn вблизи линии перемены

знака в навье-стоксовском режиме

)TT()Pr(

CU ww

pw 2122

1 1−

−=

α .

68

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a) energy flux

Kn=0.02

Kn=0.04

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1



импульса, передаваемого пластине при 2501 21 .T,T ww == , 701 .U = .

.

69

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a) energy flux

Kn=0.02Kn=0.04Kn=0.1Kn=0.2Kn=1



импульса, передаваемого пластине при 2501 21 .T,T ww == , 501 .U w = .

70

-1.1

-0.9

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.01 0.1 1 10 100 1000E

t

(a) energy flux

Kn=0.02Kn=0.04Kn=0.1Kn=0.2Kn=1Kn=10



импульса, передаваемого пластине при 24 21 == ww T,T , 0511 .U w = .

71

-1.1

-0.9

-0.7

-0.5

-0.3

-0.10.01 0.1 1 10 100 1000

E t

(a) energy flux

Kn=0.02

Kn=0.04

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1



импульса, передаваемого пластине при 24 21 == ww T,T , 701 .U w = .

72

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.01 0.1 1 10 100 1000

E

t

(a) energy flux

Kn=0.02

Kn=0.04

Kn=0.1

Kn=0.2

Kn=1


напряжения трения на нижней пластине и абсолютное значение потока нормального

импульса, передаваемого пластине при 250250 21 .T,.T ww == , 501 .U w = .

73

Рисунок 3.12. Схема режимов нестационарного течения Куэтта в плоскости ( 1

21 ww T,U ):

(a) ( ) 1101 2 <∈− wT,;α ; (b) ( ) 1101 2 ≥∈− wT,;α ;

(с) ( ) 15001 2 <⋅∈− wp T,Pr/C.;α ; (d) ( ) 15001 2 ≥⋅∈− wp T,Pr/C.;α ;

(e) ( ) 1501 2 <∞+⋅∈− wp T,Pr/C. ;α ; (f) ( ) 1501 2 ≥∞+⋅∈− wp T,Pr/C. ;α .

74

В данной работе рассчитывалось течение Куэтта при 1 2α − = , что

соответствует интервалу ( / (2 Pr); )pC + ∞ и, следовательно, рис. 3.12e при

12 <wT и рис. 3.12f при 12 ≥wT . Отметим, что зависимости напряжения трения

от времени, приведенные на рис. 3.3 – 3.5, рис. 3.9 и 3.10 , при одном и том же

значении Kn имеют сходный вид и существенно отличаются от

соответствующих зависимостей, приведенных на рис. 3.6 – 3.8. Аналогичная

ситуация имеет место и для потока нормального импульса. Это связано с тем, что

в случаях, рассмотренных на рис. 3.6 – 3.8 первоначально вблизи верхней

пластины формируется волна разрежения, а в случаях, приведенных на рис. 3.3 –

3.5, рис. 3.9 и 3.10 происходит взаимодействие формирующихся ударных волн.

Соответствующие зависимости для течения Куэтта, устанавливающегося в

результате взаимодействия двух формирующихся волн разрежения приведены на

рис. 3.11. Вид этих зависимостей также несколько отличается от вида

аналогичных зависимостей приведенных на рис. 3.3 – 3.10. Таким образом, если

для характера зависимости потока энергии, передаваемой пластине, наиболее

существенно к какому из режимов, изображенных на рис. 3.12, принадлежат

параметры нестационарного течения Куэтта, то для напряжения трения и для

потока нормального импульса, передаваемого пластине важно приводят ли

возникающие первоначально течения Релея к формированию ударных волн или

волн разрежения.

Зависимости рассматриваемых величин, приведенные на одном и том же

графике для различных значений чисел Кнудсена отличаются прежде всего

временем достижения соответствующего стационарного значения и количеством

биений, возникающих при малых числах Кнудсена. Следует также заметить, что,

как видно из рис. 3.3 – 3.11 , зависимости )(KnE , )(KnPхy , )(KnPyy при некоторых

фиксированных t немонотонны. Это связано как с немонотонностью по Kn

соответствующих стационарных зависимостей, так и с тем, что биения функций

имеют при различных Kn различную амплитуду и не совпадают по времени.

75

Рисунок 3.13. Распределения по оси y плотности и температуры, а также

горизонтальной и вертикальной составляющей массовой скорости при 421 == ww TT и 21 =wU .

76


горизонтальной и вертикальной составляющей массовой скорости при

25051 21 .T,.T ww == , 02511 .U w = .

На рис. 3.13 – 3.15 приведены распределения по оси y плотности ρ и

температуры T, нормированных на ∞ρ и ∞T , а также горизонтальной u и

77

вертикальной v составляющей массовой скорости, нормированной на ∞c , для всех

трех различных случаев формирования течения Куэтта из течений Рэлея.

Расстояние от пластины нормировано на ∞λ . Отметим, что во всех трех

случаях характер изменения горизонтальной скорости, в отличие от

характера изменения остальных параметров, примерно один и тот же.


горизонтальной и вертикальной составляющей массовой скорости при

250250 21 .T,.T ww == , 501 .U w = .

Анализируя полученные в третьей главе результаты, следует отметить

следующее. Рассматриваемое нестационарное течение Куэтта, образующееся в

78

результате взаимодействия двух течений Рэлея, тесно связано как с течением

Рэлея, так и со стационарным течением Куэтта. С первым оно просто совпадает

до тех пор, пока возмущения от одной из пластин не доходят до другой. Ко

второму она стремится по мере установления течения. Таким образом,

разворачивающиеся во времени кинетические эффекты, свойственные течению

Рэлея [38], свойственны и нестационарному течению Куэтта. С другой стороны

кинетические эффекты, проявляющиеся при параметрическом изменении числа

Кнудсена, присущие стационарному течению Куэтта[21,33, 35-37] свойственны в

различные моменты времени и нестационарному течению Куэтта. Однако

рассматриваемое нестационарное течение Куэтта, обладает также свойством,

которого нет ни у течения Рэлея, ни у стационарного течения Куэтта. И у того и у

другого течения поток энергии, передаваемой пластине, при уменьшении степени

разреженности газа может только один раз менять знак и только в определенном

направлении: плюс на минус. В отличие от указанных течений в нестационарном

течении Куэтта пластина может как нагреваться, так и охлаждаться. Более того

при определенных значениях параметров задачи имеет место неоднократное

изменение знака потока энергии, передаваемой пластине.

79

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной диссертации в широком диапазоне чисел Кнудсена

и температур пластин проведены расчеты трех задач динамики разреженных

газов: задачи о стационарном течении Куэтта, задачи о течении Рэлея и задачи о

нестационарном устанавливающемся течении Куэтта. Проведена классификация

различных режимов течений и проведены численные расчеты течения для

каждого режима. Обнаружены следующие кинетические эффекты:

1. Эффект перемены знака потока энергии, передаваемогй пластине, при

изменении числа Кнудсена в задаче Куэтта.

2. Эффект немонотонности потока нормального импульса при изменении

числа Кнудсена в задаче Куэтта.

3. Эффект перемены знака потока энергии, передаваемой пластине, через

некоторое время после начала движения пластины, в задаче Рэлея.

4. Эффект немонотонности по времени потока энергии, передаваемой

пластине, в задаче Рэлея.

5. Эффект немонотонности по времени напряжения трения в задаче Рэлея.

6. Эффект немонотонности по времени потока нормального импульса,

передаваемого пластине, в задаче Рэлея.

7. Эффект неоднократной смены знака потока энергии, передаваемой

пластине, в задаче об устанавливающемся течении Куэтта.

Результаты, полученные в данной диссертации, показывают, что

течениям Куэтта и Рэлея присущи многие эффекты динамики разреженных

газов, связанные с изменением степени разреженности газа (числа

Кнудсена). Следовательно, задачи Куэтта и Рэлея могут быть широко

использованы при изучении указанных эффектов в соответствующих

разделах курсов «Динамики разреженных газов» в высших учебных

заведениях.

80

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Паттерсон Г.Н., Молекулярное течение газов. М.: Гос. изд. физ-мат.

лит.. 1960. 272 с.

2. Prandtl L., and Tietjens O. G., Applied Hydro- and Aeromechanics, Dover

Publications, Inc., New York, NY, 1957.

3. Karr G. R., and S. M. Yen, "Aerodynamic Properties of Spinning Convex Bodies

in a Free Molecule Flow, in "Proceedings of the Seventh International

Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Vol. 1, ed. by Dino Dini, Editrice

Tecnico Scientifica, Pisa, Italy, p. 339, 1970.

4. Горелов С. Л., Термофорез и фотофорез в разреженном газе// Изв. АН

СССР. МЖГ. 1976. №6. С. 178.

5. Knudsen M., Die Gesetze der Molekularstrӧmung und der inneren

Reibungsstrӧmung der Gase durch Rӧhren //Ann. der Physik. V. 333. 1. p. 75

(1909).

6. Коган М.Н., Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.440 с.

7. В.Н. Гусев, А.И. Ерофеев, Т.В. Климова, В.А. Перепухов, В.В. Рябов,

А.И. Толстых, Труды ЦАГИ. Вып. 1855. 1977.

8. Фридлендер О.Г., Теплопередача в сильно разреженном газе// Изв. АН

СССР. МЖГ. 1980. №1. С.195.

9. E.P. Gross, E.A. Jackson , “Kinetic theory of the impulsive motion of an infinite

plane,” Phys. Fluids, 1, 318 (1958).

10. J. E. Broadwell, “Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method,”

J. Fluid Mech., 19, 401 (1964).

81

11. L.Trilling, “Asymptotic Solution of the Boltzmann Krook Equation for the

Rayleigh Shear Flow Problem,” Phys. Fluids 7, 1681 (1964).

12. D. P. Giddens and A. B. Huang, "Rayleigh's problem at low Mach numbers

based on kinetic theory." AIAA Journal, Vol.5, No. 7 (1967), p. 1354.

13. C.K. Chu, “The high Mach number Rayleigh problem according to the Krook

model,” in Proceedings of 5th International Symposium on Rarefied Gas

Dynamics, edited by C.L. Brundin (Academic Press, New York, 1967), p. 589.

14. J. Fan, C. Shen, “Statistical Simulation of Low-Speed Rarefied Gas Flows,”

Journal of Computational Physics, 167, 393 (2001).

15. C. Shen, Z. Yi, “Direct Numerical Test of the B-G-K model Equation by the

DSMC Method,” Acta Mechanica Sinica (English Series), 16, No.2, 133 (2000).

16. Gross E.P., Ziering S., Phys. Fluids 1, 215 (1958).

17. M. Perlmutter, “Analysis of Couette flow and heat transfer between parallel

plates enclosing rarefied gas by Monte Carlo,” in Proceedings of 5th

International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, edited by C.L. Brundin

(Academic Press, New York, 1967), v. 1, p. 455.

18. Ziering S., "Shear and heat flow for Maxwellian molecules," Phys. Fluids 3, 503

(1960).

19. C-Y. Liu, L. Lees, “Kinetic Theory Description of Plane Compressible Couette

Flow”, in Rarefied Gas Dynamics (Advanced in Applied Mechanics, Supplement

1), ed. L. Talbot (Academic Press, New York, 1961), p. 391.

20. A.B. Huang and D. L. Hartley, “Nonlinear rarefied Couette flow with heat

transfer,” Phys. Fluids, 11, 1321 (1968).

82

21. Шахов Е.М., Задача Куэтта для обобщенного уравнения Крука.

Эффект максимума напряжения// Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. №5.

С.16.

22. M. P. Srivastava, and J. R. Jagdish, “Non-linear Couette flow with heat transfer

using the B-G-K model,” ZAMP, 22, No. 3, 542 (1971).

23. P.S. Manocha, “Heat transfer in plane Couette flow of a rarefied gas,” Journal of

Engineering Mathematics 7, No. 1, 7 (1973).

24. S. Stefanov, P. Gospodinov, C. Cercignani, “Monte Carlo simulation and

Navier–Stokes finite difference calculation of unsteady-state rarefied gas flows,”

Phys. Fluids 10, 289, (1998).

25. J. H. Park, P. Bahukudumbi, and A. Beskok, “Rarefaction effects on shear driven

oscillatory gas flows: A direct simulation Monte Carlo study in the entire

Knudsen regime,” Phys. Fluids, 16, 317 (2004).

26. N.G. Hadjiconstantinou, “Oscillatory shear-driven gas flows in the transition and

free-molecular flow regimes,” Phys. Fluids 17, 100611 (2005).

27. F. Sharipov, D. Kalempa, “Oscillatory Couette flow at arbitrary oscillation

frequency over the whole range of the Knudsen number,” Microfluid Nanofluid,

4, 363 (2008).

28. Aristov V.V., Frolova A.A., Zabelok S.A., Kolobov V.I., “Kinetic Effects for

Couette Flows with Oscilating Walls,” in Rarefied Gas Dynamics-2008, 26th

International Symposium, edited by T. Abe (American Institute of Physics,

Melville, NY, 2009), p. 1117.

29. Берд Г., Молекулярная газовая динамика. М.: Мир. 1981. 320 с.

83

30. G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics and Direct Simulation of Gas Flows (Oxford

University Press, Oxford, 1994).

31. C. Cercignani, Rarefied Gas Dynamics. Cambridge Texts in Applied

Mathematics (Cambridge University Press, Cambridge, 2000).

32. C. Shen, Rarefied Gas Dynamics. Fundamentals, Simulations and Micro

Flows (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005).

33. K. Rebrov, P. A Skovorodko, "An Improved Sampling Procedure in DSMC

Method," in Rarefied Gas Dynamics-1996, 20th International Symposium

Proceedings, edited by C. Shen (Peking University Press, Beijing, China, 1997),

p. 215.

34. P. A. Skovorodko, "Some Features of the Plane Couette Flow," in Rarefied Gas

Dynamics-2000, 22nd International Symposium, edited by T. J. Bartel and M. A.

Gallis (American Institute of Physics, Melville, NY, 2001), p. 182.

35. А. А. Абрамов, А. В. Бутковский, Эффекты немонотонности и

изменения знака потока энергии в переходном режиме в задаче Куэтта

с теплопередачей//Изв. РАН. МЖГ. 2010. №1. с.67.

36. А. А. Абрамов, А. В. Бутковский, Эффекты немонотонности потока

энергии и нормального импульса в переходном режиме в задаче Куэтта при

больших числах Маха // ТВТ, 48, №2, 274 (2010).

37. А. А. Абрамов, А. В. Бутковский, Режимы течения Куэтта с

теплопередачей в разреженном газе, ЖЭТФ, т. 143, в. 6, 1202 (2013).

84

38. A.A. Abramov, A.V. Butkovskii, “On the Rayleigh Problem in the transitional

regime: The sign change effect of the energy flux and other effects,” Phys. of

Fluids, 26, 077101 (2014).

39. А. А. Абрамов, А. В. Бутковский, Изменение знака потока энергии и

эффекты немонотонности в задаче Куэтта при переходе от

сплошносредного режима к свободномолекулярному. Избранные труды.

Шестые Поляховские чтения. Международная конференция по механике.

31 января – 3 февраля 2012 г. Санкт-Петербург, Россия. М.: Издатель

И.В. Балабанов, 2012, с. 145.

40. A.A. Abramov and A. V. Butkovsky, “ The sign change effect of the energy flux

and other effects in the transitional regime for the Couette problem,” in

Proceedings of 28th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, edited

by M. Mareschal and A. Santos (American Institute of Physics, Melville, NY,

2012), p. 123, AIP Conf. Proc. 1501, 123 (2012).

41. Мусанов С.В., Фридлендер О.Г., Теплопередача в сильно разреженном

газе// Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика:

Тр. ЦАГИ. 1981. Вып.2111. С. 36.

42. Александров В.Ю., О немонотонной зависимости теплопередачи от

перепадов температур // ТВТ. 1984. т. 22. №2. С. 363.

43. О.М. Белоцерковский, В.Е. Яницкий ЖВМ и МФ, Статистический

метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного

газа ч.1,2.//Ж. вычисл. математики и мат. физики. Т.15. №5. С.1195.

№6. С.1553 (1975).

85

44. А.А. Абрамов, О вычислении макропараметров в методе прямого

статистического моделирования Монте-Карло. //Докл. АН СССР.

Т.271. №2. С.315-318 (1983).

45. Шидловский В.П., Введение в динамику разреженного газа. М.: Наука,

1965. 218с.

46. И. Н. Ларина, В.А. Рыков, Численное исследование течения Куэтта на

основе нелинейно-неравновесной кинетической модели уравнения

Больцмана для одноатомного газа. ЖВМ и МФ, 54, №4. С. 686 (2014).

47. А.А. Абрамов, Н.К. Макашев, О совместном влиянии гетерогенных и

газофазных реакций на величину потока тепла к поверхности //Уч. зап.

ЦАГИ. Т.10. №5. С.35-42. (1979).

48. G. G. Stokes, Sir “On the effect of the internal friction of fluids on the motion of

pendulums,” Trans. Cambridge Phil. Soc. 9, Part II, 8 (1851).

49. Lord Rayleigh, “On the Motion of Solid Bodies through a Viscous,” Phil. Mag.

21, Ser. 6, 697 (1911).

50. L. H. Howarth, “Some aspects of Rayleigh’s problem for a compressible fluid,”

Quart. J. Mech. Appl. Math. 4, Part 2, 157 (1951).

51. M.D. Van Dyke, “Impulsive motion of a flat plate in a viscous compressible

fluid,” Z. Angew. Moth. Phys. III, 343 (1952).

52. K. N. Stewartson, “On the impulsive motion of a flat plate in a viscous fluid,”

Quart. J. Mech. Appl. Math. 4, Part 2, 182 (1951).

Documents

· 2 . ОГЛАВЛЕНИЕ. ВВЕДЕНИЕ 3 . Гл. I. ЗАДАЧА КУЭТТА С ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ 10 § 1. Постановка