2 LA CUENCA HIDROGRÁFICA

2.1 CARACTERÍSTICAS MORFOMÉTRICAS Y FISIOGRÁFICAS DE LA CUENCA

Para el concepto de cuenca hidrográfica se tienen varias definiciones. Según Heras (1972), se entiendepor cuenca vertiente, o cuenca de drenaje de un río, considerado en un punto dado de su curso, al árealimitada por el contorno en el interior del cual el agua precipitada corre por su superficie, se encuentra ypasa por el punto determinado del cauce.

Otra definición es la de LLamas (1993), según la cual una cuenca es un espacio geográfico cuyos aportesson alimentados exclusivamente por las precipitaciones y cuyos excedentes en agua o en materiassólidas transportadas por el agua forman, en un punto espacial único, una desembocadura, una estaciónde aforo, o un punto arbitrario.

Se define como línea divisoria o línea de divorcio a una línea imaginaria que delimita la cuenca.Generalmente se considera que la línea divisoria es la línea de cresta que separa dos vertientes teniendoen cuenta el drenaje superficial, pero en algunos casos se debe considerar la línea definida por laselevaciones más altas de la capa freática (almacenamiento de agua gravitacional en el suelo – agua libreen el suelo ) . Sin embargo, dado que dicho límite generalmente no difiere mucho del que estádeterminado por el drenaje superficial y cuando difiere un poco es muy difícil de detectar, se sueleconsiderar como cuenca la determinada por el límite de las aguas superficiales.

Dos cuencas sometidas a las mismas condiciones climáticas similares, pueden tener regímenes de flujototalmente distintos. Esta diferencia se debe principalmente a las diversas características físicas de ambascuencas. Aunque resulta evidente que factores como el tipo de suelo y el espesor de la capa permeableejercen un gran efecto sobre el régimen de flujo, la fisiografía puede ser importante en la respuesta de lacuenca a las precipitaciones. A continuación se hacer una presentación de las características fisiográficasque se han considerado más importantes.

2.1.1 EL AREA.El área de la cuenca es quizá el parámetro más importante, siendo determinante de la escala de variosfenómenos hidrológicos tales como, el volumen de agua que ingresa por precipitación, la magnitud de loscaudales, etc. El área de la cuenca se define como la proyección horizontal de la superficie de la misma yse puede medir directamente del mapa topográfico. Desde el punto de vista hidrológico es más importanteesta proyección horizontal que la superficie real de la cuenca. Las gotas de lluvia caen verticalemente y noortogonales a la ladera, igualmente el crecimiento de los arboles es vertical, etc.

El “área superficial real” o el “área de la superficie real”considera la pendiente de la cuenca se puederelacionar con el área de la cuenca mediante la siguiente expresión:

iA = AS cos

1

(2. 0)

1

siendo A la superficie medida en el mapa e i el ángulo que define la pendiente media de la cuenca. Comoeste ángulo de inclinación de las laderas es, en general, pequeño, los valores de AS y A sonprácticamente iguales excepto en las cuencas de orografía muy abrupta.El área superficial real puede parecer una medida representativa de la magnitud de la cuenca pero enrealidad es una medida ambigua que se puede prestar a equivocaciones. Así por ejemplo haciendohuecos y montículos se puede aumentar el área superficial real de la cuenca y no cambia su magnitud. Laproyección horizontal, que es perpendicular a la aceleración de la gravedad es mucho más coherente, losprocesos de intercambio con la atmósfera son generalmente verticales, el crecimiento de los árboles esvertical, etc.

2.1.2 PERÍMETRO

El perímetro (P)es la longitud del límite exterior de la cuenca y depende de la superficie y la forma dela cuenca.

2.1.3 LOS PARÁMETROS ASOCIADOS A LA LONGITUD

Longitud de la cuenca.Es la longitud de una línea recta con dirección “paralela” al cauce principal

Longitud del cauce principal.La longitud de un río es la distancia entre la desembocadura y el nacimiento.

Longitud máxima (Lm) o recorrido principal de la cuenca.La longitud máxima o recorrido principal de la cuenca (Lm), es la distancia entre el punto de desagüe yel punto más alejado de la cuenca siguiendo la dirección de drenaje. El recorrido principal, es lamáxima distancia recorrida por el flujo de agua dentro de la cuenca.

2

Longitud de la cuenca

Ilustración 2.1. Longitud de la cuenca, Cauce principal y recorrido principal de la cuenca.La diferencia entre éstas longitudes: la longitud de la cuenca, la longitud del cauce principal y la longituddel recorrido principal se ilustra en la figura 2.1. La longitud del recorrido principal añade al cauce principalel recorrido en ladera hasta el punto de la cuenca más alejado del desagüe siguiendo la dirección dedrenaje.

Las longitudes se obtienen generalmente de la medición en mapas topográficos, cuando el mapa está enpapel se pueden medir con un compás, una regla, una rueda para mapas (opisometro), o leyendo lascoordenadas en los puntos de cambio de dirección y calculando las distancias entre los puntos concoordenadas conocidas o se digitalizan y las longitudes se calculan en el mapa digital.

Los resultados de la medición de la longitud de un mapa puede tener variaciones en dependiendo de laescalas de los mapas y la precisión de la medición. De hecho la verdadera longitud de línea sinuosa comola de una corriente se plantea como una pregunta filosófica ¿cuál es la verdadera longitud?. Es ladistancia medida por el medio de la corriente? O por alguna de las orillas, cuál y porqué? o por la línea demayor profundidad (Thalweg)? O se sigue la trayectoria del flujo siguiendo los contornos de la piedras ylos obstáculos en el cauce?

Gan et al (1989) argumentan que la longitud de una línea intrínsecamente sinuosa tiende a incrementarsea medida que ella se mide con mayor precisión. Ellos sugieren que se debe utilizar la Longitud Fractal dela Corriente (Lf ) como una medida estandarizada. En un mapa la corriente se puede medir utilizando uncompás con una abertura determinada como un número determinado de tramos de igual longitud. De estamanera para cada abertura del compás X es necesario un número Z de veces para obtener la longitud L,repitiendo la medida para distintos valores de X se obtienen distintos valores de L con los que se puedehacer una regresión simple en el espacio logaritmico de L en función de X y se obtiene una ecuación deajuste del tipo

3

baXL

(2. 0) donde a y b son las constantes de la regresión y la longitud fractal Lf es igual a la constante a

aL f

(2. 0)la dimensión fractal D está dada por la expresión

bD 1

(2. 0)

Longitud del cauce hasta el punto más cercano al centroide. La determinación del centroide puedehacerse analíticamente, como para el cálculo del momento de inercia de una superficie.Empiricamente, se hace aprovechando el hecho de que el centroide debe coincidir con el centro degravedad de un cuerpo con la forma de la cuenca y un espesor contante.

Coeficientes de sinuosidad topográfica e hidráulica

El coeficiente de sinuosidad topográfica, St, es el cociente entre la longitud del valle Lv, y la del eje del ríoLe, y el de sinuosidad hidráulica, Sh, es el cociente entre la longitud directa Ld, en línea recta entre lasextremidades y la del eje del río. (En los tres casos, las longitudes son las proyecciones de los valoresreales sobre un plano horizontal).

LL = S ;

LL = S

e

dh

e

vt 2 (2. 0)

2.1.4 LA FORMA DE LA CUENCA

La forma de la cuenca es la configuración geométrica de la cuenca tal como está proyectada sobre elplano horizontal. Tradicionalmente se pensaba que era de gran importancia y que podía incidirsensiblemente en el tiempo de respuesta de la cuenca, es decir, al tiempo de recorrido de las aguas através de la red de drenaje, y, por consiguiente, a la forma del hidrograma resultante de una lluvia dada.En la actualidad no se da tanta importancia a la forma de la cuenca.

Para determinar la forma de una cuenca se utilizan varios índices asociados a la relación área-perímetro.Los más comunes son:

Índice o coeficiente de compacidad

4

El índice o coeficiente de compacidad Kc se debe a Gravelius, y es la relación entre el perímetrode la cuenca y el perímetro de un círculo de igual área que la cuenca. LLamas (1993) da lasiguiente expresión:

AP 0.28 = K c

(2. 0)

siendo P y A el perímetro y el área de la cuenca, respectivamente. En cualquier caso, elcoeficiente será mayor que la unidad, tanto más próximo a ella cuanto la cuenca se aproxime mása la forma circular, pudiendo alcanzar valores próximos a 3 en cuencas muy alargadas.

Factor de formaEl factor de forma, Rf. fué definido por Horton, como el cociente entre la superficie de la cuenca y elcuadrado de su longitud:

2LA = R f 3 (2. 0)

donde Lm es la longitud máxima o recorrido principal de la cuenca. Mediante este parámetro serelacionan otros parámetros morfométricos de la cuenca, según LLamas (1993), el perímetropuede estimarse mediante la expresión:

R A K = P mf

n 4 (2. 0)siendo A la superficie de la cuenca, Rf el factor de forma (que más adelante será estudiado) y k,ny m coeficientes cuyos valores medios son, respectivamente, 4, 0.5 y 0.5 .

Coeficiente de forma

Coeficiente de forma, Kf. Es la relación entre la anchura media Bm de la cuenca y la longitud (L) :

LB = K m

f (2. 0)

Radio o relación de elongaciónEl radio o la relación de elongación (Re.) Definido por Schumm, es la relación entre el diámetro deun círculo de área igual a la cuenca y la longitud de la cuenca (L). Expresando el diámetro enfunción del área de la cuenca (A) queda:

LA 1.128 = Re 5 (2. 0)

Radio o relación de circularidad.El radio o la relación de circularidad, (Rci), es el cociente entre el área de la cuenca (A) y la delcírculo cuyo perímetro (P) es igual al del la cuenca:

5

PA4 = R 2ci

6 (2. 0)

Rectángulo equivalentePara poder comparar el comportamiento hidrológico de dos cuencas, se utiliza la noción de rectánguloequivalente o rectángulo de Gravelius. Se trata de una transformación puramente geométrica en virtudde la cual se asimila la cuenca a un rectángulo que tenga el mismo perímetro y superficie, y, por tanto,igual coeficiente de Gravelius (coeficiente de compacidad, Kc). Así, las curvas de nivel se transformanen rectas paralelas al lado menor del rectángulo, y el desagüe de la cuenca, que es un punto, quedaconvertido en el lado menor del rectángulo.

Para la construcción del rectángulo, se parte del perímetro, P, y el área de la cuenca, A. Si los ladosmenor y mayor del rectángulo son, respectivamente, L1 y L2 , entonces:

0.28A K = )L+L( 2 = P c

21 7

(2. 0)siendo

A = L L 21 8 (2. 0)

La solución de este sistema de ecuaciones es:

K

1.12-1-1 1.12

A K = Lc

2c

1 9 (2. 0)

K

1.12-1+1 1.12

A K = Lc

2c

2 10 (2. 0)

Para que esta representación sea posible es necesario que se cumpla la condición:

1.12 K c 11 (2. 0)

2.1.5 RELIEVE Y ALTITUD DE LA CUENCA

La influencia del relieve sobre la respuesta hidrológica de la cuenca es importante, puesto que a mayorespendientes corresponden mayores velocidades del agua en las corrientes y menor será el tiempo deconcentración de la cuenca.

6

La altitud media, el rango de alturas, la elevación de la cuenca, la altitud es determinante de latemperatura y la precipitación. LLamas (1993)

La relación de relieveSchumm (1956) propone una expresión muy simple para la descripción del relieve, (Relif Ratio) laRelación de Relieve (Rr ) en función de la longitud de la cuenca L y de la diferencia de altura entre lasalida de la cuenca y el punto más alto en la divisoria de la cuenca (h) :

Lh = Rr

La curva hipsométricaLa curva hipsométrica sugerida por Langbein et al. (1947), proporciona una información sintetizadasobre la altitud de la cuenca, que representa gráficamente la distribución de la cuenca vertiente portramos de altura. Dicha curva presenta, en ordenadas, las distintas cotas de altura de la cuenca, y enabscisas la superficie de la cuenca que se halla por encima de dichas cotas, bien en Km2 o en tantopor cien de la superficie total de la cuenca. La ilustración 2.1 muestra una curva hipsométrica tipo.

Ilustración 2.1. Curva hipsométrica. (fuente: LLamas, J., Hidrología general, figura 2-2).

De esta curva se puede extraer una importante relación, y es la

7

RELACIÓN HIPSOMÉTRICA :

SS = R

i

sh 12

(2.8)donde Ss y Si son, respectivamente, las áreas sobre y bajo la curva hipsométrica. Según Strahler(LLamas,1993), la importancia de esta relación reside en que es un indicador del estado de equilibriodinámico de la cuenca. Así, cuando Rh = 1, se trata de una cuenca en equilibrio morfológico. La siguienteilustración muestra tres curvas hipsométricas correspondientes a otras tantas cuencas que tienenpotenciales evolutivos distintos.

Iliustración 2.2. Curvas hipsométricas características del ciclo de erosión (según Strahler). (fuente: LLamas, J., Hidrología general, figura 2-6).

La curva superior (curva A) refleja una cuenca con un gran potencial erosivo; la curva intermedia(curva B) es característica de una cuenca en equilibrio; y la curva inferior (curva C) es típica de unacuenca sedimentaria. Quedarían, así, representadas distintas fases de la vida de los ríos:

- curva A: fase de juventud- curva B: fase de madurez

- curva C: fase de vejez

8

Scheidegger (1987) rechaza esta clasificación aduciendo que el levantamiento (uplifting) tectónicoes un proceso continuo y que, a lo largo de la historia de la cuenca, hay una tendencia a equilibrarlas fuerzas antagónicas de construcción tectónica y degradación por erosión u otros mecanismos.Si un paisaje muestra un carácter permanente, estos dos procesos opuestos están en equilibriodinámico. Scheidegger entonces atribuye las diversas formas de la curva hipsométrica a losniveles de actividad de los ya citados procesos. Así, la curva A se corresponde con una altaactividad, la curva B con una actividad media y la curva C con una actividad baja. El nivel deactividad no tiene por qué estar relacionado con la edad de la cuenca.

PendienteTiene una gran importancia porque, indirectamente, a través de la velocidad del flujo de agua, influyeen el tiempo de respuesta de la cuenca.

Según Heras (1972), entendemos por pendiente media de una cuenca a la media ponderada detodas las pendientes correspondientes a áreas elementales en las que pudiéramos considerarconstante la máxima pendiente.

El método más antiguo para obtener la pendiente media consiste en ponderar las pendientes mediasde superficies o bandas de terreno en las que queda dividida la cuenca por las curvas de nivel.Resulta finalmente la expresión:

AL h

= S cn 13 (2.9)

donde S es la pendiente media de la cuenca, h la equidistancia entre curvas de nivel, Lcn lalongitud de todas las curvas de nivel y A el área total de la cuenca.

También se puede obtener la pendiente media de una cuenca como el cociente entre la diferenciade elevación máxima medida entre el punto mas alto del límite de la cuenca y la desembocaduradel río principal, y la mitad del perímetro de la cuenca (LLamas, 1993):

PH 2 = S 14 (2.10)

donde H es la citada diferencia de cota y P el perímetro de la cuenca.

Según Benson (1959), la pendiente media de una cuenca puede asimilarse a la pendiente de larecta trazada entre los puntos que se encuentran al 85 % y al 10 % de distancia a partir del puntomás alejado del punto de desagüe siguiendo el curso principal.

9

1Ilustración 2.3. Cálculo de la pendiente media de una cuenca según Benson. (fuente: LLamas, J.,Hidrología general, figura 2-7).

Por consiguiente, la pendiente media de la cuenca es la pendiente entre los puntos B y C:

BCH - H = S cb 15 (2.11)

siendo:

AD 0.85 = AC ; AD 0.10 = AB 16 (2.12)

Sin embargo, la pendiente media puede resultar un índice poco significativo, pues se pueden tenercuencas con igual valor de pendiente media pero con perfiles hipsométricos distintos.

Es más descriptivo, y útil, tener una idea precisa de la distribución de las pendientes de una cuenca.Ello se refleja en el histograma de frecuencias, cuya obtención, antiguamente, consistía en elegiraleatoriamente una serie de puntos de la cuenca, cuyo número depende de las dimensiones de lamisma, hacer pasar por cada uno de ellos el segmento más corto que intercepte a las dos curvas denivel que enmarcan dicho punto, y determinar la pendiente de esa recta, utilizando los valores asíobtenidos para construir el histograma de frecuencias.

Así, en lugar de representar toda la cuenca por un valor de pendiente único, se tiene una distribuciónde frecuencias. Se puede así hablar de un valor medio, de una mediana, de un valor más probable,etc.

Actualmente, con el desarrollo en los últimos años de numerosos sistemas de información geográfica,se han incorporado en muchos de ellos aplicaciones que permiten la obtención de campos de

10

pendientes, a partir de un modelo de elevación digital del terreno, cuya única limitación es el tamaño oresolución de las áreas elementales de información o celdas.

Orientación de la cuencaPor orientación de la cuenca, según LLamas (1993), hay que entender su dirección geográfica segúnla resultante de la pendiente general.

Este concepto es importante por que distintos elementos pueden relacionarse con la orientación de lasuperficie y entre ellos se tienen:- El número de horas que está soleada la cuenca. Este es un elemento bastante importante en la

medida que aumenta la latitud de la cuenca. Puede ser el factor principal en el cálculo de laevaporación y la evapotranspiración.

- Las horas en a las que incide el sol sobre la ladera de la cuenca. - La dirección de los vientos dominantes- La dirección del movimiento de los frentes de lluvia - Los flujos de humedad

La pendiente media del cauce principal

corrienteladeLongitudsalidalaaElevaciónnacimientoelenElevaciónSc ___

)______(

El perfil del cauce principal

2.1.6 LA RED DE DRENAJE

Densidad de drenajeHorton (1945) definió la densidad de drenaje de una cuenca como el cociente entre la longitud total delos canales de flujo pertenecientes a su red de drenaje y la superficie de la cuenca:

AL = D T 17 (2.18)

Este parámetro es, en cierto modo, un reflejo de la dinámica de la cuenca, de la estabilidad de la redhidrográfica y del tipo de escorrentía de superficie, así como de la respuesta de la cuenca a unchubasco.

11

Carlston (1963) determinó que el drenaje está relacionado con los aspectos hidrológicos del sistemade canales de la cuenca. Así, la densidad de drenaje la asoció con la transmisividad del suelo, elcaudal o flujo base, el caudal medio anual por unidad de área y la recarga.

También la densidad de drenaje depende de las condiciones climáticas; por ejemplo, de laprecipitación anual media o de la intensidad de lluvia. Chorley (1957) relacionó la densidad de drenajecon el clima y la vegetación, según la expresión:

I1 D 18 (2.20)

siendo: lluvia de intensidad* n iprecipitacn vegetaci de cantidad = I 19

(2.21)

La densidad de drenaje es un indicador de la respuesta de la cuenca ante un aguacero, y, por tanto,condiciona la forma del hidrograma resultante en el desagüe de la cuenca. A mayor densidad dedrenaje, más dominante es el flujo en el cauce frente al flujo en ladera, lo que se traduce en un menortiempo de respuesta de la cuenca y, por tanto, un menor tiempo al pico del hidrograma.

Constante de estabilidad del ríoLa constante de estabilidad de un río, propuesta por Schumm (1956) como el valor inverso de ladensidad de drenaje:

D1 =

LA = C

T20 (2.19)

representa, físicamente, la superficie de cuenca necesaria para mantener condiciones hidrológicasestables en una unidad de longitud de canal. Puede considerarse, por tanto, como una medida de laerodabilidad de la cuenca. Así, regiones con suelo rocoso muy resistente, o con suelos altamentepermeables que implican una elevada capacidad de infiltración, o regiones con densa coberturavegetal, tienen valores altos de la constante de estabilidad y bajos de densidad de drenaje. Por elcontrario, una baja constante de estabilidad, o una elevada densidad de drenaje, es característica decuencas con rocas débiles, escasa o nula vegetación y baja capacidad de infiltración del suelo.

Densidad hidrográficaSe define como el cociente entre el número de segmentos de canal de la cuenca y la superficie de lamisma:

AN = F T 21 (2.22)

donde NT es la suma de todos los segmentos de canal que forman la red hidrográfica de la cuenca,entendiendo como tales a todo tramo de canal que no sufre aporte alguno de otro canal. Aunque ladensidad hidrográfica y la densidad de drenaje miden propiedades distintas, Melto (1958) propuso unarelación, que ha resultado muy acertada, entre ellas:

D* = F 2 22 (2.23) es un coeficiente adimensional que se aproxima generalmente a un valor de 0.7 (0.694).

12

2.1.7 LA ESTRUCTURA DE LA RED DE DRENAJE

El análisis cuantitativo de redes hidrográficas se basa en el método de Horton (1945) de clasificación de lared de canales, basado en el sistema de Gravelius.

Horton (1945) propuso un esquema de ordenamiento para la red de drenaje, con base en esteordenamiento, encontró algunas regularidades existentes en la red de drenaje, relacionadas con laestructura de bifurcación, y su distribución espacial. Los primeros resultados empíricos sobre estasregularidades se conocen como las Leyes de Horton: las llamadas ley de los números de corriente y ley delas longitudes de corriente.

Modelo de ordenación de Horton - Strahler

Strahler (1952, 1957), revisó y perfeccionó el esquema de Horton dando lugar al esquema deordenación o de clasificación de Horton-Strahler, hoy en día el más utilizado en hidrología (hay otrosmodelos, como el de Shreve (1966), Mock (1971), etc).

Las redes de drenaje pueden ser modeladas o representadas como arboles, los cuales estánconformados por un conjunto de nodos conectados unos a otros por segmentos de recta de maneraque cada nodo tiene solo una ruta hacia la salida. Los nodos que se conectan a un solo segmento sonllamados fuentes y los que conectan a más de uno son llamados uniones. Además los segmentos quese conectan a una fuente y a una unión se los denomina tramos exteriores o externos y a aquellosque se conectan a dos uniones se les denomina tramos interiores o internos

Se considera que la cuenca tiene una única salida o punto de desagüe; Los puntos en los que seunen dos segmentos de canal son los nudos internos; Los nudos externos son aquellos a partir de loscuales se origina un segmento de canal (es decir, la cabecera de todos los tributarios de la cuenca);

Según Strahler una corriente puede tener uno o más segmentos. Un canal es una unión arbitraria desegmentos (e.j. canal principal). Strahler ordena las corrientes de acuerdo los siguientes criterio:

1. Los segmentos que se originan en un nudo externo son definidos como tramos de primer orden.Los segmentos que están unidos a una fuente (los que no tienen tributarios), son definidos comode primer orden.

2. Cuando dos segmentos del mismo orden, i, se unen en un nudo interior dan lugar a un segmentode orden superior, i+1, aguas abajo. Cuando se unen dos corrientes de orden crean unacorriente de orden

3. Cuando se unen dos tramos de distinto orden en un nudo interior dan lugar a un tramo queconserva el mayor de los órdenes. Cuando se unen dos tramos de distinto orden el orden delsegmento resultante es el máximo orden de los segmentos que la preceden. Cuando a unacorriente se le une otra de menor orden, la primera continúa y conserva su número de orden.

13

4. El orden de la cuenca, , es el de la corriente de mayor orden.

En la ilustración siguiente, se muestra un sencillo ejemplo de ordenación de una red hidrográficasegún el criterio de Strahler.

Ilustración 2.5. Ordenación de una red de canales según Strahler. La ley de los números de corriente

La ley de los números de corriente establece que el número de corrientes de un determinado ordensigue una relación geométrica inversa con dicho orden:

R = N i-Bi (2.32)

donde Ni es el número de canales de orden i, es el mayor orden de los canales de la cuenca y RB

es una constante característica de la cuenca llamada Relación de Bifurcación. Los pares de puntos( i , log Ni ) de todos los órdenes de la cuenca se ajustan a una línea recta de pendiente negativa. Elvalor absoluto de dicha pendiente es el logaritmo de RB. Obsérvese que, utilizando la ley de losnúmeros de corriente, el número total de tramos de canal de una cuenca se puede obtener como:

1 - R1 - R = R = R + ... + R + R + 1 = N = N

B

Bi-B=1i

1-B

2BBi=1iT

23

(2.33)

14

Así mismo, la ley de los números de corriente se puede expresar como:

NN = R

i

1-iB 24 =2,3,... , 25 (2.34)

El valor típicos de RB es igual a 4 variando en un rango de 3 a 5.

La ley de las longitudes de corriente.La ley de Horton para la longitud de las corrientes se expresa como

R LL

L1-i

i ó 1 iLi RL 26 =2,3,... , (2.35)

donde Li es la longitud promedia de las corrientes de orden i y RL es otra constante característica de lacuenca llamada Relación de longitud. La longitud promedia de las corrientes de cada orden vienedada por la expresión:

L N1 = L i

N=1n

ii n

i 27 (2.36)

donde Lin es la longitud de un canal de orden i. El valor típico de RL es de 2 variando en un rango de1.5 a 3.5

La ley de las áreas de corrienteCon el mismo fundamento que las dos leyes anteriormente establecidas por Horton, Schumm (1956)propuso la ley de las áreas de corriente:

R = AA

A1-i

i 28 (2.37)

donde A i es el área el área de drenaje promedio de las corrientes de orden i y RA es la relación deáreas. El área drenante media a los canales de cada orden se obtiene como:

A N1 = A i

N=1n

ii n

i 29 (2.38)

siendo Ain el área de la cuenca que drena al canal n de orden i y a todos sus tributarios; de tal formaque A_ es el área total de la cuenca. El valor típico de RA esta alrededor de 5.

Los valores para las relaciones (ratios) de longitud y área se consiguen, al igual que para los de larelación de bifurcación, ajustando sendas rectas a los pares de puntos ( i , logLi ) e ( i , log Ai ) yobteniendo las pendientes de dichas rectas.

La ley de las pendientes de corriente Morisawa (1962) propuso la ley de pendientes de corrientes y, cuya expresion es:

S R = S ii-

Si 1 30 (2.39)

donde RS es la relación de pendiente, Si es la pendiente media de los canales de orden i.

La ley del relieve de la cuenca Igualmente Morisawa (1962) propuso la ley del relieve de la cuenca

15

E R = E i1-i

Ei 1 31 (2.40) donde RE es la relación del Relieve y Ei es la altura o elevación media de las cuencas de orden i.

El numero de segmentos de la corrienteEs posible definir una relación semejante para el número de segmentos en una corriente de orden

cRC

C

)1()(

ó 1 CRC =2, 3, ... ,

donde C() es el numero de segmentos en una corriente de orden El valor usualmenteencontrado en estudios de campo para RC esta alrededor de 2.

Magnitud de una cuencaSe entiende por magnitud de una cuenca, M, el número de tramos de canal exteriores (tramos decanal que unen un nudo externo y un nudo interno); es decir, según la ordenación Horton-Strahler, elnúmero de tramos de canal de orden 1. En una cuenca, el número de tramos de canal interiores es M-1, por lo que el número total de tramos es 2M-1.

Es importante resaltar que hay una relación lineal muy ajustada entre el número de tramos de canal yel área total de la cuenca, como se muestra en la siguiente figura:

Ilustración 2.7. Relación entre el número de tramos de canal y el área de la cuenca obtenida en la cuencadel río Walnut Gulch, en Arizona. (fuente: Bras, R.L., Hydrology, figura 12.9).

El diámetro de la cuencaEl diámetro de la cuenca D, es la máxima longitud topológica existente en la cuenca; es decir, serefiere a la ruta, según la dirección del drenaje, que mayor número de tramos contenga, entre una

16

cabecera de la red y el desagüe de la cuenca. En otras palabras se define como diámetro topológicoal número de segmentos que contiene el canal principal.

La ley de Hack y otras propiedades de escalamiento múltiple

Hack (1957) demostró la aplicabilidad de una función potencial que relaciona la longitud del canalprincipal de una cuenca con su área. En su estudio para distintas cuencas del mundo encontróandoun exponente cercano a 0.6. encontró la ecuación

L=1.4 A 0.6

Siendo L la longitud del canal principal (en millas) y A el área de la cuenca (en millas cuadradas).Hack adelantó este estudio para otras Mas adelante en 1961, Gray publicó los resultados de unainvestigación sobre este tema, reportando que L A 0.568. A partir de esta fecha otros investigadoreshan verificado la relación, que se conoce actualmente como la Ley de Hack (LAh , donde h es elexponente de Hack ). El valor esperado del exponente de Hack a partir del análisis dimensional es0.5, razón por la cual, el valor típicamente encontrado cercano a 0.6, ha sido objeto de diversasinvestigaciones. Las explicaciones que se han están relacionadas con la elongación de las cuencascon el aumento de su tamaño (i.e. cuencas pequeñas tendrían forma aproximadamente circular ycuencas grandes forma de tabaco), con el carácter fractal del canal principal y con el aumento de lasinuosidad hacia aguas abajo. Adicionalmente Shreve propone que el exponente observado por Hackes el resultado de un proceso preasintótico.

Con base en el modelo de Sreve sobre la red de drenaje Mesa y Gupta (1987) obtuvieron además unvalor teórico para el exponente de Hack en función de la magnitud de la cuenca (n)

1

21

21

21)(

nnnh

Así, para n=10, 100, 500 la pendiente h(n) es 0.68, 0.53, 0.513, respectivamente. Las conclusionesde este modelo pueden ser interpretadas en dos sentidos:

Las redes de drenaje naturales son topológicamente aleatorias y su formación depende, por lotanto, de las leyes del azar.Las leyes de Horton RB, RL y RA, así como otras relaciones empíricas como la ley de Hack existenen la mayoría de redes de drenaje posibles y por lo tanto estas no dicen mucho acerca de losprocesos que controlan su crecimiento y desarrollo.

La explicación del exponente anómalo de Hack continua siendo un problema abierto en hidrología y lapregunta sobre si sus causas son geométricas, topológicas o morfológicas abre camino a diversoscampos de estudio.

En hidrología, hay varios asuntos con este tipo de exponentes anómalos, por ejemplo la relación entre loscuantiles de caudal y el área de drenaje de la cuenca. El caudal de banca llena, por ejemplo, tiene unperiodo de retorno de aproximadamente 1.5 años (Leopold y Miller, 1964) y su relación con el área estadada por QA 0.75. Otro caudal que caracteriza el comportamiento de la cuenca es el caudal medioanual el cual tiene una relación aproximada Q A. El estudio detallado de la relación de caudal y áreapara un cuantil dado Q= c()A() adquiere gran importancia para el estudio de cuencas no

17

instrumentadas en las cuales se puede dar un buen estimado de diversas cantidades como función de suárea. Esta relación a sido estudiada recientemente por Gupta et al (1994) a la luz de la teoría demultiescalamiento.

La función ancho Es un cuantificador de las características de la cuenca que pueden tener una relación directa con la formay el pico del hidrograma (Mesa , 1986, Bras, 1990). La función ancho N(x) mide el número de tramos decanal a cada distancia x desde el desagüe de la cuenca. La distancia x puede ser la distancia real segúnel curso del agua, la distancia en línea recta entre nudos o la distancia topológica (medida en términos denúmero de tramos de canal). La siguiente ilustración muestra un ejemplo de obtención de la función anchoutilizando la distancia topológica, así como su relación con la respuesta de la cuenca:

Ilustración 2.6. Función ancho medida en términos de distancia topológica. (fuente: Bras, R.L.,Hydrology, figura 12.7).

Suponiendo que la cuenca tiene la propiedad de que el tiempo de viaje del agua es constante en todotramo de canal, es sencillo ver la estrecha relación de la función peso con el tipo de respuesta de lacuenca. Así, una gota de agua que esté dos tramos de canal aguas arriba del desagüe tardará dosunidades de tiempo en alcanzar dicho desagüe. Evidentemente, la cantidad de agua que saldrá por eldesagüe de la cuenca en cada intervalo de tiempo equivalente al tiempo constante de viaje del aguaen cada tramo de canal, viene dada por la función ancho. Es decir, la función ancho seríaproporcional al hidrograma unitario.

El modelo de Horton-Strahler ha recibido muchas críticas, tanto para el propio sistema de ordenacióncomo para las leyes resultantes.

En cuanto al sistema de ordenación, porque ignora los cambios que ocurren en un canal cuando se une aél un tributario de orden inferior; esto es, según el sistema de Horton-Strahler, el orden sólo cambia

18

cuando se unen dos corrientes del mismo orden, mientras que las propiedades físicas e hidráulicas de loscauces cambian en todas las uniones.

En lo referente a las leyes derivadas del modelo, algunos autores (por ejemplo Smart, 1978) afirman queno siempre son válidas, y que cuando lo son, es como resultado del propio proceso de ordenación.

Schumm (1956) y otros autores han encontrado que las gráficas de pares de puntos orden-número decanales y orden-longitud media de los canales presentan desviaciones sistemáticas de una línea recta.

Aún así, modelo de jerarquización de Horton-Strahler es al más utilizado en la actualidad. Es la base devarios procedimientos en hidrología como los llamados hidrogramas unitarios geomorfológicos, como el deRodríguez-Iturbe y Valdés (1979) o el de Rosso(1984), modificado por García Bartual (1990).

2.1.8 EL TIEMPO DE CONCENTRACIÓN DE UNA CUENCA

También denominado tiempo de respuesta o de equilibrio, LLamas (1993) lo define como el tiemporequerido para que, durante un aguacero uniforme, se alcance el estado estacionario; es decir, el tiemponecesario para que todo el sistema (toda la cuenca) contribuya eficazmente a la generación de flujo en eldesagüe. Se atribuye muy comúnmente el tiempo de concentración al tiempo que tarda una partícula deagua caída en el punto de la cuenca más alejado (según el recorrido de drenaje) del desagüe en llegar aéste. Esto no se corresponde con el fenómeno real, pues puede haber puntos de la cuenca en los que elagua caída tarde más en llegar al desagüe que el más alejado. Además, debe tenerse claro que el tiempode concentración de una cuenca no es constante; depende, como indican Marco y Reyes (1992), de laintensidad del chubasco, aunque muy ligeramente.

Por tener el concepto de tiempo de concentración una cierta base física, han sido numerosos los autoresque han obtenido formulaciones del mismo, a partir de características morfológicas y geométricas de lacuenca. A continuación, se muestran algunas de esas fórmulas empíricas:

Fórmula de Kirpich.Calcula el tiempo de concentración, Tc, en minutos, según la expresión

S L 0.01947 = T -0.3850.77c 32 (2.27)

siendo L la longitud del cauce principal de la cuenca, en metros, y S la diferencia entre las doselevaciones extremas de la cuenca, en metros, dividida por L (es decir, la pendiente promedio delrecorrido principal en m/m).

Fórmula Californiana (del U.S.B.R.).Es la expresión utilizada para el tiempo de concentración en el cálculo del hidrograma triangulardel U.S. Bureau of Reclamation. Obtiene el tiempo de concentración de la cuenca según laexpresión

)JL( 0.066 = T 1/2

0.77

c 33 (2.26)

19

donde Tc es también en horas, y L y J la longitud y la pendiente promedio del cauce principal de lacuenca, en Km y en m/m, respectivamente.

Fórmula de Giandotti.Proporciona el tiempo de concentración de la cuenca, Tc , en horas.

L J 25.3L 1.5 + A 4 = T c 34 (2.28)

siendo L y J los definidos anteriormente y A la superficie de la cuenca en Km2.

Fórmula de Ventura-Heras.

0.13 0.04 J

A = T0.5

c 35 (2.29)

siendo Tc el tiempo de concentración en horas y A y J los ya definidos anteriormente.

Fórmula de Passini.

0.13 0.04 J

)L (A = T 0.5

1/3

c 36 (2.30)

donde Tc el tiempo de concentración en horas y A, L y J los definidos anteriormente.

Fórmula de Témez.Es la recomendada en España, para el método racional modificado, en la Instrucción 5.2 - I.C. deDrenaje Superficial (M.O.P.U., 1990). Se utiliza en el cálculo del hidrograma triangular deJ.R.Témez. Se deriva de la fórmula del U.S.Army Corps of Engineers.

)JL( 0.3 = T 1/4

0.76

c 37 (2.25)

donde L es la longitud del cauce principal de la cuenca, en Km, J es la pendiente promedio dedicho recorrido en m/m, y Tc es el tiempo de concentración de la cuenca, en horas.

Fórmula California Culvert Practice.

)H

L 11.9( 60 = T3

c 38 (2.31)

donde Tc es el tiempo de concentración en minutos, L la longitud del curso de agua más largo, enmillas, y H la diferencia de nivel entre la divisoria de aguas y el desagüe de la cuenca, en pies.

2.1.9 THE TOPOGRAPHIC INDEX (TOMADO DE: ELEMENTS OF PHYSICAL HYDROLOGY. HORNBERGERG.M., RAFFENSPERGER J.P. Y WIBERG P. L., 1998).

The important characteristics of a hillslope that influence the likelihood of areas of saturation developingare the upslope "contributing area" and the slope of the block. The topographic index, defined as:

20

(9.19)where a is the upslope contributing area per unit contour length (A/c) and tan is the local slope,quantitatively captures the effect of topography. The upslope contributing area is determined by drawingstreamlines representing flow paths through the catchment, based only on the catchment topography. Thecontributing area is related to the size of the streamtube above each point.

Figure 9.8 The water balance for a catchment hillslope segment. Throughfall at rate p falls on thesegment of area A and thickness D. A portion, R, of this recharges the subsurface. Subsurface flowfrom the segment occurs at rate qsubsurface. Surface flow, qoverland, occurs from saturated areas(saturation-excess overland flow). The local slope at the outflow point, , is considered to be equalto the slope of the water table.

A map of topographic indices for a catchment reveals areas where runoff processes such as saturation-excess overland flow are likely to occur (Figure 9.9a). High values of the topographic index indicate areaswith large contributing areas and relatively flat slopes, typically at the base of hillslopes and near thestream. These areas also correspond with expected groundwater discharge areas. Low TI values arefound at the tops of hills, where there is relatively little upslope contributing area and slopes are steep.These areas correspond generally with groundwater recharge areas.

21

Figure 9.9 Topographic indices for a catchment in Shenandoah National Park. The spatial pattern(a) indicates a likelihood of saturation in the central valley of the catchment. The distribution ofvalues (b) is used in TOPMODEL calculations.

2.2 HYDROLOGY AND GEOLOGY: WATER AS A GEOMORPHIC AGENT (TOMADO DE

Geomorphology, the study of landforms, is intimately tied to hydrology. While tectonic processes arelargely responsible for elevating the ground surface, the processes that erode the landscape into thefeatures we see today are related to surface and subsurface flows of water. Surface runoff duringprecipitation events is concentrated into channels where it can cause erosion of the channel bed andbanks if the discharge is sufficiently high. Landsliding on steep hillslopes typically occurs in localized areaswhere the soils are saturated and the water pressure in the pore spaces is high. Sediment delivered to thechannels by landsliding and other mass wasting processes on hillslopes is carried downstream duringlarge floods. Through these processes, the landscape is slowly lowered and carved into drainagenetworks.

Understanding where, when, and at what rate these erosional processes operate in a drainage basin orcatchment depends on knowledge of hydrological processes. Landslides occur in regions where the localslope of the ground surface exceeds a critical angle. This critical angle depends on soil characteristics as

22

well as the volumetric moisture content. Surface runoff most often occurs when soils become saturated sothat precipitation can no longer infiltrate (saturation-excess overland flow; Section 9.4.2). If the surfacerunoff is deep enough and/or the slope steep enough, the flow can dislodge and carry soil particles fromthe hillslope to the channel, resulting in erosion of the hillslope.

Dietrich et al. (1992) combined simple expressions describing the thresholds of saturation-excess overlandflow, landsliding, and hillslope erosion with detailed digital elevation data and careful field observations topredict locations within a catchment where each of these processes dominates. Assuming a constanttransmissivity T of the surface soil layer, the saturated subsurface soil discharge across a contour line oflength c is Qsubsurface [L3 T1] = TcM where M is the surface slope [see equation (9.6)]. The water-table slopeis assumed to be equal to the surface slope. The total amount of water reaching that length of contour overa specified period of time is Aqtotal, where qtotal = R (the recharge rate, [L T1]) and A is the upslopecontributing area. In other words, qtotal is the volume of water per unit surface area (or depth) that is movingthrough the hillslope per unit time. The difference between total runoff past a contour interval (qtotal) andsaturated subsurface discharge (qsubsurface) is saturation-excess overland flow. Thus, overland flow occurswhen:

(10.6)or,

(10.7)

The term A/c is a geomorphic topographic index that can be defined for each point within a catchment ifthe topography of a catchment is known. (You will recall from our discussion of TOPMODEL, Section 9.5.1,that the term a = A/c appeared in the definition of the TOPMODEL topographic index.) Although it would bepossible to estimate A/c from a high-resolution topographic map, most studies of this sort use DEM datathat can be used in conjunction with a computer algorithm to determine the topographic index (A/c) foreach point in the catchment. It is important to note that the results of an analysis such as this are highlydependent on the quality and resolution of the digital elevation data. Accurate identification of the channelnetwork, in particular, depends on using high-resolution elevation data.

To define c and A, elevation contours are drawn at a specified contour interval (for example, 10 m) for thecatchment. Beginning at the base of the catchment, lines are drawn perpendicular to each contour theycross, forming a network of curves similar to the flow nets. The lines perpendicular to the contour linesrepresent flow lines. In areas of the catchment with a uniform slope (planar sections) the flow lines willhave a constant spacing. In areas where the hillslope is concave the flow lines tend to converge as onefollows them downslope (Figure 10.5). In contrast, convex areas of locally high relief lead to flow lines thatdiverge as they are traced downslope. The surface soil layer between two flow lines on a concave, orconvergent slope, is something like a converging channel (Figure 10.5). As the upstream subsurface flowgets funneled into a smaller area, its depth increases and, with sufficient supply, can saturate the soil andrun out over the surface. The opposite happens in a divergent section. The increasing distance between

23

flow lines allows the subsurface flow to spread out and thin. It is clear that convergent sections will be mostprone to saturation overland flow.

Figure 10.5 Depiction of hillslope styles determined by contours of the land surface.

Erosion by overland flow will only occur in the parts of the catchment where the overland flow is deepenough (large A/c) or the slope is steep enough (large M) for the flow to dislodge the soil grains. Dietrich etal. (1992) propose the following expression for the erosion threshold:

(10.8)

where [L2 T-1] characterizes the resistance of the soil to erosion. Cohesionless material on a sloping surface becomes unstable, leading to shallow landsliding, when theslope of the surface exceeds a critical value dependent on the soil and water properties and the degree ofsaturation described by:

(10.9)where is the water density, s is the soil density, is the degree of saturation, and f is the internal angleof friction. When the soil is saturated [equation (10.7)], this reduces to tan > 0.5tanf for typical values ofsoil and water density. When the soil is unsaturated, = Aqtotal/(TcM), as suggested by equation (10.6).

24

These expressions for thresholds of saturation overland flow [equation (10.7)], erosion [equation(10.8)],and landsliding [equation (10.9)] all depend on the geomorphic topographic index A/c and the slope M. Aplot of the curves defining each threshold in terms of these parameters shows their relationship to eachother and the topographic parameters. In Figure 10.6, these threshold curves are plotted for a total runoffqtotal = 50 mm day1, assuming T = 104 m2 s1, f = 35°, and = 8106 m2 s1, which produces goodagreement between predictions and observations of hillslope hydrologic characteristics in a small (1.2 km2)northern California catchment studied by Dietrich et al. (1992).

Figure 10.6 Regions of saturation overland flow, erosion, and landsliding.

A diagram such as Figure 10.6 can be used to determine areas of a catchment that are susceptible toerosion and landsliding, which may serve a variety of purposes including guiding land-use decisions. Thethreshold most susceptible to land-use practices is the erosion threshold. The value of the parameter characterizing the resistance of the soil to erosion decreases rapidly with removal of vegetative soil coversand soil disturbance. As the value decreases, the erosion threshold shifts to the left in Figure 10.6,resulting in a larger portion of the catchment that is prone to erosion.

2.3 LA FORMA DEL TERRENO Y LA EROSIÓN LAMINAR

Se han desarrollado varios modelos que describen la relación entre la erosión y los principales factoresque la controlan. El modelo más conocido es la ecuación universal de la pérdida de suelo, la cual fueinicialmente desarrollada para predecir la tasa de erosión en el medio oeste de los Estados Unidos y

25

ahora se usa en todo el mundo para varios propósitos. La ecuación se basa en datos de muchos estudiosorientados por U.S. Agricultural Scientists. Esta ecuación tiene la siguiente forma:

PCSLKRE

(1)

en el cual, R es el factor de erosividad de la lluvia, K es el factor de erodabilidad del suelo, L es un factoradimensional de la longitud de la pendiente, S es el factor de inclinación de la pendiente, y generalmentese evalúa en combinación del factor L, C es el factor adimensional para la cubierta del suelo que relacionala efectividad de la cubierta vegetal en reducir la erosión, P es un factor adimensional para la práctica deconservación y E es la pérdida anual de suelo por unidad de área. Este modelo conceptual demuestraque la tasa de erosión es una función de las magnitudes relativas de la resistencia de la superficie de latierra a la erosión y las fuerzas erosivas aplicadas y que la topografía, la vegetación, y la actividadhumana pueden modificar este balance (Laronne and Mosley, 1982).

2.4 EL EQUILIBRIO FLUVIAL

La idea de equilibrio en el desarrollo de los paisajes fluviales fue presentada por primera vez por Gilberten 1877 y luego fue modificada por Mackin (1948), Leopold y Maddock (1953), Wolman (1955).

El cauce del río se va modelando de acuerdo a su capacidad de transporte y al régimen de caudales y desedimentos que se producen en la cuenca. Se puede pensar así que en el mediano plazo se establece unequilibrio entre la cuenca, el río y su cauce. En los sistemas fluviales, no existe equilibrio el sentidoestricto de la palabra, pero los ríos tienden a desarrollar un comportamiento promedio en el ajuste de laforma de la sección transversal, en el patrón de alineamiento y en el perfil longitudinal del canal. Seconsidera que en la escala de tiempo de interés para la hidrología y la geomorfología el sistema fluvialestá en un cuasi equilibrio dinámico

2.4.1 GEÓMETRÍA HIDRÁULICA.

Leopold y Maddock (1953) sentaron las bases del estudio de las propiedades hidráulicas de los caucesnaturales; propusieron las ecuaciones básicas, que han sido objeto de multitud de estudios posteriores.Dichas ecuaciones describen la morfología de los cauces mediante relaciones básicas determinadasempíricamente, pero que se basan en la ecuación de continuidad supuesta para canal rectangular:

V D W = Q (2.41)donde Q es el caudal desaguado, W es la anchura del flujo en el canal, D es el calado del flujo de agua y V esla velocidad de flujo, que vienen dadas a su vez por las expresiones:

Q k = V Q c = D Q a = W mfb (2.42)

donde, considerando la ecuación de continuidad, se cumple que:

26

1 = k c a1 = f + b + m

(2.43)

Además: Q t = S z Q r = n y (2.44)

siendo S la pendiente y n la rugosidad.

Así, establecieron unas leyes de variación de la velocidad, el ancho y el calado del flujo, la pendiente y larugosidad con respecto al caudal desaguado. Realizaron dos estudios distintos:

i ) Variación de las propiedades hidráulicas en diferentes secciones aguas abajo de la cuenca paradescargas correspondientes a un mismo período de retorno (análisis downstream).

ii ) Variación de las propiedades hidráulicas en cada sección para diferentes caudales desaguadoscorrespondientes a distintos períodos de retorno (análisis at-a-station).

En el análisis at-a-station los exponentes son muy variables, dependiendo de las condiciones locales;M.Morisawa (1985) apunta la dependencia de los exponentes de factores como la forma de la seccióntransversal del canal, si ésta está en un tramo recto, curvo o un meandro, los materiales del lecho y la ribera,etc. En los canales de forma rectangular hay cambios pequeños en el ancho al incrementarse el caudaldesaguado, mientras que la variación del ancho en canales de sección asimétrica es mucho más sensible alincremento de caudal, como se puede apreciar en la figura 2.8.

Las secciones en meandros o en tramos curvos implican la existencia de rugosidad, turbulencia y unamayor resistencia al flujo, por lo que tendrán mayores valores del exponente b y menores valores de mque las secciones en tramos rectos. La existencia de materiales cohesivos en la ribera de la seccióntiende a restringir los cambios en el ancho; si están en el lecho del río lo que tiende a reducirse es laprofundidad (aunque es importante apuntar que los cambios en el calado se refieren al nivel de agua, y nonecesariamente reflejan cambios en el lecho del río). Por tanto, si los materiales de los márgenes soncohesivos, el exponente b de la ecuación 2.43 será menor; y, por el contrario, aumentará si los materialesson más erosionables. Con respecto a la velocidad, si los materiales tanto de las márgenes como dellecho son cohesivos, se incrementa rápidamente.

27

Ilustración 2.8. Variación del ancho del flujo en una sección de canal con el caudal desaguado.(fuente: Morisawa, M., Geomorphology texts (7): Rivers, figura 6.3).

En cuanto a los cambios en la dirección de la corriente - aguas abajo - (downstream), y debido a lasdistintas condiciones locales, se puede esperar que unas veces ancho, calado (profundidad) y velocidaddecrezcan aguas abajo y otras crezcan. Estadísticamente, sin embargo, la variación media aguas abajoviene expresada por los exponentes b, f y m, pendientes de las líneas de regresión a las que se ajustan,en escala logarítmica, los caudales medios anuales en cada sección y los valores de ancho, calado yvelocidad (Leopold y Maddock, 1953). En general, el ancho crece más rápido que el calado o la velocidadaguas abajo. El exponente de la velocidad, m, es normalmente el más bajo; de hecho, a menudo seaproxima a 0. A pesar de la aseveración de Leopold de que la velocidad del flujo crece aguas abajo,Carlston (1969), tras un estudio en 39 ríos, observó que la mitad mostraban un decrecimiento en lavelocidad aguas abajo o un mantenimiento constante de la misma. De hecho, la mayor parte de losautores adoptan la hipótesis de velocidad constante en toda la cuenca en cada instante. Sin embargo, enel presente trabajo, en el capítulo 4, se realiza un interesante estudio de la variabilidad espacial de lasvelocidades del flujo de agua en la cuenca que se aplica al módulo de deducción del hidrograma unitariomediante isocronas con unos resultados razonables.

Son muchas las tablas de valores de los exponentes de variación de las propiedades hidráulicas de loscauces naturales, tanto en análisis at-a-station como downstream, fruto de numerosos estudios en lasmás diversas regiones. Leopold y Maddock (1953) propusieron unos valores medios para regionessemiáridas en los Estados Unidos:

aguas abajo 0.4 = f 0.5 = b 0.1 = men cada sección 0.4 = f 0.26 = b 0.34 = m

Así mismo, Smith (1975) propuso unos valores teóricos para el análisis aguas abajo:

28

0.3 = f 0.6 = b 0.1 = m

2.4.2 EL CAUDAL DOMINANTE

Las medidas de la carga de sedimentos en suspensión y la carga disuelta permiten evaluar el trabajorealizado por la corriente en erosionar el lecho y en transportar el material. El análisis realizado porWolman y Miller (1960) sugiere que en muchas cuencas de drenaje una gran parte del trabajogeomorfológico es realizado por eventos de magnitud moderada y relativamente frecuentes.

Puesto que el movimiento del sedimento depende del esfuerzo de fricción, la tasa de transporte (por aire opor agua) se puede describir según la ecuación:

ncs kq

(2.44)donde qs es la tasa de transporte, k una constante relacionada con las características del materialtransportado, es el esfuerzo cortante debido al flujo de agua, c es el esfuerzo cortante crítico requeridopara mover el material y n es un exponente. Si la frecuencia de distribución de tales esfuerzos,determinada por los eventos climáticos y meteorológicos sigue una distribución log-normal, entonces elproducto de la frecuencia y el peso del material movido siempre alcanzará un máximo de tal forma que lamáxima cantidad de material es transportada por eventos frecuentes mas bien que por eventos extremos.El intervalo de recurrencia de la frecuencia donde ocurre este máximo está controlado por las tasas decambio de la tasa de movimiento con el esfuerzo [qs = f ()] y del esfuerzo con el tiempo [ = f (t)]. Estemáximo es el intervalo de frecuencia durante el cual se realiza la máxima cantidad de trabajo erosionantesobre el paisaje.

2.5 LOS MAPAS DE ISOCRONAS

Las isocronas son líneas imaginarias que cubre los sitios de la cuenca en los que el agua tendría unmismo tiempo de viaje hasta la salida.

2.5.1 LA VARIABILIDAD ESPACIAL DE LA VELOCIDAD DEL FLUJO Muchos autores argumentan que, dada la escasa variabilidad espacial de la velocidad de flujo sobresuperficie de la cuenca, se puede considerar la velocidad uniforme en toda la cuenca hidrográfica en cadainstante durante una crecida correspondiente a un chubasco. Como pudo verse en el apartado 2.1.3, Leopold y Maddock (1953) y Smith (1975) proponen un valor de0.1 para el exponente que relaciona la velocidad con el caudal desaguado en las distintas secciones delcauce hacia aguas abajo para una descarga correspondiente a una frecuencia determinada:

Q K = v 0.1

Bras (1990) resalta este resultado, y afirma que refleja el hecho de que, para un instante dado, lavelocidad de flujo en la cuenca es aproximadamente constante; así mismo, cita algunas investigaciones,como la de Pilgrim (1977), que confirman la veracidad de este argumento.

29

Por otro lado, Rodríguez-Iturbe y Valdés (1979) asumen también esta hipótesis en la conceptuación delHidrograma Unitario Instantáneo Geomorfológico hidrograma triangular caracterizado por dos parámetros,el caudal y el tiempo al pico.

Estos parámetros se expresan en función de características geomorfológicas hortonianas de la cuenca yde la velocidad de la misma, la llamada velocidad al pico, característica de la cuenca y estimada paracada evento. Las expresiones del caudal y el tiempo al pico trabajan, pues, bajo el supuesto de que lavelocidad de flujo en un instante determinado, para una lluvia uniforme, puede ser razonablementetomada constante en toda la cuenca.

Utilizan la misma suposición Rodríguez-Iturbe y González-Sanabria (1982) para desarrollar el HidrogramaUnitario Instantáneo Geomorfoclimático, en el que la velocidad es expresada analíticamente como unafunción de la intensidad del chubasco y su duración, y de las características geomorfológicas de lacuenca.

Garrote y Bras (1995) introducen la diferenciación entre el flujo en ladera y el flujo en el cauce en elmodelo DBSIM (acrónimo de Distributed Basin Simulator). Es un modelo distribuido de simulación de lluvia- escorrentía.

En su modelo, la función de respuesta distribuida instantánea es asumida como una función delta deDirac, con un retraso igual al tiempo de viaje desde la localización geográfica de cada elemento espacialunitario al desagüe de la cuenca. El recorrido de drenaje tiene dos fracciones:

- Flujo en ladera o flujo difuso en pequeños canales.- Flujo en canales concentrados.

Así, para obtener el tiempo de viaje, deben obtenerse primeramente las velocidades. Según estosautores, las velocidades en ladera y en canal varían espacialmente y deben estar fuertementecorrelacionadas con la pendiente del terreno. Esto implicaría la necesidad de obtener un campo develocidades en la cuenca. Sin embargo, Garrote y Brass argumentan la ausencia de una base teóricaconsistente para estimar la distribución espacial de la velocidad, con lo que trabajan con valores mediosde la velocidad de flujo en cada instante. Sí consideran, sin embargo, la velocidad variable en el tiempo,según progresa la tormenta, de acuerdo con el cambio en las condiciones de flujo en los canales de lacuenca.

En el modelo DBSIM, se asume que las velocidades en canal y en ladera son uniformes para toda lacuenca en cada instante, y que el ratio que relaciona ambas velocidades es constante:

Kcauce en vel. = ladera en vel.

(2.44)Valores de K que sitúan entre 10 y 15, que han dado buenos resultados en casi todos los casos quecomprobaron.

30

Se presentan unas expresiones de la variabilidad espacial de la velocidad del flujo de agua en la cuenca,obtenidas mediante sencillos desarrollos matemáticos a partir de relaciones fundamentales de geometríahidráulica.

La variabilidad espacial de la velocidad de flujo, se puede expresar en función de la pendiente del terrenoy del caudal drenante en cada punto de la cuenca. Para esto es necesario tener el campo de pendientestopográficas de la cuenca, el campo de áreas drenantes acumuladas en cada punto de la cuenca y elrecorrido principal de la misma.

Con la ayuda de un SIG se pueden obtener estos inputs, como capas de mapas raster en los que cadalocalización geográfica viene determinada por un área elemental de información o celda que tieneasociada unas coordenadas que la georreferencian y unos valores que representan la pendientetopográfica en ese punto, el número de celdas drenantes acumuladas en dicho punto y la pertenencia ono del mismo al recorrido principal de la cuenca.

Hay que destacar que los diversos campos de velocidad de flujo que se ofrecen a continuación, seobtienen a partir del tiempo de concentración de la cuenca, parámetro que se puede calibrar, o calcularmediante una de las muchas fórmulas empíricas que se encuentran en la bibliografía

Es decir, se fija el tiempo de concentración, que consideramos característico de la cuenca, y se obtiene elcampo de velocidades, según las diversas expresiones, de manera que el tiempo que tarde la celdapertenciente al recorrido principal más alejada del desagüe de la cuenca en llegar a éste sea igual altiempo de concentración impuesto, según la expresión:

vd = T

i

ippal. recorridoc 39

(2.44)donde Tc es el tiempo de concentración, di la distancia intercelda de la celda i (que representa la longitudrecorrida por el flujo de agua en dicha celda y que varía según la dirección de drenaje o de máximapendiente de la misma; ver apartado 5.3.4) y Si la pendiente del terreno en la celda i.

2.5.2 VELOCIDAD CONSTANTE EN TODA LA CUENCA

La velocidad de flujo, constante en toda la cuenca, se puede obtener de dos formas:i ) Mediante calibración o por el conocimiento de datos específicos acerca de la velocidad característica dela cuenca. En este caso, la velocidad no se obtiene a partir del tiempo de concentración de la cuenca.

ii ) Fijando el tiempo de concentración de la cuenca: se calcula el tiempo de concentración de la cuencacomo ya se ha indicado en el apartado anterior. Este es el parámetro característico de la cuenca a partirdel cual se va a obtener la velocidad media característica de la cuenca.

Una vez obtenido el recorrido principal y el campo de distancias interceldas de la cuenca, la velocidad vconstante en toda la cuenca se calcula aplicando la ecuación:

31

vd = T ippal. recorrido

c (4.2)

donde Tc es el tiempo de concentración de la cuenca y di es la distancia intercelda de la celda i.Despejando, la velocidad característica de la cuenca, resulta:

Td = v

c

ir.p. 40 (4.3)

2.5.3 VELOCIDAD EN FUNCIÓN DE LA PENDIENTE DEL TERRENO.Es generalmente aceptada en la bibliografía la relación entre la velocidad del flujo de agua y la pendientedel terreno, según la expresión:

S K = v (4.4)

En primer lugar, se ha de obtener el tiempo de concentración de la cuenca mediante una de las muchasfórmulas empíricas que existen o mediante calibración u otro procedimiento.

Así, una vez se tiene el recorrido principal y el campo de distancias interceldas de la cuenca, se obtienela constante K característica de la cuenca a partir de la ecuación 4.2 como sigue:

; S

d K1 =

vd = T

i

ir.p.

i

ippal. recorridoc 41

Sd

T1 = K

i

ir.p.

c (4.5)

siendo Tc el tiempo de concentración, di la distancia intercelda de la celda i y Si la pendiente del terrenoen la celda i.

Obteniéndose finalmente el campo de velocidades en la cuenca, según la ecuación 4.4, como:S K = v ii 42 (4.6)

siendo vi la velocidad en cada punto (celda) de la cuenca.

2.5.4 LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DE LA PENDIENTE DEL TERRENO Y DEL ÁREA DRENANTE ACUMULADA ENCADA PUNTO.

Para la obtención de las dos expresiones de la velocidad resultado final de este apartado, se parte derelaciones básicas de geometría hidráulica fluvial . Relaciones que, en la mayoría de los casos, se refierenal flujo en canal de la cuenca, y que aquí se van a aplicar indistintamente a todos los puntos de la cuenca,ya pertenezcan a algún canal de la red de drenaje de la cuenca o no.

2.5.4.1 Ecuación obtenida a partir de las relaciones de la geomorfología fluvial

Según Leopold y Maddock (1953): 32

Q t = SQ K = v zm 43(4.7)

siendo v y S la velocidad y la pendiente del terreno en cada sección, respectivamente, y Q el caudaldesaguado en la sección. K, t, m y z son constantes a determinar.

Para sucesos correspondientes a un mismo período de retorno, el valor propuesto por Leopold y Maddock(1953) y también por Smith (1975) para el exponente m, que refleja la variación de la velocidad de flujo endiferentes secciones aguas abajo de la cuenca, es de 0.1.

Según Hack y Brush (1961), en función de la litología :

para areniscas

L 0.046 = S -0.67

para pizarras

L 0.034 = S -0.81

para calizas

L 0.019 = S -0.71

donde L es la longitud desde la cabecera del canal hasta el punto considerado. Así, multiplicando ydividiendo por S1/2 la ecuación de Leopold y Maddock que relaciona la velocidad y el caudal desaguado(ecuación 4.7), y sustituyendo en el denominador S por la relación de Hack y Brush para terreno calizo(ecuación 4.8), queda:

)L (0.019S Q K = v 1/20.71

1/20.1

(4.9)

Por otro lado, según Leopold (1953):A K = Q n

1d 44 (4.10)donde Qd es el caudal a sección llena o caudal dominante en una determinada sección, A es el áreadrenante acumulada en esa sección y K1 y n son constantes. Leopold propone para el exponente n unvalor teórico que se aproxime a 0.75.

El caudal a sección llena representa el caudal medio de los máximos: sirve de referencia cuando seestudia el fenómeno de las crecidas. Por ello, es este el caudal que se va a suponer desagua cadasección en este modelo.

Además, la relación 4.10 permite eliminar de la expresión de la velocidad el caudal desaguado en cadapunto, y sustituirlo por el área drenante acumulada en cada punto de la cuenca, un dato mucho mássencillo de obtener, sobre todo con la ayuda de un SIG.

33

También Leopold (1953) estableció una relación entre la longitud de canal desde la cabecera hasta unasección del mismo aguas abajo y el área drenante acumulada en dicho punto, según la expresión:

A K = L 0.642 45 (4.11)

Así, sustituyendo las ecuaciones 4.10 y 4.11 en la expresión de la velocidad y agrupando todos lostérminos constantes en una única constante, resulta finalmente:

S A = v 1/20.315 (4.12)Ecuación que expresa la velocidad del flujo de agua en función de la pendiente del terreno y del áreadrenante acumulada en cada punto de la cuenca.

La obtención de la constante se lleva a cabo con un planteamiento análogo al del apartado anterior, segúnla ecuación 4.1:

S Ad

T1 =

1/2i

0.315i

ippal. recorrido

c

(4.13)

donde Tc es el tiempo de concentración de la cuenca, y di, Ai y Si la distancia intercelda, el área drenanteacumulada y la pendiente del terreno, respectivamente, de una celda i perteneciente al recorrido principalde la cuenca. Una vez obtenida la constante , la velocidad en cada punto (celda) de la cuenca, vi seobtiene según la expresión 4.12 como:

S A = v 1/2i

0.315ii 46 (4.13)

Ecuación obtenida aplicando las relaciones de la geomorfología fluvial a la ecuación de ManningOtra posibilidad es aplicar las relaciones geomorfológicas de Leopold y Maddock a la ecuación de Manning:

S R n1 = v 1/22/3

H (4.14)

donde n es el número de Manning, RH el radio hidráulico y S la pendiente del terreno.Se asumen las siguientes simplificaciones:

- El ancho de la sección es mucho mayor que el calado (RH y). - La rugosidad es constante en toda la cuenca (n = cte.).

Según Leopold y Maddock (1953), la relación entre el calado de una sección y el caudal que desagua es lasiguiente:

Q K =y f (4.15)proponiendo Smith (1975) un valor teórico para la constante f de 0.3. Así, introduciendo las ecuaciones 4.10 y4.15 en la ecuación de Manning, queda finalmente:

S A = v 1/20.15 (4.16)34

Ecuación que expresa también la variabilidad de la velocidad del flujo del agua en función de la pendiente delterreno (S) y del área drenante acumulada en cada punto de la cuenca (A).

La constante se obtiene, con el mismo criterio que en los casos anteriores, según la ecuación 4.1:

S Ad

T1 =

1/2i

0.15i

ippal. recorrido

c

(4.17)

siendo Tc, di, Ai y Si los indicados anteriormente. El campo de velocidad de flujo en la cuenca, una vezobtenida la constante , queda, según 4.16:

S A = v 1/2i

0.15ii (4.18)

Esta expresión de la velocidad hace una "distinción" entre celdas ladera y cauce mediante el valor delárea drenante acumulada que cada punto (celda).

3 REFERENCIAS.

Allder, W.R., Caruso, V.M., Pearshall, R.A. y Troup, M.I. "An overview of digital elevation model productionat the United States Geological Survey". Proceedings, Auto Carto 5, págs. 23 - 32. 1982.Aramburo, L.; Gavilán, G. Hidrología Aplicada. Universidad Industrial de Santander, 1991.Band, L.E. "Extraction of channel networks and topographic parameters from digital elevation data", enBeven, K.J. y Kirkby, M.J. "Chanel network hydrology". Ed. John Wiley and Sons. 1993.Bras, R.L. "Hydrology: An introduction to hydrology science". Addison - Wesley Publishing Company.1990.Clarke, A.L., Gruen, A. y Loon, J.C. "The application of contour data for generating high fidelity grid digitalelevation models". Proceedings of Auto Carto 5, págs. 213 - 222. 1982.Chow, V.T., Maidment, D.R. y Mays, L.W. "Applied hydrology". Ed. Mc Graw-Hill. 1988.Departamento de Ingeniería Hidráulica y Medio Ambiente (Universidad Politécnica de Valencia),"Utilización de un sistema de información geográfico en la modelación distribuida de crecidas. Aplicaciónen la cuenca del Alto Palancia". Informe para el Centro de Estudios Hidrográficos del CEDEX. 1995.Garrote, L. y Bras, R.L. "A distributed model for real-time flood forecasting using digital elevation models".Journal of Hydrology, 167, págs. 279 - 306. 1995.Gupta, V. K., O. J. Mesa y D. R. Dawdy. Multiscaling theory of flood peaks: Regional quantile analysis.Water Resour. Res. 30(12). 3405-3421. 1994.Hack, J. T. Studies of longitudinal stream profiles in Virginia and Maryland. U. S. Geol. Surv. Prof. Pap.294-B, 1957.Horton, R. E. Erosional development of streams and their drainage basins: Hydrophysical approach tocuantitative geomorfology. Geol. Soc. Am. Bull. 56. 275-370. 1945.Heras, R. "Manual de hidrología: hidrología de las crecidas" (tomo 4). Servicio de Edición del Centro deEstudios Hidrográficos y Dirección General de Obras Hidráulicas. 1972.

35

Hutchinson, M.F. "A new procedure for gridding elevation and stream line data with automatic removal ofspurious pits". Journal of Hydrology, 106, págs. 211 - 232. 1988.Ijjász – Vasquez, E.J., R.L. Brass, I. Rodriguez Iturbe, R. Rigon & A. Rinaldo. Are river basins optimalchannel networks?. Advances in Water Resourses. 16 (1993) 69-79 Ijjász – Vasquez, E.J., R.L. Brass, I. Rodriguez Iturbe. On the multifractal characterization of river basins.Geomorphology 5 (1992) 297 -310Legates, D.R. y Willmott, C.J. "Interpolation of point values from isoline maps". The AmericanCartographer, 13, págs. 308 - 323. 1986.Leopold, L.B. "Downstream change of velocity in rivers". American Journal of Science, 251, págs. 606-624. 1953.LLamas, J. "Hidrología general: Principios y aplicaciones". Servicio Editorial de la Universidad del PaísVasco. 1993.Marco, J.B. y Reyes, M. "Hidrología". Servicio de Publicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia.1982.Mesa, O. J. and V. K. Gupta. On the main channel length-area realtionships for channel networks. WaterResour. Res. 23(11). 2119-2122. 1987.Mintegui-Aguirre, J.A. y López, F. "La ordenación agrohidrológica en la planificación". Servicio Central dePublicaciones del Gobierno Vasco. 1990.Moore, I.D., Grayson, R.B. y Ladson, A.R. "Digital terrain modelling: A review of hydrological,geomorphological, and biological applications", en Beven, K.J. y Moore, I.D. "Terrain analysis anddistributed modelling in hydrology". Ed. John Wiley and Sons. 1993.Morisawa, M. "Geomorphology texts (7): Rivers". Longman Inc. 1985.Mutreja, K.N. Applied Hydrology. Mc Graw Hill, New Delhi, 1990Oswald, H. y Raetzch, H. "A system for generation and display of digital elevation models". Geo-Processing, 2, págs. 197 - 218. 1984.Peckham, S. New results for self-similar threes with application to river networks, Water Resour. Res. 31(4). 1023-1029. 1995Ponce, V.M. "Engineering hydrology". Ed. Prentice Hall. 1989.Rodríguez-Iturbe, I. y Valdés. J.B. "The geomorphological structure of hydrologic response". WaterResources Research, 15 (6), págs. 1409 - 1420. 1979.Rodríguez-Iturbe, I., González-Sanabria, M. y Bras, R.L. "A geomorphoclimatic theory of the instantaneusunit hydrograph". Water Resources Research 18 (4), págs. 877 - 886. 1982.Rodriguez Iturbe, I., M. Marani, R. Rigon y A. Rinaldo. Self-Organized river basin landscape: Fractal andmultifractal characteristics. Water Resour. Res. 30(12). 3531-3539. 1994Roland, J. Manual del usuario de Idrisi para Windows versión 1.0. Clark University. 1995.Shreve, R. L. Statistical law of stream numbers. J. Geol. 74. 17-37. 1966Shreve, R. L. Infinite Topologically random channel networks. J. Geol. 77. 397-414. 1967Spiegel, M.R. "Probabilidad y estadística. Teoría y 760 problemas resueltos". Ed. Mc Graw-Hill. 1976.Strahler, A. N. Quantitative analysis of watershed geomorphology. EOS Trans. Agu. 38. 912-920Subramanya, K. Engineering Hydrology. Mc Graw Hill, New Delhi, 1991.Tokunaga, E. Ordering of divide segments and law of divide segments numbers. Trens. JapaneseGeomorph. Union. 5. No. 2. 71-77 (1984)U.S. Army Corp of Engineers Construction Engineering Research Laboratories (USACERL), Illinois.GRASS 4.1 User's Reference Manual. 1993.

36

U.S. Army Corps of Engineers Construction Research Laboratories (USACERL), Illinois. GRASS 4.1programs: abstract. 1993.Willgoose, G. A statistic for testing the elevation characteristics of landscape simulation models. J. ofGeophys. Res. 99(B7). 13987-13996. 1994Willgoose, G. R. L. Brass y I. Rodriguez Iturbe. A copuled channel network growth and hillslope evolutionmodel, 1, Theory. Water Resour. Res. 27(7). 1671-1648. 1991aWillgoose, G. R. L. Brass y I. Rodriguez Iturbe. A coupled chanell network growth and hillslope evolutionmodel, 2, Aplications. Water Resour. Res. 27(7). 1685-1696. 1991bWillgoose, G. R. L. Brass y I. Rodriguez Iturbe. A physical explenation of an observed area-sloperelationship. Water Resour. Res. 27(7). 1967-1702. 1991cYoeli, P. "Computer executed production of a regular grid of height points from digital contours". TheAmerican Cartographer, 13, págs. 219 - 229. 1986.

37