Raízes de equações não lineares

4251

0011 0010

1 – Introdução1.1 – Localização das raízes1.2 – Refinamento

2 – Método da bissecção2.1 – Interpretação geométrica2.2 – Algoritmo2.3 – Estimativa do número de iterações 2.4 – Estudo da convergência

3 – Método da corda falsa3.1 – Interpretação geométrica

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0011 0010

3.1 – Interpretação geométrica3.2 – Algoritmo3.4 – Majorante para o erro absoluto de uma estimativa3.3 – Estudo da convergência

4 – Método de Newton–Raphson (MNR)4.1 – Abordagem analítica4.2 – Interpretação geométrica4.3 – Algoritmo4.4 – Estudo da convergência

5 – Método da secante

1. Introdução

4251

0011 0010

Pretendemos estudar alguns métodos iterativos que nos permitem obter raízes reais (aproximadas) de uma equação não linear

onde é uma função real de variável real.

Exemplos de equações não-lineares:

( ) ,0=xf

f

,07321

24 =++ xx

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( ) .04cos

,0

,032

2

14

=+

=−

=+

−

−

xe

xe

xx

x

x

Definição. Se é uma função real de variável real e

, então dizemos que é um zero da função

ou que é uma raíz da equação

Graficamente, os zeros reais de são as abcissas dos pontos de

f

( ) 0=rf r f

( ) .0=xf

f

r

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0011 0010

Graficamente, os zeros reais de são as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico de com o eixo dos x.

f

f

Não existem fórmulas resolventes para a generalidade das equações, pelo que é necessário recorrer a outros métodos, chamados métodos iterativos.

Um método iterativo é uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos; cada ciclo recebe o nome de iteração.Estas iterações utilizam valores obtidos em iterações anteriores

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Estas iterações utilizam valores obtidos em iterações anteriorespara encontrar uma nova aproximação para a raíz.

Um processo iterativo para calcular as raízes de uma equação pode ser dividido em duas fases:

1º Localização das raízes

Consiste em obter um intervalo que contém uma única raiz

2º Refinamento

Escolhida uma aproximação inicial no intervalo melhorá-

.r

( ) ,0=xf

[ ]ba,

[ ]ba,

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0011 0010

Escolhida uma aproximação inicial no intervalo melhorá-la sucessivamente por um processo iterativo (usando a aproximação anterior) até obter uma aproximação para a raíz dentro de uma precisão ε prefixada.

[ ]ba,

1.1 Localização das raízes

Nesta fase é feita uma análise gráfica e teórica da função.

Análise Gráfica

Esta análise pode ser feita através de um dos seguintes processos:

(i) Esboçar o gráfico da função f e localizar as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo dos x.

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0011 0010

Exemplo: 39)( 3 +−= xxxf

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10

20

30

40

1r 2r 3r

]3,2[

]1,0[

]3,4[

3

2

1

∈

∈

−−∈

r

r

r

(ii) A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = h(x),

esboçar os gráficos de g(x) e h(x) no mesmo eixo Cartesianoe localizar as abcissas dos pontos de intersecção dos dois gráficos.

).()(0)( rhrgrf =⇔=

Exemplo

0)( =−= − xexf x

Resolução6

7

8

g

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0011 0010

Resolução

Logo

xxh

exg

ex

x

x

=

=

=−

−

)(

)(

]1,0[∈r

-2 -1 0 1 2 3 4-2

-1

0

1

2

3

4

5

h

g

r

Análise Teórica

Teorema (Corolário do teorema de Bolzano). Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) <0, então existe pelo menos um tal que f (r) = 0.

Graficamente

r r ra

y

( )bar ,∈

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1r 2r

y

x

1r 2r 3ra b x

ba

Teorema de Rolle. Se f é contínua em [a, b], diferenciável em (a,b)

e f(a) = f(b) = 0, então existe tal que f’(c)=0.

Portanto, sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e não mudar de sinal em [a, b], então existe uma única raíz nesse intervalo.

Graficamente

y y

),( bac ∈

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xa b xa b

],[,0)(' baxxf ∈∀> ],[,0)(' baxxf ∈∀<

Podemos aplicar este teorema atribuindo valores a x e analisando o sinal de f (x).

Exemplo ( ) 393 +−= xxxf

x -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4

f(x) - - + + + - - + +

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0011 0010

- Analisando a mudança de sinal, podemos concluir que existe pelo menos uma raíz dentro dos intervalos indicados.

- A derivada não muda de sinal em cada um dos intervalos, portanto cada raíz é única no intervalo.

f(x) - - + + + - - + +

93)(' 2 −= xxf

Observação

Se f (a) f (b) > 0 então podem existir ou não raízes no intervalo [a,b].

Graficamente

x

y

a b

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0011 0010

y

x

y

x

x

a b1r 2rb1r

a b

a

1.2 Refinamento

Esta fase implica a resolução de vários problemas:

• Escolher uma aproximação inicial para a raiz

• Construir uma fórmula de recorrência que permite obter sucessivamente novas aproximações a partir da anterior.Obtemos assim uma sucessão de aproximações da solução .

kx

,...,, 210 xxx

0x

r

.r

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solução . A cada aproximação corresponde o erro absoluto

e o erro relativo

• Estudar a convergência da sucessão.Obviamente estamos interessados em que o método iterativoseja convergente; ou seja, deve verificar-se que

ou

rxe kk −=

.r

rxk −

r

rxkk

=∞→

lim .0lim =∞→ k

ke

• Estudar a velocidade de convergência.Definição. Se para um dado método iterativo existirem constantes e

tais que

dizemos que é a ordem de convergência do método e a constante de erro assimptótico do método relativamente ao zero da função.

A expressão nesta definição costuma por vezes escrever-se na forma assimptótica

quando

0>c

,lim1

ce

ep

k

k

k=

−∞→

cp

p

kk cee 1−≈ .∞→k

1≥p

r

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Se , a convergência diz-se linear.

Se , a convergência diz-se supralinear.

Se , a convergência diz-se quadrática

Quanto maior for a ordem de convergência, mais rápida è, em geral, a velocidade de convergência do processo. A constante de erro assimptótico, normalmente, só é considerada quando se comparam processos iterativos com a mesma ordem de convergência. Aqui, quanto menor for a constante de erro assimptótico mais rápida é a convergência do processo.

1=p

21 << p

2=p

yε<− || k rx

ε<− || rx k

ε<|)(| kxf

É impraticável realizar um número infinito de iterações; é necessário parar num determinado termo Dizemos que o valor de xk é raíz aproximada com precisão se:(i)(ii)Nem sempre é possível ter as duas condições satisfeitas simultaneamente:

ε>− || k rx

.kx

•

ε

y

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r kx

y

xr

kx x

ε>|)(| k

k

xfε

ε

<

>−

|)(|

||

k

k

xf

rx y

Como não conhecemos o valor da raíz r para aplicar o teste usamos frequentemente a estimativa

do erro absoluto para o critério de paragem.

Critérios de paragem alternativos:

ε<− −1kk xx

,ε<− rxkε<− −1kk xx

•

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0011 0010Impondo um número máximo de iterações

ε<− −

k

kk

x

xx 1

( ) ε<kxf

•

•

•

2. Método da bissecção

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0011 0010

Condições para aplicação:

A função deve ser contínua no intervalo [a, b], onde contém uma única raíz.

O objectivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo inicial que contém a raiz até que seu comprimento seja

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0011 0010

inicial que contém a raiz até que seu comprimento seja menor que a precisão desejada, usando para isso sucessivas divisões a meio do intervalo [a, b].

y

x

2.1 – Interpretação Geométrica

ra0 b0x0a1 b1x1a2 b2x2a3 b3

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Iteração 1:

x0 = (a0 + b0)

2f (x0) > 0

⇒a1 = a0

b1 = x0

r ∈ [a1 , b1]

Iteração 2:

x1 = (a1 + b1)

2f (x1) < 0

⇒a2 = x1

b2 = b1

r ∈ [a2 , b2]

Iteração 3:

x2 = (a2 + b2)

2f (x2) < 0

⇒a3 = x2

b3 = b2

r ∈ [a3 , b3]

2.2 Algoritmo do método da bissecção

Seja f contínua em [a, b] , com uma única raíz neste intervalo.

1. Dados iniciais:

- intervalo inicial [a, b]- precisão

2. Se , então escolha para r qualquer FIM ]. ,[ bax∈

3. k = 0

ε

ε<−ba

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3. k = 0

4.2

baxk

+=

5. Se , faça Vá para o passo 7 0)()( >kxfaf .kxa =

6. kxb =

7. Se , escolha para r qualquer FIM].,[ bax∈

8. k = k +1. Volte ao passo 4

ε<−ba

2.3 Estimativa do número de iterações

0a 0b

1a 1b

200

110

ababrx

−=−≤−

Dada uma precisão e um intervalo [a, b], vamos determinar quantas

iterações, no mínimo, terão que ser efectuadas pelo método da bissecção

para que

ε

.ε<− rxk

0x

1x

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2110 abrx =−≤−

2a2b

2

0011221 22

abababrx

−=

−=−≤−

3a 3b

30022

332 22

abababrx

−=

−=−≤−

100

11 22 +++

−=

−=−≤−

k

kkkkk

abababrx

M

1+ka 1+kb

M

2x

Vamos determinar o menor inteiro k tal que :ε<− rxk

εε 00100 2

abab k −>⇒<

− ++

100

2 +

−≤−

kk

abrx

Então

Sabemos que

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.,12log

log)log( 00 Ζkab

k ∈−−−

>⇒ε

εε

12

2k>⇒<

+

( )

−>+⇒

ε00log2log1

abk

2.4 Convergência do método da bissecção

A convergência do método da bissecção é quase linear:

2

11lim ≈−

−+

∞→ rx

rx

k

k

k

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3. Método da corda falsa

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0011 0010

Condições para aplicação:

A função f deve ser contínua no intervalo , onde contém uma única raíz r.

No método da corda falsa, a função f é substituída pela recta que passa pelos pontos e .

É muito semelhante ao método da bissecção, só que em vez de determinar o ponto

( )( )afa, ( )( )bfb,l

[ ]ba,

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0011 0010

É muito semelhante ao método da bissecção, só que em vez de determinar o ponto médio do intervalo é determinado um ponto tal que

que é a abcissa do ponto de intersecção da recta com o eixo dos x .

O intervalo é então substituído pelo intervalo limitado por c e pelo extremo ou , em que a função tem sinal contrário a O processo repete-se agora para este novo intervalo (que contém a raiz) e assim sucessivamente até atingir a precisão desejada.

)()(

))((

afbf

abbfbc

−−

−=

l

a[ ]ba,

[ ]ba,

b ( ).cf

c

y

•

3.1 Interpretação geométrica

0l

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0011 0010

a b0x x1x

•

1l•

•

3.2 Algoritmo do método da corda falsa

Seja f contínua em [a, b], com uma única raíz neste intervalo.

1. Dados iniciais:

- intervalo inicial [a, b]- precisões

2. k = 0

( ) ab −−=

21 ,εε

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0011 0010

3. ( )( ) ( )afbf

abbfbxk −

−−=

5.

8. k = k +1. Volte ao passo 3

7 passo o para Vá . faça ,0)()( Se kk xaxfaf =>

kxb =

4. Se , faça . FIM1|)(| ε<kxf kxr =

6.

FIM . faça , Se 2 kxrab =<− ε7.

3.3 Majorante para o erro absoluto de uma estimativa

( ) { }.,max kkkkkka xbaxrxxe −−≤−=

3.4 Ordem de convergência do método da corda falsa

rx −

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crx

rx

k

k

k=

−

−

−∞→

1

lim

onde

com e pelo que a convergência dométodo da corda falsa é linear.

( )( )

0'

'1 >−=

εf

rfc

( )ba,∈ε ( ) ( ),'' εfrf <

4. Método de 5ewton Raphson

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0011 0010

Seja uma função com derivadas contínuas até à segunda ordem no intervalo , e para todo

Seja r a única raíz da equação nesse intervalo.

Pela fórmula de Taylor, se [ ],,bax ∈

[ ]ba, ( ) 0' ≠xf ( ).,bax ∈

( ) 0=xf

( ) ( ) 0<bfaf

f

4.1 Abordagem analítica

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0011 0010

Pela fórmula de Taylor, se

para algum entre e .

[ ],,0 bax ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!2

''' 2

0000

ξfxrxfxrxfrf −+−+=

ξ r0x

Como e ,

Se r está próximo de , o termo

( )( )

( ) ( )( )0

20

0

00 '2

''

' xf

fxr

xf

xfxr

ξ−+−=

0x

( ) ( )( )

20 '2

''

xf

fxr

ξ−

( ) 0=rf ( ) 0' 0 ≠xf

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é pequeno em valor absoluto e podemos escrever

( )( )0

0 '2 xfxr −

( )( )

.' 0

00

xf

xfxr −≈

Deste modo

é uma estimativa para a raíz r.

Pondo

( )( )0

001 ' xf

xfxx −=

( )( )

112 ' xf

xfxx −=

4251

0011 0010

temos outra estimativa para a raíz r.

Este procedimento pode repetir-se e obtemos assim uma sucessão

de valores aproximados da raíz r.

,...,, 210 xxx

( )112 ' xf

A partir de uma aproximação inicial gera-se uma sucessão

de aproximações sucessivas da raíz r através do processo iterativo dado por

0x

,...,, 210 xxx

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0011 0010

iterativo dado por

( )( )

,' 1

11

−

−− −=

k

k

kkxf

xfxx ,...2,1=k

4.2 Interpretação Geométrica

1Ly

f

Dado o ponto , traçamos a recta , tangente à curva nesse ponto, dada por e a abcissa do ponto de intersecção desta recta com o eixo dos x dá-nos uma aproximacão da raíz.

))(,( ii xfxiL

))((')()( iiii xxxfxfxL −+=

1+ix

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0011 0010

0x 1x2x xr0L

•

•

•

4.3 Algoritmo do M5R

Consideremos a equação f(x)=0.

1. Dados iniciais:

- aproximação inicial 0x

- precisões 21 ,εε

2. Se , faça . FIM 10 |)(| ε<xf 0xr =

3. k = 1)(xf

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0011 0010

4.)('

)(

1

11

−

−− −=

k

k

kkxf

xfxx

5.FIM . faça

|| seou

|)(| Se

21

1k

kk

kxr

xx

xf=

<−

<

− ε

ε

6. k = k + 1. Volte ao passo 4

4.4 Estudo da Convergência do M5R

Teorema. Seja f uma função que verifica as condições:

(i) f tem derivadas contínuas até à segunda ordem num intervalo

(ii) ;

(iii) para todo ;

( ) ( ) 0<bfaf

( ) 0' ≠xf [ ]bax ,∈

[ ]

[ ] ;,ba

4251

0011 0010

(iv) não muda de sinal no intervalo

(v) para algum

Então a sucessão

gerada pelo MNR, converge para a única raíz de

em .

''f

,...,, 210 xxx

( ) 0=xf

[ ]bax ,0 ∈( ) ( ) 0'' 00 >xfxf

[ ] ;,ba

[ ]ba,

Teorema. Seja f uma função que verifica as condições:

(i) f tem derivadas contínuas até à segunda ordem num intervalo

(ii) ;

(iii) para todo ;

( ) ( ) 0<bfaf

( ) 0' ≠xf [ ]bax ,∈

[ ] ;,ba

4251

0011 0010

(iv) não muda de sinal no intervalo

(v) e

Então a sucessão gerada pelo MNR, converge para a única raíz de em , para qualquer valor inicial

''f

( ) 0=xf

[ ] ;,bax∈

[ ]ba,

( )( )

abaf

af−≤

'( )( )

.'

abbf

bf−≤

[ ] .,0 bax ∈

Ordem de convergência do M5R

0lim2

1-

>=−

−∞→

crx

rx

k

k

k

2

1 rxcrx kk −≈− −

Assim, para k suficientemente grande,

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0011 0010

1 rxcrx kk −≈− −

O erro da iteração do MNR é proporcional ao quadrado do erro da iteração anterior. Por isso, a convergência é quadrática.

5. Método da secante

4251

0011 0010

A desvantagem que o método de Newton-Raphson apresenta ao ser necessário calcular a derivada da função (em certos problemas pode consumir muito tempo computacional) pode ser contornada pelo método da secante.

No método da secante, a derivada é substituída por:

( ) ( ) ( ).' 21

1−−

− −−

≈ kkk

xx

xfxfxf

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0011 0010

Consequentemente, substituindo na fórmula iterativa do método de Newton-Raphson, obtemos a fórmula iterativa do método da secante:

( ) .'21

1−−

− −≈

kk

kxx

xf

( )( )( ) ( )

,...3,2,21

2111 =

−−

−=−−

−−−− k

xfxf

xxxfxx

kk

kkkkk

Esta transformação faz com que seja necessário mais uma aproximação inicial para aproximar a primeira derivada.

Os critérios de convergência são os mesmos do método de Newton-Raphson, à excepção da última condição que pode ser adaptada para a escolha de duas estimativas iniciais:

Se e( )

abaf

−≤( )

,abbf

−≤

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Se e

então quaisquer podem ser utilizados para iniciar o método.

Por outro lado, se existirem tais que

e , então esses valores podem ser estimativas iniciais.

( )( )

abaf

af−≤

'

( )( )

,'

abbf

bf−≤

[ ]baxx ,, 10 ∈

[ ]baxx ,, 10 ∈

0)('')( 00 >xfxf 0)('')( 11 >xfxf

A ordem de convergência do método da secante é

.618.12

51≈

+=p

4251

0011 0010

f

r x

y

Interpretação geométrica

x xx

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0011 0010

r x

•

A partir de duas aproximações , a aproximação

é obtida como sendo a abcissa do ponto de intersecção

do eixo dos x e da recta que passa pelos pontos

12, −− kk xxkx

( )( ) ( )( ).,,, 2211 −−−− kkkk xfxxfx

•

2−kx 1−kxkx