OLEH: YULIADI, M.Kom

PengertianSalah satu teknik penyelesaian masalah-masalah optimasi (memaksimalkan atau meminimumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linier.

Suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel (variable pengambilan keputusan) sedemikian rupa sehingga nilai tujuan atau objektif (objective function) yang linier menjadi optimum (maksimum atau minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan (kendala-kendala) yang ada yaitu pembatasan ini harus dinyatakan dengan ketidaksamaan yang linier (linear inequalities).

Hal yang diperhatikan dalam penyelesaian kasus pemrograman linier1.Tujuan (objetive)Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan (objective function), berupa dampak positip, manfaat-manfaat, atau dampak negatif, kerugian-kerugian, resiko-resiko, biaya-biaya, jarak, waktu yang ingin diminimumkan.

Alternatif PerbandinganHarus ada sesuatu atau alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah, atau alternatif padat modal dengan padat karya, proyeksi permintaan tinggi dengan rendah, dan seterusnya.

Hal yang diperhatikan dalam penyelesaian kasus pemrograman linier3.SumberdayaSumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan terbatas, misalnya keterbatasan tenaga, bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dll. Pembatasan harus dalam ketidaksamaan linier (linier inequality). Keterbatasan dalam sumber daya tersebut dinamakan sebagai fungsi kendala atau syarat ikatan.4.Perumusan KuantitatifFungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam model matematika.

Hal yang diperhatikan dalam penyelesaian kasus pemrograman linier5.Keterikatan perubahPerubah-perubah yang membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut harus memiliki hubungan keterikatan hubungan keterikatan atau hubungan fungsional.

Rumus

Keterangan :

Penyelesaian sebuah Kasus dalam Pemograman Linier ada 2, Yaitu:Metode AljabarMetode Grafik

1. Metode AljabarContoh Kasus 1:

Suatu perusahaan keramik membuat 2 macam produk setiap hari, yaitu mangkuk dan cangkir. Diketahui setiap memproduksi Mangkuk dibutuhkan tenaga kerja 1 jam sehari dan 4 kg tanah liat. Setiap memproduksi Cangkir dibutuhkan tenaga kerja 2 jam sehari dan 3 kg tanah liat. Perusahaan mempunyai 2 macam sumber daya, yaitu tanah liat 120 kg dan tenaga kerja 40 jam sehari. Keuntungan perunit yang diperoleh adalah Rp 4/unit untuk mangkuk dan Rp 5 /unit untuk Cangkir. Dengan sumber daya tersebut, perusahaan ingin mengetahui berapa banyak mangkuk dan cangkir yang diproduksi untuk mendapatkan keuntungan (profit) yang maksimum.

Defenisi Masalah :

Pembentukan model :Menentukan variabel keputusanMenentukan kendalaMenentukan fungsi tujuanVariabel Keputusan :Berapa banyak mangkuk & cangkir yang diproduksi ? x1 = banyaknya mangkuk yang diproduksi x2 = banyaknya cangkir yang diproduksiFungsi Tujuan :Mendapatkan keuntungan yang maksimum. maksimumkan Z = 4 x1 + 5 x2 dimana Z = total profit sehari 4x1 = profit dari mangkuk 5x2 = profit dari cangkir

Kendala : Tenaga kerja 40 jam setiap mangkuk membutuhkan 1 jam setiap cangkir membutuhkan 2 jam jml tenaga kerja seluruhnya : 1x1 + 2x2

Pertanyaan :Carilah hasil maksimum dari tiga alternatif : 1. Misalkan x1 = 0 2. Misalkan x2 = 0 3. Titik potong dari garis 1x1 + 2x2 = 40 dan 4x1 + 3x2 = 120 Penyelesaian :1. Misalkan x1 = 0 1x1 + 2x2 = 40, maka x2 = 20 1x1 + 2x2

1. Misalkan x1 = 0 4x1 + 3x2 = 120, maka x2 = 40 1x1 + 2x2

2. Misalkan x2 = 0 4x1 + 3x2 = 120, maka x1 = 30 1x1 + 2x2

1x1 + 2x2 = 40 4x1 + 3x2 = 120 1x1 + 2(8) = 40 4x1 + 3(8) = 120 1x1 + 16 = 40 4x1 + 24 = 120 1x1 = 40 16 4x1 = 120 - 24 1x1 = 24 4x1 = 96 x1 = 24 x1 = 96/4 x1 = 24 Z = 4x1 + 5x2 = 4(24) + 5(8) = 96 + 40 = 136 (maksimum)Kesimpulan :Keuntungan akan maksimum bila diproduksi : mangkuk = 24 unit cangkir = 8 unitKeuntungan maksimum yg akan diperoleh = Rp. 136

Latihan Soal Kasus 2:

Toko Sari Busana merencanakan untuk memproduksi 2 jenis kain, yaitu kain katun dan kain hero. Untuk memproduksi keduanya, dibutuhkan 2 jenis bahan baku, yaitu bahan A dan bahan B. Diketahui setiap meter kain katun membutuhkan 3 bahan A dan 5 bahan B. Setiap meter kain hero membutuhkan 6 bahan A dan 2 bahan B. Sumber daya yang tersedia adalah bahan A sebanyak 30 dan bahan B sebanyak 20.Keuntungan permeter yang diperoleh adalah Rp 15/meter untuk kain katun dan Rp 10/meter untuk kain hero. Dengan sumber daya tersebut, berapa banyak kain katun dan kain hero yang diproduksi untuk mendapatkan keuntungan (profit) yang maksimum?.

1. Metode GafikDigunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan 2 variabel keputusan (metode grafik tidak dapat digunakan bila banyaknya variabel keputusan lebih dari 2).

Langkah-Langkah Penyelesaian Metode Grafik:1.Seluruh kendala yg ada dibuat menjadi bentuk persamaan garis lurus (merubah tanda = menjadi =).Gambarkan seluruh kendala tsb pada bidang kordinat.Tentukan daerah penyelesaiannya.Cari seluruh kordinat titik ekstreem dari daerah penyelesaiannya.Substitusikan seluruh kordinat titik ekstreem ke Z, cari titik yang memberikan Z optimal.

Contoh 1:

kasus diambil dari masalah yang ada pada perusahaan keramik yang mempunyai pemrograman linear sbb:maksimumkan Z = 4 x1 + 5 x2 dengan syarat : 1x1 + 2x2

Penyelesaian :

Membuat persamaan garis lurus dari semua kendala : 1x1 + 2x2 = 40 Titik potong dgn sumbu x1, x2=0 maka x1=40 (40,0)Titik potong dgn sumbu x2, x1=0 maka x2=20 (0,20)A

4x1 + 3x2 = 120Titik potong dgn sumbu x1, x2=0 maka x1=30 (30,0)B Titik potong dgn sumbu x2, x1=0 maka x2=40 (0,40)

Titik potong sumbu yang dipakai adalah yang penyelesaiannya visible.

Titik potong kedua garis : x1=24, x2=8 (24,8) C

A(0,20)B(30,0)C (24,8)x1x24020103010203040daerah penyelesaianA(0,20)Z=4x1 + 5x2 =4(0) + 5(20) = 100B(30,0)Z=4x1 + 5x2 =4(30) + 5(0) = 120C(24,8)Z=4x1 + 5x2 =4(24) + 5(8) = 136

Kesimpulan : Jadi yang diambil adalah titik C, dimana x1 = 24 x2 = 8 Z = 136

Keuntungan akan maksimum bila diproduksi mangkuk = 24 unit cangkir = 8 unit Keuntungan maksimum = Rp. 136/unit

Contoh 2:

kasus diambil dari masalah yang ada pada perusahaan keramik yang mempunyai pemrograman linear sbb:maksimumkan Z = 8000x1 + 6000x2 dengan syarat : 4x1 + 2x2