Curso de Geoestadistica - Dia 2:VariografiaOctubre 2008

"ue es eI variograma (1) en la mayoria de depositos, la correlacion entre las leyes en dos puntos dados: disminuye con la distancia entre los puntos varia con la direccion depende de la continuidad el variograma es una herramienta matematica que trata de cuantificar la correlacion espacial en los valores de una variable el variograma cuantifica la correlacion 30, espacial por medio del promedio de las diferencias al cuadrado entre dos puntos separados un vector

"ue es eI variograma (2)44 43 42 40 3943 42 41 40 3937 37 36 38 3735 37 35 37 3836 35 36 35 34(44 - 43)2=1(43 - 42)2=1(42 - 40)2=4(40 - 39)2=1. ......(35 - 34)2=11/2n L(z - zi+5)2= 0.68. ....Silver g/t correlacion a distancia = 5m

"ue es eI variograma (3)(h)Distance (h)0.00.20.40.60.81.01.21.40 10 20 30 40 50 60

"ue es eI variograma (4)44 43 42 40 3942 43 41 40 3937 37 36 38 3735 37 35 37 3836 35 36 35 34(44 - 42)2=4(43 - 40)2=9(42 - 39)2=9. ......(36 - 34)2=41/2n L(z - zi+10)2= 1.00. ....Silver g/t correlacion a distancia = 10m

"ue es eI variograma (5)(h)Distance (h)0.00.20.40.60.81.01.21.40 10 20 30 40 50 60

"ue es eI variograma (6)0.00.20.40.60.81.01.21.40 10 20 30 40 50 60(h)Distance (h)

"ue es eI variograma (7)h = 5m N-E h = 10m N-E la correlacion tambien puede variar con la direccion

"ue es eI variograma (8)0.00.20.40.60.81.01.21.41.60 10 20 30 40 50 60Distance (h)(h)E-WN-E

variogramas de distintos depositos

el variograma experimental es una medida de la diferencia la covarianza es una medida de la similitud el correlograma es otra medida de la correlaciontipos de "variograma" (1) ) ) ) . J=+=hNii ihh x : x :Nh

) ) )) ) h x : x :Nii ihm m h x : x :Nh Ch+=

|

+ =

) )) ) h x : x :h Ch+=o op

tipos de "variograma" (2) ) ) ) h C C h= ) )

o = = C ) p p =

el "General Relative variogram: el "Relative Pairwise variogram:tipos de "variograma" (3) ) ) ) h mhhGR

= ) ) ) . J ) ) . J='+

'

+ ++ =hNii ii ihRPh x : x :h x : x :Nh

tipos de "variograma" (4) en unidades al cuadrado (sill teorico = varianza): variograma covarianza sin unidades (sill teorico = 1): correlograma "General Relative variogram "Relative Pairwise variogram

"variogramas" usados por SAGE sin unidades y con sill teorico = 1 variograma estandarizado: correlograma "corregido: ) )

ohhstd= ) ) h hcorrp p=

h-scattergram o "nube de variograma"(1) el variograma es el promedio del cuadrado de las distancias de cada punto con respecto a la bisectriz ) ) ) . J=+=hNii ihh x : x :Nh

) ) )=|

+ =hNii ihh x : x :Nh

)==hNixhdNh

h-scattergram o "nube de variograma"(2) la correlacion es menor a distancias mayores (mayor dispersion de datos) "outliers pueden tener un efecto importante

h-scattergram o "nube de variograma"(3)

&sos deI variograma El variograma se puede usar para: caracterizar la variabilidad espacial es el fundamento para estudios de la varianza de estimacion para poder hacer cambio de soporte para obtener los pesos durante estimacion por kriging es simulacion condicional

parametros deI variogramaistancia a partir de la cual ya no hay continuidad

Aspectos deI variograma (1) la pendiente del variograma cerca al origen es una reflexion de la perdida de correlacion con la distancia a distancias mayores al rango ya no hay correlacion entre muestras el variograma puede que no llegue al sill

comportamiento aI origen01 63 24 86 48 09 61 1 20 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6024681 01 21 41 60 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 h h ighlyContinuousContinuoushh024681 01 21 41 60 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 60 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 01 . 20 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 h h iscontinuousPurely Randomhh

Anisotropia: definicionnisotropia = variacion con la direccion sotropia = igual en todas las direcciones el efecto de pepita siempre es isotropico dos tipos de anisotropia anisotropia geometrica anisotropia zonal

Anisotropia geometrica el caso mas comun: ocurre cuando los rangos varian en funcion de la direccion (pero el sill es el mismo en todas las direcciones)

Anisotropia zonaI (1) ocurre cuando la varianza (variabilidad) es diferente en distintas direcciones es comun en depositos estratificados dificil de modelar y usar en krigingverticalhorizontal

Anisotropia zonaI (2)

stationarity para poder calcular el variograma se asume que la poblacion es estacionariaesto nos permite calcular las estadisticas (variograma, covarianza, etc.) en funcion solo de la separacione independiente de la ubicacion absoluta de los puntos un modelo es estacionario de orden 2 cuando: la media existe y es invariante dentro del dominio la covarianza C() existe y depende solo del vector de separacion

"proportionaI effect" y "cIustering" (1) proportional effect: la varianza y la desviacion estandard son proporcionales a la media; es decir, en zonas con leyes altas la varianza es mayor (i.e., el dominio no es estacionario con respecto a la varianza) comun en la mayoria de depositos, en especial de u-g

"proportionaI effect" y "cIustering" (2) clusters generalmente ocurren en areas de alta ley a lags pequeos: sobreestimacion de la variabilidad a lags grandes: subestimacion de la variabilidad

"proportionaI effect" y "cIustering" (3) nos interesa el variograma real y no el obtenido por las muestras no hay forma de aplicar "declustering al variograma posible solucion es el uso de "variogramas no tradicionales como: la covarianza variogramas relativos el correlograma Normal Scores transformation la mejor solucion (por el momento) es el uso del correlograma

CaIcuIo deI variograma experimentaI

SeIeccion de parametros (1) datos no estan distribuidos homogeneamente en el espacio por ello se debe especificar lag (distancia) tolerancia en la distancia azimuth tolerancia en el azimuth bandwith (horizontal y/o vertical)

SeIeccion de parametros (2) usar la geologia para guiar la variografia; en especial, no mezclar datos de distintos dominios geologicos datos deben de ser de soportes similares en general, el variograma necesita un minimo de ~400 muestras para ser representativo; si no se dispone de ese numero de muestras: juntar dominios calcular usando los datos disponibles, pero indicar que el variograma no es representativo y esta sujeto a mucho error

SeIeccion de parametros (3) usar la menor tolerancia (lag/angular, bandwidth) que permita obtener variogramas razonables en caso de escacez de datos, calcular variograma enmenos direcciones con mayor tolerancia angular en caso extremo, calcular variograma omnidireccional

SeIeccion de Ias direcciones principaIes una de las direcciones principales debe de ser paralela a la direccion de mayor densidad de muestreo el lag debe de ser cercano al espaciamiento promedio de taladros, pero se debe de modificar en funcion del numero de datos disponible la tolerancia en el lag debe de ser la mitad del lag el maximo numero de lags dedebe de ser tal que:(numero de lags)x(lag) = (dimension mayor deposito)

ssues: Dominios no IineaIes el variograma es una medida de la correlacion lineal; aspectos no lineales no se reflejan (o no son reflejados correctamente) por el variograma posibles soluciones: subdividir en dominios donde las orientaciones preferenciales sean aprox. lineales transformacion de coordenadas (unfold/unwrinkle)

ssues: outIiers "outliers pueden tener un efecto fuerte en el variograma (es menor en correlograma y los variogramas relativos) soluciones: cap o eliminar outliers antes de calcular variograma Normal Scores Transformation

ssues: drift (1) drift: es la diferencia enre las medias de los "heads y los "tails En teoria el drift debe de oscilar alrededor de 0 un drift que muestra se incrementa o disminuye con la distancia (h) indica que hay una diferencia significativas en las medias (no hay estacionariedad), es decir, hay un "trend

ssues: drift (2)

odeIamiento deI variograma

!orque modeIar eI variograma? necesitamos valores de variograma en todas las direcciones y distancias las varianzas son calculadas en funcion del variograma; por ello, el modelo de variograma debe de asegurar que todas las varianzas calculadas sean positivas el objetivo es obtener un modelo que represente la anisotropia (rangos), continuidad (rangos, modelo) y variabilidad (sills, nugget) de la mineralizacion

odeIos de variograma (1)

odeIos de variograma (2)

odeIos de variograma (3)

Combinacion de estructuras (nested) frecuentemente varias estructuras son necesarias para modelar correctamente el variograma las estructuras pueden usar distintos modelos, direcciones y anisotropias cada estructura describe una fraccion de la varianza total

#otaciones (1) es uno de los temas mas confusos de geoestadistica cada software usa su propio metodo (algunos usan varios metodos) siempre usar la convencion apropiada al software que se quiere usar Minesight -> usar "MESYSTEM en SGE

#otaciones (2)

#otaciones (3)

#otaciones (4)

!asos en eI modeIamiento deI variograma1. estimar el efecto de pepita2. seleccionar el modelo a usar3. seleccionar las direcciones preferenciales a modelar4. modelar usando el "automatic fitting5. revisar el modelo obtenido, modificar los parametros necesarios (pasos 2 al 4) y volver a modelar6. repetir paso 5 hasta obtener modelo aceptable

Estimacion deI efecto de pepita efecto de pepita: es la variabilidad a escalas menores a la minima distancia de muestreo determinar el efecto de pepita usando el "downhole variogram modelarlo a mano o con SGE

SeIeccion deI modeIo a usar escoger el modelo que se ajuste a los datos con el menor numero de estructuras Para un rango dado, el modelo exponencial se incrementa mas rapidamente a distancias cortas que el modelo esferico

!robIemas con eI modeIo exponenciaI dos tipos: "practical range "traditional range la mayoria de los programas (incluyendo MineSight y Gemcom) asumen modelo con "traditional range en el modelo con "traditional range, el rango del modelo es un tercio del rango real

SeIeccion de Ias direcciones preferenciaIes en general, las direcciones preferenciales deben de ser escogidas en funcion del conocimiento geologico y de los controles de la mineralizacion en el proyecto solo cambiar las direcciones, si hay una discrepancia significativa con los datos

&so y abuso deI "automatic fitting" automatic fitting es una herramienta muy util; sin embargo: tiende a generar rangos excesivamente largos direccciones de anisotropia no son necesariamente adecuadas en resumen, siempre verificar, y modificar en caso necesario, los resultados del automatic fitting

SeIeccion de Ios rangos maximos ignorar puntos mas alla de la mitad del dominio en dicha direccion dar mas peso a los puntos mas cercanos al origen en particular, tratar de ajustar al primer punto que cruza el sill siempre chequear el fit en todas las direcciones

odeIamiento de Ia anisotropia en general, la anisotropia es subestimada debido al suavizamiento producido por el uso de las tolerancia angular, el bandwidth y la tolerancia de la distancia

"Overfitting" eI variograma frecuentemente algunos aspectos del variograma experimental son artefactos matematicos y no parte del modelo en especial, descartar puntos: con muy pocos pares de datos ("nunca usar puntos con menos de 30 datos) correspondientes a distancias mayores de mitad de la dimension del deposito (ancho/largo) en dicha direccion

Efecto de trends en eI variograma en presencia de trends, el variograma no tiene un sill definido utilizar la varianza global como sill

cicIicidad en eI variograma puede deberse a procesos geologicos pero tambien puede deberse a falta de datos modelar ignorando ciclicidad

odeIamiento deI variograma en general, el correlograma es la mejor opcion, pero puede enmascarar la presencia de anisotropia zonal no usar mas de 2 estructuras (+ nugget) usar el criterio geologico al escoger direcciones preferenciales y cocientes de anisotropia

"A"C de Ia Variografia calculo variograma; chequear: archivos de datos dominios numero de datos modelo variograma; chequear: efecto de pepita modelo exponencial: chequear rangos apropiados