- 1 -

ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ — СОФИЯ

Писмен конкурсен изпит по математика, 10 юли 2008 г.

ТЕМА 2

ПЪРВА ЧАСТ

Всяка от следващите 20 задачи има точно един верен отговор. В таблицата за отговори отбележете само буквата, до която според вас е записан верният отговор

1. За

всеки верен отговор получавате 2 точки. За грешен или непопълнен отговор, както и посочени повече от един отговор на една задача, точки не се дават и не се отнемат.

1. Ако 1x и 2x са корени на уравнението 2 7 5 0x x− + = , то изразът 2 2

1 2 1 2

1 1 2

x x x x+ + е равен

на:

а ) 46

5; б )

49

25; в )

21

5; г) 5; д)

49

5− ;

2. Коренът на уравнението ( )2

2 8 9 0x x+ − = е:

а) -9; б ) 1 ; в) -3; г ) -1 ; д) 0.

3. Коренът на уравнението 10 2x x− = − − е:

а) -5; б) -10; в) -6; г) -4; д) 2

5.

4. Корените на уравнението ( )2

4 16log 1 2logx x− = са:

а ) 5 1

2

−; б )

5 1

2

− −; в )

5 1

2

−,

5 1

2

− −; г)

5 1

2

+,

5 1

2

− +;

д) 5 1, 5 1+ − .

5. За геометричната прогресия { }nb е известно, че 28

31

125

64

b

b= . Частното на прогресията е

равно на:

а ) 5

3; б ) 2 ,3 в )

3

5; г)

4

5; д)

5

4.

6. Най-малката стойност на функцията 2

2

1

xy

x=

+ в интервала [-3,1] е:

а ) - 1 ; б ) 3

5− ; в ) 1 ; г) 2; д) 3.

7. Дефиниционното множество на функцията ( )2

2log 16xy x−= − е:

а ) ( ), 2x∈ −∞ б ) ( )2,3x∈ в ) ( ) ( )2,3 3,4x∈ ∪ г) ( )3,x∈ +∞ ; д) ( )4,x∈ +∞ .

8. Ако 6

cos3

α = и 270° < а < 360°, то стойността на израза sin 2α е:

а ) 3

6; б )

2 2

3− ; в )

3

3; г)

2 2

3 3− ; д) -1;

9. Най-голямото цяло решение на неравенството 32

66

xx

< −+

е:

а) -7; б) -3; в) 1; г) 2; д) 3.

1 За верен се приема само отговорът, посочен в таблицата за отговори.

- 2 -

10. За аритметичната прогресия { }na е известно, че 170

2

15a

a= . Отношението 21

22

a

a е:

а ) 32

31; б )

30

11; в )

31

32; г)

31

22; д) 2.

11. Стойностите на реалния параметър m , за които квадратното уравнение

( )2 3 1 0x m x+ − + = има реални корени, са:

а ) ( ), 2−∞ б ) ( )1,5 в ) ( )1,∞ г) ( ),5−∞ д) ( ),1] [5,−∞ ∪ ∞ .

12. Стойността на 20

1 coslim

sinx

x

x→

− е:

а ) 1

2; б )

1

2− ; в ) 0 ; г)

2

3; д)

3

4.

13. Върху основата АВ на равнобедрения триъгълник АВС е избрана точката D така, че радиусът на окръжността, описана около триъгълника АDС, е равен на 7. Радиусът на окръжността, описана около триъгълника BDC, е равен на: а) 7; б) 5; в) 8; г) 14; д) 6. 14. В правоъгълния триъгълник ( )ABC ACB=90°∢ дължината на катета ВС е равна на 4, а лицето му е равно на 14. Синусът на ъгъл ВАС е равен на:

а ) 2

65; б ) 0 ,5 ; в )

1

65; г)

4

65; д)

3

65;

15. Голямата основа на трапец е равна на 16 cm, а средната му отсечка е равна на

12 cm. Дължината на отсечката, съединяваща средите на диагоналите на трапеца, е

равна на: а) 2 cm; б) 3 cm; в) 4 cm; г) 5 cm; д) 1 cm. 16. В правоъгълен триъгълник единият катет е равен на 6, а радиусът на вписаната окръжност е равен на 2. Хипотенузата на триъгълника е равна на: а) 8; б) 7; в) 9; г) 10; д) 9,5. 17. В триъгълника АВС страната АВ е равна н а 16 cm, а височината ( )CH H AB∈ е равна на 8 cm. Отсечката ( )MN M AC, N BC∈ ∈ е успоредна на АВ. Окръжността с диаметър MN се допира до AB. Радиусът на окръжността е равен на: а) 3 cm; б) 4 cm; в) 5 cm; г) 6 cm; д) 7 cm. 18. Пресечната точка на диагоналите на една от стените на куб е съединена с върховете на срещуположната стена. Отношението на обема на получената пирамида към обема на куба е равно на: а) 1:2; б) 1:4; в) 1:3; г) 1:5; д) 2:3. 19. В правилна четириъгълна пирамида основният ръб е равен на а, а околните ръбове – на 2а. Косинусът на ъгъла между околна стена и основата е равен на:

а) 3

3; б).

15

15; в).

17

16; г).

2

3; д).

3

4.

20. Цилиндър е пресечен с равнина, успоредна на оста и минаваща на разстояние 6 cm от нея. Диагоналът на полученото сечение е два пъти по-голям от радиуса на основата на цилиндъра. Височината на цилиндъра е:

а) 12 cm; б) 13 cm; в) 20 3

3; г) 40 cm; д) 35 cm.

- 3 -

ВТОРА ЧАСТ

Следващите 5 задачи са без избираем отговор. В таблицата за отговори в празното поле на съответната задача запишете само получения от вас отговор. За всеки верен отговор получавате по 3 точки. За грешен или непопълнен отговор, както и за посочени повече от един отговор, точки не се дават и не се отнемат.

21. Да се намери броят на целите числа, които удовлетворяват неравенството 2 14 10.x − ≤

22. Да се намери броят на решенията на уравнението 2cos sin 0x х+ = в интервала

( ),π π− . 23. Да се намерят корените на уравнението 2 23 17.3 - 2 0.x х+ + =

24. Страните на триъгълник са 2 cm, 8 cm и 5 3 cm. Да се намери дължината на вътреш-

ната ъглополовяща на най-големия ъгъл на триъгълника

25. Правилна триъгълна пирамида със страна на основата 1 има обем 1

8. Да се намери

тангенсът на ъгъла между околен ръб и основата н а пирамидата.

ТРЕТА ЧАСТ

Представете решенията на следващите три задачи с необходимите обосновки в писмен вид. Пълното решение на всяка задача се оценява с 15 точки.

26. Да се реши системата

2 2

2

4 5 -8 0

- 2 - 4 0.

х ху y

у х у

+ + =

=

27. В равнобедрения триъгълник ( )ABC АС = ВС > АВ са построени височината

( )АН Н ВС∈ и медианата ( )AM М ВС∈ . Да се намери cos BAC∢ , ако отношението на

лицето на триъгълника АМН и лицето на триъгълника АВС е равно на 4

9.

28. Да се намери обемът на прав кръгов конус с ъгъл при върха на осното сечение 120°, ако сечение през върха има максимално лице, равно на 18.

- 4 -

ТАБЛИЦА ЗА ОТГОВОРИТЕ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ 1 ДО 20

Ако искате да се откажете от отговора, който вече сте отбелязали, например от отговор а), това може да направите така: ⊗

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

ТАБЛИЦА ЗА ОТГОВОРИТЕ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ 21 ДО 25

21

22

23

24

25

Времето за работа е 4 астрономически часа. Максималният брой точки от трите части е 100.