2_ Brzine Prenosa Toplote i Mase

7/28/2019 2_ Brzine Prenosa Toplote i Mase

1/27

16

2. BRZINE PRENOSA TOPLOTE I MASE

2.1 Molekulski prenos toplote i mase

Molekulski prenos toplote

Posmatrajmo sloj nepokretnog gasa ili tenosti ili sloj vrstog materijala iji krajevitj. granine povrine imaju razliite temperature. Kao rezultat spontane tenje kauspostavljanju termike ravnotee dolazi do prenosa toplote u smeru od toplije premahladnijoj povrini.

U pitanju je molekulski mehanizam prenosa toplote, koji je rezultat haotinogtermikog kretanja molekula supstance pri emu dolazi do prenoenja kinetike energije u

smeru u kome temperatura opada (sa brih na sporije molekule). Izuzetak su metali, gde suglavni prenosioci toplote slobodni elektroni.

Koliina toplote koja u jedinici vremena proe kroz neku povrinuAnaziva se flukstoplote ili toplotni fluks (W). Ako se temperaturanekom medijumu menja samo u jednomkoordinatnom pravcuz,za fluks toplote Q vai relacija:

)(Wz

TAQ

= (2.1)

poznata pod nazivom Furijeov (Fourie) zakon. A je veliina povrine, normalne na

pravac du koga se temperatura menja (osa z), a )( KmW je koeficijent toplotneprovodljivosti sredine. Parcijalni izvod ukazuje na to da u optem sluaju pretpostavljamonestacionaran prenos toplote, tj. da temperatura zavisi i od vremena t: ),( tzTT= . Dalje,iz (2.1) dobijamo specifini toplotni fluks ili gustinu toplotnog fluksaq:

)( 2mWz

T

A

Qq

== (2.2)

z

T

0,0

qz

T

q

z

T

0,0 >> CA relacija (2.9) postaje bliska jednaini(2.6)

multikomponentna difuzija pri jednakim difuzionim koeficijentima svihkomponenta, jer tada nema meusobnog uticaja flukseva

Ako je neizoterminost (neuniformnost temperature) jako izraena, neophodno jepri modelovanju difuzije uzeti u obzir i fenomen termodifuzije - difuzija koja nijeuslovljena neuniformnou koncentracije, tj. postojanjem koncentracijskog gradijenta veneuniformnou temperature.Tada difuzionom fluksu treba dodati termodifuzioni flukskoji je proporcionalan gradijentu temperature, zT (Valent, 2001).

Analogija izmeu fenomena prenosa

Uoljiva je analogija izraza za gustine stacionarnih flukseva toplote (Furijeov zakon),komponente (Fikov zakon) i koliine kretanja pri strujanju Njutnovskog fluida (Njutnovzakon):

)( 2mWdz

dTq = (2.9a)

)( 2msmoldz

dCDN A

AA= (2.9b)

)( 2 PamNdz

dw== (2.9c)

- tangencijalni napon (fluks koliine kretanja), Pa ; - dinamiki viskozitet,

sPa ; w - brzina sloja, koji se kree u pravcu normalnom naz osu, sm


6/27

21

Formulacije flukseva q i , preko koncentracija veliina koje se prenose su:

dz

Tcda

dz

Tcd

cq

pp

p

)()(

toploteijakoncentrac

=

=

876

(2.10)

- gustina, 3mkg ; cp - specifina topota, kgKJ ; a - termika difuzivnost, m2/s

}

dz

wd

dz

wd )()(

kretanjakol.koncentr.

=

= (2.11)

= kinematski viskozitet, m2/s .

Tabela 2.1. Fluksevi preko koncentracija veliina koje se prenose

Za modelni sistem: binarna gasna smea molekula A iB iste veliine i mase, za koju vaikinetika teorija gasova, za sva tri transportna koeficijenta se izvodi:

l=== waDA 3

1(2.12)

w srednja brzina molekula; l srednja duina slobodnog puta molekula

2.2 Efektivni koeficijenti prenosatoplote i mase

Efektivni koeficijenti prenosa toplote i komponente se definiu pri modelovanju:

difuzije toplote i komponente kroz poroznu sredinu, prenosa toplote i komponente kroz fluid koji struji turbulentno,

sa ciljem da se navedeni fenomeni opiu jednostavnim formulama, istog oblika kao Furijeovi Fikov zakon .

Gustina fluksaveliine

koja se prenosi

Koncentracijaveliine koja se

prenosi (potencijal)

Koeficijentprenosa

Prenos toplote q (W/m2) cpT (J/m2) a (m2/s)

Prenos mase NA (mol/m2s) CA (mol/m

2) DA (m2/s)

Prenos kol. kretanja (N/m2) W (kg/m2s) (m2/s)


7/27

22

Molekulska difuzija i provoenje toplote kroz porozni medijum

Pri modelovanju difuzije molekula gasa ili tenosti kroz vrst, porozan medijum(primer je difuzija vode kroz materijal koji se sui), dvofazni sistem fluid - vrstozamenjuje se kvazi - homogenim medijumom - kao da molekuli difunduju kroz celupovrinu A preseka bloka poroznog vrstog materijala, a ne samo kroz povrinu A kojuine povrine preseka pora (Sl. 2.3). Takav model se naziva kvazihomogen matematikimodel.

Slika 2.3. Skica uz opis kvazihomogenog medijuma

Tako se fluks komponente u poroznom sistemu, kroz povrinu normalnu na pravacdifuzije (Sl. 2.3), definie kao:

= s

mol

Adz

dC

DANAeff

AA (2.14a)

A - povrina preseka poroznog bloka, normalna na pravac difuzije

Slino, umesto da se pri konduktivnom prenosu toplote kroz porozni medijum (Sl.2.3) fluks toplote rauna kao zbir flukseva kroz pore i kroz vrst medijum, on se raunakao da je u pitanju homogena sredina, pomou Furijeovog izraza:

)(WAdz

dTAqQ eff== (2.14b)

Dakle, formule (2.14a,b) imaju isti oblik kao one za molekulski prenos topolote i mase krozhomogen medijum, s tim to u njima umesto pravih koeficijenata molekulskog prenosa i AD , figuriu efektivni koeficijenti

eff i eff

AD . Tako se efektivni koeficijenti mogu

definisati na sledei nain:

Efektivni koeficijent molekulske difuzije effA

D komponente A kroz porozni medijumje parametar, koji kad se zameni u kvazi - homogeni Fikov izraz za flukskomponente (2.14a), daje pravu veliinu fluksa.

Efektivni koeficijent provoenja toplote eff se definie analogno.

A ukupna povrina poprenih

preseka svih pora

A- ukupna povrina poprenog

reseka poroznog bloka


8/27

23

Veza izmeu efektivnih i molekulskih koeficijenata prenosa se moe teorijski izvestisamo za vrlo jednostavne, idealizovane porozne strukture, pa se efektivni koeficijenti neizraunavaju iz pravih, nego odreuju eksperimentalno. Jasno je da efektivni koeficijentdifuzije neke komponente kroz porozni medijum mora da ima manju vrednost odmolekulskog koeficijenta difuzije :

A

eff

ADD <

Prenos toplote i komponente kroz fluid koji struji turbulentno

Posmatrajmo prenos toplote u suprotnostrujnom izmenjivau toplote iji smo modeldiskutovali u Primeru 1.1. Jednostavan matematiki model (1.4) nije obuhvatio prenostoplote kroz fluide u pravcu ose izmenjivaa, tj. poduno, koji svakako postoji zbogpromena temperatura oba fluida du izmenjivaa. Pretpostavimo da fluid u cevi struji

turbulentno. Kako opisati poduni fluks toplote kroz njega? Poto se prenos toplote vri nesamo molekulski nego i kao rezultat haotinog kretanja vrtloga (vrtloni prenos toplote),nije primenljiv Furijeov zakon, koji vai samo za molekulski prenos. Ipak, radipojednostavljenja modela, kombinovani molekulski i vrtloni prenos toplote se opisuje naanalogan nain kao ista kondukcija, zahvaljujui uvoenju efektivnog koeficijentaprovoenja toplote:

dz

dTq eff= (2.15a)

ija je definicija analogna onoj za efektivni koeficijent kondukcije kroz poroznu sredinu. S

obzirom da vrtlozi intenzifikuju prenos toplote kroz fluid, jasno je da vai:

>eff

gde je koeficijent provoenja toplote za fluid. Analogno, specifini fluks prenosakomponente kroz fluid kombinovananim mehanizmom (molekulski i vrtloni) se opisujemodifikovanim Fikovim zakonom:

dz

dCDN Aeff

AA= (2.15b)

2.3Konvektivni prenos toplote i mase. Prelaz toplote i mase.

Molekulski transport toplote i mase je rezultat haotinog kretanja molekula unepokretnom fluidu. Molekulski mehanizam prenosa toplote i mase je takoe vaei i pristrujanju fluida, ako je ono laminarno (slojevito). Ako se pri strujanju fluida stvarajuvrtlozi (prelazni i turbulentni reim strujanja), neophodno je pri odreivanju fluksevatoplote i mase, uzeti u obzir i uticaj kretanja fluida. Prenos toplote ili mase, pri strujanjufluida se naziva konvektivni prenos.


9/27

24

U sluaju razvijenog turbulentnog strujanja fluida, prenos toplote i mase je znatnointenzivniji nego u nepokretnom fluidu, zbog haotinog kretanja velikih grupa ili klastera(cluster) molekula, vidljivih i golim okom, koji se zovu vrtlozi (eddy).

Prelaz toplote

Posmatrajmo stacionarno jednodimenziono prinudno (pod dejstvom pumpe)turbulentno strujanje fluida du ravnog zida ili ploe vrlo velike (teorijski beskonane)povrine. Uspostavljeni brzinski profilw = w(z),

je rezultat usporavajueg dejstva zida na struju fluida potiskivanu pumpom,odnosno rezultat prenosa koliine kretanja u pravcu normale na zid(osaz).

ima horizontalnu asimptotuw = wf, ako je sloj fluida vrlo velike debljine.Sloj fluida uz zid u kome brzina fluida raste od nula (u takiz = 0, tj. uz sam zid) do

vrednosti 0.99wf naziva se hidraulini granini sloj i njegovu debljinu emo oznaiti saH. Zaz > H moe se smatrati da je brzina uniformna i jednaka asimptotskoj vrednosti wf,koja predstavlja brzinu turbulentne mase fluida.

Slika 2.4 Brzinski i temperaturni profil

Analogno, ako temperatura zida Tz i temperatura dolazeeg fluida Tf nisu jednake,kao rezultat prenosa toplote uz - pravcu formirae se temperaturni profil slinog oblika,sa horizontalnom asimptotom T= Tf . Ako jeTz > Tf, u toplotnom graninom sloju, irineT se temperatura menja od temperature zida Tz do 1.01Tf (Sl. 2.4).

U laminarnom podsloju uz zid, fluid struji laminarno i

u njemu su najvee promene brzine strujanja i temperature fuida, tj. gradijentidw

dz

dT

dzi .

imamo molekulski mehanizam prenosa koli

ine kretanja i toplote brzinski i temperaturniprofili su priblino linearni


10/27

25

U meusloju (preostalom delu graninog sloja) imamo :

prelazni reimstrujanja. gradijentibrzine i temperature postepeno opadaju praktino do nule, jer vrtlozi intenzifikuju prenos koliine kretanja i toplote

U masi fluida, snano vrtloenje uslovljava uniformisanje brzina i temperatura.

Debljina hidraulinog graninog sloja e biti utoliko vea ukoliko je vei flukskoliine kretanja izmeu zida i fluida (koee dejstvo zida), odnosno ukoliko je veikinematski viskozitet (difuzivnost koliine kretanja) - vidi jedn. (2.11). Analogno,debljina toplotnog graninog sloja T (rastojanje do koga se osea efekat zagrejaneploe na temperaturu fluida) raste sa toplotnom difuzivnoua (vidi jedn. 2.10). Takoodnos H i Traste sa kolinikom /a, koji se zove Prandltov kriterijum ili Prandtlov brojprema jednaini:

3/13/1Pr

==

aT

H

gasovi)realniitecnosti(

2.12)vidigas,idealan(

metali)(tecni

1Prza1

1Prza1

1Prza1

>>

==


11/27

26

Jednaina (2.16) zahteva poznavanje temperaturnog profila )(zT , ije je dobijanje vrlokompleksno (reavanje sistema od dve diferencijalne jednaine: bilans koliine kretanja ienergetski bilans).Zato pravi profil zamenjujemo izlomljenim (Sl. 2.5), koji se sastoji od

kose dui (deo tangente povuene u takiz = 0) sa nagibom dTdz z

=0

horizontalog dela - asimptote T= Tf.Taka preloma, tj. presek tangente i asimptote, definie debljinu fiktivnog toplotnoggraninog sloja,

T ili debljinu filma. Nagib kosog profila je,

0'

=

=

zT

zf

dz

dTTT

pa dobijamo:

)('0 zfT

zTTq

=

=

Ako se kolinik /T zameni novim koeficijentom ,

'T

= (W/m2K) (2.17)

dobijamo izraz za prelaz toplote sa zida na fluid:

zfz TTq ==0 (2.18)

- koeficijent konvekcije ili koeficijent prelaza toplote.

Slinim pristupom, za fluks koliine kretanja sa zida na fluid dobijamo :

2

00 2 f

f

z

z wC

dz

dw==

=

=(2.19)

fC - bezdimenzioni parametar koji se naziva koeficijent trenja (frictioncoefficient).

Primena teorije slinosti

Umesto simultanog reavanja diferencijalnih jednaina prenosa koliine kretanja itoplote,

definie se skup bezdimenzionih grupa ili kriterijuma, (prevoenjem dif.jedna

ina u bezdimenzioni oblik), koje karakteriu posmatranu pojavu.


12/27

27

na bazi eksperimenata, definiu se kriterijalne jednaine, koje povezujubezdimenzione kriterijume i to za :

- pojedine klase sistema, koje se karakteriu istom geometrijom (da bimogao da se ostvari uslov geometrijske slinosti) i

- isti reim strujanja fluida (zbog hidrodinamike slinosti).Tako za prinudnu konvekciju kriterijalna jednaina za odreenu klasu sistema i reimstrujanja glasi:

Pr)(Re,Nu fL

=

=

i uobiajeni oblik za turbulentni reim strujanja je:

nmc PrReNu = , 0.5 m0.8, 0.2 n0.5 (2.20)

Za detaljnije informacije u vezi sa kriterijalnim jednainama upuujemo itaoca na literaturu(Toledo, 1991, 2007; Perry i Green, 1997; engel, 1998)

Znaenja bezdimenzionih kriterijuma su

Re- mera relativnog uticaja inercijalnih sila (brojioc) i sila trenja (imenioc), Pr - odnos intenziteta prenosa koliine kretanja i prenosa toplote,

odnosno odnos otpora prenosu toplote (1/a) i otpora prenosu koliinekretanja (1/),

Nu - odnos uticaja turbulentnog (brojioc) i molekulskog (imenioc) mehanizmaprenosa toplote, ili odnos otpora provoenju toplote L/ i otporakonvenktivnom prenosu toplote 1/.

Za koeficijent trenja i njemu proporcionalan frikcioni faktor f, pri laminarnomstrujanju kroz glatku cev vai:

Re

644 ==

fCf (2.21)

Gde je:f- frikcioni faktor.

Za turbulentno strujanje i rapave cevi u literaturi (Perry i Green, 1997) postojeempirijske zavisnosti:

)(Re,4 == FCf f (2.21a)

Gde je: koeficijent rapavosti (-).

PRIMER 2.2. Pokazati da je termiki otpor prelaza toplote sa fluida na zid (ili obrnuto)cilindrine cevi prenika d, raunat po jedinici duine cevi, jednak:

=

dRt

1


13/27

28

Fluks toplote kroz posmatranu povrinu je ,

qdLAqQ == (q dato jednainom 2.18)

a po po jedinici duine cevi :

=

=

===

dR

R

T

d

TTdqdq t

t

L

11

PRIMER 2.3. Parovod spoljnjeg prenika 10 cm sa temperaturom spoljne povrine od110 0Cje izloen vetru brzine 8 m/s sa pravcem normalnim na osu parovoda. Temperaturavazduha je 4 0C. Odrediti gubitke toplote u atmosferu po 1 m parovoda. Podaci: toplotnaprovodljivost i kinematski viskozitet vazduha na srednjoj temepraturi (57 oC) su

=o

Rhft

BTU.01640 i

h

cm2

670= . Proraun izvesti paralelno sa dve kriterijalne

jednaine:

5485

4132

3121

310.805

282000

Re1

Pr

401

Pr0.62Re0.3Nu

PrRe0270Nu

+

+

+=

=

.

.

Iz tablica za srednju temperaturu vazduha: Pr = 0.708. (Reenje u Mathcad -u, fajl P 2.3)

PRIMER 2.4. Idealno izolovan proto

ni greja

vode u obliku cevi sa elektri

nim greja

em,dug je 5 m i ima unutranji prenik 2 cm.

a) Izraunati snagu grejaa koja obezbeuje zagrevanje 10 l/min vode od 150Cdo 650C

b) Proceniti temperaturu unutranje povrine grejaa na izlazu, imajui u vidu da je gustinafluksa konstantna du elektrinog grejaa.Potrebni podaci: termofizike osobine vode na srednjoj temepraturi (40oC) su

=o

Rhft

BTU.3650 ,

h

ft.

202550= ,

kgK

calc

p1.998= i

3992.0

cm

g= .

Kriterijalna jednaina: 400.8 PrRe0230Nu ..=

Iz tablica (Cengel, 1998), za srednju temperaturu vode: Pr = 4.32. (Mathcad, P 2.4 )

Prelaz mase (komponente)

Analogno prenosu toplote, definie se fluks prelaza komponente sa meufaznepovrine na fluid koji struji, ili obrnuto:

)( 2,, smmolCCN sAfAAA = (2.22)

CA,f

- koncentracija u turbulentnoj masi fluidaCA,s - koncentracija na meufaznoj povrini


14/27

29

pri emu je z - osa postavljena normalno na posmatranu povrinu i usmerena od povrineka fluidu (vidi Sliku.2.5)

Koeficijent prelaza komponenteA, A je u skladu sa teorijom filma:

'D

AA

D

= (m/s) (2.23)

Gde je: D - debljina fiktivnog difuzionog graninog sloja (filma)

Za kriterijalnu jednainu za prinudnu konvekciju ,

)Sc(Re,Sh f= (2.24)

uobiajeni oblik za turbulentno strujanje je :

nmc ScReSh = , .5 m0.8, 0.2 n0.5

ervudov (Sherwood) kriterijum Shje analogan Nuseltovom:

A

A

D

L=Sh

mitov (Schmidt) kriterijum Sc je analogan Prandtlovom:

AD

=Sc

Kriterijalne jednaine za razliite praktine probleme se mogu nai u literaturi (Perry iGreen, 1997; engel, 1998).U tabeli 2.2 dati su izrazi za fluks prelaza komponente, koji sekoriste u praksi

Tabela 2.2 - Konzistentni parovi pogonska sila - koeficijent prelaza komponente

gde su: AC - molska koncentracija komponente,3

mmol

A

c - masena koncentracija komponente, 3mkg ,

A

p parcijalni pritisak komponente u gasnoj smei, Pa

fluks : pogonska sila koef. prelaza

NA = - ACA ( smmol 2 ) CA (mol/m3) A (m/s)

AAAcm = ( smkg 2 )

Ac ( 3mkg ) A (m/s)

NA = - A,ppA ( smmol2 ) pA (Pa) A,p (mol/m

2Pa s)

NA = - A,xxA ( smmol2 ) xA ( - ) A,x (mol/m

2s)


15/27

30

Ax molski udeo komponente u smei

PRIMER 2.5. Nai formule za preraunavanje koeficijenata prelaza pri promeni nainaizraavanja pogonske sile.

Veza izmeu molske koncentracije )( 3mmol i molskog udela neke supstance je

s

sAsA

AAA

M

xx

V

n

n

n

V

nC

====

n - ukupan broj molova u smei,

s - molska gustina smee, mol/m

2

Ms - mol. masa smee, (kg/kmol)

s - gustina smee (kg/m2)

Ako zanemarimo promene molske gustine smee sa sastavom,

*s

= const s

AsA

M

xC

=

to nakon smene u prvi od flukseva u Tabeli 2.2 daje:

AxA

s

AsAA

xM

xN =

= ,

odnosno, vezu izmeu koeficijenta prelazaAxA

i,

:

s

sAxA

M

= , (2.25)

Veza izmeu pogonskih silaAA

xP i je pri zanemarljivoj promena pritiska jednostavna:

pA =xAp.constp=

pA = xAp

to nakon smene u drugi od flukseva u Tabeli daje vezu izmeu pAxA ,, i :

ppAxA ., = (2.26)

Iz (2.25) i (2.26) sledi konano veza izmeu ApA i, :

A

s

spA

Mp

= , (2.27)

Ako je smea idealan gas vai: TRM

TRpg

s

sgs

==

, pa imamo :


16/27

31

TRg

ApA

= , (2.28a)

==sA

g

AxA

TR

p, (2.28b)

gde je: gR univerzalna gasna konstanta.

PRIMER 2.6. Treba proceniti brzinu suenja r u kg vode/(kg suve materijes), kockicaargarepe vazduhom u fluidizovanom sloju, pretpostavljajui da je povrina kockicaprekrivena filmom vode.

a) Izvesti sledei izraz za traenu brzinu suenja:

( )10

)1( = ss

p

p

M

Mr c

w

sv

wsvw

gde su: w

koeficijent prelaza vlage sa povrine, sm

sv

gustina suvog vazduha, 3mkg

svw MM , molekulske mase vode i suvog vazduha, kmolkg

p pritisak vazduha za suenja, Pa

0w

p napon pare vode na temperaturi suenja, Pa

relativna vlanost vazduha za suenje

c

s specifina povrina kockica argarepe, 2m /kg suve materije

b) Izraunati traenu brzinu suenja sa sledeim podacima. Stranica kockice je cmac

1= .

Gustina argarepe je 1020 3mkg a vlanost 5=x kg vode/kg suve materije. Relativna

vlanost vazduha je 2%, pritisak je kPa101 , a temperatura suenja CT 080= . Vazduhstruji brzinom smw 12= . Na datoj temperaturi: napon vodene, kPap

w4.470 = , viskozitet

vazduha, cP0195.0= . Kriterijalna jednaina koja vai za suenje u fluidizovanom sloju

(Toledo, 1991, 476str):33.05.0 ScRe6.02Sh +=

Kao karakteristina dimenzija kocke uzima se prenik ekvivalentne sfere one koja imaistu povrinu kao kocka datih dimenzija.Za koeficijent difuzije vlage kroz vazduh uzeti

smDw

25102.2 =

a)Brzina suenja, pri pretpostavci da je povrina kockice argarepe prekrivena filmom

vode, jednaka je fluksu prelaza vode sa povrine u struju vazduha. Tako, krenuemo od

izraza za specifini maseni fluks prelaza vode, izabravi kao pogonsku silu razlikuparcijalnih pritisaka vode uz samu povrinu i u struji vazduha:


17/27

32

==sm

kgp

TRMpMm

w

g

ww

a

wpwww 2

)28.2(

,

Parcijalni pritisak vode uz samu povrinu, poto je na povrini uspostavljenatermodinamika ravnotea, jednak je naponu pare vode na temperaturi suenja, pa imamo:

( ) ( )ww

g

wwww

g

www

g

www pp

pTR

pMpp

TRMp

TRMm =

=

= 00

1

TRp g je molska gustina vazduha i praktino je jednaka (zbog male relativne vlanosti)

molskoj gustini suvog vazduha, sv

. Relativna vlanost vazduha je definisana kao0ww

pp= , pa je:

( )

==

sm

kg

p

p

M

M

p

pMm w

sv

wsvw

wsvwww 2

00

)1(1

Konano, da bi smo dobili brzinu suenja u traenim jedinicama, treba pomnoiti izvedeniizraz specifinom povrinom kockice, cs raunatom po kilogramu suve materije:

( )10

)1( == ssp

p

M

Msmr c

w

sv

wsvwcw

b) (Mathcad, P 2.6)

Analogija trenja pri proticanju fluida, prelaza toplote i prelaza mase

I u sluaju konvektivnog prenosa toplote i mase, pored oigledne kvalitativne, postojii kvantitativna veza, to se moe naslutiti iz optih formi kriterijalnih jednaina za prenostoplote i mase u sluaju prinudne konvekcije (2.24, 2.27). Eksperimenti su pokazali dabezdimenzione grupe ( tzv. j - faktor za toplotu i j - faktor za masu)

1/3PrRe

Nu=Hj (2.29a)

1/3ScRe

Sh=

Dj (2.29b)

imaju u oblasti turbulentnog reima strujanja, pribline iste brojne vrednosti:

2

fjj DH == (2.30)

gde su: jH - faktor za prenos toplote;

jD- faktor za prenos mase.

to se prema autorima naziva analogija ilton-Kolborn-a (Chilton-Colburn). Iz te

analogije sledi veza izmeu koeficijenata prelaza komponente i toplote:


18/27

33

32/A

pA

a

D

C

= (2.31)

PRIMER 2.7. Pri strujanju suvog vazduha temperature 25 0C i pritiska 1 atm, brzinom2 m/s preko povrine od 0.3 m2 pokrivene slojem naftalina, izmerena koliina isparenognaftalina u toku od 15 min je 12 g. Napon pare naftalina na 25 0C je 11 Pa a njegovadifuzivnost u vazduhu, DA,B = 0.6110

-5m2/s,gde A oznaava naftalin, a B vazduh, krozkoga naftalin difunduje. Proceniti koeficijent prelaza toplote za vazduh, pri istim uslovimaproticanja i istoj geometriji sistema. Specifina toplota i toplotna difuzivnost vazduha na

25 0C su: smakgK

kJc

p

251018.2,01.1 == . Iz izraunate vrednosti koeficijenta

prelaza naftalina A , izraunati pAA,x ,i (Reenje u Mathcad-u, fajl P 2.7)

2.4 Prenos toplote i mase kroz vieslojni medijum.

Prolaz toplote

Prenos toplote kroz tri sloja: fiktivni toplotni granini sloj prvog fluida, zid i fiktivnitoplotni granini sloj drugog fluida nazivamo prolaenje ili prolaz toplote . Na Slici 2.6 dat

je uproen temperaturni profil (u skladu sa teorijom filma), pri stacionarnom prolaenjutoplote izmeu dva fluida sa temperaturama T1 i T2, kao i ema termikih otpora.

Slika 2.6 Temperaturni profil pri stacionarnom prolaenju toplote

Po analogiji sa Omovim zakonom, za flukseve toplote kroz pojedine slojeve vai:

2

22,3

2,1,2

1

1,11

/1

,

/

,

/1

=

=

=

TTq

d

TTq

TTq

iiii (2.32)


19/27

34

Iz uslova stacionarnosti temperature zidasledi meusobnajednakost flukseva:

q1 = q2 = q2 (= q) (2.33)

Nijedna od jedn. (2.32) ne omoguuje izraunavanje q jer sadre nepoznate potencijale -

intermedijalne temperature Ti,1 Ti,2. Produena jednakost (2.32) sadri dve nezavisnejednaine, recimo q1 = q2; q2 = q3, u kojima e, nakon smene izraza (2.32), figurisatinepoznate intermedijalne temperature. Reavanjem tih jednaina dobijamo nepoznatetemperature u funkciji od krajnjih - merljivih potencijala, T1 i T2. Kada se dobijeniizrazi zamene u bilo koju od tri jednaine (2.32) dobijamo fluks prolaza toplote u funkcijiod krajnjih temperatura:

)(11 21

21

21 TTKd

TTq

T=

+

+

= ( )2mW (2.34)

q - fluks prolaza toplote

KT - koeficijent prolaza toplote.

Izraz (2.34) smo mogli da dobijemo neposrednom primenom elektrine analogije: ubrojiocu je ukupna pogonska sila, a u imeniocu ekvivalentan ili ukupan otpor za tritermika otpora vezana na red (Sl.2.6).

PRIMER 2.8. Gubici toplote iz izolovanog parovoda u atmosferu po jedinici duineparovoda, se raunaju kao:

2211

11

d)(ddd

TTq

rii

i

zz

z

aL

++

+

+

= (W/m)

gde su:

T, Ta - temperatura pare i temperatura atmosfere (K)d1, d2 - unutranji i spoljanji prenik izolovanog parovoda (m)z, i - debljina zida cevi i debljina sloja izolacije (m)dz - srednji logaritamski prenik zida cevi (m)di - srednji logaritamski prenik sloja izolacije (m)z, i - toplotne provodljivosti zida i izolacije (W/mK)1 - koeficijent prelaza sa pare na unutranji zid paravoda (W/m

2K)

2 - koeficijent prelaza toplote sa spoljne povrine paravoda u atmosferu (W/m2K)

r- efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijom (W/m2K)

Efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijomje onaj parametar, koji kad se pomnoipogonskom silom za prelaz toplote (T2 - Ta), daje pravu vrednost toplotnog fluksa zraenja.Tako je prema definiciji:

)()( 244

2 ara TTTT =

Gde su: 2T temperatura spoljnje povrine izolovanog parovoda


20/27

35

- Stefan-Bolcmanova (Stephan- Boltzman) konstanta zraenja,)(10673.5 428 KmW=

emisivnost povrine, 10 < .

pa r oigledno zavisi od temperatura, aTT ,2 ,

( )( )aa

a

a

r TTTTTT

TT++=

= 2

222

2

442

i za njegovo izraunavanje je neophodna procena nepoznate temperature T2.

a) Izvesti datu formulu za toplotne gubitke

b) Izvesti izraz za koeficijent prolaza toplote, baziran na unutranjoj povrini ceviparovoda.

a) ema termikih otpora :

R1 - otpor prelazu toplote sa pare na unutranji zid parovoda

Rz,Ri - otpori provoenju zida i izolacije

R2 - otpor prelazu toplote sa spoljanjeg zida parovoda na atmosferu

Rr- efektivni otpor radijacije

2222

111

111

dR,

dR,

dR,

dR,

dR

rr

ii

ii

zz

zz

=

=

=

=

=

Ekvivalentan otpor :

r

izt

RR

RRRR11

1

2

1

+

+++=

i formula se dobija nakon smene ekvivalentnog otpora u jedn.t

a

t

LR

TT

R

Tq

=

=

b) Da bi smo, polazei od jednaine,

tR

TT

dddd

TTq a

rii

i

zz

z

aL

=

++

+

+

=

2211 )(11

izveli traeni izraz za koeficijent prolaza toplote, neophodno je fluks toplote,L

q prikazati

kao proizvod koeficijenta prolaza, TK pogonske sile )( aTT i odgovarajue povrine


21/27

36

toplotne razmene- unutranje povrine cevi jedinine duine (S= 1d ) i izjednaiti dva

izraza zaL

q :

1)( dTTKR

TTaT

t

a=

Sledi,

1

1

dRK

t

T

=

i kada se smeni izraz zat

R :

1

2211

1

)(

111

d

dddd

K

rii

i

zz

zT

++

+

+

=

Konano,

22

111

1 )(1

1

d

d

d

d

d

dK

rii

i

zz

zT

++

+

+

=

PRIMER 2.9. Treba izraunati potrebnu debljinu izolacije ( ))(0346.0 mKW= tavaniceda se temperatura plafona ne bi razlikovala od sobne temperature vie od C02 . Tavanica

je debela 0.5in, a koeficijent toplotne provodljivosti materijala od koga je napravljena je)(433.0 mKW= . Koeficijet prelaza toplote sa obe strane tavanice je )(84.2 2KmW= .

Temperatura vazduha na tavanu je C049 , a sobna temperatura C020 .

Na skici su naznaeni termiki otpori. Najpre emo iz granine temperature plafona,sobne temperature i koeficijenta prelaza toplote izraunati fluks prelaza toplote sa plafonana sobni vazduh:

[ ] 22 68.5)2( mWTTq ss =+=

On je tano jednak fluksu prolaza toplote od vazduha tavana do vazduha u sobi:

2

21

0 68.511

mWTT

qiitt

s=

+++

=

odakle dobijamo traenu debljinu izolacije:

cmq

TTi

t

tsi

13.1511

21

0 =

+

+

=

Jasno je da debljina izolacije, traena prema datom zahtevu, ne zavisi od toga da li

ese ona staviti na tavanicu ili ispod nje (na skici je uzeto da se ona postavlja ispod tavanice).


22/27

37

Iz formule za fluks prolaza toplote jasno se vidi da njegova vrednost ne zavisi od redosledatermikih otpora jer zbir u imeniocu ne zavisi od redosleda sabiraka.

sT 0T

11

)(84.2

49

1

00

mKW

CT

=

=

CTs

02+

t

i

12

020

=

= CTs

1T

21 tt ii

Skica uz Primer 2.9

2.5 Principi opisivanja brzine sloenog procesa

Sloeni fenomeni prenosa se, ako je mogue, dekomponuju (ralanjuju)na viejednostavnijih fenomena koji predstavljaju stupnjeve ili stadijume sloenog procesa.Oni mogu meusobno biti povezani:

serijski (uzastopni ili konsekutivni stupnjevi) paralelno (paralelni ili uporedni stupnjevi) na sloen nain koji predstavlja kombinaciju serijskih i paralelnih veza.

Tako, u Primeru 2.7, gubljenje toplote pare pri transportu kroz parovod smo ralanili na 5elementarnih stupnjeva, kao:

Brzine elementarnih fizikih stadijuma (prenos toplote ili mase) se mogu prikazati uvidu kolinika pogonske sile i otpora. Ako pogonska sila linearno zavisi od potencijala

(temperature ili koncentracije), a otpor nije funkcija potencijala, kaemo da je

4.prelaz toplote

1. 2. 2. sa spoljanjegprelaz toplote provoenje provoenje zida u atmosferusa pare na toplote toploteunutranji kroz zid kroz izolaciju 5.zid cevi prenoenje toplote

sa spolanjeg zidau atmosferuzraenjem


23/27

38

posmatrani stadijum linearan i njegova brzina je opisana izrazom analognom Omovomzakonu (elektrina analogija):

rV

R=

(2.35)

V- potencijal (temperatura ili koncentracija)

R - otpor (toplotni ili difuzioni)

Negativni predznak u izrazu (2.35) nosi informaciju o smeru fluksa (da li je isti kao i smerprostorne ose ili suprotan od njega) pri emu je prostorna osa usmerena od prvog kaposlednjem stadijumu u nizu.

Brzina sloenog procesa, dekomponovanog na linearne stadijume dobija sepomou elektrine analogije (2.35) u koju se kao V zamenjuje ukupna potencijalnarazlika a umesto R ukupan ili ekvivalentan otpor. Tako, ako je sloeni proces niz od n

linearnih uzastopnih stadijuma ije su brzine:

niR

VV

R

Vr

i

ii

i

i

i ,...,1,1

=

=

= (2.36)

ukupna pogonska sila je:

V V V V ii

n

n= =

=

1

0 (2.36a)

a ekvivalentan otpor:

R Rii

n

=

=

1

(2.36b)

pa je brzina procesa:

rV V

RP

n

i

i

n=

=

0

1

(2.37)

nVV ,0 krajnji potencijali

Metod limitirajueg stupnja

Posmatrajmo prolaz toplote kroz homogeni zid. Brzine tri stadijuma su datejednainama (2.32):

qT T

Rq

T T

Rq

T T

R

i i i i

11 1

12

1 2

23

2 2

3

=

=

=

, , , ,, ,


24/27

39

Neka je 3. stupanj znatno sporiji od ostalih, odnosno njegov otpor znatno vei od drugadva otpora, to znai:

R

R

R

R

1

3

2

3

0

Iz uslova jednakosti brzina prvog i treeg stupnja:

11,3

1

22,

1,1)32.2(

31 0 TTR

R

TT

TTqq

i

i

i=

=

Iz drugog uslova, q2 = q3 imamo:

1,2,3

2

22,

2,1,)32.2(

32 0 iii

iiTT

R

R

TT

TTqq =

=

Dakle, aproksimativni temperaturni profil e izgledati kao na Sl. 2.7. Poto smo definisaliintermedijalne potencijale:

T T Ti i, ,1 2 1= =

sledi izraunavanje brzine prenosa toplote smenom naenih vrednosti u izraz za brzinunekog od stupnjeva. Meutim, poto su, izrazi za brzine brzih stupnjeva q1 i q2nedefinisani ( )00 preostaje izraz za spori stupanj:

r r

T T

RP = =

31 2

3

Slika 2.7. Aproksimativni temperaturni profil troslojnog zida kada je 213 ,RRR >>

Zakljuujemo da,

Izrazito najsporiji u nizu konsekutivnih stupnjeva definie tj. limitira (jerje najsporiji) brzinu sloenog procesa, pa se zato zove limitirajui stupanj;


25/27

40

U ostalim, relativno brzim stadijumima, priblino se uspostavljatermodinamika ravnotea, tj. pogonske sile tih stadijuma su bliske nuli;

Brzina procesa je priblino jednaka brzini kojom bi se odvijao limitirajuistupanj,kad bi u svim ostalim stupnjevima bila uspostavljena termodinami -

ka ravnotea.Metod limitirajueg stupnja znatno pojednostavljuje problem odreivanja brzine

sloenog procesa, naroito u sluaju kad su neki od stupnjeva nelinearni. (kao to jenaprimer stadijum zraenja toplote).

ZADACI

2.1. Prozor sa duplim staklima razdvojenih slojem nepokretnog vazduha ima dimenzijem.. 5180 . Stakla ( Rhft/BTU. = 4510 ) su debela 4mm, a sloj vazduha

( Rhft/BTU.=

0150 ) 10 mm. Ako je temperatura u sobi 20

0

C, a spoljnjatemperatura -100C, izraunati toplotne gubitke i temperaturu unutranje povrine prozora.

Koeficijent prelaza toplote za unutranju povrinu prozora je Rhft/BTU. = 21 7611 , a

za spoljanju Rhft/BTU. = 212 0447 .

2.2. Kroz zid sastavljen od 4 sloja iste debljine, toplotnih provodljivosti 4321 ,,, ,

prenosi se toplota izmeu leve povrine, temperature T1 i desne, temperature T2.

a) Skicirati temperaturni profile kroz posmatrani zid ako je trei od 4 konsekutivna stupnjalimitirajui i napisati odgovarajuu formulu za fluks toplote, q

b) Skicirati temp. profil i napisati izraz za q ako je : 3241 >> 2.3. elina cev (= 45 W/mK) unutranjeg prenika 0.824in i spoljanjeg prenika 1.05in

je izolovana slojem fiberglasa ( = 0.025 W/mK), debljine 2cm. Temperatura unutranjegpovrine cevi C0150 , a spoljanje povrine izolacije C030 .

a) Izraunati toplotni fluks izmeu te dve povrine za 1 metar cevi, )( mWqL

b) Izraunati temperaturu spoljanje povrine cevi

c) Proceniti traeni fluks i temperaturu koristei metod limitirajueg stupnja i uporediti saprethodno dobijenim vrednostima.

2.4. Projektuje se komora za zamrzavanje prehrambenih proizvoda. Zidovi i tavanica sesastoje od sledeih slojeva: sloj nerajueg elika, ( )(2.14 mKW= ) debljine 1.7mm, sloj

T2

T1

1 2

3 4


26/27

41

penaste izolacije ( )(34.0 mKW= ), debljine 10cm, sloj plute ( )(043.0 mKW= ) i sloj

drveta ( )(43.0 mKW= ), debljine 1.27cm. Temperatura u zamrzivau je C040 , a

temperatura okolnog vazduha je C032 . Koeficijent prelaza toplote na strani nerajuegelika je )(5 2KmW , a sa strane drveta )(2 2KmW . Ako je taka rose spoljnjeg vazduha

C029 , izraunati minimalnu debljinu sloja plute da bi se spreila kondenzacija vazduha naspoljnjoj povrini komore.

2.5. Radi odreivanja toplotne provodljivosti, uzorak govedine oblika cilindra, duine cm5 i prenika cm75.3 , smeten je izmeu dva cilindra od akrila ( mKW5.1= ), istogprenika i sve je to stavljeno u izolovani kontejner (skica). Slobodne povrine akrilnihcilindara (na dnu donjeg i na vrhu gornjeg cilindra) se odravaju na konstantnimtemperaturama, pri emu je donja povrina na vioj temperaturi. U oba akrilna cilindra sustavljena po dva termopara i to na rastojanju 0.5 i cm1 od dodirne povrine sa uzorkom.Termoparovi (poev od najnieg) su registrovali sledee temperature: C013i15,43,45 .Izraunati,

a) Specifini toplotni fluks, q kroz uzorak i akrilne cilindre.

b) Temperature donje i gornje povrine uzorka

c) Toplotnu provodljivost goveeg mesa.

3.75 cm

5 cm

Skica uz zadatak 2.5

2.6. Unutranja cev izmenjivaa toplote ima unutranji prenik cm21.2 i zid debeomm65.1 . Koeficijent prelaza toplote sa unutranje strane cevi KmW 21 568= , a sa

spoljanje, KmW 22 5678= .Toplotna provodljivost cevi je mKW6.55= . Izraunati,

a) koeficijent prolaza toplote kroz cev, baziran na unutranjoj povrini cevi,


27/27

b) temperaturu unutranje povrine cevi, ako je temperatura fluida u cevi C080 , atemperatura fluida oko cevi C0120

2.7. 50 hkg koncentrata jabukovog soka ( kgKkJcp 187.3= ) se hladi od 80 do C020 u

suprotno-strujnom izmenjivau toplote, cev u cevi. Rashladna voda ulazi u izmenjiva na

temperaturi C010 , a izlazi na C017 . Koeficijent prolaza toplote u izmenjivau jeKmWK

T

2568= . Izraunati,

a) protok rashladne vode

b) potrebnu povrinu toplotne razmene.

2.8. Izvesti sledei izraz za termiki otpor (otpor provoenju toplote) sferne ljuske saunutranjim i spoljanjim poluprenicima r1 i r2

=

21

12

4 rr

rrR

t

2.9. a) Izvesti izraz za brzinu difuzije FA komponente A kroz porozni zid u obliku sferneljuske sa unutranjim i spoljanjim poluprenikom r1 i r2.

12

21,21

)()(4

rr

rCrCDrrF AA

BAA

= (mol/s)

b) Helijum je skladiten u sferni rezervoar spoljnjeg prenika 3 m i debljine zida 5 cm odpireksa na 200C. Molska koncentracija helijuma u pireksu je 0.73 mol/m3 na unutranjojpovrini zida a zanemarljiva na spoljnjoj povrini. Difuzivnost helijuma kroz pireks na 200C

DA,B = 4.510-15m2/s. Odrediti dnevne gubitke helijuma difuzijom kroz zid rezervoara.

2.10. Za laminarno strujanje kroz cevovod, izvodi se sledei brzinski profil:

=

2

12)(R

rwrw

sr

gde je srw srednja brzina proticanja,aR unutranji poluprenik cevovoda. Za tangencijalni

napon na povrini cevi vai jedn. (2.19), s tim to umesto fw treba staviti srw . Koristei

jedn (2.19) i Njutnov zakon (2.9c), izvesti izraz (2.21) za koeficijent trenja.

Documents

2_ Brzine Prenosa Toplote i Mase