Лекц 5

1. • Хоёрлосон интегралын тодорхойлолт ба чанар.

• Хоёрлосон интегралыг бодох.

• Хоёрлосон интегралд хувьсагчийг солих.

• Туйлын координатын системд хоёрлосон интегралыг бодох.

• Хоёрлосон интегралын хэрэглээ.

1

Хоёрлосон интеграл

OXY хавтгайн битүүD муж дээр z = f(x, y) гэсэн тасралтгүй функц тодорхойлогдсон

байг. D мужийг дурын аргаар s1, s2, . . . , sn гэсэн n хэсэгт хувааж, тэдгээрийн

талбайг харгалзан ∆s1,∆s2, . . . ,∆sn гэж тэмдэглье.

Дураар Pk = (xk, yk) цэгийг sk хэсгүүдээс авч

Sn =

n∑

k=1

f(xk, yk)∆sk

интеграл нийлбэрийг зохиосон гэвэл sk хэсгийн диаметр dk → 0 үеийн интеграл

нийлбэр D мужийг хуваасан арга ба Pk цэгийн сонголтоос үл хамааран төгсгөлөг

хязгаартай бол уг хязгаарыг z = f(x, y) функцийн D муж дээрхи хоёрлосон

интеграл гэнэ.

2

Хоёрлосон интегралыг∫ ∫

D

f(x, y)dxdy (1)

гэж тэмдэглэнэ. Ө.х байна.∫ ∫

D

f(x, y)dxdy = limdk→0

n∑

k=1

f(xk, yk)∆sk

Хоёрлосон интегралын тодорхойлолтоос дараах чанарууд мөрдөнө.

10

∫ ∫

D

kf(x, y)dxdy = k

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy

20

∫ ∫

D

[f1(x, y) + f2(x, y)]dxdy =

∫ ∫

D

f1(x, y)dxdy +

∫ ∫

D

f2(x, y)dxdy

30

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ ∫

D1

f(x, y)dxdy +

∫ ∫

D2

f(x, y)dxdy

Энд D = D1 ∪D2 ба D1, D2 мужууд нь ерөнхий цэггүй.

3

40 D мужийн дурын цэг дээр f(x, y) ≥ 0 бол∫ ∫

D

f(x, y)dxdy ≥ 0

байна.

50 D мужийн дурын цэг дээр f1(x, y) ≤ f2(x, y) бол∫ ∫

D

f1(x, y)dxdy ≤∫ ∫

D

f2(x, y)dxdy

байна.

60 Хэрэв D мужийн дурын цэг дээр z = f(x, y) = 1 бол∫ ∫

D

f(x, y)dxdy = S

байна. Энд S нь D мужийн талбай.

70 Хоёрлосон интеграл геометр утгаараа f(x, y) ≥ 0 үед дээрээсээ z =

f(x, y) гадаргуугаар, доороосооOXY хавтгайн битүүD мужаар, хажуу

4

талаасааD мужийн хилээр чиглүүлэгчээ хийсэнOZ тэнхлэгтэй параллель

байгуулагч бүхий цилиндрээр хашигдсан биеийн эзэлхүүнийг өгнө.

Хоёрлосон интегралыг дараалсан хоёр тодорхой интегралд шилжүүлж болдог.

Хоёрлосон интегралыг бодох

Хэрэв g1(x) ≤ g2(x) байх функцүүд [a, b] хэрчим дээр тодорхойлогдоод, D муж

y = g1(x), y = g2(x), x = a ба x = b шугамуудаар хүрээлэгдсэн байг.

Тэгвэл (??) интегралыг дараах

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

b∫

a

dx

g2(x)∫

g1(x)

f(x, y)dy =

b∫

a

g2(x)∫

g1(x)

f(x, y)dy

dx (2)

байдлаар дараалсан хоёр тодорхой интегралуудад шилжүүлж болно.

Энд эхлээд дотор талын интегралыг y хувьсагчаар нь бодох ба энэ үед x

хувьсагчийг тогтмол гэж үзнэ. Дараагаар нь [a, b] хэрчмээр x хувьсагчаар нь

интегралчлана.

5

Үүний адил h1(y) ≤ h2(y) байх функцүүд [c, d] хэрчим дээр тодорхойлогдоод,

D муж x = h1(y), x = h2(y), y = c ба y = d шугамуудаар хүрээлэгдсэн бол (1)

интегралыг∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

d∫

c

h2(y)∫

h1(y)

f(x, y)dx

dy (3)

томъёогоор бодож болно.

Жишээ.

//

x

OO y ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

1

1

y = x

y = x2

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

~~

~~

~~

~~

~~

~~

~~

~~

~~

~~

~~

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

6

ID =

1∫

0

x∫

x2

(x + y)dy

dx =

1∫

0

(

xy +y2

2

)∣

∣

∣

∣

x

x2

dx =

1∫

0

(

x2 +x2

2− x3 − x4

2

)

dx =

=x3

3+x3

6− x4

4− x5

10=

1

3+

1

6− 1

4− 1

10=

3

20

Жишээ. z = ex+3y функцээсD = (x, y) | y = x, y = −x + 5, y = 1, y = 2 мужаар

авсан хоёрлосон интегралыг ол.

Хэрэв бид D мужийн хилийг x = y, x = 5 − y, y = 1 ба y = 2 хэлбэртэй

бичвэл өгөгдсөн функцийн хоёрлосон интегралыг бодоход (3) томъёог ашиглах

боломжтой болно. Иймд

∫ ∫

D

ex+3ydxdy =

2∫

1

5−y∫

y

ex+3ydx

dy =

2∫

1

ex+3y∣

∣

5−yy

dy =

2∫

1

(

e5+2y − e4y)

dy =

=

[

1

2e5+2y − 1

4e4y

]∣

∣

∣

∣

2

1

=e9

2− e8

4− e7

2+e4

4≈ 2771.64

7

Жишээ.z = xey2

функцээс y = x2, x = 0, y = 4 шугамуудаар хүрээлэгдсэн D

мужаар авсан хоёрлосон интегралыг ол.

Энд шууд (??) томъёогоор

∫ ∫

D

xey2dxdy =

2∫

0

4∫

x2

xey2dy

dx

интегралыг бодоход төвөгтэй тул эрэмбийг нь сольж бодъё. 0 ≤ y ≤ 4 x =√y,

0 ≤ x ≤ √y тул

∫ ∫

D

xey2dxdy =

4∫

0

√y

∫

xey2dx

dy =

4∫

0

x2

2ey

2

∣

∣

∣

∣

√y

0

dy =

4∫

0

1

2yey

2dy =

=1

4

4∫

0

ey2dy2 =

1

4ey

2

∣

∣

∣

∣

4

0

=1

4(e16 − 1)

8

Хоёрлосон интегралд хувьсагчийг солих

(??) интегралыг бодохын тулд OXY хавтгай дээрхи D мужийн M = (x, y) цэг

бүрийг шинэ системдO′UV хавтгайнD′ мужийнM ′ = (u, v) цэгтэй харгалзуулах{

x = ϕ(u, v)

y = ψ(u, v)(4)

хувиргалтыг ашиглая.

ϕ(u, v) ба ψ(u, v) функцүүд D′ мужид тасралтгүй тухайн уламжлалтай бөгөөд

дараах тодорхойлогч

J(u, v) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x

∂u∂x∂v

∂y

∂u∂y∂v

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6= 0 (5)

бол∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ ∫

D

f [ϕ(u, v), ψ(u, v)]|J(u, v)|dudv (6)

томъёо хүчинтэй байна.

9

J(u, v) тодорхойлогчийгхувиргалтын якобиан гэж нэрлээд∂(x, y)

∂(u, v)гэж тэмдэглэх

нь бий. Энэ тэмдэглээний хувьд

∂(x, y)

∂(u, v)· ∂(u, v)

∂(x, y)= 1

тэнцэтгэл үнэн байдаг.

Жишээ:

∫ ∫

D

(y−x)dxdy. D : y = x+1, y = x−3; y = −1

3x+

7

3; y = −1

3x+5

шугамуудаар хүрээлэгдсэн

//

x

OOy

OTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

y=x+1y=x−3

y=−13x+5

y=−13x+ 7

3

DTTTTTTTTTTTTTTT TTTTTTTTTTTTTTT �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

TTTTTTTTTTTTTTT

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

��

��

�

u = −3, u = 1,

v =7

3; v = 5

10

x =4

3· (v − u), y =

1

4· (3v + u)

J =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3

4

3

41

4

3

4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −3

4; |J | =

∣

∣

∣

∣

−3

4

∣

∣

∣

∣

=3

4

∫ ∫

D

(y − x)dxdy =

∫ ∫

D′

u3

4dudv =

3

4

1∫

−3

udu

5∫

73

dv =

=3

4· u

2

2

∣

∣

∣

∣

1

−3

· v|573

=3

8(1 − 9)

(

5 − 7

3

)

=3

8· (−8) · 8

3= −8

11

Жишээ. z = xy функцээс y = 4x2, y = x2, xy = 5, ба xy = 1 шугамуудаар

хүрээлэгдсэн D мужаар авсан интегралыг хувьсагчийг сольж бод.

Хэрэв бид u = y

x2, v = xy тэнцэтгэлүүдийг ашиглавал D муж u = 1, u = 4,

v = 1, ба v = 5 шугамуудаар хязгаарлагдахD′ мужид шилжинэ. Энэ тохиолдолд

∂(u, v)

∂(x, y)=

∣

∣

∣

∣

∣

∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

−2yx3

1x2

y x

∣

∣

∣

∣

∣

= −3y

x2

∂(x, y)

∂(u, v)=

1∂(u,v)∂(x,y)

=1

−3yx2

= −x2

3y= − 1

3u

∫ ∫

D

xydxdy =

∫ ∫

D′

v|J(u, v)|dudv =

∫ ∫

D′

v

∣

∣

∣

∣

− 1

3u

∣

∣

∣

∣

dudv =

=1

3

4∫

1

5∫

1

v

udv

du =1

3

4∫

1

v2

2u

∣

∣

∣

∣

5

1

du = 4 ln 4

12

Туйлын координатын системд хоёрлосон интегралыг бодох

Тэгш өнцөгт ба туйлын координатын системүүдийн хоорондийн холбоог дараах{

x = ρ cosϕ

y = ρ sinϕ

(0 ≤ ρ <∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π)

(7)

системээр илэрхийлж болно. Иймд хувиргалтын якобиан

J(ρ, ϕ) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x

∂ρ∂x∂ϕ

∂y

∂ρ∂y∂ϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

cosϕ −ρ sinϕ

sinϕ ρ cosϕ

∣

∣

∣

∣

∣

= ρ

байх ба (??) томъёо∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ ∫

D′

f [ρ cosϕ, ρ sinϕ]|J(ρ, ϕ)|dρdϕ (8)

хэлбэртэй байна.

13

Жишээ. Өгөгдсөн

2∫

0

√8−x

∫

x

dxdy

5 + x2 + y2интералыг туйлын координатын системд бод.

Бодлогын өгөгдлөөс x ≤ y ≤√

8 − x, 0 ≤ x ≤ 2 болохыг харж болно. Иймд 0 ≤ ρ ≤√

8,π

4≤ ϕ ≤ π

2байна.

2∫

0

√8−x

∫

x

dxdy

5 + x2 + y2=

π

2∫

π

4

√8

∫

0

ρdρdϕ

5 + ρ2=

π

2∫

π

4

√8

∫

0

ρdρ

5 + ρ2

dϕ =

=1

2

π

2∫

π

4

ln(5 + ρ2)∣

∣

√8

0dϕ =

1

2(ln 13 − ln 5)

π

2∫

π

4

dϕ =π

8ln

13

5

14

Хоёрлосон интегралын хэрэглээ

Хоёрлосон интегралыг геометрт хэрэглэхдээ

1) хавтгайн тэгш өнцөгт координатын системд D мужийн S талбайг

S =

∫ ∫

D

dxdy (9)

томъёогоор, харин туйлын координатын системд

S =

∫ ∫

D

ρdρdϕ (10)

томъёогоор тус тус бодох ба

2) дээрээсээ z = f(x, y) гадаргуугаар, доороосоо OXY хавтгайн битүү D

мужаар, хажуу талаасаа D мужийн хилээр чиглүүлэгчээ хийсэн OZ тэнхлэгтэй

параллель байгуулагч бүхий цилиндрээр хашигдсан биеийн эзэлхүүнийг

V =

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy (11)

15

эсвэл

V =

∫ ∫

D

f [ρ cosϕ, ρ sinϕ]ρdρdϕ (12)

томъёогоор бодно.

3) Хэрэв z = f(x, y) гэсэн толигор гадаргуу өгөгдөөд OXY хавтгайд түүний

проекц DXY бол уг гадаргуугын талбай S дараах

S =

∫ ∫

DXY

√

1 +

(

∂z

∂x

)2

+

(

∂z

∂y

)2

dxdy (13)

томъёогоор олдоно.

Хоёрлосон интегралыг физикт хэрэглэхдээ хавтгайн D мужаар тодорхой масс

тархсан ө.х мужийн дурын M = (x, y) цэг бүр дээр массын нягт f(x, y) хуулиар

өгөгдсөн үед

1) D мужийн нийт массыг

m =

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy (14)

16

томъёогоор,

2) харин түүний инерцийн моментийг координатын эхийн хувьд

IO =

∫ ∫

D

(x2 + y2)f(x, y)dxdy (15)

тэнцэтгэлээр,OX баOY тэнхлэгийн хувь дахь инерцийн моментүүдийг харгалзан

IOX =

∫ ∫

D

y2f(x, y)dxdy (16)

IOY =

∫ ∫

D

x2f(x, y)dxdy (17)

тэнцэтгэлүүдийг ашиглан олж болдог.

3) Хэрэв хавтгайн D муж дээрх масс тархалт f(x, y) нягттай бол уг дүрсийн

17

хүндийн Mc = (xc, yc) төвийн координатуудыг

xc =

∫∫

D

xf(x,y)dxdy

∫∫

D

f(x,y)dxdy

yc =

∫∫

D

yf(x,y)dxdy

∫∫

D

f(x,y)dxdy

(18)

гэж олно.

18