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Dinmica de Sistemas: Repaso de
conceptos bsicos
Charles Nicholson
Universidad Estatal de Pensilvania
Universidad de Cornell
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Dinmica de sistemas
Un mtodo dinmico de simulacin Aplicable a un amplio rango de
sistemas biolgicos y
sociales
El comportamiento del sistema est determinado por su estructura
Enfoque: factores internos del sistema
No necesariamente los choques externos
Especificar la estructura para comprender el comportamiento (las
respuestas)
Se observa un comportamiento pasado
Se pronostica un comportamiento futuro
Lecturas: Aracil y Gordillo, pginas 21-23, Schaffernicht mbitos,
J. M. Garca, pginas 19-25
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El Proceso para la Modelacin usando
Dinmica de Sistemas Articular el problema
Comportamiento del modo de referencia
Formular una hiptesis dinmica
Estructura reserva-flujo-retroalimentacin para
explicar el comportamiento
Formular el modelo de simulacin
Probar el modelo de simulacin
Examinar polticas y prcticas alternativas
Lecturas: Schaffernicht, Un mtodo riguroso Aracil y Gordillo,
captulo 5, pginas 107-109
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El modo de referencia
Conjunto de grficas que demuestra la
formulacin del problema
Podra incluir otros datos
Definir variables de inters claves
Definir un horizonte de planificacin
apropiado
Relevante para comprender el problema
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Ejemplo: Poblacin de Colombia
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.0001
95
0
19
55
19
60
19
65
19
70
19
75
19
80
19
85
19
90
19
95
20
00
20
05
20
10
20
15
20
20
20
25
20
30
20
35
20
40
20
45
20
50
000 p
ers
on
as
Poblacin Poblacin Proyectada
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Ejemplo: Produccin de caf
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
1961 1966 1971 1976 1981 1986 1991 1996 2001 2006 2011
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Modos de comportamiento
fundamental
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Filosofa de la Dinmica de Sistemas
El enfoque es en la complejidad dinmica
Una accin tiene efectos diferentes a corto y largo plazo
No intenta hacer una seleccin ptima entre un nmero grande de
opciones (ej., programacin lineal)
Reservas, flujos y retroalimentacin son los componentes
estructurales claves del sistema
Crear comportamientos endgenos
Lectura: Aracil y Gordillo, 15-17, 19
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Filosofa de la Dinmica de Sistemas
Otra manera para decir esto es
La estructura causa el comportamiento!
El comportamiento surge slo de la estructura
Sin embargo, el comportamiento podra ser catico o
inpronosticable
Hay un nmero limitado de comportamientos
que describen muchos sistemas
Si observamos un comportamiento, podemos
hacer inferencias respecto a la estructura del
sistema
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Pregunta de repaso
Cuales son los comportamientosfundamentales?
-
Comportamientos fundamentales:
introduccin
Ahora consideremos unos comportamientos
fundamentales, tales como:
Crecimiento exponencial
Bsqueda de la meta (goal seeking)
Oscilacin
Estasis (p. e., homeostasis)
Examinar las estructuras que los crean
Lecturas: Aracil y Gordillo, 29-45; J.M. Garca, 31-34
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Crecimiento exponencial
Surge de retroalimentacin positiva (auto-
refuerzos)
Por regla general habr otras
retroalimentaciones negativas, o redondeles
de balanceo, pero podran resultar
insuficientes para contrarrestar el total de
retroalimentacin positiva
-
Ejemplo: Poblacin de Mxico
0
20,000
40,000
60,000
80,000
100,000
120,000
1800 1850 1900 1950 2000
mil
es d
e p
erso
nas
lo observado
-
Crecimiento exponencial
La estructura es:
Estado delsistema
Tasa neta decrecimiento
+
+
R
-
Crecimiento exponencial de forraje
ForrajeTasa neta decrecimiento forraje
+
+
R
La estructura:
Comportamiento:
Cantidad de forraje
6,000
4,500
3,000
1,500
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
190 200
Time (Month)
Forraje : synth Forage
-
Bsqueda de la meta (goal-seeking)
La retroalimentacin negativa jala al sistema
hacia la meta o estado deseado
La estructura es:Estado del
sistema
Accin o influenciacorrectiva
Estado deseadoo lmite
Diferenciadeseado actual
-
+
+
+
B
-
Bsqueda de la meta en el crecimiento de
forraje
La estructura:
Comportamiento:Cantidad de forraje
400
325
250
175
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
190 200
Time (Month)
Forraje : FH Limite Forage
Forraje
Lmite biomasaforraje
Tasa neta decrecimiento forraje
Diferencia lmiteactual
-
+
-
+
B
-
Oscilacin
Causado por redondeles negativos de
retroalimentacin
La meta del sistema existe y se toman
acciones para corregir las diferencias entre la
meta y el valor actual
Sin embargo, el retraso en la percepcin del
estado actual o la respuesta causa que el
sistema sobrepase o no alcance el nivel
deseado
-
Oscilacin
La estructura:
Estado delsistema
Accin o influenciacorrectiva
Diferenciadeseado actual
Estado deseadoo lmite
+
-
+
+B
Retraso accin
Retraso
percepcinRetraso
decisin
-
Oscilacin en un modelo de forraje
La estructura:
Comporta-
miento:
Herbvoros
Forraje
Tasa neta denacimientosherbvoros
+
+
B
-
Retraso
Sin meta(s)
explcitas,
sino
implcitas
Oscilacin
en las dos
variables
Forraje y Herbvoros
100 Herbivore
300 Forage
75 Herbivore
250 Forage
50 Herbivore
200 Forage
25 Herbivore
150 Forage
0 Herbivore
100 Forage
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
190 200
Time (Month)
Herbvoros : FH H=50 Herbivore
Forraje : FH H=50 Forage
-
Comportamientos fundamentales: estasis
Estasis quiere decir sin cambio en tiempo
Cmo podra pasar? Dos posibilidades:
Redondeles de retroalimentacin negativa
mantienen el sistema en balance
Equilbrio dinmico en un modelo forraje-
herbvoro
El cambio es tan lento que no se nota
Ejemplo: condicion inicial del modelo
forraje-herbvoro
-
Estasis en un modelo forraje-herbivoro
La estructura:
Comportamiento:
ForrajeTasa decrecimiento
forraje
Tasa dedescomposicin
+
+ +
-
R B
Tasas Forraje
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
190 200
Time (Month)
Tasa de crecimiento forraje : FH Base Forage/Month
Tasa de descomposicin forraje : FH Base Forage/Month
Tasa de consumo forraje : FH Base Forage/Month
-
Resumen
La estructura causa el comportamiento
Hay pocos comportamientos dinmicos
fundamentales
Al observar un comportamiento, podemos
inferir respecto a la estructura dominante que
lo genera
Dominante quiere decir el efecto que predomina en el
comportamiento
Esto puede cambiar en tiempo!
-
Redondel o ciclo de retroalimentacin
El tamao de la poblacin determina la tasa de nacimientos (de
muertes)
La tasa (nacimientos, muertes) determina el tamao de la
poblacin
Existe una causalidad de doble-va a travs del tiempo
Esto se llama retroalimentacin (feedback) Los modelos de DS son
estructuras con reservas,
flujos y redondeles o ciclos de retroalimentacin
La retroalimentacin es vital para la comprensin del
comporamiento del sistema
Tambin se usa bucle de realimentacin p.e. Aracil y Gordillo
-
Representacin grfica
Este sistema simple tiene dos redondeles.
Estos operan conjuntamente para producir el comportamiento
del
sistema.
PoblacinTasa de
muertesTasa de
nacimientos + +
-+
Nacimientos Muertes
-
Representacin grfica
La poblacin incrementa la tasa de nacimientos, lo cual
incrementa
la poblacin.
La poblacin incrementa la tasa de muertes, lo cual disminuye
la
poblacin.
PoblacinTasa de
muertesTasa de
nacimientos + +
-+
Nacimientos Muertes
-
En un modelo completo, hay muchos!
Con ms redondeles es ms
difcil que nuestra intuicin
sea correcta.
ForrajeCrecimiento deforraje
Tasa dedescomposicin
Tasa fraccional decrecimiento
Consumo deforraje
Consumo de forrajepor herbvoro
Herbvoros
Tasa denacimientos
Tasa demuertes
Tasa fraccional denacimientos
Longevidadpromedio
Retraso biomasade forraje
+
+ +
-+
-
+
+
-
+
+
+ ++
++
-
+
-
R B
B
B
BR
B
B
-
Diagramas de ciclos causales (DCC)
-
Los DCC: una herramienta de mapeo
Es una manera de representar la estructura de
retroalimentacin del sistema
Puede facilitar la especificacin de una hiptesis
dinmica del sistema
Puede facilitar comunicacin respecto a las
retroalimentaciones que se creen importantes
causas de los comportamientos observados
Sirve como una herramienta grfica para captar
modelos mentales con grupos interesados en el problema
Lecturas: Aracil y Gordillo, 14-15, 29-38; J.M. Garca, 26-30;
Gary; Richardson
-
Representacin grfica
Este sistema simple tiene dos redondeles.
Estos operan conjuntamente para producir el comportamiento
del
sistema.
PoblacinTasa de
muertesTasa de
nacimientos + +
-+
Nacimientos Muertes
-
Ciclos: de causa, no correlacin
Eslabones en un DCC deben representar la
estructura causativa, no solamente las
correlaciones en los datos
Causalidad quiere decir: Sequencial en tiempo (A occure antes de
B)
Incluye explicacin (A influye B porque)
Causalidad = estructura (lo cual causa un
comportamiento)
Correlacin = comportamiento
-
Polaridad de la relacin
Para una relacin especfica entre elementos de la
estructura
Es la relacin positiva o negativa?
Si A aumenta, qu pasa con B?
Si incrementa B, la polaridad es positiva
Si B disminuye, la polaridad es negativa
Se pueden calificar las polaridades individuales?
Si aumenta la poplacin, se incrementa la tasa de
nacimientos
Polaridad positiva
-
Polaridad de la relacin
Polaridad positiva
Caso de flujo o variable auxiliar
Caso de acumulacin
Polaridad negativa
Caso de flujo o variable auxiliar
Caso de acumulacin
B
A>0
B = ( A + ...)ds + A0
t 0
t
B
A
-
Representacin grfica
La poblacin incrementa la tasa de nacimientos, lo cual
incrementa
la poblacin.
La poblacin incrementa la tasa de muertes, lo cual disminuye
la
poblacin.
PoblacinTasa de
muertesTasa de
nacimientos + +
-+
Nacimientos Muertes
-
Polaridad del redondel
Considerar todas las relaciones (de
retroalimentacin) en un redondel
Un aumento en cualquier variable produce
un incremento adicional despus de contar
con todas las relaciones en el redondel?
Si es afirmativo, esto constituye un redondel
positivo o redondel de refuerzo
Si no, es un redondel negativo o redondel de
balanceo
-
Polaridad del redondel (mtematica)146
FIGURE 5-6 Calculating the
gain of a loop
Part Tools for Systems Thinking
Break the point loop
and trace the effect
of a change around
the loop.
Polarity
Since the sign of a product is the product of the signs, loop
polarity is also
given by:
* * * . . *
Using the right method to determine loop polarity by tracing the
effect of a
small change around a loop is equivalent to calculating equation
(5-3). Equation
(5-3) also explains why the fast method works: Since the product
of two negative signs is a positive sign, negative open loop
polarity requires an odd number of neg-
ative links in the loop.
All Links Should Have Unambiguous Polarities
Sometimes people say a link can be either positive or negative,
depending on other
parameters or on where the system is operating. For example,
people often draw
the diagram on the left side of Figure 5-7 relating a firm's
revenue to the price of
its product and then argue that the link between price and
company revenue can be
either positive or negative, depending on the elasticity of
demand. If demand is
highly elastic, a higher price means less revenue because a 1%
increase in price causes demand to fall more than 1 %. The link
would have negative polarity. I f de- mand is inelastic, then a l %
increase in price causes demand to drop less than l %,
so revenues rise. The link would be positive. It appears no
single polarity can be
assigned.
When you have trouble assigning a clear and unambiguous polarity
to a link it usually means there is more than one causal pathway
connecting the two variables.
You should make these different pathways explicit in your
diagram. In the exam- ple, price has at least two effects on
revenue: (1) it determines how much revenue
is generated per unit sold and (2) it affects the number of
units sold. That is, Reve-
nue = Price * Sales, and (Unit) Sales depend on Price
(presumably the demand curve is downward sloping: Higher prices
reduce sales). The proper diagram is
Sterman, pgina 145-146
Depende del signo positivo o negativo de una serie de derivadas
parciales
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Poblacin y el redondel de nacimientos
Incrementar la poblacin aumenta los nacimientos, lo cul
aumenta
la poblacin.
Esto constituye un redondel positivo, lo cul causara crecimiento
en
la poblacin.
PoblacinTasa de
nacimientos +
+
Nacimientos
-
Redondel de poblacin y muertes?
PoblacinTasa de
muertes+
-
Muertes
-
Redondel de poblacin y muertes?
La poblacin incrementa la tasa de muertes, lo cul DISMINUYE
la
poblacin.
Esto es un redondel NEGATIVO o de BALANCEO
PoblacinTasa de
muertes+
-
Muertes
-
Resumen de ciclos
Ciclos positivos
Incrementar una variable causa un aumento adicional
Causa el crecimiento (exponencial)
Redondel de refuerzo
Ciclos negativos
Incrementar una variable causa una disminucin contrarestante en
la variable
Causa deterioro (disminucin)
Redondel de balanceo
-
Prctica en ciclos
Hambre
Consumo de
alimentos
??
?
-
Prctica en ciclos: balanceo
Hambre
Consumo de
alimentos
-+
B
-
Prctica en ciclos
Ahorros
Inters
? ??
-
Prctica en ciclos: de refuerzo
Ahorros
Inters
+ +R
-
Modelos de DS son constituidos por una
combinacin de ciclos
Este modelo contiene un numero de ciclos negativosesto frena el
crecimiento exponencial, pero crea las oscilaciones
ForrajeCrecimiento deforraje
Tasa dedescomposicin
Tasa fraccional decrecimiento
Consumo deforraje
Consumo de forrajepor herbvoro
Herbvoros
Tasa denacimientos
Tasa demuertes
Tasa fraccional denacimientos
Longevidadpromedio
Retraso biomasade forraje
+
+ +
-+
-
+
+
-
+
+
+ ++
++
-
+
-
R B
B
B
BR
B
B
-
Ojo! Limitaciones de DCC
DCC no puede utilizarse para predecir el
comportamiento del sistema
En la mayoria de los casos
Se necesita un modelo de simulacin
Richardson sirve como precaucon contra el uso superficial de una
tcnica de la que se
abusa facilmente
PERO: Si se observa un comportamiento, a
veces se puede inferir por lo menos unos
componentes de la estructura del sistema
Richardson Problemas con los diagramas de ciclos causales
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Los DCC: una herramienta de mapeo
Es una manera de representar la estructura de
retroalimentacin del sistema
Puede facilitar la especificacin de una hiptesis
dinmica del sistema
Puede facilitar comunicacin respecto a las
retroalimentaciones que se creen importantes
causas de los comportamientos observados
Sirve como una herramienta grfica para captar
modelos mentales con grupos interesados en el problema
Lecturas: Aracil y Gordillo, 14-15, 29-38; J.M. Garca, 26-30;
Gary; Richardson
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Reservas y flujos
-
Estructura del sistema: reservas
Las reservas son acumulaciones
Pueden ser contadas en un momento dado
Ejemplo: nmero de personas en este saln
Tambin llamado estados o niveles
Slo cambian a travs de los flujos
Los flujos constituyen el nico factor directo que
afecta las reservas
Muchas variables pueden afectar los flujos
Lecturas: Aracil y Gordillo, 55-66; J. M. Garca, 59-60
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Estructura del sistema: flujos
Los flujos se expresan como cantidades
durante un intervalo de tiempo
Ejemplo: Nmero de personas que entraron el
saln en los ltimos 5 minutos
No pueden ser medidos en forma instantnea
Tienen que ser medidos a travs de algn
intervalo de tiempo
Tamben llamados tasas
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Notacin de diagramacin estndar
ReservaEgresoIngreso
"Fuente" de material (no se
incluye explicitamente en el
modelo)
Vlvula (regulador
del flujo)
OJO! Puede haber ms de un ingreso o egreso
Ejemplo:Forraje
Consumo deforraje
Crecimientoforraje
Descomposicinforraje
-
Cuatro representaciones equivalentes
de estructuras de reservas y flujos
Metfora hidrulica
Diagrama de reserva y flujo
Ecuacin integral
Ecuacin diferencial
Todos quieren decir lo mismo. Cul usar depende de la
audiencia.
ReservaEgresoIngreso
t
t
tRdssEsItR
0
)()()()( 0
)()( tEtIdt
dR
grifo
baera
desage
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La matemtica de modelos DS
Un sistema de ecuaciones diferenciales
Se resuelve por integracin numrica
Rt = (Ingreso-Egreso) ds + R0
Ingreso = f(R, otras variables)
Egreso = f(R, otras variables)
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Contribucin de reservas a la dinmica
Caracterizar el estado del sistema
Informar los tomadores de decisiones dnde se encuentran
Proveer un sistema con inercia y memoria
Reservas acumulan efectos de eventos pasados
Reservas solo pueden cambiar con ingresos o egresos
Ejemplo: acumular compuestos txicos en peces
Reservas son fuentes de retrasos
Todos los retrasos involucran reservas
Retraso = proceso donde el rendimiento demora despus
de ingresar los insumos
-
Contribucin de reservas a la dinmica
Reservas desencadenan ingresos y egresos Permite una dinmica de
desequilibrio Donde ingresos no equivalen a los egesos
Ejemplo: la biomasa de forraje
Ingreso = crecimiento de forraje = f(biomasa, lluvias)
Egreso = consumo de forraje = f(animales)
Ingresos y egresos pueden diferir porque los variables que
afectan las tasas tambin pueden serdiferentes
No es frecuente que los sistemas se encuentren en equilibrio! No
se ve con frecuencia el comportamiento estasis
-
Cmo determinar una reserva?
Usar la prueba snapshot
Imaginar que se podra parar el tiempo por
un momento
Reservas son aquellos que pueden ser
contados o medidos
Cantidad fsica (animales, forraje disponible)
Estado psicolgico (felicidad en este momento)
Valores esperados de estados futuros
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Conservacin de material en reservas y
flujos
Los contenidos de una red de reservas-flujos
son conservados
La cantidad que ingresa a una reserva se queda
all hasta su salida (egreso)
El material fluye de una reserva a otra
Se incrementa una reserva en la misma cantidad
que la otra disminuye
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Flujos
Por definicin tiene un valor instantneo
La tasa de flujo en el instante
En trminos de clculo, una derivada
En la prctica, no se observa (no se puede)
En cambio, observamos la tasa de flujo
durante un intervalo de tiempo
El velocmetro de un coche reporta la velocidad
promedio
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Flujos
Muchos valores de flujo son cuantizados Colecciones de elementos
individuales que no pueden ser
divididos en unidades arbitrariamente pequeas
La cantidad de reserva es todava la acumulacin
de ingresos y egresos
An cuantizado o divisible con base continua
Con muchos modelos, es apropriado aproximar el
flujo como si fuera una corriente continua
La biomasa de forraje, nmeros de animales (en el hato)
-
Prueba: Reserva o flujo?
Cantidad UnidadReserva o
flujo?
Corderos en un
rebao
Consumo de MS
Venta de
animales
Mortalidad
Tamao de finca
-
Prueba: Reserva o flujo?
Cantidad UnidadReserva o
flujo?
Corderos en un
rebaonmero reserva
Consumo de MS
Venta de
animales
Mortalidad
Tamao de finca
(terreno)
-
Prueba: Reserva o flujo?
Cantidad UnidadReserva o
flujo?
Corderos en un
rebaonmero reserva
Consumo de MS kg/da flujo
Venta de
animales
Mortalidad
Tamao de finca
(terreno)
-
Prueba: Reserva o flujo?
Cantidad UnidadReserva o
flujo?
Corderos en un
rebaonmero reserva
Consumo de MS kg/da flujo
Venta de
animalesnmero/mes flujo
Mortalidad
Tamao de finca
(terreno)
-
Prueba: Reserva o flujo?
Cantidad UnidadReserva o
flujo?
Corderos en un
rebaonmero reserva
Consumo de MS kg/da flujo
Venta de
animalesnmero/mes flujo
Mortalidad nmero/mes flujo
Tamao de finca
(terreno)
-
Prueba: Reserva o flujo?
Cantidad UnidadReserva o
flujo?
Corderos en un
rebaonmero reserva
Consumo de MS kg/da flujo
Venta de
animalesnmero/mes flujo
Mortalidad nmero/mes flujo
Tamao de finca
(terreno)ha reserva
-
Desafiando las nubes
Mapear la estructura de un sistema con un diagrama reserva-flujo
involucra decisiones importantes sobre la frontera del modelo
En realidad, los flujos de material, gente y dinero (o valor
econmico) hacia una reserva tienen que tener una fuente
Hay que simplificar la estructura del modelo para hacerlo
til
Esto es dnde se originan las nubes de un diagrama
reserva-flujo
-
ForrajeTasa de
crecimiento
Tasa de
consumo
Reserva/NivelFlujo Flujo
Tasa de
descomposicin
Flujo
Tasa fraccional decrecimiento
Longevidadpromedio forraje
Ejemplo: Biomasa de forraje
Tres nubes. Por suposicin no importa su origen ni su
destino.
Fuente Hoyo
Hoyo
-
Fuentes y Sifones (sinks)
Fuentes: reservas proveedoras de material
al sistema (siendo modelado)
Sifones: reservas de material que absorben
material del sistema (siendo modelado)
Se ignoran muchas reservas, flujos y
retroalimentaciones
No se consideran posibles interacciones
Se asume que tienen una capacidad infinita
No pueden limitar el comportamiento del sistema
-
Ejemplo: dinmica de nutrientes
Si el propsito del modelo es evaluar el
comportamiento de nutrientes en un sistema
pastoril con ganado bovino, esta estructura es
adecuada?
ForrajeTasa de
crecimiento
Tasa de
consumo
Reserva/NivelFlujo Flujo
Tasa de
descomposicin
Flujo
Tasa fraccional decrecimiento
Longevidadpromedio forraje
-
Ejemplo: dinmica de nutrientes
Si el propsito del modelo es evaluar el
comportamiento de nutrientes en un sistema
pastoril con ganado bovino, es probable que
esta estructura sea inadecuada
ForrajeTasa de
crecimiento
Tasa de
consumo
Reserva/NivelFlujo Flujo
Tasa de
descomposicin
Flujo
Tasa fraccional decrecimiento
Longevidadpromedio forraje
-
Ejemplo: dinmica de nutrientes
La disponibilidad de nutrientes limitar el
crecimiento en plantas y animales
Esto no est representado en forma explcita en
el modelo
Vas de flujos de nutrientes ms completas
por plantas y animales deben ser definidos
Esto es necesario para identificar y
comprender en trminos cuantitativos los
flujos importantes
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Formular una hiptesis dinmica (HD)
Desarrollar un modelo conceptual inicial en trminos de
reservas-flujos-retroalimentaciones para explicar el origendel
comportamiento (o problema)
Enfocar en las causas internas (endgenas)
No (solamente) los choques externos
Usar herramientas de mapeo, como
Diagramas de ciclos causales (DCC)
Diagramas de reserva-flujo (DRF)
Los vamos a practicar en este curso
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La HD es un modelo conceptual (DCC)
Con reservas, flujos y retroalimentacin
ForrajeCrecimiento deforraje
Tasa dedescomposicin
Tasa fraccional decrecimiento
Consumo deforraje
Consumo de forrajepor herbvoro
Herbvoros
Tasa denacimientos
Tasa demuertes
Tasa fraccional denacimientos
Longevidadpromedio
Retraso biomasade forraje
+
+ +
-+
-
+
+
-
+
+
+ ++
++
-
+
-
R B
B
B
BR
B
B
-
La HD es un modelo conceptual (DRF)
Con reservas, flujos y retroalimentacin
Forraje
Herbvoros
Tasa decrecimiento
forraje
Tasa deconsumoforraje
Tasa de muertes
herbvoros
Tasa de nacimientos
herbvoros
Retrasoforraje
+
++
+ Longevidad promedio
herbvoros
-
+
Consumo de forraje
por herbvoro
++
+
Tasa de crecimiento
forraje de referencia
+
TNH de
referencia
+
Longevidad promedio
de referencia+
Tasa de
descomposicin
Longevidad
promedio forraje-
+ -
-
La matemtica de modelos DS
Un sistema de ecuaciones diferenciales
Se resuelve por integracin numrica
Rt = (ingreso-egreso) ds + R0
Ingreso = f(R, otras variables)
Egreso = f(R, otras variables)
Muchos programas (software) disponibles
Vensim es bueno para propsitos de
investigacin
-
Retroalimentacin
Suponer que alguin se encuentra con dos tipos de problemas
que
se ilustran mediante losas. Solucin obvia? Empujar una de
las
losas?
-
a veces causa resultados inesperados
La causalidad circular implcita en este proceso con
retroalimentacin demuestra que ciertas solucionesresultan en
deterioros importantes. (Aracil y Gordillo, p. 15)
