ВИСШЕ СТРОИТЕЛНО УЧИЛИЩЕ “ЛЮБЕН КАРАВЕЛОВ” – СОФИЯ

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ КОНКУРСНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА

16. 07. 2011 г.

ВTOРИ ВАРИАНТ

ЗАДАЧА 1: а) Да се реши уравнението 721 +=+ xx .

б) Да се реши уравнението . 033.79.4 =+− xx

в) Да се реши системата 2

222 =+

=+

xyyxyx

.

Решение: а) (3 точки) ДМ: 07

02≥+

≥x

x, т.е. );0[ +∞∈x .

След повдигане на квадрат, уравнението приема вида 72221 +=++ xxx , откъдето

получаваме xx −= 622 . Последното уравнение е еквивалентно на 21236806

xxxx

+−=

≥−.

Следователно, и . Оттук намираме . И така,

решението е .

]6;0[∈x 036202 =+− xx⎩⎨⎧

∈=∉=

]6;0[2]6;0[18

2

1

xx

2=x

б) (2 точки) Полагаме ) и получаваме уравнението , чиито

корени са

0(3 >= tt x 0374 2 =+− tt

⎪⎩

⎪⎨⎧

>=

>=

043

01

2

1

t

t. Следователно,

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

43log

0

433

13

32

1

x

x

x

x

са решенията.

в) (2 точки) Системата е еквивалентна на

1)2(2

22.2

2)(2

=−−=

⇔==+

⇔=+

=+xx

xyxy

yxyxxy

yx, откъдето получаваме

11

==

yx

.

ЗАДАЧА 2: а) Да се намерят стойностите на реалния параметър p , за които уравнението

има два различни коренa по-малки от 1. 0)13(2 =++− pxpx

б) Да се реши уравнението 2

sin2

cos2sin 22 xxx −= .

Решение: а) (2,5 точки) Уравнението има два различни коренa по-малки от 1, тогава и само

тогава когато

12

00)1(

<−

>>

ab

Daf

. От уравнението намираме pppf 2131)1( −=+−−= ;

1294)13( 22 ++=−+= ppppD ; 2

132

+=−

pa

b . Следователно, системата добива вида

12

130129

022

<+

>++

>−

ppp

p. Тъй като дискриминантата на квадратния тричлен е

отрицателна и коефициентът пред е положителен, неравенството е в

сила за всяко p. Тогава, системата се свежда до

1

0

29 2 ++ pp

2p 129 2 >++ pp

310

<

<

p

p, откъдето )0;(−∞∈p .

б) (1,5 точки) Уравнението е еквивалентно на , т.е.

. Следователно,

xxx coscos.sin.2 =

0)1sin.2(cos =−xx 0cos =x , т.е. 2

x k , k Zπ π= + ∈ или 21sin =x , т.е.

265 26

x k , k Z

x k , k Z

ππ

π π

⎧ = + ∈⎪⎪⎨⎪ = + ∈⎪⎩

.

ЗАДАЧА 3: Даден е трапец ABCD (AB||CD), за който 13,, +==⊥ BCCDADADAB и

. През точка D е построена права, успоредна на BC, която пресича AC в точка M.

Да се намери периметърът на .

°=∠ 60ABC

CDMΔ

Решение: (4 точки)

От CDADADCD =⊥ и следва, че . От

AB||CD и DM||CB следва, че

°=∠ 45ACD

°=∠=∠ 60ABCCDМ . Тогава

°=∠ 75DMC . Построяваме ABCH ⊥ , ABH ∈ . От CHBΔ

получаваме 3sin60° ( 3 1)2

CH CB.= = + .

Тогава, )13(23

+=== CHADCD . От CDMΔ имаме °

=°

=° 60sin45sin75sin

CMDMCD .

Пресмятаме 2sin75 sin(30° 45°) sin30° cos45° cos30° sin45 ( 3 1)4

. . °° = + = + = + .

Тогава 3=DM , 2

23=CM . Следователно, периметърът на CDMΔ е )321(

23

++ .

ЗАДАЧА 4: Основата на пирамида е ромб със страна c, две от околните й стени са

перпендикулярни на равнината на основата и сключват помежду си ъгъл °> 90β , а другите

две околни стени сключват с равнината на основата ъгъл с големина α . Да се намерят:

а) лицето на околната повърхнина на пирамидата;

б) обемът на пирамидата.

Решение: а) (4 точки)

Нека пирамидата е MABCD, стените (MAD) и (MDC) са перпендикулярни на равнината на основата. Тогава пресечницата им MD е перпендикулярна на основата, в частност

ADMD ⊥ , DCMD ⊥ . Следователно, ADC∠ е линейният ъгъл на двустенния

ъгъл между стените (MAD) и (MDC). Построяваме BC,DP ⊥ . Тъй като DP е ортогоналната проекция на MP върху равнината (ABCD), то по теоремата за трите перпендикуляра следва, че

BCP∈

BCMP ⊥ . Следователно MPD∠ е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнините (MBC) и (ABCD). Тогава, α=∠MPD . Аналогично, построяваме и ABQAB, DQ ∈⊥

α=∠MQD . От правоъгълния триъгълник DPC намираме ββ .sin)-sin(180 cDC.DP =°= . От правоъгълния триъгълник MDP получаваме αβα .tgsin. .tg cDPDM == ,

αβ

α c. DPMP

cossin

cos== . Тъй като CDMADM Δ≅Δ и CBMABM Δ≅Δ , то

αβ tg.sin.21.

21 2cDMADSS CDMADM === ,

αβ

cossin.

21.

21 2cMPBCSS CBMABM === .

Следователно, лицето на околната повърхнина на пирамидата е α

αβcos

1sin.sin.2 += cS .

б) (1 точка) Обемът на пирамидата е 3

21 1 sin .tg3 3 3ABCD

cV S .MD BC.DP.MD β α= = = .

Оценката се образува по формулата

Оценка = 2 + 0,2 К,

където К е сумата на получените точки.