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1
Caro Professor,
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.
Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.
Bom trabalho!
Equipe São Paulo faz escola.
2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
EXPANDINDO A LINGUAGEM DAS EQUAÇÕES
Caderno do Aluno de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 3
Páginas 3 - 5
1. Y X = 40. É possível que boa parte dos estudantes responda X Y = 40, quando o
correto seria Y X = 40. Um exemplo numérico pode ajudá-los a esclarecer a
questão: “Dez reais a menos que 50 reais é igual a 40 reais” (50 10 = 40).
2. 3
Y. A resposta correta não é 3Y, porque o problema em questão envolve grandezas
“inversamente proporcionais”, ou seja, quanto maior o número X de operários,
menor o número Y de horas necessárias para subir o muro (o dobro de X implica a
metade de Y, o triplo de X implica a terça parte de Y, e assim por diante). A resposta
correta é 3
Y. Veja como um exemplo numérico seria útil na identificação do erro da
expressão 3Y: se X = 1 operário e Y = 6 horas, X = 3 operários construiriam o muro
mais rapidamente, construiriam na terça parte do tempo, ou seja, em 2 horas. Nesse
caso, evidencia-se que a resposta 3Y, que resultaria em 3 . 6 = 18 horas, está
incorreta.
3. a.(b + c). Alguns alunos devem escrever que a área é igual a “a . b + c”, quando o
correto seria “a.(b + c)”. Nesse caso específico, a verificação com números pode
conduzir a dois tipos de situação, como veremos usando os valores numéricos a = 3,
b = 4 e c = 2.
Situação 1: o aluno arma a conta 3 . 4 + 2 e conclui que o resultado é 18. Nesse caso,
ele obteve o resultado esperado para o problema, mas com base numa expressão
escrita de forma errada para sua resolução (pela expressão formulada, o resultado
3
seria 14). Duas hipóteses podem ser levantadas nessa situação: ele armou a expressão
com letras, mas não a utilizou quando foi fazer a verificação com números (fez a
verificação apenas interpretando a figura), ou ele armou a expressão e, ao substituir
os números, não associou a ideia de que em uma expressão com multiplicações e
somas fazemos primeiro as multiplicações.
Situação 2: o aluno arma a conta 3 . 4 + 2, lembra-se da ordem das operações
(primeiro a multiplicação e depois a adição) e conclui que o resultado é 14. Nesse
caso, seu cálculo está correto para a expressão, mas não é a solução do problema,
porque partiu de uma expressão errada.
A primeira situação evidencia a necessidade de você, professor, retomar com os
alunos a ordem das operações, e a segunda sugere que se explore mais a ideia de
verificação, que, no caso deste problema, implicaria confrontar o resultado 14 com o
cálculo por substituição direta de valores na figura, como se vê a seguir:
4. Uma resposta tipicamente errada seria:
X = número de figurinhas de João,
Y = número de figurinhas de Paulo.
“Paulo tem o quíntuplo do número de figurinhas de João.”
Nesse caso, partindo do enunciado criado pelo aluno, se João tem 3 figurinhas, Paulo
terá 15, que é o triplo de 3, ou seja, se X = 3, Y tem de ser igual a 15, o que se
verifica pela expressão X = 5Y indicada no enunciado do problema. Para corrigir a
resposta do aluno, bastaria trocar Paulo e João na frase que relaciona o número de
figurinhas deles.
5. Em primeiro lugar, é importante que você oriente uma estratégia de organização das
informações, que pode ser feita por meio de uma tabela. Na montagem dessa tabela,
chamaremos de x a quantia paga por um dos três amigos e, sempre que possível,
4
você deve pedir que os alunos montem outras tabelas chamando de x a quantia paga
por outra pessoa. Esse exercício de mudar o significado da incógnita é útil para o
trabalho com a ideia de operação inversa e para a discussão de que, apesar de
encontrarmos valores diferentes para x dependendo de onde ele esteja na tabela, a
resposta final do problema sempre será a mesma, seja qual for a escolha de posição
para x.
Tabela 1
Rui 4
3x
08,4$:
24,42$:
68,31$:
24,42
781034
3
RCláudia
RGustavo
RRui
x
xx
x
Gustavo x
Cláudia 103
x
Tabela 2
Rui 4
)10(9 x
08,4$:
24,42$:
68,31$:
08,4
78)10(34
)10(9
RCláudia
RGustavo
RRui
x
xxx
Gustavo 3(x + 10)
Cláudia x
Tabela 3
Rui x
08,4$:
24,42$:
68,31$:
68,31
78109
4
3
4
RCláudia
RGustavo
RRui
x
xxx
Gustavo 3
4x
Cláudia 109
4
x
5
O equacionamento mais natural é o da Tabela 1, que, por sua vez, recai em uma
equação de resolução supostamente já conhecida de um aluno de 7a série. Partindo da
Tabela 1 e do equacionamento obtido, o aluno terá encontrado como resultado para
Rui, Gustavo e Cláudia, respectivamente, os valores de R$ 31,68, R$ 42,24 e
R$ 4,08. Espera-se, portanto, que equacionamentos com a colocação de x como sendo
o valor da conta a ser paga por outra pessoa que não Gustavo produzam os mesmos
resultados finais para cada uma das três pessoas. De posse dessa conclusão, e tendo
montado as Tabelas 2 e 3, o aluno poderá investigar estratégias de resolução das
equações decorrentes dessas duas tabelas, em particular nos interessando as
estratégias de resolução da equação decorrente da Tabela 2, que é mais difícil do que
as outras. No caso da equação da Tabela 2, o aluno sabe que seu resultado final tem
de ser x = 4,08 e, com base nessa informação, deverá descobrir eventuais erros em
seu processo de resolução da equação se ele não tiver conduzido a esse valor. O erro
mais frequente, e que merece um comentário seu, professor, é: ao multiplicar por 4
os dois membros, o aluno escreve a equação 9(x + 10) + 12(4x + 40) + 4x = 312,
quando o correto seria 9(x + 10) + 12(x + 10) + 4x = 312 ou 9(x + 10) + 3(4x + 40) +
+ 4x = 312.
Uma boa estratégia que pode ser sistematizada ao final dessa discussão para evitar
erros como o mencionado é:
1. Aplicamos a propriedade distributiva eliminando parênteses.
2. Frações com o numerador escrito como soma ou subtração devem ser
transformadas em frações com numerador simples (apenas um número ou uma
letra, ou um número multiplicando uma letra).
3. Multiplicamos os dois membros (termo a termo) pelos denominadores das
frações ou, de forma mais direta, pelo MDC dos denominadores.
Nesse caso, a resolução corresponderia às seguintes etapas:
6
08,410225
312412012909)4
783034
90
4
9)3
783034
909)2
78)10(34
)10(9)1
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
6. Adotando-se o mesmo tipo de procedimento usado na resolução do problema
anterior, equacionaremos este problema utilizando tabelas.
Tabela 1
Idade Frequência
cardíaca máxima
18436
19228
363
16
23
)220(24
máx
máx
FCeanosBernardo
FCeanosenêR
x
xx
Renê
23
)220(24220
x
23
)220(24 x
Bernardo x 220 x
Tabela 2
Idade Frequência
cardíaca máxima
18436
19228
28
24
)220(23220.
3
16220
máx
máx
FCeanosBernardo
FCeanosenêR
x
xxx
Renê x 220 x
Bernardo 24
)220(23220
x
24
)220(23 x
7
Tabela 3
Idade
Frequência
cardíaca máxima
18436
19228
184
)220(3
16
23
24
máx
máx
FCeanosBernardo
FCeanosenêR
x
xx
Renê 23
24220
x
23
24x
Bernardo 220 x x
Tabela 4
Idade Frequência
cardíaca máxima
18436
19228
192
24
23220
3
16
máx
máx
FCeanosBernardo
FCeanosenêR
x
xxx
Renê 220 x x
Bernardo 24
23220
x
24
23x
Para a montagem das tabelas, é importante que o aluno compreenda inicialmente a
seguinte informação do enunciado: FCmáx = 220 I, onde FCmáx é a frequência
cardíaca máxima do indivíduo de idade I. Para compreender essa relação, alguns
exemplos podem ser úteis: um indivíduo de 20 anos tem frequência cardíaca máxima
200 porque 220 20 = 200. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca
máxima igual a 200 tem 20 anos de idade, porque 220 200 = 20. Um indivíduo de
30 anos tem frequência cardíaca máxima 190, porque 220 30 = 190.
Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 190 tem 30
anos de idade, porque 220 190 = 30. Segue que um indivíduo de idade I tem FC
máxima igual a 220 I, e um indivíduo de frequência cardíaca máxima FCmáx tem
idade I igual a 220 FCmáx.
Na Tabela 3, colocamos x na frequência cardíaca máxima de Bernardo, o que implica
dizer que sua idade será 220 x. Como a frequência cardíaca máxima de Renê é 23
24
8
da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será23
24x. Com base na FCmáx de Renê,
concluímos que sua idade tem de ser 23
24220
x . Note que o caminho feito para a
organização dos dados na Tabela 3 foi:
Para as Tabelas 1, 2 e 4, os caminhos foram:
Tendo em vista a resolução das equações decorrentes de cada uma das tabelas, é
importante, mais uma vez, destacar que o aluno deverá compreender que o valor de x
obtido em cada uma delas é diferente porque diz respeito a um dado diferente da
tabela, porém, as respostas finais sobre as idades e as frequências cardíacas máximas
de Renê e Bernardo devem ser iguais nas quatro tabelas, o que pode ser utilizado
como recurso para corrigir eventuais erros no procedimento de resolução das
equações.
Páginas 5 - 6
7.
a) Chamando a idade de Ana de A, temos:
idade de João = 2
.3 A e idade de Maria =
2
A.
b) Chamando de C e P o total de galinhas do galinheiro de Cláudio e Paula,
respectivamente, teremos C = P + 20.
c) Y = 12 –X, ou, de forma equivalente, X = 12–Y.
9
8.
a) Luiz tem 2 anos a mais que Pedro, sendo Y a idade de Luiz e X a de Pedro.
b) Lúcia gastou R$ 50,00 na compra de X mercadorias de R$ 2,00 e Y mercadorias
de R$ 3,00.
c) Érica tem 4 anos a mais do que dois terços da idade de sua prima Tarsila, sendo
X a idade de Érica e Y a de Tarsila.
9. Léo, Mário e Norberto receberão 25, 15 e 20 figurinhas, respectivamente.
Páginas 7 - 12
10.
a) Basta investigar as potências de 3 até encontrar alguma cuja soma com 1 resulte
82. A resposta é x = 4, porque 34 = 81.
b) O denominador da fração do primeiro membro tem de ser igual a –5 para que
faça a igualdade verdadeira com o segundo membro. Para que x + 1 seja igual a –5, x
tem de ser igual a –6.
c) Os números que quando elevados ao quadrado resultam 25 são 5 e –5. É
provável que os alunos encontrem apenas a resposta positiva, e que se surpreendam
com o fato de encontrar duas soluções para uma equação.
d) Tirando 2 de 51, resulta 49, o que implica dizer que procuramos um número cujo
quadrado seja 49. Resposta: 7 e –7.
e) –3 e 3 são os números cujo quadrado é 9, porém, como estamos elevando x + 1 ao
quadrado, procuramos x + 1 = –3 e x + 1 = 3, ou seja, x = –4 ou x = 2.
f) Não existe número real cujo quadrado seja negativo, portanto, a equação não
possui solução (em IR).
g) A metade de 8
9 é
16
9. Então, procuramos um número que elevado ao quadrado
resulte 16
9. Resposta:
4
3 e –
4
3.
h) Como 24 = 16, procuramos um número que somado a 1 dê 4, que é o número 3.
i) Análogo ao anterior, o x procurado é 0.
10
j) Se o produto de dois fatores é 0, um deles é 0 (ou ambos são 0). Segue, portanto,
que x é igual a –5 ou 3.
k) Análogo ao anterior, x pode ser 0, –1, –2 ou –3.
l) Não há valor de x que torne a igualdade verdadeira, portanto, essa é uma
equação “sem solução” (a solução é o conjunto vazio).
m) Como fração indica uma divisão, jamais poderemos ter uma fração de
numerador diferente de 0 que seja igual a 0. Portanto, essa é outra equação de
solução vazia.
n) Se uma fração é igual a 1, necessariamente seu numerador é igual a seu
denominador, o que implica dizer que estamos procurando o x que resolva a equação
x + 2 = 3x. Resposta: x = 1.
o) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.
p) Inicialmente, procuramos um número que quando elevado ao cubo resulte 64,
que é o número 4. Em seguida, a pergunta passa a ser: qual é o expoente de uma
potência de 2 para que o resultado seja 4? Resposta: 2. Esta atividade pode ser usada
para discutir ou recordar a propriedade (am)n = a m.n.
q) Análogo ao raciocínio das atividades j e k. Resposta: –2
1 e –1.
r) O quadrado de 25 é 625. Então, procuramos um número que somado a 3 resulte
625. Esse número é 622.
s) 3x tem de ser igual a 81 para que a fração seja equivalente a 1. O expoente que faz
3x ser igual a 81 é 4, que é a resposta da equação.
t) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.
u) Seja qual for o valor de x, x2 e x6 serão números não negativos, portanto, a
equação não possui solução (em IR).
v) Uma vez que os dois membros representam equações de denominador 41, temos
de ter 2x – 1 = –13, ou seja, x = –6.
w) –2 é um número que quando elevado ao cubo resulta –8 (nesta atividade você
pode comentar com os alunos que em um conjunto numérico a ser estudado no
futuro, a equação do problema terá outras duas soluções além do –2).
x) Analogamente ao l, ao m e ao u, o problema não tem solução (você deve
aproveitar esta atividade para discutir que x = 0 não é uma solução do problema).
11
y) Qualquer valor de x resolve a equação, portanto, é uma equação com infinitas
soluções.
Dependendo do interesse da classe, os seguintes comentários podem ser feitos por
você, professor, ao longo da correção desta atividade.
• As equações a, h, i, p, s, t e x recebem o nome de equações exponenciais. Você
consegue imaginar o porquê desse nome? Resposta: porque a incógnita se encontra
em um expoente.
• Na 1a série do Ensino Médio você vai aprender técnicas para resolver equações
exponenciais.
• As equações b, m, n e o recebem o nome de equações com frações algébricas.
Você consegue imaginar o porquê desse nome? Resposta: porque são equações
envolvendo frações escritas com incógnitas no denominador.
• Na 7a e na 8a séries você vai aprender técnicas para resolver equações com frações
algébricas.
• As equações c, d, e, f, g, j, k, l, q, u, v, w e y recebem o nome de equações
algébricas (ou equações polinomiais). O grau de uma equação algébrica é o maior
expoente que a incógnita assume quando a equação está escrita na forma mais
simples possível. As estratégias de resolução das equações algébricas de 1o grau
você começou a aprender na 6a série e continua aprendendo na 7a série. Na 8a série
você aprenderá técnicas para a resolução de equações algébricas de 2o grau. Na 3a
série do Ensino Médio você vai aprender técnicas para resolver algumas equações
algébricas de grau maior ou igual a 3.
• A equação r chama-se equação irracional (equação que possui a incógnita no
radicando).
• Professor, comente com seus alunos que, para sua surpresa deles, algumas equações
para as quais ele não encontrou solução têm uma ou mais respostas, mas para
encontrá-la(s) ele terá de expandir seus conhecimentos sobre conjuntos numéricos.
Por exemplo, as equações f e u têm soluções no conjunto numérico dos números
complexos, que você vai aprender na 3a série do Ensino Médio. A equação w, para a
qual ele só encontrou uma solução, possui mais duas soluções no conjunto dos
números complexos. Mas fique atento, existem equações que não possuem solução,
seja qual for o conjunto numérico assumido, ou seja, sua solução sempre será o
12
conjunto vazio. São exemplos de equações com conjunto solução vazio as de letra l,
m e x.
11.
a) 2(2x + 4 + x) + 2(x + x + 10 + x) 64 x 3 metros.
b) 2(2x + 4) + 2x + x + 10 + 2x < 2x + x +10
Resolvendo essa inequação obtemos 3
4x . Como x tem de ser um número
positivo por conta do contexto geométrico do problema, concluímos que não há
valores de x para os quais seja atendida a desigualdade proposta no problema.
Professor, sugerimos que esse problema seja utilizado para reforçar com os alunos a
ideia de verificação da resposta com o contexto do problema. Muitos problemas
matemáticos não possuem solução no domínio de validade, e é importante que o
aluno esteja atento a isso.
12.
a) Para x = 450, o processo antigo implica um custo de (1 000 1,5. 450) =
= R$ 325,00 por litro, e o novo, um custo de (940 1,4 . 450) = R$ 310,00 por litro.
Para x = 620, o processo antigo implica um custo de (1 000 1,5 . 620) = R$ 70,00
por litro, e o novo, um custo de (940 1,4 . 620) = R$ 72,00 por litro. Portanto, para
450 litros o custo por litro dado pela fórmula antiga é maior que o dado pela fórmula
nova e para 610 litros a situação se inverte.
b) Procura-se a solução da inequação 940 1,4x < 1 000 1,5x, que é x < 600.
Devemos ainda observar que, como x > 0, segue, portanto, que 0 < x < 600, com
x dado em litros.
13. Chamando de P o preço em reais para enviar x páginas, temos:
13
P = 3,4 + 2,6.(x 1).
Calcular o maior número de páginas possível para que o preço não ultrapasse
R$ 136,00 resume-se a resolver e interpretar a inequação 3,4 + 2,6.(x 1) 136,
com x inteiro. Resolvendo a inequação: 3,4 + 2,6x 2,6 136 x 52.
O maior número inteiro que é menor ou igual a 52 é o próprio 52, que é a resposta do
problema.
Páginas 12 - 13
14. Chamaremos de x o número de questões respondidas corretamente pelo candidato e
de 20 x o número de questões respondidas erradamente. Se P é o total de pontos
obtidos pelo candidato ao responder corretamente x questões, então a função que
modela o problema é P = 3x (20 x), com x sendo um número inteiro tal que
200 x .
O menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato totalize
um mínimo de 28 pontos será o menor inteiro que atende à inequação P 28.
Resolvendo:
3x (20 x) 28
3x 20 + x 28
4x 48
x 12.
Portanto, no mínimo ele deve acertar 12 questões, totalizando, nesse caso,
exatamente 28 pontos.
15.
a) Chamando-se de BA CC e cC o custo total dos planos A, B e C para x minutos
de uso, teremos:
.3025.2,1.2,1
4025.8,020.8,020
5,4725.5,035.5,035
CC
BB
AA
CxC
CxC
CxC
14
Portanto, para 25 minutos de uso, ABC CCC .
b) Queremos encontrar o menor valor de x para que CABA CCeCC .
50.8,020.5,035
xxx
CC BA
50.2,15,035
xxx
CC CA
Para qualquer valor de x maior que 50 minutos, o plano A será mais barato que os
planos B e C.
15
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANO
Página 14
1.
a) A Rua Miguel Carlos encontra-se na quadrícula de interseção entre a segunda
linha e a primeira coluna.
b) A Rua Vadico encontra-se na casa C4, ou seja, no cruzamento da terceira linha
com a 4a coluna.
Página 15
2. Resposta pessoal. Você poderá mostrar no guia a localização e as coordenadas da
escola.
Páginas 15 - 17
3.
a) Resposta em aberto. A ideia é compartilhar as diferentes estratégias adotadas
pelos alunos e verificar se eles adotaram algum tipo de ponto de referência para a
localização.
b) Se tomarmos como ponto de referência o canto superior esquerdo da cozinha,
então o ralo encontra-se a 3,2 metros na direção horizontal e a 0,7 metros na direção
vertical.
16
c) Resposta pessoal. Você deve verificar se o aluno deu as coordenadas corretas em
relação ao ponto de referência escolhido.
4.
a) As coordenadas dos vértices do triângulo EFG são:
E (–2; 1), F (–8; 5) e G (–8; 1).
As do retângulo HIJK são H (0; –1), I (–6; –1), J (–6; –4), K (0; –4).
As do triângulo LMN são L (6; 0), M (0; –6) e N (4; –6).
b) Os pontos A e L possuem abscissa 6. Os pontos B, D e N possuem abscissa 4.
Os pontos H, K e M possuem abscissa 0. Os pontos I e J possuem abscissa –6. Os
pontos F e G possuem abscissa –8.
c) Somente o ponto L possui ordenada igual a 0.
d) O vértice H (0; –1).
e) O vértice F (–8; 5).
f) Os vértices I (–6; –1) e J (–6; –4).
g) Os vértices E (–2; 1), F (–8; 5) e G (–8; 1).
17
h) Quadrado ABCD: 8 / Triângulo EFG: 12 / Retângulo HIJK: 18 / Triângulo
LMN: 12.
Página 18 - 19
5.
I
-10
10
10
-5
-5
5
5
A
B
C
D
EF
G
J
K L
M
H N
O
P
Q
6.
a) Os vértices N (7; 0), H (–7; 0) e I (–10; 0).
b) As coordenadas y (ordenadas) valem 0.
c) Os vértices P (7; –6) e Q (5; –3).
d) O vértice O (0; –3).
e) O vértice J (–12; –3).
f) 10 unidades.
18
Páginas 19 - 21
7. 1o quadrante: B, G / 2o quadrante: E / 3o quadrante: C, F / 4o quadrante: A, D.
8. Jogo da batalha naval matemática: você, professor, deve acompanhar os jogos das
duplas para verificar se os alunos estão conseguindo utilizar corretamente as
coordenadas, principalmente no que se refere aos sinais e aos quadrantes.
Páginas 22 - 24
9. I. Translação horizontal: x + 7.
II. Translação vertical: y – 5.
III. Translação horizontal: x – 10.
IV. Translação combinada: (x + 4; y – 3).
10.
a)
y
x
A
B
C
A'
B'
C'
A''
B''
C''
A'''
B'''
C'''
19
b)
AABBCC
(x; y)
AA’’BB’’CC’’
(x – 6; y)
AA’’’’BB’’’’CC’’’’
(x; y – 10)
AA””’’BB””’’CC””’’
(x + 8; y + 2)
AA (3; 2) AA’’ (–3; 2) AA”” (–3; –8) AA””’’ (5; –6)
BB (7; 3) BB’’ (1; 3) BB”” (1; –7) BB””’’ (9; –5)
CC (4; 5) CC’’ (–2; 5) CC”” (–2; –5) CC””’’ (6; –3)
c) Na translação horizontal, a coordenada x se altera, e a y permanece igual.
d) Na translação vertical, a coordenada y se altera, mas a x permanece igual.
Página 24
11. Resolução pessoal. Verifique se as coordenadas escolhidas estão contidas no plano
cartesiano fornecido na atividade e se as translações realizadas mantêm o polígono
dentro do plano.
Páginas 25 - 27
12.
a)
y
x5-5
5
-5
A
D
C
B
A'
D'
C'
B'
A''
D''
C''
B''
A'''
D'''
C'''
B'''
20
b)
AABBCCDD
(x; y)
AA’’BB’’CC’’DD’’
(–x; y)
AA””BB””CC””DD””
(x; –y)
AA’’””BB’’””CC’’””DD’’””
( – x; y )
AA (2; 2) AA’’ (–2; 2) AA”” (–2; –2) AA’’”” (2; –2)
BB (6; 3) BB’’ (–6; 3) BB”” (–6; –3) BB’’”” (6; –3)
CC (2; 4) CC’’ (–2; 4) CC”” (–2; –4) CC’’”” (2; –4)
DD (4; 3) DD’’ (–4; 3) DD”” (–4; –3) DD’’”” (4; –3)
c) A coordenada x troca de sinal e a y permanece igual.
d) Ocorre o oposto. A coordenada y troca de sinal, e a x permanece igual.
e) Ele voltará à posição inicial do quadrilátero ABCD.
Páginas 27 - 28
13.
a)
MMNNOO
(x; y)
MM’’NN’’OO’’
(–x; y)
MM””NN””OO””
(x; –y)
MM””’’NN””’’OO””’’
(x – 6; y + 4)
MM (–4; 5) MM’’ (4; 5) MM”” (4; –5) MM””’’ (–2; –1)
NN (2; 1) NN’’ (–2; 1) NN”” (–2; –1) NN””’’ (–8; 3)
OO (–2; 7) OO’’ (2; 7) OO”” (2; –7) OO””’’ (–4; –3)
21
b)
y
x5-5-10
5
-5
O
M
N
O'
M'
N'
O''
M''
N''
O'''
M'''
N'''
14. Você já aprendeu que, quando somamos ou subtraímos um mesmo número das
coordenadas x e/ou y dos pontos de uma figura, o movimento decorrente é uma
translação. Quando trocamos o sinal da coordenada x de um ponto, o movimento é
chamado de reflexão horizontal. E, quando trocamos o sinal da coordenada y, o
movimento decorrente é uma reflexão vertical.
22
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Páginas 30 - 32
1.
a) Professor, neste caso consideraremos apenas as idades em anos inteiros. Adiante,
na atividade 3, passaremos a incluir soluções racionais. Sim, o problema tem mais de
uma solução, pois existem várias combinações de números que somados resultam 28.
b) Transcrevendo o problema para a linguagem algébrica, temos que x + y = 28.
c) Se considerarmos apenas as idades completas de João e Maria (números naturais
entre 1 e 28), teremos as possibilidades de solução mostradas na tabela a seguir:
João (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Maria (y) 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
João (x) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Maria (y) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
A tabela mostra que são possíveis 27 pares de solução.
d) Observando a tabela, há um único par de valores que soluciona o problema:
x = 16 e y = 12. Portanto, o problema passou a ter uma solução determinada. A idade
de João é 16 anos, e a de Maria, 12 anos.
e) Essa nova informação pode ser escrita algebricamente como x = y + 4. Ou,
ainda, de forma equivalente, como x – y = 4, pois a diferença de idade entre João e
Maria é de 4 anos.
f) A 1a equação é x + y = 28. Substituindo os valores de x, obtemos uma sentença
verdadeira: 16 + 12 = 28. O mesmo ocorre com a 2a equação, x – y = 4 . 16 – 12 = 4.
23
2.
a) O único par de valores que satisfaz essa nova condição é 21 e 7. Portanto, João
teria 21 anos, e Maria, 7 anos.
b) Neste caso, observando a tabela, não há nenhum par de valores inteiros que
satisfaça essa condição. Ou seja, dentro do contexto inicial, o problema não possui
solução. A não ser que considerássemos as idades não inteiras. Isso tornaria inviável
a solução via tabela, pois existiriam infinitos pares que satisfazem a primeira
equação.
3.
• Soma das idades de João e Maria é 28: x + y = 28
• A idade de Maria é o dobro da de João: y = 2x
a) Partindo da equação inicial x + y = 28 e sabendo que a idade de Maria é o dobro
da idade de João, podemos substituir o valor de y por 2x, obtendo uma equação com
apenas uma incógnita: x + 2x = 28
b)
x + 2x = 28
3x = 28
x = 3
28
x = 3
19 . Como y = 2x, então, y =
3
218
c) Não, pois as idades devem ser completas, o que significa que a resposta deve ser
um número inteiro.
d) Dessa forma, dentro do contexto dos números racionais, descobrimos
algebricamente que João tinha 9 anos e 4 meses (3
19 ), e Maria, 18 anos e 8 meses
(3
218 ).
24
Páginas 33 - 34
4. As equações do problema são 2x + 3y = 18 e x = 3y, sendo x o preço do sanduíche, e
y, o do suco.
O suco custa R$ 2,00, e o sanduíche, R$ 6,00. Esse problema pode ser resolvido
tanto por raciocínio aritmético quanto por meio de equação.
5. As equações do problema são x – y = 42 e x = 2y + 5.
Os números que satisfazem o problema são 37 e 79.
6. As equações do problema são: x + y = 72 e y = 2
x.
O mais velho tinha 48 anos, e você, 24.
Páginas 34 - 35
7.
a) x + y = 2 500 e x = y + 500.
b) (y + 500) + y = 2 500 e 2y + 500 – 500 = 2500 – 500.
c) 2y = 2 000.
y = 1 000
Como x = y + 500, então x = 1 500.
8. Resposta pessoal. Um enunciado possível seria: Descubra o peso de dois objetos x e
y sabendo que juntos eles pesam 2 500 gramas e que um deles é 500 gramas mais
pesado que o outro.
9. Resposta pessoal. A explicação deve mencionar o processo de isolar uma das
incógnitas em uma das equações (escrever x em função de y ou vice-versa) e a
substituição da expressão encontrada na outra equação.
25
Observação: alguns alunos podem ter dificuldade para expressar algumas etapas do
processo. Talvez seja necessário introduzir algumas expressões, tais como: isolar
uma incógnita; escrever x em função de y, etc.
Página 36
10.
a) A solução do sistema é x = 1 e y = 2.
b) A solução do sistema é x = 2 e y = –1.
Páginas 36 - 38
11.
a) Chamando o sanduíche de x e o refrigerante de y, obtemos a equação
2x + y = 6,60.
b) Equivalente à equação x + y = 4,10.
c) Subtraindo o consumo de Júlia do consumo de André, restará apenas um
sanduíche. Portanto, subtraindo os valores pagos, a diferença obtida, R$ 2,50, é o
preço do sanduíche.
d) Se um sanduíche custa R$ 2,50 e Júlia gastou R$ 4,10, então o preço do
refrigerante é o valor que falta: R$ 1,60.
e)
60,1
10,450,2
50,2
10,460,6 2
10,4
60,62
y
y
x
yyxx
yx
yx
26
12.
a) A solução do sistema é x = 3 e y = –1.
b) A solução do sistema é x = 3 e y = 3
7.
c) A solução do sistema é x = –2 e y = 0.
d) A solução do sistema é x = 2 e y = –5.
Páginas 38 - 39
13. Resolvendo o sistema, obtemos x = 47 e y = 31.
14.
a) 40 . 4 – 10 . 1 = 150.
Se ele acertar 40, significa que ele errou 10. Portanto, sua pontuação será de 150
pontos.
b) x + y = 50, onde x representa o número de acertos e y o número de erros.
c) 4x – y = P, onde P representa a pontuação obtida.
d) O aluno acertou 32 questões e errou 18.
Páginas 39 - 43
15.
a) x = 2 e y = –3. b) x = –4 e y = 1.
c) x = 2
3 e y = –1. d) x = 5 e y = 2.
16.
a) Traduzindo em linguagem algébrica, escrevemos as equações I e II:
)(4
)(12
IIyx
Iyx
27
b) Para cada equação, constroem-se as tabelas com os valores de x e y
considerando o domínio dado pelo problema, isto é, valores entre 1 e 11. Vamos
considerar também, sem perda de generalidade, que x é maior que y.
xx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
yy 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
xx ++ yy 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
xx 5 6 7 8 9 10 11
yy 1 2 3 4 5 6 7
xx –– yy 4 4 4 4 4 4 4
c) Sim, o par x = 8 e y = 4.
d)
e) O ponto em comum aos dois gráficos (8, 4) é a solução do sistema.
f) Não, pois o problema trata de números inteiros. A representação por meio de
uma reta implicaria considerar todos os pontos intermediários entre os pares de
solução de cada equação, incluindo números racionais e irracionais.
28
17.
a)
xx ++ yy == 66
xx –– yy == 11
xx yy
xx yy
1 5 2 1
2 4 3 2
3 3 4 3
b)
c) Sim, pois os valores de x e y podem não ser inteiros.
d) O ponto de interseção é (3,5; 2,5), cujas coordenadas correspondem à solução do
problema inicial: 3,5 + 2,5 = 6 e 3,5 – 2,5 = 1.
e)
1
6
yx
yx
A solução desse sistema (x = 3,5 e y = 2,5) corresponde às coordenadas do ponto de
interseção.
29
Páginas 43 - 45
18.
a)
22xx ++ yy == 66 xx –– yy == –– 33
xx yy xx yy
0 6 0 3
3 0 –3 0
A solução do sistema é x = 1 e y = 4.
b)
xx –– 22yy == –– 22 xx ++ yy == –– 55
xx yy xx yy
0 1 0 –5
–2 0 –5 0
A solução do sistema é x = –4 e y = –1.
30
Páginas 46 - 49
19.
a) Sistema possível e determinado.
b) Sistema impossível.
c) Sistema possível e indeterminado.
d) Sistema possível e determinado.
20.
a)
3 3
9 3
6
32
yx
x
yx
yx
22xx ++ yy == 33 xx –– yy == 66
xx yy xx yy
0 3 0 –6
1,5 0 6 0
Sistema possível e determinado.
31
b) Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos outra equação cujos termos são os
opostos da 2a equação.
000
624
624
yx
yx
yx
O resultado é indeterminado.
22xx ++ yy == 33 44xx ++ 22yy== 66
xx yy xx yy
0 3 0 3
1,5 0 1,5 0
O sistema é possível e indeterminado.
c) Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos uma equação em que os coeficientes das
incógnitas são opostos, mas o termo independente não.
400
1024
624
yx
yx
yx
32
O resultado obtido, 0x + 0y = 4, não possui solução, pois quaisquer que sejam os
valores de x e y, o lado esquerdo da equação será sempre igual a 0, enquanto o direito
vale 4. Assim, a sentença obtida é falsa, pois 0 ≠ 4. Em termos gráficos, as duas
equações seriam representadas como mostra a figura.
22xx ++ yy == 33 44xx ++ 22yy == 1100
xx yy xx yy
0 3 0 5
1,5 0 2,5 0
O sistema é impossível.
33
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
EQUAÇÕES COM SOLUÇÕES INTEIRAS E SUAS APLICAÇÕES
Páginas 52 - 53
1.
LLiinnhhaa NNúúmmeerroo ddee ffiillaass ccoomm 33 ôônniibbuuss ((tt))
NNúúmmeerroo ddee ffiillaass ccoomm 55 ôônniibbuuss ((cc))
TToottaall ddee ôônniibbuuss
((33tt ++ 55cc))
1 0 0 0
2 0 1 5
3 0 2 10
4 0 3 15
5 1 0 3
6 2 0 6
7 3 0 9
8 4 0 12
9 5 0 15
10 1 2 13
2. Inicialmente fixamos t = 0 e variamos o valor de c, o que nos permite observar que
não há solução para o problema quando t = 0, porque a soma 3t + 5c sempre será um
múltiplo de 5 (lembramos que queremos 3t + 5c = 13). Note que não fizemos mais
do que quatro linhas na tabela com t = 0 por dois motivos: em primeiro lugar, pode-
se observar com facilidade que 3t + 5c será sempre múltiplo de 5, o que não nos
fornece solução para o problema e, em segundo lugar, na quarta linha já atingimos
soma maior do que os 13 ônibus possíveis do problema.
34
Da 5a linha até a 9a fizemos o mesmo tipo de análise, só que agora com c = 0.
Também concluímos, nesse caso, que não há solução possível com c = 0.
Com os valores possíveis de 3t e de 5c listados na última coluna da tabela, nos
interessa agora procurar somas de dois deles que totalizem 13. No caso do problema,
a única soma que totaliza 13 é 10 + 3. Segue, portanto, que a única solução do
problema é 3 . 1 + 5 . 2 = 13, ou seja, (t, c) = (1, 2).
3.
LLiinnhhaa NNúúmmeerroo ddee ppaarreess ddee
ttiimmeess ddee vvôôlleeii ((vv))
NNúúmmeerroo ddee ppaarreess ddee ttiimmeess ddee bbaassqquueettee ((bb))
TToottaall ddee aalluunnooss ((1122vv ++ 1100bb))
1 0 0 0
2 0 1 10
3 0 2 20
4 0 3 30
5 0 4 40
6 0 5 50
7 0 6 60
8 0 7 70
9 0 8 80
10 1 0 12
11 2 0 24
12 3 0 36
13 4 0 48
14 5 0 60
15 6 0 72
16 5 2 80
35
4. Com as nove primeiras linhas da tabela, descobrimos uma solução do problema, que
é v = 0 e b = 8. Note que o padrão seguido nas nove primeiras linhas não foi
continuado porque na nona linha já se atingiu 80, que é o número de alunos da escola
na primeira situação proposta no enunciado do problema. Da 10a à 15a linha,
identificamos que não há solução quando b = 0. O padrão com b = 0 não prosseguiu
para além da 15a linha porque na linha seguinte já ultrapassaríamos 80 alunos. Por
fim, buscando combinações de resultados da última coluna cuja soma seja 80,
encontraremos mais uma solução para o problema, que é v = 5 e b = 2. Esse
problema apresenta, portanto, as seguintes soluções do tipo (v, b): (0, 8) e (5, 2).
Página 54
5. Com o uso de uma tabela, é possível encontrar as 27 soluções do problema, que são
os seguintes pares (x,y):
(130,2), (125,5), (120,8), (115,11), (110,14), (105,17), (100,20), (95,23), (90,26),
(85,29), (80,32), (75,35), (70,38), (65,41), (60,44), (55,47), (50,50), (45,53), (40,56),
(35,59), (30,62), (25,65), (20,68), (15,71), (10,74), (5,77), (0,80).
6. Utilizando uma tabela, encontramos as seguintes soluções (x, y, z):
(0, 1, 2), (0, 3, 1), (0, 5, 0), (5, 1, 1), (5, 3, 0), (10, 1, 0).
Desafio!
Página 55
7. Utilizando uma tabela, encontraremos as 91 soluções (a, b, c):
(0,0,10), (0,2,9), (0,4,8), (0,6,7), (0,8,6), (0,10,5), (0,12,4), (0,14,3), (0,16,2), (0,18,1), (0,20,0)
(10,19,0), (10,17,1), (10,15,2), (10,13,3), (10,11,4), (10,9,5), (10,7,6), (10,5,7), (10,3,8), (10,1,9)
(20,18,0), (20,16,1), (20,14,2), (20,12,3), (20,10,4), (20,8,5), (20,6,6), (20,4,7), (20,2,8), (20,0,9)
(30,17,0), (30,15,1), (30,13,2), ... , (30,3,7), (30,1,8)
(40,16,0), (40,14,1), ... , (40,0,8)
36
(50,15,0), (50,13,1), ... , (50,1,7)
(60,14,0), (60,12,1), ... , (60,0,7)
(70,13,0), (70,11,1), ... , (70,1,6)
(80,12,0), (80,10,1), ... , (80,0,6)
(90,11,0), (90,9,1), ... , (90,1,5)
(100,10,0), (100,8,1), ... , (100,0,5)
Observe que a tabela tem uma série de regularidades que, uma vez identificadas,
facilitam a generalização das triplas ordenadas. Por exemplo, as primeiras 11 triplas,
que começam com a = 0, têm soma b + c iniciando em 10 e aumentando sempre uma
unidade. Nas demais sequências de triplas (conforme organizamos acima), a será um
múltiplo de 10, b será igual a 19, 18, 17,... , 10 (reduzindo sempre duas unidades para a
tripla seguinte) e c será igual a 0, 1, 2,... (terminando em 9, 8, 7, 6 ou 5, dependendo da
sequência).
Página 55
8. O texto a seguir o ajudará a enriquecer sua aula na apresentação de Diofanto de
Alexandria.
Diofanto viveu por volta do ano 250 d.C. e foi um matemático de trabalhos
extremamente originais para sua época. A principal obra de Diofanto, chamada
Arithmetica, consta ter sido escrita em 13 livros, dos quais apenas os seis primeiros
chegaram até nós. Alguns consideram Diofanto o pai da Álgebra devido ao fato de
ele ter introduzido em seu trabalho a ideia de equação algébrica expressa por
símbolos. Na solução de sistemas de equações, Diofanto manipulava um único
símbolo para representar as incógnitas e chegava às respostas, comumente, pelo
método de tentativa, que consiste em assumir para alguma das incógnitas um valor
preliminar que satisfaça algumas condições. Esses valores preliminares conduziam a
expressões erradas, mas que geralmente sugeriam alguma estratégia pela qual valores
podiam ser obtidos de forma a atender a todas as condições do problema. Na coleção
37
de 150 problemas que compõem sua obra, fica claro que o tratamento dado por
Diofanto não é o da axiomatização, e raramente ele apresenta generalizações. Não há
uma distinção clara no tratado de Diofanto entre equações determinadas e
indeterminadas e, quando ele se ocupava desse segundo grupo, geralmente
contentava-se em encontrar uma solução, e não todo o conjunto de soluções.
Muitos dos problemas resolvidos por Diofanto eram da determinação de soluções
inteiras (ou racionais) em equações com mais de uma incógnita, fato pelo qual esse
tipo de assunto, que investigamos na Situação de Aprendizagem 4, é conhecido por
muitos na Matemática como equações diofantinas. Veremos a seguir (em notação
moderna) um problema resolvido por Diofanto para ilustrar sua forma de pensar a
Matemática.
“Determine dois números tais que cada um somado com o quadrado do outro forneça
um quadrado perfeito.”
Como Diofanto tentava sempre escrever os problemas usando apenas uma incógnita,
em vez de chamar os números de x e y, chamou-os de x e 2x + 1. Note que, nesse
caso, ao somarmos o segundo com o quadrado do primeiro, necessariamente teremos
um quadrado perfeito, porque 2x + 1 + x² é igual a (x + 1)². Na sequência, exige-se
que o primeiro somado com o quadrado do segundo seja um quadrado perfeito, ou
seja, que x + (2x + 1)² seja um quadrado perfeito. Diofanto escolhe um quadrado
perfeito particular, que é (2x 2)², para igualar à expressão x + (2x + 1)², de onde
decorrerá uma equação linear em x, como veremos a seguir:
x + (2x + 1)² = (2x 2)² x + 4x² + 4x + 1 = 4x² 8x + 4 x =13
3. Segue,
portanto, que um dos números é 13
3 e o outro, dado por 2x + 1, é
13
19.
Note que no lugar de (2x 2)² poderíamos ter usado (2x 3)² ou (2x 4)² ou outras
expressões semelhantes, o que resultaria em outros pares de respostas que atendem à
condição do enunciado do problema, mas Diofanto se contentava em encontrar uma
solução para o problema.
Como curiosidade final, citamos um trecho (em linguagem moderna) retirado de uma
obra datada do século V ou VI d.C., chamada Antologia Grega, em que
supostamente se revela com quantos anos Diofanto morreu:
38
“Diofanto passou 6
1 de sua vida na infância,
12
1 na juventude,
7
1 como solteiro; 5
anos depois de casado, nasceu seu filho, que morreu com metade da idade que
Diofanto viveu, 4 anos antes de sua própria morte.”
Equacionando o problema, descobriremos a suposta idade com que Diofanto morreu:
.8442
57126
anosxxxxxx
AJUSTES
Caderno do Professor de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 3
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
40
5. Podemos operar com as equações dadas
para resolver o problema do item anterior.
Partindo da equação inicial x + y = 28 e sa-
bendo que a idade de Maria é o dobro da de
João, podemos substituir o valor de y por 2x,
obtendo uma equação com apenas uma incóg-
nita: x + 2x = 28 ou 3x = 28, portanto x = 28
3
ou x = 9,333... ou 9 1
3. Como y = 2x, então
y = 18 2
3. Dessa forma, dentro do contexto
dos números racionais, descobrimos algebrica-
mente que João tinha 9 anos e 4 meses, e Maria
18 anos e 8 meses.
a) Primeira medida: os dois objetos pesam,
conjuntamente, 2 500 gramas.
Em linguagem algébrica, x + y = 2 500
Ao substituir o valor de uma incógnita pela expressão equivalente em termos da ou-tra incógnita, obtivemos uma equação com apenas uma incógnita, tornando possível determinar sua solução. Essa forma de reso-lução é chamada de método da substituição, que será discutido a seguir.
Atividade 2 – As balanças e o método da substituição
Uma forma de introduzir o método da
substituição com significado é por meio
de uma analogia com a balança de pratos.
Vamos explorar a seguir um exemplo de proble-
ma que pode ser resolvido tanto por meio das
balanças como algebricamente pelo método
da substituição.
1. Precisamos descobrir o peso de dois obje-
tos, convenientemente denominados x e y.
Para isso, foram realizadas as seguintes
medidas em uma balança de pratos:
b) Segunda medida: o objeto x pesa o mesmo
que o objeto y mais 500 gramas.
Em linguagem algébrica, x = y + 500
c) Substituição: trocamos o objeto x pelo
seu equivalente, y mais 500 gramas. Em
seguida, tiramos 500 gramas de cada
lado, mantendo a equivalência.
Em linguagem algébrica, (y + 500) + y = 2 500,
ou y + y – 500 = 2 500 – 500
x y 500g
x y
2 000g
500g
x y
y
2 000g
500g
500g
