2.1.5 Aksioma Urutan pada RAda subset P dari R yang tidak kosong, disebut himpunan bilangan real positif kuat, yang memenuhi sifat-sifat :i) Jika a, b P maka a + b P ii) Jika a,b P, maka ab Piii) Jika a R maka tepat satu memenuhi hal-hal berikut :a P, a = 0, - a P.

Untuk dua sifat diatas (i), (ii) merupakan pengoperasian dalam penjumlahan dan perkalian. Untuk sifat (iii) biasanya disebut dengan sifat Trichotomy, karena pembagian R kedalam tiga tipe elemen/ anggota yang berbeda. Untuk himpunan {-a : a P} pada bilangan real negatif tidak memiliki anggota didalamnya dengan himpunan P pada himpunan bilangan real positif , dan bahkan himpunan R adalah gabungan dari tiga himpunan yang terpisah tadi.Jika a P, kita tulis a > 0 sehingga a adalah positif ( atau positif kuat) pada bilangan real. Jika a P U {0}, kita tulis a 0 sehingga a adalah bilangan bukan negative pada bilangan real. Begitupun, jika a P, kita tulis a < 0 shg a adalah negative (negative kuat) pada bilangan real. Jika a P U {0}, kita tulis a 0 shg a bukan positif dalam bilangan real.Notasi dari ketidaksamaan diantara dua bilangan real akan didefinisikan pada syarat anggota bilangan positif pada himpunan P.2.1.6 Definisi Misal a,b Ra) jika a b P, maka kita tulis a > b atau b < a.b) jika a b P U {0}, maka kita tulis a b atau b a.Sifat Trichotomy 2.1.5 (iii) berarti bawa a,b R memenuhi tepat satu dari 3 tipe berikut :a > b, a = b, a < b.Oleh karena itu, jika keduanya a b dan b a, maka a = b.Untuk bentuk atau notasi yang lebih mudah dapat kita tulis menjadi :a < b < c.yang berarti bahwa untuk keduanya a < b dan b < c. Untuk pertidaksamaan double (kurang dari sama dengan atau lebih dari sama dengan) a b < c, a b c juga didefinisikan dengan metode yang sama.Sebagai ilustrasi bagaimana aksioma urutan digunakan menjadi turunan syarat dari pertidaksamaan kita akan menentukan beberapa hasil yang pembaca telah digunakan pada awal pembelajaran matematika.2.1.7 Teorema Misalkan a,b,c Ra) jika a > b dan b > c, maka a > a.b) jika a > b, maka a + c > b + c.c) jika a > b dan c > 0, maka ca > cb. Jika a > b dan c < 0, maka ca < cb.Pembuktian : a) Jika a b P dan b c P, maka 2.1.5 (i) berarti bahwa (a b) + (b c) = a c P. jadi a > c.b) Jika a b P, maka (a + c) (b +c ) = a b di P. Jadi a +c > b +c.c) Jika a b P dan c P maka ca cb = c (a-b) di P dari 2.1.5 (ii). Jadi, ca > cb jika c > 0.Di sisi lain, jika c < 0, maka c P, shg cb ca = (-c) (a b) di P. Jadi, ac > ca jika c < 0.

Wajar jika mengekspetasikan bilangan natural kedalam bilangan real positif. Sifat ini diturunkan dari aksioma dasar dari urutan. Kata kuncinya adalah bahwa kuadrat dari semua bilangan bukan nol adalah bilangan real positif.2.1.8 Teoremaa) Jika a R dan a 0, maka a2 > 0b) 1 > 0.c) Jika n N, maka n > 0.Pembuktian.a) Dari sfat Trichotomy, jika a 0, maka ada a P atau a P. Jika a P, maka dari 2.1.5 (ii), kita dapatkan a2 = a.a P. Juga, jika a P, maka a2 = (-a) (-a) P. kita simpulkan bahwa jika a 0, maka a2 > 0.b) Karena 1 = 12,mengikuti sifat (a) bahwa 1 > 0.c) Kita gunakan induksi matematika. Kita nyatakan n = 1 adalah benar untuk (b). jika kita andaikan benar untuk pernyataan bilangan natural k, maka k P, dan karena 1 P, kita mempunyai k +1 P dari 2.1.5 (i). sehingga, pengandaian benar untuk semua bilangan asli. Q.E.DCatatan penting bahwa tidak ada bilangan real positif lebih kecil yang ada. Ini menyesuaikan dengan jika a > 0, maka menyebabkan > 0 (kenapa), kita mempunyai : 0 0. Maka jika kita mengambil 0 : = a, kita dapat 0 < 0 < a. sehingga, salah untuk a < untuk setiap > 0 dan disimpulkan bahwa a = 0. Q.E.DPernyataan. Latihan untuk membuktikan jika a R sedemikian sehingga 0 a untuk setiap > 0, maka a = 0.Hasil dari dua bilangan positif adalah positif. Bagaimanapun, kepositifan suatu hasil dari dua bilangan tidak dapat diartikan bahwa factor lainnya juga positif. Kesimpulan yang benar diberikan pada teorema selanjutnya. Ini adalah hal penting untuk pengerjaan dengan ketidaksamaan.2.1.10 Teorema Jika ab> 0, maka salah satunya :i) a > 0 dan b > 0, atauii) a < 0 dan b < 0.Pembuktian. Pertama-tama kita ingat bahawa ab > 0 berarti bahwa a -. (kenapa?) Dari Sifat Trichotomy, salah satunya a > 0 atau a < 0. Jika a > 0, maka 1/a > 0, sehingga b = (1/a) (ab) > 0. Begitupun, jika a < 0, maka 1/a < 0, maka 1/a > 0, sehingga b = (1/a) (ab) < 0. Q.E.D2.1.11 Secara logisnya, jika ab < 0, maka salah satunya i) a < 0 dan b > 0, atauii) a > 0 dan b < 0.

Ketidaksamaan.Sekarang akan ditunjukkan bagaimana Aksioma Berurutan menunjukkan pada bagian ini untuk melakukan pemecahan pada pertidaksamaan secara nyata. Pembaca harus mengamati setiap langkahnya.

2.1.12 Contoh a) Ditentukan himpunan A untuk semua bilangan real x sedemikian sehingga 2x + 3 6. Ingat kita mempunyai : x A 2x + 3 6 2x 3 x 3/2.Sehingga A = { x R : x 3/2 }.b) Ditentukan himpunan B := { x R x2 + x > 2}.Dapat ditulis kembali bentuk pertidaksamaan sehingga teorema 2.1.10 dapat digunakan. ingat bahwa : x B x 2 +x 2 > 0 0.

Sehingga, kita juga mempunyai (i) x 1 > 0 dan x + 2 > 0, atau kita mempunyai (ii) x 1 < 0 dan x + 2 < 0. Didalam (i) kita mempunyai keduanya x > 0 dan x > -2, jika dan hanya jika x > 1. Didalam (ii) kita juga mempunyai keduanya a < 1 dan x < -2, yang berarti jika dan hanya jika x < - 2.

Kita simpulkan bahwa B = { x R : x > 1} U { x R : x < - 2}.

c) Ditentukan himpunan C := { x R : < 1}.Kita ingat bahwa :x C - 1 < 0 < 0.Sehingga kita mempunyai :(i) x 1 < 0 dan x + 2 > 0, atau(ii) x 1 > 0 dan x + 2 < 0.(kenapa?) Didalam (i) kita harus memiliki x < 1 dan x > -2, jika dan hanya jika -2 < x < 1.Didalam (ii), kita harus mempunyai x > 1 dan x < - 2.Kita simpulkan bahwa C = { x R : - 2 < x < 1}Sesuai contoh / ilustrasi diatas menggunakan Aksioma Urutan dari R dalam menjelaskan bentuk pertidaksamaan. Pembaca seharusnya memeriksa langkah pada argument untuk mengidentifikasikan sifat yang digunakan. Seharusnya diingat untuk eksistensi dari akar kuadrat dari bilangan positif yang masih belum dibentuk; bagaimanapun, kita asumsikan bahawa eksistensi dari akar-akar bertujuan untuk ditunjukkan contoh. (Eksistensi ari akar kuadrat akan di diskusikan di bagian 2.4).

2.1.13 Contoh a) misal a 0 dan v 0. Maka :1) a < b a2 < b2 < kita anggap a > 0 dan b > 0, meninggalkan bentuk a = 0 pada pembaca. Ini juga seperti 2.1.5 (i) dimana a + b > 0. Karena b 2 a2 = (b a) (b + a), ini mengikuti 2.1.7 (c) bahwa b a > 0 berarti b2 a2 > 0. Juga mengikuti 2.1.10 bahawa b2 a2 > 0 menyatakan bahwa b a > 0.Jika a > 0 dan b > 0, maka > 0 dan > 0. Sebab a = ()2 dan b = (2, implikasi kedua menyebabkan yang pertama ketika a dan b digantikan dengan dan , satu per satu.Kami juga kepada pembaca jika a 0 dan b 0, maka 1) a b a2 b2

b) jika a dan b adalah bilangan real positif, maka secara aritmatika berarti (a+b) dan secara geometri adalah . Persamaan Aritmatika Geometri berarti untuk a,b adalah :2) Dengan pertidaksamaan berlaku jika dan hanya jika a = b.Untuk membuktikan ini, ingat jika a > 0, b > 0, dan a b maka > 0, > 0, dan . (kenapa?) oleh karena itu, ini sesuai 2.1.8(a) bahwa ( - )2 > 0. Memperluas akar ini, kita memperoleh :a 2 + b > 0,dari mana ini sesuai : oleh karena itu (2) (dengan pertidaksamaan yang lebih ketat) jika a b. bahkan, jika a = b (>0), maka kedua sisi dari (2) sama dengan a, jadi (2) menjadi sebuah persamaan. Pembuktian ini (2) untuk a > 0, b > 0.Di sisi lain, menunjukkan a > 0, b > 0 dan bahwa = (a+b). kemudian dikuadratkan kedua sisi dan dikalikan dengan 4, menghasilkan :4ab = (a + b)2 = a2+ 2ab + b2,Dimana ini sesuai :0 = a2 2ab + b2 = (a b)2.Tetapi persamaan ini berarti bahwa a = b. (kenapa?) maka, persamaan (2) mengartikan bahwa a = b.Pernyataan Pertidaksamaan Aritmatika-Geometri secara umum berarti untuk bilangan real positf a1, a2, . . . , an adalah (3)(a1, a2, . . . , an)1/n Dengan berlakunya persamaan jika dan hanya jika = = . . . = . Akan memungkinkan untuk membuktikan banyak statement umum yang digunakan dalam Induksi Matematika, tetapi pembuktiannya sedikit rumit. Untuk pembuktian yang lebih baik gunakan sifat dari fungsi eksponen yang di indikasikan di latihan 8.3.9 di bagian 8.c) Pertidaksamaan Bernoulli. Jika x > -1, maka (4) (1 + x)n 1 + n x untuk semua n N

Pembuktiannya menggunakan Induksi Matematika. Bentuk n = 1 menghasilkan persamaan, sehingga pernyataannya valid pada bentuk itu. Selanjutnya, kita mengasumsikan kebenaran (dianggap benar) dari pertidaksamaan (4) untuk k N dan akan disimpulkan untuk k + 1. Sebenarnya, asumsi bahwa (1 + x)k 1 + k x dan bahwa 1 + x > 0 berarti bahwa :(1 + x)k+1 = (1 + x)k . (1 + x) (1 + kx) . (1 + x) = 1 + (k + 1)x + k x2 1 + (k + 1)x. Maka, persamaan (4) untuk n = k +1. Oleh karena itu, (4) benar/memenuhi untuk semua n N.