Bab 2. Distribusi Binomial, Poisson, dan Gauss

A. Distribusi Binomial

Koin

Percobaan pelemparan 1 koin

Ruang sampel yang muncul yaitu S = {A, G}

terdapat 2 hasil titik sampel (21) yang sama-sama mungkin

yaitu A = Angka dan G = Garuda,

sehingga peluang muncul 1 Angka (1A) yaitu p = P(1A) = ½

dan peluang tidak muncul Angka (0A) pada yaitu q = P(0A) = ½.

p dan q merupakan peluang basis koin mendapatkan salah satu sisi koin serta

jumlah total peluang = 1

Percobaan pelemparan 2 koin secara bersamaan.

Ruang sampel yang muncul yaitu S = {AA, AG, GA, GG}

terdapat 4 hasil titik sampel (22) yang sama-sama mungkin,

sehingga peluang muncul 2 Angka (2A) yaitu P(2A) = ¼,

peluang muncul 1 Angka (1A) yaitu P(1A) = ½

dan peluang tidak muncul Angka (0A) pada yaitu P(0A) = ¼

serta jumlah total peluang = 1

Percobaan pelemparan 3 koin secara bersamaan.

Ruang sampel yaitu S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

terdapat 4 hasil titik sampel (23) yang sama-sama mungkin,

sehingga peluang muncul 3 Angka (3A) yaitu P(3A) = 1/8,

peluang muncul 2 Angka (2A) yaitu P(2A) = 3/8,

peluang muncul 1 Angka (1A) yaitu P(1A) = 3/8

dan peluang tidak muncul Angka (0A) yaitu P(0A) = 1/8

serta jumlah total peluang = 1

Jika dirumuskan untuk pelemparan 3 koin secara bersamaan, maka

p = ½ , q = ½ , dan N = 3 (peluang muncul jumlah Angka = A)

A = 3 → 1

P(3A)8

→

3 0 3 3 31 1 3! 1 1

12 2 3! 3 3 ! 2 2

A = 2 → 3

P(2A)8

→

2 1 2 3 21 1 3! 1 1

32 2 2! 3 2 ! 2 2

A = 1 → 3

P(1A)8

→

1 2 1 3 11 1 3! 1 1

32 2 1! 3 1 ! 2 2

A = 0 → 1

P(0A)8

→

0 3 0 3 01 1 3! 1 1

12 2 0! 3 0 ! 2 2

dari perumusan di atas, maka secara umum penentuan peluang muncul jumlah

Angka P(A) pada pelemparan beberapa koin (N) secara serempak yaitu

N A

A N A A N AN!P A p q C p q

A! N A !

N AC = kombinasi

Karena p dan q merupakan peluang muncul dan tidak muncul yang berupa 2

kesatuan dengan total peluang 1, maka persamaan di atas disebut persamaan

distribusi Binomial.

Contoh : Grafik distribusi antara peluang muncul jumlah Angka P(A) versus

jumlah Angka yang muncul (A) pada pelemparan 4 koin secara serentak adalah

sebagai berikut

p = ½ , q = ½ , dan N = 4

4 4 44! 1 1 1

P 44! 4 4 ! 2 2 16

3 4 34! 1 1 4

P 33! 4 3 ! 2 2 16

2 4 24! 1 1 6

P 22! 4 2 ! 2 2 16

1 4 14! 1 1 4

P 11! 4 1 ! 2 2 16

0 4 04! 1 1 1

P 00! 4 0 ! 2 2 16

Jika x merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi peluang P(x), maka nilai

ekspektasi x yaitu :

N N N

x=0 x=0 x=0

x 1 N xx N x xN N 1 !p p qN!

Ex μ x P x x p qx! N x ! x x 1 ! N x !

b

a=0

a b a b! p qEx μ Np Np

a! b a !

di mana

b

a=0

a b a b! p q1

a! b a !

Limas Segitiga sama sisi

Percobaan pelemparan 1 limas segitiga sama sisi (A, B, C, D)

Ruang sampel yang muncul yaitu S = {A, B, C, D}

terdapat 4 hasil titik sampel (41) yang sama-sama mungkin muncul sebagai sisi

yang berada pada posisi di bawah atau pada sisi dasar limas segitiga.

yaitu A = sisi A, B = sisi B, C = sisi C, dan D = sisi D,

sehingga peluang muncul sisi A (1A) yaitu p = P(1A) = ¼

dan peluang tidak muncul sisi A (0A) yaitu q = P(0A) = ¾

p dan q merupakan peluang basis limas segitiga sama sisi mendapatkan salah satu

sisi limas segitiga yang menghadap ke bawah, serta jumlah total peluang = 1

Percobaan pelemparan 2 limas segitiga sama sisi secara bersamaan.

Ruang sampel yang muncul yaitu

S = {AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, BA, CC, CD, CA, CB, DD, DA, DB, DC}

terdapat 16 hasil titik sampel (42) yang sama-sama mungkin,

sehingga peluang muncul 2 sisi A (2A) yaitu P(2A) = 1/16,

peluang muncul 1 sisi A (1A) yaitu P(1A) = 6/16

dan peluang tidak muncul sisi A (0A) yaitu P(0A) = 9/16

1

16

1

5

6

4

3

2

0 1 4 3 2

P(A)

A

serta jumlah total peluang = 1

Percobaan pelemparan 3 limas segitiga sama sisi secara bersamaan.

Ruang sampel yang muncul yaitu AAA. (1)

AAB, AAC, AAD, ABA, ACA, ADA, BAA, CAA, DAA. (9)

ABB, ABC, ABD, ACB, ACC, ACD, ADB, ADC, ADD, BAB,

BAC, BAD, BBA, BCA, BDA, BDB, CAB, CAC, CAD, CBA,

CCA, CDA, DAB, DAC, DAD, DBA, BCA, DDA. (28)

BBB, BBC, BBD, BCB, BCC, BCD, CBB, CBC, CBD, BDC,

BDD, CCB, CCC, CCD, CDB, CDC, CDD, DBB, DBC, DBD,

DCB, DCC, DCD, DDB, DDC, DDD. (26)

terdapat 64 hasil titik sampel (43) yang sama-sama mungkin, sehingga

peluang muncul 3 sisi A (3A) yaitu P(3A) = 1/64,

peluang muncul 2 sisi A (2A) yaitu P(2A) = 9/64,

peluang muncul 1 sisi A (1A) yaitu P(1A) = 28/64,

dan peluang tidak muncul sisi A (0A) yaitu P(0A) = 26/64.

serta jumlah total peluang = 1

Jika dirumuskan untuk pelemparan 3 koin secara bersamaan, maka

p = ½ , q = ½ , dan N = 3 (peluang muncul jumlah Angka = A)

A = 3 → 1

P(3A)64

→

3 0 3 3 31 3 3! 1 3 1

14 4 3! 3 3 ! 4 4 64

A = 2 → 9

P(2A)64

→

2 1 2 3 21 3 3! 1 3 9

94 4 2! 3 2 ! 4 4 64

A = 1 → 28

P(1A)64

→

1 2 1 3 11 3 3! 1 3 28

284 4 1! 3 1 ! 4 4 64

A = 0 → 26

P(0A)64

→

0 3 0 3 01 3 3! 1 3 26

264 4 0! 3 0 ! 4 4 64

dari perumusan di atas, maka secara umum penentuan peluang muncul jumlah

Angka P(A) pada pelemparan beberapa koin (N) secara serempak yaitu

N A

A N A A N AN!P A p q C p q

A! N A !

N AC = kombinasi

Karena p dan q merupakan peluang muncul dan tidak muncul yang berupa 2

kesatuan dengan total peluang 1, maka persamaan di atas disebut persamaan

distribusi Binomial.

B. Distribusi Poisson

Distribusi Binomial dapat menjadi distribusi Poisson, jika peluang muncul sisi

tertentu suatu benda sama sisi untuk satu kali lempar (p) bernilai sangat kecil dan

jika jumlah benda yang dilempar secara bersamaan (n) bernilai sangat besar.

P(k) adalah peluang muncul jumlah sisi tertentu benda sama sisi dan q adalah

peluang tidak muncul sisi tertentu suatu benda sama sisi. Hubungan p dan q yaitu

p + q = 1

Jika jumlah sisi tertentu benda yang muncul adalah k pada pelemparan n benda

secara serentak, maka persamaan distribusi Binomial yaitu

k n kn!P k p q

k! n k !

nn kk k

k

1 pn! n!P k p 1 p p

k! n k ! k! n k ! 1 p

n nk k

k k

k k k k

np np1 n p 1

n n!p n!n nP k

n k! n k ! n n k !1 p k! 1 p

n nk k

k k k k

np npnp 1 np 1

n n 1 n 2 n k 1n!n nP k

n n k ! nk! 1 p k! 1 p

nk

k k

np 1 2 k 1np 1 nn 1 n 1 n 1

n n n nP k

nk! 1 p

n

nk k

k k

np 1 2 k 1np 1 n 1 1 1

n n n nP k

nk! 1 p

n

nk

k

npnp 1

1 2 k 1nP k 1 1 1

n n nk! 1 p n

Jika p sangat kecil dan n sangat besar, maka np = λ (λ adalah bilangan berhingga

> 0), sehingga persamaan distribusi Binomial berubah menjadi persamaan

distribusi Poisson

nk

k

λλ 1

nπ k

k! 1

untuk n sangat besar

n

n1

lim 1 en

dan λ

n

nλ

lim 1 en

sehingga persamaan distribusi Poisson yaitu

λ

k

kλ eπ

k!

dan k = 0, 1, 2, 3, . . .

dengan menggunakan deret Maclaurin

2 3

λ

λ 0

kλ λ λf λ f 0 1f 0 λf ' 0 f '' 0 f ''' 0

k! 2! 3!

untuk λf λ e f 0 1

λf ' λ e f ' 0 1

λf '' λ e f '' 0 1

λf ''' λ e f ''' 0 1

Dst

2 3

λ

k 0

kλ λ λf λ e 1 λ

2! 3! k!

maka jumlah πk untuk semua k yaitu

λ λ λ

k

k 0 k 0

kλπ e e e 1

k!

Jika x merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi peluang P(x), maka nilai

ekspektasi x atau nilai mean x yaitu :

λ λ λ

x

x=0 x=0 x=0 x=1

x x 1 x 1λ e x λ λ e λe λEx μ x π x

x! x x 1 ! x 1 !

misal a = x – 1

λ λ λ

a 0

a λEx μ λe λe e λ

a!

λ 2 λ λ2 2

x=0 x=0 x=1

x x 1 x 1λ e x λ λ e x λe λEx x

x! x x 1 ! x 1 !

λ λ λ2

a 0 a 0 a 0

a a a a 1 λ e a λ e λ eEx λ λ

a! a! a!

λ λ2 λ λ λ

a 0 a 0 a 1

a 1 a a 1 a λ λ e λ λ e λEx λ e λ e e

a a 1 ! a! a 1 !

misal b = a – 1

2 λ λ λ

b 0

b λEx λ λ e 1 λ λ e e

b!

1

2 2Ex λ λ λ λ 1

C. Distribusi Normal

Distribusi Binomial dapat menjadi distribusi Normal, jika jumlah benda yang

dilempar secara bersamaan (n) bernilai sangat besar.

Untuk n yang sangat besar, nilai n! dapat didekati dengan menggunakan rumus

Stirling, yaitu

n nn! n e 2πn atau x xx! x e 2πx

Jika jumlah sisi tertentu benda yang muncul adalah x pada pelemparan n benda

secara serentak, maka persamaan fungsi distribusi Binomial yaitu

x n xn!f x p q

x! n x !

n n

n x n xx x

x n xn e 2πn p qf x

x e 2πx n x e 2π n x

x n n

n xx x x n x

x n xn n e p q 2πnf x

n x e n x e e 2πx 2π n x

n x

n xx x

x n xn p q nf x

2πx n xn x n x

x n xn xx

n xx x x

x n xn p n q n np nq nf x

2πx n x x n x 2πx n xn n x n x

misal δ x np atau 2 2 2 2δ x 2np n p

x np δ atau x n 1 q δ

n x nq δ

misal

np δ nq δx n xnp nq np nq

ln lnx n x np δ nq δ

np δ nq δ np δ nq δ

np δ nq δ np δ nq δln ln ln

np nq np nq

δ δ

np δ ln 1 nq δ ln 1np nq

δ δ

np δ ln 1 nq δ ln 1np nq

dengan deret

2 3 4

δ δ δ

np np npδ δln 1

np np 2 3 4

2 3

δ δ δ

np np npδ1

np 2 3 4

deret

2 3 4

δ δ δ

nq nq nqδ δln 1

nq nq 2 3 4

2 3

δ δ δ

nq nq nqδ1

nq 2 3 4

x n x

np nq δ δln np δ ln 1 nq δ ln 1

x n x np nq

2 2

δ δ δ δ

np np nq nqδ δnp δ 1 nq δ 1

np 2 3 nq 2 3

2 2δ 1 δ 1 1 δ δ

np δ nq δ δ δnp 2 nq 2 2 nq np

2 22 2 2 2 2

2 2

n 1 p δ npδ1 δ δ 1 nqδ npδ 1 δ

2 np nq 2 n pq 2 n pq 2npq

maka

x n x 2np nq δln

x n x 2npq

sehingga

2x n xδ

2npqnp nqe

x n x

2δ2npqn

f x e2πx n x

misal dianggap δ << np dan δ << nq

x = np + δ ≈ np

n – x = nq – δ ≈ nq

2 2δ δ2npq 2npqn 1

f x e e2πnp nq 2πnpq

dan misal μ = np

misal σ npq

maka persamaan fungsi distribusi Normal yaitu

2

2

x μ

2σ1

f x e2π