2 Raciocinio Logico

RACIOCNIO LGICO

Didatismo e Conhecimento 1

RACIOCNIO LGICO

SEQUNCIAS LGICAS ENVOLVENDO NMEROS, LETRAS E FIGURAS.

Sequncia logicaA utilizao das atividades lgicas contribui na formao de indivduos capazes de criar ferramentas e mecanismos responsveis

pela obteno de resultados na disciplina de Matemtica. O sucesso na Matemtica est diretamente conectado curiosidade, pesquisa, dedues, experimentos, viso detalhada, senso crtico e organizacional e todas essas caractersticas esto ligadas ao desenvolvimento lgico.

As sequncias podem ser formadas por nmeros, letras, pessoas, figuras, etc. Existem vrias formas de se estabelecer uma sequncia, o importante que existam pelo menos trs elementos que caracterize a lgica de sua formao, entretanto algumas sries necessitam de mais elementos para definir sua lgica.

Algumas sequncias so bastante conhecidas e todo aluno que estuda lgica deve conhec-las, tais como as progresses aritmticas e geomtricas, a srie de Fibonacci, os nmeros primos e os quadrados perfeitos.

Sequncia Numrica-Progresso AritmticaAlgumas sequncias podem ser expressas mediante uma lei de formao. Isso significa que podemos obter um termo qualquer

da sequncia a partir de uma expresso, que relaciona o valor do termo com sua posio.Podemos escrever os elementos da PA (a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma:

Observe que cada termo obtido adicionando-se ao primeiro nmero de razes r igual posio do termo menos uma unidade.

a! = a! + n 1 r! !

-Progresso GeomtricaDenomina-se progresso geomtrica(PG) a sequncia em que se obtm cada termo, a partir do segundo, multiplicando o anterior

por uma constante q, chamada razo da PG.

Pelo exemplo anterior, podemos perceber que cada termo obtido multiplicando-se o primeiro por uma potncia cuja base a razo. Note que o expoente da razo igual posio do termo menos uma unidade.

Portanto, o termo geral :

a! = a! q!!! !

-Incremento em Progresso O valor somado que est em progresso. 1 2 4 7 11 16

-Srie de Fibonacci

Cada termo igual soma dos dois anteriores. 1 1 2 3 5 8 13


RACIOCNIO LGICO

Sequncia LetrasAs sequncias de letras podem estar associadas a uma srie de nmeros ou no.

ExemploAnalise as palavras abaixo, que formam uma sucesso lgica e, em seguida, assinale a alternativa que preenche corretamente a

lacuna.

NENHUM, FREGUS, BRINCO, REPETE, PROMOVE, ___________.

(A) BRONZE.(B) LIXO.(C) MENINO.(D) CHAVEIRO.(E) HEROI.

SoluoO raciocnio olhar para o final de cada uma das palavras. NENHUM, FREGUS, BRINCO, REPETE, PROMOVEOu seja,UM, TRS, CINCO, SETE, NOVELogo, o prximo nmero da nossa sequncia ser ONZE. Dentre as alternativas, temos a palavra BRONZE, ok?Resposta: letra A.

Sequncia de figurasPode ser uma sequncia que se repete a cada n termos, a cada rotao, ou seguindo uma lgica com nmeros.

ExemploDetermine qual a prxima figura

SoluoAlternativa ADica:Rotao do corao(baixo, lado direito, cima, o prximo seria para o lado esquerdo)

Exerccios

1) Os dois primeiros pares de palavras abaixo foram escritos segundo determinado critrio. Esse mesmo critrio deve ser usado para descobrir qual a palavra que comporia corretamente o terceiro par.

ESTAGNAR ANTA PARAPEITO TIRA RENOVADO ?

Assim sendo, a palavra que dever substituir o ponto de interrogao a) AVON b) DONO c) NOVA d) DANO e) ONDA


RACIOCNIO LGICO

2) Assinale a opo que completa sequncia:

3)


RACIOCNIO LGICO

A carta que est oculta :

4) A sequncia a seguir foi composta, a partir do 4 nmero, por uma regra. (1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, ., ....).Admitindo-se que a regra de formao dos elementos seguintes permanea a mesma, pode-se afirmar que os dois nmeros que completam essa sequncia so

a) 98 e 126. b) 125 e 230.c) 136 e 167.d) 105 e 173. e) 201 e 236.

5) Uma propriedade lgica define a sucesso: JUIZ, FARINHA, MACACO, ABELHA, MALETA, *. Sendo assim, assinale a alternativa que substitui o asterisco corretamente:

(A) PALITO(B) CABELO(C) JIL(D) LOUSA(E) ELEFANTE

Respostas

1) Alternativa DSequncia: penltima letra-antepenltima letra-terceira-quarta letra

2) Alternativa ENmeros sempre seguidos:3 e 4

3) Alternativa AA diferena entre os nmeros estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor da 3 carta e, alm disso,

o naipe no se repete.

4) Alternativa BO prximo nmero a soma dos 3 ltimos20+37+68=125125+68+37=230

5) Alternativa CJUIZ => JANEIROFARINHA => FEVEREIROMACACO => MAROABELHA => ABRILMALETA => MAIO

Ou seja, a 1 letra de cada palavra remete aos meses do ano. Na sequncia, o prximo ms ser JUNHO. E a palavra que com-bina JIL.


RACIOCNIO LGICO

GEOMETRIA BSICA.

O permetro de uma figura plana fechada o comprimento da linha que limita a figura.

rea de uma figura plana fechada a extenso que essa figura ocupa.

CilindrosConsidere dois planos, e , paralelos, um crculo de centro O contido num deles, e uma reta s concorrente com os dois.

Chamamos cilindro o slido determinado pela reunio de todos os segmentos paralelos a s, com extremidades no crculo e no outro plano.

Classificao

Reto: Um cilindro se diz reto ou de revoluo quando as geratrizes so perpendiculares s bases.

Quando a altura igual a 2R(raio da base) o cilindro equiltero.

Oblquo: faces laterais oblquas ao plano da base.


RACIOCNIO LGICO

rea

Volume

ConesNa figura, temos um plano , um crculo contido em , um ponto V que no pertence ao plano.A figura geomtrica formada pela reunio de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade no ponto V e a outra num

ponto do crculo denomina-se cone circular.

Classificao

-Reto: eixo VO perpendicular base;Pode ser obtido pela rotao de um tringulo retngulo em torno de um de seus catetos. Por isso o cone reto tambm chamado

de cone de revoluo.Quando a geratriz de um cone reto 2R, esse cone denominado cone equiltero.

-Oblquo: eixo no perpendicular


RACIOCNIO LGICO

PrismasConsidere dois planos e paralelos, um polgono R contido em e uma reta r concorrente aos dois.

Chamamos prisma o slido determinado pela reunio de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no polgono R e no plano .

Assim, um prisma um poliedro com duas faces congruentes e paralelas cujas outras faces so paralelogramos obtidos ligando-se os vrtices correspondentes das duas faces paralelas.

Classificao

Reto: Quando as arestas laterais so perpendiculares s basesOblquo: quando as faces laterais so oblquas base.


RACIOCNIO LGICO

Classificao pelo polgono da base

-Triangular

-Quadrangular

E assim por diante...

ParaleleppedosOs prismas cujas bases so paralelogramos denominam-se paraleleppedos.

Cubo todo paraleleppedo retngulo com seis faces quadradas.


RACIOCNIO LGICO

Prisma RegularSe o prisma for reto e as bases forem polgonos regulares, o prisma dito regular.As faces laterais so retngulos congruentes e as bases so congruentes (tringulo equiltero, hexgono regular,...)

rearea cubo: rea paraleleppedo:A rea de um prisma:Onde: St=rea totalSb=rea da baseSl=rea lateral, soma-se todas as reas das faces laterais.

VolumeParaleleppedo:V=a.b.cCubo:V=aDemais:

Exerccios

1) Uma comunidade consome 30000 litros de gua por dia. Para isso, conta com um reservatrio de forma cilndrica cujo raio 10m e a altura 10m. Por quanto tempo, aproximadamente, o reservatrio poder abastecer essa comunidade? (=3,14)

2) Supondo que a rea mdia ocupada por uma pessoa em um comcio seja de 2500cm, quantas pessoas podero se reunir em uma praa retangular que mede 150 metros de comprimento por 50 metros de largura?

3) Um tanque de criao de peixes tem a forma e um cone reto, como mostra a figura, com profundidade mxima de 8m e com dimetro de sua base circular de 6m. Os especialistas recomendam que se tenha, de cada espcie, um mximo de 3 peixes para cada 1000 litros de gua. Qual o nmero mximo de peixes dessa espcie que podemos ter nesse tanque, para seguir as recomendaes feitas e supondo que ele esteja com sua capacidade mxima cheia de gua. (=3,14).

4) Em um prisma triangular regular, a aresta da base e a altura medem 3cm. Determine o volume e a rea lateral desse prisma.

5) Supondo que a rea mdia ocupada por uma pessoa em um comcio seja de 2500cm, quantas pessoas podero se reunir em uma praa retangular que mede 150 metros de comprimento por 50 metros de largura?

Respostas

2)rea da praa:150x50=7500m

2500cm=0,25m

Ento, 7500:0,25=30000 pessoas

3) R=6/2=3cm


RACIOCNIO LGICO

Devemos ter 3 peixes para cada 1000 l

753601000

= 75,36 !

Ento pode ter no mximo 75 peixes nesse tanque.

4) ! = !! !

A rea de um tringulo equiltero dado por:

rea lateral do prisma regular um retngulo

S=3.3=9

!! = 9 3 = 27!" !

5)

rea da praa:150x50=7500m

2500cm=0,25m

Ento, 7500:0,25=30000 pessoas

CRIPTOGRAFIA. SIMETRIA.

A palavra criptografia tem origem grega: krypts = escondido; grphein = escrita. Trata-se de uma escrita codificada em que so-mente o emissor e o receptor da mensagem conseguem interpret-la. A necessidade de se escrever mensagens sigilosas muito antiga, ocorre h centenas de anos.

Os antigos romanos j usavam a criptografia para enviar planos de batalhas sem o conhecimento inimigo, pois mesmo se a mensa-gem fosse interceptada, com a codificao existente, apenas os romanos conseguiriam compreend-la.

O mais interessante que a tecnologia de criptografia no mudou muito at meados do sculo vinte. Depois da Segunda Guerra Mundial, com a inveno do computador, a rea realmente oresceu incorporando complexos algoritmos matemticos.

Durante a guerra, os ingleses ficaram conhecidos por seus esforos para decifrao de mensagens. Na verdade, esse trabalho criptogrfico formou a base para a cincia da computao moderna.

O processo de converter um texto-original para um texto-cifrado chamado de codificao ou cifragem, e o processo de reverter chamado de decodificao ou decifragem.

Grande parte do avano da criptografia se deve matemtica, que estuda e traa estratgias para tornar as codificaes mais com-plexas e difceis de serem interpretadas por pessoas que queiram possuir informaes alheias para uso indevido.

A arte de criptografar tem quatro objetivos principais:1. Confidencialidade da mensagem, como j citado pelo fato de apenas duas pessoas saberem do contedo: o remetente e o des-

tinatrio;


RACIOCNIO LGICO

2. Integridade: caso a mensagem tenha sido modificada, o destinatrio ser capaz de perceber esse fato;3. Autenticao: o remetente capaz de identificar se a pessoa que recebeu a mensagem era o destinatrio correto;4. No repdio: depois de enviada no h como o remetente negar que tenha enviado a mensagem.

Criptografia simtricaA criptografia simtrica a tcnica mais antiga e mais conhecida. Uma chave secreta, que pode ser um nmero, uma palavra ou ape-

nas uma sequncia de letras aleatrias, aplicada ao texto de uma mensagem para alterar o contedo de uma determinada maneira. Isso pode ser to simples quanto deslocar cada letra por um nmero de locais no alfabeto. Desde que o remetente e o destinatrio saibam a chave secreta, eles podem criptografar e descriptografar todas as mensagens que usam essa chave.

Exemplo

Escreva a palavra CONCURSO:

2-14-13-2-20-17-18-14

Criptografia Assimtrica

Na criptografia assimtrica (ou criptografia de chave pblica) so utilizadas duas chaves diferentes. Uma para cifrar e outra para decifrar. Alm disso, voc deve levar para prova que uma chave no pode ser obtida facilmente atravs da outra.

As chaves geradas so chamadas de pblica e privada. A chave pblica pode ser conhecida por todos e utilizada para cifrar o texto claro. Por sua vez, a chave privada deve permanecer secreta e utilizada para decifrar o texto cifrado. Na verdade, este esquema utilizado quando o objetivo garantir a confidencialidade.

Tambm possvel utilizar a chave privada para cifrar o texto claro e a respectiva chave pblica para decifrar a mensagem cripto-grafada. Neste caso, busca-se garantir a autenticidade. caso tpico de assinaturas digitais.

Exerccios

1) Na questo, assinale a assertiva correta. a)Na criptografia por chave pblica so geradas chaves de criptografia em pares, devendo um deles ser mantido secreto.b)Uma rede privada virtual no pode enviar dados criptografados atravs da Internet.c)Na criptografia por chave peridica so geradas chaves de criptografia em perodos, devendo um deles ser mantido secreto.d)Na criptografia pblica so geradas chaves de criptografia nicas, todas de conhecimento pblico.e)Uma rede privada envia dados virtuais atravs de portas criptografadas.

2) Comparando a criptografia simtrica com a assimtrica, observa-se que a)a primeira possui o problema do gerenciamento de chaves, ao passo que a segunda possui o problema da complexidade binria.b)a primeira possui o problema da privacidade da chave universal, ao passo que a segunda possui o problema da criao e distri-

buio de chaves.c)a primeira possui o problema da distribuio e gerenciamento de chaves, ao passo que a segunda possui o problema do desempe-

nho.d)a primeira possui o problema do desempenho em redes sem fio, ao passo que a segunda possui o problema do desempenho em

ambientes corporativos.e)a primeira possui o problema do desempenho, ao passo que a segunda possui o problema da gerao de chaves.

Respostas1) Alternativa A2) Alternativa C


RACIOCNIO LGICO

CONJUNTOS; AS RELAES DE PERTINNCIA, INCLUSO E IGUALDADE;

OPERAES ENTRE CONJUNTOS, UNIO, INTERSEO E DIFERENA.

COMPARAES.

Conjunto est presente em muitos aspectos da vida, sejam eles cotidianos, culturais ou cientficos. Por exemplo, formamos conjun-tos ao organizar a lista de amigos para uma festa agrupar os dias da semana ou simplesmente fazer grupos.

Os componentes de um conjunto so chamados de elementos.

Para enumerar um conjunto usamos geralmente uma letra maiscula.

Pode ser definido de duas maneiras: Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 3, 5, 7, 9} Simbolicamente: B={x N|x


RACIOCNIO LGICO

Definies Dois conjuntos dizem-se equipotentes se tm o mesmo cardinal. Um conjunto diz-se a) infinito quando no possvel enumerar todos os seus elementos b) finito quando possvel enumerar todos os seus elementos c) singular quando formado por um nico elemento d) vazio quando no tem elementos Exemplos N um conjunto infinito (O cardinal do conjunto N (#N) infinito ()); A = {, 1} um conjunto finito (#A = 2); B = {Lua} um conjunto singular (#B = 1) { } ou o conjunto vazio (# = 0)

Pertinncia

O conceito bsico da teoria dos conjuntos a relao de pertinncia representada pelo smbolo . As letras minsculas designam os elementos de um conjunto e as maisculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) :

V= {a,e,i,o,u}A relao de pertinncia expressa por: aVA relao de no-pertinncia expressa por: bV, pois o elemento b no pertence ao conjunto V.

Incluso

A Relao de incluso possui 3 propriedades:1. Propriedade reexiva: AA, isto , um conjunto sempre subconjunto dele mesmo.1. Propriedade antissimtrica: se AB e BA, ento A=B1. Propriedade transitiva: se AB e BC, ento, AC.

Operaes

UnioDados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem pelo menos um dos conjuntos a

que chamamos conjunto unio e representamos por: AB.Formalmente temos: AB={x|xA ou xB}Exemplo:A={1,2,3,4} e B={5,6}AB={1,2,3,4,5,6}

InterseoA interseo dos conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que so ao mesmo tempo de A e de B, e representada

por : AB. Simbolicamente: AB={x|xA e xB}

Exemplo:A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}AB={d,e}


RACIOCNIO LGICO

DiferenaUma outra operao entre conjuntos a diferena, que a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto definido por: A B ou A\B que se diz a diferena entre A e B ou o complementar de B em relao a A. A este conjunto pertencem os elementos de A que no pertencem a B.

A\B = {x : xA e xB}.

Exemplo:A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7} Ento os elementos de A B sero os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.Portanto A B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Comparaes

Comparao de nmeros inteiros

-4-2

Um nmero esquerda menor que outro.

Comparao de nmeros decimais Comparar dois nmeros decimais significa estabelecer uma relao de igualdade ou de desigualdade entre eles. Consideremos

dois casos:

1 Caso: As partes inteirasO maior aquele que tem a maior parte inteira. Exemplos: 3,4 > 2,943, pois 3 >2.10,6 > 9,2342, pois 10 > 9. 2 Caso: As partes inteiras so iguais O maior aquele que tem a maior parte decimal. necessrio igualar inicialmente o nmero de casas decimais acrescentando

zeros. Exemplos:

0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70. 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3.


RACIOCNIO LGICO

Comparao de Nmeros Fracionrios

-As fraes comparadas tem o mesmo denominador, a maior aquela que possui o maior numerador.

Exemplo

A que possui maior numerador

-Quando tem o mesmo numerador, a maior aquela com menor denominador.

-Se tiverem os termos diferentes devemos coloca-las com o mesmo denominador.

Exerccios

1) Dados os conjuntos:A={1,2,3,4,5}; B={4,5,6}

Calcular:a) AB b) AB c) A-B

2) Numa escola h n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos jornais e 66 no leem o jornal B. O valor de n :

a) 249b) 137c) 158 d) 127 e) 183

3) Em um grupo de 30 crianas, 16 tm olhos azuis e 20 estudam canto. O nmero de crianas desse grupo que tm olhos azuis e estudam canto :

a) exatamente 16.b) no mnimo 6.c) exatamente 10.d) no mximo 6.e) exatamente 6.

4) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Portugus, 210 estudam Espanhol e 90 estudam as duas matrias. Pergunta-se:a) Quantos alunos estudam apenas Portugus?b) Quantos alunos estudam apenas espanhol?


RACIOCNIO LGICO

c) Quantos alunos estudam Portugus ou Espanhol?d) Quantos alunos no estudam nenhuma das duas matrias?

5) Num grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances A ou B; 270, o romance B; 80, os dois romances, A e B, e 340 no leram o romance A. O nmero de estudantes desse grupo igual a:

a) 380b) 430c) 480d) 540e) 610

CALENDRIOS.

Alguma matemtica nos calendrios

Como situao de Matemtica Recreativa poder-se-ia pedir a um interlocutor para escolher trs nmeros seguidos, em linha ou em coluna, existentes num calendrio, tipo o que se evidencia a seguir:

De seguida poder-se-ia pedir que pesquisasse como que possvel descobrirem-se rapidamente esses trs nmeros.

Em situao de sala de aula esta situao seria muito interessante ser analisada, pois s exige que se conhea se os nmeros selecionados pertencem a uma mesma semana ou a semanas consecutivas. O que h a fazer dividir a sua soma por trs para se obter o valor central.

Depois, no caso de os nmeros pertencerem mesma semana, facilmente se ficam a conhecer os dois nmeros restantes, pois trata-se do antecessor e do sucessor desse valor central. No caso de os nmeros pertencerem a semanas consecutivas, para se descobrir o menor dos trs valores somente h que se subtrair sete unidades ao valor central. Por sua vez, adicionando-se sete unidades a esse valor central descobre-se o maior dos trs nmeros selecionados. Trata-se de um desafio envolvendo explicitamente o conceito de mdia aritmtica.

O caso dos calendrios permite muitas outras exploraes matemticas, como por exemplo pedir para os alunos selecionarem um conjunto de dezesseis nmeros, formando um quadrado de quatro por quatro e descobrirem muito rapidamente a sua soma. Quer dar uma sugesto de possvel resoluo?

Em primeiro lugar, observe atentamente a seguinte operao com as potncias.

2 5 9 2 = 2592

muito interessante, pois os nmeros das bases e expoentes das potncias que esto sendo multiplicadas so os mesmos dos re-sultados na mesma ordem posicional. Existem milhares destas coincidncias na matemtica, ou melhor, em matemtica, coincidncias realmente no existem, mas sim, caractersticas particulares de cada operao embasadas em lemas e demonstraes criteriosas. Neste caso de multiplicao de potncias de nmeros naturais. Vamos ver um exemplo mais elaborado, que alm de interessante pode ser usado em vrios ramos da matemtica.


RACIOCNIO LGICO

O quadrado mgico do calendrio.

Vamos supor que eu lhe pea para escolher nove dias quaisquer de um determinado ms. Podemos usar como exemplo o ms de junho de 2010. Veja que temos nove dias destacados no calendrio abaixo:

Ms de Junho de 2010.

Agora vou lhe perguntar qual a menor data, ou seja, o nmero de menor valor encontrado entre as nove datas que voc escolheu. ( claro, supondo que voc tenha escolhido o quadrado 1,2,3,8,9,10,15,16,17 do exemplo dado).No exemplo temos que Tera-Feira, o dia 1 a menor data, pois corresponde ao nmero um. Agora vem o truque que muito legal.

Vamos definir a soma dos nmeros? Veja abaixo:Pego o menor valor que voc j me disse. 1, e somo com 8. Que d o valor 9. Multiplico o valor encontrado por 9 que d 81.

(1+8).9 =81 . Vamos conferir?(1+2+3)+(8+9+10)+(15+16+17) = 81 6+27+48=81. Confere!

fcil e muito divertido testar estes truques da matemtica. Vamos ver outro fato interessante com calendrios e potncias. No livro Aritmtica Recreativa do escritor espanhol Yakov I. Perelman, encontramos muitos destes truques, e um me chamou a ateno por tratar exatamente de calendrios e potncias. Na verdade mais uma caracterstica daquelas que citei no comeo do artigo.

O Nmero 365.

impressionante, principalmente porque ele representa o total de dias do ano. Alm disso, a diviso deste nmero por mdulo 7 d resto 1. Por ser um resto to insignificante, esta propriedade do nmero 365 adquire grande significado para nosso calendrio com sete dias na semana. Outra propriedade interessante do nmero 365 que est intimamente relacionada ao nosso calendrio :

365= 10.10+11.11+12.12 . fcil notar que o nmero 365 igual a soma dos quadrados dos valores que representam os 3 ltimos meses consecutivos, ou seja, 102+112122= 100+121+144=365 .

Tambm podemos notar que a soma de 132+142=365. Podemos encontrar esta propriedade destacada na tela intitulada problema difcil do pintor Bogdnov-Bielsky.

Ano BissextoH muito que o homem se preocupa em registrar de forma emprica o passar do tempo. O dia e o ano, por exemplo, podem ser ob-

servados por qualquer pessoa, j que suas definies se baseiam em consideraes astronmicas. No entanto, as definies de semana e ms so muito dependentes da cultura de cada povo ao longo da histria.

Esta atividade mostra que a construo de calendrios possui alguns elementos arbitrrios e tambm que podemos usar algoritmos com operaes bsicas de matemtica para relacionar uma data estabelecida no calendrio ao dia da semana em que ela se deu.

Anos BissextosAno bissexto aquele que possui um dia a mais que os anos normais.


RACIOCNIO LGICO

Para calcular os anos bissextos, utilizam-se tais regras: - A cada quatro anos h um ano bissexto. -So divisveis por 4.- So bissextos todos os anos centenrios(1900,2000...) divisveis por 400. - No so bissextos os anos mltiplos de 100.

Exerccios

1) Dado o calendrio de fevereiro de 2014, obtenha a soma do quadrado mgico a partir do nmero 3 com o 19 no final.

2) Verifique se os anos dados so bissextosa)2014b)2015c)2016

Respostas

1) Dado o quadrado (3, 4, 5, 10, 11, 12, 17, 18, 19).A soma : (3+8).9=99Conferindo:( 3+4+5+10+11+12+17+18+19)=992) 2014:4=503,5 b)2015:400=503,75c)2016:4=504

Portanto, apenas o ano 2016 ser bissexto.

NUMERAO.

Essa imagem mostra todos os conjuntos, sendo

Nmeros NaturaisOs nmeros naturais so o modelo matemtico necessrio para efetuar uma contagem.

Comeando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos os elementos dos nmeros naturais:


RACIOCNIO LGICO

A construo dos Nmeros Naturais- Todo nmero natural dado tem um sucessor (nmero que vem depois do nmero dado), considerando tambm o zero.Exemplos: Seja m um nmero natural.a) O sucessor de m m+1.b) O sucessor de 0 1.c) O sucessor de 1 2.d) O sucessor de 19 20.

- Se um nmero natural sucessor de outro, ento os dois nmeros juntos so chamados nmeros consecutivos.

Exemplos:a) 1 e 2 so nmeros consecutivos.b) 5 e 6 so nmeros consecutivos.c) 50 e 51 so nmeros consecutivos.

- Vrios nmeros formam uma coleo de nmeros naturais consecutivos se o segundo sucessor do primeiro, o terceiro sucessor do segundo, o quarto sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 so consecutivos.b) 5, 6 e 7 so consecutivos.c) 50, 51, 52 e 53 so consecutivos.

- Todo nmero natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (nmero que vem antes do nmero dado).

Exemplos: Se m um nmero natural finito diferente de zero.a) O antecessor do nmero m m-1.b) O antecessor de 2 1.c) O antecessor de 56 55.d) O antecessor de 10 9.

Subconjuntos de Vale lembrar que um asterisco, colocado junto letra que simboliza um conjunto, significa que o zero foi excludo de tal conjunto.

= {1, 2,3,4,5, . }!!

Nmeros Inteiros Podemos dizer que este conjunto composto pelos nmeros naturais, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este

conjunto pode ser representado por:

= { ,3,2,1, 0,1,2,3, . } !

Subconjuntos do conjunto :

Nmeros RacionaisChama-se de nmero racional a todo nmero que pode ser expresso na forma , onde a e b so inteiros quaisquer, com b0Assim, os nmeros 5 = !

!! 0,33333 . (= !

!) ! so dois exemplos de nmeros racionais.


RACIOCNIO LGICO

Representao Decimal das Fraes

Tomemos um nmero racional qp

, tal que p no seja mltiplo de q. Para escrev-lo na forma decimal, basta efetuar a diviso do numerador pelo denominador.

Nessa diviso podem ocorrer dois casos:1) O numeral decimal obtido possui, aps a vrgula, um nmero finito de algarismos. Decimais Exatos:

2) O numeral decimal obtido possui, aps a vrgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Peridicos ou Dzimas Peridicas:

Representao Fracionria dos Nmeros Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o nmero racional escrito na forma decimal, procuremos escrev-lo na forma de frao. Temos dois casos:

1) Transformamos o nmero em uma frao cujo numerador o nmero decimal sem a vrgula e o denominador composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do nmero decimal dado:

2) Devemos achar a frao geratriz da dzima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento atravs de alguns exemplos:

Exemplo 1

Seja a dzima 0, 333... .

Faamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:


RACIOCNIO LGICO

10x x = 3,333... 0,333... 9x = 3 x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... a frao93 .

Exemplo 2

Seja a dzima 5, 1717... .

Faamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... a frao .

Nmeros IrracionaisIdentificao de nmeros irracionais

- Todas as dzimas peridicas so nmeros racionais.- Todos os nmeros inteiros so racionais.- Todas as fraes ordinrias so nmeros racionais.- Todas as dzimas no peridicas so nmeros irracionais.- Todas as razes inexatas so nmeros irracionais.- A soma de um nmero racional com um nmero irracional sempre um nmero irracional.- A diferena de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.-Os nmeros irracionais no podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e b0.

Nmeros ReaisA reunio do conjunto dos nmeros irracionais com o dos racionais o conjunto dos nmeros reais.

RAZO E PROPORO. REGRA DE TRS.

Razo

Chama-se de razo entre dois nmeros racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razo de a para b por a/b ou a : b.

Exemplo: Na sala do 1 ano de um colgio h 20 rapazes e 25 moas. Encontre a razo entre o nmero de rapazes e o nmero de moas. (lem-

brando que razo diviso) 20/525/5

=45

!(Indica!que!para!cada!4!rapazes!existe!5!moas)

!


RACIOCNIO LGICO

Proporo

Proporo a igualdade entre duas razes. A proporo entre A/B e C/D a igualdade:

!!=!!

!

Propriedade fundamental das proporesNuma proporo:

!!=!!

!

Os nmeros A e D so denominados extremos enquanto os nmeros B e C so os meios e vale a propriedade: o produto dos meios igual ao produto dos extremos, isto :

A x D = B x C

Exemplo: A frao 3/4 est em proporo com 6/8, pois:

34=68

!Exerccio: Determinar o valor de X para que a razo X/3 esteja em proporo com 4/6.Soluo: Deve-se montar a proporo da seguinte forma:

!3=46

!x = 2

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas variveis dependentes so diretamente proporcionais quando a razo entre os valores da 1 grandeza igual a razo entre os valores correspondentes da 2.

Exemplo

Um forno tem sua produo de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produo (Kg)5 10010 20015 30020 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas so variveis dependentes. Observe que:Quando duplicamos o tempo, a produo tambm duplica.

5 min ----> 100Kg10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produo tambm triplica.


RACIOCNIO LGICO

5 min ----> 100Kg15 min ----> 300Kg

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas variveis dependentes so inversamente proporcionais quando a razo entre os valores da 1 grandeza igual ao inverso da razo entre os valores correspondentes da 2.

Exemplo Um ciclista faz um treino para a prova de 1000 metros contra o relgio, mantendo em cada volta uma velocidade constante e

obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo:

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 2008 12510 10016 62,520 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas so variveis dependentes. Observe que:Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido metade.

5 m/s ----> 200s10 m/s ----> 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido quarta parte.

5 m/s ----> 200s20 m/s ----> 50s

Regra de trs simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples:

1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de es-pcies diferentes em correspondncia.

2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.3) Montar a proporo e resolver a equao.Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria

esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Soluo: montando a tabela:

1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)400-----------------3480---------------- x

2) Identificao do tipo de relao:


RACIOCNIO LGICO

Velocidade----------tempo400-----------------3480---------------- x

Obs.: como as setas esto invertidas temos que inverter os nmeros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que est em cima vai para baixo e o que est em baixo na segunda coluna vai para cima

Velocidade----------tempo400-----------------X480---------------- 3

Exerccios

1) Em uma hora, 4 mquinas produzem 1200 parafusos. Nesse mesmo tempo, 3 mquinas produziro quantos parafusos?a) 800b) 900c) 1000d) 1100e) 1600

2) Uma torneira despeja 18 litros de gua em 9 minutos. Em 2 horas e 15 minutos despejar:a) 300b) 270c) 240d) 220e) 200

3) Em uma prova Marcos acertou 3 testes para cada teste que Luisa acertou. Se Marcos acertou 12 testes, quantos Luisa acertou?

4) Em uma cidade A foi realizada uma pesquisa sobre leitura de uma determinada revista. Dos 350 entrevistados, 196 responde-ram que eram leitores. A cidade tem 75000 habitante. Quantas pessoas so leitores dessa revista?

5) Durante um torneio uma equipe de futebol obteve o seguinte resultado: 40 vitrias, 24 empates e 16 derrotas. Qual a razo do nmero de vitrias para o nmero de partidas disputadas?

Respostas1)bMquinas----------parafusos4-----------------12003---------------- xX=900

2)blitros----------minutos18-----------------9x---------------- 135X=270l

3)1------3


RACIOCNIO LGICO

x-------12x= 4 testes

4)196------350x----------75000X=42000 pessoas

5)nmero de partidas:40+24+16=80

ANOTAES


RACIOCNIO LGICO

Documents

2 Raciocinio Logico