第 1問

〔１〕 (1) 　点 P (p，q) を通り l に垂直な直線を m とすると，

　　　(l の傾き )•(m の傾き ) = - 1 より，

　　　　　 43

•(m の傾き ) = - 1

　　　　よって，(m の傾き ) = -34

　　　　これより，m の方程式は， (P を通るので )

　　　　　y x p q= - - +34

( ) ……ア，イ

　　　　Q は m と l の交点なので，

　　　　　k y x=43

　　　　　　 y x p q y x p q= - - + = - + +34

34

34

( ) d D　　y x p q y x p q= - - + = - + +34

34

34

( ) d D　　　より，

　　　　　 43

34

34

x x p q= - + +

　　　　よって，

　　　　　16x = - 9x + 9p + 12q

　　　　　25x = 9p + 12q

　　　　ゆえに， x p q= +3

253 4( )

　　　　これと， y x=43

より， y p q= +4

253 4( ) となるから，

　　　　　Q p q p qd D325

3 44

253 4( ), ( )+ + ……ウ，エ

　　　 　求める C の半径 r は，P (p，q) と l との距離なので，l：4x - 3y = 0 に注意して，

点と直線の距離の公式から，

　　　　　p q

p qr = =-

= -4 3

2515

4 34 3

4 32 2

◊ - ◊

+ -

p q

( )　……①� ……オ，カ

− 1 −

２０１4 年度大学入試センター試験 解説〈数学ⅡB〉

2014 年度センター試験　数学ⅡB

　　　(オ，カの別解 )

　　　 　P，Q の座標から直接 PQ の距離を求めてもよい。

　　　　　 r p p q q p q= - + + - +d D d D325

3 44

253 4

2 2

( ) ( )

　　　　　 = - + - +d D d D1625

1225

1225

925

2 2

p q p q

　　　　　 = - + -4

254 3

325

4 32

22

2

22( ) ( )p q p q

　　　　　 = + -d D425

325

4 32

2

2

22( )p q

　　　　　 = -4 3p q=1

254 3

15

2( )p q- 　……① ……オ，カ

　(2) 　円 C が x 軸に接することから，C の半径 r は P の y 座標 q に等しく，①から，

　　　　　 qp q

=-4 35

　　　(i)　4p - 3q > 0 のとき，

　　　　　　 qp q

=-4 35

　

　　　　　 つまり，5q = 4p - 3q

　　　　　 よって，4p = 8q より，p = 2q

　　　(ii)　4p - 3q < 0 のとき，

　　　　　　 qp q

=- -( )4 3

5

　　　　　 つまり， - 5q = 4p - 3q

　　　　　 よって，4p = - 2q であるが，これは p > 0，q > 0 に反する。

　　　 以上から，p = 2q ……キ

　　　 このことから，C は中心の座標が (2q，q)，半径 q の円なので，C の方程式は

　　　　　(x - 2q) 2 + (y - q) 2 = q2　…… (＊)

　　　 (＊) が R (2，2) を通ることから，

　　　　　(2 - 2q) 2 + (2 - q) 2 = q2

　　　　　4q2 - 12q + 8 = 0

　　　　　(q - 1) (q - 2) = 0

　　　 これより，q = 1 または 2 なので，(＊) より，

　　　　　q = 1 のとき， (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 1　……②� ……ク，ケ，コ

　　　　　q = 2 のとき， (x - 4) 2 + (y - 2) 2 = 4　……③� ……サ，シ，ス

− 2 −

2014 年度センター試験　数学ⅡB

　　　(注) 　(2) のキについては，p > 0，

q > 0 のときは C の中心が l の

下側にあることがわかる。また，

C が l の上側 ( 点線の円 ) にある

ときは，C の中心は図の– AOB

の外角の 2 等分線上にあるので，

p < 0，q > 0 となる。

　　　　　 　このとき，図より，p，q につい

て，

　　　　　　　 43

p q>

　　　　　 　つまり，4p - 3q > 0 とわかる。

　(3) 　②，③より，S (2，1) ，T (4，2) と

　　　 右図から，

　　　　　OS：ST = 1：1

　　 　 であり，O は ST の S 側の延長上に

あるので，点 O は線分 ST を

　　　　　1：2　(……④）　……セ

　　 　 に外分する。

− 3 −

x

y =

S

y

O

2

2 4

1

T

x12

(p，q)

pB

A

C

P

Ox

p43

y l

2014 年度センター試験　数学ⅡB

〔２〕　　log2 m3 + log3 n2 £ 3　……④

　　より，

　　　　3log2 m + 2log3 n £ 3　…… (＊＊)

　　・m = 2，n = 1 のとき， (＊＊) より，

　　　　3log2 2 + 2log3 1 = 3•1 + 2•0 = 3 ……ソ

　　であり，(m，n) = (2，1) は④を満たす。

　　・m = 4，n = 3 のとき， (＊＊) より，

　　　　3log2 4 + 2log3 3 = 3•log2 22 + 2•1

　　　　　　　　　　 = 3•2log2 2 + 2 = 8 ……タ

　　であり， (m，n) = (4，3) は④を満たさない。

　　　④は， (＊＊) から，

　　　　log log2 323

1m n+ £ 　……⑤� ……チ，ツ，テ

　　と変形できる。

　　　n が自然数のとき，n ≥ 1 なので，

　　　　log3 n ≥ log3 1 = 0

　　より，log3 n の最小値は 0 ……ト

　　 　これと⑤から，log2 m £ 1 であり，これが成り立つ自然数 m は，

　　　　m = 1　または　m = 2 ……ナ，ニ

　　でなければならない。

　　　m = 1 の場合，⑤より，log332

n £ ……ヌ，ネ

　　となるので，2log3 n £ 3，つまり，log3 n2 £ 3 から，

　　　　n2 £ 27 ……ノハ

　　となる。これを満たす自然数 n は，52 < 27 < 62 から，

　　　　n £ 5 ……ヒ

　　なので，この場合，④を満たす自然数 m，n の組の個数は 5 である。

　　　m = 2 の場合，⑤より，

　　　　 log log2 3223

1+ £n

　　　つまり， 123

13+ £log n

　　　よって，log3 n £ 0 となるので，これを満たす自然数 n は n = 1 のみ。

　　　この場合，④を満たす自然数 m，n の組の個数は 1 ……フ

　　　以上のことから，④を満たす自然数 m，n の組の個数は，5 + 1 = 6 ……ヘ

　　　　

− 4 −

2014 年度センター試験　数学ⅡB

第 2問

(1 )　f (x) = x3 - px より，

　　　　f' (x) = 3x2 - p　……①� ……ア，イ

　　　f (x) が x = a で極値をとるならば，①より，

　　　　3a2 - p = 0 ……ウ

　　 が成り立ち，x = a の前後で f' (x) の符号は変化することから，f' (x) = 0 が異なる

2 つの実数解を持つ。

　　　すなわち，p は条件

　　　　p > 0　　(……① )� ……エ

　　を満たし，逆にこのとき，f (x) は必ず極値をもつことがわかる。

(2) 　f (x) が xp

=3

で極値をとるとき，p > 0 であり， fp

'd D3

0= を満たすので，①

　　より，

　　　　 33

02d Dp

p- =

　　　　 pp

2

30- =

　　　　p (p - 3) = 0

　　　p > 0 より，p = 3 ……オ

　　　このとき，f (x) = x3 - 3x　…… (＊) であり，A (1， - 2) となる。

　　　　f' (x) = 3x2 - 3　…… (＊＊)

　　　　　　 = 3 (x2 - 1)

　　　　　　 = 3 (x + 1) (x - 1)

　　であり，f' (x) = 0 の 2 解は，x = ± 1 である。

　　 　よって，増減表は右表のようになり，

　　　　x = - 1 ……カキ

　　で極大値をとり，

　　　　x = 1 ……ク

　　で極小値をとる。

　　　　

− 5 −

x - 1 1

f¢ (x) + 0 - 0 +

f (x) W 2 Q - 2 W

- 1 1x

y = f’(x) = 3 (x2 - 1)

+ +

-

2014 年度センター試験　数学ⅡB

　　 　次に，点 A (1，- 2) を通る，傾きが 0 でない C の接線 l は，接点の x 座標を b

とすると，(＊＊) より，

　　　　y = (3b2 - 3) (x - b) + f (b) ……ケ，コ

　　　　 = (3b2 - 3) x - 3b3 + 3b + b3 - 3b

　　　　 = (3b2 - 3) x - 2b3　……②

　　　これが点 A を通ることから，

　　　　- 2 = 3b2 - 3 - 2b3

　　　よって，b は方程式

　　　　2b3 - 3b2 + 1 = 0　……③� ……サ，シ

　　の解である。

　　　　　　　 特に，A での C の接線も 0 1

- 1 - 12 - 3

2

0- 1- 122 1

00

1

1

12

　

　　　 A を通る C の接線の条件を満たすので，

　　　 b = 1 は③の解である．これを用いて，

　　　 右の組立除法から③が解ける。

　　　③は，

　　　　(b - 1) 2 (2b + 1) = 0

　　より，これを解くと，b = 1， -12

……ス，セソ，タ

　　　いま，l の傾きが 0 でないことから， b = -12

である。(b = 1 のときは f' (1) = 0

　　となるので b ? 1 である。)

　　　よって，l の方程式は②で b = -12

として，

　　　　 y x= - - - -312

1 212

2 3d Dd D d D　　　　y x= +

14

-94

……チツ，テ，ト，ナ

− 6 −

- 2

- 1

2

1Ob

A

l

x

C

y

2014 年度センター試験　数学ⅡB

　　　次に，A を頂点に持つ放物線は

　　　　y = k (x - 1) 2 - 2　

　　で表され，これが原点を通るとき，

　　　　0 = k ( - 1) 2 - 2

　　より，k = 2

　　　よって，D の方程式は

　　　　y = 2 (x - 1) 2 - 2

　　　　 = 2x2 - 4x ……ニ，ヌ

　　 　求める面積 S は，右図の網目部分の

面積なので，

　　　　 S x x x dx= - + - -Ú d D94

14

2 42

0

1

( )

　　　　 = - + +Ú d D274

14

2

0

1

x x dx

　　　　 = - + +ÈÎÍ

˘˚˙

23

78

14

3 21

0x x x

　　　　 = - + + =23

78

14

1124 ……ネノ

− 7 −

Ox

y

A

D

l

- 2

1

2014 年度センター試験　数学ⅡB

第 3問

(1 )　右のように

　　　　a2，a3，a4，……

　　と決まるので，

　　　　a2 = a1 + 9

　　　　 = 6 + 9 = 15 ……アイ

　　　　a3 = a2 + (9 + 4)

　　　　 = 15 + 13 = 28 ……ウエ

　　　また，階差数列は初項 9，公差 4 の等差数列なので，階差数列の第 n 項は

　　　　9 + 4 (n - 1) = 4n + 5 ……オ，カ

　　　よって，数列 aanA は

　　　　an + 1 - an = 4n + 5　…… (＊)

　　を満たすので， (＊) で，n を 1 ～ n - 1 に変えて，(n ≥ 2 において )

　　　　an - an - 1 = 4 (n - 1) + 5

　　　　an - 1 - an - 2 = 4 (n - 2) + 5

　　　　 …　　 　 …　　　 　 …

　　　　a3 - a2 = 4•2 + 5

　　　　a2 - a1 = 4•1 + 5

　　　辺々の和をとることで，

　　　　an - a1 = 4•a1 + 2 + …… + (n - 1) A + 5•(n - 1)

　　　　　 　　= 4•n n( )- 1

2 + 5 (n - 1)　　( これは n = 1 でも成立 )

　　　　

　　　よって，a1 = 6 より，

　　　　an = 6 + 2n (n - 1) + 5n - 5

　　　　 = 2n2 + 3n + 1　……①� ……キ，ク，ケ，コ

　　である。

(2)　 ba

abn

n

nn+

+=

-11 1

　……②， b125

=

　　で定められる数列 abnAについて，a1 = 6，a2 = 15 より，

　　　　ba

ab2

1

211

=-

=35

615 1

25

6-

◊ = ……サ，シス

　　　ここで，①より，

　　　　an = (2n + 1) (n + 1)

　　であるから，

　　　　 bn n

n nbn n+ =

+ ++ + + + -1 2

2 1 1

2 1 3 1 1 1

( )( )

( ) ( )

　　　　 =+ +

+ + +( )( )( ) ( )

2 1 12 1 3 1

n nn n

bna A− 8 −

an + 1

+

a1 a2 a3 a4 ……

9+

(9 + 4)+ +

(9 + 4 ¥ 2)

an

+(階差数列の第n項)

2014 年度センター試験　数学ⅡB

　　　よって，

　　　　bnn

bn n+ =++1

2 12 5 　……③� ……セ，ソ，タ

　　　ここで，

　　　　cn = (2n + 1) bn　……④

　　とおくと，

　　　　cn + 1 = (2n + 3) bn + 1

　　　つまり， bcnn

n+

+=+1

1

2 3

　　であり，これと③より，

　　　　 cn

cn

n n+

+=

+1

2 3 2 5

　　　よって，数列 acnAについて，

　　　　(2n + 5) cn + 1 = (2n + 3) cn　…… (＊＊) � ……チ，ツ

　　が成り立つ。そこで，さらに，

　　　　dn = (2n + 3) cn　……⑤� ……テ

　　とおくと，dn + 1 = (2n + 5) cn + 1 となるので， (＊＊) から数列 adnAは

　　　　dn + 1 = dn　…… (＊＊＊)

　　を満たすことがわかる。

　　　④より， c b1 12 1 325

65

= + ◊ = ◊ =( ) で，⑤より，

　　　　d c1 12 3 565

6•= + ==( ) ……ト

　　であるから，(＊＊＊) より，

　　　　dn = 6

　　とわかる。

　　　よって，⑤から，

　　　　(2n + 3) cn = 6

　　　つまり， cnn =

+6

2 3

　　　これと，④より，

　　　　 ( )2 16

2 3n b

nn+ =+

　　　つまり， bn nn =

+ +6

2 1 2 3( )( )　…… (☆)

　　を得る。そこで，X，Y を定数として，

　　　　 bX

nY

nn =+

-+2 1 2 3

− 9 −

− 10 −

2014 年度センター試験　数学ⅡB

　　と変形すると，

　　　　 bX Y n X Y

n nn =- + -

+ +( )

( )( )2 2 3

2 1 2 3

　　　この分子と (☆) の分子の n の係数を比較して，

　　　　 f 2X - 2Y = 0

　　　　 　 3X - Y = 6

　　より，X = Y = 3

　　　よって，(☆) は

　　　　bn nn =

+-

+3

2 13

2 3 ……ナ，ニ

　　と変形できて，これを利用して，( 特に 2n + 3 = 2 (n + 1) + 1 に注意して )

　　　　 Sk kn

k

n

=+

-+ +=Âd D3

2 13

2 1 11 ( )

　　　　 =◊ +

-◊ +

+◊ +

-◊ +

+◊ +

-◊ +

d D d D d32 1 1

32 2 1

32 2 1

32 3 1

32 3 1

32 4 1

DD　　　　 + +

- +-

++

+-

+ +�� d D d D3

2 1 13

2 13

2 13

2 1 1( ) ( )n n n n

　　　　 =+

-+

32 1

32 3n

　　　　 = -+

13

2 3n

　　　　 =+

22 3

nn

……ヌ，ネ，ノ

　　　　

　　(注)　一般項 bn については，次のようにすれば簡単に求められる。

　　　　　③から，

　　　　　　(2n + 5) bn + 1 = (2n + 1) bn

　　　　であり，辺々に (2n + 3) をかけることで，

　　　　　　(2n + 3) (2n + 5) bn + 1 = (2n + 1) (2n + 3) bn

　　　　　そこで，Bn = (2n + 1) (2n + 3) bn とおくと，

　　　　　　Bn + 1 = (2n + 3) (2n + 5) bn + 1　より，Bn + 1 = Bn

　　　　　よって，

　　　　　　Bn + 1 = Bn = Bn - 1 = …… = B2 = B1 = 3•5•25

= 6

　　　　　Bn = (2n + 1) (2n + 3) bn = 6　となり， bn nn =

+ +6

2 1 2 3( )( )

− 11 −

2014 年度センター試験　数学ⅡB

第 4問

(1 ) 　各点は右図のようになり，

　　　　K (0，0，2)

　　　　L (1，0，0)

　　であるから，

　　　　 LK���

= (- 1，0，2)

……アイ，ウ，エ

　　 　四角形 KLMN が平行四辺

形なので，

　　　　 LK MN��� � ���

= (……③ )

� ……オ

　　 　ここで，M (3，3，s) ，N (t，3，3)　(s，t は実数 ) と表すと，

　　　　 LK MN LK MN��� � ��� ��� � ���

= - = - - =( , , ), ( , , ),1 0 2 3 0 3t s

　　より，

　　　　 f - 1 = t - 3

　　　　 　 2 = 3 - s

　　　よって，

　　　　s = 1，t = 2 ……カ，キ

　　であるから，M (3，3，1) ，N (2，3，3)

　　　これより，N は FG を 1：2 に内分することがわかる。 ……ク

　　　また， LM� ��

= (2，3，1) なので，

　　　　 LK LM��� � ��

◊ = (- 1，0，2) • (2，3，1)

　　　　　　　 = - 1•2 + 0•3 + 2•1

　　　　　　　 = 0 ……ケ

　　となり， LK LM��� � ��

^ であるから，四角形 KLMN は長方形である。

　　　　 LK���

= - + + =( )1 0 2 52 2 2 ……コ

　　　　 LM� ��

= + + =2 3 1 142 2 2 ……サシ

　　と合わせて，四角形 KLMN の面積は

　　　　 5 14 70◊ = 　…… (＊) � ……スセ　　　　

O 3

3

2 K

N

D G

FE

C

B

ML

3

1

A

y

x

z

− 12 −

2014 年度センター試験　数学ⅡB

(2) 　P は，O から平面 a に下ろした垂線と平面 a の交点である。

　　　このとき，

　　　　OP ^ LK

　　　　OP ^ LM

　　なので，

　　　　OP LK OP LM��� ��� ��� � ��

◊ = ◊ = 0 ……ソ

　　　 OP LK��� ���

◊ = 0 より， (p，q，r) ・ ( - 1，0，2) = 0

　　　つまり， - p + 0 + 2r = 0 より p = 2r ……タ

　　　また， OP LM��� � ��

◊ = 0 より，

　　　　(p，q，r) ・ (2，3，1) = 0

　　　つまり，2p + 3q + r = 0

　　　これと，p = 2r より，

　　　　2 • 2r + 3q + r = 0

　　　すなわち，q r=-5

3 ……チツ，テ

　　であることがわかる。

　　　よって， Pd D253

r r r, ,-

　　　さらに，OP ^ PL であることから， OP PL��� ��

◊ = 0 より，

　　　　d D d D253

1 253

0r r r r r r, , , ,- ◊ - - =

O 3

3

K平面a

N

D G

FE

C

B

ML

3

A

y

x

P (p,q,r)

z

− 13 −

2014 年度センター試験　数学ⅡB

　　　　 2 1 253

02

2r r r r( )- - - =d D　　　　 70

92 02r r- =

　　　r = 0 のとき p = 0 となり，平面 a は O を通らないので不適であるから，

　　　　 709

2r =

　　より， r =9

35 ……ト，ナニ

　　　　 OP���

= - = -rd D d D253

19

352

53

1, , , ,

　　より，

　　　　 OP���

= -9

352

53

1d D, ,= + - +9

352

53

122

2d D　　　　 =

935

709

　　　　 =3 70

35= ◊

935

703

……ヌ，ネノ，ハヒ

　　　 OP���

は，三角錐 OLMN において，三角形 LMN を底辺とみたときの高さであり，

　　　　(三角形 LMN の面積 ) = 12

•(四角形 KLMN) = 702

　　より，三角錐 OLMN の体積は，

　　　　 3 7035

1=13

702

◊ ◊ ……フ

　　である。