ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ -СОФИЯ Писмен конкурсен изпит по МАТЕМАТИКА - 8 юли 2006г.

Задача 1. Решете уравненията:

а) ( ) 0155552 =+−+ xxx;

б) 152

563 2

=+

+−−

x

xxx.

Задача 2. Даден е ромб ABCD, със страна АВ=а и α=∠BAD .

Двете прави p и l минават през точката А, като р пресича ВС в точката М, а

l пресича CD в точката N.

a) Ako MN e успоредна на ВD и АС пресича MN в точката Е, като

АЕ:АС=2:3, да се намери дължината на MN;

б) Ако ABCDADNABM SSS5

2== , да се намерят дължините на АN и ВN.

Задача 3. Дадено е уравнението ( ) 032 =+−+ kxkx

а) За коя стойност на параметъра уравнението има различни реални

корени?

б) Да се намерят локалните екстремуми на функцията 1

2

2

1)(x

x

x

xkf += .

Задача 4. Основата на пирамидата ABCDМ е произволен четириъгълник,

за който АВ=9см, ВС=10см, 3

2,

3

ππ=∠=∠ ADCABC и всички околни стени

сключват с основата ъгли с големина 3

π.

а) Да се докаже, че в ABCD може да се впише окръжност.

б) Да се намери обема на пирамидата.

Отговори: 1а) 2

1=x ; 1б) 5=x ; 2а)

2sin

3

4 αaMN = ; 2б) αcos4041

5+=

aAN ,

αcos10265

−=a

BN ; 3а) ( ) ( )+∞∪∞−∈ ;91;k ; 3б) 14)3(;2)3( maxmin −=−=−== ffff ;

4б) 360=V