Embed Size (px)
Citation preview
1
บทท 1 ล าดบ (sequences) และ อนกรม (series)
บทน า นกเรยนเคยเรยนเรอง ล าดบและอนกรม มาแลว ในชนนจะเรยนเกยวกบล าดบและอนกรมอนนต แตขอใหนกเรยนไดทบทวนสงทส าคญๆ เกยวกบล าดบและอนกรม ดงน บทนยาม
ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอ โดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก เรยกวา ล าดบจ ากด ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก เรยกวา ล าดบอนนต ล าดบเลขคณต คอ ล าดบทมผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงตว คาคงตวนเรยกวา ผลตางรวม (d) (common difference) พจนท n ของล าดบเลขคณต คอ an = a1 + (n – 1)d ล าดบเรขาคณต คอ ล าดบทอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n มคาคงตว คาคงตวน เรยกวา อตราสวนรวม (r) (common ratio) พจนท n ของล าดบเรขาคณต คอ an = a1r
n – 1 เมอ r 0 เมอ a1 , a2 , a3 , … , an เปนล าดบจ ากด และ a1 , a2 , a3 , … , an , … เปนล าดบอนนต เรยกการแสดงผลบวกของพจนทกพจนของล าดบในรป a1 + a2 + a3 + … + an หรอ a1 + a2 + a3 + … + an + … วา อนกรม อนกรมทไดจากล าดบจ ากด เรยกวา อนกรมจ ากด อนกรมทไดจากล าดบอนนต เรยกวา อนกรมอนนต อนกรมทไดจากล าดบเลขคณต เรยกวา อนกรมเลขคณต
∞
2
ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต })1(2{2
1 dnan
Sn
หรอ )(2
1 nn aan
S
ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 1,0;1
)1(1
r
r
raS
n
n
สญลกษณแทนการบวก
แทน a1 + a2 + a3 + … + an + … ดวย
1i
ia (อานวา การบวก ai เมอ i มคาตงแต 1 ขนไป)
สมบตของ
1i
ia ทควรทราบ มดงนคอ
nccn
i
1
เมอ c เปนคาคงตว
n
i
i
n
i
i acca11
เมอ c เปนคาคงตว
n
i
n
i
ii
n
i
ii baba1 11
][
2
)1(
1
nni
n
i
6
)12)(1(
1
2
nnni
n
i
2
1
2
1
3
2
)1(
n
i
n
i
inn
i
ตวอยางท 1 ถาผลบวก n พจนแรกของล าดบ ก าหนดโดย nnSn 32 2 จงหาพจนท 10 ของล าดบน ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
3
ตวอยางท 2 ล าดบเลขคณตหนง คอ ,...12,,,3 yx จงหาคาของ xy ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ตวอยางท 3 ล าดบเรขาคณตหนง คอ ,...,,,,10 2 caba จงหาคาของ c ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
ตวอยางท 4 ถา 302
14
0
i
na แลว จงหาคาของ a
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
แบบฝกหด คอ สงทเราเคยเหนมาแลว แคเพยงฝกทกษะค านวณเทานน โจทยปญหา คอ สงทเราตองใชมวลประสบการณอนๆ มาผสมผสานกน
จงจะคดออก แกปญหานนได แลวเราจะท าอยางไร! จงจะรสกวา ขอสอบเปนเพยงแบบฝกหดเทานน
4
แบบฝกหดท 1 เรอง ล าดบ และเครองหมายแทนการบวก
1.1. ถาพจนท 10 ของล าดบเลขคณต คอ 32 และพจนท 18 คอ 48 จงหาพจนท 15 [ 42 ] ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 2. 1 ถาพจนท 10 ของล าดบเลขคณต คอ 48 และพจนท 18 คอ 32 จงหาพจนท 25 ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 3. ถา p , 5p , 6p + 9 เปนสามพจนเรยงกนในล าดบเลขคณต จงหาคาของ p [ 3 ] ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
5
4. ถา p + 2 , 2p , 4p – 9 เปนสามพจนเรยงกนในล าดบเลขคณต จงหาคาของ p ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 5. 162 เปนพจนทเทาใดของล าดบเรขาคณต 2 , -6 , 18 , … [ 5 ] ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
6. – 486 เปนพจนทเทาใดของล าดบเรขาคณต 3
2 , 2 , -6 , 18 , …
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
6
7. ถาพจนท 3 ของล าดบเรขาคณต คอ 12 และพจนท 7 คอ 192 จงหาพจนท 4 [24 ,-24] ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 8. ถาพจนท 5 ของล าดบเรขาคณต คอ 6 และพจนท 9 คอ 96 จงหาพจนท 4 ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 9. จงหาคาของ
1)
10
1
2 )32(i
ii [ 305 ]
2)
8
0
)1)(12(i
ii [ 435 ]
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
7
3)
20
1
2 )23(i
ii
4)
18
0
)12)(1(i
ii
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................. 10. ถาพจนท n ของอนกรม คอ 2n – 5 จงหาผลบวกของ 15 พจนแรกของอนกรมน [165] ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 11. ถาพจนท n ของอนกรม คอ 2n – 3 จงหาผลบวกของ 20 พจนแรกของอนกรมน ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
8
12. อนกรมเรขาคณตอนกรมหนงมพจนทหนงเปน 160 และอตราสวนรวมเปน 1.5 ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมนเปน 2110 จงหาคา n [ 5 ] ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 13. อนกรมเรขาคณตอนกรมหนงมพจนทหนงเปน 160 และอตราสวนรวมเปน 0.5 ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมนเปน 310 จงหาคา n ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 14. จงหาผลบวกของจ านวนเตมทอยระหวาง 9 และ 198 เมอจ านวนดงกลาวหารดวย 6 ลงตว แตหารดวย 8 ไมลงตว [ 2298 ] ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
9
15. จงหาผลบวกของจ านวนเตมทอยระหวาง 100 และ 300 เมอจ านวนดงกลาวหารดวย 6 ลงตว แตหารดวย 4 ไมลงตว ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 16. ถาผลบวก n แรกของอนกรมหนงเปน 522 nnSn แลว คาของ 21a มคาเทาใด [39] ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 17. ถาผลบวก n พจนแรกของอนกรมหนงเปน 22 nnSn แลว คาของ 12a มคาเทาใด ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................
10
1.1 ลมตของล าดบ ในหวขอน จะกลาวถงสมบตอยางหนงของล าดบอนนต ซงจะเปนประโยชนในการศกษาคณตศาสตรชนสงขนไป โดยจะพจารณาพจนท n ของล าดบ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด
1) พจารณากราฟของล าดบ n
an
1
เมอเขยนกราฟ และลากเสนประ เชอมจดตามล าดบ จะพบวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด แลว an มคา .............................................................
2) พจารณากราฟของล าดบ n
an
n
)1(1
เมอเขยนกราฟ และลากเสนประ เชอมจดตามล าดบ จะพบวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด แลว an มคา ............................................................. 3) พจารณากราฟของล าดบ 12 nan
เมอเขยนกราฟ และลากเสนประ เชอมจดตามล าดบ จะพบวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด แลว an มคา .............................................................
0
1
an
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
2
an
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
an
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11
4) พจารณากราฟของล าดบ 1)1( n
na เมอเขยนกราฟ และลากเสนประ เชอมจดตามล าดบ จะพบวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด แลว an มคา ............................................................. เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และคาพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานนแลว เรยก L วาลมตของล าดบ (limit of a sequence) และ
กลาววา ล าดบนนมลมตเทากบ L และเขยนแทนดวยสญลกษณ Lann
lim
เรยกล าดบเชนนวา ล าดบคอนเวอรเจนต (convergent sequence) เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และคาพจนท n ของล าดบมคามากขนหรอลดลงหรอไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง จะกลาววา ล าดบนนไมมลมต ล าดบนจงไมเปนล าดบคอนเวอรเจนต
เรยกล าดบซงไมเปนล าดบคอนเวอรเจนตวา ล าดบไดเวอรเจนต (divergent sequence)สงเกต ล าดบทจะน ามาพจารณาลมตนน ตองเปนล าดบอนนต
0
an
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12
การหาลมตของล าดบตาง ๆ นอกจากจะหาโดยตรงจากการพจารณากราฟของล าดบหรอต าแหนงของพจนท n ของล าดบบนเสนจ านวนแลว อาจหาไดโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมต ซงจะกลาวถงและน าไปใชโดยไมมการพสจน
ทฤษฎบทเกยวกบลมต ให c เปนคาคงตว Aan
n
lim และ Bbn
n
lim จะได
1) ถา ctn แลว cct
nn
n
limlim
2) cAacca nn
nn
limlim
3) BAbaba nn
nn
nnn
limlim)(lim
4) ABbaba nn
nn
nnn
limlim)(lim
5) 0;lim
limlim
B
B
A
b
a
b
a
nn
nn
n
n
n
6) 0lim n
c
n
ตวอยางท 1 จงหาลมตของล าดบ n
an
21
วธท า .....................................................lim
nn
a
= ………………………………………. = ………………………………………..
ดงนน ............................................)2
1(lim nn
ตวอยางท 2 จงหาลมตของล าดบ 2
2423
n
nnan
วธท า จาก ........................................................................423
2
2
n
nn
........................................lim
nn
a
= ……………………………. ดงนน ...................................)(lim
n
na
13
ตวอยางท 3 จงหาลมตของล าดบ 85
4232
2
n
nnan
วธท า น า n2 หารทงเศษและสวน
จาก 85
4232
2
n
nnan = ………………………………………………………..
................................................................lim
n
na
= ………………………………………………
= ………………………………………………...
= ………………………………………………. ดงนน ...................................)(lim
n
na
ตวอยางท 4 จงหาลมตของล าดบ 2
34913
n
nnan
วธท า จาก ...............................................................4913
2
3
n
nn
................................................................lim
n
na
= ……………………………………………… ดงนน )(lim n
na
……………………
ตวอยางท 5 จงหาลมตของล าดบ 3
24
n
nnan
วธท า จาก ...........................................................43
2
n
nn
................................................................lim
n
na
= ………………………………………………
ดงนน )(lim nn
a
……………………
14
ตวอยางท 6 จงหาลมตของล าดบ nn
nnan
2
4 34
วธท า จาก ...........................................................34
2
4
nn
nn
................................................................lim
n
na
= ………………………………………………
ดงนน )(lim nn
a
……………………
แบบฝกหดท 2.1 เรอง ลมตของล าดบ
จงตรวจสอบวา ล าดบแตละล าดบตอไปน ล าดบใดบางทเปนล าดบคอนเวอรเจนต ถาเปนล าดบคอนเวอรเจนตใหหาลมตดวย
1) n
an3
8
2) 126
36
n
nan
3) 20
1
nan
4) 4
24
n
nan
5) 58
8342
2
nn
nnan
6) )sin( nan 7) )cos( nan
8) n
nan
3
54 2
9) 2
)13(
n
nnan
10) })1(1{ n
n na
11) })1(1{2 n
nn
a
12) 2
sin1 n
nan
15
13) 13
2
n
n
na
14) n
n
na3
4 1
1. 0 2. 1 3. divergent 4. 0 5. 4
6. 0 7. divergent 8. 3
2 9. 3 10. divergent
11. 0 12. 0 13. 0 14. divergent
แบบฝกหดท 2.2 เรอง ลมตของล าดบ
จงตรวจสอบวา ล าดบแตละล าดบตอไปน ล าดบใดบางทเปนล าดบคอนเวอรเจนต ถาเปนล าดบคอนเวอรเจนตใหหาลมตดวย
1) n
an5
3
2) 74
13
n
nan
3) 2000
15
nan
4) 4
3
2
4
n
nnan
5) 432
432
58
834
nnn
nnnan
6) )1sin( nan
7) )2
cos(n
an
8) 52
369 2
n
nnan
9) 27
)31(2
n
nnan
10) })1(1{ 1 n
n na
11) })1(1){92
(2
n
nn
na
12) 2
sin1
2
n
nan
13) 13
2
n
n
na
14) 7
1
3
5
n
n
na
