Upload
duongthuan
View
240
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
i
PEMROGRAMAN LINIER:
MODEL TRANSPORTASI
Oleh:
Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si, M.Si
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS UDAYANA
2015
ii
KATA PENGANTAR
Kebutuhan akan sumber belajar bagi mahasiswa di Jurusan Matematika yang
mengambil mata kuliah Pemrograman Linear, maupun yang akan dan sedang
mengerjakan Tugas Akhir mengenai Pemrograman Linear, khususnya kajian model
transportasi, merupakan pertimbangan disusunnya karya tulis ini. Pemanfaatan karya
tulis ini sebagai sumber belajar diharapkan dapat mengoptimalkan pembelajaran di
kelas, maupun memperlancar proses penyelesaian Tugas Akhir mahasiswa di Jurusan
Matematika, FMIPA Universitas Udayana.
Materi-materi yang disajikan dalam tulisan ini disusun dalam tiga bab, meliputi:
Kajian Transportasi, Pemecahan Masalah Transportasi, dan Kasus-kasus Masalah
Transportasi. Bab Kajian Transportasi membahas mengenai Definisi & Aplikasi Model
Transportasi dan Keseimbangan Model Transportasi. Bagian Pemecahan Masalah
Transportasi membahas tentang Langkah-langkah Dasar dari Teknik Transportasi yang
meliputi Penyelesaian Fisibel Awal dan Proses Menuju Solusi Optimal. Bagian ketiga
menyajikan Kasus-kasus Masalah Transportasi, meliputi: Masalah Transportasi Tidak
Seimbang; Ada jalan Rusak; Penalti Terhadap Permintaan yang Tidak Terpenuhi; dan
Soal Memaksimumkan. Tulisan ini disusun secara runtun bagian demi bagian, dengan
harapan dapat memudahkan pembaca untuk memahami isi materi. Akhir kata, tiada gading yang tak retak , keterbatasan dari isi tulisan ini
memerlukan penyempuraan lebih lanjut di masa mendatang. Walaupun demikian,
diharapkan tulisan ini dapat memberikan manfaat yang sebesar-besarnya bagi
pengguna.
Bukit Jimbaran, 11 Desember 2015
Penyusun
iii
DAFTAR ISI
PENGANTAR …………………………………..………………………………………….............................. ii
DAFTAR ISI ……………………………………...……………………………….…………………………. iii
BAB I. MODEL TRANSPORTASI……….……………………..……………..…............................. 1
1.1 Definisi dan Aplikasi Model Transportasi ….………………………………..…..…..
1.2 Keseimbangan Model Transportasi …..………………………………………………...
1
3
BAB II. PEMECAHAN MASALAH TRANSPORTASI ………………………………………… 6
2.1 Langkah-langkah Dasar dari Teknik Transportasi …………………….….…..…
2.1.1 Penyelesaian Fisibel Awal ………………………….………………………………
2.1.2 Proses Menuju Solusi Optimal ………………….………………………………..
6
6
15
DAFTAR PUSTAKA ……………………………….…….......…………………………………………….. 29
1
BAB I
MODEL TRANSPORTASI
Model transportasi merupakan salah satu kasus khusus dari persoalan
pemrograman linier. Model transportasi pada dasarnya merupakan sebuah
program linear yang dapat dipecahkan oleh metode simpleks yang biasa. Tetapi,
strukturnya yang khusus memungkinkan pengembangan sebuah prosedur
pemecahan, yang disebut teknik transportasi, yang lebih efisien dalam hal
perhitungan.
1.1 Model Transportasi dan Aplikasinya
Hal-hal yang dibahas dalam persoalan transportasi mencakup masalah
pendistribusian suatu komuditas dari sejumlah sumber (supply) ke sejumlah
tujuan (demand), yang ditujukan untuk meminimalkan terjadinya ongkos
pengangkutan.
Data yang digunakan dalam model meliputi data berikut: (1) Tingkat
penawaran di setiap sumber; (2) Jumlah permintaan di setiap tujuan; dan (3) Biaya
transportasi untuk setiap unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan.
Sebuah tujuan dapat menerima permintaan dari 1 sumber atau lebih dari satu
sumber (karena terdapat hanya satu barang). Model yang dibentuk bertujuan
untuk menentukan jumlah yang harus dikirimkan dari setiap sumber ke setiap
tujuan yang ditujukan untuk meminimalkan biaya transportasi total.
Model transportasi memiliki beberapa kegunaan untuk memecahkan
beberapa permasalahan, diantaranya: permasalahan distribusi (alokasi),
permasalahan bisnis lainnya (alokasi dana untuk investasi, analisis lokasi,
keseimbangan lini perakitan, perencanaan produksi, pengiklanan, dan
pembelanjaan modal).
Ciri- ciri khusus persoalan transportasi menurut Dimyati, et al (2003) adalah:
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.
2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber
dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan,
besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
4. Ongkos pengangkutan kapasitas dari suatu sumber ke suatu tujuan,
besarnya tertentu.
Model transportasi dari sebuah jaringan dengan m sumber dan n tujuan
disajikan pada gambar di bawah. Node mewakili sebuah sumber dan tujuan. Busur
mewakili rute pengiriman barang (yang menghubungkan sebuah sumber dan
sebuah tujuan). adalah jumlah penawaran di sumber dan . adalah
permintaan di tujuan . adalah biaya unit transportasi antara sumber dan
2
tujuan dan mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan
j.
Model LP yang mewakili masalah transportasi, secara umum sebagai berikut:
ai = Jumlah supply pada sumber i
bj = Jumlah permintaan pada tujuan j
cij = Harga satuan transportasi antara sumber i dan tujuan j
Dengan demikian, maka formulasi program linearnya adalah sebagai berikut:
Minimumkan ∑∑
Dengan batasan ∑
∑
Penetapan bahwa jumlah pengiriman dari sebuah sumber tidak dapat
melebihi penawarannya merupakan kelompok batasan yang pertama dan
kelompok batasan kedua mengharusan jumlah pengiriman ke sebuah tujuan harus
memenuhi permintaannya.
3
Dalam bentuk tabel dapat disajikan seperti berikut ini:
Tujuan
1 2 n Persediaan
Sumber
1
...
2
…
…
…
…
…
m
Permintaan
…
1.2 Keseimbangan Model Transportasi
Apabila total supply sama dengan total demand, maka suatu model
transportasi dikatakan seimbang, diwakili oleh persamaan berikut : ∑ ∑
Jika kondisi batasan ini tidak terpenuhi, atau mungkin jumlah supply yang
tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah yang diminta,
dikatakan bahwa model persoalan disebut sebagai model yang tidak seimbang.
Untuk kondisi model yang tidak seimbang diatasi dengan membuat seimbang
dengan cara memasukkan variabel dummy.
Contoh 1 (Model Transportasi Standar)
MG Auto Company memiliki pabrik di Los Angeles, Detroit, dan New Orleans.
Pusat distribusinya terletak di Denver dan Miami. Kapasitas ketiga pabrik
tersebut selama kwartal berikutnya adalah 1000, 1500, dan 1200 mobil.
Permintaan kwartalan di kedua pusat distribusi adalah 2300 dan 1400 mobil.
Biaya transportasi darat per mobil per mil adalah sekitar 8 sen. Bagan jarak
antara pabrik dan pusat distribusi, sebagai berikut:
4
Denver Miami
Los Angeles 1000 2690
Detroit 1250 1350
New Orleans 1275 850
Bagan jarak di atas diidentifikasi menjadi biaya per mobil dengan tarif 8 sen
per mil, menghasilkan biaya yang mewakili dalam model umum:
Denver
(1)
Miami
(2)
Los Angeles
(1)
80 215
Detroit
(2)
100 108
New Orleans
(3)
102 68
Dari table diatas, karena penawaran total (=1000+1500+1200=3700) sama
dengan permintaan total (=2300+1400=3700), maka model transportasi yang
dihasilkan berimbang. Sehingga model LP masalah ini memiliki batasan yang
semuanya berbentuk persamaan:
Minumumkan
Dengan batasan
Sebuah metode yang lebih ringkas untuk mewakili model traansportasi ini
adalah menggunakan apa yang kita sebut tabel transportasi. Tabel ini adalah
bentuk matriks dengan baris-baris yang mewakili sumber dan kolom-kolom
5
mewakili tujuan. Unsur biaya diringkaskan dalam sudut timur laut sel
matriks . Model MG dapat diringkas seperti diperlihatkan pada tabel.
Tujuan
Denver Miami
(1) ( 2)
Penawaran
Los Angeles (1) 1000
Sumber Detroit (2) 1500
New Orleans (3) 1200
Permintaan 2300 1400
x11
x12
x21
x22
x31
x32
80 215
100 108
102 68
6
BAB II
PEMECAHAN MASALAH TRANSPORTASI
2.1 Langkah-langkah Dasar dari Teknik Transportasi
Dalam bagian ini kami perkenalkan perincian untuk pemecahan model
transportasi. Metode ini menggunakan langkah-langkah metode simpleks secara
langsung dan hanya berbeda dalam perincian penerapan kondisi optimalitas dan
kelayakan.
Langkah-langkah dasar dari teknik transportasi adalah dengan
1. Langkah 1: Menentukan penyelesaian fisibel awal.
2. Langkah 2: Menentukan variabel masuk dari di antara variabel non dasar.
Untuk metode simplek, jika semua variabel masuk memenuhi kondisi
optimalitas, berhenti; jika tidak maka lanjutkan ke langkah 3
3. Langkah 3: Tentukan variabel keluar (menggunakan kondisi kelayakan)
dari di antara variabel-variabel dalam pemecahan dasar saat ini; lalu
temukan pemecahan dasar baru. Selanjutnya kembali ke langkah 2.
1.1.1 Penyelesaian Fisibel Awal
Untuk menentukan penyelesaian awal masalah transportasi dengan
penyelesaian fisibel awal. Beberapa metode yang biasa digunakan, dintaranya:
metode sudut barat laut, metode biaya terendah, dan metode pendekatan Vogel.
Masing-masing metode memiliki keuntungan yang berbeda. Metode sudut barat
laut merupakan metode yang paling mudah, akan tetapi biasanya dibutuhkan lebih
banyak iterasi untuk mencapai penyelesaian optimal dibandingkan dengan metode
biaya terendah atau metode pendekatan Vogel. Tidak ada teori yang akan
menjamin bahwa penyelesaian awal merupakan penyelesaian optimal.
Jika tabel transportasi terdiri dari m baris dan n kolom, maka penyelesaian
awal harus menghasilkan m + n – 1 buah variabel basis (sel yang terisi). Jika
penyelesain awal berisi kurang dari m + n – 1 buah variabel basis maka harus
ditambahkan variabel dummy agar proses pengecakan keoptimalan dan iterasi
dapat dilakukan.
Metode Sudut Barat Laut ( northwest-corner rule)
Contoh :
Tiga pabrik barang dengan kapasitas 90 ton, 60 ton dan 50 ton hendak
mengirim barang ke tiga kota dengan kebutuhan masing – masing kota
adalah 50 ton, 110 ton dan 40 ton.
7
Biaya pengiriman (ribuan) dari dari pabrik ke kota disajikan dalam tabel
berikut.
Pabrik Kota
A B C
1 20 5 8
2 15 20 10
3 25 10 19
Tentukan penyelesaian fisibel awal dengan metode sudut barat laut.
Penyelesaian :
Jumlah kapasitas yang dimiliki pabrik 1,2, dan 3 adalah 90 + 60 + 50 = 200
ton, sedangkan jumlah permintaan di setiap kota A,B, dan C adalah 50 + 110
+ 40 = 200 ton. Karena jumlah permintaan dan penawaran sama, proses
iterasi dapat dimulai. Biaya pengiriman perunit barang ditunjukkan pada
ujung kanan atas tiap sel. Disisi kanan merupakan jumlah persediaan
barang dari tiap pabrik, sedangkan sisi bawah tabel adalah jumlah
permintaan tiap kota.
Ujung barat laut dari tabel adalah sel c11 = 20. Sel ini diisi sebanyak
mungkin. Pabrik 1 mempunyai 90 ton barang sedangkan kota A
memerlukan 50 ton. Sehingga x11 diisi sebanyak mungkin, yaitu 50 ton.
Dengan mengisi x11 = 50 maka otomatis permintaan kota A sudah terpenuhi
sehingga x21 dan x31 tidak boleh diisi lagi.
8
Selanjutnya sel c12 = 5 akan diisi dengan barang sebanyak mungkin. Pabrik
1 hanya mempunyai 90 ton dan sudah dikirimkan ke kota A sebanyak 50
ton sehingga tersisa 40 ton. Di sisi lain, kota B membutuhkan sebanyak 110
ton. Maka x12 = 40. Sehingga pabrik 1 sudah kehabisan barang sehingga x13
tidak boleh diisi lagi.
9
Karena barang pabrik 1 sudah habis, selanjutnya ujung barat lautanya
adalah sel c22 = 20. Pabrik 2 memiliki 60 ton barang sedangkan kota B
tinggal membutuhkan 70 ton barang lagi. Maka x22 = 60 dan x23 tidak boleh
diisi lagi. Sehingga semua barang sudah tersalurkan.
Penyelesaian fisibel awal dengan metode sudut barat laut adalah sebagai
berikut:
Biaya total pendistribusian sebesar 50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) +
40(19) = 3.260 (ribuan).
Jumlah sel basis (sel terisi) = 5 sel, yaitu sama dengan jumlah baris + jumlah
kolom – 1 = 3 + 3 - 1 = 5. Sehingga jumlah basisnya mencukupi dan tidak
perlu variabel basis dummy.
Metode Biaya Terendah
Metode Biaya Terendah menggunakan cara yang hampir sama
dengan metode sudut barat laut, namun pengisian sel tidak dilakukan dari
sisi barat laut, tetapi dari sel yang biaya pengirimannya terendah. Sel
dengan biaya terendah diisi dengan barang semaksimal mungkin. Sel-sel
yang biaya terendahnya sama, dapat dipilih dengan cara sembarang.
Contoh :
Pertimbangkan soal sebelumnya yang menggunakan metode biaya
terendah.
Penyelesaian :
Biaya terkecil adalah pengiriman dari pabrik 1 ke kota B dengan c12 = 5
sel ini diisi semaksimal mungkin, yaitu sebesar x12 = 90. Sehingga dari
10
sini pabrik 1 sudah kehabisan barang sehingga x11 dan x13 tidak bisa
terisi lagi.
Dari sisa sel yang masih bisa diisi pengiriman dengan biaya terendah adalah
dari pabrik 3 ke kota B dengan biaya c32 = 10. x32 diisi sebanyak 20 untuk
memenuhi permintaan kota b yaitu 110 ton.
Dengan cara yang sama dilakukan untuk sel yang belum terarsir.
Penyelesaian fisibel awal dengan metode biaya terendah adalah sebagai
berikut: Biaya total pendistribusian sebesar 90(5) + 20(15) + 40(10) +
30(25) + 20(10) = 2.100 (ribuan).
11
Kota
A B C Persediaan
1 90
Pabrik
2 60
3 50
Permintaan 50 110 40
90
20
40
30
20
20 8
15 20 10
25 10 19
5
Metode Pendekatan Vogel
Metode Pendekatan Vogel menggunakan cara yang lebih kompleks
dibandingkan dengan metode-metode sebelumnya. Tetapi umumnya lebih
mendekati solusi optimalnya.
Langkah-langkah mendapatkan solusi awal dengan Metode Pendekatan
Vogel adalah sebagai berikut :
1. hitunglah selisih dua sel dengan biaya terkecil pada setiap baris dan
kolom
2. Tetukan baris/kolom berdasarkan (1) yang selisihnya terbesar. Jika ada
lebih dari 1, pilihlah secara sembarang.
3. Dari hasil langkah (2), sel dengan biaya terkecil diisi sebanyak
banyaknya. Kemudian hilangkan baris/kolom yang dihabiskan karena
pengisian tersebut pada perhitungan berikutnya. Jika baris dan kolom
terhapus secara bersamaan, maka ditambahkan variabel
buatan/dummy.
4. Ulangi langkah satu sampai tiga hingga semua permintaan/persediaan
habis.
12
Contoh :
Selesaikan contoh sebelumnya dengan metode Pendekatan Vogel.
Penyelesaian :
Perhatikan baris 1, sel yang biayanya terkecil berturut-turut adalah c12
= 5 dan c13 = 8. Selisihnya = 8 – 5 = 3.
Dengan cara yang sama dihitung selisih 2 sel dengan biaya terkecil pada
tiap baris dan kolom. Hasilnya sebagai berikut.
Baris atau Kolom 2 Sel dengan Biaya
Terkecil
Selisih
Baris-1 c12 = 5 dan c13 = 8 8 – 5 = 3
Baris-2 c21 = 15 dan c23 = 10 15 – 10 = 5
Baris-3 c32 = 10 dan c33 = 19 19 – 10 = 9*
Kolom-1 c11 = 20 dan c21 = 15 20 – 15 = 5
Kolom-2 c12 = 5 dan c32 = 10 10 – 5 = 5
Kolom-3 c13 = 8 dan c23 = 10 10 – 8 = 2
Dari table terlihat bahwa selisih terbesar yaitu 9 terletak pada baris ke
3. Dengan biaya terkecil pada baris ke 3 yaitu c32 = 10. Pada sel ini
dimasukan barang semaksimal mungkin yaitu sebesar 50 ton. Sehingga x32
= 50 ton. Sel lain pada baris 3 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya.,
13
karena sudah kehabisan barang. Dengan cara yang sama diperoleh (tentu
saja tanpa melibatkan baris 3) :
Baris atau Kolom 2 Sel dengan Biaya
Terkecil
Selisih
Baris-1 c12 = 5 , c13 = 8 8 – 5 = 3
Baris-2 c21 = 15 , c23 = 10 15 – 10 = 5
Kolom-1 c11 = 20 , c21 = 15 20 – 15 = 5
Kolom-2 c12 = 5 , c22 = 20 20 – 5 = 15*
Kolom-3 C13 = 8 , c23 = 10 10 – 8 = 2
Selisih terbesar ada pada kolom 2 yaitu 15, dengan biaya terkecilnya
terletak pada baris 1 yaitu c21 = 5. sel ini diisi barang sebanyak mungkin,
sebesar 110 ton, tetapi karena kolom 2 sudah terpenuhi 50 ton pada iterasi
sebelumnya maka x12 = 60, sel lain pada kolom 2 tidak dapat diisi lagi,
karena sudah terpenuhi
Begitu seterusnya, selisih 2 sel dengan biaya terkecil pada baris 1 dan 2
berturut-turut adalah 12 dan 5. Selisih pada kolom 1 dan 3 adalah 5 dan 2.
Nilai maksimum terjadi pada baris 1, maka x13 = 30 dan baris 1 tidak boleh
diisi lagi.
14
Kota
A B C
selisih
1 90 3 3
12*
Pabrik
2 60 5 5 5
3 50 9* - -
50 110 40
Selisih 5 5 2
5 15* 2
5 - 2
60
30
50
20 8
15 20 10
25 10 19
5
sisanya tinggal sel pada baris yang sama sehingga diisi mulai dari sel yang
biayanya terkecil, yaitu x23 = 10 dan x21 = 50.
Biaya total pendistribusian sebesar 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) +
50(10) = 1.890 (ribuan).
15
Kota
A B C
selisih
1 90 3 3
12*
Pabrik
2 60 5 5 5
3 50 9* - -
50 110 40
Selisih 5 5 2
5 15* 2
5 - 2
60
30
50
10
50
20 8
15 20 10
25 10 19
5
1.1.2 Proses Menuju Solusi Optimal
Solusi Optimal akan diperoleh setelah penentuan solusi awal tadi, dan
langkah berikutnya adalah mengecek apakah solusi tersebut sudah optimal.
Menentukan entering dan leaving variable adalah tahap berikutnya dari
pemecahan persoalan transportasi, setelah solusi fisible awal diperoleh. Cara
menentukan entering dan leaving variable yaitu dengan menggunakan metode
stepping stone dan metode Modified Distribution Method (MODI).
1. Metode Stepping Stone
Syarat : Jumlah rute atau sel yang mendapat alokasi harus sebanyak Jumlah
Kolom + Jumlah Baris – 1
Langkah – langkahnya :
i. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi).
16
ii. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang
mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup
ini bergerak secara horizontal dan vertikal saja.
iii. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan
tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.
iv. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya
transportasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya
transportasi pada sel bertanda (-).
v. Mengulangi tahap 1 sampai 4 hingga indeks perbaikan untuk semua sel
kosong telah terhitung. Jika indeks perbaikan dari sel-sel kosong lebih
besar atau sama dengan nol, solusi optimal telah tercapai.
Contoh :
1) Tiga pabrik barang dengan kapasitas 90 ton, 60 ton dan 50 ton hendak
mengirim barang ke tiga kota dengan kebutuhan masing – masing kota
adalah 50 ton, 110 ton dan 40 ton.
Biaya pengiriman (ribuan) dari dari pabrik ke kota disajikan dalam tabel
berikut.
Pabrik Kota
A B C
1 20 5 8
2 15 20 10
3 25 10 19
Berapakan total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan
dalam memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut ?
Penyelesaian :
Tabel Transportasi
17
Dengan metode sudut barat laut diperoleh table fisible awal sebagai
berikut :
Tabel Alokasi Pertama dengan metode Stepping Stone
Biaya pengiriman untuk alokasi tahap pertama :
50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) + 40(19) = 3260
Menguji sel–sel yang masih kosong, apakah masih bisa memiliki nilai
negatif atau tidak, artinya masih bisa menurunkan biaya transportasi
atau tidak. Sel yang diuji adalah : Sel . Pengujian
dilakukan pada setiap sel kosong tersebut dengan menggunakan metode
Stepping Stone. Pada metode ini, pengujian dilakukan mulai dari sel
1
2
3
18
kosong tersebut, selanjutnya bergerak (boleh searah jarum jam dan
boleh berlawanan) secara lurus/tidak boleh diagonal, ke arah sel yang
telah terisi dengan alokasi, begitu seterusnya sampai kembali ke sel
kosong tersebut. Setiap pergerakan ini akan mengurangi dan menambah
secara bergantian biaya pada sel kosong tersebut. Perhatikan tanda
panah dan tanda (+) atau (-) nya.
Pengujian
Sel = 8 – 19 + 10 – 5 = - 6
Sel = 15 – 20 + 5 -20 = - 20
Sel = 10 – 19 + 10 – 20 = - 19
Sel = 25 – 20 + 5 – 10 = 0
Merubah alokasi pengiriman ke sel , yang pengujian sebelumnya
memiliki pergerakan :
Dari pergerakan dan tanda (+)/(-) yang ada, perhatikan sel yang
bertanda minus saja, yakni sel dan sel . Dari kedua sel bertanda
pergerakan minus ini, pilih sel yang alokasi pengiriman sebelumnya
memiliki alokasi paling kecil. Dan ternyata sel , dengan alokasi
sebelumnya 50 ton, dan ini lebih kecil dari alokasi sel yang 60 ton.
Selanjutnya angka 50 ton di sel tersebut digunakan untuk
mengurangi atau menambah alokasi yang ada selama pengujian (sesuai
tanda pada pergerakan pengujian). Dengan demikian dapat dihasilkan
tabel transportasi sebagai berikut:
19
Sel menjadi 0 karena 50 – 50 = 0
Sel menjadi 90 karena 40 + 50 = 90
Sel menjadi 10 karena 60 – 50 = 10
Sel menjadi 50 karena 0 + 50 = 50
Pengujian :
Sel = 20 – 5 + 20 – 15 = 20 (menjadi lebih mahal 20/ton)
Sel = 8 – 19 + 10 – 5 = - 6
Sel = 10 – 19 + 10 – 20 = -19
Sel = 25 – 15 + 20 – 10 = 20 (menjadi lebih mahal 20/ton)
Dari hasil pengujian tersebut, ternyata sel masih dapat memberikan
penurunan biaya sebesar RP 19/ton. Dengan demikian memang perlu
dilakukan perubahan alokasi pengiriman, dengan mencoba
mengalokasikan pengiriman ke sel dengan langkah :
Dari pergerakan dan tanda (+)/(-) yang ada, perhatikan sel yang
bertanda minus saja, yakni sel dan sel . Dari kedua sel bertanda
pergerakan minus ini, pilih sel yang alokasi pengiriman sebelumnya
memiliki alokasi paling kecil. Dan ternyata sel , dengan alokasi
sebelumnya 10 ton, dan ini lebih kecil dari alokasi sel yang 40 ton.
Selanjutnya angka 10 ton di sel tersebut digunakan untuk
mengurangi atau menambah alokasi yang ada selama pengujian (sesuai
tanda pada pergerakan pengujian). Dengan demikian dapat dihasilkan
tabel transportasi sebagai berikut :
20
Sel menjadi 0 karena 10 – 10 = 0
Sel menjadi 10 karena 0 + 10 = 10
Sel menjadi 20 karena 10 + 10 = 20
Sel menjadi 50 karena 40 - 10 = 30
Pengujian
Sel = 20 – 5 + 10 – 19 + 10 - 15 = 1 (menjadi lebih mahal 1/ton)
Sel = 8 – 19 + 10 – 5 = - 6
Sel = 20 – 10 + 19 – 10 = 19 (lebih mahal 19/ton)
Sel = 25 – 15 + 10 – 19 = 1 (menjadi lebih mahal 1/ton)
Dari hasil pengujian tersebut, ternyata sel masih dapat memberikan
penurunan biaya sebesar 6/ton. Dengan demikian memang perlu
dilakukan perubahan alokasi pengiriman, dengan mencoba
mengalokasikan pengiriman ke sel dengan langkah :
Dari pergerakan dan tanda (+)/(-) yang ada, perhatikan sel yang
bertanda minus saja, yakni sel dan sel . Dari kedua sel bertanda
pergerakan minus ini, pilih sel yang alokasi pengiriman sebelumnya
memiliki alokasi paling kecil. Dan ternyata sel , dengan alokasi
sebelumnya 30 ton, dan ini lebih kecil dari alokasi sel yang 90 ton.
Selanjutnya angka 30 ton di sel tersebut digunakan untuk
mengurangi atau menambah alokasi yang ada selama pengujian (sesuai
tanda pada pergerakan pengujian). Dengan demikian dapat dihasilkan
tabel transportasi sebagai berikut :
21
Sel menjadi 60 karena 90 – 30 = 60
Sel menjadi 30 karena 0 + 30 = 30
Sel menjadi 50 karena 20 + 30 = 50
Sel menjadi 0 karena 30 - 30 = 0
Nilai alokasi pada sel dan tidak mengalami perubahan karena
tidak termasuk dalam pergerakan pengujian sel tersebut.
Pengujian
Sel = 20 – 8 + 10 – 15 = 7 → menjadi lebih mahal 7/ton
Sel = 20 – 5 + 8 – 10 = 13 → menjadi lebih mahal 13/ton
Sel = 25 – 15 + 10 – 8 + 5 - 10 = 7 → lebih mahal 7/ton
Sel = 19 – 10 + 5 – 8 = 6 → menjadi lebih mahal 6/ton)
Dari hasil pengujian tersebut, ternyata semua sel sudah tidak ada yang
bernilai negatif lagi, atau dengan kata lain semua sel sudah tidak dapat
memberikan penurunan biaya lagi, sehingga dengan demikian dapat
dikatakan kasus telah optimal, dengan total biaya :
Biaya mengirim 60 ton dari P1 ke kota B = 60 x 5 = 300
Biaya mengirim 30 ton dari P1 ke kota C = 30 x 8 = 240
Biaya mengirim 50 ton dari P2 ke kota A = 50 x 15 = 750
Biaya mengirim 10 ton dari P2 ke kota C = 10 x 10 = 100
Biaya mengirim 50 ton dari P3 ke kota B = 50 x 10 = 500
-----------------------------------------------------------------------------+
Total biaya pengirimannya = 1890
Kesimpulan :
Jadi, total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam
memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut adalah Rp. 1.890.000,00.
2. Modified Distribution Method (Metode MODI)
Metode MODI menghitung indeks perbaikan untuk setiap sel kosong
tanpa menggunakan jalur tertutup. Indeks perbaikan dihitung dengan
terlebih dahulu menentukan nilai baris dan kolom. Notasi dalam metode
MODI terdiri dari:
22
Ri = nilai yang ditetapkan untuk baris i
Kj = nilai yang ditetapkan untuk kolom j
cij = biaya transportasi dari sumber i ke tujuan j
Ada lima langkah dalam aplikasi metode MODI, yaitu :
1) Menghitung nilai setiap baris dan kolom, dengan menetapkan Ri +Kj
= cij
Formula tersebut berlaku untuk sel yang mendapat alokasi saja.
2) Setelah semua persamaan telah tertulis, tetapkan R1 = 0
3) Mencari solusi untuk semua R dan K.
4) Menghitung indeks perbaikan dengan menggunakan formula cij - Ri -
Kj
5) Mengaplikasikan kriteria optimalitas sebagaimana pada metode
stepping stone.
Contoh :
Dengan kasus yang sama seperti contoh pada metode stepping stone.
Berapakan total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam
memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut?
Penyelesaian :
Langkah-langkah:
Tabel awal yang digunakan adalah tabel NWC
Perubahan Alokasi 1
a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.
b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan
rumus:
Nilai baris 1 = R1 = 0
Mencari nilai kolom A :
0 + KA = 20, nilai kolom A = 20
Mencari nilai kolom dan baris yang lain :
; 0 + KB = 5 ; KB = 5
23
; R2 + 5 = 20 ; R2 = 15
; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5
; 5 + KC = 19 ; KC = 14
Nilai–nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang
bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut :
c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus:
Index perbaikan =
Sel Indeks Perbaikan
2 – A 15 – 15 – 20 -20
3 – A 25 – 5 – 20 0
1 – C 8 – 0 – 14 -6
2 – C 10 – 15 – 14 -19
d) Memilih titik tolak perubahan
Sel yang mempunyai indeks perbaikan negatif berarti bila diberi
alokasi akan dapat mengurangi jumlah biaya pengangkutan. Bila
nilainya positif berarti pengisian akan menyebabkan kenaikan biaya
pengangkutan.
Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel yang indeksnya bertanda negatif , dan angkanya terbesar . Dalam tabel diatas ternyata yang memenuhi syarat adalah sel 2 – A. Oleh karena itu sel
ini dipilih sebagai sel yang akan diisi.
e) Memperbaiki alokasi
Buat jalur tertutup.
Biaya transportasi = 90 (5) + 50 (15) + 10 (20) + 10 (10) + 40 (19) =
2260
f) Ulangi langkah – langkah tersebut sampai diperoleh biaya terendah.
Perubahan Alokasi ke-2
a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.
24
b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan
rumus :
Nilai baris 1 = R1 = 0
Mencari nilai kolom B :
0 + KB = 5, nilai kolom B = 5
Mencari nilai kolom dan baris yang lain :
; R2 + 5 = 20 ; R2 = 15 ; 15 + KA = 15 ; KA = 0
; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5
; 5 + KC = 19 ; KC = 14
Nilai–nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang
bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut :
c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus:
Index perbaikan =
Sel
Indeks Perbaikan
1 – A 20 – 0 – 0 20
1 – C 8 – 0 – 14 -6
2 – C 10 – 15 – 14 -19
3 – A 25 – 5 – 0 20
d) Memilih titik tolak perubahan
Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel 2 – C.
e) Memperbaiki alokasi
25
Biaya transportasi = 90 (50) + 50 (15) + 10 (10) + 20 (10) + 30 (19)
= 2070
Perubahan Alokasi ke-3
a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.
b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan
rumus:
Nilai baris 1 = R1 = 0
Mencari nilai kolom B :
0 + KB = 5, nilai kolom B = 5
Mencari nilai kolom dan baris yang lain :
; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5 ; 5 + KC = 19 ; KC = 14
; R2 + 14 = 10 ; R2 = -4
; -4 + KA = 15 ; KC = 19
Nilai–nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang
bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut :
26
c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus:
Index perbaikan =
Sel Indeks Perbaikan
1 – A 20 – 0 – 19 1
1 – C 8 – 0 – 14 -6
2 – B 20 + 4 – 5 19
3 – A 25 – 5 – 19 1
d) Memilih titik tolak perubahan
Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel 1 – C.
e) Memperbaiki alokasi
Buat jalur tertutup.
Biaya transportasi = 60 (5) + 30 (8) + 50 (15) + 10 (10) + 50 (10) =
1890
Perubahan Alokasi ke -4
a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.
b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan
rumus :
Nilai baris 1 = R1 = 0
Mencari nilai kolom B :
0 + KB = 5, nilai kolom B = 5
Mencari nilai kolom dan baris yang lain : ; 0 + KC = 8 ; KC = 8 ; R2 + 8 = 10 ; R2 = 2 ; 2 + KA = 15 ; KA = 13 ; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5
27
Nilai – nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang
bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut :
c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus:
Index perbaikan =
Sel Indeks Perbaikan
1– A 20 – 0 – 13 7
2 – B 20 – 2 – 5 13
3 – A 25 – 5 – 5 15
3 – C 19 – 5 – 8 6
Karena indeks perbaikan pada setiap sel sudah tidak ada yang
negatif, maka tabel pada perubahan alokasi ke-3 sudah optimal.
Kesimpulan
Jadi, total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam
memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut adalah Rp. 1.890.000,00
28
DAFTAR PUSTAKA
Taha, Hamdy A. 1982. Riset Operasi Jilid 1. Tanggerang : Binarupa Aksara.
Siang, Jong Jek. 2011. Riset Operasi dalam Pendekatan Algoritma. Yogyakarta: ANDI.
Dimyati, Tjutju Tarliah dan Akhmad Dimyati. 2003. Operations Research Model–
model Pengambilan Keputusan. Bandung: Sinar Baru Algensindo.
Subagyo, Pangestu dkk. 2000. Dasar – dasar Operations Research. Yogyakarta :
BPFE Yogyakarta.
PEMROGRAMAN LINIER:
MODEL TRANSPORTASIby Ni Ketut Tari Tastrawati
FILE
TIME SUBMITTED 07-FEB-2016 07:09PM
SUBMISSION ID 628713855
WORD COUNT 4377
CHARACTER COUNT 23667
MODEL_TRANSPORTASI_NILA_EDIT.PDF (1.34M)
16%SIMILARITY INDEX
16%INTERNET SOURCES
0%PUBLICATIONS
0%STUDENT PAPERS
1 8%
2 5%
3 2%
4 1%
5 <1%
6 <1%
7 <1%
EXCLUDE QUOTES OFF
EXCLUDE
BIBLIOGRAPHY
OFF
EXCLUDE MATCHES OFF
PEMROGRAMAN LINIER: MODEL TRANSPORTASI
ORIGINALITY REPORT
PRIMARY SOURCES
ukdw.ac.idInternet Source
library.binus.ac.idInternet Source
repository.widyatama.ac.idInternet Source
repository.usu.ac.idInternet Source
mahendri.blog.upi.eduInternet Source
www.adira.co.idInternet Source
nova-novianti.blogspot.comInternet Source