2014학년도 수학성취도 측정시험(2014학년도수시모집합격자대상)

2013년 12월 17일, 고사시간 90분

• 1번부터 11번까지는단답형이고, 12번부터 16번까지는서술형입니다.

• 답안지는깨끗한글씨로바르게작성하되, 단답형은답만쓰고, 서술형은풀이과정과답을명시

하시오.

• 총배점은 100점이고, 각문항의배점은, 기본문제(1-6번)각 3점, 발전문제(7-13번)각 7점, 심

화문제(14번-16번)각 11점입니다.

2014년수시 1번 limx→0

(1

x+

1

x2 − x

)= .

[풀이] limx→0

(1

x+

1

x2 − x

)= lim

x→0

(1

x− 1

)= −1

2014년수시 2번 함수

f(x) =

ax2 + 1, x ≥ −1,

2ax, x < −1

가연속함수가되는 a 의값은 이다.

[풀이] f(−1) = limx→−1−0

f(x) ⇒ a+ 1 = −2a ⇒ a = −1

3

2014년수시 3번 함수 f(x) = x2 + ln√x 의도함수는 f ′(x) = 이다.

[풀이] f(x) = x2 +1

2lnx ⇒ f ′(x) = 2x+

1

2x

2014년수시 4번∫√π

20 x cos(x2) dx = .

[풀이]

∫ √π2

0x cos(x2)dx =

[1

2sin(x2)

]√π2

0

=1

2

1

2

2014년수시 5번 2차 정사각행렬 A, B 가 A2 − 3A = E, AB = 3E 를 만족할 때, B2 =

αA+ βE 가성립하도록하는상수 α, β 를구하면, (α, β) = 이다.

[풀이] E = A2 − 3A = A(A− 3E) 이므로 A−1 = A− 3E 이다. 또한 B = 3A−1 이므로,

B2 = (3(A− 3E))2 = 9A2 − 54A+ 81E

= 9(3A+ E)− 54A+ 81E = −27A+ 90E

이다. 따라서 (α, β) = (−27, 90) 이다.

2014년수시 6번 좌표공간에서두점 (1,−1, 1), (−1, 2, 0) 을지나는직선과 yz 평면이만나

는점의좌표는 이다.

[풀이] 직선의방정식을구하면x− 1

2=y + 1

−3=z − 1

1

이고, 이때 x = 0 에대응하는 y, z 값은 y =1

2, z =

1

2이다. 따라서이직선과 yz-평면이만

나는점의좌표는

(0,

1

2,1

2

)이다.

2014년수시 7번 수열 {fn} 이 f1 = 1, f2 = 2 이고, 모든 자연수 n 에 대하여 fn+2 =

fn + fn+1 을만족할때,∞∑n=1

fn+1

fnfn+2=

이다.

[풀이] 주어진수열에대하여, fn+1 = fn+2 − fn 의관계를이용하면,

∞∑n=1

fn+1

fnfn+2=∞∑n=1

fn+2 − fnfnfn+2

=∞∑n=1

(1

fn− 1

fn+2

)=

1

f1+

1

f2=

3

2

이다.

2014년수시 8번 다음 표와 같이 함수값과 도함수값을 갖는 미분가능한 함수 y = f(x) 가

역함수 x = h(y) 를갖는다고하자.

x a b c d e

f(x) b c d e i

f ′(x) u v s t w

단 u, v, s, t, w 는모두 0 이아니다. g = h ◦ h 이면, g′(c) = 이다.

3

[풀이] g′(c) = h′(h(c))h′(c) = h′(b)h′(c)이고, f(h(y)) = y 의양변을미분하면

f ′(h(y))h′(y) = 1 ⇒ h′(y) =1

f ′(h(y))

이다. 따라서, h′(b) =1

f ′(h(b))=

1

f ′(a)=

1

u, h′(c) =

1

f ′(h(c))=

1

f ′(b)=

1

v이므로,

g′(c) = h′(b)h′(c) =1

uv이다.

2014년수시 9번 구간 [−1, 1] 에있는두실수 x, y 에대하여 s(x, y) 와 t(x, y) 를다음과같

이정의하자.

s(x, y) = |x|+ |y|, t(x, y) =√|x|+

√|y|.

구간 [−1, 1] 에서두실수 x, y 를무작위로택했을때, 부등식

s(x, y) ≤ 1 와 t(x, y) ≥ 1

이동시에성립할확률은 이다.

[풀이] 주어진영역은 1사분면에서

s(x, y) ≤ 1 ⇔ y ≤ 1− x

t(x, y) ≥ 1 ⇔ √y ≥ 1−

√x ⇔ y ≥ 1− 2

√x+ x

이다.

4

따라서 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 에서공통부분의넓이를구하면,∫ 1

0((1− x)− (1− 2

√x+ x))dx =

[4

3x

32 − x2

]10

=1

3

이다. 또한 구하고자하는 영역은 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이므로, 주어진 조건이 동시에

성립할확률은1

3이다.

2014년수시 10번 함수 f(x) =d

dx

∫ 2x

xsin(t2) dt 에대하여

∫ √π0

xf(x) dx =

이다.

[풀이] f(x) =d

dx

∫ 2x

xsin(t2)dt = 2 sin(4x2)− sin(x2) 이다. 이를이용하면,

∫ √π0

xf(x)dx =

∫ √π0

(2x sin(4x2)− x sin(x2)

)dx

=

[−1

4cos(4x2) +

1

2cos(x2)

]√π0

= −1

이다.

2014년수시 11번 원 x2 + y2 = 1 과직선 y = −x+ 1 로둘러싸인영역중그넓이가작은

것을직선 y = −x+ 1 를회전축으로하여회전시킨입체의부피는 이다.

[풀이]

5

그림을 이용하면, 이 문제에서 구하고자 하는 영역의 부피는 원 x2 + y2 = 1 과 y =1√2로 둘

러싸인영역중넓이가작은부분을 y =1√2을축으로회전시킨회전체의부피와같다.

π

∫ 1√2

− 1√2

(√1− x2 − 1√

2

)2

dx = π

∫ 1√2

− 1√2

(3

2− x2 −

√2√1− x2

)dx

= π

(3√2

2−√2

6−√2

(1

2+π

4

))

=5√2

6π −√2

4π2

2014년수시 12번 좌표평면에서, 직선 y = Ax+B 가서로다른두점 P (x0, y0), Q(x1, y1)

에서곡선 f(x) = x4 − 4x3 + 2x2 − 4x+ 1 에각각접한다. 상수 A, B 를구하시오.

[풀이] 직선 y = Ax + B 가 서로 다른 두 점 P (x0, y0), Q(x1, y1) 에서 주어진 곡선 y = f(x)

에각각접하므로, 사차방정식

f(x)− (Ax+B) = 0

은서로다른두개의중근 x0, x1 을갖는다. 따라서

x4 − 4x3 + 2x2 − (4 +A)x+ 1−B = (x− x0)2(x− x1)2 (1)

이고양변의삼차, 이차항의계수를각각비교하면

x0 + x1 = 2, x0x1 = −1 (2)

이다. 이제일차항과상수항의계수를각각비교하면

A = −8, B = 0 (3)

임을알수있다.

[채점 기준] (1)까지생각한경우 1점, (2)까지옳게계산한경우 2점, (3)에서 A,B 각각 2점씩

총 7점만점.

[채점 소감] 함수 f 의 미분계수가 접선의 기울기를 나타낸다는 사실로부터도 이 문제를 풀 수

있지만 그런 접근의 경우 계산이 훨씬 복잡하였고, 단 한명의 학생만이 정답을 도출하였다. 따

라서 식 (1)을 생각해 내는 것이 학생들에게 까다롭게 느껴졌을 것이다. 그리고 계수를 비교하

는 과정에서 계산 실수를 한 학생들이 많았다. 0점을 받은 학생의 상당수는 실제 아무런 계산

을하지않은채, ‘이러이러하게풀면된다’는식의의견만을적은경우도많았다.

6

2014년수시 13번 좌표공간에서직선 x = y = z +3

8위의동점 P 와곡선

{(x, y, z) | y = x2, z = 0}

위의동점 Q 에대하여, 선분 PQ 의길이가최소가되는 Q 의좌표를구하시오.

[풀이]직선 x = y = z+3

8위의동점 P 를

(s, s, s− 3

8

)라고두고,곡선 {(x, y, z)|y = x2, z =

0} 위의동점 Q 를 (t, t2, 0) 이라하자. 선분 PQ 의길이가최소가되기위해서는벡터−−→PQ 와

직선 x = y = z +3

8의방향벡터 −→n = (1, 1, 1) 이서로수직어어야한다.

−−→PQ · −→n = (t− s, t2 − s,−s+ 3

8) · (1, 1, 1) = 0

따라서,

s =t2

3+t

3+

1

8

이다. 이를대입하여선분 PQ 의길이를정리하자.

|PQ| =

√(t− s)2 + (t2 − s)2 +

(−s+ 3

8

)2

=

√(− t

2

3+

2t

3− 1

8

)2

+

(2t2

3− t

3− 1

8

)2

+

(− t

2

3− t

3+

1

4

)2

(4)

식 (4)에의해선분 PQ 의길이는변수 t 에대한함수이므로, f(t) = |PQ|2 이라두면길이를최소로 하는 점 Q 를 구하는 문제는 사차 다항식 f(t) 의 최솟값을 주는 t 값을 구하는 문제와

같아진다. 그런데 f ′(t) = 0 인점은 t =1

2밖에없으므로, |PQ| 가최소가되는점 Q 의좌표

는 Q =

(1

2,1

4, 0

)이다.

[채점 기준] 선분 PQ 의 길이가 최소가 되는 조건을 사용하여 선분의 길이를 식 (4)와 같이 t

에대한함수로표현하는것에 4점, 계산을정확히하여답을구해내는것에나머지 3점을주었

다.

[채점 소감] 다수의 학생들이 선분 PQ 의 길이가 최소가 되는 조건을 사용하여 s 와 t 의 관계

식을 구하였지만, 사차 다항식 f(t) = |PQ|2 의 최솟값을 주는 t 값을 계산하지 못하여 길이를

최소로하는점 Q 를구하지못하였다. 점 Q 의좌표를

(−1

2,1

4, 0

)으로잘못구한학생도다

수있었다. 충분한설명없이 xy-평면에정사영한다음최솟값을구하려는시도도있었는데, 이

경우답이맞았다하더라도점수를주지않았다.

7

2014년수시 14번 다음과같은함수 f 를모두구하시오:

f 는 구간 (0,∞) 에서 정의되었고, 정의역의 모든 점에서 미분가능하며, 모든 양수 x, y 에 대

해서 f(xy) = yf(x) + xf(y) 가성립한다.

[풀이] 먼저 주어진 관계식에 x = y = 1 을 대입하면 f(1) = 0 을 얻는다. 주어진 관계식의 양

변을 xy 로나누고, g(t) =f(t)

t로치환하면

g(xy) = g(x) + g(y)

가 성립한다. 함수 f 가 (0,∞) 에서 미분가능하므로 g 도 미분가능하다. 변수 x 를 고정, 즉

상수라생각하고 y 에대해미분하면 g′(xy)x = g′(y) 이고, y = 1 을대입하면

g′(x) =g′(1)

x

를 얻을 수 있다. (이 식은 미분의 정의를 이용해서도 유도 가능) 양변을 정적분하면 g(x) =

g′(1) lnx+ C (C 는적분상수)이고, g(1) = f(1) = 0, g′(1) = f ′(1) 이므로

f(x) = f ′(1)x lnx,

즉함수 f 는 f(x) = kx lnx (k는실수)의형태가되어야한다. 그런데임의의실수 k 에대해

f(x) = kx lnx는 문제의 조건을 만족하므로 f(x) = kx lnx (k는임의의실수) 가 구하고자 하

는정답이다.

[채점 기준]

• g(xy) = g(x) + g(y) 을유도하고로그함수임을추측하여푼경우 3점

• g(x) = g′(1) lnx+ C 까지유도하면 7점

• f(1) = 0 을이용하여 C = 0 까지계산하면 9점

• 최종적으로임의의실수 k 에대해성립한다는사실을잘설명하면 11점

[다른 풀이] 주어진 함수 f 에서 변수 x 를 고정, 즉 상수라 생각하고 y 에 대해 미분하면

f ′(xy)x = f(x) + xf ′(y) 을얻고, y = 1 을대입하면

f ′(x)x = f(x) + xf ′(1)

을얻는다. (이식은미분의정의를이용해서도유도가능)양변을 x2 으로나누고정리하면

f ′(x)

x− f(x)

x2=f ′(1)

x

가 된다. 양변을 정적분하면f(x)

x= f ′(1) lnx + C (C 는 정분상수) 가 되고 f(1) = 0 이므로

C = 0 이다. 따라서

f(x) = f ′(1)x lnx

을만족해야한다는것을알수있다. 이후는첫번째풀이과정과동일하다.

8

[채점 기준]

• f ′(x)x = f(x) + xf ′(1) 을잘유도하면 3점

• f(x)

x= f ′(1) lnx+ C 까지유도하면 7점

• 함수 f 의이계도함수를이용해서위식을얻은경우 2점 감점

• f(1) = 0 을이용하여 C = 0 까지계산하면 9점

• 최종적으로임의의실수 k 에대해성립한다는사실을잘설명하면 11점

[채점 소감] 주어진 식의 양변을 xy 로 나누면 g(xy) = g(x) + g(y) 가 되어 함수 g 가 로그함

수임을 쉽게 추측할 수가 있다. 이 문제는 함수 g 가 미분가능하다는 사실을 이용하여 실제로

이함수가로그함수일수밖에없다는사실을논리적으로증명하는문제이다. 따라서로그함수

가 되는 것을 단순히 추측하거나 고등학교 내용에 나오지 않는 코시정리를 증명없이 사용한 경

우 많은 감점을 하였다. 특히 마지막 부분에서 임의의 실수 k 에 대해 성립한다는 사실을 명확

히설명한학생이거의없어아쉬웠다.

2014년수시 15번 다음에답하시오.

(a) 직선 y = Ax+B가곡선 y = x2에접하면,모든실수 x에대하여부등식 Ax+B ≤ x2

이성립함을증명하시오.

(b) 위의 (a) 를이용하여, a < b 일때구간 [a, b] 에서연속인함수 f(t) 에대하여부등식(1

b− a

∫ b

af(t) dt

)2

≤ 1

b− a

∫ b

af(t)2 dt

을증명하시오.

[풀이]

(a) 직선 y = Ax + B 가 곡선 y = x2 에 접할 때, 그 접점의 좌표를 (a, a2) 이라 하자. 이

때, 곡선 y = x2 위의점 (a, a2) 에서의접선의방정식은 y = 2ax− a2 이므로, A = 2a,

B = −a2 이된다. 그러면모든실수 x 에대하여

x2 − (Ax+B) = x2 − 2ax+ a2 = (x− a)2 ≥ 0

이므로 Ax+B ≤ x2 임을얻을수있다.

(b) 구간 [a, b] 의 임의의 실수 t 에 대하여, 곡선 y = x2 위의 점 (f(t), (f(t))2) 에서의 접

선은 y = 2f(t)x− f(t)2 이다. 그러면 (a)에의해모든실수 x 와구간 [a, b] 의임의의

실수 t 에대하여부등식

x2 − 2f(t)x+ f(t)2 ≥ 0 (5)

9

이 성립한다. 이 때, 부등식의 양변을 t 에 대하여 a 부터 b 까지 정적분한 후 b − a 로나누면이차부등식

x2 −(

2

b− a

∫ b

af(t)dt

)x+

1

b− a

∫ b

af(t)2dt ≥ 0 (6)

을 얻는다. 그런데 이는 임의의 실수 x 에 대하여 성립하므로, 이차방정식의 판별식을

이용하면

D

4=

(1

b− a

∫ b

af(t)dt

)2

− 1

b− a

∫ b

af(t)2dt ≤ 0

이고, (1

b− a

∫ b

af(t)dt

)2

≤ 1

b− a

∫ b

af(t)2dt (7)

임을얻을수있다.

[다른 풀이]

(a) 직선 y = Ax+B 가곡선 y = x2 에접하므로, 이차방정식 x2 = Ax+B 는중근을갖

는다. 즉이차방정식 x2−Ax−B = 0 의판별식은 D = A2 +4B = 0 이다. 그러면모

든실수 x 에대하여

x2 − (Ax+B) =

(x2 −Ax+

A2

4

)− 1

4(A2 + 4B) =

(x− A

2

)2

≥ 0

이므로 Ax+B ≤ x2 임을얻는다.

[채점 기준]

(a) 2점(부분점수없음)

(b) 식 (5), (6), (7) 각 3점씩, 9점만점

(b)의 풀이과정에서 (a)의 결과를 이용하지 않았으나 모범답안과 비슷한 풀이를 한 경

우, 식 (5)에 해당되는 3점을 받을 수 없음. (예를 들어, 적분의 코시-슈바르츠 부등식

을직접증명하여이용한경우)

[채점 소감]

(a) 이차함수에 관한 기본적인 문제로 대부분의 학생들이 잘 풀었다. 모범답안에 제시된

풀이 외에도 귀류법을 이용한 풀이, 중간값 정리를 이용한 풀이 등 참신한 시도가 더러

있었다. 하지만 아직 서술형 답안을 작성하는 법에 익숙하지 않아서인지, 쉬운 문제임

에도불구하고자신이아는것을논리적으로표현하지못한학생들이종종발견되었다.

(b) 문제 풀이에 필요한 아이디어를 떠올리는 것이 어려웠는지 대부분의 학생들이 답안을

제대로 작성하지 못했다. 특히 적분의 평균값 정리를 이용하려고 시도한 학생들이 많

았다는점이흥미로웠다.

10

2014년수시 16번 다음에답하시오.

(1) 임의의자연수 n 에대하여다음등식이성립함을보이시오.

n∑k=1

(1

2k − 1− 1

2k

)=

n∑k=1

1

n+ k

(2) 다음급수의합을구하시오.

∞∑k=1

(1

2k − 1− 1

2k

)

[풀이]

(a)

n∑k=1

(1

2k − 1− 1

2k

)=

n∑k=1

(1

2k − 1+

1

2k− 1

k

)=

2n∑k=1

1

k−

n∑k=1

1

k=

2n∑k=n+1

1

k=

n∑k=1

1

n+ k

(b) (a)에의해

∞∑k=1

(1

2k − 1− 1

2k

)= lim

n→∞

n∑k=1

(1

2k − 1− 1

2k

)= lim

n→∞

n∑k=1

1

n+ k

= limn→∞

n∑k=1

1

1 + kn

· 1n=

∫ 1

0

1

1 + xdx =

[ln(1 + x)

]10= ln 2

이다.

[다른 풀이]

(a) n = 1 일때, (좌변) = 1− 1

2=

1

2= (우변) 이다.

n = m 일때, 주어진식이성립한다고가정하자.

m+1∑k=1

(1

2k − 1− 1

2k

)=

m∑k=1

{(1

2k − 1− 1

2k

)+

1

2m+ 1− 1

2m+ 2

}

=

m∑k=1

{1

m+ k+

1

2m+ 1− 1

2m+ 2

}

=

m−1∑k=1

{1

m+ 1 + k+

1

m+ 1+

1

2m+ 1− 1

2m+ 2

}

=

m−1∑k=1

{1

m+ 1 + k+

1

2m+ 1+

1

2m+ 2

}=

m+1∑k=1

1

m+ 1 + k

n = m + 1 일 때도 성립하므로, 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 n 에 대해 주어진

등식은성립한다.

11

[채점 기준]

(a) 어느풀이방법을사용하더라도풀이의논리가맞지않으면 0점, 명확한근거를가지고

풀이를하면 9점.

(b) (a)의 결과를 이용한 다음, 적분식으로 정확하게 바꿔서 풀면 2점, 답이 틀리거나 풀이

과정을적지않고답만적은경우는 0점.

[채점 소감]

1. 이번 문제를 채점하면서 많은 학생들이 서술형 답안, 특히 증명 문제의 답안을 쓰는 것

에 서툴다는 생각이 들었다. 서술형 답안은 논리적 오류와 비약이 있으면 안 되는데 이

를 많은 학생들이 모르고 있다고 느껴졌다. 서술형 답안 작성을 연습하기 위해서는 문

제를 풀 때 최대한 자세히 쓰고, 본인이 쓴 답안을 친구들에게 보여줘서 피드백을 받는

다면많은도움이될것으로생각된다.

2. 많은 학생들이 대체로 잘 풀었다. 하지만 수학적 귀납법을 이용하여 (a)를 푼 경우,

n = m 일 때 준식이 성립함을 가정하고 n = m + 1 일 때 준식이 성립함을 보이는

과정에서 구체적으로 계산하지 않고 결론에 끼워맞춰 당연하다는 식으로 넘어가는 학

생들이 많았다. 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 때는 주어진 식을 얻기 위한 계산과

정을반드시명시하는습관을기를필요가있겠다.