2010-1 학기 Chapter 7. Three-Dimensional Viewing 1

2010-1 학기 Chapter 7. Three-Dimensional Viewing 1

Chapter 7. Three-Dimensional Viewing


Overview of three-dimensional viewing conceptsOverview of three-dimensional viewing concepts

three-dimensional scene 을 디스플레이 하려면 camera 를 위한 coordinate reference 를 설정해야 함

camera film 의 plane 을 위한 position 과 orientation 정의 object description 이 camera reference coordinates 로 전달되고 display plane 에

투영되어 , wireframe 형태나 lighting and surface-rendering 으로 디스플레이 됨 그림 7-1


ProjectionsProjections

Parallel Projection object surface 의 점들을 평행선을 따라 display plane 에 투영시키는 것 different viewing position 에 따라 한 물체에 대해 different two-dimensional

views 를 형성

Perspective Projection 물체의 점들을 converging path 를 따라 display plane 에 투영시키는 방법

viewing position 에서 멀리 있는 물체를 가까이 있는 같은 크기의 물체보다 작게 표현함

more realistic


Depth cueing Depth cueing

a particular viewing direction 에서 디스플레이된 물체의 앞과 뒤를 구분할 수 있도록 depth information 을 주는 방법 wireframe display 에서 depth 를 주는 간단한 방법으로 viewing position

으로부터 거리에 따라 intensity 를 변화시키는 방법이 있다 . 다른 방법으로 effect of atmosphere ( 대기 , 기압 , 분위기 ): 멀리 있는

물체는 가까이에 있는 것보다 light scattering 으로 인해 희미하게 표현


(Fig. 7-5) The wireframe representation of the pyramid (a) no depth information (b) viewing direction: downward (c) viewing direction: upward

(a) (b) (c)

Ambiguity without depth informationAmbiguity without depth information


Visible line and surface identificationVisible line and surface identification

wireframe display 에서 depth relationship 을 구분할 때 visible lines 을 표시하는 방법이 있다 visible lines 을 highlight 하거나 다른 색으로 표현 nonvisible lines 을 제거하거나 dashed line 으로 표현하기도 함 surface 의 경우엔 hidden surface 를 보이지 않게 함 visible surface algorithm 에 따라 viewing plane 에 대해 픽셀 하나 하나의

visibility 를 첵크해 감


Surface renderingSurface rendering

scene 의 light condition 이나 surface characteristics 에 따라 물체의 surface intensity 를 조정함

물체의 surface property 로는 transparency 의 정도나 surface 의 매끄러운 정도를 포함함

이러한 property 에 따라 scene 의 correct illumination 과 shadow region 을 표현함


Exploded ( 분해 ) and cutaway ( 일부를 잘라냄 ) views 물체를 여러 부분들로 구성했을 경우 각 부분의 내부 구조나 관계를

표현하는데 이용 그림 7-8 그림 7-9

Three-dimensional and stereoscopic views three-dimensional views 는 vibrating flexible mirror 로부터 raster image 를

반사하여 얻어짐 . mirror 의 진동에 의하여 scene 안의 각 점들이 depth 에 따라 다르게 투영된다 .

stereoscopic device 는 scene 을 two views 로 표현하여 left eye, right eye 에 대한 view 를 각각 생성해냄 - 이러한 two views 가 raster monitor 에 alternate refresh cycles 로 디스플레이 됨


Three-Dimensional Viewing PipelineThree-Dimensional Viewing Pipeline

2 차원 viewing 과의 차이 공간의 어떤 위치에서도 물체를 바라볼 수 있다 (front, above, back,

inside, ..) 3 차원으로 기술된 물체를 출력장치의 평면으로 투영해야 한다 . Clipping boundaries 가 공간상의 한 용적 (volume) 을 에워싸며 이 용적의

모양은 투영의 타입에 따라 다르다 .


3 차원 장면을 컴퓨터에 나타내는 방법은 사진을 찍는 것과 같은 과정을 거침 공간상의 특정 위치에 카메라를 놓는다 . 카메라 방향을 조정한다 . 셔터를 내려 사진을 찍으면 , 3 차원 장면은 카메라의 윈도우 크기로

잘라지고 눈에 보이는 표면으로부터의 빛이 카메라 필름에 투영된다 .

한 장면을 기술한 world coordinates 를 device coordinates 로 변환시키는 일반적 처리 방법


General three-dimensional transformation pipelineGeneral three-dimensional transformation pipeline

Modeling Coordinates

Modeling Transformation

WorldCoordinates

Viewing Transformation

Projection Transformation

ViewingCoordinates

WorkstationTransformation

ProjectionCoordinates

DeviceCoordinates

Normalized Transformation and

Clipping

Viewport Transformation

Device Coordinates


Three-dimensional Viewing-Coordinate ParametersThree-dimensional Viewing-Coordinate Parameters

3 차원에서의 한 물체의 view 생성은 카메라로 사진을 찍는 것과 같음 : spatial position, orientation, aperture size of the “camera” 변화시킴

specifying the view plane ( 그림 7-13) establish the viewing-coordinate system (called view reference coordinate system) view plane (projection plane): viewing Zv axis 에 수직인 평면 ( 그림 7-14)

camera 에서 필름 평면에 해당 world coordinate position 이 viewing coordinates 로 변환되고 다시 viewing

coordinates 가 view plane 에 투영된다 .


A right-handed viewing coordinate systemA right-handed viewing coordinate system

xw

yw

zw

xv

zv

yv

P0 = (x0, y0, z0)


Figure 7-13 Orientations of the view plane for specified normal vector coordinates relative to the world origin

Figure 7-13 Orientations of the view plane for specified normal vector coordinates relative to the world origin

xw

yw

zw

N

View plane

(a)

xw

yw

zw

(b)


Figure 7-14 Three possible positions for the view plane along the z-view axis

Figure 7-14 Three possible positions for the view plane along the z-view axis

xv

yv

zv


viewing coordinate reference frame viewing coordinate reference frame

view reference point(viewing coordinate system 의 원점 ) 지정 보통 scene 중 한 물체에 근접하거나 그 물체의 표면에 있는 점으로 정함 .

혹은 물체의 중심이나 물체들로 구성된 그룹 내 한 점이 되기도 함 viewing Zv axis 를 위한 positive direction 과 view plane 방향 지정

view plane normal vector N 지정 world origin 이나 viewing coordinate origin 으로부터 선택된 한 점에

이르기까지의 선을 따라 N 방향 설정 (GKS, PHIGS 의 경우 ) 혹은 viewing coordinate origin 에 대한 look-at point 로 지정된 coordinate position

을 N 의 방향으로 정함 (GL 의 경우 ) ( 그림 7-15)


Figure 7-15 Specifying the view-plane normal vector N as the direction Figure 7-15 Specifying the view-plane normal vector N as the direction

xw

yw

zw

yv xv

zv

NP0

P


view-up vector V 지정 positive Yv axis world-coordinate origin 에 대한 한 점을 선택하여 정의하며 , 결국 원점에서

그 점에 이르는 view-up vector 가 된다 . N 에 정확하게 직각인 V 벡터를 구하는 일이 어려우므로 보통 유저가 정의하는 벡터 V 를 normal vector 에 수직인 평면에 투영하는 방법으로 조정하여 얻는다 ( 그림 7-16)

따라서 view up vector V 는 N 과 평행하지 않는 어느 방향의 편리한 벡터로 정한다 .

N 과 V vector 를 이용하여 U vector 를 계산하여 Xv axis 를 정의한다 . uvn viewing-coordinate reference system ( 그림 7-17)


Adjusting the input position of the view-up vector V to a position perpendicular to the normal vector N

Adjusting the input position of the view-up vector V to a position perpendicular to the normal vector N

VAdjusted V

Po N


The uvn viewing-coordinate reference frameThe uvn viewing-coordinate reference frame

view plane normal N zview axis 방향을 정의

view-up vector V yview axis 에 이용

N, V 를 이용하여 xview axis 방향을 결정

n = = (nx, ny, nz)N

| N |

u = = (ux, uy, uz)V x n

| V |

v = n x u = (vx, vy, vz)


A right-handed viewing system defined with unit vectors u, v, and n.A right-handed viewing system defined with unit vectors u, v, and n.

uv

nxv

yv

zv


한 scene 에 대해 여러 view 를 얻기 위해서는 view reference point 를 고정시키고 N 방향을 변화시킴 ( 그림 7-19)( 그림 7-20) => 책 그림 참고 normal vector N 만을 변화시키면 V 방향을 제외한 어떤 방향에서도 Scene

을 볼 수가 있다 .


Transformation from world to viewing coordinatesTransformation from world to viewing coordinates

1) view reference point 를 world-coordinate system 의 원점으로 translate view reference point 가 world position (x0, y0, z0) 이면

1 0 0 -x0

T = 0 1 0 -y0

0 0 1 -z0

0 0 0 1

에 의해 view reference point 를 이동시킴


2) xv, yv, zv axes 를 xw, yw, zw axes 로 각각 맞추어지도록 rotate three coordinate axis rotations 가 필요함 N 이 하나의 world-coordinate axis 에 일치하지 않은 경우에

Rz Ry Rx 변환으로 Viewing and world systems 를 일치시킨다 . zv 를 xw zw 평면으로 떨어뜨리도록 xw 축을 중심으로 rotate zw 와 zv 를 일치시키도록 yw 축을 중심으로 rotate


xw

yw

zw

yv xv

zv

xw

yw

zw

yv xv

zvxw

yw

zw

yv

xvzv


다른 방법으로 unit uvn vector 를 계산하여 composite rotation matrix 를 직접 구함

N

n = = (n1, n2, n3)

|N|

V X N

u = = (u1, u2, u3)

|V X N |

v = n X u = (v1, v2, v3)

u1 u2 u3 0

R = v1 v2 v3 0

n1 n2 n3 0

0 0 0 1


u 는 xw axis, v 는 yw axis, n 은 zw axis 로 변환됨

complete world-to-viewing coordinate transformation matrix Mwc,vc = R T


Projection TransformationsProjection Transformations

scene 내 물체의 world-coordinates 를 viewing coordinates 로 바꾼 뒤에는 3D 물체를 2D view plane 에 투영시켜야 한다 .

two basic projection methods parallel projection, perspective projection


Parallel Projection object surface 의 점들을 평행선을 따라 display plane 에 투영시키는 것 different viewing position 에 따라 한 물체에 대해 different two-dimensional

views 를 형성 Perspective Projection

물체의 점들을 converging path 를 따라 display plane 에 투영시키는 방법 viewing position 에서 멀리 있는 물체를 가까이 있는 같은 크기의 물체보다

작게 표현함 more realistic


parallel projectionparallel projection

coordinate position 이 평행선을 따라 view plane 으로 변환됨 ( 그림 7-22) projection lines 의 방향을 정의하는 projection vector 로 지정 orthographic parallel projection 과 oblique parallel projection 이 있음


Window specification on the view planeWindow specification on the view plane

Viewplane Projection

window

(xwmin, ywmin)

(xwmax, ywmax)


Figure 7-22 Parallel projection of an object to the view planeFigure 7-22 Parallel projection of an object to the view plane

p1

p2

p1’

p2’


Figure 7-23 Perspective projection of an object to the view planeFigure 7-23 Perspective projection of an object to the view plane

p1

p2

p1’

p2’

Projection reference point


orthographic parallel projectionorthographic parallel projection

view plane 이 zv axis 를 따라 zvp 위치에 있다고 하면 viewing coordinates (x, y, z) 는

xp = x, yp = y 의 projection coordinates 로 바뀜 ( 그림 7-26)


Figure 7-26 Orthogonal projection of a spatial position onto a view plane

Figure 7-26 Orthogonal projection of a spatial position onto a view plane

zv

xv

yv

(x, y, z)

(x, y)


oblique parallel projection ( 그림 7-32)oblique parallel projection ( 그림 7-32)

( 그림 7-33) transformation matrix

1 0 L1cosφ 0

Mparallel = 0 1 L1sinφ 0

0 0 0 0

0 0 0 1


Oblique Parallel ProjectionOblique Parallel Projection

window

(a) orthographic- projection view volume (side view)

window

xv yv plane

zv

(b) orthographic-projection view volume (top view)

window

(c) oblique-projection view volume (side view)

window

xv yv plane

zv

(d) oblique-projection view volume (top view)


Oblique Parallel ProjectionOblique Parallel Projection

xp = x + L cos yp = y + L sin ztan = L

zv

xv

yv

(x, y, z)

(x, y)

(xp, yp)

View plane

LL =

z

tan

= z L1

xp = x + z (L1 cos )yp = y + z (L1 sin )


Perspective projection Perspective projection

projection reference point 에서 만나는 projection lines 을 따라 점들을 변환시킴 ( 그림 7-40) ( 그림 7-41)


Figure 7-40 Perspective projection of two equal-length line segments at different distances from the view plane

Figure 7-40 Perspective projection of two equal-length line segments at different distances from the view plane

p1

p2

p1’

p2’

Projection reference point

p1

p2


P = (x, y, z)

zprp

(xp, yp, zp)

zvp

x’ = x – (x - xprp)uy’ = y – (y - yprp)uz’ = z - (z - zprp) u

Projection line 위에 있는 모든 점 (x’, y’, z’)

u = zprp - z

zvp - z

xp = x zprp - zvp

zprp - z= x

dp

zprp - z

yp = y zprp - zvp

zprp - z= y

dp

zprp - z

Perspective projection of a point PPerspective projection of a point P


Vanishing point Vanishing point

그림 7-44 3 차원 객체가 perspective transformation 을 이용하여 view plane 에 투영될 때

plane 과 평행하지 않는 평행선들은 converging lines 으로 투영될 것이다 . View plane 에 평행하는 평행선들은 평행선들로 투영될 것이다 . 투영된 평행선들이 수렴하는 한 점을 vanishing point ( 소멸점 ) 이라고 한다 . Principal vanishing point:

Vanishing point 를 구성하는 선들이 물체의 좌표축에 평행하는 경우를 말함 .

Principal vanishing point 의 수는 view plane 과 교차하는 좌표축의 수에 의해 결정된다 .


x

y

z

Vanishing pointPrincipal vanishing pointsPrincipal vanishing points

One point perspective projection(view plane 이 z-axis 만을 교차할 경우 )

Two point perspective projection(view plane 이 z-axis 와 x-axis 를 동시에 교차할 경우 )


View Volumes and General Projection Transformations View Volumes and General Projection Transformations

view volume ( 그림 7-46) view window 가 주어지면 window boundary 를 이용하여 구해짐 view volume 내에 있는 물체만 디스플레이에 나타나고 나머지는 clip 됨 view volume 의 크기는 window size 에 따라 다르고 view volume 의 모양은

projection 타입에 따라 다르다 parallel projection 의 경우에는 view volume 의 네 변이 무한의 평행사변형을

형성 perspective projection 의 경우에는 projection reference point 를 정점으로 하는

피라미드를 형성 ( 그림 7-46)


Figure 7-46 A perspective projection view volumeFigure 7-46 A perspective projection view volume

clippingwindow

ProjectionReferencepoint

RectangularFrustumView volume

Far clipping plane

Near clipping plane


Figure 7-29 A finite orthogonal view volume Figure 7-29 A finite orthogonal view volume

Clipping window

Orthogonal projection view volume

Near planeFar plane


Examples of a perspective-projection view volumeExamples of a perspective-projection view volume

window

Projectionreferencepoint

window

Projectionreferencepoint

window

xv yv plane

zv

xv yv plane

zv


General Parallel-Projection TransformationsGeneral Parallel-Projection Transformations

parallel projection 의 방향은 projection reference point 에서 view window 의 중간으로 향하는 projection vector 로 지정

oblique projection transformation 을 regular parallel projection 으로 하기 위해선 shear transformation 필요

projection vector 를 viewing coordinates 로 표시하면 vp = (px, py, pz) 일때 vp 를 view plane normal vector N 과 일치시키는 shear

matrix 가 필요 v’p = Mparallel · vp = 0

0

pz

0


window

N

vp

zv

window

N

vp’

zv

oblique projection vector and associated view volume

regular parallelpiped view volume

obtained by shearing the view

volume


1 0 a 0

Mparallel= 0 1 b 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=> z axis shear

0 = px + a · pz

0 = py + b · pz

=> a = - px / pz b = - py / pz

1 0 -px/pz 0

Mparallel= 0 1 -py/pz 0

0 0 1 0

0 0 0 1


Relationships between the parallel-projection vector vp and parameters L, , ø

Relationships between the parallel-projection vector vp and parameters L, , ø

yv

xv

zv

vp

(xp’, yp’, 0)

pz(x, y, 0)

L

px

py

ø


General shape for the perspective view volume with a projection reference point that is not on the zv axis

General shape for the perspective view volume with a projection reference point that is not on the zv axis

View volume

zv

View plane

Center of window

(xprp’, yprp’, zprp)


Shearing a general perspective view volume to center it on the projection window

Shearing a general perspective view volume to center it on the projection window

(x’, y’, z)

(x”, y”, z)

Center of window

View plane(z = zvp)

(xprp’, yprp’, zprp)


General Perspective Projection Transformations 책참고


OpenGL Three-Dimensional Viewing FunctionsOpenGL Three-Dimensional Viewing Functions

OpenGL 의 기본 라이브러리와 GLU(OpenGL Utility Library) 에 viewing 함수 포함

OpenGL Viewing-Tranformation Function glMatrixMode (GL_MODELVIEW);

world coordinates 를 viewing coordinates 로 변환하기 위한 matrix 설정

gluLookAt(x0, y0, z0, xref, yref, zref, Vx, Vy, Vz); viewing parameter 설정 viewing reference origin 을 world coordinate position 인 p0 = (x0,

y0, z0) 로 지정하고 , reference position 을 Pref = (xref, yref, zref) 로 지정하고 , view-up vector 를 V = (Vx, Vy, Vz) 로 나타내고 , viewing frame 의 zview-axis 를 N = P0 – Pref 가 되도록 함

gluLookAt function 을 부르지 않으면 default viewing parameter 는 다음과 같다 :

P0 = (0, 0, 0), Pref = (0, 0, -1), V = (0, 1, 0)


OpenGL Orhtogonal-Projection Function glMaxtrixMode (GL_Projections); Projection matrix 설정 glOrtho (xwmin, xwmax, ywmin, ywmax, dnear, dfar); orthogonal projection

parameter 설정 , clipping window 선택 , default clipping window 는 (-1.0, 1.0, -1.0, 1.0, -1.0, 1.0) 으로 symmetric normalized square

OpenGL Symmetric Perspective-projection Function gluPerspective (theta, aspect, dnear, dfar); theta, aspect: near plane 의 size, position 을 나타냄 , aspect 는 clipping

window 의 aspect ratio 의미 dnear, dfar: view point 로부터 두 clipping plane 까지의 거리


OpenGL General Perspective-Projection Function glFrustrum (xwmin, xwmax, ywmin, ywmax, dnear, dfar); symmetric frustum view

volume 혹은 oblique frustum view volume 의 perspective projection 설정

OpenGL Viewports and Display Windows glViewport (xvmin, yvmin, vpWidth, vpHeight); normalized coordinates 에

clipping routines 을 적용한 후에 screen coordinates 로 변환


Three-Dimensional Clipping AlgorithmsThree-Dimensional Clipping Algorithms

view-volume clipping boundary: projection 타입에 따라 방향이 다른 평면들로 구성됨 front and back clipping planes 는 view plane 과 평행하며 constant z-

coordinate value 를 갖는다 . 그 외 다른 네 평면은 임의의 방향을 가짐 view volume 의 coordinate values 를 orthographic parallel coordinates

로 변환하는 projection transformation 후에 clipping calculations 가 필요

Normalized View Volume normalized projection coordinates: 사각형 내 점들을 지정된 3D

viewport 내 한 위치로 변환시킨 후에 device coordinates 로 변환시킴

normalized view volume 은 xwmin = -1 xwmax = 1 ywmin = -1 ywmax = 1 zwmin = -1 zwmax = 1


Dimensions of the view volume and three-dimensional viewportDimensions of the view volume and three-dimensional viewporty

x

z

(xwmax, ywmax, zback)

(xwmin’, ywmin’, zfront)

(a) Parallelpiped view volumeUnit cube

3D viewport

(xvmin, yvmin, zvmin)

(xvmax, yvmax, zvmax)


viewport clippingviewport clipping

2 차원에서와 비슷하게 처리되며 2 차원에서 clipping edges 에 대한 처리가 clipping planes 에 대해 처리된다는 것이 다르다 .

6 bits 로 구성된 region code 이용 한 선분의 끝점 (x, y, z) 에 대해 6 비트중 오른쪽비트부터

bit 1 = 1 if x < xvmin (left) bit 2 = 1 if x > xvmax (right) bit 3 = 1 if y < yvmin (below) bit 4 = 1 if y > yvmax (above) bit 5 = 1 if z < zvmin (front) bit 6 = 1 if z > zvmax (back)


1) 양 끝점의 region code 가 000000 이면 completely inside

2) 두 점이 다 000000 이 아니면 두 점에 대한 logical and operation 값이 nonzero 이면 두 점은 six outside region 에 있다 .

3) 1), 2) 의 경우가 아닌 경우 bounding plane 과의 intersection test 를 한다 .


bit 1 = 1 if x < xvmin (left)bit 2 = 1 if x > xvmax (right)bit 3 = 1 if y < yvmin (below)bit 4 = 1 if y > yvmax (above)bit 5 = 1 if z < zvmin (front)bit 6 = 1 if z > zvmax (back)

100001

000001000000

00001

011001 011000011010

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