Bab 2. Distribusi Binomial, Poisson, dan Gauss
A. Distribusi Binomial
Koin
Percobaan pelemparan 1 koin
Ruang sampel yang muncul yaitu S = {A, G}
terdapat 2 hasil titik sampel (21) yang sama-sama mungkin
yaitu A = Angka dan G = Garuda,
sehingga peluang muncul 1 Angka (1A) yaitu p = P(1A) = ½
dan peluang tidak muncul Angka (0A) pada yaitu q = P(0A) = ½.
p dan q merupakan peluang basis koin mendapatkan salah satu sisi koin serta
jumlah total peluang = 1
Percobaan pelemparan 2 koin secara bersamaan.
Ruang sampel yang muncul yaitu S = {AA, AG, GA, GG}
terdapat 4 hasil titik sampel (22) yang sama-sama mungkin,
sehingga peluang muncul 2 Angka (2A) yaitu P(2A) = ¼,
peluang muncul 1 Angka (1A) yaitu P(1A) = ½
dan peluang tidak muncul Angka (0A) pada yaitu P(0A) = ¼
serta jumlah total peluang = 1
Percobaan pelemparan 3 koin secara bersamaan.
Ruang sampel yaitu S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
terdapat 4 hasil titik sampel (23) yang sama-sama mungkin,
sehingga peluang muncul 3 Angka (3A) yaitu P(3A) = 1/8,
peluang muncul 2 Angka (2A) yaitu P(2A) = 3/8,
peluang muncul 1 Angka (1A) yaitu P(1A) = 3/8
dan peluang tidak muncul Angka (0A) yaitu P(0A) = 1/8
serta jumlah total peluang = 1
Jika dirumuskan untuk pelemparan 3 koin secara bersamaan, maka
p = ½ , q = ½ , dan N = 3 (peluang muncul jumlah Angka = A)
A = 3 → 1
P(3A)8
→
3 0 3 3 31 1 3! 1 1
12 2 3! 3 3 ! 2 2
A = 2 → 3
P(2A)8
→
2 1 2 3 21 1 3! 1 1
32 2 2! 3 2 ! 2 2
A = 1 → 3
P(1A)8
→
1 2 1 3 11 1 3! 1 1
32 2 1! 3 1 ! 2 2
A = 0 → 1
P(0A)8
→
0 3 0 3 01 1 3! 1 1
12 2 0! 3 0 ! 2 2
dari perumusan di atas, maka secara umum penentuan peluang muncul jumlah
Angka P(A) pada pelemparan beberapa koin (N) secara serempak yaitu
N A
A N A A N AN!P A p q C p q
A! N A !
N AC = kombinasi
Karena p dan q merupakan peluang muncul dan tidak muncul yang berupa 2
kesatuan dengan total peluang 1, maka persamaan di atas disebut persamaan
distribusi Binomial.
Contoh : Grafik distribusi antara peluang muncul jumlah Angka P(A) versus
jumlah Angka yang muncul (A) pada pelemparan 4 koin secara serentak adalah
sebagai berikut
p = ½ , q = ½ , dan N = 4
4 4 44! 1 1 1
P 44! 4 4 ! 2 2 16
3 4 34! 1 1 4
P 33! 4 3 ! 2 2 16
2 4 24! 1 1 6
P 22! 4 2 ! 2 2 16
1 4 14! 1 1 4
P 11! 4 1 ! 2 2 16
0 4 04! 1 1 1
P 00! 4 0 ! 2 2 16
Jika x merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi peluang P(x), maka nilai
ekspektasi x yaitu :
N N N
x=0 x=0 x=0
x 1 N xx N x xN N 1 !p p qN!
Ex μ x P x x p qx! N x ! x x 1 ! N x !
b
a=0
a b a b! p qEx μ Np Np
a! b a !
di mana
b
a=0
a b a b! p q1
a! b a !
Limas Segitiga sama sisi
Percobaan pelemparan 1 limas segitiga sama sisi (A, B, C, D)
Ruang sampel yang muncul yaitu S = {A, B, C, D}
terdapat 4 hasil titik sampel (41) yang sama-sama mungkin muncul sebagai sisi
yang berada pada posisi di bawah atau pada sisi dasar limas segitiga.
yaitu A = sisi A, B = sisi B, C = sisi C, dan D = sisi D,
sehingga peluang muncul sisi A (1A) yaitu p = P(1A) = ¼
dan peluang tidak muncul sisi A (0A) yaitu q = P(0A) = ¾
p dan q merupakan peluang basis limas segitiga sama sisi mendapatkan salah satu
sisi limas segitiga yang menghadap ke bawah, serta jumlah total peluang = 1
Percobaan pelemparan 2 limas segitiga sama sisi secara bersamaan.
Ruang sampel yang muncul yaitu
S = {AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, BA, CC, CD, CA, CB, DD, DA, DB, DC}
terdapat 16 hasil titik sampel (42) yang sama-sama mungkin,
sehingga peluang muncul 2 sisi A (2A) yaitu P(2A) = 1/16,
peluang muncul 1 sisi A (1A) yaitu P(1A) = 6/16
dan peluang tidak muncul sisi A (0A) yaitu P(0A) = 9/16
1
16
1
5
6
4
3
2
0 1 4 3 2
P(A)
A
serta jumlah total peluang = 1
Percobaan pelemparan 3 limas segitiga sama sisi secara bersamaan.
Ruang sampel yang muncul yaitu AAA. (1)
AAB, AAC, AAD, ABA, ACA, ADA, BAA, CAA, DAA. (9)
ABB, ABC, ABD, ACB, ACC, ACD, ADB, ADC, ADD, BAB,
BAC, BAD, BBA, BCA, BDA, BDB, CAB, CAC, CAD, CBA,
CCA, CDA, DAB, DAC, DAD, DBA, BCA, DDA. (28)
BBB, BBC, BBD, BCB, BCC, BCD, CBB, CBC, CBD, BDC,
BDD, CCB, CCC, CCD, CDB, CDC, CDD, DBB, DBC, DBD,
DCB, DCC, DCD, DDB, DDC, DDD. (26)
terdapat 64 hasil titik sampel (43) yang sama-sama mungkin, sehingga
peluang muncul 3 sisi A (3A) yaitu P(3A) = 1/64,
peluang muncul 2 sisi A (2A) yaitu P(2A) = 9/64,
peluang muncul 1 sisi A (1A) yaitu P(1A) = 28/64,
dan peluang tidak muncul sisi A (0A) yaitu P(0A) = 26/64.
serta jumlah total peluang = 1
Jika dirumuskan untuk pelemparan 3 koin secara bersamaan, maka
p = ½ , q = ½ , dan N = 3 (peluang muncul jumlah Angka = A)
A = 3 → 1
P(3A)64
→
3 0 3 3 31 3 3! 1 3 1
14 4 3! 3 3 ! 4 4 64
A = 2 → 9
P(2A)64
→
2 1 2 3 21 3 3! 1 3 9
94 4 2! 3 2 ! 4 4 64
A = 1 → 28
P(1A)64
→
1 2 1 3 11 3 3! 1 3 28
284 4 1! 3 1 ! 4 4 64
A = 0 → 26
P(0A)64
→
0 3 0 3 01 3 3! 1 3 26
264 4 0! 3 0 ! 4 4 64
dari perumusan di atas, maka secara umum penentuan peluang muncul jumlah
Angka P(A) pada pelemparan beberapa koin (N) secara serempak yaitu
N A
A N A A N AN!P A p q C p q
A! N A !
N AC = kombinasi
Karena p dan q merupakan peluang muncul dan tidak muncul yang berupa 2
kesatuan dengan total peluang 1, maka persamaan di atas disebut persamaan
distribusi Binomial.
B. Distribusi Poisson
Distribusi Binomial dapat menjadi distribusi Poisson, jika peluang muncul sisi
tertentu suatu benda sama sisi untuk satu kali lempar (p) bernilai sangat kecil dan
jika jumlah benda yang dilempar secara bersamaan (n) bernilai sangat besar.
P(k) adalah peluang muncul jumlah sisi tertentu benda sama sisi dan q adalah
peluang tidak muncul sisi tertentu suatu benda sama sisi. Hubungan p dan q yaitu
p + q = 1
Jika jumlah sisi tertentu benda yang muncul adalah k pada pelemparan n benda
secara serentak, maka persamaan distribusi Binomial yaitu
k n kn!P k p q
k! n k !
nn kk k
k
1 pn! n!P k p 1 p p
k! n k ! k! n k ! 1 p
n nk k
k k
k k k k
np np1 n p 1
n n!p n!n nP k
n k! n k ! n n k !1 p k! 1 p
n nk k
k k k k
np npnp 1 np 1
n n 1 n 2 n k 1n!n nP k
n n k ! nk! 1 p k! 1 p
nk
k k
np 1 2 k 1np 1 nn 1 n 1 n 1
n n n nP k
nk! 1 p
n
nk k
k k
np 1 2 k 1np 1 n 1 1 1
n n n nP k
nk! 1 p
n
nk
k
npnp 1
1 2 k 1nP k 1 1 1
n n nk! 1 p n
Jika p sangat kecil dan n sangat besar, maka np = λ (λ adalah bilangan berhingga
> 0), sehingga persamaan distribusi Binomial berubah menjadi persamaan
distribusi Poisson
nk
k
λλ 1
nπ k
k! 1
untuk n sangat besar
n
n1
lim 1 en
dan λ
n
nλ
lim 1 en
sehingga persamaan distribusi Poisson yaitu
λ
k
kλ eπ
k!
dan k = 0, 1, 2, 3, . . .
dengan menggunakan deret Maclaurin
2 3
λ
λ 0
kλ λ λf λ f 0 1f 0 λf ' 0 f '' 0 f ''' 0
k! 2! 3!
untuk λf λ e f 0 1
λf ' λ e f ' 0 1
λf '' λ e f '' 0 1
λf ''' λ e f ''' 0 1
Dst
2 3
λ
k 0
kλ λ λf λ e 1 λ
2! 3! k!
maka jumlah πk untuk semua k yaitu
λ λ λ
k
k 0 k 0
kλπ e e e 1
k!
Jika x merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi peluang P(x), maka nilai
ekspektasi x atau nilai mean x yaitu :
λ λ λ
x
x=0 x=0 x=0 x=1
x x 1 x 1λ e x λ λ e λe λEx μ x π x
x! x x 1 ! x 1 !
misal a = x – 1
λ λ λ
a 0
a λEx μ λe λe e λ
a!
λ 2 λ λ2 2
x=0 x=0 x=1
x x 1 x 1λ e x λ λ e x λe λEx x
x! x x 1 ! x 1 !
λ λ λ2
a 0 a 0 a 0
a a a a 1 λ e a λ e λ eEx λ λ
a! a! a!
λ λ2 λ λ λ
a 0 a 0 a 1
a 1 a a 1 a λ λ e λ λ e λEx λ e λ e e
a a 1 ! a! a 1 !
misal b = a – 1
2 λ λ λ
b 0
b λEx λ λ e 1 λ λ e e
b!
1
2 2Ex λ λ λ λ 1
C. Distribusi Normal
Distribusi Binomial dapat menjadi distribusi Normal, jika jumlah benda yang
dilempar secara bersamaan (n) bernilai sangat besar.
Untuk n yang sangat besar, nilai n! dapat didekati dengan menggunakan rumus
Stirling, yaitu
n nn! n e 2πn atau x xx! x e 2πx
Jika jumlah sisi tertentu benda yang muncul adalah x pada pelemparan n benda
secara serentak, maka persamaan fungsi distribusi Binomial yaitu
x n xn!f x p q
x! n x !
n n
n x n xx x
x n xn e 2πn p qf x
x e 2πx n x e 2π n x
x n n
n xx x x n x
x n xn n e p q 2πnf x
n x e n x e e 2πx 2π n x
n x
n xx x
x n xn p q nf x
2πx n xn x n x
x n xn xx
n xx x x
x n xn p n q n np nq nf x
2πx n x x n x 2πx n xn n x n x
misal δ x np atau 2 2 2 2δ x 2np n p
x np δ atau x n 1 q δ
n x nq δ
misal
np δ nq δx n xnp nq np nq
ln lnx n x np δ nq δ
np δ nq δ np δ nq δ
np δ nq δ np δ nq δln ln ln
np nq np nq
δ δ
np δ ln 1 nq δ ln 1np nq
δ δ
np δ ln 1 nq δ ln 1np nq
dengan deret
2 3 4
δ δ δ
np np npδ δln 1
np np 2 3 4
2 3
δ δ δ
np np npδ1
np 2 3 4
deret
2 3 4
δ δ δ
nq nq nqδ δln 1
nq nq 2 3 4
2 3
δ δ δ
nq nq nqδ1
nq 2 3 4
x n x
np nq δ δln np δ ln 1 nq δ ln 1
x n x np nq
2 2
δ δ δ δ
np np nq nqδ δnp δ 1 nq δ 1
np 2 3 nq 2 3
2 2δ 1 δ 1 1 δ δ
np δ nq δ δ δnp 2 nq 2 2 nq np
2 22 2 2 2 2
2 2
n 1 p δ npδ1 δ δ 1 nqδ npδ 1 δ
2 np nq 2 n pq 2 n pq 2npq
maka
x n x 2np nq δln
x n x 2npq
sehingga
2x n xδ
2npqnp nqe
x n x
2δ2npqn
f x e2πx n x
misal dianggap δ << np dan δ << nq
x = np + δ ≈ np
n – x = nq – δ ≈ nq
2 2δ δ2npq 2npqn 1
f x e e2πnp nq 2πnpq
dan misal μ = np
misal σ npq
maka persamaan fungsi distribusi Normal yaitu
2
2
x μ
2σ1
f x e2π