第 1問
〔1〕 (1) 点 P (p,q) を通り l に垂直な直線を m とすると,
(l の傾き )•(m の傾き ) = - 1 より,
43
•(m の傾き ) = - 1
よって,(m の傾き ) = -34
これより,m の方程式は, (P を通るので )
y x p q= - - +34
( ) ……ア,イ
Q は m と l の交点なので,
k y x=43
y x p q y x p q= - - + = - + +34
34
34
( ) d D y x p q y x p q= - - + = - + +34
34
34
( ) d D より,
43
34
34
x x p q= - + +
よって,
16x = - 9x + 9p + 12q
25x = 9p + 12q
ゆえに, x p q= +3
253 4( )
これと, y x=43
より, y p q= +4
253 4( ) となるから,
Q p q p qd D325
3 44
253 4( ), ( )+ + ……ウ,エ
求める C の半径 r は,P (p,q) と l との距離なので,l:4x - 3y = 0 に注意して,
点と直線の距離の公式から,
p q
p qr = =-
= -4 3
2515
4 34 3
4 32 2
◊ - ◊
+ -
p q
( ) ……①� ……オ,カ
− 1 −
2014 年度大学入試センター試験 解説〈数学ⅡB〉
2014 年度センター試験 数学ⅡB
(オ,カの別解 )
P,Q の座標から直接 PQ の距離を求めてもよい。
r p p q q p q= - + + - +d D d D325
3 44
253 4
2 2
( ) ( )
= - + - +d D d D1625
1225
1225
925
2 2
p q p q
= - + -4
254 3
325
4 32
22
2
22( ) ( )p q p q
= + -d D425
325
4 32
2
2
22( )p q
= -4 3p q=1
254 3
15
2( )p q- ……① ……オ,カ
(2) 円 C が x 軸に接することから,C の半径 r は P の y 座標 q に等しく,①から,
qp q
=-4 35
(i) 4p - 3q > 0 のとき,
qp q
=-4 35
つまり,5q = 4p - 3q
よって,4p = 8q より,p = 2q
(ii) 4p - 3q < 0 のとき,
qp q
=- -( )4 3
5
つまり, - 5q = 4p - 3q
よって,4p = - 2q であるが,これは p > 0,q > 0 に反する。
以上から,p = 2q ……キ
このことから,C は中心の座標が (2q,q),半径 q の円なので,C の方程式は
(x - 2q) 2 + (y - q) 2 = q2 …… (*)
(*) が R (2,2) を通ることから,
(2 - 2q) 2 + (2 - q) 2 = q2
4q2 - 12q + 8 = 0
(q - 1) (q - 2) = 0
これより,q = 1 または 2 なので,(*) より,
q = 1 のとき, (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 1 ……②� ……ク,ケ,コ
q = 2 のとき, (x - 4) 2 + (y - 2) 2 = 4 ……③� ……サ,シ,ス
− 2 −
2014 年度センター試験 数学ⅡB
(注) (2) のキについては,p > 0,
q > 0 のときは C の中心が l の
下側にあることがわかる。また,
C が l の上側 ( 点線の円 ) にある
ときは,C の中心は図の– AOB
の外角の 2 等分線上にあるので,
p < 0,q > 0 となる。
このとき,図より,p,q につい
て,
43
p q>
つまり,4p - 3q > 0 とわかる。
(3) ②,③より,S (2,1) ,T (4,2) と
右図から,
OS:ST = 1:1
であり,O は ST の S 側の延長上に
あるので,点 O は線分 ST を
1:2 (……④) ……セ
に外分する。
− 3 −
x
y =
S
y
O
2
2 4
1
T
x12
(p,q)
pB
A
C
P
Ox
p43
y l
2014 年度センター試験 数学ⅡB
〔2〕 log2 m3 + log3 n2 £ 3 ……④
より,
3log2 m + 2log3 n £ 3 …… (**)
・m = 2,n = 1 のとき, (**) より,
3log2 2 + 2log3 1 = 3•1 + 2•0 = 3 ……ソ
であり,(m,n) = (2,1) は④を満たす。
・m = 4,n = 3 のとき, (**) より,
3log2 4 + 2log3 3 = 3•log2 22 + 2•1
= 3•2log2 2 + 2 = 8 ……タ
であり, (m,n) = (4,3) は④を満たさない。
④は, (**) から,
log log2 323
1m n+ £ ……⑤� ……チ,ツ,テ
と変形できる。
n が自然数のとき,n ≥ 1 なので,
log3 n ≥ log3 1 = 0
より,log3 n の最小値は 0 ……ト
これと⑤から,log2 m £ 1 であり,これが成り立つ自然数 m は,
m = 1 または m = 2 ……ナ,ニ
でなければならない。
m = 1 の場合,⑤より,log332
n £ ……ヌ,ネ
となるので,2log3 n £ 3,つまり,log3 n2 £ 3 から,
n2 £ 27 ……ノハ
となる。これを満たす自然数 n は,52 < 27 < 62 から,
n £ 5 ……ヒ
なので,この場合,④を満たす自然数 m,n の組の個数は 5 である。
m = 2 の場合,⑤より,
log log2 3223
1+ £n
つまり, 123
13+ £log n
よって,log3 n £ 0 となるので,これを満たす自然数 n は n = 1 のみ。
この場合,④を満たす自然数 m,n の組の個数は 1 ……フ
以上のことから,④を満たす自然数 m,n の組の個数は,5 + 1 = 6 ……ヘ
− 4 −
2014 年度センター試験 数学ⅡB
第 2問
(1 ) f (x) = x3 - px より,
f' (x) = 3x2 - p ……①� ……ア,イ
f (x) が x = a で極値をとるならば,①より,
3a2 - p = 0 ……ウ
が成り立ち,x = a の前後で f' (x) の符号は変化することから,f' (x) = 0 が異なる
2 つの実数解を持つ。
すなわち,p は条件
p > 0 (……① )� ……エ
を満たし,逆にこのとき,f (x) は必ず極値をもつことがわかる。
(2) f (x) が xp
=3
で極値をとるとき,p > 0 であり, fp
'd D3
0= を満たすので,①
より,
33
02d Dp
p- =
pp
2
30- =
p (p - 3) = 0
p > 0 より,p = 3 ……オ
このとき,f (x) = x3 - 3x …… (*) であり,A (1, - 2) となる。
f' (x) = 3x2 - 3 …… (**)
= 3 (x2 - 1)
= 3 (x + 1) (x - 1)
であり,f' (x) = 0 の 2 解は,x = ± 1 である。
よって,増減表は右表のようになり,
x = - 1 ……カキ
で極大値をとり,
x = 1 ……ク
で極小値をとる。
− 5 −
x - 1 1
f¢ (x) + 0 - 0 +
f (x) W 2 Q - 2 W
- 1 1x
y = f’(x) = 3 (x2 - 1)
+ +
-
2014 年度センター試験 数学ⅡB
次に,点 A (1,- 2) を通る,傾きが 0 でない C の接線 l は,接点の x 座標を b
とすると,(**) より,
y = (3b2 - 3) (x - b) + f (b) ……ケ,コ
= (3b2 - 3) x - 3b3 + 3b + b3 - 3b
= (3b2 - 3) x - 2b3 ……②
これが点 A を通ることから,
- 2 = 3b2 - 3 - 2b3
よって,b は方程式
2b3 - 3b2 + 1 = 0 ……③� ……サ,シ
の解である。
特に,A での C の接線も 0 1
- 1 - 12 - 3
2
0- 1- 122 1
00
1
1
12
A を通る C の接線の条件を満たすので,
b = 1 は③の解である.これを用いて,
右の組立除法から③が解ける。
③は,
(b - 1) 2 (2b + 1) = 0
より,これを解くと,b = 1, -12
……ス,セソ,タ
いま,l の傾きが 0 でないことから, b = -12
である。(b = 1 のときは f' (1) = 0
となるので b ? 1 である。)
よって,l の方程式は②で b = -12
として,
y x= - - - -312
1 212
2 3d Dd D d D y x= +
14
-94
……チツ,テ,ト,ナ
− 6 −
- 2
- 1
2
1Ob
A
l
x
C
y
2014 年度センター試験 数学ⅡB
次に,A を頂点に持つ放物線は
y = k (x - 1) 2 - 2
で表され,これが原点を通るとき,
0 = k ( - 1) 2 - 2
より,k = 2
よって,D の方程式は
y = 2 (x - 1) 2 - 2
= 2x2 - 4x ……ニ,ヌ
求める面積 S は,右図の網目部分の
面積なので,
S x x x dx= - + - -Ú d D94
14
2 42
0
1
( )
= - + +Ú d D274
14
2
0
1
x x dx
= - + +ÈÎÍ
˘˚˙
23
78
14
3 21
0x x x
= - + + =23
78
14
1124 ……ネノ
− 7 −
Ox
y
A
D
l
- 2
1
2014 年度センター試験 数学ⅡB
第 3問
(1 ) 右のように
a2,a3,a4,……
と決まるので,
a2 = a1 + 9
= 6 + 9 = 15 ……アイ
a3 = a2 + (9 + 4)
= 15 + 13 = 28 ……ウエ
また,階差数列は初項 9,公差 4 の等差数列なので,階差数列の第 n 項は
9 + 4 (n - 1) = 4n + 5 ……オ,カ
よって,数列 aanA は
an + 1 - an = 4n + 5 …… (*)
を満たすので, (*) で,n を 1 ~ n - 1 に変えて,(n ≥ 2 において )
an - an - 1 = 4 (n - 1) + 5
an - 1 - an - 2 = 4 (n - 2) + 5
… … …
a3 - a2 = 4•2 + 5
a2 - a1 = 4•1 + 5
辺々の和をとることで,
an - a1 = 4•a1 + 2 + …… + (n - 1) A + 5•(n - 1)
= 4•n n( )- 1
2 + 5 (n - 1) ( これは n = 1 でも成立 )
よって,a1 = 6 より,
an = 6 + 2n (n - 1) + 5n - 5
= 2n2 + 3n + 1 ……①� ……キ,ク,ケ,コ
である。
(2) ba
abn
n
nn+
+=
-11 1
……②, b125
=
で定められる数列 abnAについて,a1 = 6,a2 = 15 より,
ba
ab2
1
211
=-
=35
615 1
25
6-
◊ = ……サ,シス
ここで,①より,
an = (2n + 1) (n + 1)
であるから,
bn n
n nbn n+ =
+ ++ + + + -1 2
2 1 1
2 1 3 1 1 1
( )( )
( ) ( )
=+ +
+ + +( )( )( ) ( )
2 1 12 1 3 1
n nn n
bna A− 8 −
an + 1
+
a1 a2 a3 a4 ……
9+
(9 + 4)+ +
(9 + 4 ¥ 2)
an
+(階差数列の第n項)
2014 年度センター試験 数学ⅡB
よって,
bnn
bn n+ =++1
2 12 5 ……③� ……セ,ソ,タ
ここで,
cn = (2n + 1) bn ……④
とおくと,
cn + 1 = (2n + 3) bn + 1
つまり, bcnn
n+
+=+1
1
2 3
であり,これと③より,
cn
cn
n n+
+=
+1
2 3 2 5
よって,数列 acnAについて,
(2n + 5) cn + 1 = (2n + 3) cn …… (**) � ……チ,ツ
が成り立つ。そこで,さらに,
dn = (2n + 3) cn ……⑤� ……テ
とおくと,dn + 1 = (2n + 5) cn + 1 となるので, (**) から数列 adnAは
dn + 1 = dn …… (***)
を満たすことがわかる。
④より, c b1 12 1 325
65
= + ◊ = ◊ =( ) で,⑤より,
d c1 12 3 565
6•= + ==( ) ……ト
であるから,(***) より,
dn = 6
とわかる。
よって,⑤から,
(2n + 3) cn = 6
つまり, cnn =
+6
2 3
これと,④より,
( )2 16
2 3n b
nn+ =+
つまり, bn nn =
+ +6
2 1 2 3( )( ) …… (☆)
を得る。そこで,X,Y を定数として,
bX
nY
nn =+
-+2 1 2 3
− 9 −
− 10 −
2014 年度センター試験 数学ⅡB
と変形すると,
bX Y n X Y
n nn =- + -
+ +( )
( )( )2 2 3
2 1 2 3
この分子と (☆) の分子の n の係数を比較して,
f 2X - 2Y = 0
3X - Y = 6
より,X = Y = 3
よって,(☆) は
bn nn =
+-
+3
2 13
2 3 ……ナ,ニ
と変形できて,これを利用して,( 特に 2n + 3 = 2 (n + 1) + 1 に注意して )
Sk kn
k
n
=+
-+ +=Âd D3
2 13
2 1 11 ( )
=◊ +
-◊ +
+◊ +
-◊ +
+◊ +
-◊ +
d D d D d32 1 1
32 2 1
32 2 1
32 3 1
32 3 1
32 4 1
DD + +
- +-
++
+-
+ +�� d D d D3
2 1 13
2 13
2 13
2 1 1( ) ( )n n n n
=+
-+
32 1
32 3n
= -+
13
2 3n
=+
22 3
nn
……ヌ,ネ,ノ
(注) 一般項 bn については,次のようにすれば簡単に求められる。
③から,
(2n + 5) bn + 1 = (2n + 1) bn
であり,辺々に (2n + 3) をかけることで,
(2n + 3) (2n + 5) bn + 1 = (2n + 1) (2n + 3) bn
そこで,Bn = (2n + 1) (2n + 3) bn とおくと,
Bn + 1 = (2n + 3) (2n + 5) bn + 1 より,Bn + 1 = Bn
よって,
Bn + 1 = Bn = Bn - 1 = …… = B2 = B1 = 3•5•25
= 6
Bn = (2n + 1) (2n + 3) bn = 6 となり, bn nn =
+ +6
2 1 2 3( )( )
− 11 −
2014 年度センター試験 数学ⅡB
第 4問
(1 ) 各点は右図のようになり,
K (0,0,2)
L (1,0,0)
であるから,
LK���
= (- 1,0,2)
……アイ,ウ,エ
四角形 KLMN が平行四辺
形なので,
LK MN��� � ���
= (……③ )
� ……オ
ここで,M (3,3,s) ,N (t,3,3) (s,t は実数 ) と表すと,
LK MN LK MN��� � ��� ��� � ���
= - = - - =( , , ), ( , , ),1 0 2 3 0 3t s
より,
f - 1 = t - 3
2 = 3 - s
よって,
s = 1,t = 2 ……カ,キ
であるから,M (3,3,1) ,N (2,3,3)
これより,N は FG を 1:2 に内分することがわかる。 ……ク
また, LM� ��
= (2,3,1) なので,
LK LM��� � ��
◊ = (- 1,0,2) • (2,3,1)
= - 1•2 + 0•3 + 2•1
= 0 ……ケ
となり, LK LM��� � ��
^ であるから,四角形 KLMN は長方形である。
LK���
= - + + =( )1 0 2 52 2 2 ……コ
LM� ��
= + + =2 3 1 142 2 2 ……サシ
と合わせて,四角形 KLMN の面積は
5 14 70◊ = …… (*) � ……スセ
O 3
3
2 K
N
D G
FE
C
B
ML
3
1
A
y
x
z
− 12 −
2014 年度センター試験 数学ⅡB
(2) P は,O から平面 a に下ろした垂線と平面 a の交点である。
このとき,
OP ^ LK
OP ^ LM
なので,
OP LK OP LM��� ��� ��� � ��
◊ = ◊ = 0 ……ソ
OP LK��� ���
◊ = 0 より, (p,q,r) ・ ( - 1,0,2) = 0
つまり, - p + 0 + 2r = 0 より p = 2r ……タ
また, OP LM��� � ��
◊ = 0 より,
(p,q,r) ・ (2,3,1) = 0
つまり,2p + 3q + r = 0
これと,p = 2r より,
2 • 2r + 3q + r = 0
すなわち,q r=-5
3 ……チツ,テ
であることがわかる。
よって, Pd D253
r r r, ,-
さらに,OP ^ PL であることから, OP PL��� ��
◊ = 0 より,
d D d D253
1 253
0r r r r r r, , , ,- ◊ - - =
O 3
3
K平面a
N
D G
FE
C
B
ML
3
A
y
x
P (p,q,r)
z
− 13 −
2014 年度センター試験 数学ⅡB
2 1 253
02
2r r r r( )- - - =d D 70
92 02r r- =
r = 0 のとき p = 0 となり,平面 a は O を通らないので不適であるから,
709
2r =
より, r =9
35 ……ト,ナニ
OP���
= - = -rd D d D253
19
352
53
1, , , ,
より,
OP���
= -9
352
53
1d D, ,= + - +9
352
53
122
2d D =
935
709
=3 70
35= ◊
935
703
……ヌ,ネノ,ハヒ
OP���
は,三角錐 OLMN において,三角形 LMN を底辺とみたときの高さであり,
(三角形 LMN の面積 ) = 12
•(四角形 KLMN) = 702
より,三角錐 OLMN の体積は,
3 7035
1=13
702
◊ ◊ ……フ
である。