2. luku - Talousmatematiikan alkeitaKauppatieteiden valintakokeen matematiikan tehtäviä vuosilta 2000-2009 Yksityisopetus.net tarjoaa korkeatasoista ja innostavaa matematiikan opetusta

Kauppatieteiden valintakokeen matematiikan tehtäviä vuosilta2000-2009

Yksityisopetus.net tarjoaa korkeatasoista ja innostavaa matematiikan opetustaHelsingin seudulla. Tarjoamme tukea kauppatieteiden valintakokeen matematiikanosioon valmistautujille sekä yksityis- että ryhmäopetuksen muodoissa. Ajantasaistatietoa löydät verkkosivuiltamme osoitteesta www.yksityisopetus.net.

Tämä dokumentti sisältää kauppatieteiden valintakokeen matematiikan tehtäviä vuo-silta 2000-2009. Tuona aikana tehtävät ovat perustuneet Johdatus kvantitatiiviseenanalyysiin taloustieteissä -kirjaan. Tehtävien ryhmittely on tehty pääsykoekirjankappalejaon mukaan. Vuosina 2010 ja 2011 valintakokeessa ei ollut matematiikanosiota. Tehtävien oikeat vastaukset löytyvät dokumentin viimeiseltä sivulta.

2. luku - Talousmatematiikan alkeita2.1 Potenssifunktio, eksponenttifunktio ja logaritmifunk-tio

2002/38. Mikä on lukujen a = 21/2, b = 31/3 ja c = 51/5 suuruusjärjestys?

1. a > b > c2. a > c > b3. b > a > c4. c > a > b

2008/43. TietoEnatorin liikevaihto vuonna 2007 oli 1 772, 4 MEUR (miljoona Euroa).Mikä alla olevista vaihtoehdoista on lähimpänä vuoden 1999 liikevaihtoa, kunliikevaihdon keskimääräinen vuotuinen muutosprosentti kahdella desimaalil-la on ollut 3, 96%? Keskimääräinen muutosprosentti on luku, joka ilmaiseekuinka paljon liikevaihto olisi vuosittain prosentuaalisesti kasvanut, jos pro-sentuaalinen kasvu olisi ollut vakio.

1. 1 299,1 MEUR2. 1 346,0 MEUR3. 1 704,9 MEUR4. 1 249,6 MEUR

2.2 Differentiaalilaskentaa ja2.3 Funktion maksimi- ja minimikohdat

2004/33. Tarkastellaan funktioita f(x) = x3 + 3x2 − 6x − 8. Mikä seuraavista väittä-mistä on tosi?

1. Kun 1,5 < x < 2, niin funktio f on aidosti konkaavi.2. Kun 0 < x < 4, niin funktio f on aidosti konveksi.3. Kun 0 < x < 2, niin funktio f on kasvava.4. Kun x < −1, niin funktio f ei ole konkaavi eikä konveksi.

Yksityisopetus.net



2009/43. Yritys tuottaa tiettyä tuotetta 6 e yksikkökustannuksilla. Yritys arvioi, ettäse saa myytyä (20− x) määrän kyseistä tuotetta yksikköhintaanx e (1 ≤ x ≤ 20). Oletetaan, että tuotetta tuotetaan myytävä määrä. Olete-taan edelleen, että nettotuottofunktio, joka ilmaisee kokonaisnettotuoton yk-sikköhinnan funktiona, on derivoituva yksikköhinnan suhteen kun 1 < x < 20(nettotuotto per yksikkö = yksikköhinta - yksikkökustannukset). Mikä seu-raavista väittämistä pitää paikkansa?

1. Nettotuottofunktion lauseke on (x− 6)(20− x).2. Nettotuottofunktio maksimoituu pisteessä x = 10.3. Nettotuottofunktion lauseke on x(20− x).4. Nettotuottofunktio maksimoituu äärettömyydessä.

2006/33. Yritysten lukumäärän kehitystä toimialalla ”G Tukku- ja vähittäiskauppa”vuosien 2001− 2004 lopussa kuvataan polynomilla:

f(x) = −27,167x3 + 373x2 − 1 610,8x+ 48 770,

missä argumenttina oleva vuosi x annetaan muodossa 1, 2, 3, 4. Mikä seuraa-vista väittämistä ei ole tosi?

1. Funktiolla f(x) on minimi tarkasteluvälillä: 1 ≤ x ≤ 4.2. Funktio f(x) on aidosti konveksi välillä: 1 ≤ x ≤ 4.3. Funktio f(x) ennustaa yritysten lukumäärän ko. toimialalla edelleen

kasvavan vuoden 2004 jälkeen ainakin vuoden 2005 aikana.4. Funktio f(x) on konkaavi, kun 4 ≤ x ≤ 6.

2008/45. Tarkastellaan funktiota f(x) =x

x2 + 9joka on määritelty kaikilla

reaaliluvuilla x. Mikä seuraavista väittämistä ei pidä paikkaansa?

1. Funktiolla on ainakin kaksi äärellistä ääriarvokohtaa.2. Funktio on konkaavi välillä −4 ≤ x ≤ 43. Funktiolla on vain äärellisiä ääriarvokohtia.4. Toisella derivaatalla f ′′(x) on nollakohta pisteessä x = 0.

2002/33. Tuotteen kysyntä d riippuu hinnasta p kaavan d = 4−√p mukaisesti. Valmis-tuksen kiinteät kustannukset ovat CF = 2 ja rajakustannukset ovat MC = 3.Millä tuotantomäärällä saadaan suurin nettovoitto?

1. 12. 1 1

33. 44. 4 1

3

Yksityisopetus.net



2003/33. Yhtä tuotetta valmistavan monopoliyrityksen kuukauden tarjontamäärän ol-lessa q (yks/kuukausi) on tuotteen hinta p (euroa/yks) annettu hintafunktiol-la p = 100 − q. Kun kyseessä on monopoli, yritys määrää markkinahinnan pvalitsemalla tuotantomäärän q, jolloin hinta määräytyy hintafunktion mukai-sesti. Yrityksen tuotantokustannukset c(q) (euroa/kuukausi) tuotantomääränq funktiona ovat

c(q) = 100 + 80q, kun q ≤ 15, jac(q) = 700 + 40q, kun q ≥ 15.

Yrityksen voitto pq − c(q) saavuttaa maksimiarvonsa, kun

1. q = 102. q = 153. q = 304. q = 60

2005/33. Janojuoman keskimääräinen päivämyynti on d (pulloa/päivä) ja hinta p =1,00 (e/pullo), jolloin päivämyyntitulo on m = dp (e/päivä). Välittömätyksikkötuotantokustannukset c eivät riipu määrästä eivätkä hinnasta ja ovatsuuruudeltaan c = 0,60 (e/pullo), jolloin keskimääräinen myyntikate on k =d(p− c) (e/päivä).

Markkinatutkimuksella on todettu, että Janojuoman keskimääräisen päivä-myynnin d jousto hinnan suhteen on −2,0. Jos hinta laskee 2% tasosta p, niinkeskimääräisen päivämyyntitulo m ja myyntikate k muuttuvat siten, että

1. m kasvaa ja k kasvaa2. m kasvaa ja k pienenee3. m pienenee ja k kasvaa4. m pienenee ja k pienenee

2007/41. Monopoliyrityksellä erään tuotteen myyntimäärä q (yks/kk) ja hinta p (e/yks).riippuvat toisistaan hintafunktion p = aq − e mukaisesti, missä a = 0,05 jae = 0,5. Muuttuvat yksikkökustannukset c = 100 (e/yks) ovat valmistusmää-rästä riippumattomia. Myyntikatteen maksimoinnista seuraa myyntihinta ja-määrä. Jos kysyntä kasvaa siten, että parametri a saa arvon 0,06, niin myyn-tihinta kasvaa

1. 20%.2. 10%.3. 0%.4. −10%.

Yksityisopetus.net



2007/42. Yrityksen tuotteesta saama hinta p (e/yks) määräytyy myynnin q (yks/v)funktiona siten, että p = p0 − 2q, missa p0 = 2800 (e/yks). Tuotteen muut-tuvat yksikkökustannukset ovat c = 800 (e/yks), jolloin myyntikate on m =(p− c)q. Myynnin ollessa q = 600 (yks/v) on myyntikatteen jousto εm(p) hin-nan p suhteen

1. 0,672. 1,503. −0,674. −1,50

2001/35. Vakiofunktion f(x) = 2 jousto on

1. 12. 23. 04. ääretön

2009/48. Oletetaan, että tuotteen kysyntäfunktio on muotoa x = 10−5p, missä p kuvaatuotteen hintaa ja x tuotteen kysyttyä määrää (0 < p ≤ 2). Laske tuotteenkysynnän hintajouston arvo, kun p = 1. Mikä seuraavista väittämistä pitääpaikkansa?

1. Jouston arvo = −1, kun p = 1.2. Jouston arvo on = 1, kun p = 1.3. Jouston arvo on vakio välillä 0 < p ≤ 2.4. Jouston arvoa ei voida laskea, koska kysyntäfunktio on lineaarinen.

2009/45. Tarkastellaan funktiota f(x) = xr(x > 0, r 6= 0). Millä r:n arvoilla funktio onaidosti konkaavi?

1. r > 1 tai r < 02. 0 < r < 13. r < 0.4. r > 1

Yksityisopetus.net



2001/34. Funktiosta f(x) tiedetään, että pisteessa x = a funktion ensimmäinen ja toi-nen derivaatta ovat molemmat nollia eli f ′(a) = 0 ja f ′′(a) = 0. Tällöin pis-teessä x = a funktiolla f(x)

1. ei ole ääriarvoa.2. on samassa pisteessä sekä minimi että maksimi.3. saattaa olla ääriarvo, mutta välttämättä ääriarvoa ei ole.4. on ääriarvo, mutta annettujen tietojen perusteella ei voida päätellä

onko kyseessä maksimi vai minimi.

2000/33. Erään tuotteen kysyntämäärä d (yksikköä) riippuu yksikköhinnasta p (mk/yksikkö)funktion d = 5000p−1,5 mukaisesti. Tuotteen yksikkökustannukset ovat vakio15 mk/yksikkö. Suurin nettotuotto saadaan tällöin hinnalla

1. 40 mk2. 45 mk3. 50 mk4. 55 mk

2000/34. Mikä seuraavista väitteistä ei pidä paikkaansa?

1. Jos funktiolla f(x) on maksimi kohdassa x0, niin funktionderivaatta f ′(x0) = 0.

2. Logaritmifunktio on konkaavi.3. Jos funktion f(x) toinen derivaatta f ′′(x) ≥ 0 kaikkialla,

niin funktio on konveksi.4. Konveksilla funktiolla ei välttämättä ole minimikohtaa.

2002/39. Oletetaan, että funktio f(x) sekä sen derivaatta f ′(x) ovat kaikkialla derivoi-tuvia aidosti konvekseja funktioita. Tällöin

1. funktiolla f(x) ei voi olla ääriarvoja.2. funktiolla f ′(x) ei voi olla ääriarvoja.3. funktiolla f(x) on aina yksi minimi.4. funktiolla f ′(x) on aina yksi minimi.

Yksityisopetus.net



2004/34. Tuotteen kysyntä q riippuu sen hinnasta p funktion q = ae−bp mukaisesti(a > 1 ja b > 0 ovat vakioita). Oletetaan, että tuotteen tuotantomäärä on ky-synnän suuruinen. Olkoon tuotteen yksikkötuotantokustannus c vakio. Mikäseuraavista vaihtoehdoista on tosi?

1. On olemassa äärellinen hinta p ≥ 0, p < c, jolla myyntitulon jatuotantokustannusten erotus on 0.

2. Kun hinta putoaa nollaan, niin kysyntä q on ääretön.3. Myyntitulon ja tuotantokustannusten erotus ei ole nolla millään

äärellisellä hinnalla (0 ≤ p <∞).4. Kysynnän jousto hinnan suhteen on −pb.

2.4 Lineaariset yhtälöt ja epäyhtälöt

2009/41. Tarkastellaan seuraavia funktioita f(x1, x2):

a) f(x1, x2) = x1 + x22

b) f(x1, x2) = 5x1 + 3x2 + ln 7c) f(x1, x2) = 5x1 − 3x2

d) f(x1, x2) = lnx1 + lnx2

e) f(x1, x2) = ax1 + b2x2, jossa a ja b ovat vakioita.

Mitkä yllä olevista funktioista ovat lineaarisia?

1. a, b, c2. a ja e pelkästään3. b, c, e4. b, d, e

Yksityisopetus.net



2.5 Lineaarisen ohjelmoinnin ongelma ja2.6 LP-ongelman duaali

2005/34. Eräs yritys valmistaa kahta tuotetta, joiden valmistusmäärät (yks/kk) ovatx1 ja x2. Tuotteen 1 myyntikate on 6 (e/yks) ja tuotteen 2 myyntikate on 3(e/yks). Yksinkertaistettu tuotannonsuunnitteluongelma on etsiä kuukaudenei-negatiiviset tuotantomäärät siten, että kokonaiskate maksimoituu huomioi-den käytettävässä olevat tuotantoresurssit. Kokonaiskatetuoton z maksimoi-miseksi yritys päätyy lineaarisen ohjelmoinnin ongelmaan:

Maksimoi z = 6x1 + 3x2 ehdoin

3x1 + 8x2 ≤ 12 000x1 + x2 ≤ 2 000

2x1 ≤ 3 000x1, x2 ≥ 0

Optimaaliselle katetuotolle z pätee

1. 11 000e < z2. 10 000e < z ≤ 11 000e3. 8 000e < z ≤ 10 000e4. z ≤ 8 000e

2009/47. Ratkaise graafisesti seuraava lineaarisen ohjelmoinnin tehtävä:

maksimoi z = x1 + x2 ehdoilla:

2x1 + x2 ≤ 100x1 + x2 ≤ 80x1 ≤ 35

x1, x2 ≥ 0

Mikä seuraavista yllä olevaa tehtävää koskevista väittämistä pitää paikkan-sa?

1. Optimiratkaisu on pisteessä (x1, x2) = (35, 30).2. Optimiratkaisu ei ole yksikäsitteinen.3. Optimiratkaisu on pisteessä (x1, x2) = (0, 0).4. Jos rajoitusehdon x1 ≤ 35 epäyhtälön suunta käännetään

(toisin sanoen, tarkastellaan rajoitusta x1 ≥ 35 alkuperäisen sijasta),optimiratkaisu ei muutu.

Yksityisopetus.net



2000/38. Yritys, joka pyrkii maksimoimaan myyntikatteensa, tuottaa kahta tuotetta Aja B. Tuotteen A myyntikate on 2 mk/yksikkö ja tuotteen B 2,50 mk/yksikkö.Tuotantoa rajoittaa kaksi kapasiteettirajoitetta: Yrityksellä on käytössä kom-ponenttien valmistukseen 40 000 tuntia vuodessa ja kokoonpanoon 50 000 tun-tia vuodessa. Tuotteen A komponenttien valmistukseen kuluu 2 tuntia/yksikkö,ja tuotteen B komponenttien valmistukseen kuluu 1 tunti/yksikkö. Kokoon-panoon kuluu tuotteen A osalta 1 tunti/yksikkö ja tuotteen B osalta 2 tun-tia/yksikkö. Kokonaismyyntikatteen maksimoiva vuosituotantosuunnitelma on

1. 8 000 yksikköä tuotetta A ja 24 000 yksikköä tuotetta B.2. 10 000 yksikköä tuotetta A ja 20 000 yksikköä tuotetta B.3. 12 000 yksikköä tuotetta A ja 16 000 yksikköä tuotetta B.4. 14 000 yksikköä tuotetta A ja 18 000 yksikköä tuotetta B.

2003/35. Tarkastellaan lineaarisen ohjelmoinnin ongelmaa

maksimoi z = −x1 + 2x2 ehdoin

3x1 + 2x2 ≤ 122x1 + x2 ≥ 4

0 ≤ x1 ≤ 30 ≤ x2 ≤ 3.

Optimaalinen kohdefunktion arvo z on

1. 7,02. 5,53. 4,54. 3,5

2004/35. Tarkastellaan kahden muuttujan LP-ongelmaa:

min z = 2x1 + x2

s.t.

x1 + x2 ≥ 22x1 ≤ 3

2x2 ≤ 3x1 + x2 ≤ 4x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Tavoitefunktion z optimaalinen arvo on

1. 2,5.2. 0.3. 4,5.4. 3.

Yksityisopetus.net



2008/46. Par Oy on golftarvikkeita valmistava yritys, joka on päättänyt ryhtyä val-mistamaan kahta mailakassimallia (x1 = standardimallin valmistusmäärä jax2 = deluxe-mallin valmistusmäärä). Valmistamisessa on seuraavia keskeisiävaiheita:

a. Leikkaus ja värjäysb. Ompeluc. Viimeistelyd. Tarkastus ja pakkaus

Yhden standardimallin valmistamisessa leikkaukseen ja värjäykseen tarvitaan7/10 tuntia, ompeluun 1/2 tuntia, viimeistelyyn 1 tunti ja tarkastukseen japakkaukseen 1/10 tuntia. Vastaavasti deluxe-mallin valmistamiseen tarvitaan1 tunti leikkaukseen ja värjäykseen, 5/6 tuntia ompeluun, 2/3 viimeistelyynsekä 1/4 tarkastukseen ja pakkaukseen. Kuhunkin vaiheeseen on käytettävis-sä kapasiteettia seuraavasti: 630 tuntia leikkaukseen ja värjäykseen, 600 tun-tia ompeluun, 708 tuntia viimeistelyyn ja 135 tuntia tarkastukseen ja pak-kaukseen. Standardimallin myynnistä saadaan voittoa 10 e/kassi ja deluxe-mallista 9 e/kassi. Tavoitteena on valita valmistusmäärät siten, että voittomaksimoituu.

Ongelman ratkaisemiseksi formuloidaan seuraava malli:

Maksimoi 10x1 + 9x2 ehdoin

(7/10)x1 + x2 ≤ 630 (leikkaus ja värjäys)(1/2)x1 + (5/6)x2 ≤ 600 (ompelu)

x1 + (2/3)x2 ≤ 708 (viimeistely)(1/10)x1 + (1/4)x2 ≤ 135 (tarkastus ja pakkaus)

x1, x2 ≥ 0

Mikä seuraavista yllä olevaa mallia koskevista väittämistä ei pidä paikkaansa?

1. Tavoitefunktion arvo optimissa on 7 668 e.2. Optimiratkaisussa tarkastukseen ja pakkaukseen varattua

kapasiteettia jää käyttämättä.3. Optimiratkaisussa 10, 3% kassien kokonaismäärästä on deluxe-mallia.4. Ompeluun tarvittavalla kapasiteettirajoituksella ei ole vaikutusta

optimointiongelman käypään joukkoon.

Yksityisopetus.net



2001/40. Tarkastellaan kahta LP-ongelmaa.

Ongelma A: Maksimoi z = x1 + x2 ehdoin

2x1 + x2 ≤ 1x1 + 2x2 ≤ 1

x1, x2 ≥ 0

Ongelma B: Minimoi w = y1 + y2 ehdoin

2y1 + y2 ≥ 1y1 + 2y2 ≥ 1

y1, y2 ≥ 0

Tällöin

1. Ongelmalla A on äärellinen ratkaisu z′ ja ongelmalla B onäärellinen ratkaisu w′. Ratkaisut toteuttavat ehdon z′ = w′.

2. Ongelmalla A on äärellinen ratkaisu z′ ja ongelmalla B onäärellinen ratkaisu w′. Ratkaisut toteuttavat ehdon z′ < w′.

3. Ongelmalla A on äärellinen ratkaisu z′ ja ongelmalla B ei oleäärellistä ratkaisua.

4. Kummallakaan ongelmalla ei ole äärellistä ratkaisua.

2007/43. Yritys valmistaa kahta tuotetta, joiden valmistusmäärät (yks/kk) ovat x1

ja x2. Tuotteen 1 yksikkökate on 2 (e/yks) ja tuotteen 2 yksikkökate on 3(e/yks). Yksinkertaistettu tuotannonsuunnitteluongelma on etsiä kuukaudenei-negatiiviset tuotantomäärät siten, että kokonaiskate maksimoituu huomioi-den käytettävissä olevat koneistus- ja kokoonpanoresurssit. Kokonaiskatetuo-ton maksimoimiseksi yritys päätyy lineaarisen ohjelmoinnin ongelmaan

maksimoi 2x1 + 3x2 (katetuotto ehdoin)

x1 + 2x2 ≤ 3 000 (koneistuskapasiteetti)x1 + x2 ≤ 2 000 (kokoonpanokapasiteetti)

x1, x2 ≥ 0

Onnettomuuden takia koneistuskapasiteetti pienenee 50%. Yllä olevan alkupe-räisen ongelman duaaliongelman optimiratkaisusta seuraa, etta onnettomuu-desta johtuvalle optimaalisen katetuoton muutokselle ∆ pätee

1. ∆ ≤ 1500e2. ∆ ≥ −1500e3. ∆ = −1500e4. ∆ = −2000e

Yksityisopetus.net



2002/40. Tarkastellaan LP-ongelman yleistä muotoa koskevia väitteitä:

A. Tehtävänä on maksimoida tavoitefunktio.B. Rajoitteet ovat epäyhtälöitä.C. Muuttujien arvoilla on alaraja.

Väitteistä ovat tosia

1. A, B ja C.2. A ja B.3. vain A.4. Kaikki väitteet ovat vääriä.

2009/46. Tarkastellaan lineaarisen ohjelmoinnin tehtävää, jossa tavoitefunktion arvoapyritään maksimoimaan. Mikä seuraavista väittämistä ei pidä paikkaansa?

1. Lineaarisen ohjelmoinnin tehtävällä voi olla nollasta poikkeaviaalarajoja muuttujien arvoille.

2. Lineaarisen ohjelmoinnin tehtavä voi sisältää =,≤ tai ≥ tyyppisiärajoituksia.

3. Lineaarisen ohjelmoinnin tehtävällä ei aina ole yksikäsitteistäratkaisua.

4. Lineaarisen ohjelmoinnin tehtävän käypien ratkaisujen joukko ei voikoskaan jatkua rajatta.

2008/44. Mikä seuraavista lineaarista optimointia koskevista yleisistä väittämistä pitääpaikkansa?

1. Jos optimiratkaisu maksimointitehtävässä on nolla, niinpäätösmuuttujien arvot ovat aina nollia.

2. Maksimointitehtävässä rajoitukset muuttujien ei-negatiivisuusrajoitustalukuun ottamatta ovat tyyppiä ” ≤ ”

3. Jos duaalilla on äärellinen optimiarvo, niin primaalin optimiarvo voiolla ääretön.

4. Päätösmuuttujalla voi optimiratkaisussa olla myös negatiivinen arvo.

3. luku - Tilastotieteen perusteita

3.1 - Mitä tilastotiede on

Yksityisopetus.net



3.2 - Havaintoaineiston käsitteitä ja esittämistapoja

2002/36. Perusjoukko koostuu

1. niistä yksilöistä, jotka eivät ole olennaisesti muista poikkeavia.2. kaikista yksilöistä, joista voidaan saada mittaustuloksia.3. niistä yksilöistä, joista on käytettävissä mittaustuloksia.4. kaikista yksilöistä, jotka ovat mittauksen kohteena.

2001/36. Tarkastellaan kahta havaintomatriisiin liittyvää väitettä.

A. Kukin havaintomatriisin sarake sisältää aineiston yhdenyksittäisen muuttujan tiedot.

B. Kukin havaintomatriisin rivi sisältää aineiston yhdenhavainnon muuttujan tiedot.

Mikä seuraavista pitää paikkansa?

1. sekä A että B ovat tosia2. A on tosi, B on epätosi3. A on epätosi, B on tosi4. sekä A että B ovat epätosia

3.3 - Muuttujien mittaaminen

3.4 - Havaintoaineiston kuvaaminen

3.5 - Havaintoaineiston tunnusluvut

2001/37. Tarkastellaan seuraavia kolmea väitettä.

A. Tunnusluku yksilöi havainnon.B. Tunnusluvut ovat aina positiivisia kokonaislukuja.C. Tunnuslukuja käytetään aineiston kuvailussa.

Mitkä väitteistä pitävät paikkansa?

1. A, B ja C2. vain A ja B3. vain C4. vain A

Yksityisopetus.net



2005/35. Seuraavassa sarjassa on 17 yrityksen yhden vuoden tuottoprosentit suuruus-järjestyksessä: −5, 5, 6, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 13, 15, 17, 18. Olkoone tuottoprosenttien mediaanin ja aritmeettisen keskiarvon erotus ja h medi-aanin ja moodin erotus. Parametreille e ja h pätee

1. 0 < e ≤ 1 ja h ≥ 02. 1 < e ja h ≥ 13. e ≤ −1 ja h ≤ −14. −1 < e ≤ 0 ja h ≤ 0

2009/42. Seuraavassa on lueteltu 10 henkilön kuukausipalkat euroissa:500, 2100, 2100, 2400, 20000, 2900, 2300, 500, 1750, 500.

Mikä seuraavista väittämistä pitää paikkansa?

1. Kuukausipalkkojen moodia ei voi määrittää, koska moodi ei oleyksikäsitteinen yllä olevassa aineistossa.

2. Kuukausipalkkojen aritmeettinen keskiarvo > mediaani > moodiyllä olevassa aineistossa.

3. Kuukausipalkkojen mediaani = 1925 e yllä olevassa aineistossa.4. Kuukausipalkkojen mediaani on suurempi kuin kuukausipalkkojen

aritmeettinen keskiarvo yllä olevassa aineistossa.

2008/48. Seuraavassa taulukossa on kahdesta osa-aineistosta ilmoitettu erikseen naisis-ta ja miehistä lukumäärät, keskiarvot ja varianssit.

Naiset MiehetLukumäärä 20 10Keskiarvo 3 6Varianssi 4 9

Mikä alla olevista vaihtoehdoista on lähinnä oikea yllä olevien tietojen poh-jalta koko aineistolle laskettu varianssi?

1. 5,672. 7,483. 6,504. 5,44

Yksityisopetus.net



2004/37. Alla olevassa taulukossa on identtisesti luokiteltuna neljän eri kokeen arvosa-najakauma. Jokaisessa kokeessa osallistujia oli 100.

Koe 1 Koe 2 Koe 3 Koe 4Arvosanaluokka Lukumäärä Lukumäärä Lukumäärä Lukumäärä

0-9 3 2 2 710-19 5 5 1 320-29 15 19 16 230-39 24 22 18 640-49 28 12 12 1050-59 15 5 10 1060-69 6 4 18 1170-79 4 12 18 1780-89 0 9 3 1990-100 0 10 2 15

Yhteensä 100 100 100 100

Kun päätelmät tehdään yllä annetuista jakaumista, niin mikä seuraavista väit-tämistä ei pidä paikkaansa?

1. Kokeen 4 mediaani on suurempi kuin kokeen keskiarvo.2. Kokeen 1 keskiarvo oli alhaisin.3. Kokeen 3 keskiarvo ylitti kokeen mediaanin yli 15 pisteellä.4. Kokeen 2 mediaaniluokka on arvosanaluokka [40, 49].

2005/36. Merkitään havaintoaineiston tunnuslukuja seuraavasti: a = keskipoikkeama,b = standardipoikkeama ja c = variaatiovälin leveys. Mille tahansa kahdenhavainnon havaintoaineistolle (havaintojen lukumäärä n = 2) on

1. a ≤ b ≤ c2. b ≤ a ≤ c3. a ≤ c ≤ b4. a < b < c

2000/36. Mikä seuraavista tilastoaineistoa koskevista väitteistä ei pidä paikkaansa?

1. Varianssi on aina suurempi kuin keskihajonta.2. Standardoidun muuttujan arvojen keskiarvo on aina 0 ja varianssi 1.3. Keskipoikkeama on aina ≥ 0.4. Positiivisen muuttujan x variaatiokerroin on aina suurempi kuin

muuttujan y = x+ c, mikäli c > 0.

Yksityisopetus.net



2007/44. Havaintoaineistossa muuttujan x arvot ovat xi, i = 1, 2, ..., n. Olkoon x muut-tujan x aritmeettinen keskiarvo. Muuttujan x logaritmin aritmeettinen kes-kiarvo on z =

(1n

)∑i lnxi ja muuttujan x geometrinen keskiarvo on y =

ez. Mikä seuraavista pitää paikkansa mille tahansa aineistolle xi > 0, i =1, 2, ..., n?

1. x ≥ y2. x > y3. x ≤ y4. x < y

3.6 - Todennäköisyyslaskennan perusteita

2001/39. Tutkija haluaa selvittää, mikä on todennäköisyys sille, että heittäessä nas-ta päätyy kantansa päälle piikki ylöspäin. Kokeessa heitetään nastaa 100 000kertaa, joista 32 100 heittoa päätyy piikki ylöspäin. Kokeen perusteella pää-tellään, että todennäköisyys sille, että heittäessä nasta päätyy piikki ylöspäin,

on p =32 000

100 000= 0,321. Näin laskettuna kyseessä on

1. klassinen todennäköisyys.2. suotuisa todennäköisyys.3. tilastollinen todennäköisyys.4. subjektiivinen todennäköisyys.

2004/38. Autokauppias Mustonen myy autoja. Tyypillisenä lauantaipäivänä kaupaksimenevien autojen lukumäärä on satunnaismuuttuja X, joka voi saada vii-si arvoa. Myytyjen autojen todennäköisyysjakauma on annettu alla olevassataulukossa.

Myytyjen autojen lukumäärä (kpl) Todennäköisyys P (xj)0 0,21 0,12 0,23 0,44 0,1

Mustosen myymien autojen odotusarvo on

1. 2,0.2. 2,1.3. 2,625.4. 2,5.

Yksityisopetus.net



2005/37. Yritys Y toimii kaupungissa, jonka väestöstä on 55% naispuolisia ja 45% mies-puolisia. 10% miespuolisista ja 2% naispuolisista on Y :n asiakkaita. Satunnai-sesti valittu kaupungin asukas on yrityksen Y asiakas todennäköisyydellä p,jolloin

1. p ≤ 4%2. 4% < p ≤ 5%3. 5% < p ≤ 6%4. 6% < p

2007/45. Monialayrityksen johto arvioi asiakkaitaan käyttäen kahta kriteeriä: kannat-tavuus ja myynti. Näiden perusteella asiakkaat on jaettu kannattavuuden mu-kaan kategorioihin hyvä (h), tyydyttävä (t) ja välttävä (v). Vastaavasti myyn-nin mukaan kategoriat ovat Hyvä (H), Tyydyttävä (T ) ja Välttävä (V ). Seu-raava taulukko antaa asiakkaiden prosenttijakautuman kannattavuus-myynti-pareittain.

Myynti H Myynti T Myynti VKannattavuus h 20 15 10Kannattavuus t 10 20 5Kannattavuus v 10 5 5

Esimerkiksi pari Kannattavuus h ja Myynti T tarkoittaa kategoriaa, jossaasiakkaan kannattavuus on hyvä, myynti Tyydyttävä ja johon kuuluu 15%asiakkaista. Mikä seuraavista väittämistä ei pidä paikkaansa?

1. Kategoriassa h ∪H on 65% asiakkaista.2. Kategoriassa h ∩H on 20% asiakkaista.3. Kategoriassa (h ∪ T )c on 40% asiakkaista.4. Kategoriassa (h ∩ T )c on 85% asiakkaista.

2008/42. Kulhossa on 50 eriväristä palloa, joista 5 on punaista, 10 sinistä, 15 keltaistaja 20 vihreää. Pallojen yksilöimiseksi pallot on väreittäin numeroitu juokse-vasti, eli punaiset pallot 1, . . . , 5, siniset 1, . . . , 10, jne.

Kulhosta nostetaan aluksi satunnaisesti kaksi palloa, joista toinen on vih-reä 4 ja toinen sininen 6. Palloja ei laiteta kulhoon takaisin. Tämän jälkeenkulhosta nostetaan satunnaisesti vielä yksi pallo. Tarkastellaan seuraavia ta-pahtumia: A = viimeksi nostetun pallon numero on 4 tai 6 ja B = viimeksinostettu pallo on vihreä tai sininen. Mikä on tapahtuman A ∪B todennäköi-syys kahdella desimaalilla ilmaistuna?

1. 0, 602. 0, 673. 0, 654. 0, 62

Yksityisopetus.net



2009/44. Kosmetiikka-alan yritys suunnittelee uuden hajuveden tuomista markkinoille.Tuotepäällikkö on arvioinut seuraavan kumulatiivisen todennäköisyysjakau-man ensimmäisen vuoden myynnille (merkitään X:llä) ilmaistuna miljoonissapulloissa:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8Kumulatiivinen tn. 0,01 0,10 0,20 0,30 0,50 0,75 0,85 0,95 1,00

Mikä seuraavista väittämistä ei pidä paikkaansa?

1. P (2 ≤ X ≤ 3) = 0,20.2. P (X ≥ 6) = 0,15.3. P (X ≤ 1) = 0,10.4. P (X < 3) = 0,20

2002/34. Käsitellään seuraavia väitteitä.

A. Alkeistapahtumat ovat aina toisensa poissulkevia.B. Tapahtumat ovat aina toisensa poissulkevia.C. Tapahtuma ja tapahtuman komplementtitapahtuma ovat aina

toisensa poissulkevia.

Väitteistä ovat tosia

1. A, B ja C.2. vain A.3. vain A ja C.4. vain C.

2003/36. Eräässä 10 000 henkilön ryhmässä tiedetään 100 henkilöllä olevan Tauti. Tes-tillä voidaan selvittää onko kyseessä tautitapaus vai ei, mutta testi ei ole täysinluotettava. Mikäli testattavalla on Tauti, on testitulos positiivinen (viitatenTautiin) 99 tapauksessa sadasta, mutta testi on positiivinen myös yhdessätapauksessa sadasta, vaikka testattavalla ei olekaan Tautia. Jos henkilön tes-titulos on positiivinen, on tilastollinen todennäköisyys sille, että henkilöllä onTauti,

1. 0,25.2. 0,50.3. 0,75.4. 0,98.

Yksityisopetus.net



2003/37. Erään kaupungin aikuisesta väestöstä 50 % lukee sanomalehteä A, 70 % lukeekilpailevaa sanomalehteä B ja 20 % ei lue kumpaakaan lehteä. Kun kaupun-gista valitaan satunnaisesti yksi aikuinen, on todennäköisyys sille, että hänlukee kumpaakin lehteä,

1. 0,25.2. 0,30.3. 0,35.4. 0,40.

2004/36. Jokainen myyntihenkilö yrityksessä nimeltä Vipu Oy on luokiteltu saavutus-ten perusteella kolmeen luokkaan: alle keskitason, keskitasoa, yli keskitason.Heidät on myös luokiteltu potentiaalisen kyvykkyyden mukaan luokkiin: koh-talainen, hyvä ja erinomainen. Näitä luokkia käyttäen 500 myyntihenkilöä onristiintaulukoitu seuraavasti:

Saavutusluokka kohtalainen hyvä erinomainenalle keskitason 16 12 22keskitasoa 45 60 45

yli keskitason 93 72 135

Oletetaan, että tuosta 500 myyntihenkilön joukosta valitaan satunnaisesti yk-si henkilö. Mikä seuraavista todennäköisyyksistä ei ole tosi?

1. Todennäköisyys on 1/10, että henkilö on saavutukseltaan allekeskitason.

2. Todennäköisyys on 149/250, että henkilön potentiaalinenkyvykkyys on kohtalainen tai hyvä.

3. Todennäköisyys on 73/100, että henkilö ei ole potentiaaliseltakyvykkyydeltään erinomainen eikä saavutuksiltaan yli keskitason.

4. Todennäköisyys on 4/121, että henkilö on saavutuksiltaan allekeskitason ja potentiaaliselta kyvykkyydeltään kohtalainen.

Yksityisopetus.net



2008/41. TuotteenX valmistaminen voidaan jakaa suunnitteluun ja tuotteen konstruoin-tiin. Tuotteen valmistumisaikojen arvioimiseksi 50 tuotteen valmistamisestaon kerätty historiatietoa sekä suunnittelusta että konstruoinnista. Sekä suun-nitteluun että konstruointiin käytettävä aika vaihtelee alla olevan taulukonmukaisesti. Kun suunnitteluun on käytetty aikaa 2 kk (kuukautta), konstruoin-tiin on mennyt aikaa 4 kk tai 8 kk. Vastaavat luvut 3 kk kestäneelle suun-nittelulle ovat 3 kk ja 6 kk. Taulukossa oleva määrä ilmoittaa, kuinka useinkyseinen aika esiintyy historiatiedoissa.

Suunnittelu KonstruointiAika Määrä Aika Määrä

4 kk 18 kpl2 kk 20 kpl



Annettujen tietojen perusteella arvioidaan tulevaa kehitystä. Mikä seuraavis-ta yllä olevaa tilannetta koskevista väittämistä ei pidä paikkaansa?

1. Todennäköisyys, että tuotteen valmistamiseen menee aikaa 6 kk,on 0,66.

2. Tuotteen valmistamisajan odotusarvo on 7,06 kk.3. Tuotteen valmistamisajan odotusarvo on 6,67 kk silloin,

kun suunnitteluun käytetään 2 kk.4. Tuotteen suunnitteluajan odotusarvo on 2,6 kk.

4. luku - Päätösongelmien systeemianalyysi

4.1 - Päätösongelmien piirteitä

2002/37. Opiskelija harkitsee lähtöä syksyllä 2002 vaihto-oppilaaksi Saksaan suoritta-maan kolmen vuoden tutkintoa. Päätösongelma on tällöin

1. deterministinen ja dynaaminen2. deterministinen ja staattinen3. stokastinen ja dynaaminen4. stokastinen ja staattinen

Yksityisopetus.net



4.2 - Yksinkertainen valintaongelma

2004/40. Piensijoittajan rahavarat r vuoden alussa ovat 1 000 e, ja ne kasvavat korkoavuotuisen korkotekijän R = 1,04 mukaisesti. Vuoden lopussa korko lisätäänpääomaan, ja seuraavana vuotena vuotuinen korkotekijä on R = 1,10. Korko-tuotto kahdelta vuodelta on (lähimpään kokonaislukuun pyöristettynä)

1. 145 e2. 140 e3. 100 e4. 144 e

4.3 - Monitavoitteinen päätösongelma

2004/39. Mikä seuraavista väittämistä on oikein? Monitavoitteinen valintaongelma tar-koittaa, että valintatilanteessa

1. vaihtoehtoja on enemmän kuin kaksi.2. valintaongelmaa tarkastellaan vähintään kahden periodin yli.3. vaihtoehdot määritellään usean rajoituksen avulla.4. vaihtoehtoja verrataan usean eri kriteerin näkökulmasta.

2003/38. Oletetaan, että 2-tavoitteisen päätösongelman käypien tavoitepisteiden (g1, g2)joukko G muodostuu seuraavasta kahdeksasta pisteestä: (−8, 8), (9, 0), (4, 6),(8, 4), (6, 4), (5, 5), (9, 2) ja (4, 9). Kummankin tavoitteen arvo halutaan mah-dollisimman suureksi, jolloin G:n Pareto-optimaaliset eli tehokkaat pisteetovat

1. kaikki kahdeksan pistettä.2. (4, 9), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (8, 4) ja (9, 2).3. (4, 9), (5, 5), (8, 4) ja (9, 2).4. (4, 9), (8, 4) ja (9, 2).

2005/38. Määritellään käypien ratkaisujen joukko X siten, etta se käsittää kaikki pis-teet (x1, x2), jotka toteuttavat ehdot 1 ≤ x1 ≤ 2 ja 0 ≤ x2 ≤ 2 ja sekä x1 ettäx2 ovat kokonaislukuja. Määritellään maksimoitavat tavoitteet g1 ja g2 siten,että g1 = 2x1 − x2 ja g2 = −2x1 + 3x2. Määrittelemällä a = (0, 4), b = (2, 2),c = (4,−4), d = (2,−2), e = (1, 1) ja f = (3,−1) Pareto-optimaalisten pistei-den (g1, g2) joukko muodostuu

1. janoista ad ja cd.2. pisteistä a, c, d ja e.3. janoista ab ja bc.4. pisteistä a, b, c ja f .

Yksityisopetus.net



2008/47. Yritys Plan Oy on kartoittanut kuusi mahdollista alla olevassa taulukossa esi-tettyä suunnitelmaa seuraavalle vuodelle. Suunnitelmaa arvioidaan kahdellatavoitteella: kokonaiskustannus (minimoidaan) ja kate (maksimoidaan). Allaolevassa taulukossa kokonaiskustannus ilmaistaan vastalukuna, jolloin ongel-maa voidaan tarkastella molempien tavoitteiden maksimointitehtävänä.

Kokonaiskustannuksen vastaluku KateA -2 3B -3 6C -5 5D -7 8E -8 10F -10 11

Suunnitelmista A ja E voidaan muodostaa uusi suunnitelma G kertomallasuunnitelmien A ja E tavoitesuureiden arvot ei-negatiivisilla painoilla (w1 ≥ 0ja w2 ≥ 0), jotka summautuvat ykkoseen (w1 + w2 = 1) : G = w1A + w2E.Painot maaritetaan suunnittelun aikana. Suunnitelmia vastaaviin tavoitepis-teisiin viitataan samoilla symboleilla kuin itse suunnitelmiin.

Mikä seuraavista yllä olevia suunnitelmia koskevista väittämistä ei pidä paik-kaansa?

1. Suunnitelma B dominoi suunnitelmaa C.2. Suunnitelman G painot voidaan määrittää siten, että suunnitelma G

dominoi suunnitelmaa D.3. Suunnitelman G painot voidaan määrittää siten, että suunnitelma B

dominoi suunnitelmaa G.4. Suunnitelma G dominoi suunnitelmaa F aina, jos painojen summan

sallitaan olevan enintään 1,02 (w1 + w2 ≤ 1,02).

Yksityisopetus.net



2007/46. Sijoittaja arvioi investointivaihtoehtojen tuottoa kahden tavoitteen näkökul-masta: g1 = vuosituoton odotusarvo (%) ja g2 = vuosituoton standardipoik-keama (%). Tavoitesuureen g1 hän haluaisi mahdollisimman suureksi ja ta-voitesuureen g2 mahdollisimman pieneksi. Kahdeksan vaihtoehtoisen sijoitus-suunnitelman osalta hän on päätynyt seuraaviin tavoitesuureiden arvoihin:

Sijoitussuunnitelma Odotusarvo g1(%) Standardipoikkeama g2(%)1 5 142 4 83 6 184 6 125 2 86 2 67 7 148 4 16

Näiden kesken määräytyy Pareto-optimaalisten pisteiden joukko sijoitussuun-nitelmista

1. 2, 4, 5, 6, 7.2. 2, 4, 6, 7.3. 3, 5, 8.4. 3, 7

4.4 - Dynaaminen tarkastelu

4.5 - Epävarmuuden huomiointi

2000/37. Eräässä monivalintakokeessa, jossa kussakin kysymyksessä on viisi vaihtoeh-toa, saa oikeasta vastauksesta +5 pistettä, väärästä vastauksesta −2 pistettäja vastaamatta jättämisestä +1 pistettä. Jos henkilö käyttää valinnassaa odo-tusarvokriteeriä, niin pienin subjektiivinen todennäköisyys, jolla hänen vieläkannattaa vastata yksittäiseen kysymykseen, on

1. 1/52. 1/43. 2/54. 3/7

Yksityisopetus.net



2005/39. Yrityksellä on valittavana yksi neljästä projektista Aj , j = 1, 2, 3, 4. Kusta-kin projektista saatava voitto eli tulos riippuu markkinoiden kehityksestä, jo-ta yritysjohto kuvaa mahdollisilla skenaarioilla Si ja todennäköisyyksillä pi,i = 1, 2, 3. Jos projekti Aj valitaan, on tulos skenaarion Si tapauksessa vij(1 000 e). Lukuarvot parametreille vij ja todennäköisyydet pi, kaikille i ja j,on annettu seuraavalla taulukolla:

A1 A2 A3 A4 pi%S1 3 000 −1 000 4 000 −1 200 0, 25S2 −1 500 2 000 1 200 3 500 0, 25S3 2 500 1 800 −800 1 500 0, 50

Riskineutraali valinta perustuu tuloksen odotusarvon maksimointiin ja äärim-mäisen riskiä karttava valinta huonoimman tuloksen maksimointiin. Muodos-tetaan kombinoitu valintakriteeri painotettuna keskiarvona näistä kahdestakriteeristä antamalla sama paino 0, 5 kummallekin. Optimivalinta kombinoi-dulla kriteerillä on

1. A1

2. A2.3. A3.4. A4.

2003/39. Yrityksellä on valittavana yksi neljästä projektista Aj , j = 1, 2, 3, 4. Kustakinprojekteista saatava voitto riippuu markkinoiden kehityksestä, jota yritysjoh-to kuvaa kolmella mahdollisella skenaariolla Si, i = 1, 2, 3. Jos projekti Aj

valitaan, on voitto skenaarion Si tapauksessa vij (1 000 euroa). Lukuarvotparametreille vij , kaikille i ja j, on annettu seuraavalla taulukolla:

A1 A2 A3 A4

S1 3 000 10 200 4 300 2 600S2 500 5 200 8 800 1 500S3 3 500 1 200 1 000 3 600

Paras valinta max-min-kriteerin nojalla on

1. A1

2. A2.3. A3.4. A4.

Yksityisopetus.net



2007/47. Yritys on järjestämässä rock-festivaalia tulevan vuoden kesällä. Säätilastotosoittavat, että festivaalipäivinä ilma on lämmintä (L) todennäköisyydellä0, 8 ja viileää (V ) todennäköisyydellä 0, 2. Jos L sattuu, on sää poutainen (P )todennäköisyydellä 0, 75 ja sateinen (S) todennäköisyydellä 0, 25. Vastaavastijos V sattuu, on poutaista (P ) todennäköisyydellä 0, 5 ja sateista (S) toden-näköisyydellä 0, 5. Yrityksen voitto festivaalista riippuu säätilasta seuraavasti:

Lämpötila L Lämpötila VSateisuus P 300 te 0 teSateisuus S -100 te -200 te

Yritys harkitsee sadevakuutusta, joka korvaa puolet tappiosta siinä tapauk-sessa, että S sattuu (ts. festivaalisää on sateinen). Voiton odotusarvoa mak-simoivan yrityksen kannattaa maksaa vakuutuksesta korkeintaan

1. 5 te.2. 10 te.3. 15 te.4. 20 te.

4.6 - Kilpailuongelmat

2005/40. Tarkastellaan täydellisen kilpailun markkinatilannetta, jossa erään tuotteenkokonaistarjonnan ollessa v (yks/v) määräytyy markkinahinta hintafunktionp = 100− 5v (e/yks) mukaan. Markkinoilla kilpailevat kaksi yritystä A ja B.Niiden tuotantomääriä merkitään xA ja xB (yks/v), jolloin kokonaistarjontaon v = xA + xB . Keskimääräisiä tuotantokustannuksia merkitään vastaavastisymboleilla cA ja cB (e/yks). Nämä kustannukset kasvavat tuotantomäärienmukana siten, että cA = 40 + 5xA ja cB = 60 + 2, 5xB . Hinnalla p olisi tällöinyrityksen A voitto (p−40−5xA)xA ja yrityksen B voitto (p−60−2,5xB)xB .Näiden perusteella määräytyvät optimaaliset tuotantomäärät xA(p) ja xB(p)hinnan p funktioina sekä kokonaistarjonta v(p) = xA(p) + xB(p). Kysynnänja tarjonnan tasapaino määrää täydellisen kilpailun tasapainohinnan p, jokaon

1. 42 e/yks.2. 52 e/yks.3. 62 e/yks.4. 72 e/yks.

Yksityisopetus.net



2007/48. Kuvitteellisessa valtiossa sähkön hinta p (e/kWh) riippuu sähkön kulutukses-ta q (TWh/v) funktion p = 0,30 − 0,002q mukaan. Sähkön tarjonnasta huo-lehtivat kaksi kilpailevaa yritystä i, joiden tuotantomäärät ovat qi (TWh/v),i = 1, 2. Olkoon ci yrityksen i sähkön tuotannon rajakustannus (eli tuote-tusta sähkön lisäyksiköstä aiheutuva muuttuvien yksikkökustannusten lisäys)tuotannon tasolla qi. Rajakustannus nousee tuotantomäärän kasvaessa siten,että yrityksellä 1 se on c1 = 0,10 + 0,001q1 (e/kWh) ja yrityksellä 2 se onc2 = 0,06 + 0,002q2 (e/kWh). Sähkön hinta sekä määrät q1, q2 ja q määräy-tyvät täydellisen kilpailun markkinatasapainossa. Ilmastonmuutoksen hillitse-miseksi valtio asettaa yritysten maksettavaksi hiilidioksidin päästöveron, jokanostaa sähköntuotannon rajakustannuksia yrityksellä 1 määrän 0,03 e/kwhja yrityksellä 2 määrän 0,01 e/kwh. Päästövero muuttaa täydellisen kilpailunmarkkinatasapainoa ja sen myötä sähkön hinta nousee noin

1. 10%2. 12%3. 14%4. 16%

2000/40. Tarkastellaan tilannetta, jossa erään tuotteen markkinoilla kilpailee kaksi yri-tystä A ja B. Yrityksen A tarjonta onXA ja yrityksen B tarjontaXB (yksikköävuodessa). Tarjonta määräytyy markkinatasapainohinnan p perusteella seu-raavasti:

XA = 5(p− 200), kun p ≥ 200, muulloin 0 jaXB = 2(p− 400), kun p ≥ 400, muulloin 0.

Tuotteen hinta p määräytyy funktion p = 500 − 0,1V perusteella, missäV = XA +XB on tuotteen kokonaistarjonta. Markkinatasapainohinta on täl-löin

1. 300 mk.2. 350 mk.3. 400 mk.4. 450 mk.

Yksityisopetus.net



2003/40. Markkinoilla kuluttajien kysynnän q (yks/päivä) ja tuotteen hinnan p (eu-roa/yks) välillä vallitsee hintafunktio p = 100− q. Näillä kuvitteellisilla mark-kinoilla toimii kaksi yritystä A ja B. Kun tuotantomääriä merkitään muut-tujilla xA ja xB (yks/päivä), ovat tuotantokustannukset euroissa cA(xA) =30 + 40xA ja cB(xB) = 10 + 50xB , jolloin A:n voitto on pxA − cA(xA) ja B:nvoitto on pxB − cB(xB). Täydellisen kilpailun markkinatasapainossa kysyntäon kokonaistarjonta eli q = xA+xB , tuotteen hinta on hintafunktion mukainenja kummallakin yrityksellä tuotanto on valittu siten, että voitto maksimoituu,jolloin

1. tuotteen hinta on 50 euroa/yks.2. yritys A tuottaa enemmän kuin yritys B.3. yrityksen A voitto on suurempi kuin yrityksen B voitto.4. yritys B tuottaa yli puolet kokonaistarjonnasta.

4.7 - Yhteistyöongelmat

Yksityisopetus.net



Vuosi 2000Tehtävä Vastaus

33 234 135 336 1,437 438 239 440 3Vuosi 2001 Vuosi 2002 Vuosi 2003

Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus33 4 33 1 33 334 3 34 3 34 135 3 35 3 35 236 1 36 4 36 237 3 37 3 37 438 3 38 3 38 339 3 39 2 39 440 1 40 4 40 2Vuosi 2004 Vuosi 2005 Vuosi 2006

Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus33 2 33 2 33 434 4 34 2 34 135 1 35 4 35 336 3,4 36 1 36 137 3 37 3 37 238 2 38 4 38 139 4 39 2 39 140 4 40 4 40 2Vuosi 2007 Vuosi 2008 Vuosi 2009

Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus41 4 41 3 41 342 1 42 3 42 243 1 43 1 43 144 1 44 4 44 245 3 45 2 45 246 2 46 3 46 447 4 47 4 47 248 2 48 2 48 1

Yksityisopetus.net

Documents

2. luku - Talousmatematiikan alkeitaKauppatieteiden valintakokeen matematiikan tehtäviä vuosilta 2000-2009 Yksityisopetus.net tarjoaa korkeatasoista ja innostavaa matematiikan opetusta