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FIBONACCI

Trabalho realizado por:

Ana Dias, nº 1, 7ºB

Maria Fernandes, nº 17, 7ºB

Marta Sousa, nº 18, 7ºB

2011/12

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ÍNDICE Introdução......................................pág.2 Vida e obra de Fibonacci.............pág.3 Sequência de Fibonacci................pág.4 A razão dourada............................pág.5 Sequência de Fibonacci e a razão

dourada...........................................pág.6 Sequência de Fibonacci na: Arte, Música,

Plantas, Insetos, Moluscos e Coelhos............................................pág.7 à 14

Curiosidades...................................pág.15 à 17 Conclusão.........................................pág.18 Bibliografia.....................................pág.19

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INTRODUÇÃO O interesse do Homem pela Matemática está

presente na história da humanidade e na evolução do conhecimento da mesma. Ao longo deste trabalho vamos procurar perceber e contextualizar o contributo particular de um matemático, Fibonacci.

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VIDA E OBRA DE FIBONACCI

Fibonacci (Leonardo de Pisa) foi um dos matemáticos mais importantes da idade média, nasceu por volta de 1180, em Pisa. O pai de Fibonacci era um mercador que trabalhou no norte de África, pelo que cedo Fibonacci foi iniciado nos negócios e nos cálculos, o que despertou o seu interesse pela matemática. Fibonacci escreveu uma célebre obra chamada, "Liber Abaci", que foi um meio através do qual a numeração hindu-árabe foi introduzida na Europa Ocidental. No "Liber Abaci" explicava-se como utilizar estes numerais nas operações aritméticas, abordavam-se diversos temas de álgebra e geometria, e também se propunham vários problemas. O nome de Fibonacci tornou-se conhecido devido a um problema que existia no seu livro "Liber Abaci", chamado problema dos coelhos. A solução deste problema é uma sequência numérica.

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SEQUÊNCIA DE FIBONACCIO problema:Condições:

 -No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes dois coelhos acabaram de nascer;

-Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês;

-O período de gestação de um coelho dura um mês;

-Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses.

-A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea;

-Os coelhos nunca morrem.

Quantos coelhos existirão daqui a um ano? 

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COMO SE PODE CALCULAR O NÚMERO

DE CASAIS DE COELHOS EM CADA MÊS?Em cada mês, há o mesmo número de casais adultos do

mês anterior mais os casais que, no mês anterior, eram jovens e que cresceram, mais tantos casais filhos jovens como os casais adultos do mês anterior, os pais.

 Fibonacci reparou que, em cada mês, o número de casais

de coelhos era igual à soma dos casais dos dois meses anteriores. A sequência de casais era:

  1; 1; 2; 3; 5; 8; ...Cada valor da sequência, excetuando os dois primeiros,

obtêm-se a partir da soma dos dois anteriores. Esta sequência é conhecida por Sequência de

Fibonacci.

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A RAZÃO DOURADA A razão dourada ou número áureo ou de

ouro é uma constante real algébrica irracional denotada pela fórmula grega PHI e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. É um número que há muito tempo é empregado na arte e aparece em diversas formas da natureza. Também é chamada de: razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão.

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SEQUÊNCIA DE FIBONACCI E A RAZÃO

DOURADA A razão dourada é aproximada da divisão

do enésimo termo da Sequência de Fibonacci pelo termo anterior. Essa divisão converge para a razão dourada conforme tomamos n cada vez maior.

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SEQUÊNCIA DE FIBONACCI NA: ARTE

O notável artista italiano, Leonardo da Vinci valia-se de conceitos matemáticos para a confecção das suas telas. A pintura Monalisa, é um exemplo da aplicação de retângulos áureos como parâmetro de harmonia,objetivando sempre a perfeição nos seus quadros, da Vinci não poupou harmonia através de retângulos áureos a sua mais famosa criação. Ao observar atentamente o retângulo inserido em torno do rosto de Monalisa obteremos como razão o número 1,618, sendo, portanto, um retângulo áureo. Podemos perceber proporções áureas em outras partes do corpo de Monalisa, como da altura do pescoço até ao final do busto, e da altura deste, até ao umbigo, além das próprias dimensões da tela, que também formam um retângulo áureo.

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MÚSICA Os amantes da música podem ficar a saber

que mesmo Stradivarius utilizava o número de Ouro na construção dos seus famosos violinos. A razão dourada está presente nas famosas sinfonias de Beethoven, e em outras diversas obras. Outro facto interessante é que o baterista Max Roach, nos seus solos curtos, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa, o resultado é a razão dourada. O compositor húngaro Béla Bartók utiliza esta relação de proporcionalidade constantemente nas suas obras.

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PLANTAS Os números de Fibonacci podem ser usados para

caracterizar diversas propriedades na Natureza. O modo como as sementes estão dispostas no centro de diversas flores é um desses exemplos:

A Natureza "arrumou" as sementes do girassol sem intervalos, na forma mais eficiente possível, formando espirais que tanto curvam para a esquerda como para a direita. O curioso é que os números de espirais em cada direcção são (quase sempre) números vizinhos na sequência de Fibonacci. O raio destas espirais varia de espécie para espécie de flor. 

 

 

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INSETOS O escaravelho é um importante símbolo no

Egito. Ele pode ser redesenhado num retângulo áureo. Se as linhas são desenhadas a partir do centro do inseto, o retângulo pode ser dividido.

 

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MOLUSCOS Se desenharmos um rectângulo cujos lados

tenham uma razão entre si igual à razão dourada este pode ser dividido num quadrado e noutro rectângulo cuja razão entre os dois lados seja também igual à razão dourada. Este processo pode ser repetido indefinidamente �

Se unirmos os quartos de circunferência de todos os quadrados vamos obter uma espiral, chamada Espiral de Fibonacci: 

Na natureza há espirais como esta, relacionadas com o número de ouro, como, por exemplo, nos moluscos náuticos ou numa simples couve-flor.

OS COELHOS A sequência de Fibonacci permite-nos

saber quantos coelhos estarão num pátio ao fim de um mês supondo que nenhum coelho morre.

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CURIOSIDADES Já reparou que muitas flores têm 5

pétalas, que nós temos 2 mãos, cada uma com 5 dedos e cada dedo divido em 3 partes?

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Sabia que o ananás tem 8 diagonais num sentido e 13 no outro?

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Porque será que as margaridas têm geralmente 34, 55 ou 89 pétalas?

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CONCLUSÃO Com este trabalho ficámos a conhecer

Fibonacci e a perceber como é importante a matemática na resolução de problemas do dia a dia.

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BIBLIOGRAFIA

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm203/numeros.htm

http://www.slideshare.net/ritapereira/sequncia-de-fibonacci http://pt.wikipedia.org/wiki/Proporção_áurea